Download DISTRIBUCION MUESTRAL

INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION DE MUESTREO
INFERENCIA ESTADISTICA
OBSERVANDO MUESTRA
1. OBTENCION DE CONCLUSIONES DE LOS DATOS
ANALIZANDO MUESTRA
CONFIANZA
2. INTENTA MEDIR SU SIGNIFICACION
VERACIDAD
PARAMETRO No 1: MEDIA
3. MEDIDAS FUNDAMENTALES
D.T. PARA POBLACION
D.T. PARA MUESTRAS
PARAMETRO No 2 DESVIACION
TIPICA / ERROR TIPICO
S
INFERENCIA ESTADISTICA
CALCULO DE PARAMETROS
EJEMPLO
POBLACION S = {1, 3, 5, 7}
CALCULEMOS:
4
MEDIA ARITMETICA
DESVIACION MEDIA
DM =
DESVIACION TIPICA
VARIANZA
5
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION NORMAL
Llamada distribución Gaussiana o de Gauss.
Es una distribución de probabilidad de variable continua de un fenómeno real
1. Morfológicas.
Estatura
Peso
2. Sociológicas
Índice de satisfacción
3. Sicológicas
Consumo
4. Académicas
Notas
Edad
Participación
Aprobación de áreas
1. μ (mu) es la media aritmética.
2. σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la
varianza)
3. Se llama distribución normal "estándar" a
aquélla en la que sus parámetros toman los
valores μ = 0 y σ = 1.
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION NORMAL
EJE
MP
LO
En el examen parcial de estadística evaluado entre [0 ; 100] la media aritmética
fue 72 y la desviación típica o estándar 15. Determinar la referencia tipificada
(unidades de desviación típica) de los estudiantes que obtuvieron
puntuaciones de:
a. 60
b. 93
c. 72
d. 80
X = Vr nota
Recordar la formula de transformación de
unidades tipificadas.
S = Desviación Típica
X = 60 S = 15
AREA
27
-3
42
-2
57
-1
72
0
87
102
117
1
2
3
UNIDADES
ESTANDARIZADAS
Se desea hallar
P(Z<-0.8)
A=0.2119
Se desea hallar
P(Z>-0.8)
1- P(Z>-0.8)
Se desea hallar
P(-0.8<Z<1.4)
A=0.2119
A=0.9192
0.2119
21.19%
A=0.7881
A=0.7073
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION NORMAL
DETERMINACION DE PUNTUACIONES CORRESPONDIENTES A Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS
X = Vr nota
Como se tiene que:
S = Desviación Típica
Para el ejercicio anterior se tiene que
S=15
Hallar las puntuaciones equivalentes a z
Z = 1.5
94.5
NOTA
Z = -1
57
NOTA
Cuando la nota es 60 tenemos que se cumple que
Limite de
Perdida
27
-3
42
-2
57
-1
72
0
87
102
117
1
2
3
PIERDEN
P(Z<-0.8)
AREA
0.2119
APRUEBAN
P(Z>-0.8)
AREA
0.7881
INFERENCIA ESTADISTICA
MEDIA MUESTRAL
CADA MUETRA DE TAMAÑO n QUE EXTRAEMOS DE UNA POBLACION ES UNA MEDIA
n1
MUESTRA
n2
nn
MEDIAS
MUESTRALES
Si se consideran
como valores de una
variable aleatoria
SE ESTUDIA SU
DISTRIBUCION
MUESTRAL
SE LLAMA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS
1. HALLAMOS MEDIA
PROCEDIMIENTO
2. DESVIACION MEDIA
D.M.
3. DESVIACION TIPICA O ESTANDART POBLACIONAL
4. VARIANZA
5. DESVIACION
TIPICA
INFERENCIA ESTADISTICA
MEDIA MUESTRAL
CONSIDERENSEN TODAS LAS MUESTRAS DE TAMAÑO 2
1. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
1. Media Poblacional
2. Desviación
Estándar Poblacional
PROBABILIDAD
2. CON REEMPLAZAMIENTO
INFERENCIA ESTADISTICA
MEDIA MUESTRAL
DISTRIBUCION DE LA PROBABILIDAD DE LA MEDIA MUESTRAL. GRAFICO
CADA MUESTRA DE TAMAÑO n EXTRAIDA DE UNA POBLACION PROPORCIONA
1. MEDIA
2. ERROR ESTANDAR DE LA MEDIA
SI LA POBLACION ES FINITA Y
LA EXTRACION SIN
REPOSICION
LA DESVIACION
TIPICA O
ESTANDAR ES
N=Población
n=Muestra
INFERENCIA ESTADISTICA
MEDIA MUESTRAL
CONSIDERENSEN TODAS LAS MUESTRAS DE TAMAÑO n
PROBABILISTICO
1. MUESTREO TIPO
NO PROBABILISTICO
2. CONDICION
ELEMENTOS
1. CON SUSTITUCION
2. SIN SUSTITUCION
1. Media Poblacional
2. Desviación
Estándar Poblacional
3. Error Estándar
de la Media
Desviación Estándar
de todas las medias
Indica como varia la media muestral
entre una y otra
INFERENCIA ESTADISTICA
MEDIA MUESTRAL
CARACTERISTICAS DE LA MEDIA
1. CADA MUESTRA DE TAMAÑO n QUE PODAMOS
EXTRAER PROPORCIONA UNA MEDIA
2. CADA MEDIA SE PUEDE CONSIDERAR COMO VARIABLE
ALEATORIA, PARA ESTUDIAR SU DISTRIBUCION
DISTRIBUCION
MUESTRAL DE MEDIAS
3. LA DISTRIBUCION SIGUE LA DISTRIBUCION NORMAL
4. SI LA DISTRIBUCION NO SIGUE UNA DISTRIBUCION
NORMAL PERO n>30. APLICAMOS
Ejemplo No 1
TEOREMA CENTRAL
DEL LIMITE
Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,8 y desviación típica
2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes
esté comprendida entre 5 y 7.
POBLACION
N(5,8;2,4)
TAMAÑO MUESTRAS
n = 16
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA
N(5,8;0,6)
INFERENCIA ESTADISTICA
MEDIA MUESTRAL
X = MEDIA DE LA MUESTRA
P(5x7)=P(-1.33z2)=
P(z2)-[1-P(z1.33)] =
0,8854
1. CALCULAMOS LA PROBABILIDAD
FORMULA DE TRANSFORMACION
1. HALLAMOS LOS Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS
X=5
Z = -1.33
X=7
Z=2
2. HALLAMOS LA PROBABILIDAD PARA Z EN LA TABLA DE U. ESTANDARIZADAS
Z = -1.33
0.0918
P(z < -1.33)
P(z < 2)
0.0918
0.9772
0.9772
0.8854
-3
-2
-1
0
1
2
3
Z=UNIDADES ESTANDARIZADAS
4
4.6
5.2
5.8
6.4
7
7.6
X= UNIDADES DE LA MUESTRA
Z=2
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA
EJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es
5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar
de 16 estudiantes esté por debajo de 7.2.
MEDIA POBLACIONAL
= MEDIA MUESTRAL
DESVIACION TIPICA
ELEMENTOS MUESTRA
HALLAMOS ERROR ESTANDAR DE LA MUESTRA
HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2
0.9893
P(
<7.2 )
2.33
P( Z < 2.33 )
AREA = 0.9893
EL 98.93% DE TODAS LAS MUESTRAS POSIBLES CON UNA
TAMAÑO DE n=16 TIENEN UNA MEDIA DE 7.2.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
4.6
5.2
5.8
6.4
7
7.6
EL PROMEDIO DE LA NOTA DEL 98.93 DE LAS MUESTRAS
TIENEN PROMEDIO INFERIOR A 7.2
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA
EJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es
5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al
azar, si la muestra se varia a 100 estudiantes y esté por debajo de 7.2.
MEDIA POBLACIONAL
= MEDIA MUESTRAL
DESVIACION TIPICA
ELEMENTOS MUESTRA
HALLAMOS ERROR ESTANDAR DE LA MUESTRA
HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2
0.5948
P(
<7.2 )
P( Z < 0.24 )
AREA = 0.5948
EL 59.48% DE TODAS LAS MUESTRAS POSIBLES CON UNA
TAMAÑO DE n=100 TIENEN UNA MEDIA DE 7.2.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
4.6
5.2
5.8
6.4
7
7.6
EL PROMEDIO DE LA NOTA DEL 59.48% DE LAS
MUESTRAS TIENEN PROMEDIO INFERIOR A 7.2
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION NORMAL
EJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es
5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que una nota tomada de un estudiante al
azar por debajo de 7.2.
MEDIA POBLACIONAL
= MEDIA MUESTRAL
DESVIACION TIPICA
ELEMENTOS MUESTRA
0.58
HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2
0.7190
P(
<7.2 )
P( Z < 0.58 )
AREA = 0.7190
EL 71.90% DE TODAS LAS NOTAS POSIBLES TIENEN UN
VALOR DE 7.2.
-3
-2
-1
0
1
1
4.6
3.4
5.8
8.2
CONCLUSION COMPARATIVA
2
10.6
3
13
MUESTRA MUESTRA
INDIVID
UAL
n=16
n=100
MEDIA
5,80
5,80
5,80
D.T.
0,60
0,24
2,40
PORCEN
98,93
59,48
71,90
1. El 71.90% de todos los
estudiantes obtuvo nota
inferior a 7.2
2. El 59.48% de las
muestras con tamaño 100
tiene media inferior a 7.2.
3. El 98.93% de las
muestras con tamaño 16
tienen media nferior a 7.2
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES
CALCULO EXPERIMENTAL DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES. CONSIDERESE
LAS SIGUIENTES FIGURAS
SUSTITUCION
CONSIDEREMOS TODAS LAS MUESTRAS TAMAÑO 2 POSIBLES QUE EXISTEN
LA PROBABILIDAD p DE SACAR UN TRIANGULO EN LA MUESTRA
ALEATORIO SIMPLE
X = No Éxitos
n = Tamaño de la
muestra
DISTRIBUCION MUESTRAL DE
PROPORCIONES
TABLA DE
FRECUENCIA DE
PROBABILIDAD DE
SALIR UN
TRIANGULO
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES
CALCULEMOS LA ESPERANZA MATEMATICA O PROBABILIDAD DE SALIR TRIANGULO DEL TOTAL
DE LAS MUESTRAS
MEDIA
VARIANZA
EL NUMERO DE EXITOS X DE UNA MUESTRA TAMAÑO n, SE DISTRIBUYE DE FORMA BINOMIAL
B(n, p)
p = Ocurrencia
p
q = No ocurrencia
q = 1 -p
APROX A UNA
DIS. NORMAL
Como
MUESTRA
DESV TIPI
MUESTRA
DESV TIPI
INFERENCIA ESTADISTICA
DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES
EJEMPLO: Si tiramos una moneda no cargada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de
que obtengamos más de 55 caras?
p = Ocurrencia = Caras = 0.5
q = No ocurrencia = 0.5
LA DISTRIBUCION NORMAL
PROPORCIONES SE DISTRIBUYE
DE
N(p;
Hallamos probabilidad
)
N(0.5; 0.05)
n = Elemento muestra = 100
P = 0.55
P( Z < 1)
Hallamos Z
0.8413
P( > 0.55)
P( Z > 1)
0.1587
-3
0.30
-2
-1
0
1
2
3
0.40
0.45
0.5
0.55
0.60
0.65
1-P( Z <= 1)
1 - 0.8413
INFERENCIA ESTADISTICA
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
1. MUESTRAS GRANDES n > 30
2. LA DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL ES UNA DISTRIBUCION NORMAL
LA MEDIA ES LA MISMA QUE LA DE LA VRIABLE
LA DESVIACION TIPICA DE LA MEDIA MUESTRAL SERA APROX EL ERROR ESTANDAR
UNA CONSECUENCIA DEL TEOREMA
LA DISTRIBUCION DE LA
VARIABLE ES UNA NORMAL
LA MEDIA
LOS PARAMETROS DE DISTRIBUCION MUESTRAL SON
DESVIACION ESTANDAR
EJEMPLO: Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos
en llevar un paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de
hoy han repartido doscientos paquetes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de hoy esté entre 30 y 35
minutos?
INFERENCIA ESTADISTICA
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
VARIABLE
X = Tiempo de entrega
Media Aritmética Población
Desviación Típica Población
Para la muestra
Tamaño muestra
n = 200
Media muestra
Desviación típica
muestra
SE DEBE HALLAR
A = 0.500
A=0
A = 0.5
-3
33.29
-2
-1
0
1
2
3
33.86
34.43
35
35.57
36.14
36.71
INFERENCIA ESTADISTICA
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en total, para los doscientos paquetes hayan estado más de
115 horas?
Las 115 horas = 6.900 min
Las unidades tipificadas
EL AREA SOMBREADA ES 1 –P(X<34.5)
A = 0.8106
A = 0.1894
-3
33.29
A = 1 – 0.1894
-2
-1
0
1
2
3
33.86
34.43
35
35.57
36.14
36.71
INFERENCIA ESTADISTICA
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
EJEMPLO: Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale sello el
valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de
Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100
lanzamientos salgan más de 60 caras.
n = 100
La media aritmética
La Desviación Típica de la muestra
100*0.5 = 50
5
A = 1 – 0.9772
EL AREA SOMBREADA ES 1 –P(Z < 2.0)
A = 0.9772
Las Unidades Tipificadas para X = 60
La probabilidad de que al tirar 100 veces la
moneda salgan más de 60 caras es tan sólo
del 2,28%.
-3
-2
-1
35
40
45
A = 0.0228
0
1
2
3
50
55
60
65