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XV SIMPOSIO DE TRATAMIENTO DE SEÑALES, IMÁGENES Y VISIÓN ARTIFICIAL – STSIVA 2010
Técnicas de Calibración de Cámaras para visión
estéreo y reconstrucción
José Gabriel Hoyos Gutiérrez, Jaiber Evelio Cardona Aristizábal, Luís Miguel Capacho Valbuena, Luis Felipe Orozco

II. TEORÍA GENERAL DE CALIBRACIÓN
Resumen—Categoría 4
Se presenta una revisión de dos técnicas utilizadas en la
calibración de cámaras con miras a tener visión estéreo, en
general se pueden dividir en técnicas coplanares y no co-planares.
Después de realizada una calibración, esta entrega los
parámetros de la cámara, los cuales permiten tener un modelo de
la interpretación de la cámara de un espacio real. Estos
parámetros, permiten luego calcular un punto en el espacio, este
proceso es conocido como reconstrucción.
Este estudio hace parte de un proyecto de investigación que
busca realizar el control por imágenes de un brazo manipulador,
por último se presentan algunos resultados.
Palabras
Claves—
Reconstrucción.
Visión
Estéreo,
A. Problema de Calibración
El problema consiste en hallar y resolver un modelo
matemático de cómo ve la cámara la escena, por resolver
entiéndase el proceso de encontrar un conjunto de valores
llamados parámetros, de tal manera que luego permitan
obtener información tridimensional a partir de las
imágenes.[1] [2].
Gracias a la calibración se obtienen los parámetros que
intervienen en el proceso de formación de imágenes, la
calibración es entonces el proceso mediante el cual se
establece la relación entre coordenadas tridimensionales de los
objetos en el entorno con sus correspondientes proyecciones
bidimensionales en la imagen [1].
Calibración,
I. INTRODUCCIÓN
E
n el contexto de visión por ordenador, calibración de la
cámara es el proceso de determinar las características
internas, geométricas y ópticas de la cámara (Parámetros
intrínsecos) y la posición en 3-D del marco de la cámara
respecto a un cierto Sistema de Coordenadas (Parámetros
extrínsecos). En muchos casos, el rendimiento del sistema de
visión depende de la exactitud de la calibración de la cámara.
Existen varios métodos de calibración de la cámara presentes
en la literatura, los cuales generalmente se dividen según el
patrón a utilizar ( coplanar o no coplanar), o también según la
técnica matemática usada para encontrar los parámetros (
lineal o algoritmos de optimización ).
Por reconstrucción se
que permiten calcular
X,Y,Z ) a partir de
izquierda y derecha
calibración.
B. Parámetros Intrínsecos y extrínsecos
Parámetros Intrínsecos
Describen la geometría y óptica del conjunto cámara y
tarjeta de adquisición de imágenes.
Extrínsecos
Definen la orientación y posición de la cámara respecto a un
sistema de coordenadas conocido al que se llama sistema del
mundo. Tres grados de libertad para la orientación y tres
grados de libertad definen el desplazamiento [1] [4] [6].
C. Modelo Pinhole
Modelo de una cámara
El modelo de una cámara es una representación geométrica
de cómo se proyectan objetos tridimensionales en imágenes.
En todos los modelos aparecen distintos sistemas de
coordenadas, como: coordenadas del mundo (Xm,Ym,Zm), de
la cámara (Xc,Yc,Zc), del sensor (Xs,Ys) y de la imagen
(Xi,Yi).
entienden los algoritmos matemáticos
puntos en el espacio tridimensional P(
la información de las dos imágenes
y de los datos resultado de una
Primero se presenta una fundamentación matemática, luego
detalles de las pruebas de calibración y por ultimo algunos
resultados y las conclusiones.
Modelo Pinhole
Es un modelo proyectivo y finito (con centro óptico a una
distancia finita), en este modelo cada punto de un objeto
situado en el espacio de trabajo 3D se proyecta en un punto de
un plano denominado plano imagen.
J.G.H.G Universidad del Quindío, Programa de Tecnología Electrónica.
J.E.C.A , L.M.C.V, L.F.O. Universidad del Quindío, Grupo de Investigación
GAMA, Programa de Ingeniería Electrónica. Avenida Bolívar Calle 12
Norte Armenia Quindío. Colombia Tel: 57+6+7460175; e-mail:
josegabrielh@uniquindio.edu.co, jaibercardona@uniquindio.edu.co,
lmcapacho@uniquindio.edu.co, orozcocortes_lf@hotmail.com
El inconveniente de este modelo es que sólo es útil para
modelar algunos parámetros, pero no tiene en cuenta otras
características ópticas de las cámaras, como por ejemplo el
zoom óptico [3] [9].
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D. Clasificación de las técnicas según el objetivo de
calibración.
Dependiendo del objeto utilizado para calibrar, se pueden
destacar dos tipos de calibración, coplanar y no coplanar.
Coplanar
El objeto utilizado es plano, con un patrón impreso al que se
le llama rejilla de calibración, por ejemplo el mostrado en la
figura 2.
Fig. 1. Proyección de un punto del espacio en la imagen con el modelo
pinhole.
En condiciones no ideales, el origen del sistema de
coordenadas de la imagen no es el punto principal, y el
escalado para cada imagen es diferente, por lo que el modelo
ideal varía entonces respecto al real:
Los parámetros intrínsecos se agrupan en la matriz de
calibración, propuesta por el modelo de cámara, que se ve
modificada por la variación, en condiciones reales, de los
siguientes parámetros.
‐ Desplazamiento del punto principal
‐ Escalado
‐ Distorsión óptica
‐ Distancia focal
Fig. 2. Ejemplo de objetivo coplanar.
No coplanar
El objeto utilizado suele ser un cubo, en el que las distintas
caras tienen el mismo patrón impreso, o bien una rejilla que
consta de dos planos, ambos con el mismo patrón. (Figura 3.)
A los puntos del objeto de posiciones tridimensionales
conocidas se les conoce como puntos de calibración [2] [6].
Los parámetros extrínsecos se agrupan en la matriz de
rotación y el vector de traslación que relacionan las
coordenadas tridimensionales del objeto con las coordenadas
tridimensionales de la cámara [1] [2] [4] [6].
Modelo de dos Cámaras
Es una extensión del modelo de una cámara que se utiliza
para modelar lo que se conoce por par estéreo. Se proporciona
un modelo pinhole para cada cámara, por lo tanto existe la
necesidad de conocer una serie de datos que permitan entender
cómo se produce el registro de la información en la imagen,
estos datos son los parámetros intrínsecos y extrínsecos de las
cámaras [1] [5].
El procedimiento que se sigue para calcular los parámetros
intrínsecos y extrínsecos consiste en:
1. Determinar posiciones tridimensionales de puntos de
un objeto conocido (puntos de referencia).
2. Determinar el valor de sus proyecciones sobre la
imagen.
3. Buscar la correspondencia entre los puntos
tridimensionales y sus proyecciones en la imagen,
evaluando la correspondencia mediante una función
error.
4. Aplicar un algoritmo matemático que encuentre los
valores de las matrices implicadas en el modelo.
Fig. 3. Ejemplo de objetivo no co-planar.
Otra técnica no coplanar consiste en un campo donde se
distribuyen varios puntos de calibración y sobre el plano se
elevan un conjunto de puntos para tener información espacial
[11] (Figura 4).
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Para corregir el efecto de la distorsión, se debe introducir un
ecuación con términos no lineales, un ejemplo de ecuación es
[1]:
x
 xd 
2
4
6  b 
   1  kc1r  kc2 r  kc5 r   
 yd 
 yb 
(3)
Donde,
r 2  xb2  yb2
(4)
Fig. 4. Ejemplo de objetivo no coplanar con puntos de calibración fuera del
plano, los cuales están montados sobre un listón de madera (figura tomada de
[11]).
III.
MATEMÁTICA DE LA CALIBRACIÓN
A. Modelo matemático.
Cualquier punto tridimensional (XW, YW, ZW) en la escena
puede llevarse a un sistema de coordenadas de la cámara
(XC, YC, ZC), esto se logra con una matriz de rotación R y otra
de translación T:
 XC 
 XW



 YC   R  YW
Z 
Z
 C
 W

 r1


  T   r4

r

 7
r2
r5
r8
r3   X W

r6   YW
r9   ZW
  Tx 
  
   Ty 
 T 
  z
Fig. 5. Efectos de la distorsión radial (a) y tangencial (b) línea solida: sin
distorsión, líneas punteadas: efectos de distorsión de la línea solida (figura
tomada de [15]).
(1)
B. Obtención de los valores de los parámetros
Los valores de la matriz de rotación se pueden calcular con
tres ángulos, mas los tres de translación serian seis valores
desconocidos para los parámetros extrínsecos. Por otro lado
para los parámetros intrínsecos quitando s y k ya que uno es
cero y el otro se puede integrar en los otros, quedarían 4
valores desconocidos, por lo que en total se tendrían 10
valores desconocidos mínimo para el modelo más simple, el
cual no tiene en cuenta los factores de distorsión.
Los valores de R y T son conocidos como parámetros
extrínsecos.
Luego este sistema coordenado en el espacio
tridimensional, se debe llevar al espacio bidimensional de las
imágenes, sin tener en cuenta las distorsiones radial y
tangencial, las coordenadas de la imagen (xb, yb) se hallan [1]:
 xb 
 f cx
 

y
k

 b
 0
1
 0
 

s
f cy
0
Cx   X c 
 
C y   Yc 
1   Z c 
Generalmente para encontrar los valores desconocidos, se
toman muchos puntos correspondiente de la imagen con el
patrón de calibración, estos puntos se detectan en la imagen
usando alguna técnica de detección de esquinas (figura 6).
(2)
Donde:
fcx y fcy son las distancias focales expresadas en pixeles e
incluyen la distancia focal de la cámara y el tamaño en
milímetros del sensor (Sx, Sy), Cx y Cx son los valores del
centro óptico de la imagen ( ver figura 1). El valor s se
denomina encuadre y la mayoría de las veces corresponde con
un ángulo de 90º y por lo tanto su valor es de cero, el valor k,
es un factor de escalado.
Los valores fcx, fcy, Cx, Cx, s, k son conocidos como los
parámetros intrínsecos.
Fig. 6 Extracción de esquinas del patrón de calibración.
Se asume un punto 3D como origen en la escena y eje Z se
ubica orientado hacia la cámara, para facilitar el cálculo de los
puntos 3D (figura 6), en el caso de Heikkilä, el origen del
sistema coordenado cambia y se define como en la figura 7.
Básicamente existen dos efectos que distorsionan la imagen,
conocidos como radial y tangencial (figura 5). Estos efectos
generalmente son modelados con 5 coeficientes 3 para la
radial kc1, kc2 , kc5 y 2 para la tangencial kc3, kc14.
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D. Procedimiento de re-calibración estéreo.
Una vez obtenido los parámetros de calibración de cada
cámara por separado, existen procedimientos para aunar los
resultados [18], estos corrigen los parámetros obtenidos por
separado a partir de:
1. Un apareamiento “matching” de los puntos
característicos de ambas imágenes.
2. las matrices de rotación y translación que se obtienen
de cada elemento patrón y de ambas cámaras se
unifica en una sola matriz de rotación y otra de
translación.
Una vez obtenidos los puntos de varias imágenes (mínimo 4
para el caso coplanar y 1 para el caso no coplanar), se arma
un sistema de ecuaciones usando (1) y (2) pero con los valores
conocidos de la cámara ( , ) y de la escena o mundo
calculados anteriormente, este sistema se
( , ,
resuelve usando técnicas de pseudoinversa [10], o por
planteamiento de las ecuaciones como en el método de Tsai
explicado en [1].
C. Procedimiento de calibración de Heikkilä
Esta técnica de calibración utiliza un modelo de cámara propio
para una calibración exacta derivado del modelo pin-hole con
las correcciones de las componentes de distorsión radial y
tangencial, este modelo hace una estimación de los parámetros
del sistema de visión utilizando un objetivo conocido de
calibración.
IV. RECONSTRUCCIÓN
Por reconstrucción se
que permiten calcular
X,Y,Z ) a partir de
izquierda y derecha
calibración.
Los pasos adicionales que usa este método son:
1. La estimación de los parámetros lineales
2. Estimación no lineal
3. La corrección de la imagen.
Estimación de los parámetros lineal.
Se hace una transformación lineal directa (DLT) para la
transformación de coordenadas de objeto a coordenadas en la
imagen, este método se basa en el modelo pinhole, ignorando
las componentes no lineales de distorsión tangencial y radial.
El objetivo entonces es resolver los parámetros de la matriz
DLT, primero normalizando para evitar una solución trivial y
resolver la ecuación con una técnica pseudoinversa, por
ejemplo la SVD.
Los valores de la matriz resultado de la DLT, en si no tienen
ningún significado, pero es posible extraer los parámetros de
calibración haciendo una descomposición lineal [10].
entienden los algoritmos matemáticos
puntos en el espacio tridimensional P(
la información de las dos imágenes
y de los datos resultado de una
Fig. 8. Proceso de reconstrucción.
Como este proceso depende de las imágenes y de la
calibración realizada, los errores que se pueden presentar al
intentar reconstruir son:
estimación no lineal.
Al incorporar los valores de distorsión, ya no es posible usar la
DLT, por lo que se debe usar mínimos cuadrados.
Errores debido a la digitalización:
“Esto significa que, por el hecho de discretizar las imágenes
tomadas por las cámaras con un tamaño de píxel determinado,
también se está discretizando la imagen tridimensional en
celdas de tamaño finito en las tres direcciones del espacio”.
[12]
Corrección de la imagen
Se corrige la imagen con un algoritmo matemático el cual usa
los valores de distorsión radial y tangencial.
Errores debido a los resultados de la calibración:
Como el espacio del robot es mayor al tablero de
calibración, entre mas se aleje el punto a reconstruir de los
puntos originales usados en la calibración (tablero), mas error
se tiene [13]
Errores de correspondencia de los puntos de las imágenes:
También influye en el error la ubicación de las cámaras, por
ejemplo en López [12] se muestra que la disparidad, la cual es
función tanto de la distancia entre ellas, como la distancia de
la escena, influye en el error del cálculo de las posiciones
x,y,z en cámaras paralelas.
Fig. 7. Sistema coordenado del mundo definido para la calibración con esta
técnica.
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Cabe anotar que los resultados con la técnica de Heikkilä se
obtuvieron primero armando la matriz manualmente y luego
corriendo un “script” del toolbox de Bouget, esto con el fin de
poder comparar los resultados de ambas técnicas.
A partir de la calibración se tiene las matrices de rotación y
translación R y T , y de las imágenes los puntos
p R  ( x R , y R ) y p L  ( x L , y L ) , cada uno corresponde
con el (xb, yb) de la ecuación 2. Con los cuales se realiza el
cálculo de la posición en el mundo tridimensional utilizando
las ecuaciones 5 y 6 [14], en las cuales primero se calcula el
valor de la coordenada Z derecha y luego el punto 3D:
p L  p R  T   u  p R u  T 
2
2
2
p L p R  u  p R 
Parámetro
2
ZR 
,
(5)
 X R   xR Z R 
PR   YR    y R Z R 
 Z R   Z R 
técnica
coplanar
2231.96
2028.24
378.42
327.72
0.07995
-1.24219
0.01331
0.00254
0.00000
Dif.
Unidad
68.02
49.08
-2.72
-117.7
-5.2
33.5
pixeles
pixeles
mm
Sin
unidad
Tabla 2. Resultados de la técnica no coplanar y comparación.
(6)
Donde u  RpL y PR es el punto en el espacio tridimensional
visto desde la cámara derecha.
V.
técnica no
coplanar
2299.98
2077.32
375.7
210.0
-5.10275
32.25218
0.00298
0.01356
0.00000
B. Aplicación de la calibración y reconstrucción - medida
de las dimensiones de un objeto.
Se utilizo como objeto de prueba una caja a la cual se le
midieron sus dimensiones a partir de obtener los valores 3D de
las esquinas 1, 2, 3 y 4 (reconstrucción) y el cálculo de la
distancia entre ellos ( figura 9 ) así:
PRUEBAS Y RESULTADOS
A. Sistema de visión estéreo utilizado.
Para las pruebas de calibración y reconstrucción, se utilizaron
dos cámaras Axis 214 PTZ, a una resolución de 704 x 480
pixeles, instaladas a 10 cm entre ellas y a 2.5 metros de la
escena ( brazo manipulador ), estas cámaras tienen un zoom
variable entre 1 y 9999 pasos.
Lado A (valor real 200 mm ): distancia entre puntos 1 y 2
Lado B (valor real 195 mm ): distancia entre puntos 2 y 4
Lado C (valor real 50 mm ) : distancia entre puntos 2 y 3
Estas distancias se calcularon usando las ecuaciones 5 y 6, y
sus valores se muestran en la tabla 3, medidas mediante las
dos cámaras y con los parámetros presentados en la tabla 1.
A.1 Resultados usando el objetivo coplanar
Se utilizo el “toolbox” desarrollado por Bouget [16], para cada
cámara se ejecuto una calibración con 14 posiciones distintas
del objetivo coplanar (tablero) y luego se ejecuto la función
stereo_gui que fusiona los resultados independientes de cada
cámara (sección III.D).
Para un valor de zoom de 3000 (pasos) se muestran algunos
de los parámetros intrínsecos en la tabla 1.
Parámetro
,
valor
1419.266
1285.511
412.98
255.37
-0.14716
1.41537
0.00219
0.00821
0.00000
Unidad
pixeles
pixeles
mm
Sin unidad
Fig. 9 Imagen de la caja para la medida de distancias en la reconstrucción.
Distancia Real (mm)
Tabla 1. Resultados calibración técnica coplanar ( zoom = 3000 pasos).
A.2 Resultados objeto no coplanar ( Heikkilä ) y
Comparación con el objeto coplanar.
En esta técnica es necesario primero editar manualmente la
matriz que contiene la información de las coordenadas
tridimensionales y los puntos de la imagen, aunque esto se
debe hacer para una única imagen o posición del patrón 3D.
A= 200
B= 195
C= 50
Valor calculado con la
reconstrucción estéreo
(mm)
198.52
195.30
53.24
error (mm)
1.48
-0.30
3.24
Tabla 3. Resultados reconstrucción del objeto de prueba de la figura 9.
Aunque al observar los errores en las medidas (tabla 3) y
compararlos con [17] estos son mayores, hay que tener en
cuenta que aquí se manejo un mayor volumen de escena para
Para esto se hicieron varias pruebas con algunos valores de
zoom, pero solo se obtuvo algún resultado para un zoom de
5000 pasos, el cual se muestra en la tabla 2.
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[4] Cyganek B. y Siebert J. P., An Introduction to 3D Computer Vision
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[18] Cuevas J., Erik Valdemar, Intelligent Robotic Vision, Freien
Universität Berlin, cap. 10, p. 228-230, 2006.
medir y además se espera que el controlador del brazo
robótico corrija estas imprecisiones en la medición estéreo.
C. Resultados zoom variable técnica coplanar.
Se deseaba conocer el efecto del zoom en los resultados de la
reconstrucción, así que se realizaron múltiples calibraciones
para valores de zoom desde 500 a 3500 pasos con cambios de
500 pasos, es de aclarar que el zoom en este rango es óptico y
no digital, igualmente se tomaron manualmente los puntos de
las dos imágenes (cámara 1, cámara 2), para esta prueba se
usaron 6 posiciones del patrón por cámara.
Fig. 10 Valores del error de cada distancia al variar el zoom.
VI. CONCLUSIONES
Jaiber Evelio Cardona Aristizábal, Colombia 17 de
febrero de 1976, Ingeniero Electrónico de la Universidad
del Valle, Magister en Automática de la misma
Universidad, , Docente de Ingeniería Electrónica de la
Universidad del Quindío desde 2005, Áreas de interés:
Automatización industrial, control de procesos,
inteligencia artificial y procesamiento de imágenes.
La variación del zoom no incide demasiado en los resultados
de la reconstrucción, aunque un zoom muy pequeño (espacio
amplio) daría valores menos precisos en la detección de los
objetos en la imagen y un zoom grande (espacio reducido)
cerraría el espacio visible de movilidad del robot.
El “toolbox” para Matlab desarrollado por Bouget es simple
de utilizar, ya que la extracción de puntos característicos se
realiza de manera automática y no manualmente como en el
caso de Heikkilä, aunque este último solo requiere una sola
posición del objetivo patrón y por ende tomar solo 2 imágenes.
Luís Miguel Capacho Valbuena, Colombia 6 de
mayo de 1982, Ingeniero Electrónico de la Universidad
del Quindío, Docente de Ingeniería Electrónica de la
Universidad del Quindío desde 2008, Áreas de interés:
Sistemas embebidos, Programación y procesamiento de
señales e imágenes.
Como la idea es luego usar la medición por visión estéreo para
hacer control, se tiene la limitante de que el tamaño de
memoria de las imágenes no pueden ser muy grande por
cuestiones de tiempo de muestreo, lo cual implica trabajar a
baja resolución y por ende tener errores altos en las medidas,
por lo cual la idea es buscar un punto medio entre tamaño de
la imagen y error obtenido.
José Gabriel Hoyos Gutiérrez, Colombia 26 de julio
de 1967, Ingeniero Electricista Universidad Nacional
sede Manizales, Especialista en Automatización
Industrial Universidad del Valle, Maestría Ingeniería
Eléctrica, UTP, Estudiante doctorado en Automática
Universidad Nacional, Docente Tecnología Electrónica
Universidad del Quindío desde 1994, Áreas de interés:
Automatización industrial, procesamiento de imágenes.
REFERENCIAS
Luis Felipe Orozco Cortés miembro IEEE desde junio
de 2010, nació en Armenia, Quindío, el 3 de julio de
1988, se encuentra terminando estudios de Ing.
Electrónica en la Universidad del Quindío. Ha
trabajado en la empresa Cine Colombia, en el instituto
interdisciplinario de las Ciencias y como asistente a la
investigación en el programa donde estudia. Áreas de
interés la electro-medicina, prótesis electrónicas, la
ingeniería de sonido y la ciencia de los materiales.
[1] Pomares J. y Torres F., Robots y sistemas sensoriales. Editorial Pearson.
2002.
[2] Gardel Vicente A. Calibración de cámaras con objetivos de distancia focal
fija. Alcalá de Henares, Madrid, 2004.
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control de un brazo de robot. México, D.F., 2003.
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