Download colegio franciscano agustin gemelli

COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN
GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el
Universo”.
Galileo Galilei
GEOMETRIA
GRADO QUINTO
2012
PGF03-R03
INTRODUCCIÓN
Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la más compleja
maquinaria, planta industrial, obra civil, entre otros, son concebidos inicialmente en forma
mental, y antes de su fabricación deben ser descritos con toda precisión para resolver con
exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamaño y funcionalidad. En
respuesta a esta necesidad surge la Geometría, la cual se encarga de definir correctamente
las técnicas de la representación plana de los objetos tridimensionales antes ó después de
su existencia real.
De manera que estudiar Geometría es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma
de: tornillos, resortes, engranajes, relojes, sillas, mesas, televisores, carros, casas,
urbanizaciones, carreteras, represas, planetas, galaxias, en fin, todos los objetos físicos que
nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los
mismos, y es la Geometría la que define las reglas que rigen la elaboración de estas
proyecciones.
Como breve Reseña Histórica, aunque los hombres no han podido ponerse de acuerdo para
llegar a un lenguaje mundial de palabras y frases, ha existido un lenguaje realmente
universal desde los tiempos más remotos: el lenguaje gráfico. La idea de comunicar los
pensamientos de una persona a otra por medio de figuras existió desde la antigüedad. Esto
se evidencia en las figuras sobre pieles, piedras, paredes de cavernas, etc. hechas por los
hombres primitivos para registrar sus ideas.
En cuanto a la escritura, los registros más antiguos son figuras como lo prueban los
jeroglíficos egipcios. Más adelante, estas figuras fueron simplificadas y transformadas en los
símbolos abstractos que dieron origen a la escritura actual, la cual tiene por lo tanto su
fundamento en el dibujo.
El conocimiento geométrico es un componente, una vía para desarrollar pensamiento
matemático que ocupa un lugar importante como aporte a la teoría formal, es decir, a la
formación de individuos. No sólo se considera como una herramienta necesaria para
describir o dar ejemplos perfectos para enseñar el espacio circundante, comprenderlo e
interactuar en él, sino que, como disciplina, descansa sobre importantes procesos de
formación.
MATEMATICAS – Geometría 5
2
PGF03-R03
Tabla de contenido
UNIDAD Nº 1 ............................................................................................................................ 4
LOS POLÍGONOS, CLASIFICACIÓN Y ELEMENTOS ............................................................ 4
LECTURA AFECTIVA............................................................................................................... 5
ANGULOS Y SU CLASIFICACIÓN .......................................................................................... 8
TRIÁNGULOS Y CLASIFICACIÓN ......................................................................................... 14
CUADRILÁTEROS ................................................................................................................. 20
UNIDAD Nº 2 .......................................................................................................................... 26
CONSTRUCCIÓN, CLASIFICACIÓN Y MEDICIÓN DEL PERIMETRO Y EL AREA DE LA
CIRCUNFERENCIA Y LOS POLÍGONOS ............................................................................. 26
LECTURA AFECTIVA............................................................................................................. 27
POLÍGONOS Y CLASIFICACIÓN .......................................................................................... 29
PERIMETRO DE POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES ......................................... 36
AREA DE POLÍGONOS.......................................................................................................... 40
LA CIRCUNFERENCIA .......................................................................................................... 44
PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA .............................................................................. 47
UNIDAD Nº 3 .......................................................................................................................... 53
SISTEMAS DE MEDIDA ......................................................................................................... 53
LECTURA AFECTIVA............................................................................................................. 54
MEDICIÓN DE VOLUMEN ..................................................................................................... 62
MEDICIÓN DE MASA Y PESO .............................................................................................. 64
UNIDAD Nº 4 .......................................................................................................................... 73
ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS ............................................................................ 73
LECTURA AFECTIVA............................................................................................................. 74
¿QUE ES LA ESTADISTICA? ................................................................................................ 75
CLASIFICACIÓN DE GRAFICAS Y REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN ................ 79
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .................................................................................. 84
BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................... 93
MATEMATICAS – Geometría 5
3
PGF03-R03
UNIDAD Nº 1
LOS POLÍGONOS, CLASIFICACIÓN Y ELEMENTOS
PROPÓSITO: Comparar, clasificar y describir los elementos de un
polígono y utiliza
instrumentos la regla, el compás y el transportador para reconocerlos y diferenciarlos.
MATEMATICAS – Geometría 5
4
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
La primera vez que Luca oyó hablar de la Isla de los Inventos era todavía
muy pequeña, pero las maravillas que oyó le sonaron tan increíbles que
quedaron marcadas para siempre en su memoria. Así que desde que era un
chaval, no dejó de buscar e investigar cualquier pista que pudiera llevarle a
aquel fantástico lugar. Leyó cientos de libros de aventuras, de historia, de
física y química e incluso música, y tomando un poco de aquí y de allá llegó a
tener una idea bastante clara de la Isla de los Inventos: era un lugar secreto
en que se reunían los grandes sabios del mundo para aprender e inventar
juntos, y su acceso estaba totalmente restringido. Para poder pertenecer a
aquel selecto club, era necesario haber realizado algún gran invento para la
humanidad, y sólo entonces se podía recibir una invitación única y especial con
instrucciones para llegar a la isla.
Luca pasó sus años de juventud estudiando e inventando por igual. Cada
nueva idea la convertía en un invento, y si algo no lo comprendía, buscaba
quien le ayudara a comprenderlo. Pronto conoció otros jóvenes, brillantes
MATEMATICAS – Geometría 5
5
PGF03-R03
inventores también, a los que contó los secretos y maravillas de la Isla de los
Inventos. También ellos soñaban con recibir "la carta", como ellos llamaban a
la invitación. Con el paso del tiempo, la decepción por no recibirla dio paso a
una colaboración y ayuda todavía mayores, y sus interesantes inventos
individuales pasaron a convertirse en increíbles máquinas y aparatos
pensados entre todos. Reunidos en casa de Luca, que acabó por convertirse en
un gran almacén de aparatos y máquinas, sus invenciones empezaron a ser
conocidas por todo el mundo, alcanzando a mejorar todos los ámbitos de la
vida; pero ni siquiera así recibieron la invitación para unirse al club.
No se desanimaron. Siguieron aprendiendo e inventando cada día, y para
conseguir más y mejores ideas, acudían a los jóvenes de más talento,
ampliando el grupo cada vez mayor de aspirantes a ingresar en la isla. Un
día, mucho tiempo después, Luca, ya anciano, hablaba con un joven
brillantísimo a quien había escrito para tratar de que se uniera a ellos. Le
contó el gran secreto de la Isla de los Inventos, y de cómo estaba seguro de
que algún día recibirían la carta. Pero entonces el joven inventor le interrumpió
sorprendido:
- ¿cómo? ¿Pero no es ésta la verdadera Isla de los Inventos? ¿No es su carta
la auténtica invitación?
Y anciano como era, Luca miró a su alrededor para darse cuenta de que su
sueño se había hecho realidad en su propia casa, y de que no existía más ni
mejor Isla de los Inventos que la que él mismo había creado con sus amigos.
Y se sintió feliz al darse cuenta de que siempre había estado en la isla, y de
que su vida de inventos y estudio había sido verdaderamente feliz.
Relaciona…
La historia del origen de la geometría es muy similar a la del origen de la
aritmética, siendo sus conceptos más antiguos como consecuencia de las
MATEMATICAS – Geometría 5
6
PGF03-R03
actividades practicas. Los primeros seres humanos reconocieron formas
geométricas a partir de la observación de la naturaleza.
El sabio griego Eudemo de Rodas, Atribuyó a los egipcios el descubrimiento de
la geometría, ya que, según él, necesitaban medir sus tierras debido a que las
inundaciones del Nilo borraban con frecuencia sus fronteras. Precisamente, la
palabra geometría significa medida de tierras.
Explica la importancia de la geometría y los diversos diseños que encontramos a nuestro alrededor
MATEMATICAS – Geometría 5
7
PGF03-R03
ANGULOS Y SU CLASIFICACIÓN
La unión de dos semirrectas que tienen un punto inicial común, recibe el nombre de:
ÁNGULO.
Formas de notar un ángulo
El punto inicial común se llama vértice del ángulo y los lados del ángulo son semirrectas.
Para asignarle a un ángulo el número correspondiente a su medida se usa un instrumento
llamado el transportador.
Los ángulos según du medida se clasifican en: recto (90º), agudo menor de 90º, obtuso
mayor de 90º, llano180º
MATEMATICAS – Geometría 5
8
PGF03-R03
Según su posición los ángulos pueden ser:
Ángulos adyacentes. Si un par de ángulos están en una misma recta se denominan ángulos
adyacentes.
Ángulos opuestos por el vértice: los ángulos que se interceptan en un mismo punto se llaman
opuestos por el vértice
Ángulos consecutivos: Son ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común.
MATEMATICAS – Geometría 5
9
PGF03-R03
¿Qué es y cómo se utiliza el transportador?
El transportador es una semicircunferencia dividida en 180 partes de igual medida, llamadas
grados (º). Cada grado se divide en 60 partes iguales, llamadas minutos () y cada minuto se
divide en 60 partes iguales llamadas segundos (“).
Básicamente, el transportador tiene dos usos:
1. Construir un ángulo de una medida determinada.
2. Medir un ángulo que ya esta construido.
Para usarlo, siempre se hace coincidir una señal que trae el transportador en la regla
(diámetro del círculo), con el vértice del ángulo (construido o por construir) y el lado inicial
del ángulo con el cero de la numeración. El número de grados corresponde al lado final
del ángulo es la medida en grados de tal ángulo.
MATEMATICAS – Geometría 5
10
PGF03-R03
Observa el transportador, sigue las instrucciones de la profesora y mide los siguientes
ángulos
.
______
_____
_____
______
Ahora cobnstruye en el cuaderno ángulos con las siguientes medids.Construye ángulos
que tengan las siguientes medidas.
75º
60º
120º
45º
50º
80º
100º
75º
1.Mide con el transportador y clasifica los siguientes ángulos.
MATEMATICAS – Geometría 5
11
PGF03-R03
_________
________
_________
___________
_____________
____________
2. A partir de los siguientes ángulos construye sus ángulos opuestos.
3. Señala con diferentes colores 5 ángulos en la siguiente figura.
A
B
E
D
C
MATEMATICAS – Geometría 5
12
PGF03-R03
Observa el plano de la casa de Juan y señala con diferentes colores
loa ángulos según su medida y según su posición.
MATEMATICAS – Geometría 5
13
PGF03-R03
TRIÁNGULOS Y CLASIFICACIÓN
Son los polígonos de tres lados, tres vértices y tres ángulos; la suma de los ángulos internos
de un triángulo es igual a 180 º
Observa que el segmento BD une dos vértices no consecutivos del polígono ABCD.
Este segmento se llama DIAGONAL.
Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados de la siguiente manera:
Triángulo
Equilátero
Tiene sus tres lados de igual medida.
Triángulo
Isósceles
Tiene dos lados de igual medida. En
tal caso, el lado distinto se llama
base.
Triángulo
Escaleno
Tiene sus tres lados de distinta
medida.
Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus ángulos de la siguiente manera:
Triángulo
Acutángulo
Tiene sus tres ángulos
agudos.
Triángulo
Rectángulo
Tiene un ángulo recto.
Triángulo
Obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso.
MATEMATICAS – Geometría 5
14
PGF03-R03

En
un
pentágono,
traza
dos
diagonales.
¿Cuántos
formaron?__________________________________________
triangulos
se
En
un
hexagono,
traza
tres
diagonales.
¿Cuántos
formaron?__________________________________________
triangulos
se
MATEMATICAS – Geometría 5
15
PGF03-R03
1.Divide en triangulos los siguientes poligonos mediante el trazo de diagonales sin que estas
se corten.
2. Completa los espacios en blanco:
1. Un triángulo cuyos lados son todos de distintas longitudes se denomina
________________.
2. Un triángulo que tiene 2 lados iguales se denomina____________.
3. Un triángulo cuyos lados son todos iguales se denomina_________.
3. Indica el nombre de cada triángulo. Escribe isósceles, escaleno o equilátero.
MATEMATICAS – Geometría 5
16
PGF03-R03
4. Escribe en la Columna 1 la letra que corresponda de la Columna 2.
Columna 1
Columna 2
____1. Un triángulo que tiene un ángulo obtuso
a. triángulo rectángulo
____2. Un triángulo que tiene tres ángulos agudos
b. triángulo acutángulo
____3. Un triángulo que tiene un ángulo recto
c. triángulo obtusángulo
5. Indica el nombre de cada triángulo, según sus ángulos.
6. Completa el valor del ángulo que hace falta, teniendo en cuenta que la suma de los
ángulos de un triángulo suman 180º
1.
90 º
+
------ + ---------
2. -------
+
75º + ---------
= 180 º
3.
53 º + -------- + --------
= 180 º
4.
------
--------
= 180 º
5.
80 º + ---------- + ---------
= 180 º
+ 79 º +
= 180º
MATEMATICAS – Geometría 5
17
PGF03-R03
Clasifica los siguientes triángulos según sus medidas y sus ángulos.
MATEMATICAS – Geometría 5
18
PGF03-R03
3. Observa los siguientes dibujos identifica los diferentes triángulos, luego clasifícalos, de
acuerdo a la medida de sus lados y a lo ángulos que lo forman.
MATEMATICAS – Geometría 5
19
PGF03-R03
CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son cualquier polígono que posea 4 lados. Los podemos encontrar hasta en los
juegos, como en el ajedrez y las damas que se juegan sobre tableros cuadrados divididos en
cuadrados menores.
Algunos cuadriláteros tienen nombres específicos: cuadrado, rectángulo, trapecio, rombo, trapezoide
y romboide. En todos los cuadriláteros se trazan diagonales, éstas son un segmento que une a dos
vértices de un polígono sin ser de sus lados. Las diagonales te ayudarán a sumar medidas de
ángulos. Los ángulos de un cuadrilátero suman 360º.
Cuadriláteros
Rectángulo
Paralelogramos
(dos pares de lados
paralelos)
Trapecios (un par de
lados paralelos)
Cuadrado
Rombo
Paralelogramo
Trapecio
isósceles
Trapecio
rectángulo
Trap.
escaleno
Romboide
Trapezoides (no tienen
lados paralelos)
MATEMATICAS – Geometría 5
20
PGF03-R03
Observa los cuadriláteros, mídelos, escribe su nombre, señala los
vértices, diagonales y mide sus ángulos.
1. Responde las siguientes preguntas:
a. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º. ¿Cuánto miden los
otros ángulos interiores?
b. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º. Determina la medida de
todos los ángulos interiores de ese romboide.
2. Escribe el cuadrilátero que corresponde a cada dependencia de la casa.
MATEMATICAS – Geometría 5
21
PGF03-R03
3. Utilizando sólo cuadriláteros realiza un dibujo.
4. Calca y recorta cuadriláteros y construye una figura con ellos.
Señala los vértices, diagonales y mide los ángulos de cada cuadrilátero.
Algunos hombres a través de la historia se han dedicado a descubrir, crear, relacionar,
ampliar y aplicar los conocimientos geométricos presentes en todo nuestro entorno, ahora
responde las preguntas:
1. Los triángulos según sus ángulos pueden ser:
A. agudos, obtusos y escálenos.
B. acutángulos, obtusángulos, rectángulos.
C. adyacentes, consecutivos, agudos.
D. rectos, nulos, opuestos.
2. Utiliza el transportador para medir los siguientes ángulos.
MATEMATICAS – Geometría 5
22
PGF03-R03
3. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es:
A. ·60 º
B. 180 º
C.360 º
D. 125º
4.
5 La diagonal de un polígono es:
a. un ángulo
b. un segmento que une los vértices opuestos
c. una recta dividida en dos partes
d. una mediatriz
6. Señala los lados, vértices, ángulos y diagonales en cada polígono
MATEMATICAS – Geometría 5
23
PGF03-R03
7. Las siguientes figuras muestran 3 caminos diferentes para ir de la casa a la escuela.
Respecto a la longitud de los caminos, es correcto afirmar que
A. el camino 1 es 6 unidades más largo que el camino 3
B. los caminos 2 y 3 son de igual longitud
C. el camino 3 es 5 unidades más largo que el camino 2
D. los caminos 1 y 3 tienen la misma longitud
8. En la siguiente figura se ilustra el diseño de un parque con zonas verdes y caminos
demarcados:
¿Cuál de los siguientes recorridos realizados por los caminos demarcados,
NO tiene forma de triángulo?
A. C - E - A - C
B. B - F - C - B
C. A - E - D - F
D. B - C - F – B
MATEMATICAS – Geometría 5
24
PGF03-R03
9. A la figura que se muestra a continuación se le ha sombreado la mitad
1.
MATEMATICAS – Geometría 5
25
PGF03-R03
UNIDAD Nº 2
CONSTRUCCIÓN, CLASIFICACIÓN Y MEDICIÓN DEL
PERIMETRO Y EL AREA DE LA CIRCUNFERENCIA Y
LOS POLÍGONOS
PROPOSITO: Clasificar y construir polígonos y circunferencias, utilizando los
elementos básicos de geometría e instrumentos de medición.
MATEMATICAS – Geometría 5
26
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
Ese año en el colegio del barrio había nuevo profesor de
matemáticas, y también unos cuantos niños nuevos. Y uno
de estos niños nuevos era de lo más bruto que había visto
nadie. Daba igual lo rápido o despacio que le explicasen
las cosas de números, siempre terminaba diciendo alguna
barbaridad: que si 2 y 2 son cinco, que si 7 por 3 eran 27,
que si un triángulo tenía 30 ángulos...
Así que lo que antes era una de las clases más odiadas y
aburridas, se terminó convirtiendo en una de las más divertidas. Animados por
el nuevo profesor, los niños descubrían las burradas que decía el chico nuevo, y
con un ejemplo y sin números, debían corregirle. Todos competían por ser los
primeros en encontrar los fallos y pensar la forma más original de
explicarlos, y para ello utilizaban cualquier cosa, ya fueran golosinas,
cromos, naranjas o aviones de papel.
Al niño bruto parecía no molestarle nada de aquello, pero el pequeño Luisito
estaba seguro de que tendría que llevar la tristeza por dentro, así que un día
decidió seguir al niño bruto a su casa después del colegio y ver cuándo se ponía
a llorar...
A la salida del cole, el niño caminó durante unos minutos, y al llegar a un
pequeño parque, se quedó esperando un rato hasta que apareció... ¡el profesor
nuevo! Se acercó, le dio un beso, y se fueron caminando de la mano. En la
distancia, Luisito podía oír que hablaban de matemáticas... ¡y el niño bruto se
lo sabía todo, y mucho mejor que ninguno en la clase!
Luisito se sintió tan engañado que se dio una buena carrera hasta alcanzarlos,
y se plantó delante de ellos muy enfadado. El niño bruto se puso muy nervioso,
pero el maestro, comprendiendo lo que pasaba, explicó a Luisito que lo del
niño bruto sólo era un truco para que todos los niños aprendieran más y mejor
las matemáticas, y que lo hicieran de forma divertida. Su hijo estaba
MATEMATICAS – Geometría 5
27
PGF03-R03
encantado de hacer de niño bruto, porque para hacerlo bien se lo tenía que
aprender todo primero, y así las clases eran como un juego.
Por supuesto, al día siguiente el profesor explicó la historia al resto de los
alumnos, pero éstos estaban tan encantados con su clase de matemáticas, que
lo único que cambió a partir de entonces fue que todos empezaron a turnarse en
el papel de "niño bruto".
Nombra los polígonos que se encuentran en el cuento
______________________________________________________________
_______________________________________________
Escribe un mensaje relacionado con el cuento
______________________________________________________________
________________________________________________
MATEMATICAS – Geometría 5
28
PGF03-R03
POLÍGONOS Y CLASIFICACIÓN
Un polígono
es una figura
cerrada
formada por
segmentos
rectos.
POLI significa muchos.
GONO: Significa ángulo.
Los poligonos reciben su nombre de acuerdo con el número de lados o de ángulos;
De 3 lados: Tríangulo
De 4 lados: Cuadrilátero
De 5 lados : Pentágono
De 6 lados: Hexágono
De 7 lados: Heptágono
De 8 lados: Octágono
De 9 lados: Eneágono
De 10 lados: Decágono
MATEMATICAS – Geometría 5
29
PGF03-R03
Observa
y
construye
un
polígono
regular
utilizando
la
regla
y
el
compás.
NOTA: Todas las
construcciones
de este ejercicio
se realizan con
una misma
abertura del
compás, igual al
radio de la
circunferencia
dada.
Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán,
sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.
A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la
circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con
centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la
circunferencia
dada.
Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5
y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del
dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12
veces sobre la circunferencia.
MATEMATICAS – Geometría 5
30
PGF03-R03
 Construye ahora un poligono regular de 8 lados, sigue las instrucciones.
Traza una circunferencia y marca el radio.
Dibuja un radio del circulo y con
transportador, marca 45º.
ayuda del
Como es un poligono de 8 lados, se divide 360º
entre 8.
Toma con el compás una abertura igual a la
distancia entre las marcas.
Traza arcos a lo largo de la circunferencia.
Une los puntos de corte y obtendrás el polígono de 8 lados.
MATEMATICAS – Geometría 5
31
PGF03-R03
1.Completa la tabla de acuerdo a la información dada.
Nº DE LADOS
Nº DE VERTICES
Nº DE ANGULOS
NOMBRE
POLIGONO
DEL
3
Pentágono
7
7
10
10
8
2.Completa el dibujo.
MATEMATICAS – Geometría 5
32
PGF03-R03
3. Dibuja un polígono de acuerdo al número de lados:
5 lados
Tres lados
Siete lados
Cuatro lados
8 lados
4. Utilizando regla traza en la cuadrícula polígonos regulares e irregulares y coloréalos
5. Marca los lados, vértices, ángulos y diagonales en cada polígono
6.Construye los siguientes polígonos con un proceso similar al empleado en el ejercicio
anterior.
Pentágono regular.
Decácogo regular.
Eneágono regular.
Cuadrilátero regular.
MATEMATICAS – Geometría 5
33
PGF03-R03
1. Indica si los siguientes polígonos son regulares o irregulares.
2. En los siguientes polígonos, pinta de rojo los lados, de azul los vértices, de amarillo
las diagonales y de verde cada ángulo interior.
3. Completa la siguiente tabla:
Figura
Nombre
Nº de lados
Nº
vértices
Nº
de
de Nº
de
ángulos
diagonales
interiores
MATEMATICAS – Geometría 5
34
PGF03-R03
4. Con base en cada polígono construye dibujos para completar la cuadrícula
MATEMATICAS – Geometría 5
35
PGF03-R03
PERIMETRO DE POLÍGONOS REGULARES E
IRREGULARES
El perimetro de un polígono regular equivale al producto del número de lados por la longitud
del lado.
P= n x L
n: número de lados
L: Longitud del lado
Si el polígono es irregular se suman los lados del polígono
Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el terreno tiene
forma rectangular y mide 50 m. de largo y 20 m. de ancho: ¿cuántos metros de alambre necesita?
20m
50 m
Perímetro =?
MATEMATICAS – Geometría 5
36
PGF03-R03
1. Observa las representaciones de regiones poligonales en las que se indican las medidas de sus lados.
Calcula sus perímetros.
2. Construye polígonos en el plano, mide sus lados y sus ángulos
MATEMATICAS – Geometría 5
37
PGF03-R03
3. Dibuja en tu cuaderno los siguientes polígonos y encuentra su perímetro las medidas aparecen en la tabla
Polígono
Medida
Cuadrado
4 cm.
Rectángulo
5 cm.- 4 cm
Pentágono
3 cm
Triángulo
Hexágono
Octágono
Perímetro
5 cm.
2 cm
2 cm
1.Encuentra el perímetro de cada figura.
2.Resuelve los problemas.
MATEMATICAS – Geometría 5
38
PGF03-R03
1. El escudo de un equipo de fútbol es un tríangulo equilátero. Cada lado mide 65 cm. Si
se quiere adornar todo el borde con hilo dorado,¿cuántos cm de hilo dorado se
necesitan?
2. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercar un terreno cuadrado de lado 25
metros, si la cerca debe quedar con cinco líneas de alambre.
3. Una mesa pentagonal regular tiene 75 cm de lado. ¿Cuántos metros de protector
metálico hay que comprar para colocar en todo el borde?
4. Selecciona 5 dependencias de la casa de Juan David y encuentra su perímetro.
MATEMATICAS – Geometría 5
39
PGF03-R03
PERIMETRO Y AREA DE POLÍGONOS
El perímetro es el borde o el contorno que encierra un polígono y el área es la medida de una
superficie y, por lo tanto, se expresa en unidades cuadradas del Sistema Métrico Decimal
como el mm2, cm2, dm2, m2, dm2, hm2, km2, y otras del sistema inglés.
.
1. Construir con cartulina 6 polígonos: 2 cuadrados, 2 triángulos y 2
rectángulos 3 cm ,4 cm y 4cm y 3cm respectivamente., utiliza regla y
formar figuras diferentes para calcular elpe´metro y el área .
2. Completa las posibles medidas de un rectángulo que cumplen con la
condición dada.
MATEMATICAS – Geometría 5
40
PGF03-R03
Nombre
Dibujo
Triángulo
Perímetro
Área
P = Suma de los
lados
P=b+c+d
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
P=4·a
P = 2(b + a)
A=b·a
P=4·a
P = 2(b + c)
A=b·a
Trapecio
MATEMATICAS – Geometría 5
41
PGF03-R03
1. Calcula y traza:
Traza un rectángulo de 7,3 cm de base y 4,2 cm de altura ¿Cuál es su Área?
Traza un cuadrado de 49 cm2 de área. ¿Cuál será su lado?
2. En grupos de trabajo explicar las fórmulas para calcular el área y el perímetro del polígono
seleccionado por la docente, elaborarlo en un cartel y ejemplificarlo con una situación de la
vida cotidiana.
3. Resuelve las preguntas:
a) ¿Cuál es el perímetro de un heptágono regular de lado 6,3 cm?
b) ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de lado 4.5 cm?
c) ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero de lado 8.2 cm?
d) ¿Cuál es el perímetro de un decágono regular de lado 0.01 m?
4. Soluciona los siguientes problemas
a. Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para
protegerlo de los animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide
50 m. de largo y 20 m. de ancho: ¿cuántos metros de alambre necesita?
¿Cuál es el área del terreno?
b. La señora María vive en una casa de un piso que tiene 72 m 2 construidos.
¿Cuál es su perímetro? ¿Cuál es la medida del largo y el anchi de la casa?
5. Construye, recorta, pega y encuentra el área y el perímetro de cada una de ellas.
MATEMATICAS – Geometría 5
42
PGF03-R03
Completa la tabla y utiliza la fórmula para hallar el área y el perímetro
Base
10,3 m
Altura Perímetro Área
4 cm
4,9 m
48 cm
24 cm
MATEMATICAS – Geometría 5
43
PGF03-R03
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una curva cerrada,cuyos puntos están todos a la
misma distancia de uno llamado centro.
Observa la figura y completa.
1. C es el _________ de la circunferencia.
2. El segmento AB se llama_____________.
3. Un radio de la circunferecia es el segmento___.
4. El segmento DE que pasa por el punto ____, es un _______________ de
la circunferencia.
5. Nombra otro radio.
MATEMATICAS – Geometría 5
44
PGF03-R03
1.Nombra los segmentos que son radios en cada circunferencia de centro P.
______________
_______________
_______________
________________
2.En cada circunferencia de centro C, nombra los segmentos que son
diámetros.
________________
______________
MATEMATICAS – Geometría 5
45
PGF03-R03
________________
_________________
Soluciona cada enunciado
Si el radio de una circunferencia es 3.83, ¿cuánto mide el diámetro?
_________________.
Si el diámetro de una circunferencia es 45.4 cm, ¿cuánto mide el
radio?______________.
Con ayuda del compás y la regla, reproduce las figuras.
MATEMATICAS – Geometría 5
46
PGF03-R03
PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA
La longitud de la circunferencia es igual al producto de su diámetro por el
número . (donde = 3.14).
L= d .
Como d= 2r, resulta;
L= 2 . R
MATEMATICAS – Geometría 5
47
PGF03-R03
1. Completa el cuadro. Observa el ejemplo.
RADIO
2 cm
DIAMETRO
4 cm
9.2 cm
FORMULA PARA
HALLAR EL
PERIMETRO
P= x d
PERIMETRO DE
LA
CIRCUNFERENCIA
P= 3.14x4cm
12.56 cm
10.25 cm
P=3.14x2.8
cm
81.02 cm
1.1 cm
2.Observa la figura y responde
a. ¿Cuál es la longitud
del radio?_______.
b. ¿Cúal es la longitud del
diámetro?_____.
c. ¿Cuál es el perímetro del
cuadrado?________.
d. ¿Cuál es el perímetro del
círculo?_________.
MATEMATICAS – Geometría 5
48
PGF03-R03
3.Encuentra el perímetro de cada figura.
Resuelve los problemas.
1.Un mantel redondo tiene 4 metros de diámetro. ¿Cuánto encaje hay que
comprar para adornar el borde si se va a colocar
triple?__________________________________________.
2.La longitud de la ranura de una alcancia es de 3cm. ¿Pasará por ella una
moneda
de
un
centimetro
y
medio
de
radio?___________________________________________.Justifica
tu
respuesta.
MATEMATICAS – Geometría 5
49
PGF03-R03
1. Usa dos de las figuras 1, 2, 3 o 4 para cubrir exactamente la parte que le falta al
cuadriculado.
¿Cuáles puedes utilizar?
a.2 y 3
b.2 y 4
c.1 y 3
d.1 y 4
2. Las figuras que se muestran a continuación están unidos por segmentos de recta por tanto
se llaman polígonos y éstos son:
a. regulares.
b. irregulares.
c. rectángulos.
d. agudos
3. Los polígonos se clasifican de acuerdo al número de lados que poseen y en todos se
identifican los lados, vértices y diagonales, ahora completa el cuadro, selecciona uno y mide
sus ángulos
Figura
Nombre
Nº de lados
Nº de vértices
Nº
de
diagonales
MATEMATICAS – Geometría 5
50
PGF03-R03
El rectángulo de la figura I se duplicó en su superficie, formando la figura II
4. El rectángulo de la figura I se duplicó en su superficie, formando la figura II
El perímetro de la figura I es
A. 5,5 cm
B. 6 cm
C. 9,5 cm
D. 11 cm
LA CIRCUNFERENCIA ES UNA LÍNEA CURVA CERRADA, QUE TIENE SU CENTRO; LA
DISTANCIA DELCENTRO A CUALQUIER PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA RECIBE EL
NOMBRE DE RADIO Y LA DISTANCIA DE EXTRMO A EXTREMO DE LA
CIRCUNFERENCIA PASANDO POR EL CENTRO RECIBE EL NOMBRE DE DIÁMETRO.
Ahora responde las siguientes preguntas:
5. Si radio de una circunferencia es 19 cm, el diámetro es:
A. 36 cm
B.10 cm
C.40 cm
D.38 cm
6. El perímetro de una circunferencia se halla multiplicando PI por su diámetro; lee el
problema y responde Salomé esta confeccionando manteles y centros de mesa en forma de
círculo. Cada uno lleva cinta en el borde., el diámetro de la mesa 40 cm ¿Qué cantidad de
tela debe comprar?
A.122,7 cm
B.123,6 cm
C.125,6 cm
D.134,7 cm
MATEMATICAS – Geometría 5
51
PGF03-R03
1.
MATEMATICAS – Geometría 5
52
PGF03-R03
UNIDAD Nº 3
SISTEMAS DE MEDIDA
PROPOSITO: Utilizar adecuadamente las unidades de medida creadas por el
Sistema Internacional de medidas y realizar conversiones para solucionar
ejercicios y problemas planteados.
MATEMATICAS – Geometría 5
53
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
Desde la antigüedad, el hombre necesitó expresar con números las direcciones
de los objetos. Para ello creó diferentes unidades de medida. Hoy contamos con
sistemas universales que permiten medir peso, capacidad, longitud, etc.
Antiguamente cuando al hombre se le planteó la necesidad de realizar
medidas usó su propio cuerpo para hacerlo.
Así surgió el codo, que iba entre el codo y el extremo del dedo mayor, el palmo
que es el ancho de la palma extendida, el pie que es el largo del pie y l
pulgada que es el ancho del dedo pulgar, pero pronto se presentaron
dificultades, ya que no todos los seres humanos tienen el mismo tamaño.
Medir entonces es comparar una magnitud con otra,
tomada de manera arbitraria como referencia,
denominada patrón y expresar cuántas veces la
contiene.
Al resultado de medir lo llamamos Medida.
En la actualidad, para medir con exactitud, usamos
unidades de medida invariables: Las del sistema métrico decimal, que son
aceptadas a nivel mundial, por tal motivo a veces se les llama S.I. o sea
Sistema Internacional.
¿Por qué se llama Sistema métrico Decimal?
Se denomina Sistema porque es un conjunto de medidas. Métrico porque su
unidad fundamental es el metro, decimal porque la razón entre las medidas
(mayores y menores que el metro) siempre es 10 o una potencia de 10.
En el sistema métrico los prefijos griegos deca, hecto y kilo representan 10, 100
y 1000 veces a la unidad.
Los prefijos latinos mili, centi y deci representan un milésimo, un centésimo y
un décimo de la unidad.
Para transformar una unidad de medida en otra debemos tener presente lo
siguiente:
MATEMATICAS – Geometría 5
54
PGF03-R03
Por cada peldaño que bajes, debes multiplicar por 10.
Por cada peldaño que subas, debes dividir por 10.
Explica con tus palabras la importancia de que existan diferentes unidades de
medida
________________________________________________________________
________________________________________________________________
_______________________________________
MATEMATICAS – Geometría 5
55
PGF03-R03
MEDIDAS DE LONGITUD
La longitud nos
permite decir qué tan
largo es un objeto o
espacio. La unidad
principal de longitud en
el sistema internacional
de medidas es el
metro lineal (m)
El sistema internacional (SI) permite realizar más fácilmente dichas
mediciones pues cuenta con submúltiplos y múltiplos de cada unidad de
medida. Se tienen los siguientes:
MÚLTIPLOS
MIRIÁMETRO KILOMETRO HECTÓMETRO
SUBMÚLTIPLOS
DECAMETRO
DECIMETRO
CENTIMETRO
MILIMETRO
Mm
10 000 m
Km
hm
dam
dm
cm
mm
1 000 m
100 m
10 m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
MATEMATICAS – Geometría 5
56
PGF03-R03
3. Piensa y completa la siguiente tabla:
2.¿Con qué instrumento y con qué unidad podemos medir lo siguiente?
La altura de un poste
La distancia entre dos ciudades
El tamaño de una mosca
El tamaño del dedo meñique
El largo del salón de clases
La distancia de una cuadra
El largo de una hormiga
MATEMATICAS – Geometría 5
57
PGF03-R03
3.Expresar en las diferentes unidades de longitud:
Km
45
hm
dam
M
dm
cm
mm
13
678
20.500
765
321
456
1. Selecciona la respuesta que correcta en cada caso utilizando los criterios vistos.
A. Convierte 3 cm y 5 mm a metros.
Respuestas posibles:
0,35 m
0,035 m
3,5 m
350 m
B. Convierte 5 metros y medio a decímetros.
Respuestas posibles:
55 dm
50 dm
505 dm
5,05 m
C. ¿Cuántos milímetros hay en 3 metros y medio?
Respuestas posibles:
305 cm
3050 mm
350 mm
3500 mm
MATEMATICAS – Geometría 5
58
PGF03-R03
D. Convierte a metros 5 km, 6 dam, 7 m 8 dm.
Respuestas posibles:
5067,8 m
5607,8 m
567,8 m
567,08 m
E. Cuántos m le falta a un Dm para llegar a 1 km
Respuestas posibles:
99 m
990 m
900 m
Ninguna de las anteriores
2. Lee y comenta los pedidos que hacen diferentes clientes en una ferretería, escribe el
número que corresponde en cada caso
Necesito un cuarto de metro de ese alambre------------La botella tiene de capacidad ¼ de litro ----------Voy a recorrer 56 Km que equivalen Hm ------------Tengo 12 años y 3 meses que equivalen a ----------días
3. Un campo cuadrado mide 0,5 hm de lado. Expresa su perímetro en metros
a.100
m
b.2000 m
c.20 m
d.200 m
MATEMATICAS – Geometría 5
59
PGF03-R03
4. La distancia entre el Río Chinchiná y Manizales es de 18 km. Expresa en Dm distancia el
Río Chinchiná y Manizales
a.
b.
c.
d.
18000 Dm
1800 Dm
18000 Dm
180000Dm
5. Lee la siguiente información y responde las preguntas
Un tramo de un túnel que conduce el agua de un embalse a la planta de tratamiento se
derrumbó. El arreglo del túnel demora 4 meses. Afortunadamente hay una reserva alterna de
agua que contiene 18 000 000 de litros de líquido. Si los habitantes de la ciudad consumen
300 000 litros diarios habitualmente, el agua solo alcanzara para dos meses. Frente a esta
situación el alcalde propone diferentes formas para disminuir el consumo. Durante el primer
mes de emergencia el consumo fue 250 000 litros de agua diarios, una reducción bastante
apreciable, pero no lo suficiente para que la reserva alcance los cuatro meses
Si los habitantes de la ciudad consumen 200 000 litros de agua diarios durante los tres
meses siguientes, ¿alcanzará el agua de la reserva hasta el final de la emergencia?
¿Por qué? ¿para cuánto tiempo?
1. En las regiones IX y X se concentra la mayor cantidad de volcanes del sur de América. La
siguiente tabla muestra las alturas de algunas de ellos.
Región
IX
IX
IX
X
X
Nombre del
volcán
Lanín
Llaima
Tolhuaca
Osorno
Puntiagudo
Altura (sobre
el nivel del
mar)
3.774 m
3.125 m
2.780 m
2.652 m
2.490 m
1 kilómetro (km) = 1.000 metros
(m)
1 metro (m) = 100 centímetros
(cm)
a. ¿Cuál es la altura del volcán Tolhuaca expresada en centímetros?
MATEMATICAS – Geometría 5
60
PGF03-R03
1.780
2.780 x 100 cm
278.000 cm
b. Expresa en centímetros las alturas del resto de los volcanes anteriores.
Lanín
Llaima
Osorno
___________cm
___________cm
___________cm
2. Escribe la unidad de medida adecuada para cada situación.
Puntiagudo
_________cm
m
El largo de un libro ––––––––––––
El peso de una jirafa –––––––––––––
La distancia entre Bogotá y Cartagena––––––––––
El peso de un niño –––––––––
El consumo de agua –––––––––
El consumo de energía –––––––––
3. Completa las siguientes equivalencias:
8.000 m = ______________ km
5 dm
= ______________ cm
1 dm + 100 m = _________________ cm
3.500 m = ____________________ km
4. Resuelve los siguientes problemas:
a) El papá de Juan camina 2 km diarios; entonces podemos calcular que:
En una semana camina _________________ km.
En un día camina ____________________m.
En un mes camina ____________________km.
b) Si una camioneta doble tracción consume 2 galones de gasolina en 78 Km entonces:
Consume -------------- en 169 Km
Si recorre 64 km, recorre ________________ cm.
MATEMATICAS – Geometría 5
61
PGF03-R03
MEDICIÓN DE VOLUMEN
Volumen: es la cantidad
de espacio ocupado por
cualquier cuerpo. Lo
podemos definir como el
número de unidades
cúbicas que componen al
cuerpo.
Escribe la respuesta en cada caso.
1. Un dado de 1 cm de lado tiene un volumen de 1 cm3.
a. ¿Cuál es el volumen de un dado de 3 cm de lado?
b. ¿Cuál es el volumen de un dado de 2 cm de lado?
 Calcular el volumen de una habitación que tiene 2 m de largo, 3 m de ancho y
1 m de altura
MATEMATICAS – Geometría 5
62
PGF03-R03
Resuelve los siguientes problemas
1. Calcula el volumen de una caja cuyas dimensiones son 3 cm × 5 cm ×
2. ¿Cuál es el volumen de un cubo de 12 cm de arista?
MATEMATICAS – Geometría 5
63
PGF03-R03
MEDICIÓN DE MASA Y PESO
En el sistema
internacional (SI), que
es usado por los
científicos y técnicos de
todo el mundo y en la
mayoría de los países,
la masa se mide en
kilogramos, aunque
también es muy
empleado el gramo.
Nombre
Abreviatura
Tonelada
Quintal
Kilogramo
Hectogramo
Decagramo
Gramo
Decigramo
Centigramo
Miligramo
t
q
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Equivalente en Equivalente en
kilogramos
gramos
1 000
1 000 000 g
100
100 000
1
1 000
0,1
100
0,01
10
0,001
1
0,0001
0,1
0,00001
0,01
0,000001
0,001
MATEMATICAS – Geometría 5
64
PGF03-R03
Sabías que...?
La masa de un mosquito es 10 mg., mientras que la masa de un elefante es 10 toneladas. Es
decir, que un elefante tiene la masa de 100 millones de mosquitos.
¿Sabías que...?
La masa de la pirámide de Keops es 10 millones de toneladas, que equivale a un millón de
elefantes.
¿Sabías que...?
El huevo más pesado del que se tiene noticia es el que puso una avestruz en junio de 1997
en una granja de China: 2 kilos y 350 gramos.
¿Sabías que...?
En cambio el huevo más pequeño fue puesto por un canario en 1998; medía 7 milímetros de
largo y tenía una masa de 27 miligramos.
¿Sabías que...?
La ballena azul es el mamífero más grande del mundo. Cuando recién nacida tiene entre 6 y
8 metros de largo y una masa de unas 3 toneladas. Cuando estas ballenas son adultas
pueden medir hasta 35 metros y pesar unas 130 toneladas.¿Sabías que...?
La masa de la Tierra es 80 veces mayor que la masa de la Luna.
1. Resuelve los problemas
 Un elefante pesa 3558 kg y un rinoceronte 144@ ¿cuál pesa más? ¿cuantos
gramos de más? ¿cuántas libras de menos?
MATEMATICAS – Geometría 5
65
PGF03-R03
 El huevo de avestruz pesa 2 libras y media y uno de gallina pesa 50 g.
¿cuántos huevos de gallina pesan lo mismo que un huevo de avestruz?
2. Realiza las operaciones indicadas en cada caso y resuelve
a. Un kilo de manzanas cuesta $ 2.600. ¿Cuánto cuesta un kilo y medio?
Cuesta
pesos.
b. Un kilo de carne cuesta $14.900. ¿Cuánto cuestan trece de kilo de carne?
Cuestan
Pesos
c. Un kilo de pescado cuesta $8 700. ¿Cuánto cuesta un kilo y cuarto de pescado?
Cuesta
Pesos
d. Un barco de 15m. de largo tiene una masa de 4t. y la carga máxima que puede llevar es de 15t. ¿Cuál es la
masa total en kilos del barco cuando va cargado con su carga máxima?
La masa total
en
kg.
kilogramos
es
3. Lee cada enunciado y señala la opción más apropiada en cada caso.
a. ¿Cuál de las dos cantidades 150g. y 150kg. es la masa del objeto de la figura?
Es
MATEMATICAS – Geometría 5
66
PGF03-R03
b. ¿Cuál de las dos cantidades 1032g. y 1032kg. es la masa del objeto de la figura?
Es
c. ¿Cuál de las dos cantidades 1.8kg. y 1800kg. es la masa del objeto de la figura?
Es
.
d. ¿Cuál de las dos cantidades 2030g. y 2.030g. es la masa del objeto de la figura?
Es
6. Observa la siguiente
g
.4. Observa la figura y sus equivalencias ycompleta la tabla
MATEMATICAS – Geometría 5
67
PGF03-R03
1.Señala la unida equivalente en cada caso.
1. El peso de un pollo es de 3,8 Kilogramos.
a.38 libras
b.380 gramos.
c.76 libras.
d. 3.800 gramos
MATEMATICAS – Geometría 5
68
PGF03-R03
2. El peso de Felipe de 35 Kilogramos
a.70 libras
b.30.000 gramos.
c.546 libras.
d. 6.800 gramos
3. Cinco arrobas de papa que compró Inés
a.125 libras
b. 234 libras
c. 12,5 Kg
d.45 libras
4. La masa de un camión es 10 t. y la carga 1203kg. ¿Cuál es la masa total en toneladas del camión con su
carga?
La masa total
toneladas es
en
t.
2. analiza la siguiente información y escribe conclusiones
1. Leonardo tiene 12 años de edad y su estatura es de 148 centímetros. Dentro de
12 años tendrá 24, es decir, el doble de 12. ¿Creen que su estatura será el doble
de 148 centímetros? ¿Creen que la estatura de una persona es proporcional a su
edad?
2. Aurelio tiene 16 años de edad y pesa 50 kilos. Dentro de 32 años tendrá 48
años, que es el triple de 16. ¿Creen que pesará el triple de 50 kilos? ¿Creen que el
peso de una persona es proporcional a su edad?
3. Antes, Felipe trabajaba 6 horas diarias y dormía 8 horas. Actualmente Felipe
trabaja 12 horas, que son el doble de 6. ¿Creen que Felipe duerme el doble de 8
horas? ¿Creen que el tiempo que duerme una persona es proporcional al tiempo
que trabaja?
3. Completa las siguientes tablas :
a. Un Kilogramo de azúcar tiene un preciode $1800
MATEMATICAS – Geometría 5
69
PGF03-R03
MATEMATICAS – Geometría 5
70
PGF03-R03
1. Una caja tiene las siguientes dimensiones: 3 cm de ancho, 6 cm de largo y 9 cm de altura.
La figura que corresponde a las dimensiones de la caja es
2. La unidad básica de medida para medir longitudes es el metro y éste está formado por:
A. 100 mm y 1.000cm
B.1.0000 mm y 100 cm
C. 20 Hm y 45 Dm
D.10.000 mm y 10 cm
3. Si Alejandro debe recorre en su auto 562 Km para llegar a Medellín; ésta distancia
equivale en m a:
A.56.200
B.562.000
C. 5.620
D. 5620.000
4. La equivalencia de 230.000 mm a dm es:
A. 23.000 dm
B.230 dm
C. 2.300 dm
D.23 dm
MATEMATICAS – Geometría 5
71
PGF03-R03
5. Marca la respuesta correcta
a. ¿Quién nació primero? 21 años
276 meses 7.350 días
b. ¿Quién es más joven? 144 meses 14 años
3.600 días
c. ¿Quién tardó más tiempo? 1,5 minutos 75 segundos 1/60 horas
6. Resuelve los problemas utilizando diferentes unidades de medida.
a. El peso medio de un ladrillo es de 380g. ¿Cuál será la masa en g. de 320 ladrillos?
La masa es
g.
b. Un paquete tiene de masa 3.45 g. y otro 0.76g. ¿Cuál es la masa total en gramos de los dos paquetes?
La masa total
en gramos es
g.
c. La masa de un avión es 76t. La carga y el pasaje tienen una masa de 48382kg. El combustible 58t. ¿Cuál es
la masa total en toneladas del avión con su carga?
La masa total
toneladas es
en
t.
1.
MATEMATICAS – Geometría 5
72
PGF03-R03
UNIDAD Nº 4
ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS
 PROPOSITO : Representar, interpretar y organizar
datos usando tablas y
diferentes gráficas para analizar información gráficas
MATEMATICAS – Geometría 5
73
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
Una empresaria entrevista a un candidato para el
puesto de operario en su fábrica. Le ofrece $15.000
semanales, pero le advierte que sólo será por un
período de prueba ya que luego su sueldo será mayor.
“Aquí pagamos bien. El salario medio es de $60.000
semanales” dice el empresario.
Luego de 4 días de trabajo, el operario vuelve donde su jefa y le dice: “Usted me ha
engañado. He preguntado a todos los operarios y ninguno gana más de $20.000
semanales. ¿Por qué me dijo que el salario era de $60.000?”
La jefa le responde: “Yo no lo he engañado. Tome la nómina semanal y calcule:
Yo gano $480.000; el segundo jefe: $200.000; los seis empleados $50.000 cada
uno; los cinco capataces $40.000 y los diez operarios $20.000 cada uno.
La nómina semanal suma $1.380.000 y como hay 23 personas recibiendo el salario
1.380.000 : 23 = 60.000 el promedio de los salarios es de $60.000. ¿O me equivoco?
José, el operario, le responde ¡Está bien! Pero aún así me ha engañado.”
La jefa le responde: “Pude ir diciéndole los salarios por orden; y el salario medio
sería $40.000. Pero eso no es la media sino la mediana.”
“¿Y qué significan entonces los $20.000?” pregunta José.
La jefa responde: “Eso representa la moda. Es el salario ganado por el mayor
número de personas... pero yo hable de media, no de moda.”
Opinión
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
MATEMÁTICAS – Geometría 5
74
PGF03-R03
¿QUE ES L A EST ADISTIC A?
La estadística comprende el conjunto de métodos y procedimientos
para obtener y organizar datos con el fin de analizarlos e
interpretarlos, a través de cuadros y diagramas.
El objeto de la estadística es facilitar la comprensión, hacer más
sencillo el conocimiento y lograr un mejor análisis de los hechos.
El desarrollo del análisis matemático de los juegos de azar se
produce lentamente, y de ahí la teoría de la probabilidad la cual fue
aplicada con buenos resultados a las mesas de juegos y con el
MATEMÁTICAS – Geometría 5
75
PGF03-R03
tiempo a otros problemas socioeconómicos, para analizar las
ganancias y las pérdidas de las empresas.
El resultado de un partido de fútbol puede mostrar un ganador o un
empate, pero no sabemos de antemano cuál será. Al lanzar un dado
podemos sacar uno de los seis números.
Llamamos experiencias de azar a los eventos que dependen de la
suerte.
La probabilidad de un cierto suceso es la relación que existe entre el
número de sucesos esperados (también llamados favorables) y el
número total de sucesos posibles.
Ejemplo: Se lanza un dado. ¿Cuántas posibilidades hay de obtener
un tres?
Existen 6 posibles resultados R= 1, 2, 3, 4, 5, 6 los denominamos
casos posibles.
Hay una posibilidad de obtener un tres. A este caso se les denomina
caso favorable.
MATEMÁTICAS – Geometría 5
76
PGF03-R03
1. En la sopa de letras encuentra las siguientes palabras y trata de explicar cada una de
ellas.
P
O
B
L
A
C
I
O
N
H
Z
J
O
N
M
L
I
N
F
E
R
E
N
C
I
A
L
C
U
D
N
A
T
E
A
D
A
C
G
I
Y
H
E
T
E
O
R
N
I
E
A
N
H
F
J
X
S
O
R
S
I
G
A
A
H
T
C
O
E
K
T
O
E
O
C
C
O
T
Ñ
I
U
B
T
D
R
W
L
M
D
R
A
T
A
M
M
L
A
E
A
L
A
N
A
O
I
G
H
N
A
O
O
N
Q
C
T
V
A
E
M
P
I
E
O
C
D
S
O
U
I
M
U
T
T
I
T
T
A
H
I
O
B
Z
V
B
N
T
A
S
H
I
S
M
J
F
T
A
A
I
A
Ñ
S
N
A
E
V
E
S
T
A
D
I
S
T
I
C
A
C
N
A
A
V
O
E
R
N
C
A
E
Y
O
R
A
E
R
M
N
I
V
G
O
O
R
R
O
P
Q
R
D
T
H
I
L
O
O
C
A
I
C
N
E
U
C
E
R
F










Investigación
Estadística
Gráfica
Población
Muestra
Descriptiva
Inferencial
Frecuencia
Absoluta
Relativa
2. Observa la siguiente tabla
La tabla muestra el número de libros por caja:
Cajas
2
3
12
16
8
1
Frecuencia
números libros
10
20
30
40
50
60
de
MATEMÁTICAS – Geometría 5
77
PGF03-R03
¿ Cuál es la cantidad de libros que se tienen con mayor frecuencia en las
cajas?
 ¿ Cuántas cajas tienen la mayor cantidad de libros?
1. El profesor de ciencias naturales tomo el peso (en kilogramo) de 15 estudiantes de grado
quinto; los resultados fueron: 48, 47, 48, 48, 45, 44, 48, 47, 48.5, 46, 48, 48, 48, 44 y 48.
¿Cuál peso es el que mas se repite?; ¿Cuántas veces se repite ese dato? Si los 15 alumnos
pesaran lo mismo, ¿Cuál seria el peso de cada uno?
2. Construye una tabla en donde aparezcan las frecuencias absolutas y relativas
correspondientes a los datos de la estatura (en cm) de 60 alumnos de grado sexto.
140
138
142
146
142
141
144
142
139
146
143
142
145
138
144
140
142
143
146
145
137
143
141
141
137
139
142
138
147
143
145
143
140
145
145
139
143
145
144
137
141
146
140
142
143
146
143
139
145
139
138
143
145
140
138
140
137
143
141
139
3. A los 20 asistentes a una fiesta de cumpleaños se les pidió que indicaran que tipo de
música preferían para bailar; las respuestas fueron:
Rock, merengue, salsa, salsa, salsa vallenato,
rock, rock, salsa, merengue, vallenato, salsa,
rock, salsa, rock, merengue, salsa, rock,
salsa, rock.
a. Muestre en una tabla de frecuencias absolutas y relativas la música que los asistentes
prefieren para bailar.
b. ¿Cuál es la música que prefiere la mayor parte de los asistentes a la fiesta?
c.¿Cuál es la que menos les gusta?
MATEMÁTICAS – Geometría 5
78
PGF03-R03
CLASIFICACIÓN DE GRAFICAS Y REPRESENTACIÓN DE
LA INFORMACIÓN
Los datos se pueden
representar en tablas,
diagramas de líneas y de
barras. Las tablas y los
gráficos nos ayudan a
entender mejor la
información.
Representemos los datos en diagrama de lineas.
Edad (años)
11
12
13
total
Frecuencia
absoluta
7
11
2
20
MATEMÁTICAS – Geometría 5
79
PGF03-R03
 Construye el diagrama de barras para los datos anteriores.
Se obtuvieron los siguientes datos del clima en el mes de mayo:
Lluvia, sol, sol- lluvia, Lluvia, Lluvia, Lluvia, sol- lluvia, sol- lluvia, Lluvia, Lluvia,
sol- lluvia, sol, sol, Lluvia Lluvia ,Lluvia, Lluvia, sol,
sol- lluvia ,sol- lluvia, sol,Lluvia, sol, lluvia, lluvia, sol, sol,sol, sol, sol.
 Construye la tabla de frecuencias absolutas.
 Dibuja el diagrama de líneas y de barras.
En un periódico busca un gráfico de barras y elabora la
tabla de frecuencia, luego escribe 5 obdservaciones que se analizan en él.
CUANDO TENEMOS n DATOS Y
DESEAMOS
HACER
UN
DIAGRAMA CIRCULAR, DIVIDIMOS
360º
ENTRE
n,
PARA
DETERMINAR EL NUMERO DE
GRADOS CORRESPONDIENTE A
CADA
PARTE;
LUEGO
COLOREAMOS EL DIAGRAMA
SEGÚN EL NUMERO DE DATOS
DE CADA TIPO O CLASE.
MATEMÁTICAS – Geometría 5
80
PGF03-R03
 Una familia distribuye el dinero mensual de la
siguiente forma:
Si el padre gana $ 200.000
La madre gana $180.000
¿Cuánto dinero invierten en vivienda?
¿Cuánto dinero invierten en educación?
1. En un periódico aparece el siguiente diagrama circular construye la tabla de
frecuencias respectiva y escribe el análisis a la información.El número total de
personas encuestas es de 1.000
MATEMÁTICAS – Geometría 5
81
PGF03-R03
2.Busca gráficos circulares y pegalos en tu cuaderno haciendo al tabla de distribución
de frecuencias y ela análiss a cada uno de ellos.
1.De acuerdo con la siguiente información construye un grafico circular.
Pasatiempos
Fútbol
Baloncesto
Béisbol
Pimpón
Natación
Total
Frecuencias
absolutas
12
10
10
12
3
45
2.Representemos en un grafico circular las edades de los alumnos de 5º.
MATEMÁTICAS – Geometría 5
82
PGF03-R03
MATEMÁTICAS – Geometría 5
83
PGF03-R03
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son :promedio, moda, mediana
A) El Promedio o media aritmética de “n” datos numéricos es el cociente entre la suma
total de estos, dividida por el total de datos.
 Si las notas son iguales, ¿Qué sucede con el promedio?
 Si tuviésemos 5 notas en total y una de ellas es muy baja respecto a las otras
cuatro, ¿Cómo influye esta nota en el promedio?
 Si las notas fuesen 10 en total, ¿la nota baja influiría de la misma forma?
 Durante una semana de vacaciones la asistencia a cine de jóvenes ha sido la
siguiente:
Día
Jóvenes
Lunes
57
Martes
72
Miércoles 65
Jueves
89
Viernes
348
Sábado
461
¿Cuál es el promedio diario de asistencia?
¿Está muy distorsionada esta información?
¿Por qué?
¿El administrador podría confiar en el
promedio para abastecer de refrescos la sala
de cine diariamente? ¿y semanalmente?
Domingo 49
MATEMÁTICAS – Geometría 5
84
PGF03-R03
Al calcular el promedio de una muestra con gran número de datos, podemos ahorrar tiempo
si tenemos los datos ordenados y calculados las frecuencias correspondientes.
Ejemplo, los siguientes datos corresponden a los kilómetros recorridos por los ciclistas
participantes en una competencia nacional, durante el entrenamiento:
KILÓMETROS RECORRIDOS
750 700 660 660 660 700 750 570 700 800 700 880 800
700 880 480 660 880 780 750 480 480 800 660 750 800
800 700 660 800 660 480 700 570 570 750 480 750 740
660 800 820 750 570 480 700 750 700 800 880 660 820
Organizar la información en la siguiente tabla de frecuencias y calcula el promedio.
Nº de Km.
fi
880
820
800
780
750
700
660
570
480
b) La Moda de una muestra de datos es aquel que presenta la mayor frecuencia.
La moda se aplica para describir una distribución, si se quiere obtener información sobre el
punto donde mayor concentración de datos, es decir que el mayor número de veces que se
repite un dato.
MATEMÁTICAS – Geometría 5
85
PGF03-R03
 En una supuesta investigación estadística se han recogido los siguientes datos
acerca de las preferencias televisivas de los jóvenes:
Prefieren:
Nº de Jóvenes
Películas
9.000
Informativos 15.000
Culturales
Musicales
10.000
Noticias
38.000
Deportivos
21.000
Otro tipo
7.000
¿Cuál es la moda de la muestra?
¿Tiene sentido calcular la media en la
muestra?
c) En un conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente, la
mediana es el dato que se encuentra en el centro de la ordenación.
Si el número de elementos de la ordenación es par, la mediana es la media aritmética
de los datos centrales.
1. Identifica la moda entre los siguientes números:
1,3,2,2,1,1,1,2,2,3,3,3,3,1,3,3,2,2,2,2,1
2.Observa el siguiente diagrama circular con los regalos
preferidos:
MATEMÁTICAS – Geometría 5
86
PGF03-R03
¿Cuál es la moda?____________________.
3. Realiza dos encuestas 20 compañeros del grupo, sobre número de
calzado y materia preferida, organiza la información en una tabla de
frecuencias, encuentra las medidas de tendencia central y muestralas en
gráficos.
4. Lee cada problema y encuentra las medidas de tendencia central
 En un país centroamericano se entrevistaron a 120 estudiantes para averiguar
el tipo de baile que preferían. El 35% de los jóvenes eligió el merengue, 30
estudiantes eligieron baile moderno, la octava parte dijo preferir salsa y el resto
se inclinó por la cumbia.
¿Cuál es la moda en la encuesta?
 Para elegir el representante del curso al Centro de alumnos se presentan 4
candidatos:
¿Cuántos estudiantes votaron?
¿Cuál de las medidas de tendencia
central (media o moda) representa
al estudiante ganador?
¿Cuál es la media entre los
estudiantes con mayor y menor
cantidad de votos?
MATEMÁTICAS – Geometría 5
87
PGF03-R03
Candidato f (votos)
i
Santiago 17
Mateo
13
Paula
6
Simón 4
fa
17
30
36
40
2. En un diagnostico de educación física se pidió a los estudiantes de grado quinto
hicieran abdominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados:
que
5º A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54
33 45 44 41 34 36 34 54
5º B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42
41 49 40 37 34 44 41 43
¿Cuál de los dos cursos tiene el rendimiento más parejo? ¿Qué distribución estadístico
permite comparar la distribución de este tipo de datos?
Organiza los datos en una distribución de frecuencia, encuentra la moda, la mediana y el
promedio y construye la gráfica
Utilice diferentes estrategias para encontrar la solución a
cada problema
a. Los sueldos de cinco empleados de una empresa son: $
400000, $500000, $450000, $600000 y $3500000. Calcula el
sueldo medio, la moda, si es que existe, y la mediana e
indica cuál representa mejor a los datos.
El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de
sus integrantes para la próxima competencia de estilo libre.
Según los tiempos en segundos que obtuvieron los
postulantes de las cinco últimas carreras de 100 m de estilo libre,
¿Qué nadador le conviene elegir?
Diego
Tomás
Sergio
61,7
61,5
60,7
61,7
62,9
62,4
62,3
62,9
62,7
62,9
63,7
62,7
63,1
63,7
63,2
Para poder decidir, calcula las medidas de posición de cada uno.
MATEMÁTICAS – Geometría 5
88
PGF03-R03
Diego
Tomás
Sergio
promedio
62,34
moda
61,7
mediana
62,3
En promedio, los nadadores más rápidos son ................................ y .................................,
pero esto no significa que hayan tenido el mismo rendimiento; por eso necesitamos las otras
medidas de posición: de ellos dos, tanto la moda como la mediana indican que
................................ fue más veloz.
c. Los sueldos de cinco empleados de una empresa son: $ 400000, $500000, $450000,
$600000 y $3500000. Calcula el sueldo medio, la moda, si es que existe, y la mediana e
indica cuál representa mejor a los datos.
d.Los siguientes datos numéricos corresponden a la cantidad de veces que cada estudiante
de un grupo ha ido a un concierto.
2–4–3–2–1–1–6–3–0–3–2–4–6–9–3–2–1–6
Usa esta gráfica para las preguntas 1-3
1. ¿Cuál fue la temperatura el 2 de julio?
MATEMÁTICAS – Geometría 5
89
PGF03-R03
A. 100°F
2.
B. 98°F
C.97°F
D.96°F
¿ En qué fecha fue la temperatura más de 100°F?
A. 3 de julio B. 5 de julio C. 6 de julio D.7 de julio
3. La diferencia entre la temperatura más alta y la más baja fue
A. 5°F
B. 6°F
C.9°F
D. 10°F
Usa esta gráfica para las preguntas 4 y 5
4.¿ En qué cosa gasta Evita la mayor parte de su salario?
A. Ahorros B. Regalos
C.Autobús
D.Almuerzo
MATEMÁTICAS – Geometría 5
90
PGF03-R03
5.El salario de Evita es $1 000 000. ¿Cuánto gasta en el autobús?
A. $100.000
B. $150.000
C.$250.000
D.$50.000
Usa esta gráfica de barras para responder las preguntas 6 y 7( Los valores de
la tablaestán en miles de pesos
*Los ahorros de alonso estan en miles de pesos
6.¿ En cuál mes ahorró Alonso la menor cantidad?
A. Marzo
B. Abril
C. Junio
D. Julio
7.¿ Cuánto más ahorró Alonso en abril que en junio?
A. $25.000
B. $50.000
C. $75.000
D. $100.000
MATEMÁTICAS – Geometría 5
91
PGF03-R03
MENTEFACTO
1.
MATEMÁTICAS – Geometría 5
92
PGF03-R03
BIBLIOGRAFÍA
Acosta Mahecha, Martha Lucía y otros. Herramientas matemáticas 5.Ed. Santillana
Ardila Gutiérrez Víctor Hernando. Olimpiadas matemáticas 5. Editorial Voluntad. Bogotá
Colombia 1999.
Camargo, Uribe Leonor Alfa 6 .Editorial Norma Santa Fe de Bogotá 2002
Camargo Yanira Silvia, fórmula matemática 5, editorial voluntad. Bogotá Colombia 2008.
Díaz Pulecio, Laura .Recreo matemático 5 Ed. Voluntad.
Gómez de Barbosa, Gladis Lucía. Supermat 5 Ed. Voluntad
León Beltrán Gloria Patricia. Aventura Matemática 6˚.Editorial Norma
Lozano Humberto. Elementos matemáticos 5. Editorial Santillana.
Muñoz Monroy, Humberto .Aventura matemáticas. 5 Ed. Norma
Rodríguez, S.
Benjamín y otros. Matemáticas con tecnología aplicada. 6º.Editorial
Prentice Hall.
www.sectormatematica,cl
www.redemat.com
http://www.redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina.htm
http://miayudante.upn.mx/ficha.html?rgrado=5&rconsul=4&numfich=14
http://miayudante.upn.mx/ficha.html?rgrado=5&rconsul=4&numfich=22
MATEMÁTICAS – Geometría 5
93