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UNIDAD 3
Responde y justifica tus respuestas:
a) ¿Es 48 múltiplo de 4? Explica por qué.
b) ¿Es 12 divisor de 84? Explica por qué.
c) ¿Es 14 divisor de 56? Explica por qué.
d) ¿Es 301 es múltiplo de 31? Explica por qué.
e) ¿Es 8 divisor de 30? Explica por qué.
f) ¿Es 155 múltiplo de 31? Explica por qué.
Solución:
a) Sí; decimos que 48 es múltiplo de 4 porque su
cociente es exacto: 48 : 4 12.
b) Sí; decimos que 12 es divisor de 84 porque su
cociente es exacto: 84 : 12 7.
a) No; porque el cociente no es exacto: 30 : 8
3,75.
e) Sí; porque el cociente es exacto: 155 : 31 5.
su cociente es exacto: 56 : 14 = 4.
f) No; decimos que 301 no es múltiplo de 31
porque su cociente no es exacto: 301 : 31 9,7.
¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres?
Explica por qué: 15, 20,19, 33, 49, 12
Solución:
Son múltiplos de tres los números 12, 15 y 33,
porque el cociente es exacto:
12 : 3
4
15 : 3 5
33 : 3
11
e) 30
f) 15
g) 24
h) 36
g) 46
h) 34
Solución:
a) 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
b) 48 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
c) 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
d) 33 1, 3, 11, 33
e) Divisores de 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
f) Divisores de 15 1, 3, 5, 15
g) Divisores de 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
h) Divisores de 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
i) Divisores de 46 1, 2, 23, 46
j) Divisores de 34 1, 2, 17, 34
Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada
número:
a) 14, ______, _______, _______, _______.
b) 13, ______, _______, _______, ________.
c) 7, _______, _______, _______, ________.
Solución:
a) 14, 28, 42, 56, 70.
b) 13, 26, 39, 52, 65.
c) 7, 14, 21, 28, 35.
¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos
de 12? Explica por qué:
a) 96
b) 54
c) 84
Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada
número:
a) 12, ______, _______, _______, _______.
b) 9, _______, _______, _______, _______.
c) 25, ______, _______, _______, _______.
Solución:
a) 96 Sí, porque el cociente es exacto:
96:12 8.
b) 54 No, porque el cociente no es exacto:
54 : 12 4,5.
c) 84 Sí, porque el cociente es exacto: 84 :
12 7.
Solución:
a) 12, 24, 36, 48, 60.
b) 9, 18, 27, 36, 45.
c) 25, 50, 75, 100, 125.
Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) 60
b) 48
c) 40
d) 33
Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada
número:
a) 24, ______, ______, _______, _______.
b) 19, ______, ______, _______, _______.
c) 15, ______, ______, _______, _______.
Solución:
a) 24, 48, 72, 96, 120.
b) 19, 38, 57, 76, 95.
c) 15, 30, 45, 60, 75.
Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada
número:
a) 12, ______, ______, _______, _______.
b) 25, ______, ______, _______, _______.
c) 33, ______, ______, _______, _______.
Solución:
a) 12, 24, 36, 48, 60.
b) 25, 50, 75, 100, 125.
c) 33, 66, 99, 132, 165.
Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada
número:
a) 16, ______, ______, ______, ______.
b) 20, ______, ______, ______, ______.
c) 18, ______, ______, ______, ______.
Solución:
a) 16, 32, 48, 64, 80.
b) 20, 40, 60, 80, 100.
c) 18, 36, 54, 72, 90.
Identifica cuáles de estos números son primos y
explica por qué:
a) 5
b) 9
c) 11
d) 15
Solución:
Son primos el 5 y el 11 porque sólo son divisibles
por sí mismos y por la unidad.
Solución:
Son primos el 17 y el 23 porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.
Identifica cuáles de estos números son primos y
explica por qué:
a) 19
b) 8
c) 25
d) 29
Solución:
Son primos el 19 y el 29 porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.
Identifica cuáles de estos números son primos y
explica por qué:
a) 5
b) 14
c) 29
d) 24
Solución:
Son primos el 5 y el 29 porque solo son divisibles
por sí mismos y por la unidad.
De entre los siguientes números, tacha los
múltiplos de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los múltiplos de cinco.
¿De qué otro número son múltiplos los números
que están a la vez tachados y subrayados?
10, 11, 18, 20, 25, 27, 30, 33, 40, 42
Identifica cuáles de estos números son primos y
explica por qué:
a) 6
b) 7
c) 13
d) 16
Solución:
Son primos el 7 y el 13 porque sólo son divisibles
por sí mismos y por la unidad.
Identifica cuáles de estos números son primos y
explica por qué:
a) 4
b) 17
c) 21
d) 23
Solución:
Los números que están a la vez tachados y subrayados son múltiplos también de 10.
Observa estos números y completa:
15, 18, 25, 30, 37, 40, 42, 45, 70, 75
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Solución:
Múltiplos de 2: 18, 30, 40, 42 y 70
Múltiplos de 3: 15, 18, 30, 42, 45 y 75
Múltiplos de 5: 15, 25, 30, 40, 45, 70 y 75
Múltiplos de 10: 30, 40 y 70
En los siguientes números:
6, 12, 15, 18, 20, 24, 36, 44, 50, 66, 70, 75
Rodea con un círculo los múltiplos de dos.
Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.
Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.
¿Qué números quedan a la vez rodeados por
un círculo y encerrados en un cuadrado? ¿De
qué otro número son múltiplos?
Solución:
El 30, 40 y 80. Son múltiplos también de 10.
Descompón en factores primos:
a) 12
b) 36
c) 450
Solución:
a)
b)
6
2
3
3
12
2
2
36
2
2
3
36
2
18
2
9
3
3
3
3
c)
450
2
225
3
75
3
25
5
5
5
450
2 3
Rodea con un círculo los múltiplos de dos.
Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.
Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.
¿Qué números quedan a la vez rodeados por
un círculo y encerrados en un cuadrado? ¿De
qué otro número son múltiplos?
Solución:
2
1
Descompón en factores primos:
a) 18
b) 50
c) 504
Solución:
En los siguientes números:
16, 22, 25, 28, 30, 34, 36, 40, 52, 66, 80,99
2
1
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Solución:
Múltiplos de 2: 12, 14, 36, 40, 42 y 70.
Múltiplos de 3: 12, 21, 36, 42, 45 y 75.
Múltiplos de 5: 25, 40, 45, 70 y 75.
Múltiplos de 10: 40 y 70.
2
1
El 20, 50 y 70. Son múltiplos también de 10.
Observa estos números y completa:
12, 14, 21, 25, 36, 40, 42, 45, 70, 75
12
a)
18
2
9
3
3
3
18
2 3
2
50
2 5
2
1
b)
50
2
25
5
5
5
1
5
2
c)
3
2
644
2
2
322
2
126
2
161
7
63
3
23
23
21
3
1
7
7
504
2
252
504
2
3
1
Descompón en factores primos:
a) 24
b) 16
c) 248
7
c)
24
2
54
2
27
3
24
2
9
3
12
2
3
3
3
6
2
1
3
3
b)
1
b)
16
2
8
2
4
2
2
2
16
2
2
124
2
62
2
31
31
2 48
2
3
26
13
2 13
888
2
444
2
222
2
111
3
37
37
888
2
11
11
22
2 11
1
2
15
3
5
5
2
3
3 37
Solución:
a)
36
2
2
3
2
36
2
40
2
18
2
20
2
9
3
10
2
3
3
5
5
1
22
3
Calcula descomponiendo en factores primos:
a) mín.c.m. (36, 40)
b) máx.c.d. (30, 60, 72)
Solución:
30
13
2 3
1
Descompón en factores primos:
a) 22
b) 30
c) 644
b)
2
31
1
a)
7 23
1
c)
248
54
26
4
1
c)
2
Solución:
Solución:
a)
2
Descompón en factores primos:
a) 54
b) 26
c) 888
a)
3
6 44
30
2 3 5
40
2
3
5
1
mín.c.m. (36, 40) 23 · 32 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360
b) 30
2
15
3
30
5
5
15
5
5
1
30
2 3 5
60
2
60
2
2
72
2
2
36
2
3
18
2
9
3
3
3
1
3 5
1
1
máx.c.d. (30, 60, 72) 2 · 3 6
72
2
3
3
2
a) mín.c.m. (12, 24, 36)
b) máx.c.d. (28, 36)
Calcula descomponiendo en factores primos:
a) mín.c.m. (6, 12, 16)
b) máx.c.d. (24, 56)
Solución:
a) 12 2
Solución:
a) 6 2
6
2 3
12 2
2
12
2 3
16 2
3 3
6
2
8
2
1
3
3
4
2
2
2
1
16
2
12
2
2
3
24 2
24
2
3
3
36 2
6
2
12 2
18 2
3
3
6
2
9
3
3
3
3
3
36
4
1
1
1
1
mín.c.m. (12, 24, 36) 23 · 32 72
4
mín.c.m. (6, 12, 16) 2 · 3 48
b)
b)
24
2
3
3
2
7
28
2
28
2
2
7
36
2
24
2
56
2
14
2
18
2
12
2
28
2
7
7
9
3
6
2
14
2
1
3
3
3
3
7
7
1
56
3
36
2
2
3
2
1
1
máx.c.d. (28, 36) 22 4
máx.c.d. (24, 56) = 23 = 8
Calcula descomponiendo en factores primos:
a) mín.c.m. (10, 12)
b) máx.c.d. (15, 45, 65)
Calcula descomponiendo en factores primos:
a) mín.c.m. (16, 18)
b) máx.c.d. (60, 72, 84)
Solución:
a)
Solución:
10
2
5
5
10
2 5
12
1
2
6
2
3
3
12
2
2
1
a) 16
2
8
16
2
4
18
2
2
9
3
4
2
3
3
2
2
1
18
2 3
2
mín.c.m. (10,12) 22 · 5 · 3
b) 15 3
5
1
1
4
2
5
15
3 5
45 3
45
15 3
5
5
3
60
2
5
65
5
65
5 13
13 13
1
1
mín.c.m. (16, 18) = 2 · 3 = 16 · 9 = 144
máx.c.d. (15, 45, 65) = 5
b)
2
3 5
72
2
3
3
2
60
2
72
2
84
2
30
2
36
2
42
2
15
3
18
2
21
3
5
5
9
3
7
7
3
3
1
1
60
2
1
máx.c.d. (60, 72, 84) 22 · 3
12
Calcula descomponiendo en factores primos:
84
2
2
3 7
Un carpintero dispone de tres listones de madera de 40, 60 y 90 cm de longitud, respectivamente. Desea dividirlos en trozos iguales y de la mayor medida posible, sin que sobre madera. ¿Qué
longitud deben tener esos trozos?
3
2
2
3
2
Solución:
40
2
60
2
90
2
20
2
30
2
45
3
10
2
15
3
15
3
5
5
5
5
5
5
1
1
1
máx.c.d. (40, 60, 90) 2 5 10
Los trozos deben medir 10 cm.
Solución:
Un granjero ha recogido de sus gallinas 30 huevos morenos y 80 huevos blancos. Quiere envasarlos en recipientes con la mayor capacidad
posible y con el mismo número de huevos (sin
mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos
huevos debe poner en cada recipiente?
36
2
48
2
60
2
18
2
24
2
30
2
9
3
12
2
15
3
3
3
6
2
5
5
3
3
1
1
1
máx.c.d. (36, 48, 60) 22 3 12
En cada bote pondrá 12 bolígrafos.
Solución:
30
2
80
15
3
40
2
5
5
20
2
10
2
5
5
1
Un electricista tiene tres rollos de cable de 96,
120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos
en trozos iguales de la mayor longitud posible,
sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud tendrá cada trozo?
2
1
Solución:
máx.c.d. (30, 80) 2 5 10
En cada recipiente debe poner 10 huevos.
En un albergue coinciden tres grupos de excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El
camarero quiere organizar el comedor de forma
que en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el mayor número de personas
posible sin mezclar los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
Solución:
40
2
56
2
72
2
20
2
28
2
36
2
10
2
14
2
18
2
5
5
7
7
9
3
3
3
1
El dependiente de una papelería tiene que organizar en botes 36 bolígrafos rojos, 60 bolígrafos
azules y 48 bolígrafos negros, de forma que en
cada bote haya el mayor número de bolígrafos
posible y todos tengan el mismo número sin
mezclar los colores. ¿Cuántos pondrá en cada
bote?
1
1
máx.c.d. (40, 56, 72) 23 8
En cada mesa sentará a 8 comensales.
96
2
120
2
144
2
48
2
60
2
72
2
24
2
30
2
36
2
12
2
15
3
18
2
6
2
5
5
9
3
3
3
1
3
3
1
1
máx.c.d. (96, 120, 144) 23 3 24
Cada trozo medirá 24 cm.
Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada
qué distancia coinciden las huellas del gato y las
de la rana?
Solución:
60
2
90
2
30
2
45
3
15
3
15
3
5
5
5
5
1
1
mín.c.m. (60, 90) 22 32 5
Coinciden cada 180 cm.
180
Un cometa es visible desde la tierra cada 16
años, y otro, cada 24 años. El último año que
fueron visibles conjuntamente fue en 1968. ¿En
qué año volverán a coincidir?
Solución:
16
2
24
2
8
2
12
2
4
2
6
2
2
2
3
3
1
Un cine tiene un número de asientos comprendido entre 200 y 250. Sabemos que el número
de entradas vendidas para completar el aforo es
múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos
tiene el cine?
Solución:
4
2
6
2
10
2
2
2
3
3
5
5
1
1
1
mín.c.m. (4, 6, 10) 22 3 5
1
mín.c.m. (16, 24) 24 3 48
Coinciden cada 48 años. Volverán a coincidir en el
año 2016.
¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que puede llenarse con un número exacto de
bidones de 12, 16 y 18 litros, respectivamente?
Como el número de asientos está comprendido
entre 200 y 250, buscamos un múltiplo de 60 que
cumpla esa condición:
60
60
60
60
60
1
2
3
4
5
El cine tiene 240 asientos.
Solución:
12
2
16
2
18
2
6
2
8
2
9
3
3
3
4
2
3
3
2
2
1
1
1
mín.c.m. (12, 16, 18) 24 32 144
La capacidad del depósito será de 144 litros.
Beatriz visita a su abuela cada 8 días, y su hermano David, cada 14 días. Hoy han coincidido en
la visita. ¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas
visitas habrá hecho cada uno a su abuela?
Solución:
8
2
14
2
4
2
7
7
2
2
1
1
mín.c.m. (8, 14) = 23 7 = 56
Volverán a coincidir dentro de 56 días.
56 : 8 7
56 : 14 4
Beatriz habrá hecho 7 visitas y David, 4.
60
60
120
180
240
300