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Resolución de triángulos. Teoremas del seno y del coseno
45. Calcula el área de cada uno de los triángulos siguientes, sabiendo:
a)
b = 30 cm, A = 50º y B = 74º
b)
a = 41 cm, C = 45º, y B = 75º
c)
a = 18 cm, b = 15 cm, C = 19º 42'
d)
a = 6 cm, b = 12 cm, A = 17º30'
e)
a = 33 cm, b = 24 cm, c = 20 cm
Soluciones:
a)
c = 30 · sen 56º/sen 74º Área = b/2 · c ·sen A = 15 · 30 · sen 56º· sen 50º/sen 74º 
297,303 cm2
b)
c = 41 · sen 45º/sen 60º Área = a/2 · c ·sen B = 41 · 41 · sen 45º· sen 75º/2sen 60º 
662,881cm2
c)
Área = a · b · sen C /2 = 18 ·15 · sen 19º42'/2  45,709 cm2
d)
Hay dos posibles triángulos:
d1) B  36º58'15,83'', C  125º31'44,17'', c  16,238 cm
Área = b · a · sin C/2  29,298 cm2
d2) B  143º1'44,17'', C  19º28'15,83'', c  6,651 cm
Área = b · a · sin C/2  12 cm2
e)
Área = a · b · sen C / 2 ; cos C = (a2 + b2 - c2 )/2ab y sen C =
cos C  0,79861 y sen C  0,60185  Área = 283,332 cm2
1 cos 2 C , por tanto:
46. El ángulo entre los dos lados iguales de un triángulo isósceles es de 40º y el lado desigual
tiene una longitud de 40 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados iguales del triángulo?
Solución: 58,48 cm cada uno, aproximadamente
Los ángulos iguales del triángulo miden 70º cada uno. Aplicando el teorema del seno:
l = 40 · sen 70º /sen 40º  58,48 cm
47. El ángulo agudo de un rombo mide 25º. El lado mide 13 cm. Calcula el área del rombo.
Solución: A  142,84 cm2
Aplicando el teorema del coseno, D 2  2  13 2  2  13 2 cos155 º y d 2  2  13 2  2  13 2 cos 25º ,
siendo D y d las dos diagonales del rombo.
Sacando factor común: D  2  13 1  cos155º y d  2  13 1  cos 25º
Podemos calcular el área: A = d·D/2  142,84 cm2
48. Los lados de un triángulo miden 8 cm, 11 cm y 13 cm, respectivamente. Calcula el valor
del seno del ángulo más pequeño.
Solución: sen = 0,612836428. . .
El ángulo más pequeño es el opuesto al lado de longitud 8 cm. Aplicando el teorema del coseno:
82  112  132  2 11 13  cos 
Despejando::
cos  
112  13 2  8 2
2  11  13
Teniendo en cuenta que sin  =
1 cos 2  , o utilizando la calculadora :
sen = 0,612836428. . .
49. Los tres ángulos de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 9 cm. Calcula sus ángulos y su área.
Solución: 40,80º, 60,61º y 78,59º, 23,52 cm2 aproximadamente.
Aplicando el teorema del coseno se pueden obtener los ángulos: 40,80º, 60,61º y 78,59º
A = 9 · 8 · sen 40,80º /2  23,52 cm2
50. En un triángulo ABC, conocemos A = 34,5º, B = 78º y a + b = 43 cm. Calcula cuánto miden
los lados a y b.
Solución: a  17,76 cm, b  25,24 cm
Podemos plantear:
43  b
b

y se obtiene que: b  25,24 cm y a  17,76 cm
sen34,5º sen78º
51. En un triángulo ABC, conocemos a = 15 cm, b = 11 cm y A + B = 104º. Calcula cuánto
miden los ángulos A y B.
Solución: A  63 8'23,36'' y B = 40º 51' 36,64''
El ángulo C mide 76º
Aplicando el teorema del coseno podemos encontrar c  16,3146, para encontrar A y B:
sen A = 15 · sen76º/c  A  63 8'23,36'' y B = 40º 51' 36,64''
52. En un triángulo ABC, conocemos A - B = 16º, a = 23 cm y b = 19 cm. Calcula los ángulos
del triángulo.
Solución: A  63º 52' 34,69'', B  47º 52' 34,69'' y C  68º 14' 50,62''
A = 16º + B
Por el teorema del seno:
23
19


sen(16º  B) senB
 23 · sen B = 19(sen 16º · cosB + sen B · cos 16º)
sen B (23 -19 · cos 16º) = 19 sen 16º· cos B 
 tg B =
19  sen16º
 B  47º 52' 34,69''
23  19·cos16º
A = 16º + B  63º 52' 34,69'' y C = 180º - A - B  68º 14' 50,62''
53. Demuestra que en todo triángulo ABC, se cumple la igualdad:
A B
2 , conocida como Teorema de Nepper. (Indicación: debes usar el teorema del
A B
tg
2
seno para escribir la relación entre a y b)
ab

ab
tg
Solución:
Por el teorema del seno: a =
senA
 b . Sustituimos:
senB
senA
A B
A B
A B
b b
2 cos
sen
tg
senA

senB
senB
2
2 
2 . c.q.d.


senA
A B
A B
A B
senA  senB
b  b
2sen
cos
tg
senB
2
2
2
54. En los lados de un triángulo ABC se cumple que b - a = 1 y c - b = 1, y se tiene que cos A
= 0,6. Calcula a, tg (B/2) y sin 2C
Solución: a = 1 tg (B/2) =  1 / 2 y sin 2C =  3 / 2
Los lados son a, b = a + 1 y c = a + 2.
Planteamos el teorema del coseno y obtenemos la siguiente ecuación una vez simplificada:
a2 + 12a - 13 = 0, cuya solución positiva es a = 1
Para calcular B con el teorema del coseno obtenemos: cos B = 1/3, por lo que:
tg (B/ 2) =  1 / 2
Para calcular C aplicamos el teorema del coseno y se obtienen cos C = -1/2, por lo que C = 120º
y sen 2C =  3 / 2
55. De un triángulo se conocen los lados b = 2,5 cm y c = 3,5 cm y se sabe que el ángulo B es la
mitad del ángulo C. Calcula a y los ángulos A, B y C.
Solución: Si C = 2B, a partir del teorema del seno se obtiene que cos B =0,7.
Luego B  45º34'22,79'' y C  91º8'45,57'' y A  43º16'51,64''
Y ahora, aplicando el teorema del seno se obtiene: a  2,400 cm
56. Un triángulo de lados 3 cm , 4 cm y 6 cm, está inscrito en una circunferencia. Averigua el
perímetro y el área de dicha circunferencia.
Solución: p  21,21 cm y A  35,79 cm2
En primer lugar calculamos uno de sus ángulos. Sea a = 3 cm, b = 4 cm y c = 6 cm
cos A 
b 2  c 2  a 2 16  36  9

 A =26º 23' 3,59''
2bc
48
Por el teorema del seno, si r es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, tenemos
a
que:
 2r , sustituyendo r  3,375 cm, aproximadamente.
senA
Por lo que el perímetro y el área de la circunferencia son, respectivamente:
p  21,21 cm y A  35,79 cm2
57. En una circunferencia de radio 10 cm, hay inscrito un triángulo isósceles cuyo lado desigual
también mide 10 cm. Calcula el área de dicho triángulo.
Solución: A = 14 cm2
Sea a = 10 cm. Por el teorema del seno, si r es el radio de la circunferencia circunscrita al
a
triángulo, se cumple que
 2r ,por lo que sustituyendo a y r, se obtiene que el ángulo
senA
desigual es A = 30º.
Los ángulos iguales medirán 75º cada uno. Un lado desigual, b, medirá: b = 20 · sen 75º
El área del triángulo es: A = b · h/2, = (a · b · sen75º)/2 = (10 · 20 · sen 75º · sen 75º)/2
 A = 14 cm2
58. Determina el área de un triángulo inscrito en una circunferencia de radio 3 cm, sabiendo
que dos de sus lados miden 2 y 4 cm, respectivamente.
Solución: Triángulo 1: A  2,234 cm2
Triángulo 2: A  0,348 cm2
Supongamos a = 2 cm y b = 4 cm.
a
b

 2r , siendo r el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo,
senA senB
tenemos:
Como:
sen A = 1/3 y sen B = 1/4, con lo que:
A = 19º 28' 16,39'' o A = 160º 31' 43,6''
B = 14º 28' 39,04'' o B = 165º 31' 20,9''
Hay pues, dos triángulos posibles:
Triángulo 1: A = 19º 28' 16,39'', B = 14º 28' 39,04'' y C =146º 3' 4,56''
Triángulo 2: A = 160º 31' 43,6'', B = 14º 28' 39,04'' y C = 4º59'37,35''
Como es área de un triángulo es A = b · h/2, = (a · b · sen C)/2 , sustituyendo se tiene que:
Triángulo 1: A = (2 · 4 · sen C)/2  2,234 cm2
Triángulo 2: A = (2 · 4 · sen C)/2  0,348 cm2
59. Calcula el área del triángulo ABC representado en la siguiente figura:
Solución: A = 106,88 cm2.
Por el teorema del seno CB = 25 · sen 30º/sen 110
Por tanto el área: A = 25 · CB sen 40º /2 = 25 · (25 · sen 30º/sen 110)· sen 40º /2  106,88 cm2