Download MOVIMIENTO CINEMATICA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR “ Santiago De Cali”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.
TALLER DE FISICA.
TEMA: CINEMATICA. MOVIMIENTO RECTILINEO. 10
Compare los resultados obtenidos.
Como conclusión tenemos que.
NOMBRE:
GRADO
DESPLAZAMIENTO. Es el vector formado por la posición inicial y la
posición final.
El vector desplazamiento nos indica que tan retirado quedamos de la
posición inicial.
El desplazamiento de X0 a X1 lo podemos representar de la siguiente
forma.
10
COD
FECHA
ESTUDIO DEL MOVIMIENTO:
CINEMTAICA:
 Estudio del movimiento en función del tiempo, independiente de
las interacciones que lo producen.
 Estudia el movimiento sin importar las causas que lo producen.
MAGNITUD:
 Longitud. Medida de la distancia.
 Tiempo: Medida de los Instante transcurrido.
MOVIMIENTO.
DEFINICION. Es el cambio de posición de un cuerpo o partícula en un
instante dado.
2
Posición
Inicial t0
4A
4
tf
1
B
X0
Xf
3
Posición
Final
Grafica No 1: Movimiento de A hacia B
El cambio de posición de la partícula anterior es ir de A hacia B, en
diferentes formas, se llamadas TRAYECTORIAS.
Las diferentes trayectorias descritas por la partícula:
1. Línea Recta. Es el Camino más corto.
2. Parabólica.
3. Escuadra.
4. Sinodal. Es el camino más largo.
Las trayectorias son las diferentes graficas que describe el
movimiento.
POSICION. Es el lugar determinado que ocupa una partícula en un
determinado instante de tiempo, dependiendo del origen.
t0 = 0 Seg
t1 = 4 Seg.
 
 

X 0 X 1 = X 01 = X 1 - X 0 =
Hallemos los cálculos de los siguientes desplazamientos.
 

 
X 0 X 1  X 01 = X 1 - X 0 = 13m – 5m = 8m
 

X1 X f  X1f =
 

X0X f  X0f =
Los incrementos del tiempo para los diferentes recorridos o
desplazamientos.
t 01
= t1 – t0 =
t1 f
=
t 0 f
=
VELOCIDAD.
Se define como el cambio de posición en el tiempo. Esta puede
interpretarse de dos maneras, dependiendo del recorrido y del
desplazamiento.
VELOCIDAD O RAPIDEZ.
Es el recorrido por unidad de tiempo. Cumple las siguientes
condiciones:
1. Es un escalar. Tiene magnitud y sus correspondientes unidades.
2. No se le considera el signo. Siempre es positiva.
∆𝑥 𝑋
𝑉=
=
∆𝑡
𝑡
Ej 1. Si un cuerpo hace un recorrido de 200 m en 26 seg. Cuál es su
velocidad?
Datos: X=200m t=26 seg.
𝑠𝑒𝑔

X0
es la posición inicial = 5m. empieza a contabilizar el
movimiento.
3. T0 Tiempo inicial = 0 Seg.
5.
X 01 + X 1 X f
200 m
𝑥 200𝑚
𝑚
𝑉= =
= 7.69
𝑡 26𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
𝑚
Esta velocidad de 7.69
, nos significa que el cuerpo recorre 7.69 m,
X0 = 5 m
X1 = 13 m. Xf = 16 m.
Grafica No 2: Posición de una partícula.
Según el grafico No 2 tenemos que:
1. El origen es O.
4.
=
tf = 6 Seg.
0
2.
X0f
en 1 seg; o equivalente: Que en un seg recorre 7.69 m.
Ej 2. Un automóvil que viaja a una velocidad determinada, recorre
1
85.2 Km en 1 ℎ𝑟. Cual será dicha velocidad.
2
Datos: X=85.2 km t = 1.5 hr.


X 1 Es la posición 2, recorriendo 8 m más. X 1 = 13 m. T1 = 4 seg.


Xf
Xf
= Posición final 4 más a la derecha.
= 17 m
85.2 km
𝑥 85.2𝑘𝑚
𝑘𝑚
𝑉= =
= 56.8
𝑡
1.5ℎ𝑟
ℎ𝑟
tf = 6 seg.
que el símbolo, es _______ y su valor es _______. Y el tiempo inicial
Esta velocidad nos indica que el automóvil en 1 hr recorre 56.8 Km, o
su equivalente, en una hora el automóvil recorre 56.8 km.
VELOCIDAD MEDIA.
Es el desplazamiento por unidad de tiempo que hace un móvil.
Cumple las siguientes condiciones:
1. Es una unidad vectorial. Cumple las condiciones de un vector, tal
que tiene, magnitud, dirección y sentido.
⃑
∆
𝑋
⃑𝑚 = 𝑋 =
𝑉
∆𝑡
𝑡
UNIDADES DE MEDICION.
SISTEMA C.G.S.
Sistema de medición de unidades pequeñas.
es _______ y vale _______.
1.
La posición final es _______ y su valor es _______, para un tiempo
SISTEMA M.K.S.
Sistema de medición de unidades grandes.
final llamado _______ y que vale _______.
1.
Completemos la tabla de datos de la Grafica No 2.
T (Seg)
0
4
6
X(m)
Tabla No 1: Datos posición partícula grafica No 2.
El movimiento se empieza a contabilizar a partir de la posición inicial
RECORRIDO. Es la medida de la trayectoria. Este valor siempre será
positivo. Podemos decir que es el valor absoluto.
El recorrido
X 0 X1
=
X 01 = X 1 - X 0 = 13m – 5m = 8m.
Haga lo mismo para cada una de las distancias indicadas.
X1 X f
X0f
=
=
X 01 + X 1 X f
=
𝑉=
𝑉=
𝑋
𝑡
𝑋
𝑡
=
=
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑘𝑚
ℎ
OTROS SISTEMAS.
𝑥
𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑡
𝑥
𝑠𝑒𝑔
𝑝𝑢𝑙
𝑡
𝑥
𝑠𝑒𝑔
𝑀𝑖
𝑡
ℎ
1.
𝑉= =
2.
𝑉= =
3.
𝑉= =
Ej: Una persona realiza un recorrido hacia el norte de 25 m, en 5 seg y
luego hacia el Oeste recorre 48 m en 8 seg.
1. Hágase un grafico para ilustrar la situación del recorrido de la
persona de la experiencia.
T2 = 5 hrs.
X1
48 m
 X2 = 20(5) + 5 = 100 + 5 = 105𝑚
Xf
T3 = 10 hrs.
25m
2.
3.
4.
A
X0
Determinar el recorrido de cada uno de los tramos. (Recuerde
que es una medida escalar y positiva)
𝑋01 = 25𝑚
𝑋1𝑓 = 48𝑚
𝑋0𝑓 = 𝑋01 + 𝑋1𝑓 = 25𝑚 + 48𝑚 = 73𝑚
El tiempo en cada tramo.
𝑡01 = 5𝑠𝑒𝑔
𝑡1𝑓 = 8𝑠𝑒𝑔
𝑡0𝑓 = 𝑡01 + 𝑡1𝑓 = 13𝑠𝑒𝑔
Hallar la velocidad o la rapidez del movimiento de la persona en
cada recorrido.
𝑋01 25𝑚
𝑚
𝑉01 =
=
=5
𝑡01 5𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
𝑋1𝑓 48𝑚
𝑚
𝑉1𝑓 =
=
=6
𝑡1𝑓 8𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
𝑋0𝑓
73𝑚
𝑚
𝑉0𝑓 =
=
= 5.61
𝑡0𝑓 13𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
Esto nos indica que:
𝑚
Una persona que haga un recorrido inicial a 5
y luego el otro
tramo a 6
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
𝑚
𝑠𝑒𝑔
.
Encuéntrese el desplazamiento de cada uno de los tramos y el
desplazamiento total. (recuerde que es una magnitud vectorial).
𝑋01 = 25𝑚
𝑋1𝑓 = 48𝑚
𝑋0𝑓 = 𝑋01 + 𝑋1𝑓 , 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa del
triangulo rectángulo, ya que es el vector resultante.
𝑋0𝑓
6.
7.
T(hrs.)
0
2
5
10
20
X(Km.)
5
45
105
205
405
Tabla No 2. Datos ejercicio no 1.
Represente los datos en el grafico inicial unidimensional.
Determinemos el recorrido entre los valores dados o indicados, y de
igual manera para los instantes de tiempo empleados. Recuerde que
el recorrido y el tiempo no pueden ser valores negativos.
X 0 X 1  X 01 =
X1
–
otro desplazamiento del otro tramo a 6
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
, equivale a que lo
puede hacer por la diagonal a una velocidad media de 4. 16
𝑚
𝑠𝑒𝑔
.
Ejemplo No 1. Sobre una recta un ciclista tiene una posición dada por
la ecuación x = 20t + 5, en donde x = Km y t = hrs. Son llamadas
ecuaciones paramétricas.
t2 = 5s
X0
=
45Km
–
5Km
40
Km.
t 01 = t1 – t0 = 2h – 0h = 2h.
Esto nos indica que el móvil recorre 40 Km. en 2 hrs.; o que se demora
2 hrs. en recorrer 40 Km.
|𝑋2 − 𝑋1 | = |105𝑚 − 45𝑚| = |60𝑚| = 60𝑚
∆𝑡12 = 𝑡2 − 𝑡1 = 5 − 2 = 3𝑠𝑒𝑔
X23 =
t 23 =
X3f =
t 3 f
X13 =
t13 =
X0f =
t 0 f
=
=
t 03 =
X03 =
t3 = 10s
t4 = 20s
X3=205Km
Xf = 405Km
t 24 =
X24 =
El recorrido total se puede hallar también, sumando los recorridos
parciales de cada uno de los tramos. De igual manera se puede hacer
para el tiempo.
X0f = X01 + X12 + X23 + X3f = _______ + _______ + _______ +
_______ = __________.
T0f = t01 + t12 + t23 + t3f = _______ + _______ + _______ +
_______ = __________.
Las graficas de los movimientos de las diferentes partículas, se pueden
representar en un grafico bidimensional, ose en los ejes cartesianos.
Llamadas graficas de X contra t o x/t.
Variables: 1. Independiente: t
2. Dependiente: X
Si analizamos la grafica vemos que corresponde a:
1. línea recta.
2. No pasa por el origen.
3. Si t aumenta, entonces x también aumenta.
4. x es proporcional a t.
5. La ecuación de la recta será:
VD = m VI + b
X = m t + b.
x(km)
400
300
200
X0=5KmX1=45Km X2=105Km
=
= √(𝑋01 )2 + (𝑋1𝑓 )2
𝑋0𝑓 = √(25)2 + (48)2
𝑋0𝑓 = √625 + 2304
𝑋0𝑓 = √2.929
𝑋0𝑓 = 54.12𝑚
La dirección y sentido del vector resultante del desplazamiento
es:
𝐶𝑂 25𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐴 =
=
= 0.5208
𝐶𝐴 48𝑚
−1
𝐴 = tan (0.5208)
𝐴 = 27.51°
El vector resultante de desplazamiento, o el vector
desplazamiento es: |𝑅⃑| = 54.12𝑚
𝐴 = 27.51°
Encuéntrese o calcúlese la velocidad media para cada uno de los
recorridos y el total.
𝑋
25𝑚
𝑚
⃑ 01 = 01 =
𝑉
=5
𝑡01 5𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
𝑋
48𝑚
𝑚
⃑ 1𝑓 = 1𝑓 =
𝑉
=6
𝑡1𝑓 8𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
𝑋
54.12𝑚
𝑚
⃑ 0𝑓 = 0𝑓 =
𝑉
= 4.16
𝑡0𝑓
13𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
Esto nos indica que:
𝑚
Una persona que haga un desplazamiento inicial a 5
y luego el
0 t0 = 0s t1 = 2s
Tf = 20 hrs.  X4 =20(20) + 5 = 400 + 5 = 405𝑚
Vamos completando la tabla para luego construir la grafica.
Organizamos los datos obtenidos en una tabla.
, equivale a que lo puede hacer todo el recorrido a
la velocidad de 5.61
5.
54.12m
 X3 = 20(10) + 5 = 200 + 5 = 205𝑚
Grafica No 3: Grafica unidimensional.
La posición inicial de la partícula o el móvil es para cuando t vale 0 hrs.
Si t = 0  X0 = 20(0) + 5 = 0 + 5 = 5.
Encontremos los valores correspondientes de X para algunos valores
de tiempo dados.
T1 = 2 hrs.  X1 = 20(2) + 5 = 40 + 5 = 45𝑚
100
5
10
15
20
t(hrs.)
Grafica No 2. Grafica de x / t ejercicio No 2.
Hallamos la pendiente de la recta:
X 2  X1
405Km 105Km
x
m = t = t t =
20h 5 h
2 1
300Km
Km
15h = 20 hrs
Cuáles son las unidades de la pendiente?
m = --------------- Son unidades de velocidad, los que nos indica que en
una grafica de Distancia-Tiempo la pendiente nos indica la
VELOCIDAD.
m
seg
V=
;
pies
seg
;
km
h
;
pul
seg
;
mil
h
Dado el punto de coordenadas (5, 105), perteneciente a la grafica No
2 y su correspondiente m = 20, podemos reemplazar en la ecuación de
la recta d la forma:
X = m t + b.
Obtendremos los siguientes valores.
105 = 20(5) + b
105 = 100 + b
105 – 100 = b
b=5
La ecuación de la recta representada en la grafica es:
X = 20t + 5
Coincide con la ecuación paramétricas de movimiento del ciclista.
Su forma general será.
X – 20t – 5 = 0
Como sabemos que la pendiente de la recta en una grafica de
Distancia-Tiempo es la velocidad, entonces probemos la velocidad
para cada uno de los tramos y determinemos como es su velocidad.
V01 =
X 01
t0 1
=
40 Km
2h
= 20
Km
h
Indica que recorre 20 Km. en 1 h
X 45 =
X 56 =
X 67 =
X 03 =
X 25 =
X 37 =
X 07 =
4. Calcule los tiempos empleados en cada uno de los tramos.
(Recuerde que el tiempo no es negativo)
t 01  t1  t 0 = 4 Seg – 0 Seg = 4 Seg
t12 =
t 23 =
t 34 =
t 45 =
t 56 =
t 67 =
t 03 =
t 25 =
t 37 =
t 07 =
V12 = ------ = ------ =
5. Pruebe que el recorrido es igual a cada expresión de estas:
V 23 = ------ = ------ =
X 03  X 01  X 12  X 23  ________ + ________ + ________ = ________
V3 f
X 25  X 23  X 34  X 34  ________ + ________ + ________ = _______
= ------ = ------ =
X 37  X 34  X 45  X 56  X 67  ________ + ________ + ________ +
V13 = ------ = ------ =
V0 f
________ = _______
X 07  X 01  X 12  X 23  X 34  X 45  X 56  X 67  ____ + ____ + ____ + ____ +
= ------ = ------ =
Observando la velocidad para cada tramo, decimos que dicha
VELOCIDAD es la misma para cada uno, o sea que dicha velocidad no
varía, entonces decimos que la VELOCIDAD ES CONSTANTE.
X = v t + X0
Posición inicial.
Tiempo transcurrido.
Velocidad (m)
Posición final
Ejercicio No 2: La ecuación de movimiento de un cuerpo que se
desplaza libremente, sobre una línea recta, esta dado por la ecuación
x = 25 t
1. hacer la tabla de datos con los siguientes valores dados.
t
(s)
0
4
6
10
15
20
30
40
50
x
(m)
Tabla No 3: Datos según ecuación del ejercicio No 3.
2. Realice una grafica unidimensional de la situación descrita en la
tabla No 3.
T0 = 0
X0 = 0m
3. Calcule los recorridos en cada uno de los tramos indicados.
(Recuerde que la distancia no es negativa).
X 01  X 1  X 0 = 100m – 0m = 100m
X 12 =
X 23 =
X 34 =
_____ + _____ + _____ = _____
6. Halle
la
velocidad
para
cada
Indicando que nos indica el resultado.
m
seg
tramo
V01 
X 01 = 100m = 25
t 01 4Seg
V12 
X 12 = ------------ =
t12
V23 
X 23 = ------------ =
t 23
V34 
X 34 = ------------ =
t 34
V45 
X 45 = ------------ =
t 45
V56 
X 56 = ------------ =
t 56
V67 
X 67 = ------------ =
t 67
V03 
X 03 = ------------ =
t 03
V25 
X 25 = ------------ =
t 25
V37 
X 37 = ------------ =
t 37
V07 
X 07 = ------------ =
t 07
indicado.
El móvil recorre 25m en cada 1 seg.
7. Como la velocidad en cada tramo es IGUAL.
Su velocidad es : ________________________
La posición inicial vale: __________________
La ecuación de
la recta será: _______________
8. Si analizamos la grafica y determinamos su ecuación con dos
puntos cualesquiera.
1.
2.
3.
4.
5.
Es una línea recta.
Pasa por el origen (0, 0).
si t aumenta, entonces x aumenta.
x es directamente proporcional a t.
La ecuación de la recta es: (Hallar)
10. Hacer la grafica Bidimensional X contra t.
X(m)
1. Organice los datos en una tabla.
700
T(s)
600
500
0
X(m)
2
4
4
14
21
17
26
400
Tabla No 5. Datos de la grafica No 5
Haga un comentario sobre la grafica obtenida.
2. Haga la grafica de X / T. Complétela.
v(m/s)
300
200
25
100
20
10
20
30
40 t(Seg)
Grafica No 3. Representación de la tabla No 3.
11. Haga una tabla o complete la siguiente tabla con los datos hallados
anteriormente.
T(s)
0
4
6
V(m/s)
25
25
10
15
20
30
40
Tabla No 4. Datos de la velocidad en cada uno de los tramos del
ejercicio anterior.
12. Graficar los datos de la tabla No 4.
v(m/s)
15
10
5
2
4
6
8
10 12 14 16 t(seg)
Grafica No 4. Gráfica Bidimensional Distancia-tiempo.
3. Determine los recorridos en cada tramo indicado y su
correspondiente tiempo utilizado.
No olvide que los valores de recorrido o distancia recorrida y el
tiempo no pueden ser negativos.
X01 = X1 - X0 = 4 m - 0 m = 4 m
X12 = ________ = ________ = ________
25
X23 = ________ = ________ = ________
20
X34 = ________ = ________ = ________
15
X45 = ________ = ________ = ________
X56 = ________ = ________ = ________
10
t 01 = t1 - t0 = 2 s - 0 s = 2 Seg.
5
t12 = ________ = ________ = ________
t 23 = ________ = ________ = ________
5
10 15
20 25
30 35
40 t(seg)
Grafica No 4. Gráfica de velocidad-tiempo de los datos tabla.
13. Analice y describa la gráfica.
1. Clase de recta? _______________
t 34 = ________ = ________ = ________
t 45 = ________ = ________ = ________
2.
Paralela al eje? _______________
t 56 = ________ = ________ = ________
3.
La pendiente m =? _____________
Si determinamos el cociente el cociente entre la distancia recorrida y
el tiempo empleado en cada tramo indicado, que lo llamamos rapidez.
14. Que figura le determina el área bajo la curva de la tabla No 4.?
_______________________________
Hállela el área.
15. Cuál es el recorrido para t = 40 s, según la gráfica No 3 o la tabla
No 3.
Xt = _____________
Compare con el numeral 13.
16. Halle el área del rectángulo determinado por (30, 25).
Km
s
      
V23
      
V34
V45
) = 750 m.
X 12
t12
X
 23
t 23
X
 34
t 34
X
 45
t 45
V12 
17. Cuanto recorre para t = 30 s?
V56 
_____________
4.
5.
18. Qué concluye?
Ejemplo No 3. Un movimiento de una persona está determinado por
el siguiente grafico unidimensional, en orden consecutivo de posición
se realiza el movimiento así: ( x0, x1, x2, x3, x4, x5, etc.)
T0=0
T1=2 T6=17
0m
X0
4m 5m
X 1 X6
X 01 = 4m
m
2
t 01 2 Seg
Seg
2
m
Seg
nos indica que la persona recorre 2 m cada seg.
A = _______ = _________ = ________
A = bxh = (30 s)(25
V01 
T2=4s
T5=14s
T3=6s
T4=11s
11m
X2
17m
X5
21m
X3
26m
X4
Grafica No 5. Posiciones diferentes del movimiento de la persona.
      
      
X 56
      
t 56
Como es la rapidez V en cada uno de los tramos? Explique.
Si hallamos los diferentes desplazamientos para cada uno de los
tramos especificados en el recorrido, obtenemos. Recuerde que
para el desplazamiento debe efectuar la operación en el estricto
orden de Posición final menos inicial.



t 01 = 2 Seg
X 01  X 1  X 0  4m – 0m = 4m Recordemos que



X 12  X 2  X 1 



X 23  X 3  X 2 



X 34  X 4  X 3 



X 45  X 5  X 4 

X 06



X 56  X 6  X 5 
. Si la VELOCIDAD MEDIA simbolizada por
Que es equivalente a hallarlo de la siguiente forma:
=


X 6  X 0 = 5m – 0m = 5m
11. Determinando la Velocidad media de recorrido.

V 01 ,



X 06
5m = 0.29 m
Vmt  V06 

seg
t 06
17 Seg
se definió como el
cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado en cada

tramo, tenemos que: V  X
m
t


X 01
4m
m
V01 

2
t 01 2Seg
Seg



X
7m
m
V12  12 
 3.5
t12 2Seg
Seg
m se desplaza 2m cada seg.
Seg
3.5 m se desplaza 3.5 m cada seg.
Seg

V23 
          

V34 
          

V45 
          

V56 
          
6.
Construya una tabla con los datos de tiempo y Velocidad media.
T(s)
0
V(m/s)
2
2
4
6
11
14
17
Tabla No 6. Datos de la velocidad media y el tiempo.
7. Construya grafica de la tabla No 6
V(m/s)
5
4
3
2
1
A1
A2
A3
A4
2
4
6
8
10
12
14
A6
A5
8.
16
t(s)
Grafica No 7. grafica de Velocidad - Tiempo
Si observamos detenidamente la figura geométrica que se forma,
en el área bajo la curva, vemos que son rectángulos y hallamos el
área así:
A1 = b1xh1 = (2Seg)(2
m
seg
) = 4m
 A1  4m = 4m
No está indicando que se desplaza en 1 seg 0.29m.

13. El significado de Vmt  0.29 m
y de Vt = 2.76 m . Que es
seg
seg
igual hacer el recorrido de la posición

X0
a la posición
velocidad de 0.29 m , que recorrerlo por las posiciones X 0 , X1 , X2 ,
seg
X3 , X4 , X5 y X6 a la velocidad de 2.76 m . Que si parten en el mismo
seg
instante dos móviles por los aminos determinados, llegaran en el
mismo tiempo, pero con velocidades diferentes, por los recorridos
que tienen que realizar.
12. Como gran conclusión del ejercicio tenemos:
1. La pendiente en una grafica de Distancia-Tiempo nos determina
la VELOCIDAD.
2. El área bajo la curva, en una grafica Velocidad-Tiempo nos
determina:
a. El desplazamiento, si tenemos en cuenta el signo de las áreas.
b. El recorrido, si no tenemos en cuenta el signo de las áreas.
EJEMPLO: Cuál es la velocidad instantánea, al instante t = 2 seg para
un cuerpo cuya posición en metros está dada por la ecuación para
métrica x = t2 +1mn?
Tenemos que hallar el desplazamiento y el tiempo para espacios
extremadamente pequeños, así:
T(s)
2
2.1
2.05
2.01
2.001
2.0001
x(m/s)
5
5.41
5.2025
5.0401
5.004001
5.00040001
Como velocidad instantánea la calculamos con el proceso siguiente:
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
∆𝑥01
𝑋1 − 𝑋0 5.41 − 5 0.41
𝑚
̅̅̅̅
𝑉01 =
=
=
=
= 4.1
∆𝑡01
𝑡1 − 𝑡0
2.1 − 2
0.1
𝑠𝑒𝑔
̅̅̅̅
𝑉02 =
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
∆𝑥02
𝑋2 − 𝑋0 5.2025 − 5 0.2025
𝑚
=
=
=
= 4.05
∆𝑡02
𝑡2 − 𝑡0
2.05 − 2
0.05
𝑠𝑒𝑔
̅̅̅̅
𝑉03 =
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
∆𝑥03
𝑋3 − 𝑋0 5.0401 − 5 0.0401
𝑚
=
=
=
= 4.01
∆𝑡03
𝑡3 − 𝑡0
2.01 − 2
0.01
𝑠𝑒𝑔
̅̅̅̅
𝑉04 =
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
∆𝑥04
𝑋4 − 𝑋0 5.004001 − 5 0.004001
𝑚
=
=
=
= 4.001
∆𝑡04
𝑡4 − 𝑡0
2.001 − 2
0.001
𝑠𝑒𝑔
̅̅̅̅
𝑉05 =
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
∆𝑥05
𝑋5 − 𝑋0 5.00040001 − 5 0.00040001
𝑚
=
=
=
=4
∆𝑡05
𝑡5 − 𝑡0
2.0001 − 2
0.0001
𝑠𝑒𝑔
afirmar que la velocidad instantánea del móvil es 4
A3 = b3xh3 = (2Seg)(5
)=10m
 A3  10m = 10m
A4 = b4xh4 =
A5 = b5xh5 = (3Seg)(-3
m
seg
 A5   9m = 9m
) = -9m
A6 = b6xh6 =
9. Efectuamos la suma de las distancias recorridas, ósea los valores
absolutos o las del numeral 3.
X01 + X12 + X23 + X34 + X45 + X56 =
4m + 7m + 10m + 5m 9m +12m = 47 m
Para un tiempo total de t06 = 17 seg.
La rapidez media total del recorrido es:
V06 
El móvil o la persona recorre 2.76 m cada seg.
10. Efectuemos la suma de cada uno los desplazamientos para cada
tramo. Numeral 6.
+

X 34
+

X 45
+

X 56
=
(4m) + (7m) + (10m) + (5m) + (-9m) + (-12m) = 5m
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
, para t = 2 seg.
VELOCIDAD INSTANTANEA.
La velocidad instantánea describe la velocidad en un determinado
tiempo. Esta se determina para intervalos de posición
demasiadamente pequeños.
Notamos que la velocidad instantánea se escribe como:
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑
∆𝑥
⃑
𝑉=
, pero la expresión matemática seria: lim ⃑⃑⃑⃑
∆𝑥 = 𝑉
∆𝑡→0
∆𝑡→0
EJEMPLO 5. Las ecuaciones paramétricas de un movimiento de una
partícula que se desplaza sobre un plano son: (1) x = 2t+1 y (2) y = t -2.
Las graficas dele movimiento sobre cada eje son:
Para cada una de las ecuaciones deducimos que:
𝑚
La Vx = 2
y la posición inicial en el eje X es X0 = 1 m.
La Vy = 1
X 06 = 47m 2.76 m

seg
t 06 17 Seg



X 01 + X 12 + X 23
a la
Observamos que a medida que el intervalo de tiempo se hace cada
𝑚
vez más pequeño, la velocidad media se acerca a 4
. Podemos
A2 = b2xh2 =
m
seg

X6
𝑠𝑒𝑔
𝑚
𝑠𝑒𝑔
y la posición inicial en el eje y es Y0 = - 2m.
ECUACIONES PARAMETRICAS.
En matemática, una ecuación paramétrica permite representar una
curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores
arbitrarios, llamados parámetros.
Con las ecuaciones paramétricas se puede determinar la trayectoria
de un móvil, en los ejes de coordenadas X e Y, aplicando los sistemas
de ecuaciones.
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro
de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
Para x = 2t + 1. Tabulamos.
Para x = t - 2. Tabulamos.
Hallamos la nueva tabla de datos t2 / x
0
4
9
25
64
3.
t2
T(s)
0
2
4
T(s)
0
2
x
X(m)
1
5
9
X(m)
-2
0
100
225
400
201
451
801
4
1
2
9
19
51
129
Tabla No 8. Nueva tabla linealizada de la 7.
Tabla No 2. Datos partícula eje y.
Tabla No 1. Datos partícula eje x.
Las graficas correspondientes a cada movimiento serian:
800
X(m)
x(m)
4
600
2
400
8
2
200
2
2
4 t(s)
Grafica No 1. Partícula en el eje x.
4 t(s)
-2
Grafica No 2. Partícula en el eje y.
Si deseáramos encontrar la ecuación de la trayectoria de la partícula
sobre el plano cartesiano x e y, tendríamos:
Despejamos de la ecuación más simple el valor de t y lo reemplazamos
en la otra: De la ecuación (2) despejamos t y lo reemplazamos en la
ecuación (2)
t = y + 2, por lo tanto
x = 2t + 1
x = 2(y + 2) + 2
x = 2y + 4 + 2
x = 2y + 6
Si tabuláramos para esta expresión tendríamos:
x(m)
2
8
12
18
y(m)
-2
1
3
6
100
200 300 400
500
Y(m)
5
3
4.
5. Para t2 = 0  x =
Hallamos la pendiente de la grafica.
5.
m=
x = x 2  x1 = ---------------- = -------------- =
t 2 t 2 2  t 21
La ecuación de la grafica será de la forma x = m t2 + b..
(Reemplazar el valor de m y b)
Observamos que es una ecuación cuadrática, que corresponde a
una parábola.
Esta es la ecuación del movimiento del móvil descrito en la tabla.
EJERCICIOS. Dadas las ecuaciones paramétricas, encuentre:
Grafica de cada una.
La velocidad.
La posición inicial de la partícula en cada eje.
La ecuación de la trayectoria.
1. X = 2t + 3
y=t–3
4. X = t – 2
y = 3t – 1
2
2. X = t + 1
y = 2t + 1
5. X = t2 + 1
y=t+1
3
1
X = 2t2 – 1
3.
12
800 t2 (s2)
6.
Tabla No 3. Datos de la posición sobre los dos ejes de la partícula en
cuestión.
Construyendo la grafica tendremos.
8
600 700
Grafica No 9. La Grafica linealizada No 8
Analizando la grafica No 9.
1. Tipo de grafica.
2. Coordenadas de corte.
3. x es directamente proporcional a t2 .
4. La forma de la ecuación.
3
y=t–2
6. X = t – 2
4
y = 2t - 1
EJERCICIO No 5. Un hombre camina hacia el oriente 10m en 5 seg., y
luego camina 15 m hacia el norte en 3 seg.
18 x(m)
X2

x
Grafica No 3. Trayectoria de la partícula.
EJERCICIO No 4: La Tabla de datos siguiente da las diferentes
posiciones de un móvil con relación al tiempo, en sus diferentes
recorridos realizados.
T(s)
0
2
3
5
8
10
15
20
X(pul)
1
9
19
51
129
201
451
801
Tabla No 7. Datos del movimiento del móvil.
X0
Vt =
X(m)
X1
Grafico No 10. Desplazamiento Ej 5
El recorrido del móvil.
X0X1 = 10m
X1X2 = 15m
t01 = 5 seg.
El recorrido total es:
Xt = X01 + X12 = 10m + 15m = 25m
Tt = t01 + t12 = 5seg + 3seg. = 8 seg.
La velocidad o rapidez del movimiento es:
t12 = 3 seg.
Vt = 25m = 3.125 m Indica que recorre 3.125 m en cada seg.
tt
8seg
seg
600
El desplazamiento total será:



x  X 01  X 12 , pero corresponde a un triangulo rectángulo,
400
en la cual la hipotenusa es el desplazamiento total.



X 02 2  X 01 2  X 12 2

(X 02 ) 2 = (10m)2 + (15m)2 =

(X 02 ) 2 = 100m2 + 225m2

(X 02 ) 2 = 325 m2

X 02 = 325m 2

X 02 = 18.02 m

X 02 = t 02 = 8seg
200
5
2.
10
15
20 t(seg)
Grafica No 8. Grafica X / t de los datos ej 4.
Si analizamos la grafica x/t, observamos:
1. La grafica corresponde a una parábola.
2. Su ecuación es de la forma y = ax2 + bx + c
3. Es una función cuadrática.
4. Debemos linealizar la grafica. Convertir en Línea R.
5. Encontrar la ecuación de la grafica linealizada.
La velocidad media del movimiento será:


V = X 02 = 18.02m = 2.25 m
Significa que el móvil recorre
m
t 02
8seg
seg
2.25 m cada seg.

Vm = 2.25
m Nos indica que es
El significado de Vt = 3.125 m y
seg
seg
equivalente a que el hombre camine por X0 a X1 y X2 a la velocidad de
2.25 m o a que camine de X0 a X2 a la velocidad de 2.25 m .
seg
seg
ACELERACION DE UNA PARTICULA
ACELERACION MEDIA.
Si la velocidad media de una partícula es

Vf
t0 y varia aumentando a

V0
T(seg)
en un instante de tiempo
0
CONDICIONES:
tiene la misma dirección que

V m .
1.
El vector
2.
La aceleración puede tener sentido contrario a la velocidad

1. Si Vf > V0  Vf – V0 > 0  La a es positiva. El
movimiento es acelerado. La velocidad va aumentando.
3
X(m)
en un instante de tiempo tf. Se define
como vector aceleración media a la razón del incremento de la
velocidad media, en el intervalo de tiempo sucedido.


a = VelocidadM edia = Vm = V f  V0
t
delTiempo
t f  t0

a
Dos móviles A y B se encuentran en movimiento rectilíneo expresado
por las ecuaciones XA = t – 5 y XB = -t +15. En que instante de tiempo
se cruzan. Cuanto ha recorrido cada uno en t + 15 seg. Hacer gráficos y
mostrar el punto de encuentro.
XA = t – 5
XB = -t +15
T(seg)
0
4
X(m)
Tabla No 12. Completar las tablas
Analice los resultados según la grafica realizada.

2. Si Vf < V0  Vf – V0 < 0  La a es negativa. El
movimiento es desacelerado. La velocidad va en disminución.
EJERCICIO No 6: Sobre una línea recta, un auto acelera de una
Km a 100 Km en 2 horas. Cuál es su aceleración.
h
h
velocidad de 60
Datos:
2h
La velocidad aumenta de 60 a
Km
h
100
, o sea que el movimiento es ACELERADO
Km
h
V0 = 60

a
=
1h
V f  V0
t f  t0
Vf = 100
Km
h
Km
100 Km
 60 Km
h
h
= 40 h = 20 Km . Nos
2h
2h
h2
=
indica que el móvil aumenta la velocidad en 20
El móvil en t0 = 0 la velocidad es 60
aumenta a 80
un total de 80
V0 = 60
Km
h
Km
h
Km
h
Km
h
Km
h
cada h
, en la hora siguiente la
y en la segunda hora aumenta otros 20
Km
h
1h Vf = 100
Km
h
, para
El grafico nos ilustra el aumento de la
velocidad en cada hora.
Grafica No 10. Aumento de la velocidad del móvil.
La equivalencia de de la aceleración de 20 Km a m
h2
seg 2
20 Km = 20 x1000m =
h2
20000m
= 0.0015 m
seg 2
12960000seg 2
3600seg 2
La equivalencia de de la aceleración de 20 Km a pul .
h2
20 Km = 20 x1000 x39.37 pul = 787400
h
3600seg 
2
seg 2
pul = 0.0607 pul
seg 2
12960000 seg 2
2
EJERCICIO No 1: Una partícula situada en la abscisa +8m se mueve
hasta la abscisa + 2m en 3 seg. Cuál es su recorrido, su desplazamiento
y su velocidad tanto rapidez como media.
T = 3seg
Xf
X0
2m
8m
Grafica No 11. Posiciones del móvil.
1.
2.
3.
V f  V0
2m  8m



X 0 f  X f  X 0 = 2m – 8m = -6m
X0f =
V0f =
X0f
t

4.
=  6m = 6m
=
m
= 6m = 2
seg
3seg
X0f

 6m = -2 m
=
V0 f =
t
3seg
seg
Grafica No 11. Rectas de movimiento
Los dos móviles se encuentran según los gráficos en el punto de
intersección.
Según el grafico es más o menos para t=10seg. Si evaluamos las
ecuaciones:
Si t = 10s  XA = 10 – 5 = 5 m
 XB = -10 + 15 = 5 m.
A y B tienen la misma posición en t =10
Si parten en t0 = 0s. La posición inicial para cada móvil es:
XA = 0 – 5 = -5m
XB = 0 + 15 = 15m
Si la posición final es la del cruce.
XfA = 5m
XfB = 5m
El desplazamiento de cada uno.



X 0 fA  X fA  X 0 A = 5m - (-5m) = 10 m



X 0 fB  X fB  X 0 B = 5m - 15m = - 10 m.
El recorrido será el valor absoluto.
X 0 fA = 10m = 10 m
X 0 fA =  10m = 10m
El recorrido de cada móvil para t = 15s.
XAf = t – 5 = 15 – 5 = 10 m XA0 = 0
XA0f = XAf – XA0 = 10m – 0m = 10m
XBf = - t + 15 = - 15 + 15 = 0m XB0 = 15
XB0f = XBf – XB0 = 15 – 0 = 15m
El desplazamiento para t = 15 seg



X 0 fA  X fA  X 0 A = 10 – ( - 5) = 10 + 5 = 15 m



X 0 fB  X fB  X 0 B = 0 – 15 = - 15 m
La rapidez con que se mueve cada partícula en t = 15 seg.
VA = X A = 15m = 1 m Recorre un m cada seg
15seg
seg
tA
Vb = X B = 15m = 1 m
Recorre un m cada seg
15seg
tB
seg
La velocidad media con que se mueve la partícula en t = 15 seg.


VA  X A
tA
= 15m = 1 m
seg
15seg
un m cada seg

 Recorre
V B  X B =  15m = -1
tB
15seg
m
seg
Se devuelve un m cada seg
CONCLUSION: Los móviles están sobre la misma vía, pero andan en
sentidos contrarios.
3. Un movimiento se representa por la ecuación x = 2t2 (Distancia en
m y tiempo en seg).
1. Como se denomina este movimiento.
2. Cuál es su aceleración?
3. Su velocidad inicial?
4. Su posición inicial?
5. La ecuación de la velocidad?
4. Cuál es la aceleración, la velocidad inicial y la posición inicial del
movimiento x = 3t2 + 5t + 4? (Distancia en m y tiempo en seg).
Escribir la ecuación de la velocidad. R// 6, 5, 4. v = 6t + 5.
5. Cuál es la velocidad y la posición inicial de movimiento del móvil
representado por la ecuación x = 3t + 7 ( x = km y t = h).
6. Cuál es la ecuación de la posición de un cuerpo cuya velocidad es
de 5
7.
m
s
y parte del reposos?
Cuánto recorre un coche en 5 min, si su velocidad media es de 60

Km
? Recuerde que V  x ?
h
m
t
Una partícula esta en un punto x = 5m en el instante t = 0s y se
8.
mueve con una velocidad media constante de 10
m
s
. Dibujar su
posición x en función del tiempo.
Las siguientes tablas muestran la posición de un cuerpo en los
diferentes tiempos. Encontrar ecuación de movimiento.
9.
T(s)
X(m)
0
0
2
12
T
x
4
48
0
0
7
147
10
300
2
1
14
588
4
0.5
18
972
8
0.25
10
0.2
25
1875
30
2700
14
0.14
40
4800
20
0.1
50
7500
X(m)
0
0
1
5
2
3
15
4
45
65
5
70
6
7
60
30
8
9
50
50
55
11
55
55
t


t

Vm = Cte = Vf = V0=


V m  V m = 0 = 0.
t
t
Nos indica que la aceleración del movimiento es cero, que por lo tanto
no hay cambio de velocidad en su recorrido.
La velocidad media es:
V = x = X f  X 0 = Si para X0 el tiempo transcurrido es t0 = 0
t
t f  t0
seg., la expresión se reduce a:
V= X f  X0 = X f  X0
tf 0

V . tf = X
f
 X0
tf
Xf = V . t f + X 0
Es la ecuación de mto para cualquier instante dado.
Si la ecuación se generaliza tenemos que nos queda: X = V.t + X0.
Los gráficos de dicho movimiento serán representados por las
siguiente graficas.
1. X/t. Una línea recta con pendiente diferente de cero.
2. V/t. Una línea recta paralela al eje t.
3. a/t. Una línea recta por el eje t.
a.
b.
c.
x
v
a
v
m=v
X0
t
Grafica No 12.
Ecuación de Mto.
t
Grafica No 12a.
Ecuación de v-t.
m
seg
X(m)
12
X0=0m
V(m/s)
La
ecuación
de
6
9
4
movimiento es:
6
X = V. t + X0
3
2
X = 4.t + 0
X = 4.t
1 2
3 4 t
1 2 3 4 t(s)
T(seg) 0
3
Grafica No1a.
Grafica No1a.
X(m)
0
12
Distancia-Tiempo
Velocidad-Tiempo
Tabla No 1. Datos
Cuánto recorre para t Cuánto recorre para t
problema 1
= 1.5 seg?
= 8 seg?
Cuanto recorre para X = ______ = ______
X = ______ = ______
t=4 seg?
X = ______ = ______
Muestre el recorrido del auto en las graficas No1 y 1a de x-t y v-t.
t
Grafica No 12a.
Ecuación de a-t.
va
de una ciudad A hasta una ciudad B, situada 150 Km. y luego regresa A
con una velocidad constante. El tiempo total de recorrido es de 5 hrs.
Cuál fue la velocidad durante el recorrido de B hacia A?
Datos:
XAB = VAB.t  150 V
X BA =
=
A VAB = 50
km
h
B
Km = 50
km
h
km
h
BA
.t
t BA
150km = t
50 Km
h
El automóvil tarda en
ir de A a B 3 hr. Ósea
que el regreso XBA =
150 Km lo hace en t =
2Hr.
150 Km
Si en la ida de A hacia
,
Km
h
150 Km = 75
2 Hr
La
velocidad
promedio de todo el
recorrido.
Vp =
V AB  VBA =
2
---------- = ---------EJERCICIO No 3: Dos móviles parten de 2 ciudades distantes 200 Km al
km
h
km
h
y el otro con
. En cuanto tiempo se encuentran y a qué
distancia de cada ciudad?
Datos.
X
= 60t
200 – X = 40.t
reemplazo. 200 – 60t = 40t
200 = 40t + 60t
200 = 100t
A
X
200 - x
200 = 2 h.
t
=
1. Los autos salen al encuentro.
100
2. Supongamos
que
se
Se demora en encontrarse 2 hrs.
encuentran en un punto C.
El de A recorre:
3. El tiempo empleado por cada
XA = 60t = 60(2) = 120 Km
móvil es el mismo.
El de B recorre
4. Si el de A recorre x Km.  el
XB = VB.t = 40(2) = 80 Km
que sale de B recorre 200-x.
O se puede calcular por:
XA = VA .t
XB = VB.t
XB = 200 – x = 200 – 120 = 80 Km
EJERCICIO No 4: Un ciclista parte al mismo tiempo que un
VA = 60
km
h
C
VB = 40
km
h
motociclista, una distancia de 30 Km. Si el ciclista va a 40
motociclista a 60
km
h
B

V B =60
30Km
A
X
C

km
V A =40 h
km
h
km
h
y el
. A qué hora se encuentran y que distancia ha
tenido que recorrer cada uno?
B Recorre
(1) XB = VB . t
30 + X = 60t
VA = Velocidad del ciclista. = 40
km
h
A Recorre
(2) XA = VA . t
X = 40t
.
VB = Velocidad del Motociclista.= 60
km
h
C = Punto donde B alcanza al A.
Supongamos que AC = x m. BA = 30m
El tiempo de recorrido es el mismo= t.
Reemplazamos (2) en (1) y obtenemos.
30 + 40t = 60t
30 = 60t – 40t
30 = t
t = 1.5 h.
20
El Motociclista tarda en alcanzarlo 1.5h.
El de B recorre?
El de A recorre?
XB = V B . t
XA = V A . t
= (60
EJERCICIO No 1: Un auto parte del reposo con velocidad constante de
km
h
EJERCICIO No 2. Un automóvil con velocidad constante de 50
velocidad de 40
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
DEFINICION: Un movimiento rectilíneo es uniforme si permanece
constante su velocidad.
A espacios iguales de recorrido, tiempos iguales.
La velocidad es la misma en todo su recorrido.
La aceleración del movimiento seria:
= V f  V0 = Pero como La
Datos:V=4
mismo tiempo. Uno sale con velocidad de 60
12
Tabla No 13. Movimiento de una partícula.
Hacer un análisis completo y detallado de cada una de las graficas.


Determine valores de x, x , v, v , etc.
 
a = v
. Cuál es la ecuación de posición y cual las graficas?
podemos
calcular
cuánto tarda en
hacer el recorrido.
25
0.08
10
m
seg
B va a 50
10. La posición de una partícula en función del tiempo viene dada por
la tabla siguiente. Hacer la grafica de x-t, v-t y a-t.
t(s)
4
km
h
)(1.5h)
= 90 Km.
= (40
km
h
)(1.5h)
= 60Km
m
seg
EJERCICIO No 5. Un móvil que viaja a velocidad constante de 20
parte 2 seg primero que otro móvil que viaja a 30
m
seg

La pendiente es m = a y
como es una Línea resta es
igual para todo el recorrido.
,
, al encuentro,
(en sentidos contrarios), separados 150 m. Cuál es el tiempo de
encuentro y el recorrido?
A
C
B X = 20(t + 2)
150 – x = 30 t
Reemplazando x tenemos:
150 – 20(t + 2) = 30t


150 – 20t – 40 = 30t
m
m
V A =20 seg
V B =30 seg
110 = 50t
1. Como van en sentidos
t = 110 = t = 2.2 seg.
contrarios, se encuentran en
50
un punto C.
El tiempo recorrido de A es t + 2
2. El tiempo empleado por a es t 2.2 + 2 = 4.2 seg.
+ 2.
Recorrido de A Recorrido de B
3. El tiempo empleado por B es XA = VA . t A
XB = VB . tB
t.
m
m
= (20 seg )(4.2s) = (30 seg
)(2.2s)
4. El de A recorre x m.
5. El de B recorre 150 – x.
= 84m
= 66m.
El de A recorre? El de B recorre? El recorrido total es Xt = XA + XB
XA = V A . t A
XB = VB . tB
Xt = 150m.
EJERCICIO No 6. Dos estudiantes son corredores de fondo. Uno puede
A1 = b.h = t . V0 = V0.t
A2 =
V0(
bh
2
=
V f  V0
X =
At = A1 + A2 = V0.t +
2
)+(
a
V0 (V f  V0 )
)
+
a
Grafica No I. Movimiento grafica v/t
1. Como es una grafica de v/t
2
V0t
2


at 2
2
(V  at ) t
= 02
V0t
Vt
at 2
= 10
2
2
 V0 t =


.

2a
Vf2 = V02 + 2aX.
Ecuación No 3.
EJERCICIO No 1. Un movimiento esta dado por la ecuación X = 4t2 + 3t
+ 5; en donde la variable x = m y la variable t = seg.
La posición inicial es para t = 0 seg.  X=4(0)2 + 3(0)+5 =0+0+5 = 5 m.
X = V0t + at
V0t
2
=
2
a
2
(V f  V0 )(V f  V0 )
m
mantiene una rapidez constante de 4 seg
. El otro que es más rápido,
Vf t
t (V f  V0 )
V f  V0 (V f  V0 )
Tenemos que: X0 = 5m
T t(s)
V f  V0
a
t (V f  V0 )
corren una distancia de 1.612 Km. El corredor más rápido da una
ventaja al más lento. Podrá arrancar solo después de que el más lento
pase por cierto punto marcado en la pista. A qué distancia debe estar
este punto de la línea de salida para que ambos corredores alcancen
la meta al mismo tiempo?
P
A
Q
1612 – x = 1395
X
1612 - x
1612 – 1395 = x
217 = x
m
m
Cuánto tardara en llegar o
VP=5.2 seg
VA=4.5 seg
recorrer desde que arranca el A?
1. El que sale de P alcanza al otro XA = VA t  1395 = 4.5t  t =
en Q
310 s
2. el que sale de P debe recorrer De PA demora?
1612m
XPA = VA .tPA
3. El de A debe recorrer 1612-x.
217 = 4.5 tPA
El tiempo de recorrido es igual . t.
tPA = 217
4 .5
El de P recorrer? El de A recorre?
tPA = 48.22 s
XP = VP.t
XA = VA .t
1612 = 5.2 t
1612 – x = 4.5 t El tiempo total de recorrido del
móvil A es:
1612
t = 5.2
1612 – x = 4.5(310)
tA = t1 + tPA = 310s + 48.22s =
t = 310 seg.
358.22s
EJERCICIO No 7. Dos estudiantes corren en una pista atlética. Uno
t
.
2
De la ecuación 1 tenemos que t =
La ecuación de la posición es X =
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO.
DEFINICION: Es un movimiento rectilíneo con aceleración constante o
con variación uniforme de la velocidad. Es un movimiento en el que la
velocidad aumenta o disminuye uniformemente. Si un movimiento de
un cuerpo está representado por la tabla siguiente:
2. La ecuación será:
T(seg)
t0
tf
VD = m (VI) + b
m
V
V
0
f
V( seg )
Donde b = V0 y m = a
Se tiene que t0 = 0 y tf = t
Vf = at + V0
m
Organizando
la
ecuación
V seg
tenemos que:
Vf
Vf = V0 + at Ecuación No 1
v Recordemos que el área bajo la
curva es el recorrido. El área
A1
corresponde a un Trapecio.
V0
(V f V0 ) t
( B b ) h
A2
X = A =
=
=
2
2
2
Ecuación No 2.
Para hallar otra ecuación aplicamos l área bajo la curva de la grafica
No III, en donde el At = A1 + A2, en donde
1. A1 = Área del rectángulo No 1.
2. A2 = Área del triangulo No2.
m
m
mantener una rapidez de 5.20 seg
y el otro solo de 4.5 seg
. Ambos
arranca 6seg después que el primero y lo alcanza 20 seg después. Cuál
fue la rapidez media del corredor más rápido y que tan lejos llego
c/corredor en el momento del rebase?
P
6s
A
20s
C
El de A recorre. El de P recorre
XA = VA .tA
XPC = VP .t
Suponiendo que P alcanza a A en X = 4(20)
24 + X = VP (20)
el punto C.
X = 80m
24 + 80 = 20 VP
El recorrido de PA es:
114 = 20 VP
m
114 m
XPA = VAtA = (4 seg )(6s) = 24m
20 seg = VP
La distancia de AC es X
X = V0t + at
m
V0 = 3 seg
at 2
2
+ V0t + X0 = 4t2 + 3t + 5;
a
2
La ecuación de la velocidad es Vf = at + V0
v(m/s)
x(m)
 a = 8 sm2
 V = 4t + 3
=4
a(m)
8
6
4
2
20
15
10
5
40
30
20
10
1
1
1 2 3 4 t(s)
2 3 4 t(s)
2 3 4 t(s)
Grafica No 1.
Grafica No 1.
Aceleración –Tiempo
Velocidad –Tiempo
V es uniformemente
a es constante.
variable
EJERCICIO No 2. un avión parte Con que velocidad despega el
del reposo y con aceleración avión si lo hace cuando recorre la
constante de 6 m y recorre una pista.
Grafica No 1.
Distancia-Tiempo
X es variable.
seg 2
pista de 0.675 Km. Escriba las
ecuaciones
cinemáticas
de
movimiento.
Datos. V0 = 0 a = 6
m
seg 2
x = 0.675
Vf2 = 6100

675 = (0)t +
2
1
2
 90 = 6t
90
t =
6
Si Vf = 6t
(6)t2
675 =
Vf = V0 + at
3t2
 Vf = 0
+ 6t
Vf = 6t
Vf2 = V02 + 2aX 
Vf2 = (0)2 + 2(6)(675)
Vf2 = 6100
EJERCICIO No 3. Un auto parte
del reposo y con aceleración
constante de 4
m
seg 2
, y recorre
200m. Escribir las ecuaciones
cinemáticas de movimiento.
Datos. V0 = 0 a = 4
Ecuaciones:
2
X = V0t + at
2
m
seg 2
x = 200m
 200=(0)t +
4t 2
2
200 = 2t2
EJERCICIO No 4. Un tren con
velocidad de 72
km
h
, frena con
una desaceleración constante y
se para en 10 seg. Cuánto recorre
en su parada?
A
t = 10s
B
V0 = 72
km
h
Vf = 0
km
h
Se transforman las medidas a
igual unidades
Vf = 90
m
seg
Cuanto tiempo demora el avión
en alzar vuelo, si recorre toda la
pista.
Ecuaciones
2

= 15 s
O también se puede calcular por
675 = 3t2  t2 = 675
3
t = 225 = 15 s
Vf = V0 + at
Vf2 = V02
2(4)(200)

Vf = 0 + 4t
Vf = 4t
+ 2aX  Vf2 = (0)2 +
Vf2 = 1600
Cuánto
tiempo
duro
la
trayectoria del recorrido?
200 = 2t2  t = 10 s
Con que velocidad llega al final
del recorrido?
Vf = 4t

Vf = 40
m
seg
0 = 20 + a(10)
0 = 20 + 10a (2)
Vf2 = V02 + 2aX
0 = 400 + 2ax (3)
Observando las ecuaciones,
vemos que debemos hallar
primero la aceleración de la
ecuación No (2).
0 = 20 + 10 a

a=-2
m
seg 2
El signo menos nos indica que es
un movimiento desacelerado, o
km
h
V0 = 72
=
72 x1000m
3600s
sea que su velocidad disminuye.
m
seg
= 20
at 2
X = V0t +
2
X = (20)(10) + a(10)
Hallamos el valor de X en la
ecuación 1
X = 200 + 50 a
X = 200 + 50 (-2)
X = 200 - 100
X = 100 m
2
2
X = 200 + 50 a (1)
Vf = V0 + at
EJERCICIO No 5. Sobre una carretera en línea recta, un auto parte del
reposo con una aceleración constante de 5
m
seg 2
. Al cabo de 4 seg,
continúa con la velocidad adquirida y constante durante 5 seg. Si frena
m
seg 2
con una desaceleración de 4
m
seg 2
m
seg 2
frenos es de 7.6
. El
automóvil se detendrá con el
animal? Explique su análisis de
resultados.
A
t = 0.48s
B
40m
C
B
C
m
seg 2
a = -4
V0 = 90
m
Km
m
= 25 s a = - 7.6 2
h
s
Vf = 0
Transformamos unidades
mismo sistema de medición.
al
EJERCICIO No 8. Un automóvil
acelera desde el reposo con una
m
s2
aceleración de 4.5
D
. Que
distancia habrá recorrido cuando
V0=0 t = 4s Vf
t = 5s
Vf
2
XAB = V0t +
at
2
En el tramo XBC la velocidad es
constante, osea que la velocidad
con que llega en B es la misma de
c.
VB = VC = 20
, porque:
Vf = V0 + at
m
VB = 0 + (5)(4) = 20 seg
XBC = VBC .t
XBC = (20)(5) = 100 m
En el tramo final el movimiento
es desacelerado.
m
VC = 20 seg
m
V0 = 0 seg
EJERCICIO No 6. Un coche
acelera desde el reposo con una
m
seg 2
aceleración constante de 8
.
Con qué rapidez marchara a los
10 seg?
V0=0
t = 10s
Vf
a=8
m
seg 2
 Vf = 0 +
Vf = V0 + at
Vf = 80
8)(10)
m
seg
Cuanto recorrió en los 10s?
EJERCICIO No 7. Cuánto tiempo
tardara una partícula en recorrer
105.8m si empieza en reposo y
acelera a razón de 10
m
seg 2
. Cuál
será su velocidad cuando la
partícula halla recorrido los 105.8
m? Cual su Velocidad media
durante este tiempo?
V0=0
x = 105.8m
a = 10
Vf
m
seg 2
Vf2 = V02 + 2aX 
Vf2 = (0)2 + 2(10)(105.8)
Vf2 = 2116

Vf = 46
viaja
a
90
cuando
X=V0t+
2
at 2
 X=(0)(10)+ (8)(10)
2
2
X = 0 + 400
X = 400 m
La velocidad media en
intervalo de t = 0 y t = 10s
X f  X0
V m = x =
=
t
t f  t0
m
seg
el
conductor ve un animal en la
carretera 40m adelante. Si el
tiempo de reacción del conductor
es de 0.48s (frena 0.48s después
de ver el animal y la
a = 4.5
m
s2
?
Km
Vf = 80 h
Transformamos las unidades al
mismo sistema de medidas.
EJERCICIO No 9. Una motocicleta
que esta parada en un semáforo
acelera a razón de 4.2
m
s2
en el
momento en que la luz verde se
enciende. En ese momento un
automóvil que viaja a 72
km
h
rebasa la motocicleta. Esta
acelera durante un tiempo t y
después conserva su velocidad.
Rebasa el automóvil 42 s después
de haber arrancado. A qué
velocidad va el motociclista
cuando rebasa y a qué distancia
esta el semáforo en ese
momento?
A
V0=0
el
km
h
su velocidad sea de 80
V0 = 0
Vf2 = V02 + 2aX
(0) 2 = (20)2 + 2(-4) X
0 = 400 - 8 X
X = 50 m
El recorrido total del móvil es XAD
XAD = XAB + XBC + XCD
XAD = 40m + 100m + 50m
XAD = 190 m
Hallamos el tiempo en que tarda
en recorrer el tramo CD.
Vf = V0 + at
0 = 20 + (-4) t
0 = 20 - 4t
t = 20 = 5 seg
4
El tiempo total del recorrido es:
tAD = tAB + tBC + tCD
tAD = 4s + 5s + 5s
tAD = 14s
 7 .6
a
Cómo reacciona en la frenada
0.48 s y tiene 3.28 s, entonces no
lo golpea.
Además el XBC
t
B 42 – t D
a = 4.2
m
s2
C
840 - x
at 2
=
2
(25)(3.28) + (7.6)(3.28) 2 =
2
82 - 40.88
=
41.11 m
El puede recorrer
XAB + XBC = 12 + 41.11
= 53.11 m
Vf2 = V02 + 2aX 
(22.22)2 = (0)2 + 2(4.5)X
493.72 = 0 + 9X
493.72 = 9X
X = 493.72 = 54.85 m
9
Cuánto
tiempo
habrá
transcurrido?
Vf = V0 + at 
22.22 = 0 + 4.5t
22.22 = 4.5t  t = 4.93 s
VA = 72
km
h
= ----------- = ---------
El automóvil va de AD en:
XAD = VA t = (
)(
) = -----------2
X = V0t + at

2
X = ( 0 )( t ) +
4.2t 2
2
(1)
X = 2.1t2
Vf = V0 + at 
Vf = 0 + 4.2 t
Vf = 4.2 t
(2)
Reemplazamos 840 – x y (2) en
la
ecuación de velocidad
constante
X = Vf t
840 – x = 4.2 t (4.2 – t)
T1 = 78.93 s
T2 = 5.06 s
Vf = 4.2 (5.06) = 21.26
m
s
MOVIMIENTO EN CAIDA LIBRE.
400 m  0m = 400m
10 s  0 s
10 s
Vm = 40
m
seg
Hallamos el tiempo que tarda en
recorrer los 105.8 m
X = V0t +
at 2
2

(10)t 2
2
105.8 = (0)t +
105.8 = 5t2
2
t = 105.8 = 21.16
5
t =
21.16  4.6s
Vm =
EJERCICIO No 8. Un vehículo que
km
h
m
seg 2
a=-4
2
XAB=(0)(4)+ (5)( 4)  XAB= 40m
2
m
seg
V=0
t = V f  V0 = 0  25 = + 3.28 s
XBC = V0t +
hasta quedar quieto. Cuál es el
recorrido total y el tiempo empleado? Identificamos los tramos con
los puntos A, B, C, D.
A a=5
desaceleración máxima de los
x
t
=
X
f
 X0
t f  t0
105.8m  0m = 23
4.6 s
=
m
seg
El recorrido de AB es el que hace
el conductor en el tiempo de la
reacción.
XAB = VA t = (25
m
s
)(0.48s) = 12
m
De BC hay en tiempo?
El movimiento de los cuerpos en caída libre (por la acción de su propio
peso) es una forma de movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado.
Se le llama caída libre al movimiento que se debe únicamente a la
influencia de la gravedad.
1. Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una
aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor depende del
lugar en el que se encuentren.
2. En la Tierra este valor es de aproximadamente 9,8 m/s², es
decir que los cuerpos dejados en caída libre aumentan su
velocidad (hacia abajo) en 9,8 m/s cada segundo.
3. En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire.
La presencia de aire frena ese movimiento de caída y la
aceleración pasa a depender entonces de la forma del
cuerpo. No obstante, para cuerpos aproximadamente
esféricos, la influencia del medio sobre el movimiento puede
despreciarse y tratarse, en una primera aproximación, como
si fuera de caída libre.
4.
La distancia recorrida (d) se mide sobre la vertical y
corresponde, por tanto, a una altura que se representa por
la letra h.
En el vacío el movimiento de caída es de aceleración
constante, siendo dicha aceleración la misma para todos los
cuerpos, independientemente de cuáles sean su forma y su
peso.
La aceleración en los movimientos de caída libre, conocida
como aceleración de la gravedad, se representa por la
letra g y toma un valor aproximado de 9,81 m/s2 (algunos
usan solo el valor 9,8 o redondean en 10).
Si el movimiento considerado es de descenso o de caída, el
valor de g resulta positivo como corresponde a una
auténtica aceleración. Si, por el contrario, es de ascenso en
vertical el valor de g se considera negativo, pues se trata, en
tal caso, de un movimiento decelerado.
Para resolver problemas con movimiento de caída libre
utilizamos las siguientes fórmulas:
𝑉𝑓 = 𝑉0 + 𝑔𝑡
1
ℎ = 𝑉0 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
𝑉𝑓 2 = 𝑉0 2 + 2𝑎ℎ
Hemos dicho antes que la aceleración de un cuerpo en caída
libre dependía del lugar en el que se encontrara. A la
izquierda tienes algunos valores aproximados de g en
diferentes lugares de nuestro Sistema Solar.
Para hacer más cómodos los cálculos de clase solemos
utilizar para la aceleración de la gravedad en la Tierra el
valor aproximado de 10 m/s² en lugar de 9,8 m/s², que sería
más correcto.
5.
6.
7.
8.
9.
Valor g (m/seg2)
2.8
8.9
9.8
3.7
22.9
9.1
7.8
11.0
1.6
Lugar
Mercurio
Venus
Tierra
Martes
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Luna
una altura máxima y después caerá. Tanto la fase de subida
como la de bajada son de caída libre porque así llamamos a
los movimientos que sólo dependen de la gravedad. Este
sube hasta cierto punto y se debe cumplir que su velocidad
en el punto más alto, es Cero.
Mientras el cuerpo va hacia arriba, su rapidez disminuye y
por lo tanto la gravedad estará dirigida en sentido contrario,
es decir hacia abajo.
EJERCICIOS SOBRE ANALISIS DE GRAFICAS.
1. Realice las grafica de la siguiente tabla de datos y encuentre la
correspondiente ecuación.
2.
0
3
1
5.1
3
9
5
12.9
Realice un análisis complete de cada una de las graficas dadas,
indicando, el recorrido, desplazamiento, tiempo, velocidad,
velocidad media y aceleración para cada uno de los tramos de
cada movimiento expresado en cada grafica. Tabla de datos.
Graficas x/t. Construya las otras graficas.
x(m)
6
x(pi)
30
4
20
2
10
2
4
6
8 t(s)
x(km)
36
x(pu)
30
24
20
12
10
3
6
9
12 t(h)
x(m)
6
x(pi)
30
4
20
2
10
2
10. Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, alcanzará
t(seg)
X(m)
3.
4
6
8 t(s)
x(m)
6
x(Mi)
30
4
20
2
10
2
4
6
8 t(s)
-2
-10
x(km)
6
30
4
20
2
10
4
6
8
t(s)
5
10
2
4
6
8
t(s)
2
4
6
8
t(h)
15
20
t(s)
x(pi)
2
-2
2
4
6
8 t(hs)
2
4
6
8
t(s)
-10
10
23.2
t(seg)
x(pi)
0
-1
3
2.9
10
12
18
22.4
25
31.5
35
44.5
t(h)
x(km)
0
0.6
3.5
16.35
9
41.1
12.6
57.3
20.7
93.75
30.4
137.4
t(s)
x(pu)
0
3
2
19
5
103
9
327
11
487
18
1299
4.
Analice las siguientes graficas de velocidad tiempo, indicado el
tipo de movimiento.
5.
Analice las graficas de velocidad de tiempo. Determínese en una
tabla de datos los valores de la grafica. La aceleración. Recorrido
y desplazamiento.
Interprete cada una de las siguientes graficas x/t, indicando el
tipo de movimiento, la velocidad y la aceleración. Determínese
cualquier otra condición o propiedad que explique la grafica.
v(m/s)
6
30
v(pi/s)
4
20
2
10
2
4
6
8 t(s)
2
v(km/h)
36
30
24
20
12
10
3
9
12 t(h)
4
6
8
t(h)
2
4
6
8
t(s)
2
4
6
8
t(s)
20
2
10
4
6
8 t(s)
v(m/s)
6
30
4
20
2
10
15
20
t(s)
x(pu/s)
2
4
6
8 t(s)
-2
-10
v(km)
6
v(cm/s)
30
4
20
2
10
2
4
6
8 t(s)
-2
-10
Dadas la siguientes ecuaciones paramétricas, determinar la
grafica de la trayectoria de la partícula en cuestión y realícese la
grafica de la trayectoria.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
= 2𝑡 − 1 𝑒 𝑦 = 2𝑡 + 3
= 2𝑡 + 5 𝑒 𝑦 = 𝑡 + 3
= 1/2𝑡 − 1 𝑒 𝑦 = 2/3𝑡 + 3
= 𝑡2 − 1 𝑒 𝑦 = 𝑡 + 3
= 2𝑡 2 − 1 𝑒 𝑦 = 𝑡 + 3
= 2𝑡 2 − 1 𝑒 𝑦 = 𝑡 + 3
= 3𝑡 2 − 1 𝑒 𝑦 = 2𝑡 + 3
Determínese una tabla de datos y construya las graficas de las
siguientes ecuaciones de movimiento.
a. 𝑥 = 2𝑡 − 3
2
b. 𝑥 = 𝑡 + 2
3
8.
t(s)
2
4
7.
8
10
v(mi/h)
30
6.
6
5
x(m)
6
2
4
v(pu/s)
6
1
Encontrar la velocidad de cada uno. R/20, 30.
Cuál es la velocidad empleada por un ciclista en una
competencia de los 4.000 m persecución individual, si gasta
4 min y 26 seg?
e. Un atleta de la prueba reina de atletismo hace 9.8 seg. Cuál
𝐾𝑚
es su velocidad desarrollada en promedio en ?
ℎ
f. Cuanto tiempo tardara un móvil en llegar a una ciudad
determinada que se encuentra a 155 Km, si para realizar
𝐾𝑚
este recorrido desarrolla una velocidad de 126 ?
ℎ
g. El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340
m/seg. Qué tiempo tarda en escucharse el estampido de un
cañón situado a 15 Km?
h. Dos estaciones A y B están separadas 480 km. De A sale un
tren hacia B con velocidad de 50 km. /h y simultáneamente
sale un tren de B hacia A con velocidad de 30 Km./h.
Calcular a qué distancia de A se cruzan y a que tiempo
después de haber partido.
i.
Dos ciclistas parten de dos ciudades A y B distantes entre sí
500 Km., con velocidades de 90 km. /h y 60 km. /h
respectivamente. Pero el de B sale una hora antes. Cuándo
se encontrarán y a qué distancia?
j.
Un autobús viaja en línea recta de una ciudad A a otra
ciudad B distante de la primera 200 Km. El conductor
emplea 2 horas para recorrer los 120 Km. Iníciales, luego se
detiene y descansa durante 0.5 horas. En el último
recorrido emplea 1 hora. Calcular:
1. La rapidez media del autobús durante todo el
recorrido. 15.87.
2. La rapidez media en la primera parte del recorrido.
16.66.
3. La rapidez media en la última parte del trayecto. 22.22.
4. El promedio de la velocidad promedio del recorrido.
11.11.
k. Dos automóviles salen de dos ciudades A y B diferentes,
distantes entre sí, 300 Km., si parten al mismo tiempo con
velocidades de 100 Km./h. Y 40 Km./h respectivamente. Al
cabo de cuánto tiempo el de A alcanza al de B y cuál será la
distancia recorrida por cada automóvil?
l.
Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de
1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480
cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo
sentido:
1. ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?
2. ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?
m. Un barco navega con una rapidez de 200 metros en 50
segundos; un avión vuela a 780 Km/h. Si ambos tienen
rapidez constante ¿cuántas veces es más rápido el avión que
el barco?
Analice cada uno de los problemas de movimiento uniforme
acelerado y resuélvalos.
1. Un cuerpo se mueve, partiendo del reposo, con una
aceleración constante de 8 m/seg.2. Calcular:
a. La velocidad instantánea al cabo de 5 seg.
b. La velocidad media durante los 5 primeros segundos
del movimiento.
c. La distancia recorrida, desde el reposo en los 5
primeros segundos. R/ 40 m/seg., 20 m/seg., 100m.
2. Un automóvil que marcha a una velocidad de 45 km./h,
aplica los frenos y al cabo de 5 seg. su velocidad se ha
reducido a 15 km./h. Calcular:
a. La aceleración.
b. La distancia recorrida durante los 5 seg. R/ 1.67m/seg2.
3. La velocidad de un tren se reduce uniformemente de 12
m/seg. a 5 m/seg.. Sabiendo que durante ese tiempo
recorre una distancia de 100m., calcular:
a. La aceleración.
b. La distancia que recorre a continuación hasta
detenerse, suponiendo la misma aceleración.
4. Un automóvil que viaja sobre un camino recto a 90 km./h
disminuye la velocidad a 40 km./h en 5 seg.
a. Cuál es su aceleración?
b. Cuál es la distancia que recorre?
c. Si continua disminuyendo la velocidad a la misma
proporción, hasta detenerse, que tiempo tardará y que
distancia recorrerá?
5. Un auto parte del reposo y con aceleración constante de 4
m/seg.2, recorre 200 m... Escribir las ecuaciones cinemática
del movimiento. Cuánto tiempo duró su trayectoria y con
qué velocidad llegó al final? R/ 10 seg., 40 m/seg.
d.
c. 𝑥 = 3𝑡 −
2
d. 𝑥 = 𝑡 2 + 1
e. 𝑥 = 2𝑡 2 − 3
f. 𝑥 = 𝑡 2 + 2𝑡 + 1
g. 𝑥 = 2𝑡 2 − 2𝑡 + 1
Resuelva cada uno de los siguientes problemas de movimiento
rectilíneo.
a. ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se
desplaza a 72 km/h?
b. Dos autos están en dos ciudades diferentes, distantes 120
Km. Si los autos van al encuentro, con una velocidad de
𝑘𝑚
𝑘𝑚
60
y 40
respectivamente. Al cabo de cuánto tiempo
ℎ
ℎ
se encuentran y a qué distancia de cada una de las
ciudades?
c. Dos ciclistas recorren una distancia de 60 km. con
velocidades constantes. El primero, cuya velocidad es mayor
en 10 km./h, pone una hora menos que el segundo.
9.
6.
Un automóvil parte del reposo y con aceleración constante
de 3 m/seg.2, recorre 150 m... En cuánto tiempo hizo el
recorrido y con qué velocidad llegó al final?
7. Un ferrocarril metropolitano parte del reposo de una
estación y acelera durante 10 seg. con una aceleración
constante de 12.20 pul./seg.2. Después marcha a velocidad
constante durante 30 seg. y decelera a razón de 24.5
pul./seg.2 hasta que se detiene en la estación siguiente.
Calcular la distancia total recorrida?
8. Un cuerpo parte del reposo, se mueve en línea recta con
aceleración constante y cubre una distancia de 64 pies en 4
seg.
a. Cuál será su velocidad final?
b. Qué tiempo tardó en recorrer la mitad de la distancia
total?
c. Cuál fue la distancia recorrida en la mitad del tiempo
total.?.
d. Cuál será su velocidad cuando había recorrido la mitad
de la distancia total?
e. Cuál era la velocidad al cabo de un tiempo igual a la
mitad del total?
9. Un móvil con movimiento uniforme acelerado parte del
reposo y permanece 88 seg. en marcha, si la aceleración es
de 5 cm/seg2, calcular: La velocidad al final del quinto
segundo. Distancia recorrida en los 8 seg. Distancia total
recorrida.
10. Un cuerpo que parte del reposo, tiene durante 6 seg. una
aceleración constante de 10 m/seg2, durante los 5 seg.
siguientes; continua con la velocidad constante y finalmente
vuelve al reposo por acción de una desaceleración de 15
m/seg2. Calcular
a. La distancia total recorrida.
b. El tiempo que el cuerpo permaneció en movimiento.
c. Haga un gráfico de velocidad contra tiempo.
d. A partir del área bajo la curva, determine el valor de la
distancia total recorrida y compare los resultados.
11. Un avión despega de la pista de un aeropuerto, después de
recorrer 1000 m de la misma, con una velocidad de 120
Km/h. Calcular:
a. La aceleración durante ese trayecto.
b. El tiempo que ha tardado en despegar si partió del
reposo.
c. La distancia recorrida en tierra en el último segundo.
12. Un automóvil correa una velocidad de 20 m/s, en ese
instante pisa el acelerador produciendo una aceleración
constante que aumenta su velocidad a 30 m/s en 5s. ¿Cuál
será su velocidad al cabo de 10s?
10. Problemas de caída libre.
1. Se abandona un cuerpo en caída libre, partiendo del reposo.
a. Calcular su posición y la velocidad al cabo de 1, 2, 3 y 4
seg.
b. Suponiendo que la altura a la que se suelta el cuerpo es
de 1000 pies, con qué velocidad llega al piso y cuanto
tarda en llegar?
2. Se lanza una piedra hacia arriba con una velocidad de 50
m/seg. Al cabo de 2 y 3 seg.
a. Cuál es la distancia recorrida por la piedra y cuál es su
velocidad en cada punto?
b. Cuál es su velocidad y su recorrido en la mitad del
tiempo de subida?
c. Cuál es su recorrido y el tiempo transcurrido en la
mitad de su altura?
d. Cuál es la altura alcanzada y el tiempo, cuando
disminuye su velocidad a la mitad?
e. Compruebe que, en subida y bajada, al cabo de 1.5
seg., su altura y sus velocidades son las mismas?
f. Con que velocidad llega al piso la piedra?
3. Un cañón antiaéreo lanza una granada verticalmente hacia
arriba con una velocidad de 1500 pies/seg. Calcular:
a. La máxima altura que alcanza la granada.
b. El tiempo que empleará en alcanzar dicha altura.
c. La velocidad al final de 40 y 60 seg.
d. En que instante pasara la granada por un punto
situado a 1.2 Km. De altura?
4. Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Calcular:
a. La distancia recorrida en 3 seg. (pies).
b. La velocidad después de haber recorrido 300 pies.
c. El tiempo necesario para alcanzar una velocidad de 75
m/seg.
d. El tiempo necesario para recorrer 900 pies.
e.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Si la altura a la que se deja caer el cuerpo es de 2000
pies, cuánto tardará en tocar suelo y con qué velocidad
llega?
Desde un puente se lanza una piedra con una velocidad
inicial de 10 m/seg. y tarda 2 seg. en llegar al agua. Calcular
la velocidad que lleva la piedra en el momento de incidir en
el agua y la altura del puente.
Un trabajador esta en un andamio frente a un anuncio y tira
una pelota en línea recta hacia arriba. La pelota tiene una
velocidad inicial de 11.2 m/seg. cuando deja la mano del
trabajador en el mismo nivel que la parte superior del
anuncio.
a. Cuál es la altura máxima que alcanza la bola medida
desde la parte superior del anuncio?
b. Cuanto tiempo le toma alcanzar esa altura?
c. Cuál es la posición de la bola en t = 2 seg. y cuál su
velocidad?
d. Si a partir de la parte superior del aviso la pelota tarda
10 seg. en tocar suelo, a qué altura se encuentra del
piso y con qué velocidad llega la pelota al piso?
Una piedra se lanza hacia arriba con velocidad de 80
pies/seg. Calcular:
a. Hasta que altura sube la piedra?
b. Qué tiempo tarda la piedra en subir?
c. Cuál es el recorrido de la piedra en bajada?
d. Cuál es el tiempo que demora la piedra en caer, desde
su punto más alto?
e. Con qué velocidad llega al piso?
f. La velocidad y la altura en la mitad del tiempo de
subida.
g. La velocidad y el tiempo que demora en alcanzar la
mitad de la altura?
De lo alto de una torre se deja caer un cuerpo, que gasta 3
seg. para llegar al suelo, calcular la velocidad con que el
cuerpo llega al suelo.
De una altura de 122.5 m. Se deja caer una esfera que al
llegar al suelo rebota con una velocidad igual a los 3/5 de la
velocidad con que llego.
a. Que altura alcanzara en el rebote?
b. Cuánto tiempo transcurrirá mientras la esfera choca
por segunda vez con el suelo?
c. Cuál es el valor y dirección de la aceleración cuando
sube, en el rebote, cuando alcanza su altura máxima y
ala chocar por segunda vez con el suelo?
De la boquilla de una ducha esta goteando agua al piso que
se encuentra 2.05 m abajo. Las gotas caen a intervalos de
tiempo regulares, llegando al piso la primera gota en el
momento en que la cuarta comienza a caer. Encontrar la
posición de las diversas gotas, cuando una de ellas está
llegando al piso.
Por una llave de la ducha cae una gota de agua cada seg. En
el instante en que va a caer la cuarta gota:
a. Qué distancia separa la primera de la segunda?
b. Qué velocidad posee la tercera gota?
c. Que distancia separa a cada una de las gotas?
Una piedra se deja caer libremente al fondo de un precipicio
de 80 m de altura. Un seg. más tarde, una segunda piedra se
lanza hacia debajo de tal forma que alcanza a la segunda
justamente cuando esta llega al fondo.
a. Con qué velocidad se lanzó la segunda piedra?
b. Qué velocidad llevaba la primera piedra cuando fue
alcanzada?
c. Cuánto tiempo dura en el aire la segunda piedra?
d. Cuánto tarda en caer la primera piedra?
Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando el
objeto alcanza la mitad de la altura máxima, su velocidad es
𝑚
de 24 .
𝑠𝑒𝑔
a.
b.
c.
d.
Cuál es la altura máxima?
Qué tiempo tarda en alcanzarla?
Con que velocidad se lanzó?
Qué tiempo tarda en alcanzar una velocidad de 24
hacia abajo?
Lic. Simeón Cedano Rojas.
MOVIMIENTO CINEMATICA.DOC
𝑚
𝑠𝑒𝑔