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UNIDADES DIDÁCTICAS
GRUPO DE TRABAJO 2009/2010
09402GT024
COORDINADORA: ANA PÉREZ VARGAS
NÚMEROS
NATURALES
N
LOS NÚMEROS NATURALES
Actividad de evaluación 3º Diversificación
NOMBRE:
NÚMERO:
1.-Redondea el número 3456 a las centenas y calcula el error absoluto cometido.
2.-Roberto ha llegado duodécimo en la carrera ciclista organizada en el barrio.
 ¿Cuántos ciclistas han entrado delante de él?
 Pedro entró cuatro puestos por detrás de Roberto, ¿en qué puesto quedó?

3.-Calcula:
a) 75 952 + 54 678 + 3 005 =
b) 98 653 − 85 234 =
c) 896 · 56 =
d) 55 368 : 36 =
e)3476:5
4.-Resuelve:
a) 4 · 3 + 5 − 2 · 4 =
b) 4 · (3 + 5) − 2 · 4 =
c) 4 · (3 + 5) − (2 − 4) =
5.-Las gallinas de una granja avícola han puesto 45 300 huevos. Si se han vendido 2 750
docenas, ¿cuántas docenas faltan por vender?
6.- Calcula:
a 25 · 23
b (106 : 102) · 103
c (64 : 62) · 63
7.- Una familia gasta mensualmente 500 euros en alimentación, 350 euros en vestir,
250 euros en gastos del hogar y 100 euros en actividades de ocio. El resto se ahorra. Los
ingresos mensuales son de 1300 euros. ¿Cuál es su ahorro anual?
Actividad de desarrollo 1º ESO
Problemas de m.c.m. y M.C.D.
1
Para transportar 12 perros y 18 gatos se van a usar jaulas
iguales que sean lo más grandes posible, y de forma que en todas
quepa el mismo número de animales. ¿Cuántos animales deben ir en cada jaula?
NOTA: A nadie en su sano juicio se le ocurriría poner perros y gatos juntos.
Deben ir 6 animales en cada jaula.
2
El autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 9
minutos y el de la línea B, cada 12 minutos. Si acaban de salir
ambos a la vez, ¿cuánto tardarán
en volver a coincidir?
Volverán a coincidir al cabo de 36 minutos.
3
Se desea dividir un terreno rectangular, de 120 m de ancho por 180 m
de largo, en parcelas cuadradas que sean lo más grandes posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada parcela?
Hay que dividir el terreno en parcelas cuadradas de 60 m de lado.
4
En un club de atletismo se han inscrito 18 chicos y 24
chicas. ¿Cuántos equipos se pueden hacer teniendo en cuenta
que debe haber:
— en todos, el mismo número de chicos y el mismo número de chicas;
— el máximo número de equipos que sea posible?
Se pueden hacer 6 equipos de 3 chicos y 4 chicas cada uno.
5
¿Cuál es el lado del menor
cuadrado que se puede formar
uniendo baldosas rectangula- res de 6
cm por 15 cm?
15
cm
6 cm
El menor cuadrado que se puede formar tiene 30 cm de lado.
6
Se ha formado una pila de cubos de 20 cm de arista
hasta alcanzar la misma altura que otra pila de cubos de 30 cm
de arista.
¿Cuál será la altura de ambas pilas? (Busca al menos tres soluciones) La mínima
altura es de 60 cm (3 cubos de 20 cm y 2 cubos de 30 cm).
Otras soluciones pueden ser 120 cm (6 cubos de 20 cm y 4 cubos de 30 cm),
180 cm (9 cubos de 20 cm y 6 cubos de 30 cm), etc. Todas ellas múltiplos de 60.
PROBLEMAS DE ESTRATEGIA
7 Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha de huevos, piensa:
• Si los envaso por docenas, me sobran 5.
• Si tuviera uno más podría envasarlos, exactamente, en cajas de 10.
• Casi he recogido 100.
¿Cuántos huevos tiene?
El número de huevos que ha recogido es 89.
8
Los participantes en un desfile pueden agruparse, para desfilar, de 3 en
3, de 5 en 5 o de 25 en 25, pero no pueden hacerlo ni de 4 en 4 ni de 9 en 9.
¿Cuál es el número de participantes si sabemos que está entre 1 000 y 1 250?
Por tanto, el número de participantes es 1 050.
9 Fátima ha invitado a diez amigos a su fiesta de cumpleaños. Después de me-
rendar, propone un acertijo con premio: “Se llevará la caja de bombones
quien averigüe, sin abrirla, cuántos bombones contiene. Os doy tres pistas:
• Hay menos de cinco docenas.
• Están ordenados en filas de nueve.
• Si se repartieran entre todos los presentes, sobraría uno.”
¿Cuántos bombones contiene la caja?
El número de bombones es 45.
ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO
1.-En un hotel nombran las habitaciones mediante un código de tres cifras en las que la
primera cifra representa el piso en el que se encuentra la habitación y las dos cifras
finales representan el número que le corresponde a cada habitación dentro de la planta.
La llave que representa la última habitación de la última planta lleva el código 845. En
todas las plantas hay el mismo número de habitaciones.
 ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?
 ¿Cuántos pisos tiene el hotel?
 ¿Cuántas habitaciones hay en total?
2.-Roberto ha llegado duodécimo en la carrera ciclista organizada en el barrio.
 ¿Cuántos ciclistas han entrado delante de él?
 Pedro entró cuatro puestos por detrás de Roberto, ¿en qué puesto quedó?
 ¿Qué lugar ocupó el ciclista que entró en el puesto 28?
3.-Calcula:
a) 75 952 + 54 678 + 3 005 =
b) 98 653 − 85 234 =
c) 896 · 56 =
d) 55 368 : 36 =
4.-Resuelve:
a) 4 · 3 + 5 − 2 · 4 =
b) 4 · (3 + 5) − 2 · 4 =
c) 4 · (3 + 5) − (2 − 4) =
5.-Las gallinas de una granja avícola han puesto 45 300 huevos. Si se han vendido 2 750
docenas, ¿cuántas docenas faltan por vender?
6.-Una familia gasta mensualmente 500 euros en alimentación, 350 euros en vestir, 250
euros en gastos del hogar y 100 euros en actividades de ocio. El resto se ahorra. Los
ingresos mensuales son de 1300 euros. ¿Cuál es su ahorro anual?
7.-Calcula:
a 25 · 23
b (106 : 102) · 103
c (64 : 62) · 63
8.-Calcula con lápiz y papel la raíz cuadrada de:
a)3025
b)12321
SOLUCIONES ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN 1º ESO
.-En un hotel nombran las habitaciones mediante un código de tres cifras en las que la
primera cifra representa el piso en el que se encuentra la habitación y las dos cifras
finales representan el número que le corresponde a cada habitación dentro de la planta.
La llave que representa la última habitación de la última planta lleva el código 845. En
todas las plantas hay el mismo número de habitaciones.
− ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? • 45 habitaciones
− ¿Cuántos pisos tiene el hotel? El hotel tiene 8 pisos
− ¿Cuántas habitaciones hay en total? 45 · 8 = 360 habitaciones
2.-Roberto ha llegado duodécimo en la carrera ciclista organizada en el barrio.
− ¿Cuántos ciclistas han entrado delante de él? • Once
− Pedro entró cuatro puestos por detrás de Roberto, ¿en qué puesto quedó? •
Decimosexto
− ¿Qué lugar ocupó el ciclista que entró en el puesto 28? Vigésimo octavo
3-.Calcula:
a) 75 952 + 54 678 + 3 005 = 133 635
b) 98 653 − 85 234 = 13 419
c) 896 · 56 = 50 176
d) 55 368 : 36 = 1 538
4,.Resuelve:
a) 4 · 3 + 5 − 2 · 4 = 12 + 5 − 8 = 9
b) 4 · (3 + 5) − 2 · 4 = 4 · 8 − 2 · 4 = 32 − 8 = 24
c) 4 · (3 + 5) − (2 − 4) = 4 · 8 + 2 = 34
5.-Las gallinas de una granja avícola han puesto 45 300 huevos. Si se han vendido 2 750
docenas, ¿cuántas docenas faltan por vender?
45 300 : 12 = 3 775 docenas
3 775 − 2 750 = 1 025 docenas faltan por vender
6.-Una familia gasta mensualmente 500 euros en alimentación, 350 euros en vestir, 250
euros en gastos del hogar y 100 euros en actividades de ocio. El resto se ahorra. Los
ingresos mensuales son de 1300 euros. ¿Cuál es su ahorro anual?
500 + 350 + 250 + 100 = 1 200 euros se gastan mensualmente
1 300 − 1 200 = 100 euros ahorran cada mes
100 · 12 = 1 200 euros ahorran al año
8.-Calcula:
a) 25 · 23 = 28 = 256
b) (106 : 102) · 103 = 104 · 103 = 107 = 10 000 000
c) (64 : 62) · 63 = 62 · 63 = 65 = 7 776
9.-Calcula con lápiz y papel
a)55
b)111
ACTIVIDAD DE INICIACIÓN NATURALES 1º ESO
Objetivos de la actividad:
-Empezar 1º ESO sin lagunas que pudieran impedir un aprendizaje significativo
-Reforzar el cálculo mental
-Inculcar la necesidad de una estrategia de pensamiento.
-Dominar las operaciones con números naturales
1. Completa este cuadrado mágico
Distribuye los números del 1 AL 9 en las casillas vacías para completar este cuadrado
mágico.
Debe cumplirse que todas sus líneas horizontales, verticales y las dos diagonales sumen
lo mismo.
2.-Algunas pistas
2
5
6
8
3.-Voy a darte una estrategia para resolverlo fácilmente
1
3
2
9
4
7
5
3
6
1
8
7
9
4 .-Utilizando esta estrategia completa un cuadrado de 5 x 5
SOLUCIÓN
1
2
4
5
6
3
20
7
24
11
16
8
25
12
4
9
21
13
5
17
14
1
18
10
2
18
6
23
10 22
15
20
16
21
22
24
25
ENTRA EN LA PÁGINA
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/naturales1/index.ht
m
Realiza más cuadrados mágicos y las estrellas de 3,5 y 7 puntas
ACIVIDAD DE MOTIVACIÓN
POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES 1º ESO
Tatarabuelos
Bisabuelos
Abuelos
Padres
Ana
Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).
Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene 2*2 = 4 abuelos.
Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene 2*2*2 = 8 bisabuelos.
Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.
Operación
Padres 2 = 21
Abuelos 2*2 = 22
Bisabue
2*2*2 = 23
los
Tatarab
2*2*2*2 = 24
uelos
Resulta
do
En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para
abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.
24 se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".
52 se lee "5 elevado a 2" o también "5 elevado al cuadrado", que es más habitual.
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El
número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base
se llama exponente.
En la potencia 24, la base es 2 y el exponente es 4.
NÚMEROS
ENTEROS
Z
Operaciones con números enteros.
Actividad de desarrollo 1º eso
1. Opera:
a) (+4) + (+3) c) (–5) + (+1) e) (–8) + (–2)
b) (+3) + (–5) d) (+1) + (+9) f) (–6) + (–4)
a) 7 b) –2 c) –4 d) 10 e) –10 f) –10
2. Resuelve las siguientes restas de números enteros:
a) (+5) – (+1) c) (–7) – (–9) e) (–21) – (+23)
b) (+6) – (+3) d) (+1) – (+11) f) (–5) – (–4)
a) 4 b) 3 c) 2 d) –10 e) –44 f) –1
3. Realiza las siguientes operaciones de sumas y restas:
a) 11 + 3 – 18 + 3 +7 c) –3 – 1 + 5 – 18 e) 15 + 1 + 17 – 2 – 4
b) –3 – 15 + 15 + 16 d) 3 + 8 + 5 – 4 + 9 f) 35 + 21 – 6 + 27 + 4
a) 6 b) 13 c) –17 d) 21 e) 27 f) 81
4. Resuelve las operaciones con paréntesis:
a) – (3 – 5 + 15) + (6 – 5 + 13) c) +4 – 8 + (5 + 6 + 7) – (10 – 4)
b) (2 + 3 – 4) – (5 +7) – (3 – 5 + 2) d) (–4 + 2 + 5) – (16 – 3 + 15)
a) 1 b) –11 c) 8 d) –25
5. Opera los siguientes productos de números enteros:
a) (+1) · (+5) c) (–16) · (–2) e) (–2) · (+2)
b) (+18) · (+3) d) (+6) · (+2) f) (–5) · (–14)
a) 5 b) 54 c) 32 d) 12 e) –4 f) 70
6. Opera las siguientes divisiones de números enteros:
a) (+10) : (+5) c) (–16) : (–2) e) (–2) : (+2)
b) (+18) : (+3) d) (+6) : (+2) f) (–50) : (–10)
a) 2 b) 6 c) 8 d) 3 e) –1 f) 5
7. Realiza las siguientes operaciones:
a) (+2) · (–3) · (+5) c) (+27) : (–3) : (+3)
b) (–4) · (+3) · (–14) d) (–40) : (+8) : (–5)
a) –30 b) 168 c) –3 d) 1
8. Resuelve las siguientes operaciones con paréntesis:
a) –(5 – 3 + 5) + (16 – 15 + 3) d) (4 + 12 – 5) – (6 – 3 – 15)
b) (12 + 5 – 2) – (6 + 8) – (13 – 5 + 12) e) –5 + (5 + 7 – 17) – (5 – 17) +
(5 – 6)
c) 6 – 7 + (15 + 7 + 7) – (15 – 17)
a) –3 b) –19 c) 30 d) 23 e) 1
9. Calcula el valor de las letras:
a) (+2) + (+a) = 4 b) (+b) + (–13) = 5 c) (–6) + (+c) = 2
a) a = 2 b) b = 18 c) c = 8
10. Un submarinista se encuentra a 7 m bajo el nivel del mar. Si
quiere descender a una
fosa que se encuentra a –82 m, ¿cuántos metros le quedan por
descender?
Le quedan 75 m por descender.
11. Quita los paréntesis y opera:
a) (+13) – (–6) + (+3) + (+1) c) (–17) + (+13) + (–22) – (+3)
b) (–5) – (+3) – (–2) + (+9) d) (+2) + (+8) – (+3) – (+16)
a) 23 b) 3 c) –29 d) –9
12. Resuelve las siguientes operaciones:
a) [(–7 + 13) – 3] + (7 + 2) – (7 – 5) · (7 – 9) c) 7 · [3 + 2 – (2 – 6)] + (6 –
2) – (8 + 6) : 7
b) [(5 – 10) : (9 – 1 – 9)] + (3 – 7) : (6 – 8) d) 2 · (3 – 4) – [(–6 – 7) · (2 –
4)] : (–2 + 4)
a) 16 b) 7 c) 65 d) –15
13. Opera:
a) [(12 + 13) – 8] – (5 + 17) c) (5 – 16) : (7 – 1 – 17) e) 3 · [8 + 10 – (24 –
8)]
b) –(13 – 15) · (14 – 8) d) –(13 – 5) : (5 – 9) f) (1 – 2) – (16 + 12) : 7
a) –5 b) 12 c) 1 d) 2 e) 6 f) –5
14. Opera:
a) [(1 + 3) – 8] – (5 +7) – (3 – 5) · (4 – 8) c) 3 · [8 + 1 – (14 – 8)] + (10 –
2) – (35 + 14) : 7
b) [(5 – 1) : (7 – 1 – 7)] – (3 – 5) : (7 – 9) d) 4 · (5 – 4) – [–(–3 – 4) · (6 – 2)
– 2] : (–8 + 7)
a) –24 b) –5 c) 10 d) 30
15. Resuelve las operaciones:
a) (+9) : [(–3) : (+3)] c) [(–72) : (+6)] : (–2)
b) [(–30) : (+5)] : (–2) d) [(+72) : (+8)] : [(+3) : (–3)]
a) –9 b) 3 c) 6 d) –9
16. Opera:
a) (+4) · (–2) – (+3) + (+2) c) (–2) · (+3) + (–4) · (+5)
b) (–7) – (+5) – (–8) : (+4) d) (+8) + (+6) – (+80) : (–5)
a) –9 b) –10 c) –26 d) 30
17. Resuelve:
a) (+5) + (–5) · [(+4) – (–2)] c) [(–7) – (+3)] · [(–12) : (+4)]
b) [(–4) – (+7)] · [(–8) : (+2)] d) (+12) · [(+8) + (+20) : (–4)]
a) –25 b) 44 c) 30 d) 36
18. Resuelve:
a) 12 + 3 – [–(4 + 5) +7] c) –5 – 6 + [7 + (10 – 4)] e) (13 – 8) · (10 – 14 +
2)
b) (–3 – 4) · 2 – (4 – 8) d) –(3 – 7) + [(–6) : (–3)] f) –(1 – 2) · [(–16 – 1) +
9)]
a) 17 b) –10 c) 2 d) 6 e) –10 f) –8
19. Cierto líquido se congela a –8 °C y se evapora a los 158 °C.
¿Cuántos grados
deberemos calentarlo si queremos que se evapore y, actualmente, se
encuentra en estado sólido?
Deberemos calentarlo 166º.
20. El saldo de mi tarjeta telefónica es de 12 €. Si cada min cuesta 25
cts y hablo durante 4 min, ¿cuál será el saldo que me resta?
Me restarán 11 €.
21. Lucía lleva en la cartera 25 € y saca del cajero automático otros
50 €. Compra 2 l de
leche a 1 € / l y 5 kg de manzanas a 2 € / kg. Además, compra una
serie de productos en el
supermercado por los que paga 35 € en total. ¿Le queda dinero
suficiente para comer con su hijo en un restaurante si cada menú
cuesta 25 €?
No, pues solo le quedan 28 €.
22. Un autobús viaja con 7 pasajeros. En la primera parada se bajan
4 pasajeros y se suben 3. En la segunda parada suben 5 pasajeros
más y en la tercera se bajan otros 4. ¿Cuántos pasajeros se bajan en
la última parada? Cada viajero paga 2 €. ¿Cuánto dinero recauda en
total?
7 – 4 + 3 = 6 viajeros quedan en el autobús después de la primera parada.
6 + 5 = 11 viajeros quedan en el autobús después de la segunda parada.
11 – 4 = 7 pasajeros bajarán en la última.
En la última parada bajarán 7 pasajeros.
7 + 3 + 5 = 15 pasajeros suben al autobús en total.
15 pasajeros · 2 € que paga cada pasajero = 30 € recauda el autobús.
1. Calcula:
a) 12 − 8 + 4 − 9 − 3 + 10
b) 5 − 9 − 7 + 4 − 6 + 8
c)NUMEROS
− 1 − 3 + 5 − 8ENTEROS:
− 4 − 3 + 2 Operaciones combinadas
d) − 6 − 9 + 4 + 12 − 15 + 21
e) (− 5) − (− 5) − (+ 5)
3. Calcula:
f) (− 12) + (+ 6) − (− 7)
a) (− 2) ⋅ [ 8 − (+ 4) − (− 10)]
b) [ (− 6) − (− 3)] ⋅ [ (+ 5) − (− 2)]
c) (− 5) ⋅ [ (− 5) + (+ 2) − (4 + 6 − 1)]
d) (− 3) ⋅ (+ 2) − [ (− 5) + (− 7) − (− 1)] ⋅ (− 3)
e) 3 ⋅ [ (+ 4) + (− 6)] − (− 2) ⋅ [ 8 − (+ 4)]
f) 6 + (3 − 5 + 4) ⋅ 2 − 3 ⋅ (6 − 9 + 8)
g) 6 ⋅ 4 − 5 ⋅ 6 − 2 ⋅ 3
h) 15 − 6 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3
i) (+ 4) ⋅ (1 − 9 + 2) : (− 3)
j) (− 12 − 10) : (− 2 − 6 − 3)
g) (+ 6) + (− 2) − (+ 5) − (− 7)
h) (+ 18) − (− 11) − (+ 10) + (− 14)
i) (− 8) − (− 1) − (+ 3) + (− 5) + (+ 9)
j) (+ 2) − (+ 12) + (− 11) − (− 15) − (− 5)
2. Realiza las siguientes operaciones:
a) 10 − (8 + 4)
b) 6 − (3 − 12)
c) (5 + 7) − (2 − 8)
d) 18 + (3 − 5 + 2 − 8)
e) 15 − (8 − 2 − 6 + 1)
f) (5 − 3 + 2) − (10 − 5 − 3 + 1)
g) (4 − 6) − [ (− 2) + (− 7)]
h) (− 9) + [ (− 4) − (− 2) + (− 3)]
i) (+ 12) − [ (+ 2) + (− 7) − (+ 14)]
j) [ (− 12) − (− 20)] − [ (+ 6) + (5 − 9) − (16 − 8 − 11)]
4. Opera estas expresiones:
a) 3 − [ (5 − 8) − (3 − 6)]
b) 1 − ( 3 − [ 4 − (1 − 3)] )
c) (2 + 7) − ( 5 − [ 6 − (10 − 4)] )
d) 13 − [ 8 − (6 − 3) − 4 ⋅ 3] : (− 7)
e) 5 ⋅ (8 − 3) − 4 ⋅ (2 − 7) − 5 ⋅ (1 − 6)
f) 12 ⋅ (12 − 14) − 8 ⋅ (16 − 11) − 4 ⋅ (5 − 17)
g) 18 − 40 : (5 + 4 − 1) − 36 : 12
h) 4 + 36 : 9 − 50 : [ 12 + (17 − 4)]
i) 48 : [ 5 ⋅ 3 − 2 ⋅ (6 − 10) − 17]
j) 3 ⋅ 4 − 15 : [ 12 + 4 ⋅ (2 − 7) + 5]
NÚMEROS ENTEROS.ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN
NOMBRE:
1.-Rodea con un círculo los números naturales y tacha los que no lo son:
21
36
−2
−15
20
12
−9
−8
10
75
2.-Ordena, de menor a mayor, las siguientes series de números enteros:
a)
−4
−5
0
+3
−2
+8
b)
−6
+8
−4
+2
+5
−1
3.-Une cada número entero con su opuesto y sitúalos en la recta numérica:
−6
+4
+2
+6
−3
−2
−4
+3
4.-Escribe dos números enteros que tengan como valor absoluto:
a) 5
b) 9
c) 12
5.-Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:
a) 13 + 8 − 4 − 7 + 9 − 10 =
b) 12 − 6 − 8 + 9 − 3 + 5 =
6.-Calcula los siguientes productos y cocientes de números enteros:
a) (+6) · (−3) · (+4) =
b) (+5) · (−4) · (−2) =
c) (−500) : (+10) =
d) (+150) : (−30) =
7.-Calcula las siguientes potencias:
a) (−5)3 =
=
b) −35 =
c) (−1)45 =
8.-Quita paréntesis y calcula:
a) (+3) − (+7) − (−5) + (+3) − (−6) =
b) 12 − (5 − 2 − 4) + (9 − 6) =
c) 13 − [ 2 − (6 − 8) ] =
9.-Calcula atendiendo a la prioridad de las operaciones:
a) 16 − (−4) · (+3) =
b) 20 + (−5) · (−3) =
c) 12 : (−3) − (−5) =
d) 15 − (−10) : (−2) =
10.-Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:
a) (−7) · [ (+1) + (+3) − (2 + 5 − 1) ] =
d) (6 − 4)2
b) (−7) · (+1) − [ (−4) + (−2) − (−3) ] · (−2) =
ENTEROS. Solución actividad de evaluación
Ejercicio nº 1.Rodea con un círculo los números naturales y tacha los que no lo son:
21
36
12
−9
−2
−8
−15
20
10
75
Solución:
N:21,12,36,10,20,75
2.-Ordena, de menor a mayor, las siguientes series de números enteros:
a)
−4
−5
0
+3
−2
+8 −5 < −4 < −2 < 0 < +3 < +8
b)
−6
+8
−4
+2
+5
−1
−6 < −4 < −1 < +2 < +5 < +8
3.-Une cada número entero con su opuesto y sitúalos en la recta numérica:
4.-Escribe dos números enteros que tengan como valor absoluto:
a) 5
−5 y +5
b) 9
−9 y +9
c) 12
−12 y +12
5.-Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:
a) 13 + 8 − 4 − 7 + 9 − 10 =13 + 8 + 9 − 4 − 7 − 10 = 30 − 21 = 9
b) 12 − 6 − 8 + 9 − 3 + 5 = 12 +9 +5 -6 -8 -3 =26 – 17=9
6.-Calcula los siguientes productos y cocientes de números enteros:
a) (+6) · (−3) · (+4) = (−18) · (+4) = −72
b) (+5) · (−4) · (−2) = = (−20) · (−2) = 40
c) (−500) : (+10) = −50
d) (+150) : (−30) = −5
7.-Calcula las siguientes potencias:
a) (−5)3 =(−5) · (−5) · (−5) = −125
b) −35 =− (3 · 3 · 3 · 3 · 3) = −243
c) (−1)45 = -1
d) (6 − 4)2 = 22 = 4
8.-Quita paréntesis y calcula:
a) (+3) − (+7) − (−5) + (+3) − (−6) =3 − 7 + 5 + 3 + 6 = 10
b) 12 − (5 − 2 − 4) + (9 − 6) =12 − (−1) + (+3) = 12 + 1 + 3 = 16
c) 13 − [ 2 − (6 − 8) ] =13 − [ 2 − (−2) ] = 13 − (+4) = 13 − 4 = 9
9.-Calcula atendiendo a la prioridad de las operaciones:
a) 16 − (−4) · (+3) =16 − (−12) = 16 + 12 = 28
b) 20 + (−5) · (−3) =20 + 15 = 35
c) 12 : (−3) − (−5) =−4 − (−5) = − 4 + 5 = 1
d) 15 − (−10) : (−2) =15 − (+5) = 15 − 5 = 10
10.-Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:
a) (−7) · [ (+1) + (+3) − (2 + 5 − 1) ] =(−7) · (−2) = 14
b) (−7) · (+1) − [ (−4) + (−2) − (−3) ] · (−2) =(−7) − (−3) = −7 + 3 = −4
1. Los Conjuntos de números ENTEROS
Z={..-1,-2 …0,1,2,.....}
2. Representación gráfica de números enteros
Practica la representación gráfica. Cuando consigas al menos siete ejercicios
correctos, representa en la recta los siguientes números enteros.
-3 4 -5 10 2 -8 -6 -11 11 -9 0
3. Ordenación de números enteros
Completa el siguiente texto:
Los números enteros pueden ……… … … … … ….. en una recta denominada
recta
entera. Los enteros positivos se sitúan a la ……… … … … … … … … … del ………
… …. y
los enteros negativos se sitúan a la ……… … … … … … … … ….
Cuanto más ……… … … … … … … … del cero está un número entero positivo,
más ……
……… …. es su valor, sin embargo, cuanto más alejado del cero está un
número
entero negativo, más ……… … … … ….. es su valor.
4. La suma de números enteros
1. Practica la suma de números enteros, al menos en cinco ocasiones,
comprobando como se pueden simplificar los signos. Cuando no cometas
ningún error Simplifica las sumas siguientes:
Ejemplo: (+5) + (-3) = 5 – 3 = 2
(+10) - (+8) = (+3) - (-7) = (-3) - (+5) =
(-1) - (-10) = (+12) - (-16) = (+15) + (-22) =
(-2) +(+13) = (-18) + (-5) = - (-32) - (+27) =
(-12) + (+5 ) = (- 8)+ (- 6) = (+ 4) - (- 7) =
(-9) - (+5) = (-7) - (-18) = (+ 11) + (-14) =
Lee la introducción del tema y asegúrate de entenderlo todo.
Si tienes alguna duda pregunta al profesor/a
2. Practica mentalmente la suma de números enteros:
- (-2) + 5 = 4 – 10 = -1 -(+9) + 5 =
- (-3) – 3 = + (-3) – 5 = 3 - (+8) - (+2) =
-20 + (-10) = -4 - 8 = 5 - (-6) + (-6) =
- (+15) +(-5) = 2 - (+18) = - (-4) - (-3) - (+8) =
8 - (+3) = - 4 + (- 10) = 5 + (-6) – 3 =
5. Cuadrados mágicos
Completa correctamente seis cuadrados mágicos
6. La resta de números enteros.
La resta de números enteros puede realizarse de dos formas:
1. Simplificamos los signos cuando aparecen dos juntos
i) 4-(-3) = 4 + 3 = 7 ii) -4 – (+3) = -4 -3 = - 7
2. También puede entenderse como sumar al minuendo el opuesto del
sustraendo.
Practica y luego resuelve como te resulte más fácil los siguientes ejercicios
(-2) - 5 = 4 – (- 10) = -1 - 9 - 5 =
-3 – 3 = -3 – 5 = 3 - (+8) - (+2) =
-20 - (-10) = 4 - 8 = 5 - (-6) - (-6) =
15 -(-5) = 2 - (-18) = - (-4) - (-3) - (+8) =
8 - 3 = - 4 - (- 10) = 5 - (-6) – 3 =
Ejercicios para casa
2.- Quita paréntesis y calcula:
S uma
S uma
4 - (-3) = 4 +(+ 3) = 7 -4 – (+3) = -4 +(-3) =
-7
3
(+10) - (+8) = (-2) + (-1) - (-10) =
(+3) - (-7) = (+15) + (-22) - (+13) =
(-3) - (+5) = - (-32) - (+27) - (-12) =
(+12) - (-16) = (2 - 6) - (3 + 4) - (1 - 7) =
(-18) + (-5) = (-9) - (5 - 11) - (-7) =
(3 - 8) + (5 - 3) = - (18 - 11) - (-14) =
Realiza las operaciones y resuelve
a) 15+ (3-10-7+1)-(5-8-9)
b) 10+ (-5-7+2-9)-(6-7+8)
c) [ (+4) + (-3) - (-1) ] - [ (+8) - (+2) + (-6)]
d) (9-13)-[5-(2-8+3)-(4+3)]
e) 15-[(10+8-2)-(5-3+1)]-(10-3-9)
Problemas:
1) Un cierto día bajó mucho la temperatura. A las 7 de la tarde había 10 ºC y en
las horas siguientes la temperatura descendió a un ritmo de 3 grados cada
hora. ¿Qué temperatura había a las 12 de la noche?
2) Una persona tiene en el banco 3170 €. Hace un pago de 2250 € y después
retira el resto del dinero para pagar una cuota inicial de 75 € por un aparato de
música que le costará 556 €.
El resto lo gasta 4 billetes de lotería y con uno de ellos gana 300 €. Podrá
pagar el aparato de música o deberá dinero al vendedor?
4
3) David debe 35 pesetas a cada uno de sus 6 amigos. Recibe de su padre 120
pesetas que da a sus deudores en partes iguales. ¿Cuánto deberá todavía a
cada uno de sus amigos?
1. Resuelve estas multiplicaciones de números enteros
Cuando termines resuelve las siguientes operaciones .
-3 · (-7) = -50 · (-10) = -1 · 3 = -7 · (-3) · 10 =
-3 · 4 = 10 ·(-5) = 44 · 11 = 13 · 9 · (-2) =
15 ·(-3) = -6 · (-1) = 14 · (-7 ) = -2 · (-2) · 2 =
Repaso general.
Resuelve en tu cuaderno
1. ¿Cuándo se dice que un número es primo?, pon tres ejemplos y explícalo con tus palabras.
Descompón los siguientes números: 32, 125, 1413
2. Explica lo que entiendes por mínimo común múltiplo (m.c.m) y máximo común divisor
M.C.D.)
M.C.DI.)
y hállalos con los números del ejercicio anterior.
3. Un estudiante de informática cree que le faltan disquetes de los que usa para su
ordenador. Sabe que contados de 2 en 2 le sobraba uno; contados de 3 en 3 le sobraba
uno; contados de 5 en 5 le sobraba uno, y además está seguro de que tenía entre 30 y 40
disquetes
4. Una empresa que trabaja en informática fabrica dos tipos de microprocesadores.
Disponen en el almacén de 2025 unidades de una clase y 3465 de la otra. Quieren
distribuirse por separado en cajas que contengan el mismo
número de unidades y, además, que este número sea el mayor
posible. ¿Cuántos microprocesadores debe contener cada
caja?
Potencias de números enteros.
Ya vimos una pequeña introducción a las potencias en el tema anterior, ahora vamos
a practicarlas un poco más. Realiza los ejercicios propuestos y contesta:
Potencias de igual base
¿Cómo se multiplican?
¿Cómo se dividen?
Ejemplo
Potencias de distinta base…
¿Cómo se multiplican?
¿Cómo se dividen?
Ejemplo
con igual exponente
con distinto exponente
Exponente positivo Exponente negativo
Potencias de base positiva
Potencia de basenegativa
Operaciones combinadas.
Realiza de manera correcta, al menos diez operaciones combinadas de las que ofrece
la escena. Cuando domines el método resuelve los siguientes ejercicios.
a) 5 · (3 – 7) + 4 · (8 :(- 2)) = b) -10 · [(2 – 10) + 3] =
c) 2 – 6 : 3 · (4-5) · (-1) = d) -[(-4) · (-3) – 18 : (-9)] =
e) 2 · 3 + 4 – 7 · 5 – (- 2 + 8 ) =
f ) Un trabajador realiza 4 viajes diarios al trabajo 4 días a la semana llevando 4
carpetas con 4 facturas en cada una. ¿Cuántas facturas habrá transportado durante 4
meses de 4 semanas cada uno. (Expresa el resultado en forma de potencia)
Los Múltiplos de un número
Múltiplo de un número es ………………………………………………………………………………………………
……….. ………………………………………………………………………………………………………………………………
………………….………………………………………………………………………………………………………………………
………………………….
Los Divisores de un número
1. Halla los divisores de los 50 primeros números naturales
Número con más divisores………………………………………………………………………………………………
…….
Número con menos divisores……………………………………………………………………………………………
…..
Números con dos divisores (el propio número y la unidad)
Estos números que sólo se pueden dividir entre sí mismos o entre la unidad para que
la división sea exacta, se llaman números PRIMOS
2. Define cuatro apartados para hacer la clasificación de los números naturales
según el número de sus divisores, pon un número de ejemplo de cada uno
de esos apartados.
A…………………………………………………………………………………………………………………
B…………………………………………………………………………………………………………………
C…………………………………………………………………………………………………………………
D…………………………………………………………………………………………………………………
¿Crees que un número grande es de esperar necesariamente que tenga más
divisores? ¿De qué crees que depende?
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Divisores de un número
1. Escoge 3 números y anota todos sus divisores.
Número
Divisores
2. Juega con tu compañero. El ganador será el mejor de 5 partidas.
3.
Números primos.
Ya vimos en un apartado anterior (busca Números con dos divisores) que números
eran PRIMOS. Vamos a averiguar ahora cuáles son los primeros números primos.
Practica y luego calcula los números primos del 1 al 100 haciendo uso de la tabla
siguiente.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.
51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.
71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.
81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90.
91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99.100.
92.
Número primo o compuesto
Después de contabilizar los números primos que hay en la centena elegida
¿Qué conclusión puedes sacar?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………
Descomposición factorial de un número
- ¿Crees que tiene relación el tamaño de un número y la cantidad de factores
primos que lo componen? …………………………………………………………………………………………….
- ¿Si descomponemos un número grande, hemos de esperar que estará formado
por muchos factores? ……………………………………………………………………………………………………
- ¿Cuántos factores componen un número primo? ……………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
Máximo Común Divisor
Números Máximo Común Divisor
mínimo común múltiplo
Números
(de una cifra)
mínimo común múltiplo
Números
(de dos cifras)
mínimo común múltiplo
mínimo común múltiplo de tres números
Números mínimo común múltiplo
Ejercicios para practicar en casa:
1. Obtén todos los divisores de 140
2.
2. Descompón 729 en sus factores primos
3.
3. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos
números
a) 28 y 72
b) 4, 16, 20
4. Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días y Pedro lo hace
cada 3. El día 20 de mayo se encontraron allí. ¿Cuándo volverán a coincidir?
5. En un terreno rectangular, de 240 por 360 metros, se proyecta colocar placas
cuadradas, del mayor tamaño posible, para recoger energía solar.
¿Qué longitud tienen que tener los lados de las placas?
DECIMALES
ACTIVIDAD INICIAL DECIMALES 3º DIVERSIFICACIÓN
CONCEPTOS PREVIOS
Sistema de numeraci6n decimal.
• Expresiones de números
• Multiplicaci6n y divisi6n decimales.
por la unidad seguida de ceros.
• Sucesiones de números naturales.
• Aproximaciones de números decimales.
1.-Los siguientes números son iguales. 1234 , 4321 , 2341 , 2’341 y 4321Justifica la
respuesta.
2.-Realiza los cálculos siguientes:
a) 33,85 · 100 =
b) 0,0059 · 1 000 =
c) 7 639 : 1 000 =
d) 678,54 : 10 =
3.- Indica el valor de posición de la cifra 8 en cada número:
a) 3,281
b) 4,854
c) 5,108
d) 8,353
→
→
→
→
4.- Ordena de menor a mayor las siguientes series de números decimales:
 5,3
5,26 5,265 5,269 5,31
5.- Realiza las siguientes operaciones y redondea el resultado a las décimas :
a) 11,29 + 8,085 − 9,119 =
b) 2,141 + 98,34 − 26,055 =
6.-Escribe tres números
a) decimales exactos
b) decimal periódico puro
c) decimal periódico mixto
e) irracionales
Sumas, restas y multiplicaciones.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
1
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
2
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
3
Divisiones
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
4
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
5
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
6
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
7
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
8
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
9
Redondeo y truncamiento 1º ESO
1. En la compra de un supermercado se compraron los siguientes productos con sus respectivos precios.
Cereal
2.05 €
Galletas 1.35 €
Leche
8.45 €
Atún
3.85 €
Jamón
15.28 €
Obtener el redondeo y truncamiento de cada uno de los productos a décimos.
Si esta cantidad a pagar se reparte entre dos personas, ¿Cuál sería la manera más equitativa de
hacerlo?
2. Simplifica los números decimales, por truncamiento y por redondeo, al orden indicado.
Números
8.1943 a décimos
75.93847 a milésimos
29.3147 a centésimos
1.28 a décimos
15.286 a centésimos
Truncado
Redondeado
Ficha de trabajo. Repaso de operaciones con decimales 1º ESO.
Apellidos y nombre: ___________________________________________
1, 2 y 3. Escribe estas operaciones sobre un papel y resuelve las operaciones.
108 x 7,4 =
7,35 x 6 =
2,47 x 18 =
4, 5 y 6. Realiza estos ejercicios en un papel y selecciona la respuesta:
6,7 x 1,23 =
2,5 x 7,13 =
1,35 x 14,54 =
7, 8 y 9. Resuelve estos problemas en papel y contesta:
Una botella de agua contiene 1,50 litros y otra 2,75 litros.
¿Cuánto tienen entre las dos?
Un pan pesa 1,15 kilogramos.
¿Cuánto pesarán ocho panes?
Una manzana pesa 0,23 kilos. ¿Cuánto pesarán 7 manzanas?
10,11 y 12. Escribe estas operaciones sobre un papel y resuelve las operaciones.
3,75 : 3 =
23,87 : 7 =
48,33 : 9 =
13, 14 y 15. Resuelve estos problemas sobre papel y contesta:
En un vaso ponemos 0,35 litros de agua; en otro vaso 0,25 y en
otro 0,19. ¿Cuánto hay entre los tres?
Pedro tenía que recorrer 8,35 kilómetros y por la mañana hizo
4,4 km. ¿Cuánto le falta?
En una botella hay 3,67 litros y en otra 0,95 litros. ¿Cuánto hay
entre las dos?
16, 17 y 18. Resuelve estas divisiones:
88,2 : 1,8 =
60 : 1,2 =
90 : 0,09 =
19, 20 y 21. Resuelve estas divisiones:
37,8 : 0,7 =
7,44 : 0,31 =
5,7 : 0,15 =
22, 23 y 24. Resuelve estos problemas sobre el papel y contesta:
Un plátano pesa 0,27 kilogramos.
¿Cuánto pesarán 9 plátanos?
Mariano tenía 12,25 euros y se gastó 5,5 euros en cuadernos.
¿Cuánto le queda?
En una botella hay 1,55 litros y en otra 1,27 litros. ¿Cuánto litros
hay entre las dos?
25,26 y 27. ¿Qué operación habrá que hacer para resolver estos problemas?
1. Reparto 28 cartas entre 4 jugadores ¿Cuántas
cartas tendrá cada uno?
2. Tengo 5 cromos en un bolsillo y 9 en otro.
¿Cuántos cromos tengo en total?
3. Un obrero gana 150 euros al día. ¿Cuánto
ganará en 5 días?
28, 29 y 30. Contesta a estos problemas diciendo si tienen una o dos operaciones:
1. En un autobús había 17 personas; suben 2 y bajan 7. ¿Cuántas
quedan?
2. Un trabajador gana al día 130 euros y gasta diariamente 8 euros.
¿Cuántos tendrá en 30 días?
3. Jesús tenía 9 caramelos y se ha comido 3. ¿Cuántos le quedan?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
Sumas, restas y multiplicaciones.
1
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
2
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
3
Divisiones
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
4
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
5
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
6
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
7
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
8
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1º ESO
NÚMEROS DECIMALES
9
ACTIVIDAD INICIAL
NUMEROS DECIMALES 1º ESO
CONCEPTOS PREVIOS
-Sistema de numeraci6n decimal.
• Expresiones de números
• Multiplicaci6n y divisi6n decimales por la unidad seguida de ceros .
• Tipos de números
• Aproximaciones de números decimales.
1.-¿Los siguientes números son iguales?. 1234 , 4321 , 2341 , 2’341 y 4321Justifica la
respuesta.
2.-Realiza los cálculos siguientes:
a) 33,85 · 100 =
b) 0,0059 · 1 000 =
c) 7 639 : 1 000 =
d) 678,54 : 10 =
3.- Indica el valor de posición de la cifra 8 en cada número:
a) 3,281 →
b) 4,854 →
c) 5,108 →
d) 8,353 →
4.- Ordena de menor a mayor las siguientes series de números decimales:
 5,3
5,26
5,265
5,269
5,31
5.- Realiza las siguientes operaciones y redondea el resultado a las décimas :
a) 11,29 + 8,085 − 9,119 =
b) 2,141 + 98,34 − 26,055 =
6.-Escribe tres números
a) decimales exactos
b) decimal periódico puro
c) decimal periódico mixto
e) irracionales
NÚMEROS RACIONALES
Q
NÚMEROS
REALES
R
POLINOMIOS
3º ESO:POLINOMIOS.ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN
NOMBRE:
Número:
2( x 3 + 5 )
1.-Halla el valor numérico de x + 2
para x= -1
2.-Efectúa la siguiente operación:
2
− 2 x + 3 ) − ( 2 x 3 + 3x 2 + 5 ) + ( 3x + 1 )
(x
3.-Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:
a(b + c) – b(a – c) + c(a – b)
4.-Divide los siguientes polinomios:
a)
(6x3 − 3x2 + 9x) : 3x
c)
(x6 + 4x4 − 2x3 − 4x) : (x3 + 2x− 1) .
5.- Desarrolla, sin operar, la potencia ( 2 x + 2 y ) .
2
6.-Calcula a para que la división sea exacta:
( 2x
3
+ 3x 2 + a ) : ( x + 1 )
(
)(
)
2
3
7.- Indica cuál es el grado de x − 3 x + 1 x − 2 , y efectúa luego el producto.
Solución 1
2((− 2) 2 + 12 + 9) 50
a)
=
= − 50
−1
−1
Solución 2
a) x2 − 3x+ 5 − 2x2 − 5x+ 8 − x2 + x− 7 = − 2x2 − 7x+ 6
b) a2 − 2ab + b2 − a2 − 2ab − b2 − 2a2 + 4ab = − 2a2
Solución 3
a) ab + ac – ab + bc + ac – bc = 2ac
Solución 4
x 6 + 0x 5 + 4x 4 − 2x 3 + 0x 2 − 4x + 0
− x6
− 2x 4 + x 3
2x 4 − x 3 + 0x 2 − 4x + 0
− 2x 4
x 3 + 2x − 1
x 3 + 2x − 1
− 4x 2 + 2x + 0
0x 4 − x 3 − 4x 2 − 2x + 0
+ x3
+2x − 1
− 4x 2 -1
Es decir: C( x ) = x 3 + 2 x − 1 , R ( x ) = − 4 x 2 − 1 .
Solución: 5
Solución:6
x 2 + 4 xy + 4 y 2
Grado 4. x − 3 x − 4 x + 15 x − 5 .
4
3
2
Solución
Efectuamos la división arrastrando el coeficiente a:
2x+3
4 x 3 + 6 x 2 + ax −6
a
−4x 3 −6x 2
2x 2 +
2
ax -6
3
−ax − a
2
3
−6 − a
2
3
Para que la división sea exacta: − 6 − a = 0 →a = −4 .
2
2
El cociente sería: C( x ) = 2 x − 2 .
POLINOMIOS.ACTIVIDAD DE SINTESIS 1º BACH CCSS
Ejercicio nº 1.a) Calcula y simplifica:
(x
2
)(
)
− 2 x + 3 x 2 − 1 − x 2 ( x − 3)
b) Halla el cociente y el resto:
(4 x
5
) (
)
− 2x 2 + x − 2 : 2x 2 − 1
Ejercicio nº 2.Obtén el valor de k para que el polinomio P(x) = 3x5 + 2x3 + kx2 − 3x + 4 sea divisible entre x + 1.
Ejercicio nº 3.Factoriza el siguiente polinomio:
x 4 + x 3 − 9x 2 − 9x
Ejercicio nº 4.Simplifica la siguiente ecuación algebraica:
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
x 3 − 2x 2 + x
Ejercicio nº 5.Efectúa estas operaciones y simplifica:
( x − 1) 2
2
⋅
1
3x
−
x − 1 ( x + 1) 2
2
POLINOMIOS 1º CCSS SOLUCIONES
Ejercicio nº 1.a) Calcula y simplifica:
(x
2
)(
)
− 2 x + 3 x 2 − 1 − x 2 ( x − 3)
b) Halla el cociente y el resto:
(4 x
5
) (
)
− 2x 2 + x − 2 : 2x 2 − 1
Solución:
(
)(
)
a) x 2 − 2 x + 3 x 2 − 1 − x 2 ( x − 3 ) = x 4 − x 2 − 2 x 3 + 2 x + 3 x 2 − 3 − x 3 + 3 x 2 =
= x 4 − 3x 3 + 5x 2 + 2x − 3
Cociente = 2x3 + x − 1
Resto = 2x − 3
Ejercicio nº 2.Obtén el valor de k para que el polinomio P(x) = 3x5 + 2x3 + kx2 − 3x + 4 sea divisible entre x + 1.
Solución:
Para que P(x) sea divisible entre x + 1, ha de ser P(−1) = 0; es decir:
P(−1) = − 3 − 2 + k + 3 + 4 = k + 2 = 0
→
Ejercicio nº 3.Factoriza el siguiente polinomio:
x 4 + x 3 − 9x 2 − 9x
Solución:
Sacamos factor común:
(
x 4 + x 3 − 9x 2 − 9x = x x 3 + x 2 − 9x − 9
)
k = −2
(
)
x x 3 + x 2 − 9 x − 9 = x ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x + 1)
Ejercicio nº 4.Simplifica la siguiente ecuación algebraica:
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
x 3 − 2x 2 + x
Solución:
x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 ( x − 1)
x−1
=
=
3
2
x ( x − 1)
x
x − 2x + x
3
Ejercicio nº 5.Efectúa estas operaciones y simplifica:
( x − 1) 2
2
⋅
1
3x
−
x − 1 ( x + 1) 2
2
Solución:
( x − 1) 2
2
=
( x − 1)
1
3x
3x
−
=
−
=
2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) 2
x 2 − 1 ( x + 1) 2
2
⋅
x−1
3x
x 2 − 1 − 6x x 2 − 6x − 1
−
=
=
2
2
2
2 ( x + 1) ( x + 1)
2 ( x + 1)
2 ( x + 1)
POPURRI
La
mejor forma de librarse de un problema es resolverlo
JUEGO MATEMÁTICO:MATEMANA
NORMAS
1 Los alumnos/as dispondrán en su sitio de 10 medios folios
2.-Cuando el profesor hace una pregunta ellos hacen cuentas en un folio y escriben la respuesta en
un folio limpio (que después lo usarán para hacer cuentas)
Cuando el profesor diga tiempo, todo el mundo suelta el lápiz levanta el folio bien alto únicamente
con la respuesta final, con letras grandes y claras.
No bajaran el folio hasta que el profesor les indique.
3.Cualquier incumplimiento de del punto anterior será motivo de expulsión del juego
4.-Los alumnos que no acierten la pregunta entregan los folios en blanco al profesor y permanecen
de pie al final de la clase, observando el concurso y sin mediar palabra .Si hablaran una sola palabra
será motivo de expulsión y permanecerían con el profesor de guardia.
5.-Los que acierten permanecen sentados en sus sitios y si necesitan folios los piden al profesor
antes de que empiece con la pregunta correspondiente
6.-Los alumnos que no acierten más de 5 preguntas no tendrán ningún premio.
7.-Los alumnos que habiendo acertado la 5º pregunta no acierten la 6º obtendrán un premio
8.- Los alumnos que habiendo acertado la 6º pregunta no acierten la 7º obtendrán un premio igual o
mejor. Y así sucesivamente.
Los regalos irán ordenados y espero que alguien acierte tantas preguntas como para que sepáis cuál
es el regalo final.
Los regalos se entregarían al día siguiente.
9.-Si en alguna pregunta aciertan todos no se elimina nadie y pasamos a la siguiente pregunta sin
dar regalos.
Si antes de la pregunta numero diez no acertara nadie, lo siento todos eliminados y acaba el juego.
Si esto se produce después de la pregunta diez haríamos un desempate para saber quien se lleva el
único regalo final.
10.-Las 5 primeras preguntas serán de operaciones con números enteros. Las demás serán de
proporcionalidad, operaciones con polinomios y ecuaciones de primer grado.
Objetivo:
-Que el alumnado dominen los números y el álgebra, que adquieran rapidez y estrategias .
-Que estudien no para un examen final, sino para un juego.
-Aprender a respetar normas.
MATEMANA
PREGUNTAS JUEGO MATEMÁTICO DE NÚMEROS, PROPORCIONALIDAD Y
ECUACIONES
DE PRIMER GRADO.
1.-RESUELVE: (+5)-(-2)+(-8) –(+3)
2MIN
-4
2.- RESUELVE: -(4+5-3)+7
2MIN
1
3.- RESUELVE: 6-2.5 +3.(-2) +27:(-3)
2MIN
-19
4.- RESUELVE: 5 -(-2) 2 -[8: (-2)+(+5) . (-3)]
2MIN
-18
5.- RESUELVE: (-5)-(-2)+(-8).(+3)
2MIN
6.-MULTIPLICA –3X2 Y3 .6 X5 Y
-27
-18X7 Y4
2MIN
7.-SIMPLIFICA ( 15X2 Y7 Z5 ) : (20 X6 Y3 Z2) 2MIN
(3 Y4 Z3 ) : (4 X4 )
8.-RESTA 3X5 - 5 X4 +6X3 +3 CON –6X6 +4X3 +8X –7
+2X3 +10
6X6
9.-¿Cuál sería la última cifra de 4100 ?
10.-RESUELVE X/2 - (X+1)/7 =2
+3X5
- 5 X4
6
3MIN
6
11.-EXPRESA EN FORMA ALGEBRAICA Y SIMPLIFICA EL RESULTADO
EL DOBLE DE UN NÚMERO POR SU TRIPLE
2MIN
6X2
12.- .-EXPRESA EN FORMA ALGEBRAICA
SI X ES LA EDAD DE UNA PERSONA , CUÁNTOS AÑOS FALTA PARA SER CENTENARIO
2MIN
13.- .-EXPRESA EN FORMA ALGEBRAICA
SU EDAD CUANDO PASEN LA MITAD DE LOS AÑOS QUE TIENE
100-X
2MIN
X+X/2
14.-¿CUÁNTAS BOTELLAS DE 3 CUARTOS DE LTRO SE PUEDEN LLENAR CON UN
BIDÓN DE 30 LITROS?
40
3MIN
15.-LA SUMA DE DOS NUMEROS ES 48 Y EL MAYOR ES EL TRIPLE DEL MENOR ¿QUÉ
NÚMEROS SON?
3 MUN
12,36
16.-REPARTE 1000 PTS ENTRE 3 PERSONAS DE FORMA QUE LA PRIMERA RECIBA EL
DOBLE QUE LA 2ª Y ESTA EL TRIPLE QUE LA 3ª
X+3X+6X=1000
100 300 600
17.-REPARTE 100 EN PARTES DIRECTAMENTE PRROPORCIONALES A 2 Y 3.
3MIN 40, 60
EL PROBLEMA DEL CANGREJO
Un cangrejo tiene que cruzar por la playa de 100 m. Durante el día recorre 30 m y por la
noche se pierde y retrocede 20 m. ¿Cuántos días tardará en cruzar la playa?.
LA VASIJA
Disponemos únicamente de una vasija de 8 litros llena de agua y de dos recipientes vacíos de 5
y 3 litros. ¿Cómo podemos conseguir exactamente 4 litros en uno de los recipientes?.
ÁLGEBRA Y MAGIA
1. Piensa un número.
2. Al número que pensaste súmale el número siguiente.
3. Al resultado del paso anterior súmale 9.
4. Divide el resultado entre 2.
5. A lo que quedó réstale el número que pensaste.
¿A que el resultado es 5?. ¿Sabrías por qué?. Haz una ecuación con los pasos y resuélvela.
VEINTE PANES PARA VEINTE PERSONAS
Veinte panes para veinte personas: los niños a medio pan, las mujeres a dos y los hombres a
tres. ¿Cuántos hombres, niños y mujeres había?.
UNA ECUACIÓN QUE VIAJA AL PASADO
Nos encontramos en noviembre de 2008. Me falta un mes para cumplir los 43 años. Mi segundo
hijo cumplió 4 en junio...
¿Al cabo de cuántos años mi edad será 20 veces la de mi hijo?
¿SABES SUMAR?
Es otro día hice el trayecto de la Linea 9 del Metro de Madrid desde "Avenida de América"
hacia "Plaza de Castilla" y me di cuenta que en la primera estación, Avenida de América,
subimos 6 pasajeros. En la siguiente estación "Cruz del Rayo" bajaron dos pasajeros y
subieron cuatro. En "Concha Espina", la siguiente estación, bajaron tres pasajeros. Ahora en la
estación "Colombia" se bajaron dos pasajeros y subieron tres. Después en "Pio XII" se
bajaron tres y subió uno. En "Duque de Pastrana" bajó un pasajero y subieron dos... Por último,
el Metro se detuvo en "Plaza de Castilla" y nos bajamos todos los pasajeros. ¿Desde que salío
el metro de la estación de "Avda. de América" cuántas veces paró el tren?. ¿Cuál es el número
de pasajeros que llegamos a la Plaza de Castilla?.
ALIEN EL OCTAVO PASAJERO
La nave espacial U.S.C.S.S. Nostromo viaja desde el planeta Thedus hacia la Tierra con un
enorme remolque lleno de abundantes minerales para ser procesados en refinerías.
Madre, la computadora central de la nave, despierta a sus 7 tripulantes de su letargo
artificial, quienes creen estar cerca de la Tierra y a la vez están ansiosos por recibir su pago
por el cargamento. Sin embargo el ordenador central, ha detectado una misteriosa
transmisión, de una forma de vida desconocida, procedente de un planeta cercano. Obligados a
investigar el origen de la comunicación, la nave se dirige al extraño planeta...
Todo el mundo tiene que cruzar de una base a otra utilizando para ello la nave Nostromo. La
nave está averiada y sólo puede trasportar cada vez a dos pasajeros. (Alien cuenta como
uno).
Sólo saben manejar la nave los 3 tenientes. Sin uno de ellos a bordo, la nave no se mueve. El
capitán del Grupo 1 no puede permanecer con ninguno de los suboficiales del grupo 2 sin la
presencia del capitán del grupo 2. El capitán del Grupo 2 no puede permanecer con ninguno de
los suboficiales del grupo 1 sin que esté presente el capitán del grupo 1. Alien no puede
permanecer con ningún miembro del grupo 1 o del grupo 2 sin la presencia de la teniente
Ripley. ¿Cómo deberán hacerlo?.
UNA PARED PARA PINTAR
Tenemos una pared grande que pintar.
Mohamed tarda 2 horas en pintarla.
Jaouad tarda 4 horas.
¿Cuánto tardarían los dos si se pusieran a pintarla juntos?.
MAGIA CON TRES CIFRAS
Es un juego de magia que funciona para cualquier número de 3 cifras. Compruébalo por ti
mismo siguiendo los pasos:
• Elige un número de 3 cifras y escríbelo en un papel.
• Escribe a continuación el mismo número para hacer un número de 6 cifras.
• Divide el número de 6 cifras por 7.
• Divide el resultado anterior por 11.
• Divide el último resultado por 13 y obtendrás el número inicial. Magia??.
ADIVINANDO NÚMEROS
1. Piensa un número del 0 al 9.
2. Multiplícalo por dos.
3. Súmale 5.
4. Multiplica el resultado por 5.
5. Piensa otro número del 0 al 9.
6. Súmalo al resultado anterior.
7. Resta 25 al resultado obtenido.
8. El resultado...es un numero de 2 cifras. Que casualidad!!! El primer dígito se
corresponde con el primer número que habías pensado y el segundo dígito con tu
segundo número.
MATEMATICAS PENDIENTES 2º ESO
1.-Completa la siguiente tabla de valores directamente proporcionales:
Magnitud a 1
2
4
Magnitud b
8
7’5
K
25
50
Calcula la constante de proporcionalidad
2.-Se sabe que la constante de proporcionalidad de dos magnitudes es 0’4 .Completa la siguiente
tabla de proporcionalidad.
Magnitud a
Magnitud b
4
1
4
2
8
7
5
3
12
1
3.-Calcula el valor de x en cada proporción
½ = 7/x
6/x =2/5
x/4=9/x
x/7=10/2
4.-Un corredor de maratón lleva recorridos 15 Km en 45 minutos .Si continúa a la misma
velocidad ,¿Cuánto tardará en cubrir los próximos 6 Km ? ¿y en completar los 42 Km del maratón?
5.-Completa la siguiente tabla de valores inversamente proporcionales:
Magnitud a 4
8
Magnitud b 12
6
12
2
1
3
3
6.-Calcula
20% de 400
75% de 200
7.-Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que supone el 84% del total ¿De cuántas camas
dispone el hospital?
8.-Un articulo que costaba 6700 Euros ha subido un 12%.¿Cuánto cuesta ahora?
9.-Escribe una ecuación para el siguiente enunciado
El doble de un cierto número más su número anteriores igual a 20
La mitad de un número más el doble de ese número suman 15
El triple de un número más su número anterior suman 27
La quinta parte de un número menos su décima parte es igual a 7
9.-Resuelve las siguientes ecuaciones:
5x+2=52
x2 =25
x+1 =1
3
x
3
-
2x-3
=1+ x+3
6
2
a)5x+8=8x+2
b)9+9x=117-3x
2
9
c)21-7x=41x-123
3
d)500-24x=-4-3x
24
e)3x+100=5(200-3x)
50
f)5(20-x)=4(2x-1)
8
g)7(x-18)=3(x-14)
21
h)4(x-3)-7(x-4)=6-x
5
i)2x/2 + 3x/4 -5x/6 =15
j)(x-1)/1 - (x-2)/2
36
+(x-3)/3 =0
k)2x/15-(3x-5)/20 =x/5 -3
15
10.-Indica el grado de los siguientes polinomios:
3x6 - 23x67
53x3 - 323x6
11.-Dados los polinomios M(x)= 1+2x+3x2 - 3x3
, calcula
a)M+N
b)M-N
c)2.M
d)2x .M
12.- Extrae factor común en las siguientes sumas :
5 a+5b-5c
3 a-4ab+2ac
x2 +2x
13.-Efectúa las siguientes operaciones
a)6-6:3 -2
b)5-(-2)+(-8)-(-4)-5
c)5-(-2)+(-8):(-4) -5
c)7-(-3)-(-8):(-8)+(-3):(-1)
N(x)= 5+3x-2x2 -1 3x3
d)6:(-2)+(-7). (-15):(-3)
e)5-(-2)-5+(-7)-(-2)
14.-Un triángulo tiene de lados 3cm, 4cm y 5cm . Construye otro triángulo semejante de razón 2.
15.-Las rectas a , b y c son paralelas .Halla la longitud de x
AB=5cm BC=2cm A’B’=7cm B’C’= x cm
16.-Calcula el área lateral, el área total y el volumen de
a)un cubo de 4cm de arista
b)Una pirámide cuadrangular regular ,cuyas aristas miden :10 dm las de la base y 13 dm las
laterales(Comprueba que su apotema mide 12dm)
17 Un pantano tiene una capacidad de 0’19 Km
¿Cuántos litros de agua contiene?
3
.Si ahora está al 28% de su capacidad ,
18.-Expresa en m3
450 dm 3
500 hl
30000 l
19.-Completa las siguientes igualdades
0’84 m3 =
54m3
dm3.
hl
20.-Tres empleados perciben por un trabajo 15600 euros ;uno ha trabajado 8 horas, otro 6 y el
tercero 10 .¿Cuánto debe cobrar cada uno, en función del tiempo trabajado?.
21.-Calcula, primero quitando paréntesis y luego calculando dentro de ellos, las siguientes
expresiones
75-[ (120-150)-(60+40)]
(45-65) + 5- (45-30) –(7-2)
-18 –(3+75)- [ (36-25)-(20+3 )]
4+320-[ 3-4 –18+(30-17)]
22.-Si un mapa está hecho a escala 1:25000 , 5cm en el mapa ¿Cuántos cm representan en la
realidad?
23.-Pasa a segundos los siguientes tiempos
3h
2h 10 minutos
24.-Pasa a grados, minutos y segundos los siguientes ángulos
180”
13751”
25.-Halla el área lateral, total y el volumen de un prisma de 8cm de altura, siendo su base un
cuadrado de lado 3cm
26.-Halla el área lateral, total y el volumen de una pirámide , cuya apotema de la base mide 0’58 cm
, la base es un triángulo equilátero de lado 3cm y cuya altura es 3cm
prisma de 8cm de altura, siendo su base un cuadrado de lado 3cm
APELLIDOS Y NOMBRE: ______________________________________________
CENTRO: ______________________________ CURSO: ______ FECHA: _______
1.- LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES.
♦ Completa con cifras o letras según corresponda:
5.724.372: ____________________________________________________
Noventa mil trescientas veinticuatro: _____________________________
Un millón doscientas sesenta y cinco: _______________________________
963.754.034: __________________________________________________
120.005: ______________________________________________________
Trescientos mil setecientos: _______________________________________
Dos mil millones: ______________________________________________
3.060.309.609:_________________________________________________
_____________________________________________________________
2.- VALOR DE POSICIÓN DE NÚMEROS NATURALES.
♦ Observa este número y contesta:
C de Millón D de Millón U de Millón CM DM UM C D U
674305819
Escríbelo en letras: _________________________________________________
¿Cuál es la cifra de las centenas de millar?: _____________________________
¿Cuál es la cifra de las decenas de millón?: ______________________________
¿Cuál es la cifra de las unidades?: _____________________________________
¿Cuántas centenas vale la cifra de la unidad de millón?: ___________________
¿Cuántas unidades vale la cifra de la decena de millar?: ____________________
3.- OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES.
♦ Realiza las siguientes operaciones:
358739680431
+8 3 9 4 0 5 + 2 5 7 9 4 2
2490485574906
-1085804-397472
735041638536
x85x486
2 8 5 7 23 5 6 7 3 7 0 4
4.- OPERACIONES COMBINADAS
♦ Efectúa las siguientes operaciones:
35 – (16 + 9) – 3 = 3 x 4 + 12 : 6 =
9 x 6 – 12 + 12 x 3 = 4 + 21 x 2 – (7 + 8) – 12 : 2=
5.- PROBLEMA
♦ Resuelve el siguiente problema.
En un partido de baloncesto, se han vendido un total de 1200 entradas, de las
cuales, 525 se han vendido a 5 euros cada una; 490 entradas a 6 euros cada
una y el resto a 7 euros cada una. ¿Cuál ha sido el total recaudado en dicho
partido?
6.- POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL
♦ Di cuáles de las siguientes expresiones son potencias (sí o no):
a.- 2 + 2 + 2 + 2 : _______ c.- 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7: _______
b.- 3 x 2 x 3 x 2 x 3: _____ d.- 5 x 5 + 5 x 5 + 5 : _________
♦ Expresa en forma de potencia y calcula el resultado de:
a.- 4 al cubo: _________________ c.- 2 a la quinta: _____________
b.- 3 a la cuarta: __________ ___ d.- 7 al cuadrado: ____________
7.- MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NUMERO NATURAL.
a.- Escribe tres múltiplos de:
8: ____ ____ ____ 12 : ____ ____ ____
b.- Escribe los divisores de :
8 : _________________ 20 : _________________
c.- Di si es verdadero o falso ( F o V):
4 es divisor de 12 ____ 30 es múltiplo de 6 _____
28 es múltiplo de 3 ____ 10 es divisor de 2 _____
8.- CONCEPTO DE NÚMEROS DECIMALES
a.- Escribe cómo se leen los siguientes números decimales:
3,2_______________________________________________________
23,068____________________________________________________
50,42:______________________________________________________
b.- Ordena sobre la línea los siguientes números decimales:
1,25 - 12,5 - 1,52 - 12,523 - 1,025
________________________________________________________________
9.- OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES.
♦ Realiza las siguientes operaciones:
a) 2 4, 3 5 + 2 6 , 8 b) 2 2 5 6 – 5 1 , 2 4
c) 1 ,1 3 2 x 2 , 3 4 d) 7 5 1 , 6 3 2 4
10.- NÚMEROS FRACCIONARIOS
Completa el dibujo o escribe la fracción correspondiente.
3
4 26
11.- FRACCIONES EQUIVALENTES
a.- Escribe dos fracciones amplificadas: b.- Escribe dos fracciones simplificadas
4 80
5 60
==
12.- SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS FRACCIONARIOS.
♦ Realiza las siguientes operaciones:
13.- PRODUCTOS Y DIVISIONES DE FRACCIONES.
♦ Efectúa las siguientes operaciones:
14.- PROBLEMA
♦ Plantea y resuelve el siguiente problema.
Un señor tiene 1800 euros. Gasta los 5/6 en un televisor. ¿Cuánto
dinero le queda?
15.- RAÍZ CUADRADA.
16.- MEDIDAS DE LONGITUD, CAPACIDAD Y MASA.
♦ Completa lo que falta:
74 km = ______ hm = ______ dam
5,34 m = _______ dm = ______ hm
78,34 g = _______ hg = _______ cg
2,5 hl = ________ dal = ________ kl
17.- MEDIDAS DE TIEMPO.
a.-. Expresa en segundos: b.- Transforma en horas:
4 h 15 m 34 sg = 14.400 sg =
18.- UNIDADES DE SUPERFÍCIE
♦ Completa:
34 hm²= ______________ m²
321 dm² =________________ dam²
0,034 km² = ______________ dm²
19. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS.
♦ Pon el nombre debajo de cada polígono.
______________ ______________ ______________
___________________ _______________
20.- ÁREAS DE POLÍGONOS
Une con flechas cada polígono con la fórmula de su área.
Polígonos Cálculo del área
Cuadrado base x altura
Trapecio lado x lado
Triángulo
Diagonal mayor x diagonal menor
2
Rombo
Suma de las bases x altura
2
Rectángulo
Base x altura
2
21.- PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
♦ Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a.- Calcula el área de un cuadrado de 100 cm de perímetro.
b.- Ana quiere construir una cometa en forma de pentágono regular de 50
cm de lado y 34 cm de apotema. ¿Cuánta tela necesitaría?
c.- Calcula el área de un triángulo de 6 cm de base y 8 cm de altura.
22.- SIMETRÍA DE FIGURAS PLANAS.
♦ Traza el eje de simetría en las siguientes figuras:
23.- CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
♦ Nombra los siguientes ángulos según su amplitud.
_________ _________ _________ _________ _________
24.- TABLAS Y ESTADÍSTICAS
♦ Observa los datos de la gráfica sobre el peso de una clase de 3º y
represéntalos en un eje de coordenadas.
Peso de kg. nº de niños
30
31
32
33
34
35
676283
Eje de coordenadas
nº de niños
Peso en kilogramos
25.- AZAR Y PROBABILIDAD.
♦ En una caja hay 12 lápices, todos de colores distintos.
¿Es seguro que…?( si – no)
- ¿… al sacar dos, éstos serán de distintos color?: _________________
- ¿… al sacar uno, éste será de color rojo?: ______________________
- ¿… al sacar tres, el tercero será negro?: _______________________
♦ En la lista de clase figuran, por orden alfabético, 14 niñas y 11
niños.
- ¿Es seguro que los cinco primeros de la lista son chicos? __________
♦ En una caja hay seis bolas, de las que 2 son negras y 4 son
blancas. Si coges una bola sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de
que sea negra?
_____________________________
UNIDADES DE MEDIDA
Descartes: “Denme espacio y movimiento y les daré un mundo”
EJERCICIOS. Cambio de unidades
Expresa en centímetros las siguientes cantidades: 23 m y 2´4 hm. Por otro lado, pasa a decilitros las
cantidades 41 l y 0´2 kl. Por último, convierte en kilogramos las cantidades 15 q y 73 dg.
Ordena de menor a mayor:
a) 0´07 km, 2´54 hm y 255 m
b) 3´2 dal, 345 dl y 1´47 hl
c) 2´06 t, 34 q, 1325 kg y 40.000 dag.
El punto más alto de la Tierra es el Monte Everest y el más bajo es la fosa de Mindanao, en el
océano Pacífico. Expresa en km y luego en metros la distancia que hay entre los dos puntos
señalados. Pista: “puede que los números enteros nos puedan ayudar a resolver este enigma”.
Un ciclista, en cada golpe de pedal, recorre 4´76 m. ¿Cuántos golpes de pedal necesitará para
recorrer un total de 10 km?.
En una fiesta de cumpleaños 7 amigos han tomado 12 botes de refresco, cada uno de los cuales
contiene 33 cl. ¿Cuántos litros han bebido entre todos?.
¿Cuántas botellas de agua de ¾ de litro se pueden llenar con un barril que contiene 6´7 hectolitros?.
Un barco lleva 2600 toneladas de carbón. ¿Cuántos vagones de 80 q se necesitan para transportarlo?
Un ladrillo tiene una masa de 2´14 kg. ¿Cuál es la masa, en gramos, de 1200 ladrillos iguales a él?.
La masa de una caja de cereales es de 375 g. Se ha diseñado un nuevo envase con un 15 % más de
masa. ¿Cuántos mg tiene el nuevo envase?.
Pasa a forma compleja o incompleja, según corresponda:
2 kg 32 dg 7 cg 12 mg
34 dag 5 dg
5 kl 3 dal 1 l
37498´6 cl
52´8007 dam
9345 dam
67´36 kl
1 hm 5 dam 8 cm
2 hg 5 dag 7 cg
0´035 hg
6075´3 cl
2 hl 9 l 5 ml
2145 mm
45074329 dag
4 hm 23 dam.
En un bidón de 5 litros se han echado257 cl. ¿Cuántos dl faltan para su llenado total?.
En una excursión en bicicleta un grupo de amigos han recorrido 167 hm, pero la distancia que
tienen que recorrer es igual a 24´8 km (ida). ¿Cuántos dam les queda por recorrer?.
Si a la vuelta hacen una parada en la mitad del camino, ¿cuántos km habrán recorrido desde
que salieron por la mañana?.
Una lata de atún en escabeche contiene 111 gramos, de los cuales 72´5 g corresponden al atún.
¿Cuántos dg hay de escabeche?.
Un rinoceronte de mediana edad pesa 768 kg. Se lo han llevado a una reserva de la biosfera que hay
en el Congo para que viva en libertad y en compañía de otros de su misma especie, ya que lo han
visto un poco triste y flacucho. Si en 3 meses que ha estado allí ha engordado 34 kg 234 hg,
¿cuántos quintales pesa ahora?.
Un grifo de una bañera está estropeado y desprende una gota de agua cada segundo. Se ha calculado
que 15 gotas equivalen a 1 ml. ¿Cuántos litros se perderán en un día?.
Es el mismo, pero es el único que se puede hacer de forma directa sin necesidad de aplicar el “factor
de conversión”.
Calcula las botellas de agua de 0´3 litros de capacidad que se podrán llenar con los 459´27 hl de
agua de una cisterna.
La masa de una tableta de chocolate negro es de 3 hg. Para hacer una taza de chocolate se necesitan
40 gramos de chocolate negro. ¿Cuántas se pueden hacer con la tableta?. ¿Cuántos gramos de
chocolate sobrarán?.
Pasa a incompleja o compleja, según corresponda:
a) 4 dag 6 cg 9 mg
b) 213´45 hm
c) 50´0702 q
d) 5 hl 726 dal 42 l 1 cl
La masa de 295 litros de aceite es de 270´05 kg. ¿Cuál es la masa de 1dal de aceite?
TRIGONOMETRIA
Pitágoras: Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres.
TRIGONOMETRIA
NOMBRE:
NÚMERO:
1.-Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:
2.-Sin usar calculadora, completa la siguiente tabla (0° ≤ α ≤ 90°):
α
60°
sen α
2/ 2
cos α
tg α
1
NO
EXISTE
3.-Sabiendo que α es un ángulo agudo y que el cos α = 1/5, calcula sen α y tg α.
Si cos α =
4.-
2
y 270° < α < 360° , calcula sen α y tg α .
3
5.-Calcula las razones trigonométricas de 240° dibujando previamente este ángulo en la circunferencia
goniométrica.
6.-El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte
superior del árbol es de 40°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura.
7.-La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40°.
Calcula el perímetro y el área del triángulo.
TRIGONOMETRIA
NOMBRE:
NÚMERO:
1.-Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:
2.-Sin usar calculadora, completa la siguiente tabla (0° ≤ α ≤ 90°):
α
60°
sen α
2/ 2
cos α
tg α
1
NO
EXISTE
3.-Sabiendo que α es un ángulo agudo y que el cos α = 1/5, calcula sen α y tg α.
Si cos α =
4.-
2
y 270° < α < 360° , calcula sen α y tg α .
3
5.-Calcula las razones trigonométricas de 240° dibujando previamente este ángulo en la circunferencia
goniométrica.
6.-El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte
superior del árbol es de 40°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura.
7.-La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40°.
Calcula el perímetro y el área del triángulo.
TRIGONOMETRIA
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:
Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras:
x2 + 1,22 = 1,32 → x2 + 1,44 = 1,69 →
x2 = 0,25 → x = 0,5 m
Calculamos las razones trigonométricas de α y β:
sen α =
0,5
≈ 0,38
1,3
sen β =
1,2
≈ 0,92
1,3
cos α =
cos β =
1,2
≈ 0,92
1,3
tg α =
0,5
≈ 0,38
1,3
tg β =
0,5
≈ 0,42
1,2
1,2
≈ 2,4
0,5
Sin usar calculadora, completa la siguiente tabla (0° ≤ α ≤ 90°):
α
90°
sen α
60°
0°
45°
1
3/2
0
2 /2
cos α
0
1/2
1
2/2
tg α
NO
EXISTE
3
0
1
Sabiendo que α es un ángulo agudo y que el cos α = 1/5, calcula sen α y tg α.
1
Como cos α =
5
→
sen α =
→
1
+ sen 2 α = 1 →
25
sen 2 α =
24
25
→
2 6
5
Luego, tg α =
Si cos α =
2
 1
2
 5  + sen α = 1 →
 
sen α
2 6 1
=
: = 2 6
cos α
5 5
→
tg α = 2 6
2
y 270° < α < 360° , calcula sen α y tg α .
3
En el cuarto cuadrante, sen α < 0 y tg α < 0.
2
sen α + cos α = 1 →
2
tg α =
2
 2
2

 + sen α = 1 →
3


sen α 
7
2
= −
= −
 :

cos α  3  3
7
2
= −
14
2
→
sen 2 α = 1 −
tg α = −
2
9
→
sen α = −
7
3
14
2
Calcula las razones trigonométricas de 240° dibujando previamente este ángulo en la circunferencia
goniométrica.
En el dibujo se observa que:
sen 240° = − sen 60°
→
cos 240° = − cos 60°
→
Luego: tg 240° =
3
2
1
cos 240° = −
2
sen 240° = −
sen 240° 
3   1
= −
=
 : −

cos 240°  2   2 
3
→
tg 240° =
3
El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte
superior del árbol es de 40°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de
altura.
Sea x la longitud de la sombra del árbol.
Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la
tangente es la razón trigonométrica a usar:
tg 40° =
15
x
→
x=
15
15
≈
≈ 17,86 m
tg 40° 0,84
La sombra del árbol mide 17,86 m.
La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de
40°. Calcula el perímetro y el área del triángulo.
Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos.
Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura, h, y del otro lado, x.
En cada triángulo conocemos el ángulo de 20° y el cateto opuesto a este ángulo que mide
64
= 32 cm.
2
32
→
x
h
cos 20° =
→
x
sen 20° =
32
32
≈
= 94,12 cm
sen 20° 0,34
h
cos 20° =
→ h = 94,12 ⋅ cos 20°
94,12
x=
h ≈ 94,12 · 0,94 ≈ 88,47 cm
Luego: Perímetro = 64 + 2 · 94,12 = 252,24 cm
Área =
64 ⋅ 88,47
= 2831,04 cm2
2
TRIGONOMETRIA
NOMBRE:
NÚMERO:
1.-Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo en el que uno de sus catetos
mide 2,5 cm y la hipotenusa, 6,5 cm.
2.-Completa el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo α, sin usar calculadora:
α
sen α
cos α
30°
3
2
2
2
tg α
Calcula el coseno y la tangente de un ángulo cuyo seno vale
3.-
3
.
5
4.-Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°.
a) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado?
b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
TRIGONOMETRIA
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo en el que uno de sus
catetos mide 2,5 cm y la hipotenusa, 6,5 cm.
Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor aplicando el teorema de Pitágoras:
x2 + 2,52 = 6,52 → x2 + 6,25 = 42,25 → x2 = 36
Luego x = 6 cm es la longitud del otro cateto.
• Calculamos las razones trigonométricas de α:
6
≈ 0,92
6,5
2,5
cos α =
≈ 0,38
6,5
6
tg α =
≈ 2,4
2,5
sen α =
• Calculamos las razones trigonométricas de β:
2,5
≈ 0,38
6,5
6
cos β =
≈ 0,92
6,5
2,5
tg β =
≈ 0,42
6
sen β =
Completa el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo α, sin usar
calculadora:
α
60°
45°
30°
sen α
3
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
2
3
1
3
3
cos α
tg α
Calcula el coseno y la tangente de un ángulo cuyo seno vale
2
sen α + cos α = 1 →
2
cos 2 α = 1 −
2
9
25
→
 3
2
 5  + cos α = 1 →
 
16
cos 2 α =
→
25
9
+ cos 2 α = 1
25
4
cos α =
5
3
.
5
tg α =
sen α
3 4 3
= : =
cos α
5 5 4
→
tg α =
3
4
Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°.
a) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado?
b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
h → altura que alcanza el tronco apoyado en la pared.
x → distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
La hipotenusa del triángulo que se forma mide 6,2 m, y un ángulo agudo, 55°.
Así:
a ) sen 55° =
h
6,2
→
h = 6,2 ⋅ sen 55° ≈ 6,2 ⋅ 0,82 = 5,08 m
El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.
b ) cos 55° =
x
6,2
→
x = 6,2 ⋅ cos 55° ≈ 6,2 ⋅ 0,57 = 3,53 m
La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m.
MATEMÁTICAS 4 ESO OPC B SEMEJANZAS Y TRIGONOMETRÍA.
APELLIDOS Y NOMBRE:
_________________________________________________________
1.- (1 punto) Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β del triángulo ABC
sabiendoque es rectángulo.
AC=12,96 CM
AB=17.28
2.- (1,5 punto) Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y
sabiendo que α es un ángulo agudo:
sen α
cos α
tgα
0,25
0,6
3.- (1,5 punto) Calcula senα y cosα sabiendo que la tgα= 5 − y α∈ 2º cuadrante. Utiliza la
calculadora para calcular el ángulo α y da el resultado en grados, minutos y segundos.
4.- (1,5 punto) Calcula las razones trigonométricas de 240º dibujando previamente este
ángulo en la circunferencia goniométrica. ¿Cuántos radianes son?
5.- (1,5 punto) Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el
tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60º. ¿A qué distancia de la casa cae el cable?
6.- (1,5 punto) Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que
está
en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y
obtiene
35º; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25º. Calcula
la
altura del árbol y la anchura de río.
DERIVADAS
El que no se equivoca nunca es porque nunca hace nada.
ACTIVIDAD DE SINTESIS:DERIVADAS 1º BACH CCSS
Ejercicio nº 1.Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes
e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:
a) [ − 1, 0]
b) [ 1, 2]
Ejercicio nº 2.Calcula, utilizando la definición de derivada, f´ (1) para la función f ( x ) =
x− 1
.
3
Ejercicio nº 3.Halla la derivada de la función f ( x ) = 2 x 2, aplicando la definición de derivada.
Ejercicio nº 4.Halla la derivada de:
a) f ( x ) = x 3 − 3 x 2 +
b) f ( x ) = cos x
1
5
Ejercicio nº 5.Calcula la derivada de las funciones siguientes:
3x − 1
x2 − 2
b) f ( x ) = x 2 sen x
a) f ( x ) =
Ejercicio nº 6.Calcula la función derivada de:
 x+ 1 
f ( x ) = sen 

 2x − 3 
Ejercicio nº 7.Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y =
x que sea paralela a la recta y =
Ejercicio nº 8.Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:
f ( x ) = x 4 − 2x 2
1
x+ 1
4
Ejercicio nº 9.Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:
f ( x ) = 3x 2 − 2x + 1
Ejercicio nº 10.Haz la gráfica de una función f ( x ) , sabiendo que :
• Es continua.
• lim f ( x ) = + ∞ ;
x→ + ∞
lim f ( x ) = + ∞
x→ − ∞
• Su derivada se anula en ( − 3, − 2 ) , en ( 0, 2 ) y en ( 2, − 3 ) .
• Corta a los ejes en los puntos ( − 4, 0 ) , ( − 2, 0 ) , ( 1, 0 ) , ( 3, 0 ) y
( 0, 2 ) .
Ejercicio nº 11.A partir de la gráfica de f (x), di cuáles son sus asíntotas, indica la posición de la curva respecto a
ellas y halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:
Ejercicio nº 12.Representa la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:
f ( x ) = x 3 − 12 x
Ejercicio nº 13.Estudia y representa la siguiente función:
f (x) =
x2
x− 2
Ejercicio nº 14.Estudia y representa la siguiente función:
f (x) =
x3
x− 2
Ejercicio nº 15.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres
más relevantes:
f (x) =
x2
x2 + 1
Ejercicio nº 16.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres
más relevantes:
f (x) =
2x 3
x2 + 2
Ejercicio nº 17.Estudia y representa la función:
f (x) =
x4 + 1
x2
Actividad de Síntesis DERIVADAS
Soluciones
Ejercicio nº 1.Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes
e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:
a) [ − 1, 0]
b) [ 1, 2]
Solución:
a) T.V.M. [ − 1, 0] =
f ( 0 ) − f ( − 1) 1 − ( − 1) 1 + 1
=
=
= 2
0 − ( − 1)
1
1
Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en [-1,0]. (También se
puede apreciar directamente en la gráfica).
b) T.V.M. [ 1, 2] =
f ( 2) − f ( 1) 0 − 2
=
= −2
2− 1
1
La función decrece en este intervalo.
Ejercicio nº 2.Calcula, utilizando la definición de derivada, f´ (1) para la función f ( x ) =
Solución:
f ( 1 + h ) − f (1)
f ' ( 1) = lim =
= lim
h→ 0
h→ 0
h
h
1 1
= lim 3 = lim =
h→ 0 h
h→ 0 3
3
Ejercicio nº 3.-
1+ h − 1
− 0
3
=
h
x− 1
.
3
Halla la derivada de la función f ( x ) = 2 x 2, aplicando la definición de derivada.
Solución:
f ( x + h) − f ( x )
2( x + h ) − 2 x 2
= lim
=
h→ 0
h→ 0
h
h
2
f ' ( x ) = lim
(
)
2 x 2 + h 2 + 2 xh − 2 x 2
2 x 2 + 2h 2 + 4 xh − 2 x 2
= lim
=
h→ 0
h→ 0
h
h
= lim
h( 2h + 4 x )
2h 2 + 4 xh
= lim
= lim ( 2h + 4 x ) = 4 x
h→ 0
h
→
0
h→ 0
h
h
= lim
Ejercicio nº 4.Halla la derivada de:
a) f ( x ) = x 3 − 3 x 2 +
b) f ( x ) = cos x
1
5
Solución:
a) f ' ( x ) = 3x 2 − 6x
b ) f ' ( x ) = − sen x
Ejercicio nº 5.Calcula la derivada de las funciones siguientes:
3x − 1
x2 − 2
b) f ( x ) = x 2 sen x
a) f ( x ) =
Solución:
a) f ' ( x ) =
(
)
3 x 2 − 2 − ( 3 x − 1) 2 x
(x
2
− 2
)
2
=
b) f ' ( x ) = 2 x senx + x 2 cos x
Ejercicio nº 6.Calcula la función derivada de:
3 x 2 − 6 − 6 x 2 + 2x
(x
2
− 2
)
2
=
− 3x 2 + 2x − 6
(x
2
− 2
)
2
 x+ 1 
f ( x ) = sen 

 2x − 3 
Solución:
 x + 1  ( 2 x − 3 ) − ( x + 1) 2 2 x − 3 − 2 x − 2
 x+ 1 
f ' ( x ) = cos 
=
⋅ cos 
⋅
 =
2
2
( 2x − 3 )
( 2x − 3 )
 2x − 3 
 2x − 3 
− 5
 x+ 1 
=
⋅ cos 

( 2x − 3) 2
 2x − 3 
Ejercicio nº 7.Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y =
x que sea paralela a la recta y =
Solución:
• y' =
1
2 x
• La pendiente de la recta es y ' =
1
4
⇒
1
2 x
=
1
⇒ x= 4
4
• Cuando x = 4 , y = 2
• La recta será:
y = 2+
1
( x − 4) = 2 + 1 x − 1 = 1 x + 1
4
4
4
Ejercicio nº 8.Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:
f ( x ) = x 4 − 2x 2
Solución:
x = −1 →

• f ' ( x ) = 4x 3 − 4x = 4x x 2 − 1 = 0  x = 0 →

 x = 1 →
• Hallamos las ramas infinitas:
(
(
)
lim x 4 − 2 x 2 = + ∞
x→ + ∞
)
(
Punto
Punto
Punto
)
lim x 4 − 2 x 2 = + ∞
x→ − ∞
( − 1, − 1)
( 0, 0)
( 1, − 1)
1
x+ 1
4
−1
1
−1
Mínimo en ( − 1, − 1) y en ( 1, − 1) ; máximo en ( 0, 0 )
Ejercicio nº 9.Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:
f ( x ) = 3x 2 − 2x + 1
Solución:
• f ' ( x ) = 6x − 2
• Estudiamos el signo de la derivada:
1
6x − 2 = 0 ⇒ x =
3
6x − 2 > 0
⇒
6x > 2
⇒
6x − 2 < 0
⇒
6x < 2
⇒
2
1
⇒ x>
6
3
1
x<
3
x>
1
1

1
 
• La función decrece en  − ∞ ,  , crece en  , + ∞   y tiene un mínimo en x =  .
3
3

3
 
Ejercicio nº 10.Haz la gráfica de una función f ( x ) , sabiendo que :
• Es continua.
• lim f ( x ) = + ∞ ;
x→ + ∞
lim f ( x ) = + ∞
x→ − ∞
• Su derivada se anula en ( − 3, − 2 ) , en ( 0, 2 ) y en ( 2, − 3 ) .
• Corta a los ejes en los puntos ( − 4, 0 ) , ( − 2, 0 ) , ( 1, 0 ) , ( 3, 0 ) y
Solución:
( 0, 2 ) .
Ejercicio nº 11.A partir de la gráfica de f (x), di cuáles son sus asíntotas, indica la posición de la curva respecto a
ellas y halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:
Solución:
• Asíntota vertical: x = −1
Posición de la curva:
lim− f ( x ) = + ∞ ;
lim+ f ( x ) = − ∞
x→ − 1
x→ − 1
• Asíntota horizontal: y = 2
Posición de la curva:
 Si x → − ∞ , y > 2

 Si x → + ∞ , y < 2
• La función es creciente en ( − ∞ , − 1) y en ( − 1, + ∞ ).
Ejercicio nº 12.-
Representa la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:
f ( x ) = x 3 − 12 x
Solución:
•
•
(
)
lim x 3 − 12 x = + ∞ ;
x→ + ∞
(
)
lim x 3 − 12 x = − ∞
x→ − ∞
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X
(
 x = − 12 → Punto − 12 , 0

x − 12 x = x x − 12 = 0  x = 0 → Punto ( 0, 0 )
 x = 12 → Punto
12 , 0

→
(
3
)
2
(
Con el eje Y → x = 0 → y = 0
•
Puntos singulares:
f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 = 0
•
⇒
x2 = 4
Punto ( − 2, 16 )
 x = − 2 →

 x = 2 →
⇒
Punto ( 2, − 16 )
Gráfica:
Ejercicio nº 13.Estudia y representa la siguiente función:
f (x) =
x2
x− 2
Solución:
•
Dominio = R − {2}
•
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X →
y = 0
→
x2
= 0
x− 2
Con el eje Y →
x= 0
→
y = 0
→
→
x= 0
→
Punto ( 0, 0 )
Punto ( 0, 0 )
)
)
•
Asíntota vertical: x = 2
lim f ( x ) = − ∞ ;
lim f ( x ) = + ∞
x → 2−
x → 2+
Asíntota oblicua:
x2
4
= x + 2+
x− 2
x− 2
•
y = x + 2 es asíntota oblicua.
Si x → + ∞ ,
4
> 0
x− 2
⇒
La curva está por encima de la asíntota.
Si x → − ∞ ,
4
< 0
x− 2
⇒
La curva está por debajo de la asíntota.
Puntos singulares:
f ' (x) =
2 x ( x − 2) − x 2
f ' (x) = 0
•
⇒
( x − 2)
⇒
2
=
2x 2 − 4x − x 2
( x − 2)
x ( x − 4) = 0
⇒
2
=
x = 0→


 x = 4 →
Gráfica:
Ejercicio nº 14.Estudia y representa la siguiente función:
f (x) =
x3
x− 2
Solución:
•
Dominio = R − {2}
•
Puntos de corte con los ejes:
x 2 − 4x
( x − 2)
2
=
x ( x − 4)
( x − 2) 2
Punto ( 0, 0 )
Punto ( 4 , 8 )
•
Con el eje X →
y = 0
→
Con el eje Y →
x= 0
→
x3
= 0
x− 2
y = 0
→
→
x= 0
Punto ( 0, 0 )
→
Punto ( 0, 0 )
Asíntota vertical: x = 2
lim f ( x ) = − ∞ ;
lim f ( x ) = + ∞
x → 2−
x → 2+
Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el grado del
denominador).
lim f ( x ) = + ∞ ;
lim f ( x ) = + ∞
x→ + ∞
•
Puntos singulares
f ' (x) =
3 x 2 ( x − 2) − x 3
f ' (x) = 0
•
x→ − ∞
( x − 2) 2
⇒
=
3x 3 − 6x 2 − x 3
( x − 2) 2
2 x 2 ( x − 3) = 0 ⇒
x = 0



 x = 0
=
2x 3 − 6x 2
( x − 2) 2
=
2 x 2 ( x − 3)
( x − 2) 2
→
Punto
( 0, 0 )
→
Punto
( 3, 27 )
Gráfica:
Ejercicio nº 15.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres
más relevantes:
f (x) =
Solución:
•
Dominio = R
x2
x2 + 1
•
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X →
y = 0
Con el eje Y →
•
x= 0
→
→
x2
= 0 → x= 0 →
x2 + 1
y = 0 →
Punto ( 0, 0 )
Punto ( 0, 0 )
No tiene asíntotas verticales.
Asíntota horizontal: y = 1
lim f ( x ) = 1, con y < 1
x→ + ∞
lim f ( x ) = 1, con y < 1
x→ − ∞
•
Puntos singulares:
f ' (x) =
f ' (x) = 0
•
(
)
2x x 2 + 1 − x 2 ⋅ 2x
(x
⇒
2
)
+1
2
2x = 0
=
⇒
2x 3 + 2x − 2x 3
(x
x= 0
2
)
+1
→
2
=
(x
2x
2
)
+1
2
Punto ( 0, 0 )
Gráfica:
Ejercicio nº 16.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres
más relevantes:
f (x) =
2x 3
x2 + 2
Solución:
•
•
Dominio = R
Puntos de corte con los ejes:
2x 3
=
Con el eje X →
y=
0 →
0 →
x=
0 →
Punto (
0, 0 )
x2 +
2
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 →
Punto ( 0, 0 )
•
Asíntotas verticales: No tiene.
Asíntota oblicua:
2x 3
− 4x
= 2x + 2
2
x + 2
x + 2
•
y = 2 x es asíntota oblicua.
Si x → + ∞ ,
− 4x
< 0
x2 + 2
⇒ La curva está por debajo de la asíntota.
Si x → − ∞ ,
− 4x
> 0
x2 + 2
⇒ La curva está por encima de la asíntota.
Puntos singulares:
f ' (x) =
(
)
6 x 2 x 2 + 2 − 2x 3 ⋅ 2 x
f ' (x) = 0
•
⇒
(x
2
+ 2
(
)
2
)
2x 2 x 2 + 6 = 0
⇒
Gráfica:
Ejercicio nº 17.Estudia y representa la función:
f (x) =
x4 + 1
x2
Solución:
•Dominio = R − {0}
•
=
Puntos de corte con los ejes:
6 x 4 + 12 x 2 − 4 x 4
(x
⇒
2
+ 2
x= 0
)
2
→
=
2 x 4 + 12 x 2
(x
2
+ 2
)
Punto ( 0, 0 )
2
=
(
2x 2 x 2 + 6
(x
2
+ 2
)
2
)
Con el eje X →
y = 0
→
x4 + 1= 0
→ no corta al eje X
Con el eje Y → No corta al eje Y, pues x = 0 no está en el dominio.
•
Asíntota vertical: x = 0
lim f ( x ) = + ∞ ;
lim f ( x ) = + ∞
x → 0−
x → 0+
Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del
denominador).
lim f ( x ) = + ∞ ;
lim f ( x ) = + ∞
x→ + ∞
•
x→ − ∞
Puntos singulares:
f ' (x) =
(
)
4x 3 ⋅ x 2 − x 4 + 1 ⋅ 2x
(x )
2 2
(
)
=
4 x 5 − 2x 5 − 2 x
x
4
=
2 x 5 − 2x
x
4
f ' (x) = 0 ⇒ 2 x 4 − 1 = 0 ⇒ x 4 − 1 = 0 ⇒ x 4 = 1 ⇒ x = ±
•
Gráfica:
4
=
(
) = 2( x
2x x 4 − 1
x
4
4
x
)
−1
3
1 = ± 1 → Puntos ( − 1, 2) y ( 1, 2)
FUNCIONES
Lo que oyes lo olvidas, lo que ves lo recuerdas,
lo que haces lo aprendes.
FUNCIONES.ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN 3º ESO
NOMBRE:
NÚMERO:
1.-El consumo de agua en un colegio viene dado por esta gráfica:
a) ¿Durante qué horas el consumo de agua es nulo? ¿Por qué?
b) ¿A qué horas se consume más agua? ¿Cómo puedes explicar esos puntos?
c) ¿Qué horario tiene el colegio?
d) ¿Por qué en el eje X solo consideramos valores entre 0 y 24?¿Qué significado tiene?
2.-¿Cuál es la gráfica que corresponde a cada una de las siguientes situaciones? Razona tu respuesta.
a) Recorrido realizado por un autobús urbano.
b) Paseo en bicicleta por el parque, parando una vez a beber agua.
c) Distancia recorrida por un coche de carreras en un tramo de un circuito.
d) Un cartero repartiendo el correo.
La velocidad de un móvil en función del tiempo que tarda en recorrer 1 km viene dada por la siguiente
gráfica:
a) ¿Es una función creciente o decreciente?
b) ¿Cuál es la velocidad cuando t = 1 hora?
¿Y cuando t = 2 horas?
¿Y cuando t = 15 minutos?
c) Al aumentar el tiempo, ¿a qué valor tiende la velocidad?
Construye una gráfica correspondiente al caudal de agua de un río durante un año, sabiendo que:
Desde enero hasta abril el caudal fue aumentando. En abril el río tenía el máximo caudal del año. A partir
de este momento, el caudal fue disminuyendo hasta que, en agosto, alcanzó su mínimo. Desde ese
momento hasta finales de año, el caudal fue aumentando. En diciembre, el caudal era,
aproximadamente, el mismo que cuando comenzó el año.
Asocia cada gráfica con su expresión analítica:
a) y = 4 x
b) y = x + 4
c) y = x − 4
d) y = x 4
FUNCIONES,ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN.SOLUCIONES
El consumo de agua en un colegio viene dado por esta gráfica:
a) ¿Durante qué horas el consumo de agua es nulo? ¿Por qué?
b) ¿A qué horas se consume más agua? ¿Cómo puedes explicar esos puntos?
c) ¿Qué horario tiene el colegio?
d) ¿Por qué en el eje X solo consideramos valores entre 0 y 24?¿Qué significado tiene?
a) Desde las 18 horas de un día hasta las 8 horas del día siguiente (o bien, desde las 0 horas hasta las 8 h,
y desde las 18 h hasta las 24 h).
El consumo es nulo porque el colegio está cerrado.
b) A las 12 de la mañana (hora del recreo) y a las 4 de la tarde (posible recreo de la tarde, o
bien, hora de deportes).
c) De 8 de la mañana a 6 de la tarde (a 18:00).
d) Son las horas de un día completo.
¿Cuál es la gráfica que corresponde a cada una de las siguientes situaciones? Razona tu respuesta.
a) Recorrido realizado por un autobús urbano.
b) Paseo en bicicleta por el parque, parando una vez a beber agua.
c) Distancia recorrida por un coche de carreras en un tramo de un circuito.
d) Un cartero repartiendo el correo.
En la gráfica I, la velocidad es constante (y es la mayor velocidad que hay en las cuatro gráficas). En las
gráficas II y III se hacen varias paradas; pero en la III la velocidad es mayor. En la IV se hace una sola
parada. Por tanto:
a) III
b) IV
c) I
d) II
La velocidad de un móvil en función del tiempo que tarda en recorrer 1 km viene dada por la
siguiente gráfica:
a) ¿Es una función creciente o decreciente?
b) ¿Cuál es la velocidad cuando t = 1 hora?
¿Y cuando t = 2 horas?
¿Y cuando t = 15 minutos?
c) Al aumentar el tiempo, ¿a qué valor tiende la velocidad?
Solución:
a) Es decreciente, pues al aumentar el tiempo, disminuye la velocidad.
b) Cuando t = 1 hora → v = 1 km/h
Cuando t = 2 horas → v = 0,5 km/h
Cuando t = 15 minutos = ¼ hora → v = 4 km/h
c) Al aumentar el tiempo, la velocidad tiende a cero.
Construye una gráfica correspondiente al caudal de agua de un río durante un año, sabiendo que:
Desde enero hasta abril el caudal fue aumentando. En abril el río tenía el máximo caudal del año.
A partir de este momento, el caudal fue disminuyendo hasta que, en agosto, alcanzó su mínimo.
Desde ese momento hasta finales de año, el caudal fue aumentando. En diciembre, el caudal era,
aproximadamente, el mismo que cuando comenzó el año.
Solución:
Hay muchas opciones para la respuesta. Una de ellas podría ser la siguiente:
Asocia cada gráfica con su expresión analítica:
a) y = 4 x
b) y = x + 4
c) y = x − 4
d) y = x 4
Solución:
a)
b)
c)
d)
II
III
I
IV
FUNCIONES LINEALES. ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN 3º ESO
NOMBRE:
NÚMERO:
1.-Representa las rectas:
a) y = 2 x − 1
b) y = −
1
x+ 2
2
c) y = 2
2.-Representa gráficamente las rectas:
a) x − 2y = 2
b) 3 x = 9
3.-Averigua cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas:
a)
b)
c) y =
2x − 3
5
d) 3x + 2y = 5
4.-Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Tiene pendiente −2 y corta al eje Y en el punto (0, 3).
b) Pasa por los puntos M(4, 5) y N(2, −3).
5.-Un determinado día, Ana ha pagado 3,6 € por 3 dólares, y Álvaro ha pagado 8,4 € por
7 dólares.
a) Halla la ecuación de la recta que nos da el precio en euros, y, de x dólares.
b) Represéntala gráficamente.
c) ¿Cuánto habríamos pagado por 15 dólares?
FUNCIONES LINEALES. ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN SOLUCIONES
1.-Representa las rectas:
a) y = 2 x − 1
b) y = −
1
x+ 2
2
c) y = 2
a) Pasa por (0, −1) y (1, 1).
b) Pasa por (0, 2) y (2, 1).
c) Es paralela al eje X.
Representa gráficamente las rectas:
a) x − 2y = 2
b) 3 x = 9
a) y =
x− 2
2
Pasa por (2, 0) y (4, 1).
b) x = 3. No es una función. Su gráfica es una recta paralela al eje Y.
Averigua cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas:
a)
b)
c) y =
2x − 3
5
d) 3x + 2y = 5
a)
m= −
b)
2
= −2
1
m=
1
2
2
3
x−
5
5
2
m=
5
c) y =
− 3x + 5 − 3
5
=
x+
2
2
2
3
m= −
2
d) y =
Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Tiene pendiente −2 y corta al eje Y en el punto (0, 3).
b) Pasa por los puntos M(4, 5) y N(2, −3).
a) y = −2x + 3
b) m =
−3− 5 −8
=
= 4
2− 4
−2
Ecuación punto−pendiente:
y = 5 + 4 ⋅ ( x − 4)
→
y = 5 + 4 x − 16
→
y = 4 x − 11
Un determinado día, Ana ha pagado 3,6 € por 3 dólares, y Álvaro ha pagado 8,4 € por
7 dólares.
a) Halla la ecuación de la recta que nos da el precio en euros, y, de x dólares.
b) Represéntala gráficamente.
c) ¿Cuánto habríamos pagado por 15 dólares?
a) Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3; 3,6) y (7; 8,4).
m=
8,4 − 3,6 4,8
=
= 1,2
7− 3
4
Ecuación: y = 3,6 + 1,2(x − 3) → y = 1,2x
b)
c) Si x = 15 dólares, y = 1,2 · 15 = 18 €.
FUNCIONES 1º BCH CCSS.ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN.
NOMBRE:
Número:
1(1’5p).-Halla el dominio de definición de las funciones siguientes:
a) y =
1
x +1
b) y =
2
x+1
x
a) y =
1
x − 9
2
2.-(1 pto)A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición:
a)
b)
3.-(1pto)De un cuadrado de lado 10 cm se recorta una tira de x cm en la base y otra de la
misma longitud en la altura, obteniéndose un nuevo cuadrado de lado (10 − x ) :
El área de este nuevo cuadrado será:
A = (10 − x )
2
¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
4.-(1pto)Representa la gráfica de la siguiente función:
−3
x+ 1
5
5.-(1,5 ptos)Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en
concepto de matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades. Si estamos 6
meses, nos gastaremos en total 246 euros, y si estamos 15 meses, nos costará 570 euros.
¿Cuánto nos gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año?
y =
6.-(1,5 ptos)El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12
euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la
función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.
7.- (1,5ptos)Representa gráficamente:
 − 2 x + 1 si x ≤ 1
y =  2
si x > 1
x − 2
8.- (1
pto)Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente
-2.Razona si el punto (3,2) está en dicha recta.
SOLUCIONES
1.-
a) x 2 + 1 ≠ 0
b) x > 0
→
para todo x ∈ R →
Dominio =
Dominio = R
( 0, + ∞ )
C)R-{3,-3}
2.-
a) Dominio = R − { − 1}
3.-
x puede tener valores entre 0 y 10 cm. Por tanto, Dominio =
b) Dominio = [ 0 , + ∞
)
4.5.- Resolvemos el problema mediante una interpolación lineal.
Sabemos que f ( 6 ) = 246 y que f ( 15 ) = 570.
Por tanto:
570 − 246
( x − 6)
f ( x ) = 246 +
15 − 6
f ( x ) = 246 + 36( x − 6 )
f ( x ) = 36 x + 30
Luego:
f ( 12) = 36 ⋅ 12 + 30 = 462
Si estamos 12 meses nos costará 462 euros.
6.- La función que buscamos será de la forma:
y = 0,12 + m · x,
donde x son los minutos que estamos hablando.
Para hallar el valor de m tenemos en cuenta que:
x= 5
→
0,87 = 0,12 + m ⋅ 5
Así, la función es:
y = 0,12 + 0,15x
→
m = 0,15
( 0, 10 ) .
ACTIVIDAD INICIAL FUNCIONES 2º ESO
CONCEPTOS PREVIOS
• Tablas numéricas.
• Expresi6n de las coordenadas
• Puntos en el plano.
de un punta en el plano.
• Expresiones algebraicas. • Expresi6n de una funci6n.
• Valor numerico de un polinomio.
Escribe las coordenadas de los puntos A y B y sitúa en el eje de coordenadas los puntos
C = (−2, 5) y D = (1, 3).
Completa la tabla de valores para la función y = x2 − 4x y dibuja la gráfica correspondiente.
Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados:
a) El doble de un número n..................................…
b) El doble de un número n menos cuatro unidades......
c) El número anterior a un número n.........................…..
Calcula el valor numérico del polinomio para los valores que se indican:
x−2
a) Para x = 1
b) Para x = −3
EJERCICIOS FUNCIONES. ACTIVIDAD DE SINTESIS 1º CCSS
Ejercicio nº 1.Halla el dominio de definición de las funciones siguientes:
1
a) y = 2
x +1
x+1
b) y =
x
Ejercicio nº 2.Asocia a cada gráfica su ecuación:
a) y = − 3 x + 5
b) y =
( x + 2) 2
c) y = −
5
x
3
d) y = − 4 x 2
I)
II)
III)
IV)
Ejercicio nº 3.Representa la gráfica de la siguiente función:
y =
−3
x+ 1
5
Ejercicio nº 4.Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:
Ejercicio nº 5.Representa la gráfica de la siguiente función:
y = − x2 + 4
Ejercicio nº 6.Representa gráficamente:
 − 2 x + 1 si x ≤ 1
y =  2
si x > 1
x − 2
Ejercicio nº 7.Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:
1
2
Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?
Construye la función que nos da el área del recinto.
Ejercicio nº 8.Haz la gráfica de la función:
y = − 0,5 x + 3,5
Ejercicio nº 9.Halla la ecuación de la recta que pasa por ( − 1, 2 ) y cuya pendiente es −
Ejercicio nº 10.Representa gráficamente la siguiente función:
f ( x ) = − 2x 2 + 4x
Ejercicio nº 11.-
1
.
3
Dibuja la gráfica de la función:
 ( − x + 1) /2
y = 
2
− x
si x ≤ − 1
si x > − 1
Ejercicio nº 12.Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos
da el peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene.
Ejercicio nº 13.Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y =
1
x2 − 9
b) y =
x− 2
Ejercicio nº 14.Obtén la gráfica de la función:
f (x) =
x2
− 2x + 1
2
Ejercicio nº 15.Representa la siguiente función:
2

y =  2x
 2x + 4
si
si
x < −1
x ≥ −1
Ejercicio nº 16.El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del
rectángulo en función de la longitud de la base.
Ejercicio nº 17.Halla el dominio de definición de las funciones:
a) y =
b) y =
2+ x
x2
3x − 1
Ejercicio nº 18.Dibuja la gráfica de la siguiente función:
si
− x 2
y = 
−
x
+
1
2
si

x ≤ 1
x > 1
Ejercicio nº 19.El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si
hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que
nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.
Ejercicio nº 20Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y =
1
3x − x 2
b) y =
x2 − 1
Ejercicio nº 21.Asocia a cada una de estas gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
− 3x 2
a) y =
4
− 3x
b) y =
4
c) y = 2 x 2 − 2
d) y = 2 x − 2
I)
II)
III)
IV)
Ejercicio nº 22.Representa gráficamente la función:
y = − x 2 + 4x − 1
Ejercicio nº 23.Representa gráficamente la siguiente función:
 2
y =  x − 1 si
si
3
x≤ 2
x > 2
Ejercicio nº 24.En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados
centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10 °C = 50 °F y que 60 °C = 140 °F,
obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de °C a °F.
FUNCIONES .ACTIVIDAD DE SINTESIS 2º ESO
Escribe las coordenadas de los puntos A y B y sitúa en el eje de coordenadas los puntos C = (−3, 4) y D
= (0, −2).
Di cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función y cuál no, e indica el porqué:
Analiza la siguiente función y señala los intervalos constantes, los de crecimiento y los de decrecimiento:
Completa la tabla de valores para la función y = 3 −
diente.
x
1 1,5
y −5
2
4
6
8
8
y dibuja la gráfica corresponx
10
Representa la siguiente función, indica qué tipo de función es y señala cuál es su pendiente:
y = −3x
Representa la siguiente función, indica qué tipo de función es y señala cuál es su pendiente:
y = 2x − 2
Indica cuál es la pendiente de esta función. ¿Corta al eje Y?
Señala cuál es la pendiente y el punto de corte con el eje vertical en la función:
1
y = x+ 2
2
Indica cuál es la ecuación de esta función:
Escribe la ecuación de una recta paralela al eje horizontal y represéntala.
Un pilón que contiene 2 000 litros de agua se nutre con una motobomba que arroja un caudal de 10 l /s.
Escribe una ecuación que relacione el tiempo (x) con la cantidad de agua del pilón (y) y represéntala.
FUNCIONES ACTIVIDAD DE SINTESIS 2º ESO SOLUCIONES
Escribe las coordenadas de los puntos A y B y sitúa en el eje de coordenadas los puntos C = (−3,
4) y D = (0, −2).
A = (2, 4)
B = (3, −2)
Di cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función y cuál no, e indica el porqué:
Sí, porque a cada valor de x le
corresponde un solo valor de y.
No, porque a algunos valores de x le
corresponden varios valores de y.
Analiza la siguiente función y señala los intervalos constantes, los de crecimiento y los de
decrecimiento:
La función es creciente en su totalidad.
Completa la tabla de valores para la función y = 3 −
8
y dibuja la gráfica corresponx
diente.
x
1
y
−5
1,5
)
− 2,3
2
4
6
8
10
−1
1
1,6
2
2,2
Representa la siguiente función, indica qué tipo de función es y señala cuál es su pendiente:
y = −3x
x
y
0
0
1
2
− 3 − 6
−1
3
Es una función de proporcionalidad y su pendiente es −3.
Representa la siguiente función, indica qué tipo de función es y señala cuál es su pendiente:
y = 2x − 2
x
y
0
− 2
1
0
2
2
−1
− 4
Es una función lineal de la forma y = mx + n. Su pendiente es 2 y corta al eje Y en el punto
(0, −2).
Indica cuál es la pendiente de esta función. ¿Corta al eje Y?
Su pendiente es 1 y corta al eje Y en (0, −2).
Señala cuál es la pendiente y el punto de corte con el eje vertical en la función:
1
x+ 2
2
1
Pendiente :
2
Punto de corte: (0, 2)
y =
Indica cuál es la ecuación de esta función:
x
y
0
−1
1
0
2
1
Su pendiente es 1 y corta el eje Y en (0, −1).
y=x−1
Escribe la ecuación de una recta paralela al eje horizontal y represéntala.
Por ejemplo: y = 3
Un pilón que contiene 2 000 litros de agua se nutre con una motobomba que arroja un caudal de 10 l
/s. Escribe una ecuación que relacione el tiempo (x) con la cantidad de agua del pilón (y) y
represéntala.
Solución:
y = 10x + 2 000
x
y
0
2000
1 min
2 600
2 min 3 min 4 min 5 min 6 min
3 200 3800 4 400 5000 5 600
FUNCIONES.ACTIVIDAD DE SINTESIS 3º ESO
Pregunta 1
A un vendedor le proponen dos formas distintas de cobrar el sueldo:
a) Sueldo fijo de 40 euros al día.
b) Por comisión: gana 1,50 euros por cada producto que venda.
Averigua cuántos productos tiene que vender al día para que le salga más ventajoso trabajar por comisión.
(Indicación: representa las dos funciones de las posibilidades a) y b) sobre los mismos ejes).
Solución:
Si llamamos y a los euros que gana, y x a los productos que vende:
a) y = 40
b) y = 1,50 x
Debe vender 30 productos (observando la gráfica), más exactamente 27.
Pregunta 2
Comenta la evolución de los matrimonios, nacimientos y defunciones de los últimos años, interpretando la
gráfica siguiente:
Evolución de los nacimientos, defunciones,
matrimonios, saldo vegetativo y saldo migratorio
Solución:
El número de matrimonios se ha mantenido más o menos constante desde 1985 hasta 1999 (en torno a los
200.000 al año). Sin embargo, la diferencia entre nacimientos y defunciones existente en 1985 (había
muchos más nacimientos que defunciones) ha disminuido hasta quedar prácticamente igual el número de
nacimientos y defunciones en 1999.
Pregunta 3
Para pagar una compra en 3 plazos sin intereses resulta que nos sale a pagar 65 euros al mes. La función
que expresa lo que llevamos pagado en función de los meses transcurridos es y = 65x. Indica cuál es
dominio y el recorrido de esta función.
Solución:
Dominio = {1, 2, 3}.
Recorrido = {65, 130, 195}.
Pregunta 4
Indica si la siguiente función es continua o no, y determina sus máximos y mínimos.
Solución:
Es continua.
Tiene dos mínimos en los puntos (-5, -1) y (2, -3), este último es el mínimo absoluto de la función.
Tiene dos máximos en los puntos (-2, 2) y (4, 3) y este último es el máximo absoluto de la función.
Pregunta 5
Relaciona cada texto con su gráfica correspondiente:
Texto 1: "Luis sale de su casa hacia el polideportivo. En mitad del camino se para a descansar y luego
continúa".
Texto 2: "Luis sale de su casa hacia el polideportivo. Cuando lleva un rato andando se da cuenta de que se
ha olvidado los zapatos de deporte, por lo que tiene que volver a su casa a por ellos y luego correr al
polideportivo".
Gráfica 1:
Gráfica 2:
Solución:
La gráfica 1 corresponde al texto 2, y la gráfica 2 al texto 1.
Pregunta 6
Representa gráficamente la función y = 3x+2.
Solución:
Pregunta 7
Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función:
Solución:
Es siempre decreciente en todo su dominio, es decir, en (
,0)
Object 1
(0,
).
Pregunta 8
Representa gráficamente la función y = -x+1.
Solución:
Pregunta 9
Indica el dominio y el recorrido de la función representada en la siguiente gráfica:
Solución:
Dominio = Todos los números reales menos el cero =
Recorrido = Todos los números reales menos el cero =
- {0}.
- {0}.
Pregunta 10
Analiza la siguiente gráfica comentando los datos que representa:
Tasas de fecundidad por edades simples
Solución:
En el año 1975 había muchos más nacimientos que en el 85 y el 98: Va disminuyendo el número de
nacimientos.
Otra cosa que se puede apreciar en la gráfica es que la edad en que se tienen los hijos se ha postergado:
en el 98 se alcanza el máximo de fecundidad a los 30 o 31 años, mientras que en el 75 y en el 85 se
alcanzaba sobre los 26 o 27 años.
Pregunta 11
Para hacer un curso de inglés hay que pagar una matrícula de 50 euros y una cantidad mensual de 30
euros. Haz una tabla donde se refleje lo que se lleva pagado cada mes desde el principio de las clases
hasta el quinto mes, y luego representa la gráfica para averiguar cuánto pagaremos en diez meses.
Solución:
Mes
1
Cantidad
2
110
3
140
4
170
5
200
80
En diez meses habremos pagado 350 euros.
Pregunta 12
Alicia tuvo un hijo que al nacer pesó 3,180 kg. Al mes pesaba 4,5 kg; a los dos meses 5,7 kg; a los tres
meses 6,3 kg; a los cuatro meses 6,9 kg; a los cinco meses 7,6 kg; a los seis meses 8,3 kg; a los ocho
meses 9,6 kg; a los nueve meses 10 kg; a los diez meses 10,8 kg; a los once meses 11,3 kg y al año 11,7
kg. Haz una tabla y una gráfica que refleje el peso del bebé a lo largo del primer año de vida. Intenta
averiguar aproximadamente cuánto pesaba a los siete meses.
Solución:
Meses 0
Peso 3,18
1
2
3
4
5
6
4,5
5,7
6,3
6,9
7,6
8,3
7
8
9
9,6
10
10
11
12
10,8 11,3 11,7
Peso
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Meses
A los siete meses pesaba alrededor de 9 kg.
Pregunta 13
Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función:
Solución:
Es siempre creciente en todo su dominio.
Pregunta 14
Queremos desplazarnos en coche a otra ciudad que está a 240 km. La función t = e/80 nos da el valor del
tiempo transcurrido (t) en función del espacio recorrido (e) si viajamos a una velocidad constante de 80
km/h. Indica el dominio y recorrido de esta función.
Solución:
Dominio = [0, 240].
Recorrido = [0, 3].
Pregunta 15
Representa gráficamente la función y = -2.
Solución:
Pregunta 16
Observa la gráfica de la siguiente función.
Construye una tabla con los puntos O, P, Q, R y expresa mediante una fórmula la función.
Solución:
x
0
1
2
3
y
0
1
2
3
La función es y = x.
Pregunta 17
La edad de Pedro es el doble de la de Juan. Expresa esta función mediante una fórmula y haz una tabla con
algunos de sus puntos.
Solución:
Si llamamos y a la edad de Pedro y x a la de Juan, la función sería y = 2x.
Algunos de sus valores serían los de la siguiente tabla:
x
1
y
2
5
15
10
30
Pregunta 18
Representa gráficamente la función y = (x-1)2 .
Solución:
Pregunta 19
Indica si la siguiente función es continua o no, y determina sus máximos y mínimos.
Solución:
Es continua.
Tiene un mínimo en x = 2 y vale 1, es decir, en el punto (2, 1).
Pregunta 20
Compara el número medio de hijos por mujer en España con otros países representados en la siguiente
gráfica:
Número medio de hijos por mujer
Solución:
Mientras que en el año 1980 España era el país que tenía más número de hijos por mujer, en el año 1998
ha pasado a ser el que menos tiene. Ha sido el país en el que más ha descendido la natalidad.
Pregunta 21
Un coche va a una velocidad constante de 90 km/h. Haz una gráfica donde se aprecie el espacio recorrido
en función del tiempo y responde:
a) ¿Qué espacio habrá recorrido en 3 horas?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 720 km?
Solución:
e = 90 t
a) 270 km.
b) 8 horas.
Pregunta 22
Indica si la siguiente función es continua o no, y determina sus máximos y mínimos.
Solución:
Es discontinua en x = -3.
Tiene un máximo en el punto (-3, 3). No tiene mínimos.
Pregunta 23
Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función:
Solución:
Creciente: (
, 0).
Decreciente: (0, ).
SOLUCIONES
EJERCICIOS FUNCIONES
Ejercicio nº 1.Halla el dominio de definición de las funciones siguientes:
a) y =
b) y =
1
x +1
x+1
2
x
Solución:
a) x 2 + 1 ≠ 0
para todo x ∈ R →
b) x > 0
Dominio =
→
( 0, + ∞ )
Dominio = R
Ejercicio nº 2.Asocia a cada gráfica su ecuación:
a) y = − 3 x + 5
b) y =
( x + 2) 2
c) y = −
5
x
3
d) y = − 4 x 2
I)
II)
III)
IV)
Solución:
a)
b)
c)
d)
IV
I
III
II
Ejercicio nº 3.Representa la gráfica de la siguiente función:
y =
−3
x+ 1
5
Solución:
Ejercicio nº 4.Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:
Solución:
Observamos que la recta pasa por los puntos ( 0, 20 ) y
m=
80 − 20 60 6
=
=
50 − 0
50 5
Por tanto, su ecuación es:
y =
6
x + 20
5
Ejercicio nº 5.Representa la gráfica de la siguiente función:
y = − x2 + 4
Solución:
( 50, 80 ) . Su pendiente será:
• El vértice de la parábola está en
( 0, 4) .
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X →
y = 0 → − x2 + 4 = 0
→ x= ± 4 = ± 2
Con el eje Y →
x= 0
→
→
y = 4
Puntos
→
⇒
(−
x2 = 4
→
2, 0 ) y ( 2, 0 )
Punto ( 0, 4 )
• Hallamos algún otro punto:
• La gráfica es
Ejercicio nº 6.Representa gráficamente:
 − 2 x + 1 si x ≤ 1
y =  2
si x > 1
x − 2
Solución:
Si x ≤ 1, tenemos un trozo de recta.
Si x > 1, es un trozo de parábola.
La gráfica es:
Ejercicio nº 7.Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:
3
4
Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?
Construye la función que nos da el área del recinto.
Solución:
a)
b) Área = x ( 200 − 2 x ) = 200 x − 2 x 2
Ejercicio nº 8.Haz la gráfica de la función:
y = − 0,5 x + 3,5
Solución:
Ejercicio nº 9.Halla la ecuación de la recta que pasa por ( − 1, 2 ) y cuya pendiente es −
Solución:
Escribimos la ecuación punto−pendiente:
y = −
1
( x + 1) + 2
3
Operando, llegamos a:
−1
x−
3
−1
y =
x+
3
y =
1
−1
5
+ 2=
x+
3
3
3
5
3
Ejercicio nº 10.Representa gráficamente la siguiente función:
f ( x ) = − 2x 2 + 4x
1
.
3
Solución:
• El vértice de la parábola es:
x=
−b −4
=
= 1 →
2a − 4
y = 2
Punto ( 1, 2)
→
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X → y = 0 → − 2 x 2 + 4 x = 0 → x ( − 2 x + 4 ) = 0
x = 0

 − 2x + 4 = 0
Con el eje Y →
x= 0
→
→
→
y = 0
Punto ( 0, 0 )
x= 2 →
Punto ( 2, 0 )
→
Punto ( 0, 0 )
• Hallamos algún otro punto:
• La gráfica es:
Ejercicio nº 11.Dibuja la gráfica de la función:
 ( − x + 1) /2
y = 
2
− x
Solución:
Si x ≤ -1, es un trozo de recta.
Si x > -1, es un trozo de parábola.
La gráfica es:
Ejercicio nº 12.-
si x ≤ − 1
si x > − 1
Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos da el
peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene.
Solución:
El peso del cántaro vacío es de 2,55 kg. Si echamos x litros de agua, pesará x kg más, es decir, la función
que buscamos es:
y = 2,55 + x
donde x e y están en kilos. Además, x varía entre 0 y 20, es decir, 0 ≤ x ≤ 20.
Ejercicio nº 13.Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y =
1
x − 9
b) y =
x− 2
2
Solución:
a) x 2 − 9 = 0
b) x − 2 ≥ 0
⇒
⇒
x2 = 9
x≥ 2
⇒
→
x= ±
9 = ±3
Dominio = [ 2, + ∞
)
Dominio = R − { − 3, 3}
→
Ejercicio nº 14.Obtén la gráfica de la función:
f (x) =
x2
− 2x + 1
2
Solución:
• Hallamos el vértice de la parábola:
x=
−b 2
=
= 2
2a 1
→
y = −1 →
Punto
( 2, − 1)
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X →
y = 0
x=
Con el eje Y →
→
16 − 8  x = 3,41

2
 x = 0,59
4±
x= 0
→
• Hallamos algún otro punto:
• La gráfica es:
x2
− 2x + 1 = 0
2
y = 1 →
⇒
x 2 − 4x + 2 = 0
→
Punto ( 3,41; 0 )
→
Punto ( 0,59 ; 0 )
Punto
( 0, 1)
f (x) =
x2
− 2x + 1
2
Ejercicio nº 15.Representa la siguiente función:
2

y =  2x
 2x + 4
si
si
x < −1
x ≥ −1
Solución:
Si x < -1, tenemos un trozo de parábola.
Si x ≥ -1, tenemos un trozo de recta.
La gráfica es:
Ejercicio nº 16.El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en
función de la longitud de la base.
Solución:
Llamamos x a la longitud de la base.
Si el perímetro es de 30 cm, la altura será 15 − x.
Por tanto, el área es:
A = x (15 − x ) = 15 x − x 2
Ejercicio nº 17.Halla el dominio de definición de las funciones:
a) y =
2+ x
x2
b) y =
3x − 1
Solución:
a) x = 0
2
⇒
b) 3 x − 1 ≥ 0
x= 0
⇒
→
Dominio = R − { 0}
3x ≥ 1 ⇒
x ≥
1
3
→
1

Dominio =  , + ∞ 
3

Ejercicio nº 18.Dibuja la gráfica de la siguiente función:
si
− x 2
y = 
 − x + 1 2 si
x ≤ 1
x > 1
Solución:
Son dos trozos de recta.
La gráfica es:
Ejercicio nº 19.El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos
durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio
total de la llamada según los minutos que estemos hablando.
Solución:
La función que buscamos será de la forma:
y = 0,12 + m · x,
donde x son los minutos que estamos hablando.
Para hallar el valor de m tenemos en cuenta que:
x = 5 → 0,87 = 0,12 + m ⋅ 5
Así, la función es:
→
m = 0,15
y = 0,12 + 0,15x
Ejercicio nº 20Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y =
1
3x − x 2
b) y =
x2 − 1
Solución:
a) 3 x − x 2 = 0
⇒
x = 0
x( 3 − x ) = 0 
→ Dominio = R − { 0, 3}
x = 3
b) x 2 − 1 ≥ 0 → Dominio = ( − ∞ ,− 1] ∪ [1,+ ∞
)
Ejercicio nº 21.Asocia a cada una de estas gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
− 3x 2
a) y =
4
− 3x
b) y =
4
c) y = 2 x 2 − 2
d) y = 2 x − 2
I)
II)
III)
IV)
Solución:
a)
b)
c)
d)
II
I
IV
III
Ejercicio nº 22.Representa gráficamente la función:
y = − x 2 + 4x − 1
Solución:
• Hallamos el vértice:
x=
−b
−4
=
= 2
2a − 2
→
y = 3
→
Punto
( 2, 3 ).
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X →
y = 0
→
− x 2 + 4x − 1 = 0
→
x=
− 4±
16 − 4
=
− 2
=
− 4 ± 12  x = 0,27

− 2
 x = 3,73
Con el eje Y → x = 0 →
• Hallamos algún otro punto:
y = −1 →
→
→
Punto ( 0,27 ; 0 )
Punto ( 3,73 ; 0 )
Punto
( 0, − 1)
• La gráfica es:
Ejercicio nº 23.Representa gráficamente la siguiente función:
 2
y =  x − 1 si
si
3
x ≤ 2
x > 2
Solución:
Si x ≤ 2, es un trozo de parábola.
Si x > 2, es un trozo de recta horizontal.
La gráfica es:
Ejercicio nº 24.En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados
centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10 °C = 50 °F y que 60 °C = 140 °F, obtén la
ecuación que nos permita traducir temperaturas de °C a °F.
Solución:
Llamamos x a la temperatura en grados centígrados e y a la temperatura en grados Farenheit. La función
que buscamos pasa por los puntos (10, 50) y (60, 140). Será una recta con pendiente:
m=
La ecuación es:
140 − 50 90 9
=
=
60 − 10
50 5
9
( x − 10 ) + 50 = 9 x − 18 + 50 = 9 x + 32
5
5
5
9
y = x + 32
5
y =
FUNCIONES ESPECIALES. ACTIVIDAD DE SINTESIS 1º CCSS
Ejercicio nº 1.Considera la siguiente gráfica y responde:
a) ¿Cuál de estas es su expresión analítica?
y = 3 − sen x
y = 3 − cos x
y = 3 + cos x
y = 3 + sen x
b) ¿Cuál es su dominio de definición?
c) ¿Es una función continua?
d) ¿Es periódica? ¿Cuál es su periodo?
e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?
Ejercicio nº 2.Representa gráficamente la siguiente función:
y = 2 sen x
Ejercicio nº 3.Considera la siguiente gráfica:
a) Escribe la expresión analítica de la función correspondiente.
b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la función e indica cuál es su dominio de definición.
Ejercicio nº 4.Dibuja la gráfica de la siguiente función:
y = 21-x
Ejercicio nº 5.Un trabajador va a ganar, durante el primer año, un sueldo de 15 000 euros, y el aumento del sueldo
va a ser de un 2% anual.
a) ¿Cuál será su sueldo anual dentro de un año? ¿Y dentro de dos años?
b) Halla la expresión analítica que nos da su sueldo anual en función del tiempo (en años).
Ejercicio nº 6.Considera las funciones f y g definidas por:
f (x) =
x+ 1
y g( x ) = x 2 − 1
3
Calcula:
a) ( f ° g ) ( x )
b) ( g ° f ) ( x )
Ejercicio nº 7.Explica cómo se pueden obtener por composición las funciones p(x) y q(x) a partir de
f(x) y g(x), siendo:
f ( x ) = 2 x − 3,
g( x ) =
x − 2,
p( x ) = 2 x − 2 − 3
y
q( x ) =
2x − 5
Ejercicio nº 8.Esta es la gráfica de la función y = f(x):
a) Calcula f − 1 ( 0 ) y f − 1 ( 2).
b) Representa en los mismos ejes f − 1 ( x ) a partir de la gráfica de f ( x ).
Ejercicio nº 9.Calcula la función inversa de:
f (x) =
− 2x − 1
5
FUNCIONES ESPECIALES
Ejercicio nº 1.Considera la siguiente gráfica y responde:
a) ¿Cuál de estas es su expresión analítica?
y = 3 − sen x
y = 3 − cos x
y = 3 + cos x
y = 3 + sen x
b) ¿Cuál es su dominio de definición?
c) ¿Es una función continua?
d) ¿Es periódica? ¿Cuál es su periodo?
e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?
Solución:
a) y= 3 - cos x
b) Dominio = R
c) Sí, es continua.
d) Es periódica de período 2π, pues la gráfica se repite cada 2π unidad.
e) Los valores de la función están entre 2 y 4.
Ejercicio nº 2.Representa gráficamente la siguiente función:
y = 2 sen x
Solución:
Hacemos una tabla de valores:
Teniendo en cuenta que es periódica, la representamos:
Ejercicio nº 3.Considera la siguiente gráfica:
a) Escribe la expresión analítica de la función correspondiente.
b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la función e indica cuál es su dominio de definición.
Solución:
a) Es una función logarítmica con base menor que 1, que pasa por los puntos (1, 0), (2, −1),
( 4, − 2),  1 , 1  Su expresión analítica es :
 2 
y = log x
1
2
b) • Es una función continua.
• Es decrecient e.
• Dominio = ( 0, + ∞ )
Ejercicio nº 4.Dibuja la gráfica de la siguiente función:
y = 21-x
Solución:
• La función está definida y es continua en R.
• Hacemos una tabla de valores:
• La gráfica es:
Ejercicio nº 5.Un trabajador va a ganar, durante el primer año, un sueldo de 15 000 euros, y el aumento del sueldo
va a ser de un 2% anual.
a) ¿Cuál será su sueldo anual dentro de un año? ¿Y dentro de dos años?
b) Halla la expresión analítica que nos da su sueldo anual en función del tiempo (en años).
Solución:
a) Dentro de un año ganará:
15 000 · 1,02 = 15 300 euros
Dentro de dos años ganará:
15 000 · 1,022 = 15 606 euros.
b) Dentro de x años su sueldo será de y euros, siendo:
y = 15 000 · 1,02x
Ejercicio nº 6.Considera las funciones f y g definidas por:
f (x) =
Calcula:
a) ( f ° g ) ( x )
b) ( g ° f ) ( x )
Solución:
x+ 1
y g( x ) = x 2 − 1
3
[
]
a) ( f ° g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] = f x 2 − 1 =
x 2 − 1+ 1 x 2
=
3
3
 x + 1  x + 1 
b) ( g ° f ) ( x ) = g [ f ( x ) ] = g 

 = 
 3   3 
2
− 1=
x 2 + 2x + 1
x 2 + 2x + 1 − 9 x 2 + 2 x − 8
− 1=
=
9
9
9
Ejercicio nº 7.Explica cómo se pueden obtener por composición las funciones p(x) y q(x) a partir de
f(x) y g(x), siendo:
f ( x ) = 2 x − 3,
g( x ) =
x − 2,
p( x ) = 2 x − 2 − 3
y
q( x ) =
2x − 5
Solución:
p( x ) = ( f ° g ) ( x )
q( x ) = ( g ° f ) ( x )
Ejercicio nº 8.Esta es la gráfica de la función y = f(x):
a) Calcula f − 1 ( 0 ) y f − 1 ( 2).
b) Representa en los mismos ejes f − 1 ( x ) a partir de la gráfica de f ( x ).
Solución:
a) f − 1 ( 0 ) = 1 porque f (1) = 0
f − 1 ( 2) = 5 porque f ( 5 ) = 2
b)
Ejercicio nº 9.Calcula la función inversa de:
f (x) =
− 2x − 1
5
Solución:
Cambiamos x por y, y despejamos la y:
x=
− 2y − 1
5
⇒
Por tanto:
f − 1( x ) =
− 5x − 1
2
5 x = − 2y − 1 ⇒
2y = − 5 x − 1 ⇒
y =
− 5x − 1
2
FUNCIONES 4ºE.S.O. (Opción B)
1.Halla el dominio de las siguientes funciones:
3
a) f(x)= 2x − x−
1
x
x2
2
x 2
2x−1
c) f(x)= 3
x −7x 210x
Solución:
b) f(x)=
a)R-{0}
b)R
c)R-{0,2,5}
2.-Calcula el recorrido de las siguientes funciones:
a) f(x)= x 2−1
b) f(x)= x 2− x
c) f(x)= −x 22x−1
d) f(x)= 7
Solución:
a)[-1,∞)
b)[-1/4,∞)
c)(-∞,0]
d)7
3.- Determina el signo de la función f(x)=
x1
−x 2
Solución:
f(x)<0 si xƐ(-∞,-1)
f(x)>0 si xƐ(-1,2)
f(x)<0 si xƐ(2,+∞)
4.-A partir de las funciones f(x)= x+1 y g(x)=
sus respectivos dominios.
a)(f+g)(x)
b((f.g)(x)
c)(f/g)(x)
Solución:
(f+g)(x)=
3x2
3
Dom(f+g)=R-{2}
2−x
, realiza las siguientes operaciones e indica
3x−6
−x −1
Dom(f.g)=R-{2}
3
(f/g)(x)=-3x-3 Dom(f/g)=R-{2}
(f.g)(x)=
JUEGOS DE ESTRATEGIA
TIPO MATEMÁTICO
“las matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un
terreno salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo”
– W.S. Anglin (1992)
–
PISTA DE AZAR
Este juego permite al alumnado:
-Que apliquen y practiquen la noción de probabilidad de manera sencilla y dándoles la sensación de
jugar, que resulta mas interesante que hacer matemáticas.
-De manera sencilla practican la regla de Laplace
MAYOR – MENOR
Mediante este juego el alumnado:
-Repasa y asimila con más facilidad la notación científica.
-Se hace una idea del orden de magnitud de las cantidades.
-Se ejercita el cálculo mental al comparar dos números escritos en notación científica.
-Impulsa al alumnado a crear sus propias estrategias.
JUEGOS DE ESTRATEGIA DE TIPO MATEMATICO
http://juegosdelogica.net/juegosdeestrategia/juegosdeestrategia.php
PROBABILIDAD
PROBABILIDAD DE UN SUCESO
La regla de Laplace
1. Explica en tu cuaderno qué afirma la regla de Laplace. Escribe la fórmula
2. En una baraja española de 40 cartas halla las probabilidades siguientes:
a. Que salga copas.
b. Que salga figura
c. Que sea oros y menor que 6.
d. Que no sea as ni bastos.
3. En el experimento de lanzar un dado, halla las probabilidades que se
indican:
a. P(impar)
b. P(múltiplo de 3)
c. P(número primo)
d. P(>2)
e. P(<3 ó >5)
f. P(par ó <6)
Frecuencia y probabilidad
4. Define frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso
5. ¿Qué dice la ley de los grandes números?
6. Simula con el ordenador el lanzamiento de 3 monedas 200 veces; anota el
número de veces que salen 0 caras, 1 cara, 2 caras y 3 caras y compara las
frecuencias relativas de los anteriores sucesos con sus probabilidades
teóricas correspondientes. ¿Qué consecuencias sacas?
7. Si juegas con los amigos a lanzar 3 dados, ¿a qué suma apostarías?
Justifícalo con una simulación por ordenador, indicando el número de tiradas
y las frecuencias relativas de las 4 mejores sumas.
8. En una bolsa hay un número indeterminado de bolas rojas y negras. Se han
sacado 600 veces una bola y tras anotar el color se ha vuelto a meter en la
bolsa. Los resultados han sido Negra: 117, Rojas: 483.
a. Escribe las frecuencias relativas de sacar roja y negra.
b. Después de hacer el experimento se nos dice que había 7 bolas
negras ¿Cuántas bolas rojas podemos intuir que había?. Razona la
respuesta
Propiedades de la probabilidad
9. Enumera las cinco propiedades de la probabilidad
10.Consideramos el espacio muestral E={1,2,3,4,5,6,7,8} y los sucesos
A={2,4,6,8} y B={1,3,4,5,6,7}. Calcula:
P(A)= P(B)= P(A∩ B)= P(A∪ B)=
P(A )= P(B)= P( ∪ A B)= P( ∩ A B)=
P(A\B)= P(B\A )= P( A\B)= P(B\A )=
11. Si P(A)=0,5; P(B)=0,4 y P(A∩ B)=0,2 halla:
P(A∪ B)=
P(A )= P(B)= P( ∪ A B)= P( ∩ A B)=
P(A\B)= P(B\A )= P( A\B)= P(B\A )=
12. En un grupo el 70% habla inglés y el 45% habla francés. Sabiendo que el
90% habla alguno de los dos idiomas, ¿qué porcentaje habla los dos
idiomas?
Calcular probabilidades
13.En una bolsa tenemos 7 bolas rojas, 3 bolas verdes y 5 bolas azules.
Extraemos una bola.
a. Halla la probabilidad de sacar una bola verde.
b. Halla la probabilidad de que sea roja o azul.
c. Halla la probabilidad de que no sea roja.
14.Tenemos una baraja francesa con 52 cartas y extraemos una. Calcula la
probabilidad de que sea un rey o una carta de corazones.
15.Realiza 3 ejercicios con dados, otros 3 con cartas y otros 2 con monedas
propuestos en la sección “Ejercicios” del ordenador.
16. Realiza la “Autoevaluación” de los ejercicios relacionados con esta hoja, y
cuando estés preparado, efectúas los ejercicios asociados “Para enviar al
tutor”
PROBABILIDAD
1.-En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el
número que tiene.
a) Describe los sucesos:
A = "Obtener par"
B = "Obtener impar"
C = "Obtener primo"
D = "Obtener impar menor que 9"
escribiendo todos sus elementos.
b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?
c) ¿Cuál es el suceso A ∪ B? ¿y C ∩ D?
2.-Teniendo en cuenta que:
P[A ∪ B] = 0,9
P[B'] = 0,4
P[A ∩ B] = 0,3
Halla P[A] y P[A' ∩ B].
3.-Sabiendo que:
P[A] = 0,5
P[B'] = 0,6
P[A' ∩ B'] = 0,25
a) ¿Son A y B sucesos independientes?
b) Calcula P[A ∪ B] y P[A / B].
4.-Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que
sean:
a) Las dos de oros.
b) Una de copas u otra de oros.
c) Al menos una de oros.
d) La primera de copas y la segunda de oro.
5.Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión.
Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
- A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
6.-Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6
bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de
B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
PROBABILIDAD
1.En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número
que tiene.
a) Describe los sucesos:
A = "Obtener par"
B = "Obtener impar"
C = "Obtener primo"
D = "Obtener impar menor que 9"
escribiendo todos sus elementos.
b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?
c) ¿Cuál es el suceso A ∪ B? ¿y C ∩ D?
a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
D = {3, 5, 7}
b) B = A';
D⊂C
c) A ∪ B = E (Espacio muestral); C ∩ D = D
2.Teniendo en cuenta que:
P[A ∪ B] = 0,9
P[B'] = 0,4
P[A ∩ B] = 0,3
Halla P[A] y P[A' ∩ B].
P[B] = 1 − P[B'] = 1 − 0,4 = 0,6
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,9 = P[A] + 0,6 − 0,3
Por tanto:
P[A] = 0,6
Para calcular P[A' ∩ B], hacemos un diagrama:
P[A' ∩ B] = P[B] − P[A ∩ B] = 0,6 − 0,3 = 0,3
3.Sabiendo que:
P[A] = 0,5
P[B'] = 0,6
P[A' ∩ B'] = 0,25
a) ¿Son A y B sucesos independientes?
b) Calcula P[A ∪ B] y P[A / B].
a) P[B'] = 1 − P[B] = 0,6 →
P[B] = 0,4
P[A' ∩ B'] = P[(A ∪ B)'] = 1 − P[A ∪ B] = 0,25 → P[A ∪ B] = 0,75
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,75 = 0,5 + 0,4 − P[A ∩ B] →
→ P[A ∩ B] = 0,15
Por tanto:
P [ A] ⋅ P [ B ] = 0, 5 ⋅ 0, 4 = 0, 2 
 P [ A ∩ B ] ≠ P [ A] ⋅ P [ B ]
P [ A ∩ B ] = 0,15

Luego, A y B no son independientes.
b) Hemos obtenido en el apartado anterior que:
P[A ∪ B] = 0,75
Por otra parte:
P [ A ∩ B ] 0,15
P[ A / B] =
=
= 0,375
0,4
P [B ]
4.Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que
sean:
a) Las dos de oros.
b) Una de copas u otra de oros.
c) Al menos una de oros.
d) La primera de copas y la segunda de oro.
10 9
3
a) P =
⋅
=
= 0,058
40 39 52
b) P = 2 ⋅
10 10
5
⋅
=
= 0,128
40 39 39
c) P = 1 − P [ NINGUNA DE OROS] = 1 −
d) P =
30 29
29 23
⋅
= 1−
=
= 0,442
40 39
52 52
10 10
5
⋅
=
= 0,064
40 39 78
5.Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión.
Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
- A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Vamos a organizar la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
Llamemos L = "Le gusta leer" y T = "Le gusta ver la tele".
a) P [ no I ] =
b) P [ L / T ] =
c) P [ L] =
73
= 0,61
120
32
= 0, 68
47
92
23
=
= 0, 77
120 30
6.Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6
bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de
B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P [ 2ª Bl ] =
7
7
7
+
=
30 15 10
b) P [ Bl y Bl ] =
7
30
PROPORCIONALIDAD
Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera,
como la de una escultura.
Bertrand Russell (1872-1970) Filósofo, matemático y escritor inglés.
Porcentajes 2º ESO
El 80% de los 400 alumnos de secundaria del Puebla de Vícar han aprobado las matemáticas.
¿Cuántos alumnos han sido?
Un televisor que costaba 820 €, se rebaja en un 22 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
A un reloj de 95 € hay que añadirle el 16 % de I.V.A. ¿Cuál será su precio final?
Por una camisa, que estaba rebajada un 12 %, he pagado 74,8 €. ¿Cuál era su precio inicial?
A un pantalón que cuesta 30 euros le han aplicado en las rebajas de enero un descuento del 20%,
¿cuánto hemos de pagar por el pantalón?
Hemos encargado un armario cuyo valor inicial es de 300 euros,¿cuál será su precio cuando le
hayamos aplicado el 16% de I.V.A?
Una tienda de electrodomésticos compra lavadoras a 425 euros, incrementa su precio un 20% y las
pone a la venta. ¿Cuál es el precio final de una lavadora en esa tienda?
Si un producto que costaba 1,40 € pasa a valer 1,61 €, calcula el porcentaje de
aumento.
Si el valor de una acción pasa de 5 € a 4 €, calcula el porcentaje de disminución.
Si compro cuatro ruedas por el precio de tres, ¿cuál es el % de rebaja en el precio
de cada rueda?.
a) 30 %
b) 20 %
c) 25 %
En una empresa 28 de cada 40 empleados utilizan algún medio de transporte
público para ir al trabajo, una vez a la semana. ¿Qué porcentaje de empleados no
utiliza ningún medio de transporte a la semana?.
Un avión tiene un quinto de los asientos de clase preferente y el resto de clase
turística. Si el 75 % de los asientos de clase preferente están vacíos y el 85 % de los
de clase turista están ocupados, ¿cuál es el porcentaje de los asientos ocupados por
el avión?.
Si tres de cada cinco personas son partidarias del automóvil como medio de
transporte, ¿qué porcentaje de personas son partidarias del automóvil?
Si el 75 % de los españoles leen periódicos y el 45 % lee libros, el porcentaje de
españoles que ni leen periódicos ni leen libros cumple:
a) No supera el 25 %.
b) Es al menos del 25 %.
c) Es al menos del 55 %.
Si la producción española de miel durante este año fue 1,5 veces la del año pasado,
¿cuál ha sido el porcentaje de incremento de la producción de miel de este año
respecto al año pasado?.
a) El 50 %.
b) El 15 %.
c) El 150 %.
Un cine sube el precio de la entrada en un 10 %. Como consecuencia disminuye
el número de entradas vendidas en un 5 %. ¿Cuál es el porcentaje de aumento de
la recaudación?.
a) 5 %
b) 4,5 %.
c) 15 %.
Si x es el 155 % de una cantidad y, entonces el 20 % de x
a) Es igual al 13 % de y.
b) Es igual al 11 % de y.
c) Es igual al 31 % de y.
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES
1.- Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 60 € ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
2.- Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros?
3.- Trescientos gramos de queso cuestan 6€ ¿Cuánto podré comprar con 4,50€?
4.- Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará
un coche a 120 km/h?
5.- Por 5 días de trabajo he ganado 390 euros. ¿Cuánto ganaré por 18 días?
6.- Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas
llenará en hora y media?
7.- Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre
dos
pueblos. ¿Qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?
8.- Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su
recorrido. Si mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del
recorrido?
9.- Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta
cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena
un camión que carga 5 toneladas?
10.- Un padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde
una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros.
¿Cuánto dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad?
11.- Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto
tiempo le durará el pienso si se mueren 5 vacas?
12.- En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días
habrá comida si se incorporan 5 niños a la acampada?
13.- Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6
días. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días?
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES COMPUESTA
14.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de
distancia una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar
un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?
15.- Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 30 €. ¿Cuánto
costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha?
16.- Cinco máquinas embotelladoras envasan 7 200 litros de aceite en una hora.
¿Cuántos litros envasarán 3 máquinas en dos horas y media?
17.- Doce obreros, trabajado 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto
tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?
18.- Cincuenta terneros consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana. ¿Cuántos kilos de
alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días?
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES
1.- Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 60 € ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
2.- Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros?
3.- Trescientos gramos de queso cuestan 6€ ¿Cuánto podré comprar con 4,50€?
4.- Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará
un coche a 120 km/h?
5.- Por 5 días de trabajo he ganado 390 euros. ¿Cuánto ganaré por 18 días?
6.- Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas
llenará en hora y media?
7.- Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre
dos
pueblos. ¿Qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?
8.- Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su
recorrido. Si mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del
recorrido?
9.- Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta
cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena
un camión que carga 5 toneladas?
10.- Un padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde
una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros.
¿Cuánto dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad?
11.- Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto
tiempo le durará el pienso si se mueren 5 vacas?
12.- En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días
habrá comida si se incorporan 5 niños a la acampada?
13.- Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6
días. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días?
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES COMPUESTA
14.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de
distancia una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar
un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?
15.- Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 30 €. ¿Cuánto
costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha?
16.- Cinco máquinas embotelladoras envasan 7 200 litros de aceite en una hora.
¿Cuántos litros envasarán 3 máquinas en dos horas y media?
17.- Doce obreros, trabajado 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto
tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?
18.- Cincuenta terneros consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana. ¿Cuántos kilos de
alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días?
Regla de tres simple
1) Por preparar un campo de 7 ha de superficie, un labrador cobra 21.315 € ¿Cuánto cobraría si la
superficie del campo midiera 12 ha?
Pasos a dar:
a) A más Ha. ,se cobra más
Por 7 Ha.
Cobra 21.315 €.
Por 12 Ha.
Cobrará X €.
1.Tipo de
proporcionalidad:
Directa
b)Al doble de Ha, doble paga
2.Cálculo
2) En una finca de 3 hectáreas se colocan 18 000 plantas. ¿Cuántas plantas necesitaré para un
campo de 12 ha, si las plantas han de estar con la misma separación que en la primera finca?
3) Los soldados de un cuartel se colocan formando 9 filas de 40 reclutas cada una. ¿Cuántas filas
de 30 hombres cada una se pueden formar?
Pasos a dar:
A más filas, menos reclutas por fila
A 9 filas.
A X filas
40 reclutas. 1.Tipo
proporcionalidad
30 reclutas Inversa
Al doble de filas, mitad de reclutas
2. Cálculo
Observar el cambio de lugar que debe producirse en la
disposición de los datos cuando la proporcionalidad es
inversa.
4) Si para repartir el vino de un barril en botellas de 0,75 litros, se necesitan 1040 botellas.
¿Cuántas botellas de 0,65 litros se necesitarán?
5) Un automóvil que va a 90 km/h recorre 160 km. ¿Cuántos kilómetros recorrería si hubiese ido a
50 km/h?
6) La nave espacial Columbia, al despegar, recorre en 15 minutos 47.535 m. Si mantiene esa
velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 255.000 m de altura?
7) El cable de un globo cautivo está enrollado 72 veces en un eje y cada vuelta mide 4 m. Si el eje
tuviera 3 m, ¿cuántas vueltas daría el cable?
8) Cinco obreros realizan en 6 días una pared de 240 m de largo. ¿Cuántos días tardarían en
realizar la misma obra 12 obreros?
9) Con 25 m3 de agua un campesino riega las 4 ha de su propiedad. Si dispusiera de 125 m3 de
agua, ¿cuántas hectáreas podría regar?
10) Según las ordenanzas municipales de cierta ciudad lo máximo que puede construirse en
determinada zona corresponde a 28 pisos de 3 m de altura cada uno. ¿Qué altura deberá tener
cada piso si en dicha zona se desea construir un edificio de 30 plantas?
11) En las 24 horas de Le Mans un vehículo en la recta de tribuna alcanza una velocidad de 360
km/h y la recorre en 12 segundos. ¿Cuánto tiempo emplearía si su velocidad fuera de 300 km/h?
12) Para pavimentar un gran hipermercado se han empleado 20604 baldosas cada una de las cuales
mide 1200 cm2 de superficie. ¿Cuántas baldosas se habrían utilizado si el tamaño de cada una
fuera de sólo 100 c m2?
13) El charrán del ártico es una de las aves que hace la migración más larga, ya que recorre 20.160
km. en 12 días. ¿Cuántos kilómetros recorre en los tres primeros días si lleva siempre la misma
velocidad?
14) El premio gordo de una lotería es 60 millones de pesetas por cada 2 500 ptas. jugadas. Si yo he
jugado 160 pesetas de lotería a ese número, ¿cuánto dinero me correspondería si mi número
resultara premiado?
15) Cada dos meses, en una granja de conejos nacen 245 gazapos. ¿Cuántos gazapos nacerán en un
año?
16) Un ganadero alimenta sus 150 reses durante 27 días con un camión de pienso; pero adquiere 30
reses más. ¿Cuántos días le durará el camión de pienso?
17) En una carretera se plantan 48 árboles, colocándolos cada 3 m. Si los colocamos cada 5 m,
¿cuántos árboles se plantarán?
18) Una mecanógrafa escribe realizando 1470 pulsaciones cada 7 minutos. ¿Cuántas veces toca las
teclas de su máquina en 100 segundos?
0 €.
19) Un productor de cine para realizar una película de 5 000 m de largo gasta 12 750 m de película.
¿Cuántos metros gastaría para una película de 1 200 m de longitud?
20) En el comedor de un colegio se gastan, en los 20 días lectivos de un mes, 2540 barras de pan.
¿Cuál ha sido el gasto de una semana (5 días lectivos)?
21) Un bloque de cierto material de construcción de 7 m3 de volumen pesa 17,5 toneladas. ¿Cuánto
pesará otro bloque del mismo material de 20 m3 de volumen?
22) En la construcción de una carretera han trabajado 752 obreros durante 570 días. Si la obra
hubiera tenido que finalizar en 470 días, ¿cuántos obreros más se habrían necesitado?
23) Un corredor de fondo que es capaz de mantener su velocidad constante, recorre 15 km. en un
tiempo de 1 hora y 12 minutos. Si mantuviera siempre esa velocidad, ¿cuánto tardaría en
recorrer 52 km.?
24) Por transportar a un pasajero con su equipaje durante 15 minutos, el contador de un taxi marca 1
300 pesetas. ¿Cuánto tiempo había estado en el taxi si el taxímetro hubiera marcado 5 213
pesetas?
25) Los lechones de una granja de cerdos pesan todos igual. Al cargar 55 de estos lechones en un
camión, han dado un total de 825 kg. ¿Cuánto pesarán los 120 lechones que quedan en la
granja?
26) Para realizar las excavaciones necesarias para la construcción de un gran complejo industrial se
calcula que se necesitarán 3 máquinas iguales trabajando 160 horas cada una. Si la empresa
constructora dispusiera de 10 máquinas iguales a las anteriores, ¿cuánto tiempo tardarían?
27) Para regar un campo se tardan 3 horas si el caudal del canal de riego es de 2000 litros por
minuto. ¿Cuánto tiempo se tardaría en regar el mismo campo si el caudal fuera de 5000 litros
Por minuto?
28) Un ciclista ha tardado 20 minutos en recorrer cierta distancia a la velocidad de 40 km/h. ¿A qué
velocidad deberá circular si desea recorrer la misma distancia en 35 minutos?
29) Si 4 grifos iguales tardan 24 horas en llenar un depósito, ¿cuánto tardarían 12 grifos iguales a
los anteriores en llenar el mismo depósito?
30) Por cada 2805 toneladas de mineral de hierro extraído se obtienen 150 toneladas de hierro. ¿Qué
cantidad de mineral de hierro es necesario extraer para obtener 100 toneladas de hierro?
31) Por la compra de 200 macetas de plástico un jardinero paga 4 500 €. ¿Cuánto dinero hubiera
tenido que desembolsar por 325 macetas?
Soluciones
Regla de tres simple
72.000 plantas.
4 horas 9 minutos y 36 segundos.
botellas.
1 hora y 9 segundos.
km
1470 gazapos.
a, 20 min y 27 segundos.
Veintidós días y medio.
eltas.
1 hora y 12 minutos.
ías y medio.
350 pulsaciones.
egundos.
1.870 toneladas.
48 baldosas.
km.
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
Actividades de síntesis
1. Entre estas parejas de fracciones existen algunas que forman proporción. Escribe las que lo son y
comprueba la propiedad fundamental:
a) 2/4 y 5/6
b) 12/7 y 36/21
c) 15/8 y 12/6
d) 4/6 y 6/9
e) 100/50 y10/5
f) 15/8 y 10/6
g) 12/9 y 4/3
h) 4/8 y 3/9
2. Halla el término desconocido en cada una de las proporciones siguientes y nómbralo:
a) 1/3 = 50/d b) x/12 = 12/36
c) 18/ t = t/2 d) k/3 = 27/k
3. Averigua si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales o no:
a) El número de botellas fabricadas por una máquina y el número de horas.
b) El sueldo de un profesor y el número de alumnos a los que da clase.
c) El número de Euros y la cantidad de Yenes al realizar el cambio.
d) El precio de un automóvil y el número de caballos que tiene de potencia.
e) El precio de la gasolina y el número de litros.
f) El número de habitantes de un país y su extensión en kilómetros cuadrados.
4. Señala cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales y cuáles
inversamente proporcionales.
a) El número de entradas del cine y el precio.
b) Días de construcción de una casa y número de albañiles.
c) Cantidad de leche y número de botellas para llenar.
d) Número de pasteles y número de niños para comérselos.
5. Calcula los porcentajes siguientes de la manera más rápida:
a) 40% de 1.000 =
b) 10% de 400 =
c) 25% de 2.500 =
d) 8% de 50 =
e) 15% de 300 =
f) 50% de 3.812 =
g) 65% de 6.000 =
h) 6% de 10 =
6. Halla el 30 % de 25 y el 35% de 20. ¿Cuál es mayor?
7. Calcula el interés simple que produce medio millón de pesetas al 6% anual durante 3 años.
8. Nieves trabaja como dependienta en las vacaciones de Navidad. Por 5 días de trabajo cobra 150
Euros.
a) ¿Cuánto cobrará por diez días?
b) Si ha trabajado 14 días en total ¿cuánto cobrará?
9. En una botella de 500 gramos de limonada, el 5% es esencia de limón, ¿Cuántos gramos de
esencia de limón hay disueltos?
10. ¿Cuánto tendrás que pagar por un C.D. de 15,5 Euros rebajado un 30%? Resultado en
Euros y en pesetas.
11. Una bolsa de tres kilos de naranjas cuesta 2,25 Euros. ¿Cuánto cuestan 24 kilos de las mismas
naranjas?
12. El tipo de cambio de un franco Francés es de 25,97 pesetas. ¿Cuántos francos te darán por
32.600 pesetas?
13. ¿Qué interés simple producen 100.000 Euros invertidos durante 4 años al 6% anual?
Resultado en Euros y en pesetas.
14. En un paquete de 400 gramos de galletas María hay un 4% de fibra. En una caja de
300 gramos de pastelitos hay 5%. ¿Dónde hay más fibra?
15. Un grifo abierto durante 5 minutos hace que el nivel del depósito suba 20 centímetros.
¿Cuánto subirá el nivel si se abre el grifo durante 15 minutos?
16. En una población, durante el año pasado, nacieron 28 bebes semanales de media.
¿Cuántos bebes se esperan para el próximo trimestre?
17. Un coche ha tardado cuatro horas en recorrer una distancia de 280 kilómetros.
¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas? ¿Cuánto tardará en recorrer 420 kilómetros?
18. En una población de 2.000 habitantes, el 40% viven de la agricultura y el 30% de la ganadería.
¿Cuántos viven de la agricultura? ¿Cuántos de la ganadería? ¿Cuántos viven de otras cosas?
19. Dos palas excavadoras hacen la zanja de una conducción de cable telefónico en 10 días.
¿Cuánto tardarán en hacer la zanja 5 excavadoras?
20. Un suéter rebajado en un 20% me ha costado 4.000 pesetas. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?
21. Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en hacer 1000 tornillos?
22.- Con 200 kg de harina se elaboran 250 kg de pan.
a) ¿Cuántos kg de harina se necesitan para hacer un pan de 2 kg?
b) ¿Cuántos panecillos de 150 g se podrán hacer con 500 kg de harina?
23. Señala cuál es el menor número de monedas y billetes necesarios para reunir exactamente las
siguientes cantidades:
a) 27 céntimos
b) 2,53 €
c) 253,75 €
d) 53,12 €
LIMITES
EL ABURRIMIENTO ES FALTA DE PENSAMIENTO.
ACTIVIDAD DE SINTESIS LIMITES 1º CCSS
Ejercicio nº 1.Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
a) lim f ( x )
x→ + ∞
b) lim f ( x )
x→ − ∞
c) lim− f ( x )
x→ 3
d) lim+ f ( x )
x→ 3
e) lim f ( x )
x→ 0
Ejercicio nº 2.x+ 1
, sabemos que :
x− 3
x+ 1
y
lim
= −∞
x → 3− x − 3
Para la función f ( x ) =
lim
x → 3+
x+ 1
= +∞
x− 3
Representa gráficamente estos dos límites.
Ejercicio nº 3.Calcula:
2
a) lim ( 3 − x )
x→ − 2
(
b) lim 1 +
x→ − 8
− 2x
)
c) lim sen x
x→
π
2
Ejercicio nº 4.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha
de x = 2:
x+ 1
lim
x→ 2
( x − 2) 2
Ejercicio nº 5.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
x2 − 4
x→ − 2 2x + 4
lim
Ejercicio nº 6.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
 x x2

a) lim  −
+ x 
x→ + ∞
4
 3

4
 x x

b) lim  −
+ x 
x→ − ∞
3
4


Ejercicio nº 7.Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
a) lim
x→ + ∞
b) lim
x→ − ∞
1
(1 − x ) 3
3 − x3
x2
Ejercicio nº 8.¿Son continuas las siguientes funciones en x = 2?
a)
b)
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 9.Estudia la continuidad de la función:
f (x) =
Ejercicio nº 10.-
x− 1

 3
 x 2 − 15
si
x≤ 4
si
x > 4
Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
f (x) =
2x + 1
x2 − 1
Ejercicio nº 11.Halla las ramas infinitas, cuando x → − ∞ y x → + ∞ de la siguiente función y representa
los resultados obtenidos:
f (x) =
x3 x2
−
+ 2x
3
2
Ejercicio nº 12.Halla las ramas infinitas, cuando x → + ∞ y cuando x → − ∞ , de la función :
f (x) =
2x 3 + x
1− x
Representa la información obtenida.
Ejercicio nº 13.Halla las ramas infinitas, cuando x → + ∞ y cuando x → − ∞ , de la siguiente función y sitúa
la curva respecto a ellas:
f (x) =
x
x+ 2
Ejercicio nº 14.La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:
f (x) =
x 2 + 2x
x+ 1