Download 17 2. Propagación de ondas en medios 2.1 Ecuaciones de onda en

2. Propagación de ondas en medios
2.1 Ecuaciones de onda en el espacio libre
La propagación de ondas electromagnéticas depende de las características del medio físico en el
cual se propagan. Estudiamos en este caso cómo se comportan las ecuaciones de Maxwell en un
medio en el cual no hay ni cargas libres, ni corrientes de cargas libres en acción, es decir, cuando
= 0 y = . En este caso asumimos que la onda electromagnética fue generada de alguna
forma, y llevada a estar en un medio dieléctrico con estas características.
Se asume que la onda esta en un medio isotrópíco, lineal y homogéneo que se caracteriza por sus
constantes y y para el cual la conductividad eléctrica = 0. También sucede en estos medios
que =
y =
.
En este caso, las ecuaciones de campos electrodinámicos adoptan la forma:
= −μ
(2.1)
=ϵ
(2.2)
∙
=0
(2.3)
∙
=0
(2.4)
Aplicando intercambio de operadores lineales como el rotor y la derivación temporal, y aplicando
rotor a la ecuación (2.1), combinamos el resultado con la ecuación (2.2):
= −μ
(
Teniendo en cuenta que
= ( ∙ )−
entonces la ecuación adopta la forma:
− μϵ
Llamando
=
√
)
= −μϵ
(2.5)
=−
y empleando la ecuación (2.3),
=0
(2.6)
que será definida como la velocidad de fase, se tiene:
−
=0
(2.7)
17
Aplicando rotor a (2.2) y combinándola con (2.1) se obtiene una ecuación dual para el campo
magnético:
−
=0
(2.8)
Se las conoce como las ecuaciones de onda de vector homogéneas.
La ecuación (2.1) por ejemplo indica que si el campo eléctrico cambia en el tiempo en un punto,
el campo magnético
tiene un rotor (integral de camino en un lazo cerrado en el entorno
infinitesimal) distinto de cero en dicho punto. Pero si cambia con el tiempo ,
también será
función del tiempo, con lo que el mismo mecanismo opera entonces obedeciendo a la ecuación
(2.2) generando un rotor no nulo para el campo .
Supongamos tener una onda plana unidimensional como se plantea en la figura 2.1:
Figura 2.1. Onda electromagnética plana con componentes coincidentes con ejes cartesianos
Aplicamos en coordenadas cartesianas las ecuaciones anteriormente enunciadas:
=ϵ
−
Donde
+
−
+
∂
∂t
−
=ϵ
+
+
(2.9)
por ejemplo es el versor en la dirección de , e igualmente para los ejes y .
Como el campo eléctrico solo tiene una componente en la dirección , y el magnético solo en la
dirección de
18
−
=
ϵ
= −ϵ
(2.10)
Para la otra ecuación del sistema:
= −μ
−
+
−
+
−
∂
∂t
= −μ
+
+
(2.11)
= −μ
= −μ
(2.12)
Si se combinan las ecuaciones obtenidas operando con derivaciones parciales en espacio y tiempo
e intercambiando operadores:
= −ϵ
= −μ
Resulta:
= μϵ
(2.13)
Que es la versión unidimensional de la ecuación (2.7). Igualmente puede obtenerse la ecuación
correspondiente para el campo magnético en la variable .
Concepto de fasor.
Para el análisis de las ecuaciones de onda y expresiones del campo de una onda viajera en general
será útil el uso de fasores. Esta representación asume que la variación temporal de las cantidades
en estudio es de tipo senoidal o cosenoidal. Una cantidad vectorial dependiente del espacio y del
( , , )
tiempo de la forma ( , , , ) =
, es decir, una cuya variación temporal es de
tipo senoidal, queda representada por la cantidad conocida como fasor vectorial:
= ( , , )
(2.14)
19
En general un fasor es una cantidad o numero complejo. Podríamos simplificarlo diciendo que es,
en la expresión espacio-temporal completa de la cantidad vectorial, aquella parte que no depende
del tiempo.
De esta forma, y cuando se asume esta situación, el cálculo de operadores de derivación e
integración serán resueltos como
( , , , )
=
∫ ( , , , )
( , , )
=
( , , )
=
(2.15)
=
Donde se ha extraído de la ecuación la operación parte real de (
(2.16)
)
En función de esta forma de descripción en términos de fasores vectoriales se pueden reescribir as
ecuaciones de Maxwell para campos electromagnéticos variantes en el tiempo en el caso senoidal:
( , , , )=−
( , , )
Se extrae el operador
=−
( , , , )
( , , )
(2.17)
, y luego de hacer la derivación temporal se simplifican los términos
( , , )=−
=−
( , , )
:
(2.18)
(2.19a)
Igualmente para las otras ecuaciones:
=
+
(2.19b)
∙
= /
(2.19c)
∙
=0
(2.19d)
Cuando se presta atención a una componente particular del campo, por ejemplo la componente
del campo eléctrico , la representación de un fasor, ya no vectorial, es similar a la
anteriormente descripta. La cantidad es de la forma:
=
(2.20)
Donde
es el fasor propiamente dicho, es decir, la cantidad que no varía con el tiempo en la
magnitud estudiada. En este sentido, por
se entiende a la magnitud completa, es decir, la que
incluye las variaciones espacio temporales. La cantidad
es también la función completa,
que en términos generales es una función compleja.
20
En la operación de toma de la parte real, podemos describir al fasor como un número complejo
con módulo y fase:
=
Siendo
la amplitud, y
=
=
(ωt + )
(2.21)
la fase de ese número.
Ecuaciones de Maxwell en modo fasorial en medios libres de carga y corrientes
Haciendo uso de las expresiones en modo fasorial, las ecuaciones de Maxwell en un medio libre de
cargas estáticas y de corrientes de cargas libres adoptan la forma:
=−
(2.22a)
=
(2.22b)
∙
=0
(2.22c)
∙
=0
(2.22d)
Igualmente para las otras ecuaciones:
Que llevan a las expresiones mas generales de ecuación de onda en estos medios:
+
=0
(2.23a)
+
=0
(2.23b)
Donde
=
√
=
(2.24)
Haciendo un análisis en un caso simplificado de una onda unidimensional, y de acuerdo a la
ecuación (2.13), podemos interpretar
como la función compleja
= μϵ
=
(2.25)
=
=−
=−
Luego:
21
=−
μϵ
(2.26)
Cuya solución es:
±
=
±
=
√
(2.27a)
√
(
=
− √μϵ )
(2.27b)
Como se indicó anteriormente, la cantidad que llamamos , descripta como la velocidad de fase es
igual a
=
m/seg
√
(2.28)
En el caso particular de que se esté en presencia del vacío como medio de transmisión, este
parámetro será identificado con otra notación, debido a su importancia. La velocidad de fase en el
vacío es la velocidad de la luz , que se registra cuando las constantes de medio son las de vacío:
=
≅ 3. 10
= 4 . 10
/
(2.29)
/
= 8,85. 10
/
El subínidice 0 será utilizado para identificar constantes del vacío.
2.2 Ondas planas en medios sin pérdidas
Como se describió anteriormente, la ecuación de onda en el fasor vectorial de campo eléctrico
adopta la forma de la ecuación 2.23a, que para el caso de tratarse del vacío, un medio libre de
cargas y corrientes, escribimos de la forma:
+
Siendo
=0
(2.30)
el numero de onda del vacío
=
=
/
(2.31)
La ecuación (2.30) se cumple para cada componente del campo eléctrico, para el caso de la
componente
por ejemplo, resulta ser:
+
+
+
=0
(2.32)
para el caso de una onda unidimensional como la de la figura 2.1 la ecuación se reduce a:
22
+
=0
(2.33)
Cuya solución como se ha visto es conocida e igual a:
( )=
+
=
+
( )+
=
( )
(2.34)
Las dos posibles ondas que aparecen, viajando en sentidos opuestos a lo largo del eje de
propagación , son determinadas por la solución de la ecuación vista, estas ondas serán de
( )y
importancia en estudio de temas en este curso, y son conocidas como la onda incidente
( ).
la onda reflejada
Suponiendo ahora que está presente una sola de las dos ondas, la incidente, la cual tiene una
constante de amplitud real, con fase cero, entonces la función completa real se obtiene tomando
parte real de la función completa compleja, armada con el fasor y la variación armónica temporal:
( , )=
=
〈
〉=
(
−
)
/
(2.35)
2
1
0.
0.
0.
E
0.
0
-0.2
/4
/2
3 /4
z
-0.4
-0.6
-0.8
Figura 2.2. Características de una onda viajera
En lo que sigue, se utilizará la notación y la notación
vectorial, suprimiendo el subíndice por simplicidad.
para la descripción de un fasor o un fasor
La figura 2.2 muestra el efecto de representar la onda para diferentes instantes de tiempo que en
la expresión (2.35) se pueden interpretar como funciones cosenoidales con diferentes fases, lo
que pone en evidencia a una onda viajera que se mueve a la velocidad de la luz . Prestar
23
atención a un punto particular de la onda y observarlo moviéndose en forma paralela al eje para
que dicho punto quede quieto, respecto del sistema móvil de observaciones sobre el que uno
sigue a la onda y que se mueve a velocidad constante , sería equivalente a hacer:
−
=
Diferenciando a ambos lados de la ecuación anterior obtenemos:
=
=
=
=
(2.36)
Que es la velocidad de un punto de fase constante, o velocidad de fase, en el vacío la velocidad de
fase es la velocidad de la luz.
Podemos expresar al número de onda en función de la longitud de onda haciendo
=
=
/
(2.37)
También se puede describir la longitud de onda como
=
(2.38)
En general para un medio dieléctrico sin pérdidas podemos decir:
=
=
/
(2.39)
=
(2.40)
Como se vio anteriormente el segundo término de la ecuación (2.34) es una onda de similares
características a la presentada que viaja en el sentido negativo de la coordenada
y que
identificamos con el nombre de onda reflejada, que aparecerá cuando haya discontinuidades en el
medio en el que viaja la onda incidente. Prestando atención a la onda incidente aislada, podemos
plantear el caso simplificado de una onda unidimensional de campo eléctrico coincidente con la
dirección expresada como:
=
=
( ) +
( ) +
( ) =
( )
(2.41)
Podemos aplicar la ecuación (2.22a) y obtener el campo magnético correspondiente:
̂
=
0
0
( ) 0
=−
+
+
=−
(2.42)
0
24
( )
=
=−
( )
( )=
( )
( )
=
=
( )
( )
=
≅ 120 ≅ 377 Ω
(2.43)
La cantidad
es denominada impedancia intrínseca del vacío, y es aproximadamente igual a
377 Ω. Implica el valor numérico entre las magnitudes del campo eléctrico y magnético de una
onda que viaja en el vacío. Puede notarse que los vectores eléctrico y magnético están a 90° en el
espacio.
2.3 Ondas transverso electromagnéticas (TEM)
Como describimos anteriormente el campo eléctrico unidimensional se representó como un
( ) +
( ) + ( ) ̂=
( ) que avanza junto a un campo magnético
campo =
=
+
+
̂=
perpendicular al campo eléctrico y con componente sobre el eje
, como onda electromagnética viajera en la dirección del eje , en una triple perpendicularidad
que conforma lo que se conoce como onda transverso electromagnética (TEM).
Se supone ahora con mayor generalidad que la onda viaja sobre el eje
necesariamente coincidente con algún eje del sistema cartesiano:
( )=
Donde
pero no es
(2.44)
es un vector constante. Una expresión mas general sería:
( , , )=
(2.45)
Esta expresión satisface la ecuación de onda si se cumple que:
+
+
=
(2.46)
Definiendo el vector de onda en forma general como:
=
+
+
(2.47)
Y a una posición de un punto en el espacio cartesiano como
=
+
+
(2.48)
Entonces la ecuación (2.45) se puede escribir como:
( )=
.
=
.
(2.49)
25
Donde
es un vector de magnitud unitaria o versor en la dirección de propagación.
El campo magnético puede obtenerse por aplicación sobre cantidades fasoriales de la ecuación
(2.22a)
( )
( )=−
.
Con ( ) =
=
+
(2.50)
(
+
)
(2.51)
( )=
=
(2.52)
[−
+ (
−
) −
−
−
]
pero
̂
=
=
−(
−
−
) +
−
Luego
.
( )=−
Reemplazando en (2.50) y sabiendo que
( )=−
=−
( )
(2.53)
=
( )=
√
( )=
( )
/
(2.54)
Siendo
=
=
Ω
(2.55)
Lo que se denomina la impedancia intrínseca del medio.
2.4 Ondas planas en medios conductores y con pérdidas
En el caso de la propagación de ondas en medios con pérdidas la circunstancia principal que
cambia respecto de los medios dieléctricos ideales es que existe posibilidad de tener corrientes de
26
conducción no nulas que son precisamente las que generan las pérdidas de tipo óhmico en dicho
material. De esta manera, el conjunto de ecuaciones a resolver es el de las ecuaciones de Maxwell
en las que se sigue suponiendo la presencia de materiales isotrópicos y homogéneos ( = ϵ ,
=μ )
= −μ
(2.56)
= +ϵ
(2.57)
∙
=0
(2.58)
∙
=0
(2.59)
Partiendo del planteo para la obtención de ecuaciones de onda:
= ( ∙ )−
=−
=
(
−μ
−μ
)
= −μ
= −μ
− μϵ
σ +ϵ
=
(2.60)
Luego
= μσ
+ μϵ
(2.61)
Se supone ahora con mayor generalidad que la onda viaja sobre el eje
necesariamente coincidente con algún eje del sistema cartesiano:
( )=
=
= μσ
, ( , , )=
∂
∂
∂
+
+
∂x
∂y
∂z
∂
∂
+ μϵ
=(
∂t
∂t
pero no es
=−
)μσ + μϵ(
=(
−
+
)(
μ)(σ +
+
) =(
=−
=
μ)(σ +
ϵ)
ϵ) =
(2.62)
=0
(2.63)
Con
=
+
=
(
μ)(σ +
ϵ)
(2.64)
Con esta expresión podemos tener en cuenta dos casos de la práctica en los que se presenta el
fenómeno de las pérdidas. Uno de los casos es el de los medios conductores, para los cuales ≠
0, ≫ 1. En este caso la expresión anterior define la propagación en ese medio, donde siendo la
27
constante dieléctrica un número conocido, se supone que σ ≫
considerarse aproximada como
≅
ϵ, entonces la constante puede
μσ. Otro caso de utilidad para modelar medios con
pérdidas es el de los dieléctricos con pérdidas, para los cuales se puede hacer uso de la expresión
(2.64) si se considera que el medio posee una constante dieléctrica compleja
= − ", y
haciendo que = 0.
La caracterización de la permitividad dieléctrica como un número complejo pone en evidencia el
fenómeno de polarización en materiales dieléctricos que actuados por campos eléctricos variantes
de alta frecuencia, generan una polarización de una partícula cargada, que frente a los cambios
tan rápidos no logra responder por inercia, generando por un lado desfasaje de la respuesta
respecto al campo aplicado, y pérdidas por el proceso de deformación de la partícula. De esta
manera, la parte imaginaria de la constante dieléctrica compleja está vinculada a las pérdidas del
material, cuanto mayor sea este número, mayores serán las pérdidas. Se puede interpretar la
"
pérdida en dieléctricos con bajas pérdidas al término
=
como una conductividad
equivalente del material.
Otra forma de interpretar estos medios con pérdidas es considerar la ecuación en medios
homogéneos y tener en cuenta una constante también de tipo compleja:
+
=0
(2.65)
Comparando esta ecuación con (2.63) se tiene:
=−
,
=
μ
= ,
=
=
(2.66)
Donde
+ϵ =
√μϵ
1+
(2.67)
luego
=ϵ+
= ϵ−j
(2.68)
Para los dieléctricos con pérdidas se considera que = 0 y que el medio posee una constante
dieléctrica compleja
= − " . Razonando en términos de las dos formas de modelar el
problema, con (2.64):
"
=
(
μ)(
)=
μ
1−
O bien utilizando (2.66)
28
(
=
El cociente
"
")
=
μ
1−
"
(2.69)
es conocido como la tangente de pérdidas y se lo expresa como
=
El ángulo
−
"
≅
(2.70)
es denominado ángulo de pérdidas.
Teniendo en cuenta materiales de conducta más generalizada, podemos considerar que en el caso
de materiales magnéticos con pérdidas, el proceso podría también modelarse como un material
que posee una conste de permeabilidad magnética que es un número complejo:
=
−
"
(2.71)
Teniendo en cuenta la ecuación para el caso armónico:
= (σ + jωϵ) = jωϵ 1 +
(2.72)
Podemos ver en el caso de un material genérico que posee efecto dieléctrico y conductivo, que se
puede considerar a dicho material como dieléctrico o conductor, según resulte comparativa mente
el efecto de la contribución de la corriente de conducción σ comparada con el efecto de la
corriente de desplazamiento jωϵ de manera que si:
≥ 100
el material es conductor
≤
el material es dieléctrico
≤
≤ 100
el material es considerado semiconductor
La conducta de los materiales es por lo tanto dependiente de la frecuencia, por lo que el mismo
material puede tener una u otra conducta a diferentes frecuencias.
−
Retornando a la solución de la ecuación
= 0 donde la constante de propagación es un
número complejo
= + = ( μ)(σ + ϵ) que depende de las características del
material, representadas por sus constantes σ, μ y ϵ, y de la frecuencia, la solución a esta ecuación
es la de una onda que viaja en el eje de la forma:
=
=
(2.73)
29
Aparecen en la componente de la onda completa dos factores
=
(2.74)
Dado que las constantes y son positivas, el término
representa un factor de atenuación,
de manera que (Np/m) es llamada la constante de atenuación, mientras que el factor
es
un factor de fase, de módulo constante, y (rad/m) es denominada la constante de fase.
Ecuación de onda para los medios conductores en el caso unidimensional.
Las ecuaciones (2.63) y (2.64) rigen la conducta de una onda en un medio genérico que se
caracteriza por poseer propiedades dieléctricas y conductoras. La ecuación (2.74) describe el
campo eléctrico de una onda unidimensional en ese medio.
En la expresión (2.64) y cuando se está en el caso de un dieléctrico ideal,
=
+
=
(
μ)(
ϵ) =
= 0y =
,
√μϵ =
"
= 0:
(2.75)
que corresponde a la constante de propagación del material dieléctrico sin perdidas.
≫
Para el caso de un material conductor se puede considerar que
=
+
=
=
/
(
μσ) =
, entonces
+
(2.76)
Haciendo uso de
/
=
/
=
1+
√2
Se puede afirmar entonces que en un material conductor:
=
=
(2.77)
El campo eléctrico dentro del conductor se propaga entonces de acuerdo a la expresión:
=
=
(2.78)
30
2.5 Profundidad de penetración de ondas electromagnéticas en medios conductores
El campo eléctrico que ingresa a un conductor se atenúa rápidamente como consecuencia de la
aparición del factor de atenuación, que no se tenía en el caso de los dieléctricos sin pérdidas.
Se puede medir la distancia a la cual el campo se reduce una determinada cantidad una vez
ingresada la señal al material. La profundidad de penetración es la distancia a la cual la caída
exponencial de campo registra el valor 0.36 del valor inicial. El campo puede ser descripto como:
=
=
=
(2.79)
Siendo
Para la distancia
=
=
=
= 0.36
(2.80)
=
|
|=
0.36
=
Figura 2.3 Decaimiento de la señal por atenuación en un material conductor
Si
el
=
material
= 4 . 10
conductor
⁄ :
es
el
a 60 Hz
 = 8.5 10
= 8.5
a 1 Mhz
 = 6.6 10
= 66 
cobre,
para
el
cual
= 5.8. 10 1⁄(Ω )
y
31
Este efecto de atenuación se lo denomina efecto pelicular o skin. Se suele medir también la
profundidad a la que el campo cae al 1 %, que resulta ser igual a 4.6  . Se puede considerar este
fenómeno como que el campo eléctrico existente en el material conductor queda confinado a la
superficie y en términos generales, ese recinto exterior o superficial es de dimensiones pequeñas.
Esto produce en un cable conductor un aumento de la resistencia debido al confinamiento del
campo eléctrico, o sea de la corriente, debido a que en un material conductor =
, de manera
que por depender de , esa variación es función de la frecuencia. La siguiente tabla muestra el
valor del efecto pelicular para distintos materiales en función de la frecuencia.
1⁄(Ω )
6.17 10
5.8 10
4.10 10
3.54 10
1 10
Material
Plata
Cobre
Oro
Aluminio
Hierro ( = 10 )
60
8.27
8.53
10.14
10.92
0.65
1
0.064
0.066
0.079
0.084
0.005
1
0.0020
0.0021
0.0025
0.0027
0.00016
2.6 Impedancia de los medios conductores
El campo magnético puede obtenerse por aplicación a cantidades fasoriales de la ecuación (2.22a)
( )=−
.
Con ( ) =
=
( )
(2.80)
+
(
+
( )=
(
(
)
)
−
[−
(
)
+(
(
(2.81)
=
(2.82)
)
) −
−
)
−
]
pero
̂
=
=
−(
−
−
) +
−
Luego
( )=−
.
=−
( )
(2.83)
32
=
Reemplazando en (2.80) y sabiendo que
( )=−
( )=
( )=
( )
/
(2.84)
entonces
=
=
(
)(
)
=
Ω
(2.85)
Lo que se denomina la impedancia intrínseca del medio. Esta expresión puede considerarse la
más general, y aplicable a cualquier medio, sea este un medio conductor, dieléctrico o
semiconductor. Así entonces para un material dieléctrico ideal o sin pérdidas:
=
+
=
=
(
μ)(
ϵ) =
=
Ω
=
√μϵ =
(2.86)
(2.87)
Para un material conductor:
=
=
+
=
(
=
μσ) =
=
+
=
(2.88)
Ω
√
(2.89)
En el caso de un material semiconductor las expresiones (2.64) y (2.85) se aplican sin ninguna
aproximación, debiendo conocerse entonces las constantes , σ y de ese material.
Como
√
=
/
, luego:
/
=
Ω= |
|
La impedancia de un conductor es un número complejo de
Ω
(2.90)
= 45° de fase.
Si se supone que la ecuación de onda está resuelta por la expresión:
=
(2.91)
Luego
=
(
)
(2.92)
es el retardo entre el campo eléctrico y el magnético.
El módulo de
ideal.
es de valor muy bajo para los conductores, sería de valor nulo en un conductor
33
2.7 Densidad de potencia electromagnética y vector de Poynting
Las ondas electromagnéticas transportan energía, se puede establecer la relación de la velocidad
de transferencia en el tiempo de esa energía y las cantidades de campo electromagnético. Se
parte de las ecuaciones de rotor de Maxwell:
=−
(2.93)
= +
(2.94)
Haciendo uso de la igualdad:
∇. (
)=
.(
) − .(
)
(2.95)
Y sustituyendo (2.93) y (2.94) en (2.95)
∇. (
)=− .
− .
− .
(2.96)
=
(2.97)
Pero
.
=
.
.
=
.
(
(
)
)
(
=
(
=
. )
. )
=
ϵ
. = . (σ ) = σ
(2.98)
(2.99)
(2.96) se convierte en:
∇. (
)=−
ϵ
+
−σ
(2.100)
Los términos
1
= ϵ
2
/
1
2
/
=
Corresponden a la energía por unidad de volumen almacenada en los campos eléctrico y
magnético, cuya derivación en dominio temporal equivalen a potencia por unidad de volumen. Por
otra parte el término σ representa a las pérdidas de tipo óhmicas que se registran en la porción
de material conductor presente en el recinto analizado.
34
La ecuación (2.100) es una ecuación microscópica o punto a punto. Integrando en un volumen
que está definido por una superficie cerrada , y aplicando el teorema de la divergencia:
∮
=−
ϵ
∫
+
−∫ σ
(2.101)
Esta expresión indica que la energía se almacena en los campos eléctrico y magnético, y que hay
pérdidas por disipación ocasionadas por la conductividad del material interior del recinto , se
puede interpretar el lado derecho de la expresión como la velocidad de cambio temporal de la
energía interior al recinto que puede ser o almacenada o consumida por efecto de la
conductividad del material, en la forma de potencia disipada. Esta energía variante en el tiempo
(potencia) se vincula con la integral de superficie de un vector de valor
, cuyo significado
entonces es el de ser una densidad superficial de potencia.
De esta manera, la cantidad
es un vector que representa el flujo de potencia por unidad de
área, que se define y denomina vector de Poynting:
=
/
(2.102)
Por ser el resultado de un producto vectorial de y , el vector de poynting
ambos, y en una onda TEM, coincide con la dirección de propagación.
es perpendicular a
En el caso de un recinto sin conductividad, la potencia ingresante equivale a la velocidad de
incremento de la energía en el recinto cerrado, dado que el término de pérdidas desaparece, y la
energía solo se almacena.
2.8 Densidades de potencia instantánea y promedio
Para el caso de señales de variación armónica se utilizó el fasor como una representación
conveniente. Para conocer la forma completa de la onda el multiplicar al fasor por
nos
permite conocer la función total, que en términos generales es una función compleja de la que
tomando parte real nos lleva a la descripción completa de a onda:
( )=
(
( )=
)
(2.103)
Cuya expresión instantánea es:
( , )=
=
( )
=
(
−
(
)
(
)
)
(2.104)
En una onda unidimensional viajando sobre el eje + , en un medio genérico, el campo magnético
asociado al eléctrico es de la forma:
35
( )=
Donde
= | |
( )=
(
)
(2.105)
| |
Ω
( , )=
( )
=
(
| |
− )
−
(2.106)
La expresión del vector de Poynting instantáneo viene dada por:
( , )=
=
( )
( )
(
| |
=
)
−
(
( )+
[
| |
(2.107)
− )
−
(2
−2
− )]
(2.108)
Sin embargo, la cantidad
( )
( )
=
(
[
| |
−2
− )]
No es la cantidad que deseamos calcular, siendo (2.108) la forma correcta.
Una magnitud de interés en la práctica es el valor medio de esta cantidad, conocido como vector
de Poynting medio, igual al promedio temporal de la expresión (2.108) en un periodo
( )=
Siendo
( )= ( +
∗)
y
1
( , )
=
( )= ( +
( )
( )=
( )
| |
∗)
=
:
/
es posible verificar que
∗
(
)
+
(2.109)
Aplicando este resultado a nuestro caso:
( )
( )
=
( )
∗(
)+ ( )
( )
(2.110)
Haciendo el promedio temporal de la expresión (2.110) en un periodo se obtiene una expresión
para el vector de Poynting medio. Haciendo ese promedio, el segundo término de la expresión
(2.110) se anula, quedando entonces:
( )=
( )
∗(
)
/
(2.111)
36
2.9 Incidencia normal de una onda viajando en dieléctrico ideal sobre una superficie conductora
ideal
El caso normal en la práctica es que una onda viajera en determinado medio se encuentre con
otro tipo de medio en su recorrido, que en general tiene distintas propiedades eléctricas. Esto se
determina por que los medios están caracterizados por sus constantes , σ y . La aparición de
una discontinuidad origina la formación de una onda reflejada, posible de existir según la solución
de ecuaciones de onda ya estudiadas, como una onda que viaja en sentido contrario al de la
incidente.
En un primer caso simplificado, consideramos una onda incidente dentro de un medio dieléctrico
ideal ( = 0 ) que incide normalmente sobre un medio conductor perfecto = ∞.
x
Medio 1:
.
.
Medio 2:
=0
.
.
=∞
z
y
Figura 2.4 Incidencia normal sobre conductor ideal
La onda incide normalmente a la superficie de separación, y las ondas incidente y reflejada viajan
en el eje .
Para la onda incidente, el fasor es:
( )=
( )=
( )=
|
|
(2,112)
(2.113)
37
Donde
es la amplitud de la onda incidente en = 0. Los parámetros
y
son la constante
de fase e impedancia intrínseca del medio 1, respectivamente. El vector de Poynting incidente
( ) está en la dirección de propagación .
( )= ( )
En el interior del medio 2, donde > 0, los campos eléctrico y magnético son nulos,
= . Esto ocasiona la aparición de la onda reflejada:
( )=
= ,
(2,114)
La componente total de campo eléctrico del lado 1 es igual a:
( )=
( )+
( )=
+
(2.115)
Dado que la componente tangencial del campo eléctrico se conserva:
(0) = (
)=
+
(0) =
(2.116)
Esto implica que:
=−
Y en (2.115)
( )=
( )=
=
1
−
1
( )=
(− )
1
=− 2
sin(
)
(2.117)
(− )
=
La componente total de campo magnético del lado 1 es igual a:
( )=
( )+
=
( )=
cos(
+
(2.118)
)
(2.119)
El vector de Poynting medio es cero, debido a que los vectores
y
están en cuadratura.
Las ecuaciones vistas describen los fasores asociados al problema, para conocer la variación
completa incluyendo el tiempo hacemos:
( , )=
( )
= 2
( , )=
( )
= 2
sin(
cos(
)sin(
)cos(
)
(2.120)
)
(2.121)
38
( , )y
Estas expresiones determinan que los dos campos
distancias fijas para todo instante de forma que:
Los ceros de
=−
( , ) coinciden con los máximos de
,
Los máximos de
= −(2 + 1) ,
( , ) tienen ceros y máximos a
( , ) y se dan en
= 0,1,2,3, …
( , ) coinciden con los ceros de
( , ) y se dan en
= 0,1,2,3, …
Esto constituye lo que se lama una onda estacionaria pura.
De esta manera, el campo eléctrico presenta un valor nulo en la superficie de separación entre los
medios, y este valor nulo se verifica también a una distancia de /2 medida desde la superficie de
separación, que se repite en múltiplos de esta cantidad en posiciones del eje
=−
, con
= 0,1,2,3, … En estos mismos puntos el campo magnético es máximo.
El primer nulo de campo magnético se verifica a una distancia de /4 respecto de la línea de
separación entre medios, y se repiten en posiciones del eje = −(2 + 1) , con
= 0,1,2,3, …En
estos puntos el campo eléctrico es máximo.
2.10 Incidencia normal en la interfaz entre dos medios
En términos generales, en la incidencia normal sobre la interfaz entre dos medios una fracción de
la onda incidente configura una onda reflejada que típicamente viaja en el sentido contrario a la
de la incidente, tal como predice la solución de una ecuación de onda. Esta onda reflejada es
producto de la discontinuidad surgida con la aparición del segundo medio, que tiene
características distintas a las del primero.
Los medios definen a través de sus propiedades la forma en que la onda viaja por ese medio. Las
constantes , y caracterizan cada medio y permiten determinar la impedancia inrtrínseca del
medio y su constante de propagación , con las cuales puede determinarse completamente
como se comportará la onda en ese medio.
En el esquema de la figura 2.5, la onda incidente viaja en el sentido positivo del eje , y la
superficie de discontinuidad aparece en = 0. La onda reflejada viaja en el sentido negativo de ,
y existe una porción de la onda incidente que llamamos onda transmitida, que avanza ya dentro
del medio 2 en el sentido positivo de .
39
Medio 1:
.
x
.
Medio 2:
.
.
z
y
Figura 2.5 Incidencia normal en interfaz entre dos medios
Para la onda incidente, los fasores que la describen son:
( )=
(2.122)
( )=
(2.123)
Las ondas originadas por la discontinuidad son la reflejada y la transmitida.
La onda reflejada se forma como:
( )=
( )=−
(2.124)
( )
=−
(2.125)
La onda transmitida tiene la forma:
( )=
(2,126)
40
( )
( )=
=
(2.127)
En las expresiones anteriores,
y
son las constantes de propagación en los medios 1 y 2
respectivamente, y
y
son las correspondientes impedancias intrínsecas de esos medios.
,
y
son las amplitudes de las ondas incidente, reflejada y transmitida en la superficie de
separación definida en = 0.
Para resolver el problema y determinar las variables desconocidas, aplicamos las condiciones de
contorno en = 0 sobre as componentes de los campos electromagnéticos en = 0:
(0) +
(0) =
(0),
(0) +
(0) =
+
(0),
−
=
=
(2.128)
(2.129)
Resolviendo estas ecuaciones se llega a:
=
(2.131)
=
(2.132)
Definimos los coeficientes de reflexión y de transmisión como:
=
=
(2.133)
=
=
(2.134)
Las expresiones anteriores son generales para cualquier interfaz de dos medios, y pueden ser
entonces números complejos.
Usando las expresiones (2.122), (2.124) y (2.126) podemos decir que:
+
=
(2.135)
Y que
−
=
(2.136)
El cociente entre estas dos expresiones del campo eléctrico y magnético da a impedancia en el
sistema, que es función de la posición :
Para
≤0
( )=
Para
(2.137)
≥0
41
( )=
(2.138)
En = 0 debe haber continuidad:
(0) =
=
(2.139)
Expresión de la que nuevamente puede deducirse la expresión (2.131).
=0
También sucede, de (2.135), que en
1+
=
(2.140)
Las expresiones vistas aplicados al caso ya estudiado son coherentes con los resultados vistos. En
un conductor ideal en el caso del rol del medio 2 resulta ser de impedancia intrínseca
= 0, con
lo que = −1,
=− ,
= 0. La onda incidente es reflejada en su totalidad y se origina un
patrón de onda estacionaria pura. En este caso la onda total del lado 1 tiene mínimos que son
ceros ubicados como ya se describió anteriormente.
Cuando el medio 2 no es conductor perfecto, una fracción de la señal incidente se transmite a ese
medio. La expresión del campo eléctrico en el medio 1 en ese caso es:
( )=
( )+
( )=
(
)=
+
(1 +
)
(2.141)
Si los medios 1 y 2 son dos dieléctricos sin pérdidas, entonces , , y son números reales. Por
otro lado, la constante de propagación es =
. Para el caso en que
>0(
>
)
El valor máximo de | ( )| es | |
= 0,1,2 … es decir en:
(1 + ) que se encuentran en 2
=
=−
=−
El valor mínimo de | ( )| es | |
1) , = 0,1,2 … es decir en:
=−
(
)
,
(2.142)
(1 − ) que se encuentran en 2
=
= −2
=−
(
)
= −(2 +
(2.143)
Una medida escalar del grado de reflexión de la onda puede ser determinado con lo que se
denomina la relación de onda estacionaria, que es simplemente el cociente entre el valor máximo
y mínimo del campo eléctrico:
=
| |
| |
=
| |
| |
(2.144)
42
| |=
(2.145)
El coeficiente de reflexión pose un módulo | | con valor máximo igual a 1, la relación de onda
estacionaría varía entre 1 ≤
< ∞.
La ROE describe los valores que puede adoptar el campo y su envolvente. Un clásico gráfico de
esta variable luce como lo que se ve en Figura 2.6, donde se muestra el patrón de onda
estacionaria para = 0.5 cuando los medios 1 y 2 son dieléctricos sin pérdidas. La figura 2.7
muestra el mismo patrón cuando = −0.5 cuando los medios 1 y 2 son dieléctricos sin pérdidas.
| |
| |
/2
Figura 2.6 ROE para dos medios dieléctricos sin pérdidas cuando
= 0.5
| |
| |
/2
/4
Figura 2.7 ROE para dos medios dieléctricos sin pérdidas cuando
= −0.5
43
Un valor positivo y real de genera un máximo en la interfaz entre los medios, mientras que un
valor negativo de produce un mínimo en ese lugar.
Para el caso en que el primer medio es dieléctrico sin pérdidas y el medio 2 es un conductor ideal
o perfecto, la ROE posee puntos fijos donde la onda no puede moverse, lo que constituye una
onda estacionaria pura, tal como se observa en la Figura 2.8.
/2
| |
=2
| |
=0
/4
Figura 2.8 ROE para incidencia normal sobre un conductor perfecto con
= −1
La sumatoria de los campos magnéticos en el lado 1 da como resultado el campo magnético total
en ese medio:
( )=
−
=
(
−
)=
(1 −
)(2.146)
Comparando esta expresión con (2.141) se puede ver que el campo magnético tiene máximos en
los mínimos del eléctrico, y tiene mínimos en los máximos del eléctrico.
Para el campo transmitido, ya en el medio 2, las expresiones son:
( )=
(2,126)
( )=
(2.127)
44