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Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 10
PRÁCTICA 10 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta práctica, aprenderemos cómo utilizar los comandos de los diferentes menús de
las aplicaciones Principal, Geometría y Gráficos y Tablas para resolver algunos problemas
sobre Transformaciones Lineales con la calculadora ClassPad 300 PLUS.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado los temas relativos a
las Transformaciones Lineales: Matrices que representan a una Transformación Lineal entre
espacios de dimensión finita, Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal.
10.1 Transformaciones lineales.
Operación con la ClassPad
1.
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione [ON/OFF]
para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(4) Toque
[Preferencias ►] [Adm. de variable] para acceder al administrador de variables. Toque
main dos veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.]
[Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación
Principal.
Una transformación lineal T : P3  M2,2 satisface:
2.
1  5
2  4
2
3
, T( x  x 2 )  
T(1  x)  

 , T( x  x ) 
1
1
0
2




 5  1
3
  3 5  y T( x ) 


 3 0
  2 3 .


1) Verifique que la familia F  (1  x, x  x 2 , x 2  x 3 , x 3 ) es una base de P3 .
2)
Encuentre la imagen mediante T de cualquier polinomio a  bx  cx2  dx3 de P3 .
3) Determine la imagen y el núcleo de T y sus respectivas dimensiones.
4) ¿Es T un isomorfismo? Explique.
5) Encuentre la matriz que representa a T en la bases B1 de P3 y B2 de M2,2 , donde
B1  (1  x 3 , 1  x  x 3 , 1  2x  x 2  2x 3 , 1  3x  2x 2  x 3 ) y
  1 2  0
1  0 0    1 0  
B 2   
,

, 
, 
  .
 3 2   1  1  1 0  0 1 
1) Verifiquemos que F es una base de P3 :
Para establecer que la familia F es una base de P3 , construimos primeramente la matriz MF de las
componentes de F en la base canónica de P3 y verificamos que sea regular:
3.
Operación con la ClassPad
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(5) Active el teclado virtual 2D.
(6) Registre la matriz de las componentes de los polinomios de F respecto a
la base canónica de P3 y toque [Ejec].

Dado que MF es una matriz cuadrada podemos calcular su
determinante. ¿Puede deducirlo sin calcularlo?
(7) Toque [Acción] [Matriz-Calcular ►] [det] [ans] [Ejec].

Dado que su determinante es no nulo, la matriz MF es una matriz
regular.
det(MF ) 
4.
Figura 1
. ¿Es F una base de P3 ? Explique:
Al ser MF una matriz regular, se deduce que los polinomios de la familia F son linealmente
independientes. Por otra parte, dado que Dim(P3 )  4 y F consta de 4 polinomios linealmente
independientes, se tiene en consecuencia que F es una base de P3 .
2) Encontremos la imagen mediante T de cualquier polinomio a  bx  cx2  dx3 de P3 :
Para hallar T(a  bx  cx 2  dx 3 ) debemos escribir primeramente el polinomio a  bx  cx2  dx3
como combinación lineal de los polinomios de la base F. Esto es, debemos encontrar constantes , ,  , 
tales que a  bx  cx 2  dx 3  (1  x )  (x  x 2 )   (x 2  x 3 )  x 3 .
 a
    b

Esto conduce a la resolución del sistema de ecuaciones lineales: 
que puede resolverse
    c
     d
fácilmente en forma sustitutiva con lápiz y papel.
¿Cuál es la solución del sistema?  =
5.
(8) Toque la plantilla
=
=
=
tres veces y registre las cuatro ecuaciones, para
resolver el sistema. Alterne entre
y
(para las incógnitas
tome como variables x, y, z, t y para los términos independientes las
variables a, b, c y d).
(9) Al finalizar toque [Ejec].

Se obtienen los coeficientes:
  a ,   a  b ,   a  b  c y   a  b  c  d .
Figura 2
Dado que T(a  bx  cx 2  dx 3 )  T((1  x)  (x  x 2 )   (x 2  x 3 )  x 3 ) 
1  5
2  4
 5  1
 3 0
T(1  x)  T(x  x 2 )  T(x 2  x 3 )  T(x 3 )   
   0 2     3 5     2 3
1
1








Podemos encontrar la imagen de cualquier polinomio a  bx  cx2  dx3 de P3 mediante T.
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(10) Registre en la línea de entrada la combinación lineal de las matrices
precedentes para los valores encontrados de , ,  y . Alterne entre
el botón de variables
y el botón de retorno
utilice el botón
para la multiplicación de un escalar por una matriz.
(11) Al finalizar toque [Ejec.].
(12) Para simplificar toque [Acción] [Transformación ►] [Expand] [ans]
[Ejec].

Se obtiene:
Figura 3
a  2c  3d  2a  3b  c
T(a  bx  cx 2  dx 3 )  
a  2c  3d 
 b  c  2d
3) Determinemos la imagen y el núcleo de T y sus respectivas dimensiones:
En esta parte requeriremos de la matriz MT que representa a T en las bases canónicas de P3 y M2,2 .
a  2c  3d  2a  3b  c
De la regla de correspondencia para T, esto es, T(a  bx  cx 2  dx 3 )  
a  2c  3d 
 b  c  2d
 1  2
0  3
 2  1
 3 0
2
3
podemos deducir fácilmente que T(1)  
 , T ( x )   1 0  , T ( x )    1 2  y T ( x )    2 3
0
1








0
2
3 
 1
 2  3  1 0 
.
¿Por qué?. De manera que MT  
0
1  1  2


0
2
3 
 1
(13) Registre la matriz MT en la línea de entrada. Toque [Ejec].
(14) Toque [Acción] [Matriz-Calcular ►] [ref] [ans] [Ejec].
 Se obtiene una matriz escalonada reducida con dos pivotes. De manera
que Dim(Im g(T))  (MT )  # Pivotes  2 .
 Las dos primeras columnas son L.I. de modo que las matrices
 1  2
0  3
T(1)  
 y T(x)   1 0  forman una base de la imagen de T.
0
1






La imagen de T viene dada por Im g(T )  


 1  2
0 1   


Figura 4

0  3 

 1 0  : ,   R  .




(15) Aplique la técnica de agregar pivotes a la matriz escalonada reducida
obtenida para resolver el sistema homogéneo y encontrar una base para
el núcleo de T. Toque [Ejec].
(16) Toque [Acción] [Matriz-Calcular ►] [rref] [ans] [Ejec].
 Las dos últimas columnas forman una base para el conjunto solución del
sistema homogéneo. De manera que Dim(N(T))  (MT )  2 .
Figura 5

El núcleo de T viene dado por N(T )  (2  x  x 2 )  (3  2x  x 3 ) : ,   R
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
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6.
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Dim(Img(T)) =
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Img(T) =
Dim(N(T)) =
N(T) =
4) Dado que Dim(N(T))  2  0 , T no es un isomorfismo.
5) Encontremos la matriz que representa a T en la bases B1 de P3 y B2 de M2,2 :
Sean B y B las bases canónicas de P3 y M2,2 respectivamente. Entonces la matriz Q T que
representa a T el las bases B1 y B2 viene dada por Q T  M 1
B 2B
MT M
B1B
, donde M
B1B
es la matriz de
cambio de la base B1 a la base canónica B de P3 y M
es la matriz de cambio de la base B2 a la
B 2 B
base canónica de M2,2 . De acuerdo a los datos y a lo que se ha determinado, tales matrices son:
1
1
1
0
1
2
M

B1B  0
0
1

 1  1  2
1
0
2
3 
 1
1 0



2 1
3
2 3 1 0 

; MT  
y M

B 2 B  3  1
0
2
1  1  2




1
0
2
3 
 1
2  1
(17) Registre en la línea de entrada la matriz M
B 2B
0  1
0 0 
1 0

0 1
y ubique el cursor a la
derecha de esta matriz.
(18) Toque
.
(19) Toque
y registre a continuación la matriz MT . Toque
(20) Toque
y registre seguidamente M
B1B
. Toque
.
Figura 6
 Se obtiene la matriz Q T .
7.
8.
.
QT 
Construya una transformación lineal T : M2,2  R 4 de manera que el núcleo de T sea el
 a b

: a, b  R  de M2,2 y la imagen de T sea el complemento ortogonal del
subespacio S1   

 b a 

subespacio S2   (x, y, z, t) : x  2y  t  0 ; 2x  y  z  0  de R 4 .
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9.
10.
 x
T  
 z
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y 

t  
1
0

La matriz M Tn  0


0
1 1  1
1 1  1
0 1  1 (cuadrada de orden n) representa a la transformación

   1
0 0 1
lineal Tn : R n  R n .
1) Indique por qué Tn es un isomorfismo.
2) Por medio de un proceso inductivo, encuentre la expresión analítica de su inversa Tn 1 .
11.
1)
2) Tn1(x 1, x 2 , x 3 , , x n ) 
10.2 Aspectos geométricos de las transformaciones lineales en el plano.
Se quieren estudiar algunos aspectos geométricos de la transformación lineal T : R 2  R 2 definida por
2  1
T(X)  MX , donde M es la matriz 
 . Haremos uso de la Aplicación Geometría.
3 2 
12.
Encuentre la imagen, mediante T, del paralelogramo de vértices A(0, 0) , B(0,  1) , C(2, 0) y
D(2, 1) .
(21) En la barra de herramientas toque
de la Aplicación Geometría.
para acceder a la ventana
(22) Toque
para maximizar la ventana de la aplicación Geometría.
(23) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(24) Toque
[Preferencias ►] [ventana vis.].
(25) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:
mínx : 2 ; máxx : 7 y medy : 3 . Toque [Acep.].
(26) Toque [Ver] y active la rejilla entera tocando el cuadro de verificación
en caso de no estar activa.
(27) Toque
varias veces hasta que aparezcan los ejes numerados.
 Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la
Figura 7.
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Figura 7
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Práctica 10
(28) Toque [Dibuj] [Polígono].
(29) Manteniendo el orden alfabético, marque en la pantalla cada uno de los
puntos A(0, 0) , B(0,  1) , C(2, 0) , D(2, 1) y nuevamente A(0, 0) .
 Si se equivoca toque
y luego toque el punto marcado por error,
esto lo selecciona el punto errado. Luego toque [Edit] [Borrar].
 Al terminar se habrá trazado los lados del paralelogramo de vértices
A, B, C y D.
Figura 8
(30) Toque
y seguidamente toque cada uno de los lados del
paralelogramo para seleccionarlos.
(31) Toque [Edit][Copiar]. Toque cualquier punto de la pantalla para salir
de la modalidad selección.
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
Toque
en el panel de iconos.
En la aplicación Principal, Borre la pantalla. Toque [Edit][Pegar].
A la matriz que aparece en la línea de entrada, asígnele la variable N.
Registre la matriz M y asígnele la variable M.
Efectúe el producto MN.
 La matriz obtenida es la matriz de las coordenadas de los puntos A´,
B´, C´ y D´ que son imagen de los puntos A, B, C y D
respectivamente.
(37) Toque
. Seleccione la matriz en la línea de salida y sin
levantar el lápiz arrastre hasta la ventana de la aplicación Geometría.
Figura 9
(38) Toque
para maximizar la pantalla.
 Se obtiene la imagen, mediante T, del paralelogramo ABCD. En este caso es otro paralelogramo.
13.
14.
¿Por qué razón T transforma el punto (0, 0) en si mismo?
De manera análoga a la anterior, registre la matriz N de las coordenadas de los puntos
A(1, 1) , B(1, 1) , C(1,  1) y D(1,  1) que son vértices de un paralelogramo y encuentre la imagen
del mismo mediante T.
Configure la ventana de visualización con los parámetros mínx : 5 ; máxx : 5 y medy : 0
15.
a) ¿Cuáles son las imágenes A´, B´, C´ y D´ de los puntos A, B, C y D mediante T?
b) ¿Cuáles son las dimensiones de la imagen y el núcleo de esta transformación lineal?
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b) ¿Qué subespacios conforman el núcleo y la imagen de T?
c) ¿Qué tipo de transformación lineal es T?
d) ¿Cuál es la definición analítica de T?, esto es T(x, y) = ?
3 2 
Considere el isomorfismo T : R 2  R 2 definido por T(X)  MX , donde M es la matriz 
.
3  2 
En lo que sigue, queremos encontrar las imágenes mediante T de distintos lugares geométricos
conocidos. Para ello haremos uso de la aplicación Gráficos y Tablas.
La Aplicación “Gráficos y Tablas” permite introducir y representar gráficamente en el plano curvas en
coordenadas rectangulares, coordenadas polares y curvas representadas por sus ecuaciones paramétricas.
. En el menú de Aplicaciones
(39) En el panel de iconos toque
Incorporadas, toque
y Tablas.
para acceder a la aplicación Gráficos
 Esta operación muestra la ventana del editor de gráficos y la
ventana de gráficos.
(40) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la ventana del editor
de gráficos.
16.
Figura 10
Encuentre la imagen de la recta R que pasa por el punto P(1, – 1) y tiene vector director

v( 2, 2) .
La ecuación vectorial de esta recta es R : (x, y)  (1,  1)  t(2, 2) ; t  R . Por lo tanto sus ecuaciones
 x  1  2t
paramétricas son: R : 
; t  R . Para trazar la gráfica de la recta R registraremos primeramente
 y  1  2t
sus ecuaciones paramétricas. Esto es, xt1 : 1  2t y yt1 : 1  2t .
(41) En la barra de menús toque [Tipo] [Tipo de parámetro].
 Esto indica que se desean registrar las ecuaciones paramétricas de R.
(42) Sitúe el cursor en la casilla de la línea xt1:.
(43) Active el teclado virtual 2D y toque
para registrar la
primera ecuación. Toque
.
(44) De manera análoga registre en la línea yt1: la segunda ecuación y
toque
.
 De esta manera las ecuaciones de R quedan registradas en memoria.
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Figura 11
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 x  3 2   x  3 x  2 y 
Por otra parte, tenga presente que T    
   
 , de modo que para trazar la imagen
 y  3  2   y   3 x  2 y 
mediante T de la recta R, debemos registrar las ecuaciones paramétricas de su imagen. Esto es,
 1  2t   1  2t 
T

 de modo que xt2 : 1  2t y yt2 : 5  10 t .
 1  2t  5  10 t 
(45) Ubique el cursor en la localidad de memoria x2t:, toque
Toque
.
.
(46) Ubique el cursor en la localidad de memoria y2t:, toque
. Toque
.
 Al finalizar las ecuaciones de T(R) quedan registradas en memoria.
 Observe que al lado de cada una de las ecuaciones registradas de R
y T(R), aparece el estilo de línea con que van ha ser graficadas. Para
diferenciarlas, cambiemos el estilo de línea de la segunda curva.
Figura 12
(47) Toque, a la derecha de las ecuaciones paramétricas de T(R), la línea
indicada con el estilo [———]. En el cuadro de diálogo [Tipo marcador]
seleccione [Trazos gruesos] para cambiar a este estilo y toque
[Acep.].
 Observe que el estilo de línea, para la segunda curva, ha cambiado.
Figura 13
Antes de continuar:
Debe tenerse presente que al trazar la gráfica de una determinada curva en el plano, por lo general,
sólo se obtiene en realidad una porción de la misma, más si ésta no está acotada. Al trazar la gráfica se
visualiza la porción de ella que se encuentra en un rectángulo [ a, b]  [c, d] , esto es, para a  x  b y
c  y  d . Este rectángulo de visualización, así como las escalas en cada uno de los ejes, deben
registrarse previamente o ajustarse después de un ensayo una vez que se ha trazado la curva. Para esto,
deben realizarse ajustes en la ventana de visualización, como veremos en este momento:
(48) Toque
[Preferencias ►] [ventana vis.].
(49) En el cuadro de diálogo configure únicamente los siguientes ajustes:
Mín. x: –10 ; máx. : 10 ; escala: 1
Mín. y: –18 ; máx. : 28 ; escala: 1.
 Esta ventana permite visualizar la gráfica de ambas curvas para
10  x  10 y 18  y  28 .
 Por otra parte, debemos indicar el intervalo de variación del parámetro
t, tomemos 2  t  2 (para estos valores sólo visualizaremos dos
segmentos, pero que serán importantes para lo que sigue).
(50) En el cuadro de diálogo toque la barra de desplazamiento y arrástrela
hasta llegar al tope inferior. Configure los siguientes ajustes:
Mín. t: – 2 ; máx. : 2 ; paso: 0.25.
(51) Toque [Acep.].
(52) Toque
para graficar las curvas y luego toque
maximizar la ventana de gráficos.
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para
Figura 14
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Práctica 10
Como puede observar R es una recta (en este caso visualizamos un segmento para 2  t  2 ) trazada
con estilo de línea continua y T(R) es una recta (en este caso visualizamos un segmento para 2  t  2 )
trazada con estilo de línea punteada. Nos interesa visualizar ahora cómo cada punto de R se transforma en
un punto de T(R). Para ello usaremos el comando [Trazo].
(53) Toque en la barra de menús [Análisis] [Trazo].
 Observará que aparece sobre la gráfica de la primera curva un cursor
parpadeante . En la parte inferior de la ventana de gráficos se
indican las coordenadas del punto (x c , y c ) donde esta situado el
cursor y el correspondiente valor del parámetro t c .
 A cada lado de la ventana de gráficos aparece una flecha. Las cuatro
(▲, ►, ▼,◄) corresponden a las flechas del controlador de gráfico
que permiten desplazar el gráfico en la dirección indicada. En la
modalidad Trazo podemos mover el cursor sobre las gráficas
trazadas.
 En la parte inferior de esta ventana aparece un rectángulo llamado
cuadro de mensajes, que indica, para este caso, las ecuaciones
paramétricas de la recta R rotuladas con f1.
(54) Toque la flecha ▲ del controlador de gráfico varias veces.
 Observará que se alterna el cursor entre las gráficas de las rectas.
Observe además, que mientras realiza los toques, la información de
las coordenadas de los puntos nos muestra que para t  2 , el punto
de coordenadas (5,  5) se transforma en el punto de coordenadas
Figura 15
(5, 25 ) . De manera que T(5,  5)  (5, 25 ) .
(55) Toque ahora la flecha ► del controlador varias veces y alterne
tocando la flecha ▲.
 Observará que el cursor
se desplaza sobre la curva donde se
encuentra. Observe que la dirección que sigue el cursor en su
desplazamiento, es la indicada por su vector director. Además
mientras el cursor se desplaza, se van mostrando los valores del
parámetro t (con un incremento de 0.25 (paso) en cada toque) y las
coordenadas del punto donde está posicionado el cursor.
 Si toca la flecha ◄ el cursor se desplaza en sentido contrario.
 Las funciones de desplazamiento del cursor también puede
realizarlas con la tecla elíptica de la calculadora.
17.
Figura 16
a) ¿Cuáles son las paramétricas de la recta imagen T(R) ?
b) Indique cuál es el vector director de T(R) e indique un punto por donde pase.
c) Demuestre que la imagen mediante esta transformación lineal de toda recta, es también una
recta.
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18.
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Práctica 10
Encuentre la imagen mediante T de la circunferencia C de ecuación x 2  y 2  4 .
x  2 cos t
; 0  t  2 son ecuaciones paramétricas de C. Para hallar la gráfica
Las ecuaciones C : 
 y  2sent
de C y de T(C) se procede de manera análoga al caso de la recta R.
(56) En el panel de iconos toque [ESC].
(57) En la barra de menús toque
para activar la ventana del editor de
gráficos. Toque
para maximizar la ventana.
(58) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el editor.
(59) Toque
[Preferencias ►] [Configuración ►] [Formato básico].
(60) En el cuadro de diálogo toque la pestaña [Común]. En el recuadro
[Ángulo] toque el botón
y seleccione [Radián] y confirme tocando
[Def.].
Figura 17
 Esto configura la unidad angular en radianes.
(61) Active el teclado matemático mth y toque
.
(62) Ubique el cursor en la línea de edición y1:. Toque [Tipo] [Tipo de
parámetro] y registre la primera ecuación de C. Toque
.
(63) Ubique el cursor en la línea de edición yt1: y registre la segunda
ecuación de C. Toque
.
(64) Toque
para acceder directamente a la ventana de visualización.
(65) En el cuadro de diálogo toque [Memoria] [Inicial] para elegir la ventana
estándar.
Figura 18
 Al elegir esta ventana se configuran automáticamente los siguientes
ajustes:
Mín. x: – 7.7; máx. : 7.7; escala: 1; Mín. y: – 8.8; máx. : 8.8; escala: 1;
Mín. t: 0 ; máx. : 2.
(66) Toque [Acep.].
 Para registrar las ecuaciones paramétricas de T(C) tenga presente
que:
2 cos( t) 3 2  2 cos( t) 6 cos( t)  4sen(t)
T




 2sen(t)  3  2  2sen(t)  6 cos( t)  4sen(t)
(67) Registre las ecuaciones paramétricas de T(C) en el editor de gráficos.
(68) Toque
para graficar T y T(C) .
(69) Toque
para maximizar la ventana de gráficos.
19.
Figura 19
a) ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la elipse T(C) ?
Prof. Robinson Arcos
113
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 10
b) ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la elipse T(C) ?
c) Utilice el comando [Trazo] para activar el cursor de posición. Ubique el cursor sobre la elipse
y desplácelo sobre la curva. Esto le permitirá indicar:
i)
Las coordenadas de los vértices:
A partir de i) determine:
ii) Las longitudes de los semiejes menor y mayor:
iii) Las ecuaciones cartesianas del eje focal y del otro eje de simetría:
iv) Las coordenadas de los focos.
d) Trace el eje focal y el otro eje de simetría. ¿Es correcta su intuición?
2 
 1
Estudiaremos ahora la transformación lineal T : R 2  R 2 definida por T(X) = MX donde M  

2

4 

20.
2  x 
x   1
Para la transformación lineal T : R 2  R 2 definida por T    
 :
 y   2  4   y
a) Demuestre que el núcleo de T es una recta que pasa por el origen y encuentre su ecuación
vectorial.
b) Demuestre que la imagen de T es también una recta que pasa por el origen y encuentre su
ecuación vectorial.
c) Trace la gráfica del núcleo de T y su imagen. Utilice los siguientes ajustes en la ventana de
visualización:
Min x: – 7; max: 7; escale:1; Min y: – 9; Ymax: 9; escale: 1; Min t: – 3; máx: 3.
Utilice el comando [Trazo] para deslizar el cursor sobre el núcleo de T, luego hágalo saltar
para observar la imagen del núcleo ¿Qué deduce?
d) Borre las gráficas anteriores y trace la gráfica de la circunferencia x 2  y 2  4 y la gráfica de
su imagen. Ajuste sólo Min t: 0; máx: 2  . Alterne y deslice el cursor sobre las gráficas.
¿Qué observa?
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Práctica 10
e) ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la recta imagen?
f)
Borre la gráfica anterior y trace la gráfica de la circunferencia
x 2 y2

 1 y la gráfica de su
4
16
imagen. ¿Qué observa?
g) ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la recta imagen?
h) ¿Qué deduce de lo encontrado y observado en d), e), f) y g)?
21.
a) Ecuación vectorial de la recta núcleo de T:
b) Ecuación vectorial de la recta Imagen de T:
c) ¿Qué deduce?
d) ¿Qué observa?
e) Ecuación cartesiana de la recta imagen:
f)
¿Qué observa?
g) Ecuación cartesiana de la recta imagen:
h) ¿Qué deduce de lo encontrado y observado en d), e), f) y g)?
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