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Comprobación del Teorema Central del límite(*).
Definición previa: Sea X una variable aleatoria cualquiera. Si tomamos todas las muestras de tamaño n formadas por los valores de X y calculamos
sus medias, tendremos otra v.a.
X
a la que llamaremos media muestral .
(*) Lo que pretendemos probar aquí es una consecuencia del Teorema Central del límite, que dice que si X  N (  ,  ) , entonces
X  N ( , 
n
) , donde n es el tamaño muestral.
Es más, si la población de partida es normal, X  N (  , 
n
) , independientemente de cómo sea n; pero aunque la población de partida no sea
normal, si n es lo suficientemente grande (basta con que n30) también se verificará que X  N (  , 
n
) , donde  y  son, respectivamente, la
media y desviación típica poblacionales.
La comprobación que haremos es la siguiente: Consideraremos la v.a. X: Puntuaciones al tirar un dado.
Los valores que puede tomar X son {1,2,3,4,5,6} todos ellos con igual probabilidad (1/6). Su función de probabilidad es la siguiente:
Lógicamente, si tomamos muestras de tamaño 1, los valores que puede tomar X son los mismos que los de X con iguales probabilidades (por lo que,
para muestras de tamaño 1, la función de probabilidad de X será la misma que la de X)
Media poblacional:  =3,5
X=x
p[X=x]
p[X=x]
1
1/6
0,17
2
1/6
0,17
3
1/6
0,17
4
1/6
0,17
5
1/6
0,17
6
1/6
0,17
Desviación típica poblacional:  =1,71
Recuerda:
n
   xi  pi
i 1
y
 
n
x
i 1
2
i
 pi  x 2
En C:/juanjo/apuntes/Inferencia Estadística/TCL.doc
Formemos ahora todas las muestras posibles de tamaño 2 y calculemos sus medias.
Obtendremos así la distribución de la media muestral ( X ) para n=2.
1
2
3
4
5
6
1;1
2;1
3;1
1;2
2;2
3;2
1;3
2;3
3;3
1;4
2;4
3;4
1;5
2;5
3;5
1;6
2;6
3;6
6;1
6;2
6;3
6;4
6;5
6;6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1,5
2
1,5
2
2,5
2
2,5
3
2,5
3
3,5
3
3,5
4
3,5
4
4,5
3,5
4
4,5
5
5,5
6
1
1/36
1,5
2/36
2
3/36
2,5
4/36
3
5/36
3,5
6/36
4
5/36
4,5
4/36
5
3/36
5,5
2/36
6
1/36
0,03
0,06
0,08
0,11
0,14
0,17
0,14
0,11
0,08
0,06
0,03
1
2
3
4
5
6
X =x
p[ X =x]
p[ X =x]
media=3,5 (se observa claramente); d.t.= 1,21 (se puede comprobar).
Recuerda que
 
n
x
i 1
2
i
 pi  x 2
;
Observa que 1,21= 1,71
2
Tirando 2 dados, ¿Cuál de los sucesos que se dan a continuación es más probable?
A: La media de la suma de sus puntuaciones es igual a 1,5
(es lo mismo que decir que la suma de sus puntuaciones es igual a 3)
B: La media de la suma de sus puntuaciones es igual a 2
(es lo mismo que decir que la suma de sus puntuaciones es igual a 4)
En C:/juanjo/apuntes/Inferencia Estadística/TCL.doc
Formemos ahora todas las muestras posibles de tamaño 3 y calculemos sus medias.
Obtendremos así la distribución de la media muestral ( X ) para n=3.
1;1
1;2
1;3
1;4
1;5
1;6
2;1
1;1;1
2;1;1
3;1;1
1;1;2
2;1;2
3;1;2
1;1;3
2;1;3
3;1;3
1;1;4
2;1;4
3;1;4
1;1;5
2;1;5
3;1;5
1;1;6
2;1;6
3;1;6
1;2;1
2;2;1
3;2;1
6;1;1
6;1;2
6;1;3
6;1;4
6;1;5
6;1;6
1;1
1;2
1;3
1;4
1;5
1;6
2;1
......
1
2
3
4
5
6
1
1.33
1.67
1.33
1.67
2
1.67
2
2.33
2
2.33
2.33
2.67
3
1.33
1.67
1.67
X =x
p[ X =x]
p[ X =x]
1
1/216
1,33
3/216
1,67
2
2,33
2,67
3
3,33
3,67
4
4,33
4,67
5
5,33
6/216 10/216 15/216 21/216 25/216 27/216 27/216 25/216 21/216 15/216 10/216 6/216
5,67
3/216
6
1/216
0,005
0,014
0,028
0,014
0,005
1
2
3
4
5
6
......
2;6
....
.....
1;2;6
2;2;6
3;2;6
6;6
1;6;6
2;6;6
3;6;6
6;6;6
2;6
....
.....
6;6
6
0,046
0,069
0,097
0,116
0,125
0,125
0,116
0,097
0,069
0,046
0,028
media=3,5 (se observa claramente); d.t.= 0,99 (se puede comprobar)
Observa que 0,99= 1,71
3
Tirando 3 dados, ¿Cuál de los sucesos que se dan a continuación es más probable?
A: La media de sus puntuaciones es igual a 3
(es lo mismo que decir que la suma de sus puntuaciones es igual a 9)
B: La media de sus puntuaciones es igual a 5
(es lo mismo que decir que la suma de sus puntuaciones es igual a 15)
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