Download poligonos concepto y clases

LUIS GONZALO PULGARÍN R
lugopul@gmail.com
Polígonos
Luis Gonzalo Pulgarín R
Es la figura que está formada por segmentos de recta. POLI
significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos.
La interseción de dos segmentos de recta o lados de un
Polígono determina el ángulo.
Segmentos de recta
Ángulos
Vértice
Superficie o área
(2)
(3)
(4)
:
(1)
Apotema
Lado
(Distancia del centro del
polígono al centro de un
lado)
(5)
Para hallar el Perímetro se suman todos sus lados
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Polígonos Regulares
Es aquella figura que tiene todos sus lados de igual
longitud(congruentes: iguales) y los ángulos
internos de la misma amplitud
Ejemplos
Polígonos Irregulares
Si los lados de un polígono tienen diferentes medidas y
sus ángulos interiores no son congruentes(iguales) se
llaman polígonos
irregulares.
Ejemplos
Clases de Polígonos
Podemos clasificar los polígonos por:
El número de lados que tiene.
Dibujar cada figura según el número de sus lados: dejar
3 o 4 renglones para cada dibujo.
•3 lados – TRIÁNGULO
•4 lados – CUADRILÁTERO
•5 lados – PENTÁGONO
•6 lados – HEXÁGONO
•7 lados – HEPTÁGONO
•8..lados OCTÁGONO
•9 lados NONÁGONO
•10 Lados DECÁGONO
Clasificación de los polígonos
por el número de lados
• Triángulo
• Tiene 3 lados y 3 ángulos
CUADRILATERO
4 LADOS y 4 ÁNGULOS
PENTÁGONO
5 LADOS y 5 ÁNGULOS
HEXÁGONO
6 LADOS Y 6 ÁNGULOS
HEPTÁGONO
7 LADOS Y 7 ÁNGULOS
OCTÁGONO
8 LADOS Y 8 ÁNGULOS
NONÁGONO
9 LADOS Y 9 ÁNGULOS
DECÁGONO
10 LADOS Y 10 ÁNGULOS
ENDECÁGONO
11 LADOS Y 11 ÁNGULOS
DODECÁGONO
12 LADOS Y 12 ÁNGULOS
PENTADECÁGONO
15 LADOS Y 15 ÁNGULOS
01.-Polígono convexo.-Las
medidas de sus ángulos
interiores son agudos.
02.-Polígono cóncavo.-La
medida de uno o mas de
sus ángulos interiores es
cóncavo.
03.-Polígono equilátero.-Sus
lados son congruentes.
04.-Polígono equiángulo.-Las
medidas de sus ángulos
interiores son congruentes.
05.-Polígono regular.-Todos
sus lados y ángulos son
iguales(congruentes) es
equilátero y a su vez
equiángulo.
Triángulo : 3 lados
Cuadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octágono: 8 lados
06.-Polígono irregular.Sus lados tienen
longitudes diferentes.
Nonágono:
9 lados
Decágono:
10 lados
Endecágono: 11 lados
Dodecágono: 12 lados
Pentadecágono: 15 lados
Icoságono:
20 lados
El cuadrilátero.
Polígonos regulares
Luis Gonzalo Pulgarín R
Definiciones:
• Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
• Dos lados son opuestos si no son consecutivos.
• Dos vértices son opuestos si no son consecutivos.
B
b
C
a
c
A
d
D
Un cuadrilátero es un polígono que
tiene cuatro lados y cuatro ángulos.
Los lados de un cuadrilátero pueden
ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo
a la igualdad o al paralelismo de sus
lados, podemos clasificarlos en:
DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS
TENEMOS:
PARALELOGRAMOS
NO
PARALELOGRAMOS
DENTRO DE LOS PARALELOGRAMOS
HAY CUATRO TIPOS:
ROMBOIDE
CUADRAD
O
RECTÁNGUL
O
ROMBO
Clasificación De Los Cuadriláteros
CUADRADO
RECTÁNGULOS (4 lados iguales)
PARALELOGRAMOS (4 ángulos rectos)CUADRILONGO
(lados opuestos iguale
(Tienen sus lados
ROMBO(4 lados iguales, 2 ángulos agud
Opuestos paralelos)
2 ángulos obtusos)
ROMBOIDE (lados opuestos iguales, 2
Ángulos agudos 2 obtusos)
RECTANGULAR (2 ángulos rectos)
TRAPECIOS
ISÓSCELES (2 lados iguales)
(Únicamente tiene
ESCALENO (lados diferentes, no tine
Ángulos rectos)
Paralelas sus bases)
SIMÉTRICO (tiene sus lados iguales 2
TRAPEZOIDES A 2 y una de sus diagonales es eje de simetri
(No tiene lados ASIMÉTRICO
(no tiene lados iguales, ni ejes de simetría)
Paralelos)
Perímetro De Un Polígono Regular
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes
de sus lados. Si representamos el Perímetro con la letra P ,
el número de sus lados con la letra L y la longitud con la
letra L.
La fórmula es:
P
L x L
P=L x L
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera
debemos medir y sumar las longitudes de sus lados.
Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen
fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular
su perímetro.
Hagamos un concurso por grupos.
1.
Tiene los cuatro lados iguales:
a) Sólo el cuadrado
2.
c) El cuadrado y el rombo
Sólo tiene sus lados iguales dos a dos:
a) El cuadrado
3
b) Algunos rectángulos
b) El rectángulo y el romboide
c) El rombo
Sus cuatro ángulos son iguales :
a) El cuadrado
b) El cuadrado, el
rombo y el rectángulo
c) El cuadrado y el rectángulo
4. Sus diagonales son perpendiculares:
a) El cuadrado
c) El cuadrado y el romboide
c) El cuadrado y el rombo
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO = BASE ∙ ALTURA
A VECES NO ES FÁCIL CALCULAR LA BASE Y LA
ALTURA DE UN PARALELOGRAMO.
ASÍ QUE TRATAREMOS DE VER FÓRMULAS QUE NOS
AYUDARÁN PARA CADA CASO.
¿BASE?
¿ALTURA?
PARA FACILITARNOS EL TRABAJO MEMORIZAREMOS LA FÓRMULA DEL ÁREA
DE CADA PARALELOGRAMO.
PERO ADEMÁS COMPRENDEREMOS DE DÓNDE SALE CADA FÓRMULA
COMPRENDEREMOS
Paralelogramo
Nombre
Área
cuadrado
lado X lado
rectángulo
base X altura
Diagonal X diagonal
rombo
romboide
2
base X altura
Sabiendo que el área de un triángulo es:
AT =
Base · altura
2
AC = 2 · AT = 2 ·
2
AR = 2 · AT = 2 ·
2
lado X lado
base · altura
= lado X lado
= base X altura
Área De Un Polígono Regular
A=NoT x AT
AT=L x a
2
a
NoT=NoL
A= NoL x L x a
2
A= P x a
2
Área De Un Círculo
Apr=P x a
2
Ac=2 x pi x R x R
2
Pc=2 x pi x R
R=a
Ac= pi x R2
Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma
superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de
suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.
Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo
a la forma de sus caras:
- Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen
todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden
dividirse en poliedros regulares y
poliedros irregulares.
- Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen
por lo menos una cara curva.
PRIMERA PROPIEDAD
Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores,
ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales.
• Lados
• Vértices
• Ángulos interiores
• Ángulos exteriores
• Ángulos centrales
SEGUNDA PROPIEDAD
A partir de un vértice de un polígono, se pueden
trazar (n-3 ) diagonales.
Ejemplo:
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales
TERCERA PROPIEDAD
El número total de diagonales que se puede trazar en
un polígono:
n(n  3)
ND 
2
Ejemplo:
ND 
5(5  3)
 5 diagonales
2
CUARTA PROPIEDAD
Al trazar diagonales desde un mismo vértice se
obtiene (n-2) triángulos
Ejemplo:
1
3
2
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos
QUINTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos interiores de
un polígono:
Si =180°(n-2)
Donde (n-2) es número de triángulos
Ejemplo:
Suma de las medidas de los
ángulos interiores del triangulo
180º
180º
180º
Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º
SEXTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un
polígono es 360º
Se = 360°


Ejemplo:



 +  +  +  +  = 360º
SEPTIMA PROPIEDAD
Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se
obtiene (n-1) triángulos
Ejemplo:
Punto cualquiera de
un lado
4
1
3
2
Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos
OCTAVA PROPIEDAD
Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se
obtiene “n” triángulos
Ejemplo:
5
4
1
3
2
Ns. = n = 5 = 6 triángulos
NOVENA PROPIEDAD
Número de diagonales trazadas desde “V” vértices consecutivos,
se obtiene con la siguiente fómula.
ND  nV 
Ejemplo:
( V  1)( V  2)
2
1
2
y así sucesivamente
1ra. Propiedad
Medida de un ángulo interior de
un polígono regular o polígono
equiángulo.
m 
i
180(n  2)
n
3ra. Propiedad
Medida de un ángulo central de
un polígono regular.
m c 
360
n
2da. Propiedad
Medida de un ángulo exterior de
un polígono regular o polígono
equiángulo.
m e 
360
n
4ta. Propiedad
Suma de las medidas de los
ángulos centrales.
Sc = 360°
Problema Nº 01
En un polígono, la suma de las medidas de los
ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el
total de diagonales de dicho polígono.
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Se + Si = 1980°
Luego, reemplazando por las propiedades:
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Resolviendo:
n = 11 lados
Número de diagonales:
n(n  3)
ND 
2
ND 
11 ( 11  3 )
2
ND = 44
Problema Nº 02
¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el
cual la medida de cada uno de su ángulo interno es
igual a 8 veces la medida de un ángulo externo
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
mi = 8(me )
Reemplazando por las propiedades:
180 ( n  2 )
360
 8 (
)
n
n
Resolviendo:
n = 18 lados
Luego polígono es regular se denomina:
Polígono de 18 lados
Problema Nº 03
Calcule el número de diagonales de un polígono
convexo, sabiendo que el total de las diagonales es
mayor que su número de lados en 75.
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
ND = n + 75
Reemplazando la propiedad:
n(n3)
= n + 75
2
n2 - 5n - 150 = 0
Resolviendo:
n = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:
n(n  3)
ND 
2
ND 
15 ( 15  3 )
2
ND = 90
Problema Nº 04
En un polígono regular, se le aumenta un lado, la
medida de su ángulo interno aumenta en 12°;
entonces el número de vértices del polígono es:
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
Polígono original: n lados
Polígono modificado: (n+1) lados
Reemplazando por la propiedad:
180( n  2 )
180( n  1  2 )
 12 
Resolviendo: n = 5 lados
n
n1
Número de lados = Número de vértices
NV= 5 vértices
Problema Nº 05
El número total de diagonales de un polígono
regular es igual al triple del número de vértices.
Calcule la medida de un ángulo central de dicho
polígono.
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
ND = 3n
Reemplazando por la propiedad:
n(n3 )
= 3n
2
Resolviendo:
n = 9 lados
Luego, la medida de un ángulo central:
m c 
360
n
m c
360

9
mc = 40°
LUIS GONZALO PULGARÍN R