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CURSO: FÍSICA
CRITERIO II: RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN
COLEGIO PARROQUIAL MIXTO SAN PEDRO CHANEL
SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS)
SULLANA
PROFESOR: LIC. ROSA MELVA VERA R.
TEMA: PORCENTAJE – SERIES - SUMATORIAS.
Regla del tanto por Cuanto
El 4 por 11 < >
Cantidad final :
130% x 120% (100%)
30 120
=
x
x 100%  156%
100 100
4
11
Ejemplo 1: Calcular el 2 por 5 de 15.
Solución: El
2
por
5


2
5
de

x
 Luego el aumento único será de:
15
156% - 100% = 56%
15  6
TANTO POR CIENTO (%): En general:
a% 
a
100
Observación:
 En el caso de tener dos aumentos sucesivos del A 1 % y del A 2
%, el aumento único equivalentes (Au) que reemplaza a estos dos
aumentos es:
A x A2

Au   A1  A 2  1
100

NOTA
Si pierdo o gasto
20%
35%
2,5%
2%
x%
Queda
80%
65%
97,5%
98%
(100 - x)%
Si gano o agrego
22%
45%
2,3%
0,5%
x%
Resuelta
122%
145%
102,3%
100,5%
(100 + x)%

%

Ejemplo 8. Tres descuentos sucesivos del 20%, 30% y 40%
equivalen a un descuento único de ...
Solución:
Inicio: 100%
Final: 80% . 70% . 60% . (100%)
80 70 60

.
.
.(100%)  33,6%
100 100 100
 Du  100%  33,6%  64,4%
Por fórmula:
Como son más de 2 descuentos sucesivos, se aplica la fórmula de
2 en 2.
 20% ; 30%; 40%

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
20(30) 

Du  20  30 
%  44%
100 

Ejemplo: ¿A qué descuento único equivale 2 descuentos sucesivos
del 20% y 30%?
Solución:
Cantidad Inicial: 100%
Descuento
20%
30%
 20% ;30% ; 40%

44 %
Queda
80%
70%
44(40) 

Du  44  40 
%  66,4%
100 

Cantidad final: 70 % x 80 % (100 %)
70
80
=
x
x 100%  56%
100 100
 Luego el descuento único será de:
100% - 56% = 44%
APLICACIÓN COMERCIAL DEL PORCENTAJE
Pv  Pc  G
Observación:
Si tenemos que hacer dos descuentos sucesivos del D 1 % y del D 2 %
éstos pueden ser reemplazados por un solo descuento que equivale a
los dos anteriores, éste es el descuento único equivalente (Du) y se
calcula así:
D x D2

Du   D1  D 2  1
100


%

Ejemplo 7. ¿A qué aumento único equivalen 2 aumentos sucesivos
del 20% y 30%?
Solución:
Cantidad Inicial: 100%
PL  P v  Descuento
G B  G N  Gastos
Observación:

La ganancia o pérdida generalmente, se expresa como un
porcentaje del precio de costo, salvo que se diga otra cosa.

La rebaja o descuento se expresa como un porcentaje del precio
de lista.
1. Si el precio de un producto se rebaja en un 80 %, ¿en qué
porcentaje hay que aumentar el nuevo precio para volver al
precio original?
1|5to
a) 160 %
d) 500 %
b) 16 %
e) 200 %
12. ¿Cuál es el aumento único equivalente a los aumentos
sucesivos del 10%, 20%, 25% y 30%?
a) 148%
b) 164%
c) 172%
d) 149%
e) 128%
c) 400 %
2. ¿Cuál es el número que multiplicado por si mismo, y
disminuido en la unidad es igual al 12 % del 200 por 2
del
50 %
a) 2
del inverso del mismo número?
b) 3
0, 2 %
3. El
13. El 7 por 10 del 5 por 13 del 2 por 5 de 260 es:
a) 27
b) 29
c) 26
d) 28
c) 4
del
500000, es:
a) 12
b) 11
d) 6
2000 %
c) 8
del
3%
d) 16
14. Si un equipo de sonido fue vendido en S/. 2340 dejando una
utilidad del 30%, entonces para ganar solamente el 20% sobre
el costo debería venderse en:
a) S/. 2 000
b) S/. 1 990
c) S/. 2 160
d) S/. 1 980
e) S/. 2 120
e) 10
del
20
%
3
de
15. El ancho del rectángulo aumenta en 20%, mientras que el largo
disminuye en 20%. ¿En qué tanto por ciento varía su área?
a) 4%
b) 6%
c) 8%
d) 5%
e) 3%
e) 40
4. El 30 % del 120 % del 40 % de un número es igual al 60 % del
80 % de 30. Hallar el 20 % del 40 % de dicho número.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
16. Si el radio de una piscina circular aumenta en 100%, entonces
para que su volumen no varié, su altura debe disminuir en un:
a) 55%
b) 70%
c) 50%
d) 60%
e) 75%
5. se vende un lapicero en S/. 680 perdiendo el 15 % del
costo. ¿A cómo se debe vender para ganar el 9 %?
a) S/. 872
d) S/. 724
b) S/. 836
e) S/. 936
c) S/. 827
6. Milagros vendió un libro Ganando el 20 % del precio de venta y
el 10 % del precio de costo. Si lo vendió en S/. 748, ¿cuál fue
su costo?
a)S/. 468
b) S/. 500
c)S/. 525
d)S/. 544
e)S/. 642
7. Restar
1
1
del 5 % de
6
30
y restar de
1
35
el 10 % de
1
7
.
Al dividir el primer resultado entre el segundo se obtiene.
a)
2
7
b)
4
7
c)
7
4
7
d)
e)
4
8. los lados de un cuadrado se triplican, ¿en que porcentaje
aumenta el área?
a) 300 %
d) 900 %
b) 800 %
e) 200 %
c) 600 %
10. El
a) 6
b) 24%
e) 25%
c) 50%
 x 1 % de  x  36 es
b) 7
c) 8
d) 9
2x
. Hallar " x "
5
SERIE NUMÉRICA
Es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y
al resultado se le llama valor de la serie.
Sea la sucesión:
t1 ; t2 ; t3 ; .....; tn
Entonces la serie numérica será:
S  t1  t2  t3  .....  tn
SERIE ARITMÉTICA
Es la adición indicada de los términos de una sucesión o Progresión
Aritmética.
En general: Para toda sucesión aritmética de “ n ” términos:
t2
 t3  t4  .......  tn





r
r
r
r
r
La suma de todos sus términos se obtiene:
t t 
S  t1  t2  t3  .....  tn   1 n  .n
 2 
Donde: t1 = Primer término
t n = Último término
n=Número de términos
e) 4
11. Tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%, equivalen a un
descuento único.
a) 47.78%
b) 47.62%
c) 44%
d) 48.62%
17. Para vender un producto se aumenta su precio en S/. 40, a fin
de ganar el 20% del precio de costo. ¿Qué porcentaje del
precio de venta se ganó? :
a) 15% b) 14%
c) 16,66%
d) 17,2%
e) 15,5%
t1 
9. Un Instituto tenía 1200 alumnos de los cuales el 40 % eran
mujeres y el 60% hombres. El número de mujeres aumenta en
30% y el de los hombres en 20%, ¿en qué porcentaje aumentó
el total de alumnos?
a) 30%
d) 40%
e) 25
e) 47.72%
SERIE GEOMÉTRICA
Pueden ser:
SERIE GEOMÉTRICA FINITA
Para toda sucesión o progresión geométrica de “ n ” términos:
2|5to
S  t1 

t2

t3 

t4  .......  tn



q
q
q
q
La suma de todos sus términos se obtiene:
S 
t1
q
n

  2i  1  1  3  5  7  .......   2n  1  n
q
 1

q 1
Suma de los primeros “ n ” cuadrados.
n
i
n=Número de términos
SERIE GEOMÉTRICA INFINITA
Para toda serie geométrica de infinitos términos su suma se
calcula así.

t3 




q
q
q
q
2
 12  22  32  .....  n2 
i 1
q= Razón (q  1; q  0)
t2
t4  ....... 
2
i 1
Donde: t1 = Primer término
S  t1 
Suma de los primeros “ n ” números impares.
n

n  n  1 2n  1
6
Suma de los primeros “ n ” cubos.
 n  n  1 
i  1  2  3  ....  n  


2
i 1


n
3
t1
1 q

3
3
3
2
3
Otras Formulas:
n
  2i 
3
 23  43  63  ...   2n   2n 2  n  1
3
2
i 1
SUMATORIAS
Se denota por la letra
n
 letra griega sigma , leeremos suma
de sus elementos:
n
t
i 1
" n "sumandos
 13  33  53  ....   2n  1  n 2  2n 2  1
3
 i i  1  1 2  2  3  3 4  .....  n   n  1 
i 1
n
1
1
1
1
n  n  1 n  2 
3
1
n
 i  i  1  1 2  2  3  3  4  .....  n   n  1   n  1
i 1
PROPIEDADES DE SUMATORIAS
Número de términos:
n
1
1
1
1
1
n
  2i  1 2i  1  1 3  3  5  5  7  ...   2n 1 2n  1  2n  1
i 1
n
t
i
i k
i 1
3
n
 t1  t2  t3  ......  tn
i
  2i  3
 tk  tk 1  tk  2  ....  tn
n
Número de Términos   n  k   1
 c   n  k   1 .c
i k
n
n
C.
n
a  b  c    a  b   c
i
i k
i
n
t
i 1
II.
i
i

i
ik
k
t
i 1
i
i k

i
i k
i
n
t
i  k 1

D.
Suma de los primeros “ n ” números naturales:
n  n  1
i  1  2  3  ....  n 

2
i 1
n
n
(2i  1)2  12  3 2  5 2  ...  (2n  1)2  13 n(2n  1)(2n  1)
i1
n
(2i)3  23  4 3  63  8 3  ...  (2n)3  2n 2(n  1)2
i1
n
(2i  1)3  13  33  5 3  7 3  ...  (2n  1)3  n 2(2n 2  1)
i1
i
SUMAS NOTABLES
(2i)2  22  4 2  6 2  8 2  ...  (2n)2  32 n(n  1)(2n  1)
i1
B.
n
n
A.
n
i
4
E.
 14  24  3 4  4 4  5 4  ...  n 4
i 1

n(n 1)(6 n 3  9 n 2  n 1)
30
n
F.  i(i  1)  1x 2  2x3  3x4  4 x5  ....  n(n  1)
 1 n(n  1)(n  2)
i1
G.
n
3
 2ix(2i  2)  2x4  4 x6  6x8  8 x10  ...  2n(2n  2)  3 n(n  1)(n  2)
4
i 1

n
Suma de los primeros “ n ” números pares.
 2i  2  4  6  .....  2n  n  n  1
i 1
n
H.  ix3 i  1x3  2x3 2  3x3 3  4 x3 4  ...  nx3 n  (2n 1)x3 n 1 3
i1
4
3|5to
I.
J.
 i(i11)  1x12  21x3  3x14  41x5  ...  n(n11)  (nn1)
9.
 (2i1)(12i1)  1x13  31x5  51x7  71x9  ...  (2n 1)(12n 1)  2nn1
a) s/. 5 316
n
i1
n
i1
2
n

1

1
1
1


 ...
1x 2 x 3
2x 3 x 4
3 x 4 x5
a  (a  2)  (a  4)  ...  7 a  na(ma  1)
Hallar: m  n
a) 6
b) 8
c) 9
d) 7
e) 10
11. Si:
n(n  3)
1


n(n  1)(n  2) 4 (n  1)(n  2)
1.
12. Calcular:
K  1  2  3  4  ...  50
Sabiendo que:
P  4  5  7  3  6  5  9  3  ...
E  1  3  5  7  ...  69
Hallar el valor de: R  2( K  E )
a) 4
b)5
c) 10
d) 12
c) s/. 5697
de los “ n ” primeros términos es: 6n  3n .
a) 355
b) 360 c) 357 d) 350 e) 362
1
1
 1  1  1  ... 
 n
2ix(2i 2) 2 x 4 4 x 6 6 x 8
2 n(2 n  2) 4 (n 1)
L. i 1 i(i  1)(1  2)
b) s/. 5 984
d) s/. 5 270
e) s/. 6 084
10. Hallar el término 30 de una progresión aritmética, si la suma
i1
n
K. 
Qué precio pide por su caballo quien exige por el primer clavo
de sus herraduras s/. 125; s/. 216; por el segundo; s/. 343 por
el tercero; hasta s/. 1 331 por el penúltimo clavo
244 sumandos
a) 7 479
d) 8 400
e) 14
b) 7 849
e) 8 479
c) 8 749
13. Hallar la siguiente suma:
2.
S  23  43  63  83  ...  (2n)3
Hallar “n” en:
(n  1)  (n  2)  (n  3)  ...  (n  a)  a
a)
3.
1
a
b)
a 1
2
c)
a 1
4
d)
a 1
2
2
2a  1
e)
2
n (n  1)
b)
d)
2n2 (n  1)2
e)
En una progresión aritmética se conoce que:
t1  a  2 ; r  2  a ; sn  10  5a , hallar “ n ”
a) 5
4.
a)
2
b) 4
c) 3
d) 6
e )7
En una progresión aritmética, el tercer término es igual a 4
veces el primero y el sexto término es 17. Hallar la suma de
los 10 primeros términos.
a) 95
b) 100 c) 105 d) 112 e) 15
26
14. Calcular:
Calcular “ M ”
M  1  2  3  2  3  4  3  4  5  ...
240 sumandos
a) 9 870 b) 9 960 c) 9 710 d) 9 250
6.
e) 10 000
f (n)  n(n  1)2 , hallar el valor de:
R  f (0)  f (1)  f (2)  ...  f (19)
Si:
c)
20
2n(n  1)2
15
M  7 6 5
a) 110
i  20
j 15
n 11
b) 100
c) 105
d) 92
e) 115
10
15. Calcular: S
  (3k 2  5k  7)
k 1
a) 1050
5.
(n2  1)
2
2n 2
n 1
b) 1400 c) 1300 d) 1030 e) 1500
16. Calcular la suma de todos los números que conforman el
siguiente arreglo:
1
4
9
16
4
9
16
25
9
16
25
25
361
361
361
16
25
361
a) 42 130 b) 41 230
7.
d) 41 620 e) 42 62
1 2 3

  ...
Calcular “ K ”: K   
2 8 28 77
a) 1
8.
c) 44 100
b) 2
c) 2/5 d) 3/4 e) 1/2
a) 36 000 b) 36 100
c) 36 200 d) 36 400 e) 36 500
17. Hallar:
A  1x5  2x6  3x7  ...  36x40
Calcular el valor de “ E ”
E  1x2  3x4  6x6  8x10  ...  25x44
a) 2 640
b) 2 710 c) 3 410 d) 2 570 e) 3 650
a) 16 250
b) 17 520 c) 18 510
d) 17 740
e) 18870
4|5to