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TEMA 8: SISTEMAS DE ECUACIONES
PROBLEMAS
Ejercicio 1.Si sabemos que 3 periódicos y 4 revistas cuestan 11 euros, y que 1 periódico y 2 revistas
cuestan 5 euros, ¿cuánto valen cada periódico y cada revista?
Ejercicio 2.Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 60 cm y cuya altura es 2 cm
mayor que la base.
Ejercicio 3.Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.
Ejercicio 4.Halla dos números cuya suma sea 30, y la suma de sus cuadrados sea 468.
Ejercicio 5.El perímetro de un rectángulo mide 90 m. Si el lado mayor mide 5 m más que el menor,
¿cuánto miden sus lados?
Ejercicio 6.La edad de una mujer era hace 10 años cinco veces la de su hija y dentro de 11 años
será solamente el doble. ¿Qué edades tienen actualmente?
Ejercicio 7.Una casa rectangular cuyos lados miden 14 m y 18 m, se encuentra rodeada por un
jardín de anchura constante, cuya superficie es de 228 m 2. ¿Qué anchura tiene el jardín?
Ejercicio 8.La suma de las edades, en años, de los cuatro miembros de una familia es 100. Si el
padre es 2 años mayor que la madre, y la misma diferencia hay entre la hija mayor y su
hermano, que nació cuando su madre tenía 28 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Ejercicio 9.Un depósito de 12 m3 de capacidad tiene dos grifos, A y B, y un desagüe que vierte la
misma cantidad de agua por minuto que mana el grifo B. Los dos grifos manando juntos
llenan el depósito en 4 h, y si se dejan abiertos el grifo A y el desagüe, el depósito se
llena después de 9 h. ¿Qué cantidad de agua por minuto vierten los grifos?
Ejercicio 10.Al dividir la cifra de las decenas entre la de las unidades de un número de dos cifras,
obtenemos de cociente 2 y resto 1. Si cambiamos de orden las dos cifras, obtenemos un
número que doblado sobrepasa en una unidad al número dado. Halla dicho número.
Ejercicio 11.Un triángulo rectángulo tiene las medidas de sus lados iguales a tres números pares
consecutivos. ¿Cuáles son?
SOLUCIONES
Ejercicio 1.Sean x el precio de un periódico e y el de una revista.
El sistema a resolver es:
3 x  4 y  11

 x  2y  5
Por reducción, multiplicando la segunda ecuación por 2:
 3 x  4 y  11

 2x  4 y  10


x  1  1  2y  5  2y  5  1  y  2

El precio de un periódico es 1 euro y el de una revista 2 euros.
Ejercicio 2.Si x es la base e y, la altura, el sistema a resolver es:
2x  2y  60
 x  y  30


 y  x2
 x  y  2
Por reducción:
 x  y  30

 x  y  2
2y  32  y  16  x  16  30  x  14
La base mide 14 cm y la altura 16 cm.
Ejercicio 3.Si x e y son los dos números, el sistema a resolver es:
 x  y  19

x  y  67
Por reducción:
 x  y  19

x  y  67
2x  258  x  129  129  y  191  y  191  129  y  62
Los números son 129 y 62.
Ejercicio 4.Si uno de los números es x, el otro será 30  x.
El planteamiento es:
x2  (30  x)2  468.
Operamos y ordenamos los términos:
x2  30 x  216  0
Resolvemos:
x
30  900  864 30  6 
18


2
2

12
Ejercicio 5.Representamos el lado menor del rectángulo con x. El mayor será x + 5.
El perímetro es: 2x + 2(x + 5) = 90.
Agrupando los términos:
4x  80  x  20m.
Ejercicio 6.Llamamos x e y a las edades actuales de madre e hija, respectivamente.
En el pasado, las edades cumplían la condición siguiente: x  10 = 5(y  10)
En el futuro, la relación que da el enunciado es: x + 11 = 2(y + 11)
Agrupando los términos obtenemos:
x  5 y  40

x  2y  11

Restamos las ecuaciones: 3y = 51
y = 17.
Con este valor la 2ª ecuación nos da: x = 11 + 34 = 45.
La edad de la mujer es 45 años, y la de su hija 17 años.
Ejercicio 7.Anchura del jardín: x
Área del jardín: el perímetro de la casa por el ancho, más los cuatro cuadrados de las
esquinas.
(2  14  2  18)x  4x2  228
Operando y simplificando obtenemos:
x2  16 x  57  0.
Resolvemos:
x
 16  256  228
 16  22 
 19


2
2

3
La solución x = 19 no tiene sentido en este problema. Así x = 3 m.
Ejercicio 8.Representamos con x la edad de la madre.
El padre tendrá x + 2 años, el hijo pequeño x 28 y la hija x  26. La suma es: (x + 2) + x + (x 
26) + (x  28) = 100.
Agrupamos y resolvemos:
4x = 152  x  38 años.
Las edades del padre, la hija y el hijo son: 40, 12 y 10 años, respectivamente.
Ejercicio 9.Sean x e y el número de litros de agua por minuto que manan A y B, respectivamente.
En 4 h = 240 minutos, A y B manan 12 000 litros: 240x + 240y = 12 000
En 9 h A llena el depósito y compensa lo que vierte el desagüe: 540x = 12 000 + 540y
Simplificando, resulta el sistema de ecuaciones:

x  y  50


9 x  9 y  200
Multiplicando la 1ª ecuación por 9, y sumando:
650
18x = 650  x 
 36,1 litros/minuto
18
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:

125
y
 13,8 litros / min uto
9
Ejercicio 10.Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.
El número en cuestión es: 10x + y.
El número con las cifran en orden inverso: 10y + x. Y el doble menos 1: 2(10y + x)  1.
Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:

x  2 y  1


10 x  y  2(10 y  x )  1
Sustituyendo la 1ª ecuación en la 2ª:

10(2y + 1) + y = 20y + 2(2y + 1)  1
21y + 10 = 24y + 1.
Obtenemos para y el valor 3; para x = 7; por lo tanto, el número es 73.
Ejercicio 11.Sean los tres números pares consecutivos: 2x, 2x  2 y 2x + 2.
El teorema de Pitágoras dice:
(2x)2  (2x  2)2  (2x  2)2
Operando llegamos a la ecuación incompleta:
x2  4x  0.
Las soluciones son: x = 0; x = 4.
La primera no tiene sentido en este problema. La segunda nos da para los lados los valores: 6,
8 y 10.