Download Energía Potencial eléctrica Recordemos que la
Document related concepts
Transcript
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 Energía Potencial eléctrica Si movemos la carga q2 respecto a la carga q1 Recordemos que la diferencia en la energía tenemos que: potencial ∆U cuando una partícula se mueve entre dos puntos a y b bajo la influencia de una fuerza , es igual al negativo del trabajo realizado por la fuerza esto es: Wab es el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve desde a hasta b, esto es valido solo si la fuerza es conservativa La ecuación 1 se cumple ya sea que q2 se mueva hacia q1 o se aleje de ella, en el primer caso rb < ra, y en el segundo caso rb > ra, Luego para poder definir la energía potencial eléctrica, supongamos que tenemos también se cumple para cualquier combinación dos de los signos de q1 y q2. cargas dispuestas como se muestran a En forma general la energía potencial eléctrica continuación: es una magnitud escalar u su unidad es el Joule (J). q1 q2 Energía potencial de un sistema de cargas (Figura 1) puntuales. La carga q2 se mueve en relación a q1, por un desplazamiento Supongamos que tenemos un sistema de , cuando una partícula cargada se mueve en un campo eléctrico cargas puntuales las cuales se mantienen en posiciones fijas por fuerzas no especificadas. , Q1 tenemos que: b Q2 Q1 a a Ya que Q3 Q4 b Como el campo está a lo largo del eje x entonces tenemos (Figura 2 arreglo de cargas ) Podemos calcular la energía potencial eléctrica del sistema de la siguiente manera 1 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 Si colocamos una carga de prueba qo en un Observe que la energía potencial eléctrica es punto A a una distancia infinita del conjunto de una carga de sistema y no de alguna carga cargas, donde el campo eléctrico sea cero. individual. Luego desplazamos dicha carga de prueba Diferencia de potencial y potencial eléctrico desde esa separación infinita hasta el punto B Para calcular la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B de un campo eléctrico , se mide el trabajo que debe En este proceso la energía potencial cambia de 0 a realizar una fuerza externa para mover una carga de prueba puntual qo, con rapidez . El potencial eléctrico constante (sin ser acelerado) desde el punto A en B debido a esta distribución de cargas es: hasta el punto B. Entonces la diferencia de potencial se expresa así: Ya que asumimos arbitrariamente que el potencial en el infinito es cero. El potencial eléctrico es una cantidad escalar Donde el porque tanto la carga como el trabajo son El trabajo realizado puede ser: cantidades escalares. Positivo si Tanto el trabajo W como la diferencia de potencial Negativo si son independientes de la trayectoria seguida por la carga de prueba Nulo si positiva , al ser trasladada desde A hasta B. Unidades En el sistema internacional (SI) Superficies equipotenciales Trabajo (Joule) Una superficie equipotencial es el lugar Carga eléctrica (Coulomb) geométrico de todos los puntos que tienen el Potencial eléctrico (Voltios) mismo potencial eléctrico. Entonces Potencial en un punto Según la ecuación 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 A (Figura 3. Superficies equipotenciales).fuente tomada del Resnik- Holliday B En la figura 3, observamos que de las cuatro trayectorias marcadas como 1,2,3 y 4 sobre las cuatro superficies equipotenciales solo las trayectorias 3 y 4 tienen diferencias de El trabajo realizado o producido por la potencial diferentes de cero ya que los puntos fuerza externa, cuando este agente externo que unen ubicados la trayectoria en superficies marcada están produce un desplazamiento sobre la equipotenciales carga diferentes. Las trayectorias 1 y 2 tienen diferencias de potencial cero, ya que sus a lo largo de la trayectoria punteada es: trayectorias pertenecen a puntos ubicados en la misma superficie equipotencial. Entonces el trabajo total al mover la carga de prueba desde A hasta B es: Relación entre potencial y campo eléctrico Supongamos que tenemos una fuerza externa la cual mueve a una carga puntual de prueba , desde un punto A hasta un punto B, el cual tiene las siguientes características de particularidad. a) El campo eléctrico no es uniforme b) La trayectoria es una trayectoria curva Por otro lado tenemos que: cualquiera c) La carga es trasladada con rapidez constante ( sin ser acelerada) 3 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 Si el potencial en A lo consideramos en el infinito entonces tenemos Pero como tenemos que: Potencial eléctrico debido a una carga puntual positiva Supongamos que tenemos una carga positiva aislada la cual tiene Como esta en el infinito las características: a) El campo eléctrico es radial En forma general b) Las líneas de fuerza de campo eléctrico se alejan de la carga +q c) El valor del campo eléctrico en cualquier Potencial debido a varias cargas puntuales punto es Supongamos que tenemos N cargas puntuales en un sistema q1, q2, q3,….., Qn si queremos hallar el potencial en un punto dado debido a esas n cargas puntuales, se procede de la siguiente manera: Se calcula el potencial debido a cada una de esas cargas de forma aislada de las demás y luego sumamos algebraicamente cada uno de Debido a la fuerza externa, la carga de prueba positiva + los potenciales individuales y obtenemos el el se mueve desde A potencial total. hasta B a velocidad constante (sin ser acelerada). Ya que: 4 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 En forma general JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 Supongamos que tenemos un punto de coordenadas (x, y) ubicado en cualquier punto del espacio que rodea a un dipolo eléctrico, el potencial eléctrico en ese punto debido al dipolo se calcula de la siguiente manera: Potencial debido a una distribución de cargas continúas P Para determinar el potencial eléctrico para una distribución de cargas continuas se procede de R2 igual manera que para determinar el campo eléctrico de distribuciones de R cargas R1 R2-R1 continuas, se toma un pequeño diferencia de carga y se integra de tal manera que se evalué θ toda la distribución -q Se toma la ecuación 2a q El potencial eléctrico en el punto P creado por las dos cargas del dipolo es: Como Entonces Como R1, R2 ≫2a Luego Tenemos que R1 ≅ R2≅ R Θ≅φ Y tenemos que Al igual que en el calculo de campo eléctrico Finalmente existen tres tipos de distribuciones continuas Distribución lineal Distribución superficial Ya que P= 2aq Distribución volumétrica EJERCICIOS RESUELTOS 1) Calcular el potencial eléctrico en el eje Potencial eléctrico en un punto fuera de un que pasa por el centro de un anillo en dipolo eléctrico un punto P, situado a una distancia Z 5 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 del centro del anillo, siendo a el radio JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 Sabemos que del anillo el cual tiene una distribución uniforme de carga λ (C/m), Entonces Z Z h Y Si nos piden calcular el potencial en el dθ θ θ dl centro del anillo entonces tenemos: X Entonces el potencial será Tomamos un dl diferencial de longitud, en cuyo diferencial hay un dq (diferencial de carga), el cual origina en el punto P un dV Donde: O en función de λ Entonces tenemos que: 2) Calcular la energía requerida para agrupar el arreglo de cargas de la figura siguiente, donde a = 0,20 cm, b = 0,40 cm y q = 6 μC SOLUCION Si el anillo tiene una carga Q 6 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 q1= q JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 b JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 q2=-2q Q a b q4= 3q a c La segunda integral es cero debido a que el , por estar dentro de un conductor. Entonces tenemos 3. Se tiene una esfera aisladora de radio a, con una distribución de carga dada por la función ( donde es una Como constante), dentro de la cavidad de un conductor esférico macizo y hueco de Y el ángulo entre radios b y c y que tiene una carga Q a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en la superficie externa del aislante Hallemos los campos E1 y E3 b) ¿Cuál es la distribución de cargas en la superficie externa e interna del conductor Resolviendo 7 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 Luego Para encontrar E3 3. Un electrón de carga y masa se dispara con una velocidad inicial desde el punto o en dirección vertical hasta una Luego altura máxima H, determinar la velocidad inicial con la que fue lanzado el electrón. Z B R Z H -e A Y b. X ds d Por gauss E2= 0 dr 8 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 Como no existen JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 fuerzas JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 externas, entonces se conserva la energía =u La energía cinética en el punto B es cero ya que en ese punto se detiene el electrón Integrando tenemos que Luego regresando el cambio y evaluando entre a y b se tiene De donde Ahora definamos el potencial en el punto A(ubicado en el centro del anillo) como: Por otro lado tenemos que Para ello hacemos Z= 0 Ahora definamos el potencial en el Donde punto B, haciendo Z = H f Entonces Finalmente tenemos que la velocidad inicial es: Integrando la primera integral 9