Download UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
MISIÓN
Formar profesionales altamente capacitados, desarrollar
investigación y realizar actividades de extensión en Matemáticas y
Computación, así como en sus diversas aplicaciones.
GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO
Primer semestre
M. en C. Pilar Rosado Ocaña
LICENCIATURA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Septiembre 2005 - Enero 2006
LICENCIATURA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Formar profesionales en:
1. El manejo de las estructuras teóricas fundamentales de la matemática y los
procesos matemáticos que justifican los principales resultados de esta ciencia.
2. La planeación de actividades de enseñanza-aprendizaje de matemáticas,
mediante el diseño de programas y estrategias que faciliten el proceso
correspondiente, así como de los instrumentos adecuados para medir los
aprendizajes de acuerdo con los objetivos de las mismas.
3. El desarrollo de programas de enseñanza-aprendizaje de matemáticas en
forma dinámica y creativa, utilizando la metodología y los recursos necesarios
y adecuados para lograr en sus alumnos aprendizajes significativos y
permanentes.
4. La evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas para
retroalimentar el proceso mismo, así como para obtener indicadores útiles para
una mejor planeación de actividades.
GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO
Semestre:
Horas:
Hrs/sem:
Créditos:
Clave:
Primero
72
4.5
10
1033
OBJETIVO GENERAL
Al finalizar el curso, el alumno demostrará teoremas y propiedades
fundamentales de figuras planas y espaciales por los métodos adecuados y las
aplicará en la demostración de otras propiedades y en la solución de problemas de
construcción.
CONTENIDO
UNIDAD 1.- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
( 4 sesiones )
Objetivo: El alumno será capaz de dar las definiciones, y demostraciones de
propiedades de rectas, segmentos y ángulos, así como los tipos de demostración
usadas en geometría y los términos utilizados en dichas demostraciones.
1.- Cuerpo, Sólido Geométrico, Dimensiones del Sólido Geométrico, Superficie,
Línea Recta, Magnitudes Geométricas, Punto
( Definiciones ).
2.- Representación del punto y de las Magnitudes Geométricas.
3.- Figura Geométrica.
4.- Propiedades del Punto y la Recta ( Los 5 postulados de Euclides ).
5.- Segmento de Recta.
• Definición.
• Medida de un Segmento.
• Segmentos Congruentes.
• Punto medio de un Segmento.
• Propiedad aditiva del Segmento.
6.- La Semirrecta.
7.- El Ángulo.
• Definición.
• Interior.
• Medida.
• Ángulos Congruentes.
• Bisectriz.
• Propiedad Aditiva.
• Clasificación.
− Agudo.
− Recto.
− Obtuso.
− Colineal.
− Complementarios.
− Suplementarios.
− Adyacentes.
− Opuesto por el Vértice.
• Propiedades de los Ángulos.
− Los ángulos opuestos por los vértices son congruentes.
− Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.
− Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.
8.- Propiedades de las Rectas Perpendiculares.
• Definición y trazo de rectas perpendiculares a un segmento.
• Dos rectas perpendiculares determinan ángulos adyacentes
congruentes.
• Dos rectas que determinan ángulos adyacentes congruentes son
perpendiculares.
9.- Poligonales Cóncavas y Convexas.
10.- La Demostración.
• Directa.
• Por reducción al absurdo.
11.- Proposición, Axioma, Postulado, Teorema, Corolario, Teorema Recíproco,
Lema y Problema ( Definiciones )
UNIDAD 2.- EL TRIÁNGULO
( 5 sesiones )
Objetivo : El alumno identificará y definirá los puntos y las rectas principales de un
triángulo, así como su clasificación y propiedades, incluyendo la
congruencia y las desigualdades, con problemas relativos.
1.- Definición y Notación.
2.- Rectas y Puntos Notables en el Triángulo.
− Bisectriz.
− Mediana.
− Mediatriz.
− Altura.
3.- Clasificación de los Triángulos según sus Lados.
− Equilátero.
− Isósceles.
− Escaleno.
4.- Clasificación de Triángulos según sus Ángulos.
− Acutángulo.
− Rectángulo.
− Obtusángulo.
− Equiángulo.
5.- Congruencia de Triángulos.
• Definición y Notación de Triángulos Congruentes.
• Casos de Congruencia de Triángulos : LAL, ALA, AAL, LLL, HC, HA y
CC.
• Propiedades del Triángulo.
− En un mismo triángulo a lados congruentes corresponden ángulos
congruentes y viceversa.
− En todo triángulo, el ángulo exterior es igual a la suma de los
ángulos interiores no adyacentes a él.
• Problemas de Congruencia de Triángulos.
6.- Desigualdad en el Triángulo.
• Desigualdad entre Segmentos.
• Desigualdad entre Ángulos.
• Teoremas.
− En el Triángulo, el ángulo exterior es mayor que cualquiera de los
ángulos no adyacentes a él.
− Si en cualquier Triángulo, un lado es menor que otro, entonces la
relación de desigualdad entre los ángulos interiores del triángulo
opuesto a ellos, se da en el mismo orden que para dichos lados.
− Si en cualquier Triángulo, un ángulo es menor que otro, entonces
la relación de desigualdad entre los lados opuestos a ellos, se da
en el mismo orden que para dichos ángulos.
− Si tenemos cualquier Triángulo, entonces la medida de un lado es
menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.
− La distancia más corta de un punto a una recta es la
perpendicular que los une.
• Problemas de Desigualdad en el Triángulo.
UNIDAD 3.- PARALELAS
( 5 sesiones )
Objetivo: El alumno definirá el concepto de paralelas y de los ángulos que se
forman con una transversal y resolverá problemas relativos.
1.- Definición y Notación.
2.- Definición de Transversal.
3.- Definición de Ángulos Alternos Internos.
4.- Definición de ángulos correspondientes.
5.- Definición de Ángulos Colaterales Internos.
6.- Teoremas sobre Ángulos entre Paralelas.
7.- Problemas de Paralelas.
UNIDAD 4.- CUADRILATEROS
( 5 sesiones )
Objetivo: El alumno definirá los distintos tipos de cuadriláteros y sus elementos,
demostrará teoremas relativos, construirá cualquier tipo de
cuadrilátero y resolverá problemas relativos.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Definición y Notación.
Cuadriláteros Convexos y no Convexos.
Definición de Lados y Ángulos Opuestos de un Cuadrilátero.
Definición de Lados y Ángulos Adyacentes de un Cuadrilátero.
Clasificación de Cuadriláteros.
• Paralelogramos.
− Rombo.
− Rectángulo.
− Cuadrado.
• Trapecio.
− Isósceles.
− Rectángulo.
• Trapezoides.
Paralelogramos.
• Definición y Notación.
• Teoremas sobre Paralelogramos.
Rombo.
• Definición y Notación.
• Teoremas sobre Rombos.
• Trazo del Rombo.
El Cuadrado.
• Definición y Notación.
• Teoremas sobre Cuadrados.
• Trazo del Cuadrado.
Problemas de Cuadriláteros.
UNIDAD 5.- EL CIRCULO
( 5 sesiones )
Objetivo: El alumno definirá el círculo y la circunferencia, así como las rectas y los
segmentos relacionados con el círculo, las relaciones entre 2
circunferencias entre si, y resolverá problemas relativos.
1. Definición.
2. Rectas en el Círculo.
• Radio.
• Cuerda.
• Diámetro.
• Secante.
• Tangente.
3. Teoremas del Círculo.
4. Definición de Arco de Círculo.
5. Propiedades de los Arcos.
6. Ángulos en el Círculo.
• Centrales.
• Inscritos.
• Semi-inscritos.
7. Teoremas sobre Medida de Ángulos en el Círculo.
8. Definiciones sobre Círculos.
• Concéntricos.
• Tangentes.
− Internamente.
− Externamente.
• Secantes.
• La línea de los centros de dos Círculos.
− Concéntricos.
− Tangentes Externamente.
− Tangentes Internamente y de Círculos Secantes.
− No Secantes.
• Tangentes Internas a dos Círculos.
• Tangentes Externas a dos Círculos.
9. Problemas sobre el Círculo.
UNIDAD 6.- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
( 5 sesiones )
Objetivo: El alumno definirá la semejanza de 2 figuras planas cualesquiera, en
particular de dos triángulos, enunciará y demostrará los casos de
semejanza de triángulos y resolverá problemas relativos.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Figuras Semejantes.
Características de las Figuras Semejantes.
Relación entre Elementos Homólogos de Figuras Semejantes.
Teoremas Básicos.
Definición de Lados y Ángulos Homólogos en dos Triángulos.
Definición de Triángulos Semejantes.
Casos de Triángulos Semejantes.
• Teorema de la Semejanza AA.
• Teorema de la Semejanza LAL.
• Teorema de la Semejanza LLL.
8. Problemas sobre Semejanza de Triángulos.
UNIDAD 7.- PROBLEMAS DE CONSTRUCCIONES
( 4 sesiones )
Objetivo: El alumno utilizará los instrumentos euclidianos, la regla y el compás,
para resolver problemas elementales de construcción.
1. Significado de Construcción.
• Instrumentos Permisibles.
• Construcciones Básicas de Ángulos.
2. Construcción de Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares.
3. Construcciones que Implican Circunferencia.
4. Construcción de Segmentos Especiales.
• Dividir un segmento en cualquier número dado de parte igual.
• Construir un segmento cuya longitud sea cuarta proporcional de las
longitudes de los segmentos dados.
• Construir un segmento cuya longitud sea media proporcional entre las
longitudes de los dos segmentos dados.
5.
Ejercicios de Construcción.
UNIDAD 8.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
( 5 sesiones )
Objetivo: El alumno definirá las relaciones entre 2 planos y entre una recta y un
plano, así como el ángulo diedro y su medida y resolverá problemas
relativos.
1. Plano.
• Definición.
• Determinación.
• Intersección de dos Planos.
2. Postulado del Plano.
3. Perpendicular a un Plano.
4. Rectas y Planos Paralelos entre si.
5. Planos Paralelos.
6. Teorema y Problemas sobre Planos, Intersección de dos Planos,
Perpendiculares a un Plano y Planos Paralelos.
7. Ángulo Diedro y su Magnitud.
8. Diedros Adyacentes.
9. Diedro Recto.
10. Planos Perpendiculares.
11. Ángulo Plano de un Diedro.
12. Teoremas y Problemas sobre Ángulos Diedros y Planos Perpendiculares.
UNIDAD 9.- POLIEDROS, CILINDROS Y CONOS
( 6 sesiones )
Objetivo: El alumno dará las definiciones de poliedros, prisma, pirámide, cilindro y
cono, así como de sus elementos, demostrará teoremas sobre estas
figuras y resolverá problemas relativos.
1. Poliedro.
• Definición.
• Sección.
− Convexo.
2. Prisma.
• Definición.
• Altura.
• Recto.
• Oblicuo.
• Clasificación según sus bases.
• Sección Recta
• Truncado.
3. Teoremas y Problemas sobre Prismas.
4. Paralelepípedo.
• Definición.
• Recto.
• Rectángulo.
5. Cubo.
6. Volumen.
7. Sólidos.
• Equivalentes.
• Congruentes.
8. Pirámide.
• Definición.
• Área Lateral.
• Altura.
• Clasificación según la base
• Regular
− Apotema.
− Propiedades.
9. Pirámide Truncada ó tronco de Pirámide.
• Altura.
• Caras
• Apotema.
10. Teorema y Problemas sobre Pirámides.
11. Superficie Cilíndrica.
12. Cilindro.
• Definición.
• Recto.
• Oblicuo.
• Sección Recta.
• Circular.
• Plano tangente a un Cilindro.
13. Prisma Inscrito en un Cilindro.
14. Prisma Circunscrito a un Cilindro.
15. Teorema y Problemas Cilindros.
16. Superficie Cónica.
17. Cono.
• Circular.
• Recto.
• Oblicuo.
• De Revolución.
• Plano Tangente a un Cono.
18. Pirámide Inscrita en un Cono.
19. Pirámide Circunscrita a un Cono.
20. Cono Truncado.
21. Teorema y Problemas sobre Conos.
UNIDAD 10.- LA ESFERA
( 4 sesiones )
Objetivo: El alumno definirá el concepto de esfera, definirá sus partes y resolverá
problemas relativos.
1. Esfera.
• Definición.
• Generación.
• Círculo Máximo.
• Círculo Menor.
• Polos de un Círculo.
2. Distancia entre dos puntos de una Esfera.
3. Distancia Polar de un Círculo de una Esfera.
4. Cuadrante de una Esfera.
5. Esfera Inscrita.
6. Esfera Circunscrita.
7. Esferas Tangentes.
8. Ángulo Esférico.
9. Polígono Esférico.
• Convexo.
• Diagonal de un Polígono Esférico.
10. Triángulo Esférico.
11. Triángulo Polar.
12. Teoremas y problemas sobre Esferas, Polígono Esférico, Triángulo Esférico y
Triángulo Polar.
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA
1. Exposición
2. Interrogación
3. Interrogación doble
4. Tormenta de ideas
Investigación bibliográfica
Taller resolución de ejercicios
Demostración
BIBLIOGRAFÍA
1. Baldor. Geometría Plana y del Espacio con Introducción a la Trigonometría.
México. Ed. Publicaciones Cultural, 1983.
2. Fetisov, A. I. Acerca de la Demostración en Geometría. México. Ed. Mir,
1973.
3. Hemmerling. Geometría Elemental. México. Ed. Limusa, 1971.
4. Nichols, Palmer. Geometría Moderna. México. CECSA, 1971.
5. Programa Nacional de Formación y Actualización de Profesores de
Matemáticas. Geometría Euclideana. Departamento de Matemática
Educativa, CINVESTAV-IPN, 1987.
6. Thompson. Geometría al alcance de todos. México. UTEHA, 1967.
7. Velasco Sotomayor, Gabriel. Tratado de Geometría, México. Ed. Limusa,
1983.
8. Wentworth y Smith. Geometría Plana y Esférica. México. Ed. Porrúa, 1997.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
CRITERIO
PUNTUACIÓN
*
Calificación acumulada en
50 puntos
parciales y tareas
Ordinario*
50 puntos
Calificación total
100 puntos
El ordinario se podrá exentar, si la calificación acumulada en los exámenes
parciales y las tareas es mayor o igual a 80.
EXÁMENES
TAREAS
80%
20%
Parcial
Contenido
1
Unidades 1, 2, 3 y 4
2
Unidades 5, 6 y 7
3
Unidades 8, 9 y 10
Antecedente Académicos: Ninguno.
Nexos Académicos: Geometría Moderna.
PERFIL PROFESIOGRÁFICO DEL PROFESOR:
Licenciado en Matemáticas o Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
preferentemente con posgrado y experiencia docente, de investigación o de
trabajo en el área.
Elaboración: L.M. Juan Antonio Burgos Chablé, M. en C. José Enrique Peraza
Perera.
Fecha de elaboración: Septiembre de 2001.