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[FICHA NO. 5]
Colegio San Isidro de Heredia
Departamento de Matemáticas
Prof: Alexander Soto Villalobos
Nivel: Undécimo año 2011
Ficha No 5: Polígonos regulares

Un polígono regular es una figura formada por la reunión de varios segmentos de manera que no se
crucen y solamente se toquen en los extremos, y además si la prolongación de sus lados no está
contenido dentro del interior del polígono y todos sus lados y ángulos son congruentes.
Los polígonos regulares se clasifican en:
Nombre del polígono regular
Triángulo equilátero
Cuadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
Heptágono regular
Octágono regular
Nonágono/ Eneágono regular
Decágono regular
Endecágono regular
Dodecágono regular
Tridecágono regular
Tetradecágono regular
Pentadecágono regular
Hexadecágono regular
Heptadecágono regular
Octadecágono regular
Eneadecágono regular
Icoságono regular
No. de lados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
16
15
16
17
18
19
20
2
[FICHA NO. 5]

Un polígono está circunscrito en una circunferencia si cada lado del polígono es tangente a la
circunferencia.

Una circunferencia está inscrita en un polígono si la circunferencia es tangente a cada lado del
polígono.
En la figura la circunferencia se encuentra inscrita al polígono y el polígono está circunscrito a la circunferencia.
𝐵
𝐴
𝐶

Una circunferencia está circunscrita en un polígono si la circunferencia contiene a cada vértice del
polígono.

Un polígono está inscrito en una circunferencia si los vértices del polígono están en la circunferencia.
Todo polígono regular está inscrito en una circunferencia. Este centro se llama centro del polígono.
En la figura el polígono se encuentra inscrito a la circunferencia y la circunferencia se encuentra circunscrita al
polígono
𝐵
𝐶
𝐴
𝐷

La apotema de un polígono regular se define como el segmento perpendicular trazado desde el centro
del polígono a uno cualquiera de sus lados.

El ángulo central de un polígono regular es el formado por dos radios que corresponden a los extremos
de un mismo lado del polígono regular.

Un ángulo interno de un polígono regular está formado por dos lados consecutivos del polígono.

Una diagonal de un polígono regular es un segmento cuyos puntos extremos son vértices no
adyacentes del polígono.
3
[FICHA NO. 5]

Un ángulo externo de un polígono regular es un ángulo adyacente a cada uno de los ángulos internos
del polígono regular, obtenido al prolongar los lados en el mismo sentido.
En la figura adjunta 𝑎 es la apotema del hexágono, 𝑟 es el radio, 𝑂 es el centro de la circunferencia circunscrita
al polígono, ∡𝐹𝑂𝐸 es un ángulo central, ∡𝐹𝐸𝐷 es un ángulo interno, ∡𝐷𝐸𝐻 es un ángulo externo, ̅̅̅̅
𝐵𝐷 es una
diagonal.
𝐶
𝐵
𝑂
𝐴
𝑎
𝐹

𝑂: centro del círculo
𝐷
𝑟
𝐸
𝐻
Sea 𝑛 el número de lados del polígono regular, 𝑙 la longitud del lado, 𝑃 el perímetro del polígono y 𝑎 la
apotema. Luego
Concepto
Medida del ángulo central y el
ángulo externo
Suma de las medidas de los
ángulos externos
Medida de cada uno de los
ángulos internos
Suma de las medidas de los
ángulos internos
Perímetro
Área
El número de diagonales que
salen de un vértice
número de diagonales
Fórmula
360°
𝑛
360°
180(𝑛 − 2)
𝑛
180(𝑛 − 2)
𝑃 = 𝑛𝑙
𝑃⋅𝑎
𝐴=
2
𝑛−3
𝑛(𝑛 − 3)
2
[FICHA NO. 5]
4
Ejercicios No. 5
1. La medida de la apotema de un pentágono regular es 4. ¿Cuál es aproximadamente la longitud de cada
lado del pentágono?
(A)
(B)
(C)
(D)
2.
(A)
(B)
(C)
(D)
5, 81
6, 47
11, 01
12, 31
En un polígono regular, la medida de cada ángulo interno es 135°. Si el perímetro es 48, entonces ¿cuál es
la medida de cada lado del polígono?
3
4
6
8
3. En un polígono regular, si desde uno de sus vértices se pueden trazar únicamente dos diagonales, entonces
la medida del ángulo determinado por esas diagonales es
(A)
(B)
(C)
(D)
24°
30°
36°
45°
4. La medida de un ángulo externo de un polígono regular es 24°, entonces la medida de un ángulo central
del polígono es
(A)
(B)
(C)
(D)
24°
48°
66°
156°
5. Si el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es 24, entonces la longitud de esa
circunferencia es
(A)
(B)
(C)
(D)
4𝜋
8𝜋
16𝜋
48𝜋
5
[FICHA NO. 5]
6. Considere la siguiente figura.
𝐴
𝐵
𝑀
𝐸
𝐷−𝐶−𝑀
𝐴−𝐵−𝑀
𝐶
𝐷
De acuerdo con los datos de la figura, si 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 es un pentágono regular, entonces 𝑚∡𝐵𝑀𝐶 es
(A)
(B)
(C)
(D)
36°
54°
72°
108°
7. Considere la siguiente figura.
𝐴
𝑀
𝐵
𝐸
𝐶
𝑁
𝑃
𝐷
_____
De
acuerdo _____
con los datos de la figura, si 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 es un pentágono regular, 𝑀, 𝑁 y 𝑃 son puntos medios, 𝐴𝐸 ∥
_____ _____
𝑀𝑃 y 𝐵𝐶 ∥ 𝑀𝑁, entonces ¿cuál es 𝑚∡𝑃𝑀𝑁?
(A)
(B)
(C)
(D)
30°
36°
60°
72°
8. La medida del radio de una circunferencia es 4√2. Si 𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado circunscrito a dicha
circunferencia, entonces ¿cuál es la medida de 𝐴𝐷?
(A)
(B)
(C)
(D)
8
16
8√2
16√2
6
[FICHA NO. 5]
9. La medida de la apotema de un decágono regular es 4. ¿Cuál es aproximadamente el área de ese
decágono?
(A)
(B)
(C)
(D)
26, 0
52, 0
246, 2
492, 4
10. Si la longitud de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero es 24𝜋, entonces la longitud de la
circunferencia circunscrita a ese triángulo es
(A)
(B)
(C)
(D)
24𝜋
48𝜋
96𝜋
8𝜋√6
11. Considere la siguiente figura.
𝐵
𝐶
𝑂
𝐴
𝐹
𝐺
𝐷
𝐸
De acuerdo con los datos
de la figura, si 𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 es un hexágono regular cuyo centro es 𝑂 y 𝑂𝐺 = 4√3,
_____
entonces la medida de𝐹𝐷 es
(A) 8
(B) 8√3
8
(C) 3 √3
(D) 16√3
12. Si la medida del diámetro de la circunferencia inscrita en un hexágono es 10, entonces ¿cuál es el
perímetro del hexágono?
(A)
(B)
(C)
(D)
30
60
20 √3
40 √3
7
[FICHA NO. 5]
13. Si la medida de la apotema de un triángulo equilátero es 12, entonces el perímetro del triángulo es
(A)
(B)
(C)
(D)
24 √3
48 √3
54 √3
72 √3
14. Considere la siguiente figura.
𝐷
𝐶
𝐸
𝐵
𝐻−𝐺−𝑁
𝑂
𝐹
𝐴
𝐻
𝐺
𝑁
De acuerdo con los datos de la figura, si el octágono regular está inscrito en la circunferencia de centro 𝑂,
considere las siguientes proposiciones.
I. 𝑂𝐶 = 𝐷𝐸
II. 𝑚 ∡ 𝐺𝑂𝐹 = 𝑚 ∡ 𝐹𝐺𝑁
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?
(A)
(B)
(C)
(D)
Ambas.
Ninguna.
Solo la I.
Solo la II.
15. Si la medida del radio de un dodecágono regular es 10, entonces la medida de cada lado de dicho polígono
corresponde aproximadamente a
(A)
(B)
(C)
(D)
5,18
10,00
19,32
17,32
8
[FICHA NO. 5]
16. Considere la siguiente figura
𝐵
𝐶
𝐴
𝐷
𝐹
𝐸
De acuerdo con los datos de la figura, si el hexágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 es regular, Δ 𝐹𝐵𝐷es equilátero y 𝐹𝐸 = 6,
entonces el área de la región destacada con gris es
(A)
(B)
(C)
(D)
18 √3
27 √3
45 √3
54 √3
17. Considere el siguiente octágono regular.
𝐵
𝐴
Si el perímetro del octágono es 80, entonces la medida de la diagonal 𝐴𝐵 es aproximadamente
(A)
(B)
(C)
(D)
3,83
7,66
9,24
18,48
18. Un hexágono regular y un octágono regular tienen el mismo perímetro. Si el área del hexágono es 216 √3,
entonces la medida de cada lado del octágono es
(A) 9
(B) 12
(C) 6 √2
(D)
9 √2
2
9
[FICHA NO. 5]
19. ¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular si la apotema mide √27?
(A)
(B)
(C)
(D)
27
36
18 √3
54 √3
20. Considere las siguientes proposiciones referidas al pentágono regular cuyo centro es 𝑂:
𝐴
𝐵
𝐸
𝑂
𝐶
𝐷
I. 𝑚 ∡ 𝐵𝑂𝐶 = 2(𝑚 ∡ 𝐸𝐶𝐷)
II. 𝑚 ∡ 𝐸𝐶𝐷 = 𝑚 ∡ 𝐴𝐶𝐸
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?
(A)
(B)
(C)
(D)
Ambas.
Ninguna.
Solo la I.
Solo la II.
21. El área de un cuadrado es 12. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado?
(A)
(B)
(C)
(D)
6𝜋
8𝜋
16𝜋
2𝜋 √6
22. Si en un polígono regular se puede trazar 9 diagonales en total, entonces ¿cuál es la medida del ángulo
interno de ese polígono?
(A)
(B)
(C)
(D)
40°
60°
120°
140°
10
[FICHA NO. 5]
23. El área del hexágono regular inscrito en un círculo de área 25𝜋 es
(A) 108
(B) 50 √2
(C)
(D)
25 √3
4
75 √3
2
24. Considere la siguiente figura:
𝑅
𝑂
𝑍
𝑂: Centro del círculo
𝑆
⃡ es tangente
De acuerdo con los datos de la figura, el heptágono regular está inscrito en la circunferencia y 𝑆𝑍
en 𝑆 a la circunferencia, entonces 𝑚 ∡ 𝑅𝑆𝑍 es aproximadamente
(A)
(B)
(C)
(D)
22,50°
25,71°
51,43°
64,29°
25. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero circunscrito a un círculo cuya medida del radio es 7?
(A) 147 √3
(B) 294 √3
196
(C) 3 √3
(D)
147
4
√3
11
[FICHA NO. 5]
26. Considere la siguiente figura.
𝐹
𝐸
𝐴
𝐺
𝐵
𝐷
𝐻
𝐶
De acuerdo con los datos de la figura, si 𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado y la medida de la apotema del hexágono
regular 𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 es √3, entonces ¿cuál es el área de la región destacada con gris?
(A) 6
(B) 6 √3 − 4
(C) 3 √3 − 4
(D)
9 √3
−
2
3
27. Considere el siguiente hexágono regular.
𝐷
𝐵
𝐴
𝐸
𝐶
𝐹
_____
De acuerdo con los datos de la figura, si 𝐴𝐵 = 4√3, entonces ¿cuál es la medida de 𝐵𝐶 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
8
12
16
24