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1.8
Potencias y raíces de números complejos
Potencias y raíces enésimas
Elevar un número complejo a un exponente entero no tiene más dificultad que la de multiplicar ese número complejo por sí mismo varias veces. Sin embargo, gracias a la fórmula de
Euler, podemos hacerlo de una forma mucho más rápida y sencilla que además sirve para elevar
un complejo a cualquier exponente real aunque no sea entero.
Lo primero que hacemos es expresar el número en forma módulo-argumental, es decir, si
nos dan el número z = x + yi, ponemos
q
√
z = reiθ calculando r = zz = x2 + y2 , θ = arg(z).
Teorema de Moivre.
Si z = reiθ entonces
z p = r p eipθ .
Corolario:
(1)
Cálculo de una raíz n-ésima de un número complejo.
Si z es un número complejo y su módulo es r y su argumento θ (z = r eiθ ), el número
√
complejo de módulo n r y de argumento nθ es una raíz n-ésima de z:
√
n
θ
r ei n
n
= z.
1 Ejercicio de tarea. Calcula una raíz cuadrada del número 4ei
2π
3
π
y una raíz cúbica de 8i = 8ei 2 .
El resultado anterior es la base para el cálculo de todas las raíces n-ésimas de cualquier
número complejo. Lo único que nos falta ahora es saber que todo número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas y saber cómo calcularlas (de momento sólo sabemos calcular
una de ellas).
Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas reales de signos opuestos. Todo número real negativo tiene dos raíces cuadradas que son imaginarios puros opuestos. Veamos ahora
cómo se calculan las dos raíces cuadradas de un número complejo cualquiera:
En principio, por las leyes de los exponentes, una raíz cuadrada se puede obtener elevando
al exponente 21 . Según la fórmula de Moivre,
√
1
z = z 2 = reiθ
12
1
= r 2 eiθ
1
21
=
√
θ
r · ei 2 .
Versión de 20 de marzo de 2017, 1:33 h.
Raíces cuadradas
Sin embargo, debido a que un número real α representa el mismo argumento que el número
α + 2π, resulta que el doble de α y el doble de α + π representan el mismo argumento. Esto
implica que, aunque 2θ y 2θ + π pueden representar argumentos distintos, sus dobles representan
siempre el mismo argumento: 2 2θ = θ es el mismo argumento que 2( 2θ + π ) = θ + 2π. Por tanto
θ
θ
ei 2 y ei( 2 +π ) son dos números complejos distintos que tienen el mismo cuadrado:
θ
ei 2
2
2
θ
= eiθ = ei(θ +2π ) = ei( 2 +π ) .
En resumen, todo número complejo x + yi = reiθ tiene dos raíces cuadradas que pueden escribirse de las dos formas siguientes:
√ θ
± r ei 2
o bien:
√
θ
r ei 2 ,
√
θ
r ei ( 2 +π ) .
Hallar la parte real y la parte imaginaria de la raíz cuadrada del número z = 3 + 4i.
√
√
Empezamos calculando el módulo de z, |z| = 32 + 42 = 25 = 5 y el argumento θ =
arg(z) = arccos 3/5.
p
paso es calcular la raíz cuadrada del módulo y la mitad del argumento: |z| =
√ El1 siguiente
5, 2 θ = 12 arccos(3/5). Con esto tenemos:
Ejemplo:
√
√ θ
√
3 + 4i = ± 5 ei 2 = ± 5 cos 2θ + i sen 2θ .
Para calcular las partes real e imaginaria de la raíz cuadrada necesitamos el coseno y el seno
de θ/2:
s
s
r
r
r
5
3
3
1
+
1
+
cos
θ
8
4
2
5
5 + 5
θ
cos 2 =
=
=
=
=
= √ ,
2
2
2
10
5
5
s
s
r
r
r
5
1 − 35
−3
1 − cos θ
2
1
1
sen 2θ =
=
= 5 5 =
=
= √ .
2
2
2
10
5
5
En consecuencia
√
√
√
3 + 4i = ± 5 cos 2θ + i sen 2θ = ± 5
√2
5
+ i √1
5
= ±(2 + i )
Aplicación de las raíces cuadradas a la resolución de ecuaciones polinómicas de segundo
grado con coeficientes complejos
Como acabamos de ver, todo número complejo tiene dos raíces cuadradas que son números
opuestos. Este hecho permite aplicar la fórmula de las soluciones de la ecuación general de
segundo grado al caso general de ecuaciones de segundo grado con coeficientes complejos. Si
a, b, c son números complejos, la ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene dos soluciones (coincidentes si
b2 = 4ac) dadas por la conocida fórmula
√
−b ± b2 − 4ac
,
(2)
x1,2 =
2a
pero que también se pueden calcular mediante las fórmulas
√
−b + b2 − 4ac
2c
√
x1 =
,
x2 =
,
2a
−b + b2 − 4ac
(3)
cuyo interés radica en que en el caso de coeficientes reales distinguen entre la fórmula para la
solución de mayor valor absoluto y la fórmula para la de menor valor absoluto.
2
2 Ejercicio de tarea. Halla las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones de segundo
grado:
(a) z2 − 4z + 1 − 4i = 0 ,
(b) z2 − 2iz − 4(i + 1) = 0.
Raíces cúbicas
Los mismos principios usados para calcular las raíces cuadradas nos permiten calcular las
raíces cúbicas:
√
√ θ
1
3
reiθ = reiθ 3 = 3 r ei 3 .
Igual que antes, debido a que un número real θ representa el mismo argumento que el número
θ + 2π y que el número θ + 4π, resulta que el triple de α representa el mismo argumento que
el triple de α + 2π/3 y que el triple de α + 4π/3, con lo cual θ no sólo es el argumento triple
θ
4π
de 3θ sino también el argumento triple de 3θ + 2π
3 y el argumento triple de 3 + 3 . Así, los tres
números
θ
θ
2π
θ
4π
,
+
,
+
3
3
3
3
3
representan tres argumentos distintos pero cuyo triple es el mismo argumento en los tres casos.
Por tanto, los tres números complejos
θ
ei 3 ,
θ
ei ( 3 +
2π )
3
,
θ
ei ( 3 +
4π )
3
son tres raíces cúbicas distintas de eiθ y podemos decir: Todo número complejo x + yi = reiθ tiene
tres raíces cúbicas que pueden escribirse de la forma siguiente:
√
√
√
θ
θ
2π
θ
4π
3
r ei 3 , 3 r ei ( 3 + 3 ) , 3 r ei ( 3 + 3 ) .
(4)
Raíces cúbicas de la unidad
Un caso especialmente importante (porque de él se pueden deducir las raíces cúbicas de
cualquier número complejo) es el de las tres raíces cúbicas del número 1. Según lo anterior las
tres raíces cúbicas de 1 son (poniendo en (4) r = 1 y θ = 0):
ei0 = 1 , ei
2π
3
, ei
4π
3
es decir, los puntos del círculo unitario complejo correspondientes a los ángulos de 0◦ , 120◦ y
240◦ , los cuales determinan el triángulo equilátero que tiene centro en el origen y un vértice en
z = 1.
Las tres raíces cúbicas de un número complejo z cualquiera se pueden obtener multiplicando una raíz
cúbica particular de z por las tres raíces cúbicas de la unidad.
Raíces enésimas de la unidad y su uso para expresar las n raíces enésimas de un número
complejo
En general, dado un número entero positivo n, todo número complejo z = reiθ tiene n raíces
√ θ
n-ésimas que son el resultado de multiplicar una particular, n r ei n , por las n raíces n-ésimas de
la unidad:
2( n −1) π
2π
4π
6π
ei0 = 1 , ei n , ei n , ei n , . . . ei n ,
que son los puntos del círculo unitario complejo que determinan el polígono regular de n lados
que tiene un vértice en z = 1. Así, las n raíces n-ésimas de z = r eiθ se pueden expresar como:
√
2( n −1) π θ
2π
4π
6π
n
r ei n · 1 , ei n , ei n , ei n , . . . , ei n
.
3
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2.
4