Download Prof. Roiber J. Camacaro Prefacio

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN.
UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO GALILEO GALILEI.
BARQUISIMETO ESTADO LARA
INSCRITO EN EL M.P.P.E. BAJO EL Nº PD 01101303
PRE-CÁLCULO
MATEMATICAS PARA EL CÁLCULO
Lapso I
Material Elaborado por:
Prof. Roiber J. Camacaro
Prefacio
El Arte de enseñar es el Arte de Ayudar a Descubrir
Mark Van Doren
¿Qué es lo que los estudiantes realmente necesitan saber antes de estudiar cálculo?
Para estar preparado para el cálculo, el estudiante no sólo requiere de la habilidad
técnica, sino también entender con claridad los conceptos. De hecho, la comprensión
conceptual y la habilidad técnica van de la mano, y se refuerzan entre sí. Un
estudiante también necesita poder apreciar la utilidad de las matemáticas para
modelar el mundo real. Todas las características de esta guía están enfocadas a lograr
esas metas.
La manera más importante de reforzar el entendimiento de los conceptos y
perfeccionar la habilidad técnica se da mediante los problemas que asigna el profesor.
Con este fin se proporciona una amplia variedad de ejercicios.

Ejercicios: Cada grupo de ejercicios está clasificado según el grado de
dificultad, desde los ejercicios conceptuales básicos hasta los problemas para
el desarrollo de habilidades.

Ejercicios de Aplicación: Están incluidos problemas aplicados reales, para
captar la atención de los estudiantes. Los problemas de aplicación están
reunidos bajo el encabezado de Aplicaciones.
Sugerencia a los estudiantes:





Lea el material antes de tomar la clase.
Si algo le confunde, es aconsejable preguntar de inmediato.
Asegúrese de Resolver todos los ejercicios.
¡No se atrase! El curso es muy rápido, y recuperarse resulta difícil.
Resuelva muchos problemas. Todo necesita práctica y los problemas no son la
excepción.
Le deseo lo Mejor
Fundamentos de Pre-cálculo



Números Reales
Exponentes y Radicales
Expresiones Algebraicas
La investigación sobre ecuaciones y
sus soluciones han jugado un papel
central en el algebra durante cientos
de años. De hecho, en el año 200 a.C.,
los babilonios tenían un algebra tan
desarrollada que incluía una solución
para las ecuaciones cuadráticas. Más
tarde, el estudio de las desigualdades
fue igualmente importante. La idea
de utilizar un sistema de coordenadas
también se remonta a la época
mencionada, cuando tales sistemas
eran utilizados para la medición y la
planeación de la traza de las
ciudades. El uso esporádico de las


Ecuaciones
Desigualdades
coordenadas rectangulares continuó
hasta el siglo XVII; en ese tiempo el
algebra
estaba
suficientemente
desarrollada, de manera que a René
Descartes (1596-1650) y Pierre
Fermat (1601-1665) les fue posible
dar el paso crucial de utilizar
coordenadas rectangulares para
traducir problemas de geometría en
problemas algebraicos y visceversa.
Este paso permitió tanto a geómetras
como a algebristas concebir nuevas
ideas acerca de sus objetos de estudio
y con ello, hacer posible el desarrollo
del cálculo.

NUMERO REALES
Repasemos los tipos de números que constituyen el sistema de los números reales:
1. Naturales (N): 1, 2, 3, 4,….
2. Enteros (Z): …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… [Formado por los números naturales,
junto con los negativos y el cero]
3. Racionales (Q): [Se construyen al formar cocientes con los enteros. Por lo
tanto, cualquier numero racional se puede expresar como:
m
r
Donde m y n son enteros y n  0. (*)]
n
Ejemplos
1  7 17
,
,
2
3
100
* Recuerde que la división entre cero es imposible
4. Irracionales (I): [Está formado por los números que no pueden ser
expresados como fracción. Son números cuya expresión decimal tiene un
número infinito de cifras que no se repiten de forma periódica.]
Ejemplos:
2,
5, 
Propiedades de los números reales:
Todos sabemos que 2+3 = 3+2, y que 5+7 = 7+5, y así sucesivamente. En algebra
expresamos estos hechos, que son infinitos, mediante la expresión
A B  B  A
Donde A y B son números cualquiera. En otras palabras “ A  B  B  A ” es una
manera concisa de decir que, “cuando se suman dos números, no importa el orden en
que se sumen”. Este hecho se conoce como propiedad conmutativa de la Suma. De
acuerdo con nuestra experiencia con los números sabemos que las propiedades de la
tabla siguiente son válidas. Observe que la propiedad se aplica siempre que
multiplicamos un número por una suma. La propiedad distributiva es muy importante
porque describe la manera en que interactúan la adición y la multiplicación.
Ejemplo 1: Uso de la Propiedad Distributiva
En el último paso quitamos los paréntesis porque, de acuerdo con la propiedad
asociativa, no importa el orden de la suma.
El número cero es especial para la adición; se le llama el elemento idéntico, porque
a  0  a para
cualquier número real a . Todo número real a tiene un
negativo, - a que cumple
a  (  a )  0 . La Sustracción es la operación
inversa a la adición; para restar un número de otro, simplemente sumamos el negativo
de ese número. Por definición
a  ( b)  a  b
Para continuar los números reales que contienen negativos, utilizamos las propiedades
siguientes:
La propiedad 6 establece el hecho intuitivo de que
ba
a b
es el negativo de
. La propiedad 5 se usa a menudo con más de dos términos:
 (a  b  c)  a  b  c
Ejemplo 2: Uso de las propiedades de los Negativos
El número 1 es especial para la multiplicación; se le llama elemento idéntico porque
a 1  a para cualquier número real a . Todo número real diferente de cero
a tiene un inverso, 1 / a , que cumple que 1 / a  a  1. La división es la operación
inversa a la multiplicación; para dividir un número multiplicamos por el inverso de
ese número. Si b  0 , entonces por definición,
a b  a
1
b
1
a
simplemente como . Para combinar los números reales usando la
b
b
operación de la división usamos las propiedades siguientes:
Escribimos a 
Por lo regular cuando se suman fracciones con denominadores diferentes, no se usa la
propiedad 4. En lugar de eso se vuelven a escribir las fracciones de modo que tengan
el denominador común más pequeño posible (con frecuencia más pequeño que el
producto de los denominadores), y luego se aplica la propiedad 3. Este denominador
es el Mínimo Común Denominador (MCD) que se explica en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 3: Uso del MCD en la suma de fracciones
Evalúe
5
7

36 120
Solución: Al factorizar cada denominador en sus factores primos se tiene
36  2 2  32 Y
120  2 3  3  5
Encontramos el Mínimo Común Denominador (MCD) efectuando el producto de
todos los factores que hay en estas factorizaciones y se usa la potencia más alta de
cada factor.
LA RECTA NUMÉRICA
Los números reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta, tal como
lo muestra la siguiente figura
La dirección positiva, hacia la derecha, se señala por medio de una flecha. Escogemos
un punto de referencia O arbitrario, al que llamamos origen, el cual corresponde al
número real 0. Dada una unidad conveniente de medición, cada número positivo x se
representa por un punto en la recta a una distancia de x unidades a la derecha del
origen, y cada número negativo –x se representa mediante un punto a x unidades a la
izquierda del origen. El número asociado con el punto P se llama coordenada P y la
recta recibe el nombre de eje coordenado o de recta de los números reales o
simplemente recta real. Con frecuencia identificamos el punto con su coordenada y
pensamos que un punto es el inicio de la recta numérica.
Los números reales están ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos
a  b si b  a es un número positivo. Desde el punto de vista
geométrico, esto quiere decir que a queda a la izquierda de b en la recta numérica.
Es lo mismo que decir, que b es mayor que a y escribir que b  a
El símbolo a  b (ó a  b ) quiere decir que a  b o a  b y se
lee como “ a es igual o menor que b”. Por ejemplo, las siguientes desigualdades son
verdaderas:
CONJUNTOS E INTERVALOS
Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se denominan elementos
del conjunto. Si S es un conjunto, la notación a  S significa que a es un
elemento que pertenece a S. Por supuesto, si Z es el conjunto de los números enteros,
entonces, - 3  Z pero   Z .
Algunos de los conjuntos se pueden describir acomodando sus elementos dentro de
corchetes. Por ejemplo, un conjunto A que consiste en todos los enteros positivos
menores que 7 se expresa como
A  1,2,3,4,5,6
También podríamos escribir A en la notación de conjuntos:
A = {x | x es un entero y 0 < x <7)
Que se lee “A es el conjunto de todas las x tales que x es un entero y 0 < x < 7”
Si S y T son conjuntos, entonces la unión conjunto S  T es el conjunto que consta de
todos los elementos que están en S o en T o en ambos. La intersección de S y de T es
el conjunto S ∩ T que consiste en todos los elementos que están en S como en T. En
otras palabras. S ∩ T es la parte que es común a S y a T. El conjunto vacío, denotado
por  es el conjunto que no contiene elementos.
Ejemplo 4: Unión e Intersección de Conjuntos
Ciertos conjuntos de números reales, llamados Intervalos, se presentan con mucha
frecuencia en el cálculo y corresponden geométricamente a segmentos lineales.
Si a < b. entonces el Intervalo Abierto desde a hasta b consta de todos los números
entre a y b y se denota con (a, b). El Intervalo cerrado desde a hasta b comprende los
extremos y se denota con [a, b]. Usando la notación de conjuntos, podemos escribir
Observe que el paréntesis () en la notación de los intervalos y los círculos abiertos en
la gráfica de la figura indican que los extremos están excluidos del intervalo.
Intervalo Abierto (a, b)
Por otro lado, los Corchetes [ ] y los círculos llenos de la figura siguiente indican que
los extremos están incluidos.
Intervalo Cerrado [a, b]
Los intervalos pueden incluir sólo un punto extremo, o se podrían prolongar hasta el
infinito en una dirección o en ambas direcciones. En la siguiente tabla se ilustran los
tipos posibles de intervalos.
Ejemplo 5: Graficación de Intervalos
Ejemplo 6: Determine la Unión y la Intersección de Intervalos
Grafique cada conjunto
 (1, 3) ∩ [2, 7]
Solución: La intersección de dos intervalos consiste en los números que están en
ambos intervalos. Por lo tanto,
(1, 3) ∩ [2, 7] = {x | 1 ˂ x ˂ 3 y 2 ≤ x ≤ 7}
= {x | 2 ≤ x ˂ 3} = [2, 3)
 (1, 3)  [2, 7]
Solución: La unión de dos intervalos son los números que están en un intervalo o
en el otro o en ambos. Por lo tanto,
(1, 3)  [2, 7] = {x | 1 ˂ x ˂ 3 y 2 ≤ x ≤ 7}
= {x | 1 ˂ x ≤7} = (1, 7]

EXPONENTES Y REDICALES
En esta sección damos el significado de expresiones como am/n en las cuales el
exponente m/n es un número racional. Para hacerlo, necesitamos recordar
algunos hechos con respecto a los exponentes. radicales y raíces n-ésimas de
enteros.
EXPONENTES ENTEROS
Por lo regular, un producto de números idénticos se expresa mediante la notación
exponencial. Por ejemplo, 5•5•5 se escribe como 53 En general. tenemos la
definición siguiente.
Es esencial conocer las reglas siguientes para trabajar con los exponentes y bases. En
la tabla siguiente, las bases a y b son números reales y los exponentes m y n son
enteros.
Al simplificar una expresión, encontrará que llega al mismo resultado mediante
diferentes métodos. Siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de los exponentes
para poner en práctica su propio método. En seguida presentamos otras dos leyes que
son útiles para simplificar expresiones con exponentes negativos.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Los científicos utilizan la notación exponencial para compactar la escritura de
números muy grandes o de los muy pequeños. Por ejemplo, la estrella más cercana
más allá del Sol, Alfa Centauro, está a casi 40 000 000 000 000 kilómetros. Por otro
lado, la masa de un átomo de hidrógeno es de casi 0.00000000000000000000000166
g. Estos números son difíciles de leer y de escribir, de modo que los científicos los
expresan casi siempre en notación científica.
Por ejemplo, cuando establecemos que la distancia a la estrella Alfa Centauro es
4x1013 km, el exponente positivo l3 indica que el punto decimal se debe desplazar l3
lugares a la derecha:
Cuando decimos que la masa de un átomo de hidrógeno es 1.66 X 10-24 g, el
exponente -24 indica que el punto decimal debe pasarse 24 lugares a la izquierda:
RADICALES
Ya sabemos lo que 2n significa siempre que n es un entero. Para dar el significado de
una potencia, como 24/5 cuyo exponente es un número racional, necesitamos estudiar
a los radicales.
El símbolo “√” significa “la raíz cuadrada de”. Por lo tanto
Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n-ésimas. La raíz n-ésima de x
es el número que cuando se eleva a la potencia n-ésima da x.
Entonces, la ecuación
a 2 = a no siempre se cumple; es verdadera sólo cuando
a  0 . No obstante, siempre podemos escribir a 2 = |a|. Esta última ecuación es
verdadera no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. Ésta y otras
reglas usadas al trabajar con raíces n-ésimas se listan en el siguiente cuadro. En cada
propiedad suponemos que existen las raíces dadas.
EXPONENTES RACIONALES
Para definir lo que queremos decir con exponente racional o, lo que es lo mismo,
Exponente fraccionario como a1/3, necesitamos usar los radicales. Con objeto de dar
significado al símbolo a1/n de manera que sea consistente con las Leyes de los
exponentes, tendríamos que tener
a 
1/ n n
 a (1 / n ) n  a1  a
Entonces, según la definición de raíz n-ésima,
a  
1/ n
n
a
En general, definimos los exponentes racionales como se señala a continuación
Con esta definición, se puede demostrar que las Leyes de los Exponentes son válidas
también para los exponentes racionales
RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR
Con frecuencia es muy útil eliminar el denominador mediante la multiplicación tanto
del numerador como del denominador por una expresión adecuada. Este
procedimiento recibe el nombre de racionalización del denominador. Si el
denominador es de la forma
a , entonces multiplicamos el numerador y el
denominador por a . Al hacerlo, estamos multiplicando la cantidad por 1, de
modo que no se altera el valor. Por ejemplo:
Obsérvese que el denominador en la última fracción no contiene radical alguno. En
general, si el denominador es de la forma
n
a m con m <n, entonces al multiplicar el
numerador y el denominador por
el caso de a >0.
n
n
a nm racionalizamos el denominador, porque, en
a m  n a n  m  n a m n  m  n a n  a

ECUACIONES
Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las expresiones matemáticas
son iguales. Por ejemplo.
3+5=8
es una ecuación. La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en el álgebra
contiene variables, las cuales son símbolos, casi siempre letras que representan
números. En la ecuación
4x + 7 = 19
la letra x es la variable. Consideramos que la x es La “incógnita” de la ecuación, por
lo que el objetivo es determinar el valor de x que hace que la ecuación sea cierta. Los
valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones
o raíces de la ecuación, y el proceso para determinar las soluciones se llama
resolución de una ecuación.
Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones se llaman ecuaciones
equivalentes. Para resolver una ecuación, tratamos de encontrar una ecuación más
simple y equivalente en la que la variable esté sola en un lado del signo de “igual”.
En seguida están las propiedades que aplicamos para resolver una ecuación. (En estas
propiedades, A, B y C representan expresiones algebraicas y el símbolo
significa
“equivale a”)
Estas propiedades requieren que usted efectúe la misma operación en ambos lados de
una ecuación cuando la resuelve. Por lo tanto, al decir “se suma —7” al resolver una
ecuación, lo que realmente queremos decir es “sumar —7 a cada miembro de la
ecuación”.
ECUACIONES LÍNEALES
El tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal, o ecuación de primer grado,
que es una ecuación en la cual cada término es una constante o un múltiplo no cero de
la variable.
A continuación hay algunos ejemplos que ilustran la diferencia entre ecuaciones
lineales y no lineales
Muchas ecuaciones que se usan en las ciencias tienen varias variables, por lo que a
menudo es necesario expresar una de las variables en términos de las otras. En el
ejemplo siguiente determinamos una variable de la Ley de Newton de la Gravitación.
ECUACIONES CUADRATICAS
Las ecuaciones lineales son las ecuaciones de primer grado como 2x + 1 = 5 o como
4 – 3x = 2. Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado x2+2x–3 = 0
O como 2x2 + 3 = 5x.
Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante factorización y usando
la propiedad básica siguiente de los número reales.
Esto quiere decir que si podemos descomponer en factores el primer miembro de una
ecuación cuadrática, o de otro orden, entonces podemos resolverla igualando a cero
por turnos, a cada factor. Este método funciona sólo cuando el segundo miembro de
la ecuación es 0.
¿Se da cuenta por qué un lado de la ecuación debe ser 0 en el ejemplo 4? Al factorizar
la ecuación como x(x + 5) = 24 no ayuda a determinar la solución, puesto que 24 se
puede descomponer en factores de infinitas maneras, como 6 por 4, ½ por 48, entre
otros.
Una ecuación cuadrática toma la forma x2 – c =0, donde c es una constante positiva,
se factoriza como, ( x  c )( x  c )  0 así que las soluciones son x  c y
x c.
Con frecuencia abreviamos esto como x   c
Como se estudió en el ejemplo 5, si una ecuación cuadrática es de la forma
( x  a) 2  c , entonces la podemos resolver obteniendo la raíz cuadrada de cada
miembro. En una ecuación de esta forma, el primer miembro es un cuadrado
perfecto: el cuadrado de una expresión lineal en x. Así, una ecuación cuadrática no se
factoriza con facilidad, entonces la podemos resolver aplicando la técnica de
completar el cuadrado. Esto quiere decir que sumamos una constante a una expresión
para hacerla un cuadrado perfecto. Por ejemplo, para hacer x2 - 6x + 9 = (x – 3)2.
En seguida completamos el cuadrado añadiendo (-2)2=4 dentro del paréntesis. Ya
que todo lo que está dentro del paréntesis está multiplicado por 3, esto quiere decir
que en realidad estamos añadiendo 3 por 4 =12 al primer miembro de la ecuación. Por
lo tanto, tenemos que sumar también 12 al segundo miembro.
Podemos aplicar la técnica de completar el cuadrado con el fin de deducir una
ecuación para determinar las raíces de la ecuación cuadrática general
ax 2  bx  c  0
Demostración: Primero dividimos ambos miembros de la ecuación entre a y
pasamos la constante al lado derecho, con lo que se tiene
Luego completamos el cuadrado sumando (b/2a) a ambos miembros de la ecuación:
La ecuación cuadrática se podría utilizar para resolver las ecuaciones en los ejemplos
4 y 6. Usted puede llevar a cabo con todo detalle estos cálculos.
Puesto que el cuadrado de cualquier número real es no negativo,  1 no está
definido en el sistema de los números reales. La ecuación no tiene solución real.
La cantidad b2 – 4ac que aparece bajo el signo de la raíz cuadrada en la ecuación
cuadrática se denomina discriminante de la ecuación ax2 + bx + c = 0 y se representan
con el signo D. Si D ˂ 0, entonces b 2  4ac no está definido, por lo que la
ecuación cuadrática no tiene solución real. Si D = 0, la ecuación tiene sólo una
solución real. Po último si D ˃ 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales
distintas. En el siguiente cuadro se resumen estas observaciones
OTROS TIPOS DE ECUACIONES
Hasta este momento, hemos estudiado cómo resolver ecuaciones lineales y
cuadráticas. En seguida se tratan otros tipos de ecuaciones, incluso aquellos en los
que hay potencias superiores, expresiones fraccionarias y radicales.
Es necesario comprobar las respuestas porque la multiplicación por una expresión que
contiene la variable puede producir soluciones extrañas. Cuando resuelva una
ecuación que contenga radicales, sea especialmente cuidadoso al comprobar las
respuestas finales. El ejemplo siguiente demuestra por qué.
Los valores x = -1/4 y x = 1 son sólo soluciones potenciales. Es necesario
comprobarlas para ver si cumplen con la ecuación original. Es necesario que usted
mismo compruebe en este momento las respuestas. De acuerdo con Compruebe su
respuesta, es decir, la comprobación hecha por usted mismo, vemos que x = —1/4 es
una solución, pero x = 1 no lo es. La única solución es x= —1/4 .
Cuando resolvemos una ecuación, podemos terminar con una o más soluciones
extrañas, es decir, soluciones potenciales que no cumplen con la ecuación original. En
el ejemplo 11, el valor x = 1 es una solución extraña. Dichas soluciones se pueden
introducir cuando elevamos al cuadrado ambos miembros de una ecuación porque la
operación de elevar al cuadrado puede transformar una ecuación falsa en una
verdadera. Por ejemplo, —1  1, pero (1) 2  12 . Por consiguiente, la ecuación
cuadrada podría ser verdadera para más valores de la variable que la ecuación
original. Ésta es la razón por la que debe comprobar siempre sus respuestas para
tener la segundad de que todas cumplen con la ecuación original.
Una ecuación de la forma aW2 + bW + c = O, donde W es una expresión algebraica,
es una ecuación del tipo cuadrático. Las ecuaciones de tipo cuadrático se resuelven
reemplazando la expresión algebraica con W, como se ve en los dos ejemplos
siguientes.
Si usted comprueba la respuesta, se dará cuenta que x =1 es una solución, pero x = 64
no lo es. La única solución es x = 1
Por lo común, al resolver ecuaciones que contienen valores absolutos, partimos el
problema.
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MATEMATICAS PARA EL CÁLCULO
Lapso I
El Arte de enseñar es el Arte de Ayudar a Descubrir
Mark Van Doren
¿Qué es lo que los estudiantes realmente necesitan saber antes de estudiar cálculo?
Para estar preparado para el cálculo, el estudiante no sólo requiere de la habilidad
técnica, sino también entender con claridad los conceptos. De hecho, la comprensión
conceptual y la habilidad técnica van de la mano, y se refuerzan entre sí. Un
estudiante también necesita poder apreciar la utilidad de las matemáticas para
modelar el mundo real. Todas las características de esta guía están enfocadas a lograr
esas metas.