Download divisibilidad números naturales

DIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES
MÚLTIPLOS
Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por
otro número c.
a=b·c
Ejemplo: 12 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 6.
12 = 2 ·6
Para calcular múltiplos de un número multiplicamos ese número por cualquier número
natural.
Ejemplo: Múltiplos de 2 . Se puede anotar de la siguiente forma ̇
Consideraciones sobre los múltiplos de un número
a.-Todo número a (distinto de cero) es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
b.- El cero es múltiplo de todos los números.
c.- Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.
d.- Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.
(NIVEL II,III)
e.- La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
Ejemplo: el 2 y el 4 son múltiplos de 2 ,
2+4= 6, el 6 es múltiplo de 2
f.- La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
Ejemplo: 9 y 3 son múltiplos de 3 ,
9-3 = 6 , 6 es múltiplo de 3
g.- Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo
del tercero.
Ejemplo: 12 es múltiplo de 4, y 4 es múltiplo de 2 ; 12 es múltiplo de 2.
h.- Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también
del segundo.
Ejemplo: 8 es múltiplo de 4, por tanto todos los ̇ = 0,8, 16, 24, ......... son múltiplos de 4
DIVISORES
Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente.
Ejemplo:
4 es divisor de 12;
12 : 4 = 3 resto = 0
A los divisores también se les llama factores.
Consideraciones sobre los divisores de un número
a.- El 1 es divisor de todos los números.
b.- Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo.
c.- Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto el
número de divisores es finito.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio de divisibilidad Por 2 : El número termina en cero o cifra par. Por ej. 378:
porque "8" es par.
Criterio de divisibilidad Por 3: La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Por ej. 480:
porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
Criterio de divisibilidad Por 4: El número formado por las dos últimas cifras es un
múltiplo de 4. Por ej. 7324: porque 24 es múltiplo de 4.
Criterio de divisibilidad Por 5: La última cifra es 0 ó 5. Por ej. 485: porque acaba en
5.
Criterio de divisibilidad Por 6: El número es divisible por 2 y por 3.
Criterio de divisibilidad Por 7: Para números de 3 cifras: Al número formado por las
dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de
7, el número original también lo es. Por ej. 469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de
7.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de
arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo
y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.Por ej. 52176376: porque (37-12) (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
Criterio de divisibilidad Por 8 : El número formado por las tres últimas cifras es un
múltiplo de 8.
Criterio de divisibilidad Por 9: La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Criterio de divisibilidad Por 10 : La última cifra es 0.
Criterio de divisibilidad Por 11 : Sumando las cifras (del número) en posición impar
por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas
obtenidas. Si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por
éste.
Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales. Ej .
42702: 4+7+2=13 ; 2+0=2 ; 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11
66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Múltiplo de 11
Criterio de divisibilidad Por 12 : El número es divisible por 3 y 4.
Criterio de divisibilidad Por 13 : Para números de 3 cifras: Al número formado por las
dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo
de 13, el número original también lo es.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar
alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al
resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es.
Criterio de divisibilidad Por 14 : si es par y divisible por 7.
Criterio de divisibilidad Por 15 : si lo es por 3 y 5.
Criterio de divisibilidad Por 17 : Tomamos un número, le quitamos la cifra de las
unidades y al resultado restamos 5 veces el valor de esta cifra. Si el resultado es
negativo, lo pasamos a positivo.
Ejemplo : Estudiar si el número 8857 es divisible por 17.
Al "eliminar" la última cifra 7, queda 885 (decenas) y 7 (unidades), y fijando criterio:
885 – 7·5 = 885 – 35 = 850 . Si "quitamos" la última cifra 0, obtenemos 85 (decenas)
y 0 (unidades)
85 – 0·5 = 85 por último suprimimos el 5 (última cifra) consiguiendo 8 y 5
8 – 5·5 = 8 – 25 = –17
que es múltiplo de 17, por consiguiente 8857 es divisible por
17.
Criterio de divisibilidad Por 18 : si lo es por 2 y 9.
Criterio de divisibilidad por 19: Un número es divisible por 19
Si la suma del número que se obtiene al "quitar" (retirar...) la última cifra al número
dado (unidades) y el doble de esa última cifra es 0 o múltiplo de 19. Como antes este
proceso se repite hasta que quede un número pequeño.
Ejemplo Estudiar si el 10982 es divisible por 19.
Si "quitamos" la última cifra queda 1098 (decenas) y 2 (unidades). Aplicando regla:
1098 + 2·2 = 1102.
Separando la última cifra 2, obtenemos 110 y 2
110 + 2·2 = 114.
retiramos el 4 quedando 11 y 4:
11 + 4·2 = 19.
Criterio de divisibilidad Por 25 : si sus dos últimas cifras de la derecha son 00, 25, 50
ó 75.
Número de divisores de un número (NIVEL III)
Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y multiplicando los resultados
obtenidos:
Número de divisores de 2 520 = (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 48
Formación de todos los divisores de un número (NIVEL III)
Ejemplo: Formación de todos los divisores de 2 520
1.-Se escribe una primera fila formada por la unidad y todas las potencias del primer
factor, se traza una línea horizontal.
1
2
4
8
Se escribe una segunda fila, con los productos del segundo factor por la fila anterior.
Si el segundo factor se ha elevado a exponentes superiores a la unidad, por cada
unidad del exponente se escribe otra fila. Se traza otra línea horizontal.
1
2
4
8
3
6
12
24
9
18
36
72
Se escriben ahora otras filas con los productos del tercer factor (con las potencias
correspondientes) por todos los números obtenidos hasta el momento.
1
2
4
8
3
6
12
24
9
18
36
72
5
10
20
40
15
30
60
120
45
90
180
360
Se continúa de igual modo con otros posibles factores.
1
2
4
8
3
6
12
24
9
18
36
72
5
10
20
40
15
30
60
120
45
90
180
360
7
14
28
56
21
42
84
168
63
126
252
504
35
70
140
280
105
210
420
840
315
630
1260
2520
El último divisor obtenido debe coincidir con el número.
Número primo
Un número es primo si sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
Los primeros números primos son ( tienes que aprendértelos) :
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
- (NIVEL II,III) Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los
números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un
cociente menor o igual al divisor, se dice que el número es primo.
Ejemplo: ¿Es primo es 173? Empezamos a dividirlo en orden entre los números primos
( si encontramos una división exacta el número ya no es primo).
Entre 2, no es divisible ( no acaba en cifra par)
Entre 3, no es divisible ( la suma de sus cifras no es múltiplo de 3 1+7+3 =11
Entre 5, no es divisible ,no acaba en 0 ni en 5
Entre 7, (dividimos) 173: 7 = 24 resto= 5, no es divisible.
Entre 11, dividimos o usamos el criterio 7 -(1+3) = 3, 3 no es múltiplo de 11
Entre 13, dividimos 173:13 = 13 resto= 4, no es divisible
Ya no es necesario seguir dividiendo pues el cociente (13) es igual al divisor (13) .
No hemos encontrado ningún divisor por tanto el 173 es un número primo.
Número compuesto
Es aquél que posee más de dos divisores.
12, 72, 144. Son números compuestos
Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de
números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en
factores primos.
70 = 2 ·5 · 7
Factorizar
Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número
como un producto de números primos.
Para factorizar un número efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores
primos hasta obtener un 1 como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una
barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.
Ejemplo:
924
462
231
77
11
1
2
2
3
7
11
Máximo común divisor
El máximo común divisor, m.c.d., de dos o más números es el mayor número que
divide a todos exactamente.
Cálculo del m.c.d
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
Ejemplo: Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.
1.
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1
72 = 23 · 32
60
30
15
5
1
108 = 22 · 33
2
2
3
5
60 = 22 · 3 · 5
m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12
2.
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Cálculo del m.c.d. con El algoritmo de Euclides (NIVEL II,III)
El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m. c. d. de dos números.
Los pasos son:
1. Se divide el número mayor entre menor.
Si:
a. La división es exacta, el divisor es el m. c. d.
b. La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se
continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor
el m. c. d.
Ejemplo: m.c.d. (72,60)
72
12
m.c.d. (72,60) = 12
60
1
60
0
12
5
Mínimo común múltiplo
Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido en cero.
Cálculo del m.c.m
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Ejemplo:
Hallar el m. c. m. ( 72, 108 y 60).
Y hemos descompuesto los números en factores primos en el ejemplo del cálculo del
m.c.d.
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080
1 080 es el menor múltiplo de: 72, 108 y 60.
CÁLCULO DEL m.c.m y del M.C.D. (Otro método)
Ejemplo: Calcular el m.c.m. y el max. c. d. de 60, 72 9.
Descomponemos los tres números a la vez. Si el divisor es común a los tres números se
rodea sino no.
60
72
90
2
30
36
45
2
15
18
45
2
15
9
45
3
5
3
15
3
5
1
5
5
1
1
1
El M.C.D. será el producto de los factores rodeados.
El m.c.m. será el producto de todos los factores.
M.C.D. ( 60,72, 90) = 2 ∙ 3= 6
m.c.m. (60,72, 90) = 23∙ 32 ∙ 5 = 360
Relación entre el m. c. d. y m. c. m. (NIVEL III).
m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a ·b
m. c. d. (12, 16) = 4
m. c. m. (12, 16) = 48
48 · 4 = 12 ·16
192 = 192