Download Datos cuantitativos: son datos continuos que tienen escala numérica.

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA
PROGRAMA DE FORMACIÓN GESTIÓN AMBIENTAL
UNIDAD CURRICULAR: ANÁLISIS DE DATOS ESTADÍSTICOS
ANÁLISIS DE DATOS ESTADÍSTICOS
Elaborado por:
Prof. Ing. Escalona Zuleima
Prof. Ing. Mejías Sandra
Prof. Ing. Quintero Natacha
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?
1) La Estadística es una Ciencia derivada de la Matemática que estudia los
métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos; así como para
sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis. En
un sentido menos amplio, el término Estadística se usa para denotar los propios datos,
o números derivados de ellos, tales como los promedios. Cuando coloquialmente se
habla de estadística, se suele pensar en una relación de datos numéricos presentada
de forma ordenada y sistemática.
2) La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger,
clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la
variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de
realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y
en su caso formular predicciones.
3) Conjunto de métodos que nos permiten tomar decisiones en momentos de
incertidumbre (duda). Tiene como objetivo que la información existente se comprenda
más fácilmente y poder hacer en base a ellas inferencias, (decidir y predecir) sobre una
población estudiada.
4) "La estadística es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los
fenómenos de masa o colectivo, cuya mediación requiere una masa de observaciones
de otros fenómenos más simples llamados individuales o particulares". (Gini, 1953.)
5) Murria R. Spiegel, (1991) dice: "La estadística estudia los métodos científicos
para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones
válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis".
6) "La Estadística se podría definir como aquel método que permite no solo
describir el hecho o fenómeno, sino deducir y evaluar conclusiones acerca de una
población “ (Ciro M. Bencardino,2001)".
Cualquiera que sea el punto de vista, lo fundamental es la importancia científica
que tiene la estadística, debido al gran campo de aplicación que posee. Por ejemplo,
se podría determinar quien, de entre los miembros de la población de la península de
Paraguaná, va a encontrar trabajo o a quedarse sin él; o en cuales miembros va a verse
aumentada o disminuida una familia en concreto en los próximos meses. Por otra parte,
puede proporcionar estimaciones fiables del próximo aumento o disminución de la taza
de desempleo referido al conjunto de la población; o de la posible variación de los
índices de natalidad o mortalidad. En materia ambiental, la conexión entre el fenómeno
de El Niño y la sequía en el noreste de Brasil o el sur de África es fundamentalmente
estadística. En esos casos, las estadísticas ayudan a establecer la probabilidad de los
impactos regionales de El Niño, pero no explican por qué tienen lugar esos impactos.

¿Qué es “El Niño”?

¿Por qué la estadística por sí sola no puede explicar el origen de los
impactos regionales de El Niño?

¿Cuál es la utilidad de las predicciones de los resultados de un estudio
estadístico?
¿Por qué es importante el
análisis de datos estadísticos
en el estudio del Programa
Gestión Ambiental?
Actividad Nº1.
Formule tres ejemplos en dónde la estadística resulte fundamental, bajo el enfoque de
la Gestión Ambiental.
De acuerdo a los gráficos observados a continuación, sobre el movimiento de los
embalses en Falcón, interprete el comportamiento de los mismos en los últimos años.
Gráfico Nº1. Movimiento del embalse Barrancas ubicado en Estado Falcón desde Enero 1999 hasta Agosto 2003
1999
2000
2001
Fuente. Superintendencia de Operaciones de Hidrofalcón, C.A., Agosto 2003.
2002
2003
Gráfico Nº2. Movimiento del embalse El Hueque ubicado en el Estado Falcón desde Enero 1999 hasta Agosto 2003
1999
2000
2001
Fuente. Superintendencia de Operaciones de Hidrofalcón, C.A., Agosto 2003.
2002
2003
Gráfico Nº3. Movimiento del embalse El Isiro ubicado en el Estado Falcón desde Enero 1999 hasta Agosto 2003
2001
1999
2000
Fuente. Superintendencia de Operaciones de Hidrofalcón, C.A.
Fuente. Superintendencia de Operaciones de Hidrofalcón, C.A., Agosto 2003.
2002
2003
CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA
Estadística descriptiva
Estadística
Estadística Inferencial
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA:
1) Analiza metódicamente los datos, simplificándolos y presentándolos en
forma clara; eliminando la confusión característica de los datos preliminares. Permite
la elaboración de cuadros, gráficos e índices claros, para el resumen de los datos
masivos. Se limita a describir los datos que se analizan, sin hacer inferencias en
cuanto a datos no incluidos en la muestra.
2) Es la rama de la estadística que describe, analiza y representa un grupo de
datos utilizando métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan la
información contenida en ellos.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL:
1) Es la rama de la estadística que se apoya en el cálculo de probabilidades y
a partir de datos muestrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras
generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos. Su objetivo de estudio es
derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos más amplio.
2) Provee conclusiones o inferencias, basándose en los datos simplificados y
analizados; detectando las interrelaciones que pueden unirlos, las leyes que los
rigen y eliminando las influencias del azar; llegando más allá de las verificaciones
físicas posibles. Sobre la base de la muestra estudiada saca conclusiones, o sea,
hace inferencia o inducción, en cuanto al universo o población, de donde se obtuvo
dicha muestra.
FINALIDAD DE LA ESTADÍSTICA
Generalmente, la finalidad de la estadística es
suministrar información y su utilidad básicamente
depende del fin que se proponga y del método de
recolección de datos. Entre algunos de los aspectos
encontrados para los cuales la estadística tiene alguna
importancia, se mencionan los siguientes:

Obtener conclusiones de una muestra estudiada, para hacerlas extensivas a
una población. Al realizar
mediciones en una muestra, los resultados
obtenidos, pueden ser considerados como el comportamiento que se
obtendría si se hubiera trabajado con todos los elementos que constituyen la
población, de la cual se extrajo la muestra.

Conocer la realidad de una observación o fenómeno. Cuando se cuantifica un
fenómeno se determina su situación actual; es así como al poseer
información diaria, mensual, anual sobre la producción de un producto, se
sabrá si se está cumpliendo con la producción programada, o por lo contrario,
está por debajo o por encima de nuestra programación, lo cual afectará los
inventarios, las ventas, la existencia de la materia prima, etc.

Determinar lo típico o normal de esa observación. Cuando se cuantifica la
característica de un fenómeno, se obtiene un valor denominado promedio,
siendo ésta la forma de referirnos al grupo, cuantificando así su
comportamiento. Al decir que el promedio de unidades importadas, de una
semilla X, en 30 parcelas sembradas, en el mes de abril fue de 2000
unidades, es una manera de determinar el comportamiento del grupo, cabe
señalar que este valor del conjunto no significa que las 30 parcelas
importaron 2000 unidades, quizás algunos más, otros menos, pero el
promedio fue de 2000 unidades.

Relacionar dos o más fenómenos. Desde el punto de vista de correlación, se
puede determinar si existe una relación válida entre dos o más características
de una misma observación, o entre dos o más fenómenos. Tal es el caso de
la relación de ingresos y gastos para un grupo de familias o la relación entre
unidades producidas, vendidas y el precio.

Determinar las causas que originan el fenómeno. Los cambios que se
observan en un fenómeno pueden tener una o varias causas de origen. El
aumento de las exportaciones de un artículo puede ser causado por un
mejoramiento del precio en el mercado externo, por un volumen de
producción superior a la demanda interna o por otras causas que producen
variaciones en el comportamiento del fenómeno.

Determinar los cambios que representa el fenómeno. Cualquier fenómeno de
carácter estadístico presenta variaciones a través del tiempo, pero requiere
una observación continua para poder determinar la magnitud del cambio. La
demanda, producción, ventas precios son fenómenos que constantemente
registran cambios que deben ser tenidos en cuenta por la administración de
una empresa.
Además de lo planteado anteriormente, la estadística facilita una serie de
instrumentos o técnicas que, al ser aplicadas correctamente, permiten determinar
el grado de validez y confiabilidad, ya sea de las predicciones o de las
conclusiones obtenidas a partir de muestras.
INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
La investigación estadística, por sencilla que parezca, es
una operación compleja, que demanda considerar diversos
factores. El resultado depende en gran parte de la finalidad que
se persiga, de la naturaleza de los fenómenos que se desean
estudiar y la facilidad con que pueden observarse los
elementos.

ETAPAS DE UNA INVESTIGACIÓN
PLANTEAMIENTO
En un plan de investigación, es importante definir y organizar previamente
cada una de las actividades señaladas para alcanzar los objetivos propuestos. En
esta fase se consideran generalmente los aspectos mencionados a continuación,
cabe señalar que no todos los proyectos de investigación presentan los mismos
esquemas para todos puesto que cada uno deberá ajustarse a la necesidad de cada
uno de ella y según el contexto lo requiera.
OBJETO DE LA INVESTIGACIÓN
Es necesario al comienzo de la investigación, identificar con claridad el fin que
se persigue, formulando el problema de manera tal que se definan cual es el objetivo
general y los objetivos específicos.
En esta fase deben contestarse Interrogantes como ¿Qué se va a investigar?
¿Cómo se va a realizar? ¿Dónde se realiza? (Lugar, zona, localidad).
UNIDAD DE INVESTIGACIÓN
Es la fuente de información, es decir, a quién va dirigida la investigación, la
cual puede ser una persona, una familia, una vivienda, una industria, una
explotación agrícola y su determinación depende del objeto de la investigación.
CLASES DE ESTUDIO
Por
otra
parte,
hay que
determinar que
tipo
de
investigación se va a realizar:
a. Investigación descriptiva.
b. Investigación experimental o investigación controlado.
c. Investigación explicada o analítica.
REVISIÓN DE LA DOCUMENTACIÓN Y METODOLOGÍA
Se requiere determinar si la investigación ha sido
realizada con anterioridad, con el fin de prescindir del
estudio; averiguar si se cumplió el objetivo propuesto y si la
información está actualizada. En caso contrario, habrá
necesidad de realizar, tratando de solucionar las dificultades
que presentaron en la anterior, en razón a un mayor
conocimiento sobre la población objetivo y, además procurando un mejoramiento en
la metodología utilizada.
MÉTODO DE OBSERVACIÓN
Una vez planteado el objetivo de una investigación,
definida las unidades o unidad y efectuado la revisión
correspondiente, seguidamente se deberá escoger el método
que se aplicará, y decidir si se tomará toda la población o sólo
una parte de ella. La selección del método depende
básicamente de factores como: Tiempo disponible, recursos
humanos y financieros, finalidad y alcance de la investigación, grado de variabilidad,
limitaciones, entre otros.
MUESTREO
Generalmente existen más de un método de muestreo, para su selección se
podrán considerar aspectos como: Grado de precisión requerida para los
estimadores, tamaño de muestra, costo y tiempo.
PROCESO DE RECOLECCIÓN
En el proceso de recolección encontramos métodos básicos como las
encuestas, cuestionarios, entrevistas, observación, etc.
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Consiste en la planificación de las diferentes etapas esenciales
del proyecto con sus respectivas fechas de inicio y culminación, con la
finalidad de proporcionar un seguimiento estratégico al cumplimiento de
cada uno de los objetivos planteados dentro del tiempo programado.
PREPARACIÓN DE LOS FORMULARIOS
Durante esta fase es primordial la elaboración seria de cuestionarios,
encuestas, censos, entrevistas según sea el método seleccionado y las unidades o
unidad de investigación, tomando en cuenta en cada caso la pertinencia sobre el uso
de estos a cada investigación planteada y por supuesto, el fin que esta persigue.
Tomando en cuenta los aspectos materiales, técnicos, etc.
RECOLECCIÓN
En esta etapa se debe verificar, en primer lugar, la calidad de la información
obtenida. La sistematización del trabajo de campo
siguientes:

Supervisión.

Control de encuestas.

Revisión de los cuestionarios inconclusos.

Calidad y consistencia de las respuestas.

Cumplimiento de los plazos prefijados.

Distribución de los entrevistadores.
se basa en los criterios
Entre las fuentes de error que pueden presentarse en la etapa de recolección,
encontramos:

Errores en la medición o cuantificación de las características.

Errores del entrevistador o influencia negativa del mismo.

Mal diseño del cuestionario, encuesta, etc. (material aplicado).

Falta de instrucciones imprecisas.
ACTIVIDAD
Mencione algunos casos que pudieran afectar el proceso
de recolección de datos y que afectan los resultados. Dé
una sugerencia para cada caso de cómo pueden
corregirse o evitarse.
PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS:
Una vez obtenida la información, esta debe ser depurada, clasificada,
resumida y analizada, con las técnicas adecuadas según el caso lo requiera. Los
puntos más imperantes en esta etapa son la codificación, tabulación, presentación
de resultados análisis e interpretación, informe y publicación.







Planeamiento
Recolección
Formulario




Procesamiento y
Análisis
ARCHIVOS
Distribución de material
Recolección
Observación
Control y verificación del número de formularios y calidad de
la información
Crítica
Formulario
Objetivos de la investigación
Métodos de investigación
Proceso de recolección
Calendario de trabajo
Selección de la población y muestra
Revisión bibliográfica
Diagnóstico preliminar
Formulario
Codificación,
clasificación y
recuento
Revisión y análisis
Informe y
publicación
Figura 1.1. Etapas básicas de una investigación. (Ciro M. Bencardino, 2001).
CONCEPTOS BÁSICOS EN ESTADÍSTICA
POBLACIÓN (N) :
Grupo de individuos a los que se desea extrapolar o aplicar los resultados de
una investigación. Es cualquier colección completa de individuos u objetos que
poseen alguna característica observable, la cual se desea estudiar.
MUESTRA:
1) Conjunto de objetos ó mediciones seleccionadas de una población de
interés.El concepto de muestra no es nuevo para nosotros, porque lo utilizamos en
nuestras actividades diarias: nos formamos una opinión de las personas cuando
tenemos solamente una o dos conversaciones, probamos un trozo de comida antes
de ordenar una mayor cantidad.
2) Una muestra es un subgrupo de población que debe representar a todo el
grupo.
Cada individuo puede ser descrito mediante uno o varios caracteres. Por
ejemplo, si los individuos son personas, el sexo, el estado civil, el número de
hermanos o su estatura son caracteres. Y si el individuo es una reacción química, el
tiempo de reacción, la cantidad de producto obtenido o si éste es ácido o básico
serán posibles caracteres que pueden analizarse.
Un caracter puede ser cuantitativo si es medible numéricamente o cualitativo
si no admite medición numérica. El número de hermanos y la estatura son
caracteres cuantitativos mientras que el sexo y el estado civil son caracteres
cualitativos.
Los distintos valores que puede tomar un carácter cuantitativo
configuran una variable estadística. La variable estatura, en cierta población
estadística, toma valores en el intervalo 1.47m – 2.05m; y la variable número de
hermanos toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Una variable estadística como
esta última es discreta, ya que sólo admite valores aislados. Una variable estadística
es continua si admite todos los valores de un intervalo, como ocurre con estatura.
MUESTREO
Esto no es más que el procedimiento empleado para obtener una o más
muestras de una población. Es efectuado una vez que se ha establecido un marco
muestral representativo de la población, para luego proceder a la selección de los
elementos de la muestra, este trabajo debe ser minucioso debido a la diversidad
existentes en los diseños de la muestra.
Es importante considerar que al tomar varias muestras de una población, las
estadísticas que se aplica a cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo
más probable es que varíen de una muestra a otra.
Ejemplo: Supongamos que se ha seleccionado como una población a estudiar, a los
habitantes del sector 4 del Eje Antiguo Aeropuerto del municipio Carirubana del
Estado Falcón, determinando por lo menos cuatro caracteres ser estudiados en
dicha población;

Edad.

Sexo.

Nivel de instrucción.

Estado Civil.
TAMAÑO DE LA MUESTRA:
Cantidad de datos que serán extraídos de la población para formar parte de la
muestra. Al recoger datos relativos a las características de un grupo de individuos u
objetos, suele ser imposible o nada práctico observar todo el grupo, en especial si es
muy grande. En vez de examinar el grupo entero, llamado población o universo, se
examina una pequeña parte del grupo, llamada muestra.
TIPOS DE MUESTRA:
MUESTRA ALEATORIA O PROBABILÍSTICA:
1) Es una muestra donde todos los elementos de la población tienen la misma
probabilidad de ser seleccionados; es decir, son seleccionados al azar.
2) Muestra seleccionada de una población de interés en la cual, cada uno de
los elementos que la componen tienen la misma posibilidad de participar en la
muestra.
MUESTRA ESTRATIFICADA:
Es aquella muestra para la cual se divide la población en subpoblaciones
(estratos). Entonces se toma una muestra aleatoria simple de cada uno de estos
estratos. La colección de todas las muestras de los estratos nos da como resultado
una muestra estratificada. Los estratos se seleccionan de acuerdo con los valores
conocidos de alguna variable de manera que hay poca variabilidad entre los
miembros de un estrato particular, pero que haya diferencias (grandes) entre los
distintos estratos.
MUESTRAS INDEPENDIENTES:
Muestras seleccionadas de forma que no exista ninguna relación entre sus
miembros. No hay ninguna relación en observaciones entre las muestras.
MUESTRA CON REEMPLAZO:
Es una muestra donde cada elemento observado de la población se devuelve
a la misma y tiene misma la probabilidad de ser observado nuevamente.
MUESTRA POR CONGLOMERADO:
Suponemos que la población se puede dividir en grupos llamados
conglomerados. Suponemos que cada conglomerado es representativo de la
población. Se toma una muestra aleatoria de conglomerados y luego una muestra
aleatoria de los miembros de cada conglomerado seleccionado. Por ejemplo, si
suponemos que cada Facultad en la universidad es representativa de la universidad
como un todo, seleccionamos Facultades al azar y luego allí seleccionamos al azar
miembros de cada una de las facultades seleccionadas.
MUESTRA POR CONVENIENCIA
Se seleccionan aquellos miembros de la población que están fácilmente
accesibles. Se usa cuando se quieren obtener resultados rápidamente.

VENTAJAS
o Costo de selección es pequeño.
o
Se producen resultados rápidamente.
o
Puede usarse para conocer posiciones generales, usualmente extremas de
la población.

DESVENTAJAS
o Es poco probable que la muestra seleccionada sea representativa de la
población.
o
No se puede establecer su confiabilidad ni margen de error.
o
No se puede inferir sobre la población a base de los resultados obtenidos.
MUESTRA REPRESENTATIVA:
Es una muestra que refleja las características de la población. Se comporta
estadísticamente como la propia población. La forma usual de seleccionarla es a
través de una muestra aleatoria.
MUESTRA SISTEMÁTICA:
Una población de tamaño N se divide entre el tamaño deseado de la muestra
n para obtener k grupos distintos. Seleccionamos al azar un elemento del primer
grupo y comenzando con ése, seleccionamos cada k-ésimo elemento. Es útil cuando
la población está dispuesta en algún orden o lista, tal como en la guía telefónica.
DATOS:
Son los valores cualitativos o cuantitativos mediante los cuales se miden las
características de los objetos, sucesos o fenómenos a estudiar. Valores que se
obtienen al observar directamente los resultados de una variable en la muestra o
población. Pueden ser numéricos o cualitativos.
Los datos estadísticos se obtienen mediante un proceso que comprende la
observación o medición de conceptos, los cuales reciben el nombre de variables.
TIPOS DE DATOS:
Dependiendo de su continuidad:

Datos Continuos: Tipo de datos con un número ilimitado de valores
espaciados uniformemente (ejemplo, la tensión arterial diastólica, la colesterolemia).

Datos no continuos o discontinuos.
Dependiendo de su naturaleza:

Datos cuantitativos: son datos continuos que tienen escala numérica.

Datos cualitativos: Son aquellos cuya escala de clasificación no es
numérica, por ejemplo: sexo, raza, estado civil, entre otros.
Dependiendo de la fuente de los mismos:

Datos primarios: Los datos primarios son datos originales recopilados
por el investigador especialmente para el proyecto y con las técnicas adecuadas al
objetivo de la investigación.
Fuentes de datos primarios: Existe tres métodos usados ampliamente para
coleccionar datos primarios: encuesta, entrevista, observación y experimentación.
Normalmente no se utilizan las tres en un proyecto. La elección del método estará
determinada por la disponibilidad de tiempo, dinero y recurso humano.
Método encuesta: una encuesta consiste en recolectar datos y medios de
entrevistas a un número limitado de personas (muestra) seleccionando de un grupo
más grande (población). Una encuesta tiene la ventaja de conseguir información de
la fuente original.
Método entrevista: es el método más ampliamente usado para la captura
primaria de datos; puede ser hecha personalmente por el investigador, por teléfono o
por correo. La entrevista individual es la más flexible porque el entrevistador puede
modificar las preguntas para ajustar la situación conforme se vaya desarrollando.
Las principales limitaciones del método de entrevista son su alto costo relativo, la
cantidad de tiempo necesaria para llevarla a cabo, y la posibilidad de cometer
errores durante su ejecución.
Método de observación: en el método de observación los datos son tomados
observando alguna acción, la información puede ser recolectada por observación
personal o mecánica.
Método experimental: El método experimental para conseguir datos primarios
requiere establecer un experimento controlado que simule la situación real tanto
como sea posible. Preparación de las formas para la recopilación de datos.

Datos secundarios: Los datos secundarios son aquellos datos que han
sido recolectados con algún otro propósito distinto a la investigación a realizar.
Tienen la ventaja de ahorra al investigador tiempo y recursos.
Fuentes de datos secundarios: bibliotecas, entidades gubernamentales,
empresas privadas, medios de comunicación social, entre otros.
ESPACIO MUESTRAL:
Es el conjunto de todos los resultados que se pueden obtener al realizar el
experimento.
PARÁMETRO:
Es la característica numérica correspondiente a la población.
Ejemplo:
Característica
Símbolo del Parámetro
Media
µ
Desviación Estándar
σ
Varianza
σ2
ESTADÍSTICO:
Es la característica numérica correspondiente a la muestra.
Ejemplo:
Característica
Símbolo del Estadístico
Media
X
Desviación Estándar
s
Varianza
s2
PRECISIÓN Y EXACTITUD:
Decimos que una medida (o un instrumento para medir) tiene la propiedad de
exactitud cuando las observaciones que tomamos se distribuyen alrededor del valor
"real". El valor "real" es usualmente un parámetro de la población cuyo valor es
usualmente desconocido, tal como la media poblacional. Un estimador de un
parámetro es exacto cuando es insesgado, por ejemplo, la media muestral es un
estimador exacto (insesgado) para la media poblacional.
Decimos que una medida (o un instrumento para medir) es precisa cuando
tomamos observaciones repetidas y obtenemos valores cercanos entre sí. Es decir,
la dispersión (desviación estándar, varianza) entre las observaciones es pequeña, se
acerquen o no al valor "real". El valor real es un parámetro de la población cuyo valor
es usualmente desconocido, tal como la media poblacional.
TIPOS DE DESVIACIONES
Y

son
SISTEMÁTICAS:
FUENTES DE ERRORES:
aquellas
desviaciones
que
se
presentan
invariablemente en el proceso de medición y que son atribuibles al método o a los
instrumentos utilizados para la realización de la misma; por ejemplo las fallas en la
calibración de los instrumentos. Por ejemplo, pensemos en un reloj que atrasa o
adelanta, o en una regla dilatada, el error de paralaje, etc. Los errores introducidos
por estos instrumentos o métodos imperfectos afectarán nuestros resultados
siempre en un mismo sentido.
La única manera de detectarlos y corregirlos es comparar nuestras
mediciones con otros métodos alternativos y realizar un análisis crítico y cuidadoso
del procedimiento empleado. Es aconsejable intercalar en el proceso de medición
patrones confiables que permitan calibrar el instrumento durante la medición. Los
errores sistemáticos afectan directamente a la exactitud de una medición.

ALEATORIOS: son las desviaciones producto del azar; es decir, se
presentan sin ningún patrón y pueden ser atribuibles a errores del investigador o a
causas externas extraordinarias al proceso de medición como variaciones fortuitas
en el instrumento usado, operador, método, etc. Pueden ser detectados a través de
los resultados de una serie de mediciones, aún cuando éstas sean realizadas por un
mismo operador, instrumento y en condiciones similares. Estas desviaciones son a
veces positiva y a veces negativas.
Tienen origen en la imposibilidad de controlar todas las variables que afectan
a las mediciones. Por tanto estos errores no son evitables ni previsibles por parte del
operador; pero trabajando en condiciones controladas y tomando ciertas
precauciones es posible reducir estas variaciones en mediciones sucesivas.
Los errores aleatorios, siguen con bastante aproximación la distribución
normal, y por lo tanto pueden tratarse estadísticamente. De un número de datos o
resultados el analista puede cuantificar la incertidumbre introducida por estas
variaciones aleatorias y estimar como afecta a los resultados. Este error afecta a la
precisión de una serie de mediciones determinadas.
Adicionalmente, también es posible hablar de “Errores ilegítimos o espurios”.
Supongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esférico y para ello
determinamos su diámetro. Si al introducir el valor del diámetro en la fórmula, nos
equivocamos en el número introducido, o lo hacemos usando unidades incorrectas,
o bien usamos una expresión equivocada del volumen, habremos cometido un error.
Este error está más asociado al concepto convencional de equivocación y los
designamos como ilegítimos o espurios. A este tipo de errores no se aplica la teoría
estadística de errores y el modo de evitarlo consiste en una evaluación cuidadosa de
los procedimientos realizados en la medición.
RECOLECCIÓN DE DATOS.
Los datos necesarios para la investigación estadística pueden obtenerse a
través de diferentes fuentes: primarias y secundarias, oficiales y privadas. Son
fuentes primarias, la persona o institución que ha recolectado los datos, y
secundarias si la persona o agencia que ha publicado los datos no es la que ha
efectuado la investigación.
La recolección real de los datos se puede hacer de las siguientes formas:
a)
Entrevista personal: consiste en que el entrevistador formule una serie
de preguntas, necesarias sobre la investigación, al investigado. Permite obtener
respuestas más precisas ya que se está en contacto directo con el entrevistado,
pero presenta como limitaciones un alto costo, ya que se requiere un gran número
de agentes que deben poseer una preparación especial.
b)
Cuestionario por correo: consiste en enviar por esa vía la lista de
preguntas, con sus respectivas instrucciones, a las personas que
se van a investigar. Tiene la ventaja de brindar mayor comodidad y
tiempo para responder las preguntas, a la vez puede resultar una
desventaja
cuando
no
son
devueltos
oportunamente
los
cuestionarios repartidos, alargando el tiempo de duración de la investigación.
c)
Entrevista por teléfono: consiste en telefonear al entrevistado para
formularle las pregunta necesarias. Permite realizar la investigación
en un tiempo relativamente corto, aunque presenta la desventaja de
reducir el número de preguntas a formular, y a su vez no existe forma
de descubrir las respuestas falsas.
d)
Observación directa: consiste en obtener los datos y elementos de
juicio a través de personal especializado directamente sobre el terreno, sin la
necesidad de formular preguntas. Este método puede dar resultados aceptables y
objetivos siempre que se evite la faceta humana y subjetiva del investigador.
ORDENACIÓN DE DATOS.
Una ordenación es la forma más simple de organizar o agrupar los datos,
consiste en disponerlos por orden de su magnitud ya sea en forma creciente o
decreciente. A continuación se presenta una serie de datos en forma primitiva que
luego se agrupan en forma de ordenamiento.
PORCENTAJES DE ÁREAS NO CULTIVADAS EN 29 ZONAS AGRÍCOLAS
2,61
2,29
2,61
1,93
1,97
3,92
4,38
2,57
3,27
2,14
3,21
2,95
3,16
2,74
2,57
2,24
3,05
3,55
1,75
3,94
3,40
1,85
3,93
3,98
5,76
2,55
3,67
1,89
3,28
6,25
2,61
2,74
2,95
3,05
3,16
3,21
3,27
3,28
3,40
3,55
3,67
3,82
3,92
3,93
3,94
4,38
5,76
6,25
A. En forma ordenada
1,75
1,85
1,89
1,93
1,97
2,14
2,24
2,29
2,55
2,57
2,57
2,61
Este ordenamiento permite apreciar los valores del menor (1,75) y mayor
(6,25) porcentaje de áreas cultivadas y que hay algunos porcentajes que se repiten.
El ordenamiento resulta desventajoso cuando el número de datos a organizar
es muy grande, por ejemplo que exceda de 100.
MEDICIONES
En forma general, la medición es la asignación de números a elementos u
objetos para representar o cuantificar una propiedad. Por medio de la medición, los
atributos de nuestras percepciones se transforman en entidades conocidas y
manejables llamadas "números".
NIVELES O ESCALAS DE MEDICIONES
Escala Nominal: consiste en la asignación, puramente arbitraria de palabras,
letras, números o símbolos a cada una de las diferentes categorías en las cuales
podemos dividir el carácter que observamos, sin que puedan establecerse
relaciones entre dichas categorías; la única relación que puede haber entre los
valores que toma una variable son los de “igual” o “diferente”.
Se trata de agrupar objetos en clases, de modo que todos los que
pertenezcan a la misma sean equivalentes respecto del atributo o propiedad en
estudio, después de lo cual se asignan nombres a tales clases, y el hecho de que a
veces, en lugar de denominaciones, se le atribuyan números, puede ser una de las
razones por las cuales se le conoce como "medidas nominales".
Por ejemplo, podemos estar interesados en clasificar los estudiantes de la
Universidad Bolivariana de Venezuela Sede Falcón de acuerdo a los programas de
formación de grado que cursan.
PROGRAMA DE FORMACIÓN DE
GRADO
DENOTACIÓN ASIGNADA A LA
CATEGORÍA
Ciencias Jurídicas
1
Comunicación Social
2
Gestión Ambiental
3
Gestión Social
4
Informática
5
Se ha de tener presente que los números asignados a cada categoría sirven
única y exclusivamente para identificar la categoría y no poseen propiedades
cuantitativas; es decir, Informática (5) no es mayor que Comunicación Social (2).
Otros ejemplos son la escala correspondiente al sexo (“M” o “F”), y la de la
religión (Budista, católico, judío, entre otros).
Escala Ordinal: en caso de que puedan detectarse diversos grados de un
atributo o propiedad de un objeto, la medida ordinal es la indicada, puesto que
entonces puede recurrirse a la propiedad de "orden" de los números asignándolo a
los objetos en estudio de modo que, si la cifra asignada al objeto A es mayor que la
de B, puede inferirse que A posee un mayor grado de atributo que B.
La asignación de números a las distintas categorías no puede ser
completamente arbitraria, debe hacerse atendiendo al orden existente entre éstas.
Por eso, la escala ordinal además de indicar “igual o “diferente” también jerarquiza,
es posible determinar cual va antes y cual después.
Los caracteres que posee una escala de medida ordinal permiten, por el
hecho mismo de poder ordenar todas sus categorías, el cálculo de las medidas
estadísticas de posición, como por ejemplo la mediana.
Por ejemplo: al asignar un número a los pacientes de una consulta médica,
según el orden de llegada, estamos llevando una escala ordinal, es decir que al
primero en llegar ordinal, es decir que al primeo en llegar le asignamos el nº 1, al
siguiente el nº 2 y así sucesivamente, de esta forma, cada número representará una
categoría en general, con un solo elemento y se puede establecer relaciones entre
ellas, ya que los números asignados guardan la misma relación que el orden de
llegada a la consulta.
Escalas de intervalos iguales: se caracteriza por una unidad de medida
común y constante que asigna un número igual al número de unidades equivalentes
al de la magnitud que posea el elemento observado. Es importante destacar que el
punto cero en las escalas de intervalos iguales es arbitrario, y no refleja en ningún
momento ausencia de la magnitud que estamos midiendo. Esta escala, además de
poseer las características de la escala ordinal, encontramos que la asignación de los
números a los elementos es tan precisa que podemos determinar la magnitud de los
intervalos (distancia) entre todos los elementos de la escala. Sin lugar a dudas,
podemos decir que la escala de intervalos es la primera escala verdaderamente
cuantitativa y a los caracteres que posean esta escala de medida pueden
calculársele todas las medidas estadísticas a excepción del coeficiente de variación.
Por ejemplo: el lapso transcurrido entre 1998-1999 es igual al que transcurrió
entre 2000-2001, o la escala de la temperatura en grados Centígrados.
Escala de coeficientes o Razones: es el nivel de medida más elevado, y se
diferencia de las escalas de intervalos iguales únicamente por poseer un punto cero
propio como origen; es decir que el valor cero de esta escala significa ausencia de la
magnitud que estamos midiendo. Si se observa una carencia total de propiedad, se
dispone de una unidad de medida para el efecto. A iguales diferencias entre los
números asignados corresponden iguales diferencias en el grado de atributo
presente en el objeto de estudio. Además, siendo que cero ya no es arbitrario, sino
un valor absoluto, podemos decir que A tiene dos, tres o cuatro veces la magnitud
de la propiedad presente en B. En conclusión, en esta escala tienen sentido las
igualdades, las relaciones de orden, diferencias, sumas, restas, proporciones o
múltiplos.
Por ejemplo: en una encuesta realizada en un barrio de esta localidad se
observó que hay familias que no tienen hijos, otras tienen 6 hijos que es
exactamente el doble de hijos que aquellas que tienen 3 hijos. En esta escala
también se incluyen las magnitudes físicas (masa, tiempo, longitud, fuerza, entre
otras).
Escala Absoluta: es la escala que organiza datos generados por un conteo,
como por ejemplo: número de casas en un barrio, número de estudiantes en una
sección de Gestión Ambiental, entre otras.
ELABORACIÓN DE TABLAS O CUADROS.
Para elaborar las tablas, lo primero que debe hacerse es identificar los
caracteres o características que se investigaron, lo que permite una mejor
clasificación de lo investigado. Las características de un fenómeno pueden ser:
cualitativas y cuantitativas.
Las características cualitativas, denominadas también atributos, son todas
aquellas que se pueden describir con palabras. Por ejemplo: las ventas (en valor o
cantidad) clasificadas por sucursales (tabla 1), por días, meses, etc., los empleados
de una empresa clasificados por cargos (tabla 2).
Tabla 1
Ventas mensuales por sucursal
SUCURSALES
Centro
Chanpinero
Chicó
Lago
Quiroga
Restrepo
Total
$ MILLONES
220
80
160
312
54
42
868
Tabla 2
Clasificación de empleados por cargo
CARGOS
Administrador
Celador
Contador
Secretaria
Supervisor
Vendedor
Total
CANTIDAD
1
8
2
3
5
36
55
Las características cuantitativas, denominadas también variables, son
aquellas susceptibles de ser expresadas numéricamente.
Algunos ejemplos de
variables son: el número de viajes, en el mes, realizado por buses de servicio
público (tabla 3); el número de sucursales por volumen de ventas (tabla 4).
Tabla 3
Clasificación de buses públicos de
acuerdo con el número de viajes.
Nº VIAJES
MENSUALES
130
133
138
150
156
160
Total
Nº
VEHÍCULOS
15
32
36
42
38
35
198
Tabla 4
Clasificación de almacenes según
valor de las ventas en un mes.
VENTAS
(Miles Millones $)
120 – 160
161 – 300
301 – 500
501 – 800
801 – 1000
1001 – 5000
Total
Nº
ALMACENES
412
279
96
54
38
24
903
Las variables se clasifican a su vez en discretas y continuas.
Las variables discretas son aquellas en las que entre dos de cualquiera de
sus valores no existe ningún otro; es decir, son las variables cuya naturaleza toma
un número finito de valores enteros. Sólo admiten valores numéricos enteros; por
ejemplo: la clasificación de las fábricas según el número de máquinas; en ellos no se
presentan fracciones de máquinas.
El conjunto de valores que podría de tomar una variable discreta puede ser
finita o infinita numerable.
Las variables continuas son las que pueden admitir valores fraccionados. Son
consideradas como tales las expresadas en forma de medidas de superficie, peso,
longitud, volumen, tiempo, temperatura, valor. Además, las expresadas en medidas
de relación, tales como porcentajes, tasas, puntuaciones.
Las variables continuas son aquellas variables cuantitativas que puede tomar
cualquier valor dentro de un intervalo (éste será finito o infinito). Es decir, permiten
una infinidad de valores dentro de un intervalo. Pueden adoptar una clasificación
igual a la discreta, pero su presentación tendría el inconveniente de hacerse
demasiado larga, dificultando la aplicación de alguna de las medidas estadísticas.
Por tal razón, en la variable continua, se elaboran intervalos con lo cual se simplifica
su ordenamiento y presentación.
Las variables también pueden ser clasificadas en cualitativas o cuantitativas,
y, en dependientes e independientes.

Variable cualitativa: Son aquellas variables cuyas modalidades de
clasificación son no numéricas.

Variable cuantitativa: Son las variables relativas a una población que se
expresan en cantidades numéricas, pueden ser continuas o discretas, las primeras
originan medidas y las segundas recuentos o intervalos.

Variable Dependiente: Es la variable del desenlace de interés en
cualquier tipo de estudio. El desenlace o resultado que el investigador pretende
explicar o estimar.

Variable Independiente: Variable que se mide para determinar el valor
correspondiente de la variable dependiente en cualquier tipo de estudio. Las
variables independientes definen las condiciones bajo las cuales se examinará la
variable dependiente.
La tabla 3 corresponde a una variable discreta ya que no se puede fraccionar
el número de viajes; en la tabla 4 se presenta una variable continua, porque si se
admiten fracciones, como centavos.
Cuando se estudia o analiza una sola característica de los elementos
seleccionados en la investigación, se dice que la variable o el atributo corresponden
a una distribución unidimensional; si se trabaja con dos variables, dos atributos o
una variable y un atributo, se trata de distribuciones bidimensionales; y si se
estudian tres o más características simultáneamente, se habla de una distribución
pluridimensional o multidimensional.
Hay que recordar que las tablas o cuadros son arreglos sistemáticos de datos
y que su forma depende en gran medida del propósito para el cual fue diseñado, por
lo tanto no se tienen reglas fijas para la elaboración de los mismos, pero se tienen
algunas recomendaciones en forma general que han sido aceptadas, las cuales son:
I) Título:
A) Numeración del cuadro: cuando los cuadros forman parte de un texto o de
un grupo, deben ser numerados en la parte superior central de la hoja, ejemplo:
Cuadro 1, Cuadro 2, etc.
B) Se deben seguir los siguientes puntos:
1. Deben colocarse centrado en la parte superior del cuadro sin subrayar, y
usando letras mayúsculas para todo el enunciado.
2. Redactarse con claridad y que exprese concisamente los datos que se
presentan en el cuadro, y responda las siguientes interrogantes: Qué, cómo, dónde y
cuándo se hizo.
3. En general el orden del enunciado será el siguiente:
a) Referencia geográfica.
b) Naturaleza de los datos.
c) Referencia cronológica.
d) Detalle de las clasificaciones o unidades. Estas deberán
colocarse entre paréntesis y utilizando mayúsculas únicamente
al iniciar la palabra.
II) Encabezamiento: Contiene los títulos y subtítulos de las columnas. Se
puede colocar una columna para los totales, que puede estar ubicada al principio o
al final, de izquierda a derecha. Otra observación es que tanto el encabezado como
las diversas columnas deben separarse con rayas, cerrando el cuadro por la parte
superior e inferior con una raya gruesa o doble raya.
III) Columna matriz o principal: El arreglo puede realizarse de la siguiente
manera: a) cuando se trata de conceptos cualitativos, deberán ordenarse
alfabéticamente; b) cuando se trata de conceptos cuantitativos, puede ordenarse en
forma ascendente o descendente; c) si se desea analizar la tendencia de un
fenómeno (producción, consumo, entre otros), se ordenarán los años en forma
ascendente, pero si se quiere destacar la importancia de los últimos años, se
ordenarán en forma descendente; cuando se trabajan con los meses del año o los
días de la semana, se comenzará con enero y lunes, respectivamente, si se refieren
a series largas de años, deberán separarse estos por un espacio en grupos de cinco
o diez años.
IV) Tamaño: Es recomendable elaborar cuadros de tamaño carta, y deberá
planearse de tal manera que no sea ni muy largo y angosto, ni muy ancho y corto.
V) Los signos y puntuaciones a utilizar son:
( . ) Para millares y millones.
( , ) Para decimales.
( . . ) Existe el dato pero no aplicable; es decir, no compatible.
( ... ) No hay cifras disponibles.
( - ) Cuando sea cero.
( o ) Cuando las cifras sean inferiores a la mitad de la unidad
empleada.
(
) Para cifras que no deben tomarse en cuenta para el total.
1958/1959 Período año fiscal.
1958-1959
Período año civil.
VI) Notas
A) Las que se encuentran al pie de los datos casi siempre incluyen llamadas,
las cuales llevan la siguiente descripción:
 Para cifras provisionales o estimadas.
a/, b/, etc., para llamadas a números, ejemplo: 1940 a/.
1/, 2/, etc., para llamadas a letras, ejemplo: Caracas 1/.
Las notas deberán colocarse antes de la fuente.
B) Cuando se refiere a la fuente de datos. Deben ser redactadas de la
siguiente manera:
1. Si la fuente es una revista se deberá mencionar el nombre de la institución
que emite; nombre de la revista, subrayado; ciudad de la publicación, en paréntesis;
fecha de la publicación y página.
Ejemplos:
Naciones unidas, Boletín Mensual de Estadística (Nueva York), enero 1956,
págs. 4-9.
Boletín Informativo del Ministerio de Hacienda (Caracas), Año XXI (octubre de
1959), págs. 25-28.
2. Si la fuente es un artículo en una revista se coloca el nombre de un autor;
del artículo entre comillas; título de la revista, subrayado; ciudad de publicación,
entre paréntesis; fecha o número de volumen; páginas.
Ejemplo:
Feo Codecido, G. “Notas Petrológicas sobre Formaciones que Afloran en la
Región de El Baúl, Estado Cojedes”, Boletín de Geofísica (Caracas), Volumen III
(julio 1953 a diciembre 1954), págs 109-121.
3. Si la fuente es una monografía se escribe el nombre del autor (personas u
organizaciones); título del estudio, subrayado; lugar de publicación, entre paréntesis;
páginas.
Ejemplo:
Corporación Venezolana de Fomento, El Consumo y Abastecimiento de
Energía de Venezuela, 1945-57; 1968 (Caracas, 1959), págs. 57-60.
Schackne, S. Petróleo en el Mundo (Caracas, 1955), pág. 32.
4. Si la fuente es un informe: nombre de la organización; título de la
publicación, subrayado; lugar y fecha de la publicación, en paréntesis; páginas.
Ejemplo:
Ministerio de Minas e Hidrocarburos, Anuario, 1956 (Caracas, 1957), pág. 102.
5. Si la fuente es un libro: nombre del autor; título del libro, subrayado; lugar y
feche de la publicación, en paréntesis; páginas.
Ejemplo:
O’Connor, H. El Imperio del Petóleo. (Buenos Aires, 1955), pág. 53.
Cuadro Nº
TÍTULO (qué, cómo, dónde, cuándo)
Encabezamiento
TÍTULO EN
TÍTULO MAYÚSCULA
MAYÚSCULA
Subtítulo en minúscula
Cuerpo
TOTAL
Pie (Fuentes, llamadas, convenciones, etc.)
TOTAL
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA.
Cuando se trabajan con grandes cantidades de datos que no han sido
organizados numéricamente, es útil distribuirlos en clases o categorías, y determinar
el número de individuos que pertenecen a cada categoría, a lo que se llama
frecuencia de clase.
La disposición tabular de los datos por clase, con sus
correspondientes frecuencias de clases, se le conoce como distribución de
frecuencias o tabla de frecuencias. Los datos se clasifican y ordenan de acuerdo a
ciertas características cualitativas y/o cuantitativas, indicando el número de veces
que se repiten.
ATRIBUTOS:
La tabla 5 presenta una muestra de cómo se clasifica o se tabula la
información cualitativa, indicando el número de veces que el atributo se repite, el
cual se denomina frecuencia de ocurrencia.
La proporción se obtiene dividiendo al número de observaciones en cada
caso por su total, y se le conoce con el nombre de frecuencia relativa de ocurrencia.
Es importante destacar, en el caso de atributos, que las características
pueden ser analizadas mediante el cálculo de razones y porcentajes, y, al igual que
las variables o características cuantitativas, se pueden representar gráficamente.
Tabla 5
MOVIMIENTOS DE EMBARCACIONES EN LOS PUERTOS SEGÚN BANDERAS – ENERO 2000
BANDERAS
Hondureña
Inglesa
Italiana
Japonesa
Liberiana
Noruega
Panameña
Venezolana
Otras naciones
Total
TABULACIÓN
Nº
%
///
////
////
////
////
////
////
////
////
3
21
11
8
13
18
23
6
18
2,48
17,36
9,09
6,61
10,74
14,88
19,01
4,96
14,87
121
100,00
////
////
///
////
////
////
/
////
////
/
////
/
///
////
////
///
////
///
////
///
------
VARIABLES:
En este punto se especificará cómo se elabora una tabla de frecuencia, tanto
para la variable discreta como para la variable continua. Pero antes se presentará la
terminología empleada para su mejor comprensión.
La tabla 6 es una distribución de frecuencia de las estaturas de 100
estudiantes hombres de la universidad XYZ.
Tabla 6
ESTATURA DE LOS ESTUDIANTES HOMBRES DE LA UNIVERSIDAD XYZ
ESTATURA
(pulg)
NÚMERO DE
ESTUDIANTES
60 – 62
5
63 – 65
18
66 – 68
42
69 – 71
27
72 – 74
8
TOTAL
100
Rango o amplitud total: es la diferencia entre el número mayor y el menor de
los datos. Por ejemplo, si la estatura mayor de 100 estudiantes es 74 pulg y la
menor es 60 pulg, el rango es 74 – 60 = 14 pulg.
Clase o grupo: es el fraccionamiento de la amplitud total para reunir los casos
que presentan intensidades comprendidas entre los límites dados.
Por ejemplo,
comprende las estaturas entre 60 y 62 pulg y se indica con el rango 60-62, haciendo
un total de 5 clases. Como hay cinco estudiantes en esta clase, la correspondiente
frecuencia de clase es 5.
Límites de clase: son los valores que limitan las clases; al número más
pequeño se le denomina límite inferior de clase, mientras que al número más grande
es el límite superior de clase. Los límites de clase serán en la primera clase, 60
límite inferior y 62 límite superior.
Intervalo o amplitud de clase: es la diferencia existente entre los límites
superior e inferior de clase; también existen casos en que se toma como intervalo de
clase la diferencia entre los límites inferiores de dos clases consecutivas.
El
intervalo puede ser constante o variable; en nuestro ejemplo es 2. A un intervalo de
clase que, por lo menos teóricamente, no tiene límite de clase inferior o límite de
clase superior se le llama intervalo de clase abierto.
Fronteras de clase: si se miden estaturas con exactitud de 1 pulg, en teoría el
intervalo de clase 60 – 62 incluye todas las medidas desde 59,5000 hasta 62,5000
pulg, a estos números se les llaman fronteras de clases o límites verdaderos de
clase; el número menor (59,5) es la frontera inferior de clase y el número mayor
(62,5) la frontera superior de clase.
Punto medio del intervalo o marca de clase: es el punto medio del intervalo de
clase, se obtiene promediando los límites inferior y superior de clase. La marca de
clase del intervalo 60-62 es (60 + 62)/2 = 61. Para efectos del análisis matemático,
se asume que todas las observaciones pertenecientes a un mismo intervalo de clase
coincide con la marca de clase; de esta manera, todas las estaturas en el intervalo
de clase 60-62 pulg se considerarán de 61 pulg.
Las reglas generales para construir distribuciones de frecuencia son:
1.
Determinar el número mayor y el menor en los datos sueltos con el fin de
especificar el rango o amplitud total.
2.
Dividir el rango en un número adecuado de intervalos de clase del
mismo tamaño. Si esto no es posible, usar intervalos de clases distintos tamaños o
intervalos de clase abiertos. Se suelen tomar entre 5 y 20 intervalos de clase, según
los datos. Los intervalos de clase se eligen también de modo tal que las marcas de
clase coincidan con los datos reales observados. Ello tiende a disminuir el llamado
error de agrupamiento que se produce en análisis matemáticos posteriores.
No
obstante, las fronteras de clase no deberían coincidir con los datos realmente
observados.
3.
Determinar el número de observaciones que corresponden a cada
intervalo de clase; es decir, hallar las frecuencias de clase.
La simbología que se utiliza en la elaboración de las tablas, necesarias para
el cálculo de las diferentes medidas que se aplican en el análisis de los datos, son:
N:
Tamaño poblacional.
n:
Tamaño de muestra.
Xi:
Características cuantitativa, observadas en cada unidad investigada.
f i:
Frecuencia absoluta. Número de veces que se repite cada valor de la
variable.
fri:
Frecuencia relativa. Se obtiene dividiendo cada frecuencia absoluta por el
tamaño de la muestra o el tamaño poblacional.
Fai:
Frecuencia absoluta acumulada.
Fri:
Frecuencia relativa acumulada.
K:
Número de valores que toma la variable, número de marcas de clase, o
número de intervalos.
m i:
Variable discreta o marca de clase.
yi-1 – yi:
Los intervalos en que se divide la variable continua. Siendo yi el límite inferior
y yi-1 el límite superior del intervalo.
Amplitud del intervalo entre yi-1 – yi.
C:
Variable discreta
La elaboración de una tabla de frecuencia se explicará mediante un ejemplo:
Se tienen 300 bolsas de semillas de quinchoncho para siembra. Se desea examinar
las bolsas de semillas para saber el número de semillas de cada una a fin de diseñar
la distribución de las mismas para la siembra. Por motivos de tiempo, espacio físico
y personal disponible, se toma la decisión de revisar un 10% de las bolsas.
N = 300 bolsas de semillas de quinchoncho (tamaño de la población objetivo)
n = 300 bolsas * (10%/100) = 30 bolsas (tamaño de la muestra)
Cada bolsa seleccionada en forma aleatoria, se simboliza por xi (minúscula en
la muestra y mayúscula en la población), el subíndice “i” toma valores desde 1 hasta
n, siendo x1 la primera bolsa seleccionada, x2 la segunda, y así sucesivamente; el
valor de estas corresponden al número de semillas dentro de cada bolsa.
Tabla 7
Datos originales o no agrupados
x1 = 502
x6 = 505
x11 = 501
x16 = 502
x21 = 505
x26 = 499
x2 = 499
x7 = 505
x12 = 505
x17 = 500
x22 = 499
x27 = 503
x3 = 501
x8 = 503
x13 = 502
x18 = 500
x23 = 501
x28 = 499
x4 = 502
x9 = 500
x14 = 504
x19 = 503
x24 = 504
x29 = 505
x5 = 503
x10 = 501
x15 = 502
x20 = 499
x25 = 499
x30 = 502
La variable discreta la simbolizaremos por yi (minúscula para la muestra y
mayúscula para la población), donde el subíndice i, toma valores desde 1 hasta m
(número de valores que toma la variable). Siendo m = 7, se tendrá: y 1, y2, y3, y4, y5,
y6, y7.
Tabla 8
Tabla de frecuencia – Variable discreta
Número de semillas
por bolsas
499
500
501
502
503
504
505
Total
Tabulación
Número de bolsas
%
6
3
4
6
4
2
5
30
20
10
13
20
13
7
17
100
//// /
///
////
//// /
////
//
////
Tabla 9
Distribución de frecuencia
yi
499
500
501
502
503
504
505
fi
6
3
4
6
4
2
5
fri
20
10
13
20
13
7
17
Fai
6
9
13
19
23
25
30
Fri
20
30
43
63
76
83
100
Total
30
100
---
---
El cálculo de la frecuencia relativa se efectúa de la siguiente manera:
fri 
fi
f
fr1 
f1
6

 0.2 ó 20%
f 30
fr2 
f2
3

 0.1 ó 10%
f 30
fr3 
f3
4

 0.133 ó 13% (se aproximó)
f 30
fr4 
f4
6

 0.2 ó 20%
f
30
fr5 
f5
4

 0.133 ó 13% (se aproximó)
f 30
fr7 
f7
5

 0.166 ó 17% (se aproximó)
f
30
fr6 
f6
2

 0.066 ó 7% (se aproximó)
f 30
La obtención de las frecuencias absolutas acumuladas se hace por medio de
sumas sucesivas, las que se simbolizan por Fai. La columna de Fai no se suma, y la
última frecuencia absoluta será igual a n.
Fa1 = f1 = 6
Fa2 = f1+ f2 = 6 + 3 = 9
Fa3 = f1+ f2 + f3 = 6 + 3 + 4 = 13
Fa4 = f1+ f2 + f3 + f4 = 6 + 3 + 4 + 6 = 19
Fa5 = f1+ f2 + f3 + f4 + f5 = 6 + 3 + 4 + 6 + 4 = 23
Fa6 = f1+ f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 6 + 3 + 4 + 6 + 4 + 2 = 25
Fa7 = f1+ f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 = 6 + 3 + 4 + 6 + 4 + 2 +5 = 30
Al igual que en las frecuencias absolutas acumuladas, se procede para la
obtención de las frecuencias relativas acumuladas:
Fr1 = fr1 = 20%
Fr2 = fr1+ fr2 = 20% + 10% = 30%
Fr3 = fr1+ fr2 + fr3 = 20% + 10% + 13% = 43%
Fr4 = fr1+ fr2 + fr3 + fr4 = 20% + 10% + 13% + 20% = 63%
Fr5 = fr1+ fr2 + fr3 + fr4 + fr5 = 20% + 10% + 13% + 20% + 13% = 76%
Fr6 = fr1+ fr2 + fr3 + fr4 + fr5 + fr6 = 20% + 10% + 13% + 20% + 13% + 7% = 83%
Fr7 = fr1+ fr2 + fr3 + fr4 + fr5 + fr6 + fr7 = 20% + 10% + 13% + 20% + 13% + 7% + 17%
= 100%
Variable continua
Consideremos nuevamente
la
población de
300 bolsas
(N=300) y
seleccionaremos aleatoriamente una muestra de 30 bolsas (n=30), o sea el 10%, a
fin de investigar el peso en gramos de cada bolsa. La información sobre el peso de
cada bolsa, se da en números enteros con el fin de simplificar el trabajo, sin olvidar
que la medida (peso) utilizada admite valores fraccionados.
Tabla 10
Datos originales o no agrupados
x1 = 250
x6 = 248
x11 = 243
x16 = 252
x21 = 249
x26 = 251
x2 = 246
x7 = 244
x12 = 247
x17 = 250
x22 = 247
x27 = 249
x3 = 243
x8 = 251
x13 = 248
x18 = 247
x23 = 251
x28 = 248
x4 = 249
x9 = 245
x14 = 246
x19 = 252
x24 = 247
x29 = 250
x5 = 251
x10 = 246
x15 = 248
x20 = 249
x25 = 252
x30 = 246
a) Se determina el valor máximo y mínimo que toma xi:
xmín = 243;
xmáx = 252
b) Determinación del Rango:
Rango = xmáx – xmín = 252 – 243 = 9
c) Determinación del número de intervalo (K) aplicando la regla de Sturger, la cual
genera una aproximación aceptable:
K  1 3.3 * logn
K  1 3.3 * log30  5.87
Aplicando la regla de redondeo, el valor de 5.87 lo aproximamos a 6.
d) Determinación de la amplitud para cada intervalo: al calcular el valor de C, este
valor no necesariamente debe ser igual para todos los intervalos, sin embargo para
este ejercicio vamos a considerarlo constante, para ello se debe aplicar la siguiente
fórmula:
x máx  x mín Rango

K
K
x
 x mín 252  243 9
C  máx

  1.5
K
6
6
C
Para facilitar los cálculos, el valor se aproxima al número inmediato superior
por pequeña que sea la fracción; haciendo uso de esta recomendación, el valor de
1.5 se aproxima a 2; esto altera el valor del rango. El valor de m es fijado a 2, por lo
tanto se debe recalcular el rango de la siguiente manera:
(anteriormente)
1 .5 
(ahora)
9
6
2
Rango
 Rango  2 * 6  12
6
El rango se incrementa en tres unidades, de 9 pasó a 12. Este incremento
debe en lo posible distribuirse proporcionalmente, sumando unas unidades al límite
superior y restándole otras al límite inferior.
Las situaciones que se pueden
presentar son las siguientes:
xmáx – xmín = Rango
252 – 243 = 9
(originalmente)
255 – 243 = 12
254 – 242 = 12
253 – 241 = 12
252 – 240 = 12
(nuevo Rango)
Cualquiera de estas situaciones en la determinación de los límites del nuevo
rango son válidas, siendo preferible distribuir dicho incremento en forma
proporcional. Por lo tanto, se tomará:
xmín = 242
y
xmáx = 254
e) La columna correspondiente a la variable continua se simbolizará por yi-1 – yi:
(ambas minúsculas para la muestra y mayúscula para la población).
yi-1 = límite inferior del intervalo
yi = límite superior del intervalo
f) Para la elaboración de los intervalos, se inicia con el valor xmín en el nuevo rango
(242), siendo éste a su vez el límite inferior (y0) del primer intervalo, luego se
procede a agregarle el valor de la amplitud para así obtener el límite superior (y 1),
que será a su vez el límite inferior del segundo intervalo, al cual se le agregará
nuevamente el valor de C para obtener el límite superior del segundo intervalo, y así
sucesivamente hasta conformar la columna de la variable continua.
Tabla 11
Tabla de frecuencia. Variable continua.
mi
yi-1 – yi
fi
fri
Fai
Fri
242 – 243.99
2
6.67
2
6.67
243
244 – 245.99
2
6.67
4
13.34
245
246 – 247.99
8
26.67
12
40.01
247
248 – 249.99
8
26.67
20
66.68
249
250 – 251.99
7
23.33
27
90.01
251
252 – 253.99
3
10
30
100
253
Total
30
100
---
---
---
Se puede observar que cada uno de los límites inferiores de los intervalos se
les agregó 0.1, a fin de facilitar la clasificación, por ejemplo: x13 = 248 estaría
considerada en el intervalo 245.1 – 248 y no en el intervalo 248.1 – 251, evitando la
dificultad de no saber dónde clasificar dicho valor al tener intervalos, tales como
(245 – 248) y (248 – 251).
g) Para determinar la marca de clase (mi), la cual sirve para facilitar el cálculo de
algunas medidas de posición y de dispersión, puede obtenerse de tres formas:
1) m1 
y 0  y 1 242  244

 243
2
2
m2 
y1  y 2 244  246

 245
2
2
2) m1 
y 0  y 1 242  244

 243
2
2
m2 = m1 + C = 243 + 2 = 245
3) m1  y 0 
C
2
 242   243
2
2
m1  y 1 
C
2
 244   245
2
2
y así sucesivamente.
y así sucesivamente.
y así sucesivamente.
h) Para la determinación de fi, fri, Fai y Fri, se realiza exactamente igual al ejercicio
anterior.
GRÁFICAS ESTADÍSTICAS.
Son representaciones gráficas de los resultados que se muestran en una
tabla estadística, permitiendo obtener gracias al análisis visual una mejor idea de la
distribución cuantitativa de los datos de una serie.
Pueden ser de formas muy diversas, pero con cada tipo de gráfica se cumple
un propósito. La distribución de frecuencia puede presentarse gráficamente a través
de diferentes formas:

Diagrama de Frecuencia.

Diagrama de Barras.

Histogramas.

Diagrama Circular.

Polígonos.

Diagrama de Líneas.

Ojivas.

Cuadrados y Triángulos.

Pictogramas.

Gráficas de Gantt.

Cartogramas.

Pirámides.
DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS:
En este tipo de gráfica, sobre los valores de las variables se levantan barras
estrechas de longitudes proporcionales a las frecuencias correspondientes. Se
utilizan para representar variables cuantitativas discretas.
En el eje horizontal colocamos los valores que toma la variable (y i), y en el eje
vertical, las frecuencias absolutas (fi) o las relativas (fri).
El diagrama de barras siguiente representa la distribución de frecuencia de la
tabla 9.
Tabla 12
Resumen de la tabla
de frecuencia 9
yi
fi
fri
499
500
501
502
503
504
505
6
3
4
6
4
2
5
20
10
13
20
13
7
17
Total
30
100
Figura 1
Frecuencias Absolutas
Figura 2
Frecuencias Relativas
HISTOGRAMA DE FRECUENCIA:
Los histogramas se utilizan para representar tablas de frecuencias con datos
agrupados en intervalos. Si los intervalos son todos iguales, cada uno de ellos es la
base de un rectángulo cuya altura es proporcional a la frecuencia correspondiente.
Consiste en una serie de rectángulos paralelos, cuya base representa el intervalo de
clase (eje x) y su altura la magnitud de frecuencia de clase respectiva (eje y). Si los
intervalos de clase no son todos del mismo tamaño, hay que ajustar las alturas.
El procedimiento para su construcción es:
1.- Se trazan dos ejes de coordenadas sobre el plano.
2.- Se llevan sobre el eje de las abscisas los límites de clase, y sobre el eje de las
ordenadas la magnitud de cada frecuencia.
3.- Se levantan perpendiculares por los límites de cada clase, siendo la altura de
estas perpendiculares igual a la frecuencia de la clase respectiva; finalmente se
unen las dos perpendiculares que representan cada clase, dando origen al
histograma.
Los histogramas que se muestran a continuación son los correspondientes a
la tabla de frecuencias número 11.
Figura 3
Histograma de frecuencia absoluta
Figura 4
Histograma de frecuencia relativa
9
30
8
7
25
6
20
fri
fi
5
4
3
15
10
2
5
1
0
0
242
244
246
248
yi-1 - yi
250
252
254
242
244
246
248
yi-1 - yi
250
252
254
POLINOMIO DE FRECUENCIA:
Es un gráfico de líneas trazado sobre los puntos medios de cada clase. Se
obtiene uniendo los puntos medios de los extremos superiores de cada rectángulo
del histograma correspondiente.
El procedimiento para su construcción es:
1.- Se trazan dos ejes de coordenadas en un plano.
2.- Se llevan sobre las abscisas los puntos medios de la distribución y sus
respectivas frecuencias se llevan sobre la ordenada.
3.- Por cada punto medio se levantan perpendiculares cuyas alturas representan las
frecuencias de cada clase; en la práctica sólo se traza el punto final de la
perpendicular.
4.- Los extremos de las perpendiculares se unen por medio de líneas rectas
obteniéndose una línea poligonal, que al cerrarse origina el polinomio de frecuencia.
Los polinomios que se muestran a continuación son los correspondientes a la
tabla de frecuencias número 11.
Figura 5
Histograma de frecuencia absoluta
Figura 6
Histograma de frecuencia relativa
30
9
8
25
7
20
5
fri
fi
6
4
15
10
3
2
5
1
0
0
243
245
247
249
251
243
253
245
247
249
251
253
mi
mi
HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA:
Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos
agrupados
se
obtiene
el
histograma
de
frecuencias
acumuladas
correspondiente polígono. He aquí los que se obtienen de la tabla 11:
Figura 7
Histograma y Polinomio de frecuencia acumulada.
35
120
30
100
25
Fi
60
15
40
10
20
5
0
242
244
246
248
250
Peso de las bolsas
252
0
254
Fr1
80
20
o
su
DIAGRAMA DE SECTORES:
En un diagrama de este tipo los 360º de un círculo se reparten
proporcionalmente a las frecuencias de los distintos valores de la variable. Resultan
muy adecuados cuando hay pocos valores, o bien cuando el carácter que se estudia
es cualitativo. El diagrama de sectores siguiente refleja el resultado de la tabla 5:
Figura 8
Diagrama de sectores
Otras naciones
Hondureña
Inglesa
Venezolana
Italiana
Panameña
Japonesa
Noruega
Liberiana
MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL
Dentro de la estadística se realizan mediciones con el objetivo de caracterizar
a las muestras, y unas de ellas son las medidas de tendencia central. Esta es un
valor típico descriptivo en la que un conjunto de datos muestra una tendencia bien
determinada a agruparse o aglomerarse alrededor de cierto punto central. Las más
usadas son:
Promedio ó media aritmética ( X ):
Existen varias formas de calcular la media aritmética de una distribución de
datos atendiendo a las posibles circunstancias n que suelen presentarse estos:
Primer caso: cuando los valores de la variable se presentan sin agrupar, se obtiene
al dividir la suma de los valores por el número total de observaciones:
X
x
X1  X 2  X3  ...  XN
X
N
x1  x 2  x 3  ...  x n
x
n
X
i
N
x
Media poblacional (parámetro)
i
n
Media muestral (estadístico)
Ejemplo: Hallar la media aritmética X de la siguiente distribución de datos:
32, 25, 29, 30, 30, 27, 24, 35, 34, 30, 29.
X
X
i
N

24  25  27  29  29  30  30  30  32  34  35
 29,54
11
Segundo caso:
cuando los valores de la variable se presentan agrupados por
efectivos, se calcula multiplicando cada valor de la variable por el número de
efectivos correspondientes y dividiendo la suma total de estos productos por el
número de datos.
Ejemplo: Hallar la media aritmética de la distribución de datos:
Tabla 13
Xi
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Total
X
fi
2
7
13
22
32
49
35
23
9
5
3
200
fi . Xi
60
217
416
726
1088
1715
1260
851
342
195
120
6990
fi  Xi  6990

 34,95
N
200
Tercer caso:
cuando los valores de la variable se presentan agrupados por el
número de efectivos correspondientes a cada uno y en intervalos, se calcula
buscando los puntos medios de cada clase (marca de clase) y procediendo como en
el caso 2.
Ejemplo: Hallar la media aritmética de los datos que figuran en la tabla.
Tabla 14
yi-1 - yi
6 – 25
26 – 45
46 – 65
66 – 85
86 – 105
106 – 125
126 – 145
146 – 165
166 – 185
186 – 205
206 – 225
Total
fi
4
3
7
9
16
14
20
32
24
13
6
148
mi
15,5
35,5
55,5
75,5
95,5
115,5
135,5
155,5
175,5
195,5
215,5
----
f i . mi
62
106,5
388,5
679,5
1528
1617
2710
4796
4212
2514,5
1293
20114
X
fi  mi  20114

 135,9
N
148
Moda (Mo):
Es aquel valor de la variable o atributo que presenta la mayor frecuencia. La
moda puede no existir e incluso no ser única.
Ejemplos:
1) El conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18
2) El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16

3) El conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9

Tiene moda 9.
Carece de moda.
 Cuenta con dos modas, 4 y 7, se le
conoce como bimodal.
Cuando se desea determinar la moda a partir de una distribución de
frecuencia, se realiza de la siguiente manera:
Fórmula 1:
Fórmula 2:
d1
C
d1  d2
f
Mo  li  2  C
f1  f2
Mo  li 
li : límite inferior de l clase modal.
d1 : valor absoluto de la diferencia entre l frecuencia de la clase modal y la clase
inmediatamente anterior.
d2 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y de la clase siguiente.
C : amplitud del intervalo de clase.
f1 : frecuencia de la clase que antecede a la modal.
f2 : frecuencia de la clase que sigue a la modal.
Ejemplo: determine la moda de los siguientes datos que representan las
calificaciones de 100 alumnos de la cátedra de Análisis del dato estadístico.
Tabla 15
yi-1 – yi
0 – 4,9
5 – 9,9
10 – 14,9
15 – 20
Total
Fórmula 1: Mo  li 
fi
20
40
30
10
100
d1
40  20
20
C  5 
5  5 
 5  8,33
40  20  40  30
d1  d2
20  10
Fórmula 2: Mo  li 
f2
30
30
C  5 
5  5 
5  8
f1  f2
20  30
50
Mediana (Me):
Valor central del grupo de datos ordenados. Valor por encima y por debajo del
cual se hallan la mitad de los casos; percentil 50. Por ejemplo, si hay 5 casos, la
mediana es la 3ª observación mayor (o menor). Cuando el número de observaciones
es par, la mediana es el promedio de las dos observaciones centrales. La mediana
no es sensible a la existencia de valores extremos. Esta es utilizada cuando la
distribución presenta el primer y último intervalo abierto o no definido.
Datos no agrupados:
Cuando calculamos la mediana en datos no agrupados, ordenamos las
observaciones de menor a mayor o viceversa.
En su cálculo se presentan dos
casos:
a) Cuando el número de datos es impar: en este caso la mediana coincide con el
dato central.
Ejemplo: determine la mediana de la siguiente distribución:
4
6
7
9
15
16
17
La mediana es 9, ya que éste es el valor central de la distribución.
Cuando el número de observaciones es grande, se podrá localizar la
observación central mediante la aplicación de la fórmula:
n 1 7 1 8

  4 ta observació n
2
2
2
b) Cuando el número de datos es par: en este caso la mediana será el término
medio de los dos valores centrales.
Ejemplo: determine la mediana de la siguiente distribución:
3
7
9
12
La mediana es Me 
Para
obtener
n 1 8 1 9

  4,5
2
2
2
15
20
21
25
12  15
 13,5
2
las
observaciones
centrales,
aplicamos
la
fórmula:
es decir, la mediana en este ejercicio debe estar localizada
entre la cuarta y quinta observación, por lo tanto se promediarán los valores de esas
observaciones.
Datos agrupados:
Para el cálculo de la mediana se debe tener en cuenta si la variable es
discreta o continua y la ubicación de la observación central.
Variable discreta:
a) Cuando Faj-1 = n/2 la mediana se obtendrá aplicando esta fórmula: Me 
y j1  y i
.
2
Para la aplicación de la fórmula considere los siguientes datos, y tengamos para
esto en cuenta los siguientes cuatro pasos:
Tabla 16
yj-1 
yj 
yj
0
1
2
3
4
Total
fj
3
4
8
12
3
30
Faj
3
7
15
27
30
---
 Faj-1
 Faj
1) Se acumulan las frecuencias absolutas (Fai).
2) Se divide el valor de n por dos. En este caso sería:
30
 15
2
3) Se busca en la columna de las frecuencias absolutas el valor de n/2. Si aparece,
se simbolizará por Faj-1 y el valor inmediato posterior por Faj.
Se tendrá que
Faj-1 = 15 y Nj = 27.
4) Siempre que Faj-1 = n/2, en una variable discreta, la fórmula que se aplica para
y j1  y j 2  3
calcular la mediana, será: Me 

 2,5
2
2
b) Cuando Faj-1 < n/2; la mediana se obtendrá aplicando la fórmula Me = yj.
Observemos el cálculo de la mediana trabajando con los datos de la siguiente tabla:
Tabla 17
yj-1 
yj 
yj
0
1
2
3
4
Total
fj
3
6
12
7
2
30
1) Se acumulan las frecuencias absolutas (Fai).
Faj
3
9
21
28
30
---
 Faj-1
 Faj
2) Se divide a n por 2. En este caso es
30
 15
2
3) Se busca en la columna de las frecuencias absolutas el valor de n/2. Como no
aparece el 15 en dicha columna, se tomará el valor inmediato superior a 15 como Faj
(en este caso es 21) y el valor inmediato anterior como Faj-1 (en nuestro caso es 9).
4)
Siempre que Faj-1 < n/2, en una variable discreta, la mediana se calculará
aplicando la siguiente fórmula: Me = yj

Me = 2.
Variable continua:
a) Cuando Faj-1 = n/2; la mediana se obtendrá aplicando la fórmula Me = yj-1. No se
describirán los pasos a seguir en la variable continua, ya que son los mismos dados
en la variable discreta, solo que yj-1 se localiza al frente de Faj y que el valor de C
corresponderá al del intervalo que está al frente de Faj.
Ejemplo: determinar la mediana de la siguiente distribución:
Tabla 18
yj-1 - yj
fj
Faj
46,1 – 54
54,1 – 62
62,1 – 70
70,1 – 78
78,1 – 86
86,1 – 94
5
7
13
10
9
6
5
12
Total
50
---
25
35
44
5
n 50

 25
2
2
 Faj-1
Siendo Nj-1 = 25
Siempre que: Faj-1 = n/2
 Faj
La mediana será: Me = yj-1 = 70
b) Cuando Faj-1 < n/2; la mediana se obtendrá aplicando la fórmula:
n

 2  Fa j1 
Me  y j1  C  

fj




Consideremos una distribución donde los valores extremos de la variable no están
definidos y además la amplitud no es constante, como en la siguiente tabla:
Tabla 19
yj-1 - yj
Menor o igual a 54
54,1 – 60
60,1 – 72
72,1 – 86
86,1 – 94
94,1 y más
Total
fj
6
12
20
12
6
4
60
Faj
6
18
38
50
56
60
---
 Faj-1
 Faj
n 60

 30
2
2
Faj-1 < n/2
Faj-1 = 18
Faj-1 = 38
144
 30  18 
 12 
Me  60  12  
 60  7,2  67,2
  60  12     60 
20
 20 
 20 
Media Cuadrática (Mc):
Es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de la variable.
Se aplica en algunos casos tales como en problemas de probabilidad o cuando se
hace indispensable trabajar con los cuadrados de los valores.
Mc 
x 12  x 22  x 32  ...  x n2
n
Mc 
 x i2
n
Mc 
m12  f1  m 22  f 2  ...  m n2  fn
n
Mc 
 m i2  fi
Para datos agrupados
n
Para datos no agrupados
Ejemplo: Consideremos arbitrariamente 5 valores, con los cuales calcularemos la
media cuadrática.
Mc 
5
6
10
 x i2
5 2  6 2  10 2  12 2  7 2


n
5
12
7
25  36  100  144  49
 8,41
5
Ejemplo: Utilicemos la siguiente tabla correspondiente a una variable continua y
calculamos con esos datos la media cuadrática:
Tabla 18
yi-1 – yi
46,1 – 54
54,1 – 62
62,1 – 70
70,1 – 78
78,1 – 86
86,1 – 94
Total
Mc 
 m i2  fi
n
fi
3
6
10
6
3
2
30
Mc 
mi
50
58
66
74
82
90
---
mi2
2500
3364
4356
5476
6724
8100
---
140472
 4682,4  68,43
30
mi2 fi
7500
20184
43560
32856
20172
16200
140472
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Son aquellos valores estadísticos que proporcionan una idea acerca de cómo
se agrupan los datos de una distribución con respecto a los valores centrales de la
misma.
Los valores de dispersión mas usados son:
El Rango (Ra):
Es la diferencia entre el mayor y menor valor de la distribución de datos; en
otras palabras, es el límite dentro del cual se encuentran todos los valores de la
serie, también se llama recorrido. Esta medida es muy fácil de calcular y depende
del número de datos de la serie, uno de sus inconvenientes es que no da una
verdadera idea de la concentración de los valores, en ejemplo de ello se observan
en los siguientes datos:
Ra = 200 – 1 = 199;
1
80
82
84
86
90
104
108
200.
es un intervalo exagerado que no da una idea de la verdadera
concentración de los datos con respecto al valor central.
Varianza:
Se define como la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones
respecto a la media aritmética.

 xi  x
s 
n
2


2
 f  mi  y
s  i
n
2
(para datos no agrupados)

2
(para datos agrupados)
Ejemplo: las ventas diarias en un almacén durante una semana cualquiera son las
siguientes (en millones de bolívares).
Lunes
Martes
Miércoles
600
800
880
La media aritmética es:
x
 x i 5520

 920
n
6

 xi  x
La varianza será igual a: s 
n
220000
s2 
 36666,67
6
2
Jueves

2
Tabla 21
980
Viernes
Sábado
1060
1200
xj
600
800
880
980
1060
1200
Total
(xi – x)2
102400
14400
1600
3600
19600
78400
220000
xi - x
-320
-120
-40
60
140
280
0
Ejemplo: utilicemos los datos de la tabla 18 para calcular la varianza en una variable
continua.
Tabla 18
yi-1 – yi
46,1 – 54
54,1 – 62
62,1 – 70
70,1 – 78
78,1 – 86
86,1 – 94
Total
y
fi
3
6
10
6
3
2
30
mi
50
58
66
74
82
90
---
mi f i
150
348
660
444
246
180
2028
yi - y
-17,6
-9,6
-1,6
6,4
14,4
22,4
---
(yi – y).fi
-52,8
-57,6
-16,0
38,4
43,2
44,8
0
(yi – y)2.fi
929,28
552,96
25,60
245,76
622,08
1003,52
3379,20
 mi  fi 2028

 67,6
n
30


2
 m i  y  fi 3379,20
s 

 112,64
n
30
2
Desviación típica o estándar:
Se define como la raíz cuadrada positiva del promedio aritmético de los
cuadrados de los desvíos de los valores con respecto a su media aritmética.
Para datos no agrupados:


2
s
 xi  x
n

 Xi  X
N

(Desviación típica o estándar muestral)

2
(Desviación típica o estándar poblacional)
Para datos agrupados:




s
 fi  m i  y
n

 fi  m i  Y
N
2
(Desviación típica o estándar muestral)
2
(Desviación típica o estándar poblacional)
Con los datos de la tabla 22, la desviación típica será:
s  112,64  10,61
Desviación Media:
Es la media aritmética de las desviaciones respecto a la media, tomadas en
valor absoluto. En este tipo de desviación se tiene en cuenta todos los valores de la
variable; siendo menos afectada que la desviación típica, por los valores extremos.
El valor de la desviación media siempre será menor que la desviación típica: Da < s
Matemáticamente esta definida de la siguiente manera:
Da 
Da 
 xi  x
(para datos no agrupados)
n
 fi  m i  y
(para datos agrupados)
n
Ejemplo: los salarios, en miles de bolívares, de 10 empleados en un almacén son
los siguientes:
420
680
690
a) varianza
690
720
720
b) desviación típica
730
740
740
760. Se pide calcular:
c) desviación media
d) rango
Tabla 23
xi
420
680
690
690
720
720
730
740
740
760
6890
x
 x i 6890

 689
n
10

 xi  x
a) s 
n
2
c) Da 

 xi  x
Ejemplo:
n
2


( xi – x)2
72361
81
1
1
961
961
1681
2601
2601
5041
86290
xi - x
-269
-9
1
1
31
31
41
51
51
71
0
Me 
|xi – x|
269
9
1
1
31
31
41
51
51
71
556
720  720
 720
2
86290
 8629
10
b) s   s 2  8629  92,89
556
 55,6
10
d) Ra  x máx  x mín  760  420  340
utilizando los datos de la tabla 18, se pide obtener los valores de la
varianza, desviación típica, recorrido, desviación media.
Tabla 18
yi-1 – yi
46,1 – 54
54,1 – 62
62,1 – 70
70,1 – 78
78,1 – 86
86,1 – 94
Total
fi
3
6
10
6
3
2
30
mi
50
58
66
74
82
90
---
mi f i
150
348
660
444
246
180
2028
mi - y
-17,6
-9,6
-1,6
6,4
14,4
22,4
---
|mi – y|
17,6
9,6
1,6
6,4
14,4
22,4
---
|mi – y|.fi
52,8
57,6
16,0
38,4
43,2
44,8
252,8
 mi  fi 2028

 67,6
n
30
a) De acuerdo con el ejercicio que se desarrollo en la explicación de la mediana, se
y
obtuvo:
s2 = 112,64
b) El recorrido será:
y
s = 10,61
Ra  94  46  48
c) La desviación media: Da 
 m i  y  fi
n

252,8
 8,43
30
BIBLIOGRAFÍA
Rivas González, Ernesto. Estadística General. 2000. Universidad Central de
Venezuela. Undécima edición.
Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta
Corporation.
2004. 2004. Microsoft