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11..-- L
Leenngguuaajjee aallggeebbrraaiiccoo
El lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo aparecen
números.
El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las
operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico.
Ejemplos:(1)
Lenguaje común
El triple de un número
Un número aumentado en dos unidades
La suma de dos números
El triple de un número más otro número
La mitad de un número
Lenguaje algebraico
El precio de x kilos de naranjas a 1,50 €/kg
La edad de una persona hace 3 años
Ejemplo (2) Expresa mediante el lenguaje algebraico estas relaciones.
a) El área de un cuadrado.
Área=lado x lado A  l  l
b) El área de un rectángulo
Área= base x altura
c) El área de un triángulo.
Área 
base  altura
bh
 A
2
2
22..-- E
Exxpprreessiioonneess aallggeebbrraaiiccaass
Una expresión algebraica
es un conjunto de números y letras
unidos por los signos de las operaciones aritméticas.
Ejemplo (3):
Lenguaje común
El perímetro de un campo rectangular
El volumen de un cubo de arista a
La suma de dos números consecutivos
El 15% de un número C
Lenguaje algebraico
Valor numérico de una expresión algebraica
es el número que
resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las
operaciones que se indican
Ejemplos (4):
Calcula el valor numérico de la expresión algebraica x2+1 cuando x toma el valor 2.
x2
2
2
x 1 2 1  4  1  5
Ejemplos (5):
Determina el valor numérico de la expresión algebraica
toman los valores 2 y -1, respectivamente.
a  2;b  1
2  a  3 b
cuando a y b
2  a  3  b 
 2  2  3  (1)  4  3  7
Ejemplos (6):
Halla el perímetro de un triángulo equilátero sabiendo que el lado mide 5 cm.
Como los tres lados son iguales, el perímetro es : P=3x
x 5
P  3x  P  3  5  15cm
Ejercicios:
(1) Expresa en el lenguaje algebraico.
Lenguaje común
El doble de un número
El doble de un número menos tres unidades
El doble de un número menos tres unidades,
más otro número.
El doble de un número menos tres unidades,
más otro número, menos la tercera parte del
primer número.
El doble de un número menos tres unidades,
más otro número, menos la tercera parte del
primer número, más la mitad del segundo
El teorema de Pitágoras
(2)
Lenguaje algebraico
Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.
La edad que tendrá dentro de 10 años
La edad que tenía hace 4 años
(3)
Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para x=3.
Expresiones algebraicas
X+1
2x-3
X2+1
2x2-3x-5
(4)
Valor numérico para x=3
Indica mediante una expresión algebraica el perímetro y el área de un
cuadrado de lado x. Halla su valor numérico cuando el lado mide 6 cm
33-- M
Moonnoom
miiooss
Un monomio
es una expresión algebraica formada por el producto de
un número y una o varias letras.
El número recibe el nombre de
exponentes son la parte
El
grado
forman.
Llamamos
coeficiente,
y las letras, con sus
literal.
de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo
monomios semejantes a los monomios que tienen la misma
parte literal.
Decimos que dos monomios son
opuestos
si son semejantes y sus
coeficientes son números opuestos.
Ejemplos (7): Rellena la siguiente tabla
Monomio
3 x4 y2
-0,5 x2 z4 a7
-7 a3 b c
Pon un
ejemplo
Coeficiente
Parte
Literal
Grado
Opuesto
Semejante
44..-- O
Oppeerraacciioonneess ccoonn m
moonnoom
miiooss..
Las operaciones con monomios son las mismas que las operaciones con
números.
4.1 Suma y resta de monomios
La
suma (o resta)
de monomios semejantes se realiza sumando (o
restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.
Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja indicada.
Ejemplos (8): Realiza estas operaciones
a) 7ab4 -3ab4=………………> (7-3)ab4= 4ab4
b) 15 x2+29x2-13x2=……………..>(15+29-13)x2= 31x2
c) 12x2+7x= No son semejantes, se deja indicada
4.2 Multiplicación y división de monomios
Para
multiplicar monomios,
por
un
lado,
multiplicamos
sus
coeficientes y, por otro , sus partes literales.
Para
dividir monomios,
por un lado, dividimos sus coeficientes y, por
otro, sus partes literales (si se pueden).
Ejemplos (9): Realiza estas operaciones
a) 4 x 2 3x 4  (4  3)  ( x 2  x 4 )  12 x 2  4  12 x 6
b) 5 xy2  y  (5  1)  ( xy2  y )  5 xy2 1 5 xy3
c) 12 x 5 : 4 x 3  (12 : 4)  ( x 5 :x 3 )  3x 53  3x 2
7
7
d )  7 x 5y 4 : 4 x 2  (7 : 4)  ( x 5y 4 :x 2 )   x 52y 4   x 3y 4
4
4
Ejercicios:
Ejercicio (5) :Rellena la siguiente tabla
Monomio
Coeficiente
Parte
Literal
Grado
8xy2
3abc
6
15x2
Ejercicio (6) :Realiza las siguientes operaciones
a) 5 x  2 x
b)  3 y 2 4 y 2
c) 2ab 2  a 2b
d )  7 x 3 3 x 2
e)  9a : 3a
f ) 5 x 3 6 x  7 x  x 3 4 x 2  x  4 x 3 2 x
e) 2 x 2  x 3 3 x 5 : (6 x)
Opuesto
Semejante
55..-- PPoolliinnoom
miiooss..
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de
dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama
término y si no tiene parte literal,
término independiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se denomina
grado
del
polinomio
El
polinomio opuesto
de P(x), que designamos como –P(x) se obtiene
cambiando de signo los coeficientes de todos los términos de P(x).
El
valor numérico de un polinomio P(x), para un valor x=a, lo expresamos
como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y
operando.
Ejemplos (10): Rellena la tabla
Polinomio
Término
independiente
Grado del
polinomio
Polinomio opuesto
3y2-22xy3+y3+5
5
4
-3y2+22xy3-y3-5
-5x3+x-3
3
3
5x3-x+3
Ejemplos (11):
Calcula el valor numérico del polinomio P(X)=
5x3+x-3 para x=2
Solución:
2
P( x)  5x3  x  3 x

P(2)  5 23 2  3  39
66..-- O
Oppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoom
miiooss..
6.1 Suma y resta de polinomios
Para
sumar polinomios
sumamos sus monomios semejantes, dejando
indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restar sumamos al
primero el polinomio opuesto del segundo.
Ejemplos (12): Suma y restas estos polinomios:
5
3
P( x)   x 4 x 5 x  1
Q( x)  2 x 4 3x3  x 2 5 x  7
Solución:
Suma
P( x)  Q( x)  ( x5 4 x3 5 x  1)  (2 x 4 3x3  x 2 5 x  7) 
  x 5 4 x 3 5 x  1  2 x 4 3x 3  x 2 5 x  7 
  x 5 2 x 4 4 x 3 3x 3  x 2 5 x  5 x  1  7 
  x 5 2 x 4 3x 3  x 2 6
Resta
P( x)  Q( x)  ( x5 4 x3 5x  1)  (2 x 4 3x3  x 2 5x  7) 
  x 5 4 x 3 5 x  1  2 x 4 3x 3  x 2 5 x  7 
  x 5 2 x 4 4 x 3 3x 3  x 2 5 x  5 x  1  7 
  x 5 2 x 4 7 x 3  x 2 10 x  8
6.2 Producto de un monomio por un polinomio
Para
multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos
el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejemplos (13):
Multiplica el polinomio P(x)=-x5+4x3-5x-1 por el monomio 3x2
2
2
5
3
3x P( x)  3x ( x 4 x 5x  1) 
 3x 2 ( x5 )  3x 2 (4 x3 )  3x 2 (5x)  3x 2 (1) 
 3x 25 12 x 23 15 x 213x 2  3x 7 12 x 5 15 x 3 3x 2
6.3 Producto de dos polinomios
Para
multiplicar dos polinomios,
multiplicamos cada uno de los
términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios
obtenidos en la multiplicación.
Ejemplos (14):
Halla el producto de los siguientes polinomios:
3
P( x)  4 x 5 x  1
Q( x)  2 x 2 7
Solución:
P( x)  Q( x)  (4 x3 5x  1)  (2 x 2 7) 
 4 x3 (2 x 2 7)  5x  (2 x 2 7)  1 (2 x 2 7) 
 4 x3 2 x 2 4 x3 (7)  5x  2 x 2 5x  (7)  1 2 x 2 7) 
 8x5 28x3 10 x3 35 x  2 x 2 7) 
 8 x 5 38 x 3 2 x 2 35 x  7
Ejercicios
Ejercicio 7: Realiza las operaciones, ordena sus términos de mayor a menor
grado, e indica el grado de cada polinomio.
a) P(x)= 5x3-x+7x3-x2+8x-2
b) Q(x)= 12+x2+7x-x4-8-3x2
Ejercicio 8: Calcula el valor numérico de del polinomio P(x)= 5x3-x+7x3-x2+8x-2
para x=-3.
Ejercicio 9: Realiza la suma, resta y producto de los polinomios P(x)= 5x3x+7x3-x2+8x-2 y Q(x)= 12+x2+7x-x4-8-3x2
6.4 División de un polinomio entre un monomio.
Para
dividir un entre un monomio,
dividimos cada término del
polinomio entre el monomio.
Ejemplos (15): Divide el polinomio P(x)= 6x5+3x4-9x entre el monomio 3x.
5
4
P( x) : 3x  (6 x 3x 9 x) : 3x 
 (6 x5 : 3x)  (3x 4 : 3x)  (9 x : 3x) 
 2 x 4  x 3 3
77..-- FFaaccttoorr ccoom
múúnn
La propiedad distributiva nos permite transformar un producto en una suma o una
resta, y viceversa.
Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en
producto.
Ejemplos (16): Extrae factor común
7 x3 7  x  7  x  x  x  7  x  7 x  ( x 2 1)
Ejemplos (17): Extrae factor común
6 x 2 2 x  2  3  x  x  2  x  2 x  (3x  1)
88..-- IIgguuaallddaaddeess nnoottaabblleess
8.1 Cuadrado de una suma.
Suponiendo que a y b son dos monomios cualesquiera, se cumple que:
2
(a  b)  (a  b)  (a  b)  a  a  a  b  b  a  b  b 
a 2 2a  b b 2
El
cuadrado de una suma
es igual al cuadrado del primero más el
doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo:
(a  b) 2 a 2 2a  b b 2
Insertar un rectángulo de lados a, b
Ejemplos (18): Calcula el cuadrado de la suma
( x  3) 2  x 2 2  x  3 32  x 2 6 x  9

ax
b3
8.2 Cuadrado de una diferencia.
Suponiendo que a y b son dos monomios cualesquiera, se cumple que:
2
(a  b)  (a  b)  (a  b)  a  a  a  b  b  a  b  b 
a 2 2a  b b 2
El
cuadrado de una diferencia
es igual al cuadrado del primero
menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo:
(a  b) 2 a 2 2a  b b 2
Ejemplos (19): Calcula el cuadrado de la difencia
(5 x 2 1) 2  (5 x 2 ) 2 2  5 x 2 1 12  25 x 4 10 x  1
.... 
a  5x
2
b  1
8.3 Suma por diferencia.
Suponiendo que a y b son dos monomios cualesquiera, se cumple que:
2
2
(a  b)  (a  b)  a  a  a  b  b  a  b  b a b
El producto de una
suma por una diferencia
es igual a la
diferencia de los cuadrados
(a  b)  (a  b) a 2 b 2
Ejemplos (20): Simplifica
( x  3)  ( x  3)  x 2 32  x 2 9
.... 
ax
b3
Ejemplos (21): Estudia si este polinomios se pueden expresar como el
cuadrado de una suma o una diferencia.
x 2 6 x  9  ( x  3) 2
 ....  .........  ......
ax
b3
2ab  2  x  3  6 x
Ejemplos (22): Estudia si este polinomios se pueden expresar como el
cuadrado de una suma o una diferencia.
2
x 4 x  16  No se puede exp resar como un cuadrado
 ....  .........  ......
ax
b4
2ab  2  x  4  8 x
Ejercicios
Ejercicio (10): Realiza estas operaciones:
a) (12 x 4 24 x 3  x 2 ) : 3x 2
b) (18 x 5 10 x 4 6 x 2 ) : 2 x
Ejercicio (11): Determina si se puede sacar factor común, y hazlo en los
casos en los que sea posible.
a ) ( 5 x 4 2 x 3 )
b) (5a 3b 3 10a 2b 2 )
c) (5 x 2 10)
Ejercicio (12): Calcula
a ) (4 x  5) 2
b) ( x 2 7 x) 2
c) ( 4 x  5) 2
d ) ( x 2 7 x) 2
e ) ( x  4)  ( x  4)
f ) (3  2 x)  (3  2 x)
Ejercicio (13): Estudia si los polinomios se pueden expresar como cuadrado de
una suma o diferencia.
a ) x 2 10 x  25
b) 9 x 2 12 x  4