Download Principio de Inducción Matemática

“ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA CIENCIAS ECONÓMICAS”
Sagristá R.,Koegel L. y otros autores
Ejercicios complementarios
“Principio de Inducción – Análisis combinatorio – Binomio de Newton”
1. Escribe usando el símbolo de sumatoria:
a) 1+4+9+.............+121
b) 122+2222+3223+4224
c)
1 3 5 7
9
+ + + + .
4 6 8 10 12
2. Calcula las siguientes sumas
10
a)
∑ ( k + 2)
k =1
8
b)
∑ (3 − 5 j )
j =3
6
c)
∑ (−1)
k
2k
k =1
3. Demuestra utilizando el principio de Inducción Matemática
3
n ( n + 1)
2
1
b) 13 + 23 + 33 + .......... + n3 = n 2 ( n + 1) 2
4
1
1
1
1
n
c)
+
+
+ ... +
=
1 .2 2 .3 3 .4
n( n + 1) n + 1
n −1
d) 1 + 2 + 4 + ... + 2 = 2 n − 1
a) 3 + 6 + 9 +........ + 3n
=
4. En un negocio se venden, como oferta, bolsas que contienen 5 productos a un
precio menor que si se compran por separado. Si estas bolsas se pueden preparar
eligiendo de 4 productos que se comercializan a un precio A y de 7 productos
que se comercializan a un precio B y cada bolsa debe contener tres productos del
precio A y 2 del precio B. ¿Cuántas posibilidades de elección tiene el
comprados?
5. En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales
está unido a los demás por una cinta transportadora. Calcula el número de
centros de la fábrica si se sabe que el número de cintas transportadoras es 66.
6. De cierto número de rectas coplanarias se sabe que no hay tres de ellas que
concurran en el mismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas
rectas producen 45 puntos al cortarse. ¿De cuántas rectas estamos hablando?
Autoras: Luciana Calderón – María de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
“ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA CIENCIAS ECONÓMICAS”
Sagristá R.,Koegel L. y otros autores
Ejercicios complementarios
7. En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son arqueros. ¿Cuántas
alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores
de campo puede jugar como defensa, medio o delantero?
8. Recordando que una diagonal de un polígono convexo es el segmento que une
dos vértices no consecutivos ¿cuántas diagonales se pueden trazar en un
octógono convexo?
9. Averigua cuántas guardias de cinco personas se pueden programar con 15
soldados, con la condición de que el más antiguo de ellos ha de participar en
todas.
10. Calcula n ∈ N que verifique:
a) An , 2 = 6.C n ,3
b) C n , 4 = C n − 2, 2
c)
C n ,5
C n,6
=
2
3
11. Determina el valor de x sin desarrollar los números combinatorios. Justifica.
a)
 39   39 

 = 

5 + 2x   2x − 2
b)
8  8   9 
  +   =  
 3  x   4 
12. Calcula el valor de x para que el término cuarto de (x4 – 3)6 sea igual a 20.
13. En el desarrollo de (x2 – ½ )6, determina el valor que debe asumir x para
que el término central sea igual a (–5/2).
14. Determina el séptimo término y el coeficiente del cuarto término del desarrollo
10
 2

de 
− 1 .
 x

15. ¿A qué potencia fue elevado el binomio (x3 + 3) para que el grado del
término séptimo sea igual a 18?
Autoras: Luciana Calderón – María de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
“ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA CIENCIAS ECONÓMICAS”
Sagristá R.,Koegel L. y otros autores
Respuesta a los ejercicios propuestos:
1.
11
a) ∑ k 2
k =1
4
b) ∑ k 2 2 k
k =1
6
2k − 3
2k
k =2
c) ∑
2.
a) 75
b) -147
c) 21
4. El comprador tiene 84 posibilidades de elección
5. El número de centros de la fábrica es 12
6. El número de rectas es10
7. El número de alineaciones diferentes es 554268
8. El número de diagonales de un octógono es 20
9. El número de guardias que se pueden programar es 2002
10.
a) n = 2
b) n = 4
c) n =11
11.
a) x = 9
b) x = 4
12. x = −
1
4
3
13. x = ±1
14. T7 =
3360
, coeficiente pedido: − 15360
x2
15. n = 12
Autoras: Luciana Calderón – María de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
Ejercicios complementarios