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Modulo I: Oscilaciones (9 hs)
1.
2.
3.
4.
Movimiento Armónico Simple (MAS)
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones forzadas y resonancia
Superposición de MAS
1.1 Cinemática y dinámica del MAS
1.2 Sistema muelle-masa
1.3 Péndulos
1.4 Energía de un MAS
1.5 Oscilaciones entorno a un punto
de equilibrio estable
Bibliografía: Tipler y Mosca, Capítulo 14
11/02/2012
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1
Ejemplos de Movimientos
Oscilatorios Periódicos (MOP)
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2
Movimiento Armónico Simple (MAS) y
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
x(t )  A cos(t   )
Un MAS es la proyección
sobre un eje de un MCU
y(t )  Asin(t   )
 (t )   t  
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1.1 Cinemática y dinámica de un MAS
x(t )  A cos(t   )
x = posición (o desplazamiento, m)
A = amplitud (m)
 = frecuencia angular (rad/s)
= fase inicial en t=0 (rad)
 = t+ fase a tiempo t (rad)
x(t )  A cos(t   )  A sin(t   ' )   '     / 2
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Velocidad y aceleración
 v(t )  x   A sin(t   )
x(t )  A cos(t   )  
2


a
(
t
)

x


A

cos(t   )

a   x  x(t )  A cos(t   )
2
La aceleración es proporcional y opuesta a la posición (desplazamiento)
Condiciones iniciales t=0:

 A  x02  v02 /  2


tan   v0 /( x0 )
x(0)  x0  A cos( )
v(0)  v0   A sin( )
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5
Frecuencia y período
MAS es un movimiento periódico
x(t )  x(t  T )
f = frecuencia (Hz=1/s)
1

 f 
T
2
T = período (s)
Ecuación del movimiento de un MAS:
x(t )  A cos(t   )
 A sin(t   )

a  x   x
2
     / 2
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Movimiento Oscilatorio Periódico
Todo MAS es un MOP, pero no todo MOP es un MAS
Ejemplo de un MOP que NO es un MAS
El movimiento vertical de una pelota que se deja caer desde
una altura h y que choca elásticamente contra el piso,
rebotando y volviendo a subir hasta su altura inicial, para
luego volver a caer y rebotar contra el piso, etc.
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Representación gráfica
sen(t   )  cos(t     / 2)

  cos(t   )  cos(t     )
x(t )  A cos(t  0)
v(t )   A sin(t )  A cos(t   / 2)
a(t )   A 2 cos(t )  A 2 cos(t   )
La aceleración es proporcional y opuesta a
la posición (desplazamiento)
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MAS & MCU
Un MAS es la proyección
sobre un eje de un MCU
 x(t )  A cos(0  t )
 (t )   0   t  
 y (t )  A sin(0  t )
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Dinámica del MAS
La ecuación del movimiento de un MAS es una ecuación
diferencial ordinaria de segundo orden
2
d
x
2
a  x   x  2   2 x  0
dt
Cuya solución es:
a   x  x(t )  A cos(t   )
2
Si conocemos las condiciones iniciales (posición y velocidad)
podemos calcular A y :

x(0)  x0  A cos( )
 A  x02  v02 /  2

v(0)  v0   A sin( ) 
tan   v0 /( x0 )
¿?
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Depende de la fuerza
que da origen al MAS
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1.2 Sistema muelle-masa
Ley de Hooke +
Ley de Newton
frecuencia
constante
F  ma  kx  a  x  (k / m) x
2
x   x    k / m
fuerza recuperadora
 x(t )  A cos(t   )
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Muelle-masa vertical
Posición de equilibrio: muelle estirado
mg  ky0
y0  mg / k
F  ma  k  y ' y0   mg
d 2 y'
 m 2  ky'
dt
   k/m
(y’=desplazamiento
respecto a la
posición de
equilibrio)
(Igual que muelle-masa horizontal)
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Ejemplo: Movimiento de un bote sobre las olas
Un bote se balancea arriba y abajo. El movimiento vertical del bote viene
dado por
1



y  (1.2m) cos t  
6
 2s
(a) Determinar la amplitud, frecuencia angular, constante de fase,
frecuencia y período del movimiento.
(b) ¿Donde se encuentra el bote cuando t=1s?
(c) Determinar la velocidad y la aceleración en cualquier tiempo t.
(d) Calcular los valores iniciales de la posición, la velocidad y la aceleración
del bote.
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Ejemplo: partícula sujeta a un muelle
Una partícula de masa 2 kg está sujeta de un muelle de constante
18 N/m alargado inicialmente una longitud de 5 cm. Si en el
instante inicial la partícula tiene una velocidad 3 cm/s hacia el
origen, calcular la frecuencia, periodo, amplitud y fase inicial del
movimiento. Determinar su posición en cualquier tiempo t.
x(t )  A cos(t   )
  k / m  3 rad/s

f 
 0.477 Hz
2
1
T   2.094 s
f
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
 A  x02  v02 /  2


tan   v0 /( x0 )

 A  (0.05)2  (0.01)2  0.051 m


 tan   1 / 5    0.197 rad
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Ejemplo: asociación de muelles en serie
F  k1 x1 
F F
  x  x1  x2   
F  k2 x2 
k1 k2
1 1
1
 x     F  F  
x
1 k1  1 k2
 k1 k2 
F  keq x
constante
de muelle
equivalente
F
x1
F
x2
X
1
1
1 1
keq 

 
1 k1  1 k2
keq k1 k2
Ejercicio: Si partimos un muelle de constante k por la mitad, ¿Qué
constante elástica tendrá cada uno de los trozos? Respuesta: 2k
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1.3 Péndulos
Péndulo de Foucault
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Péndulo simple
 
mat  Ft  m L  mg sin 
Aceleración
tangencial
Aproximación: sin   
pequeñas oscilaciones
   ( g / L)
2


       g / L
  (t )  A cos(t   )
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No depende de m
T  2 L / g
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Péndulo físico (péndulo compuesto)
Sólido-rígido plano que gira en torno a un eje fijo
Io = momento de inercia del SR respecto al eje
Io = M2 (M = masa del SR,  = radio de giro)
I o   M oext  I o   MgD sin 
Aceleración
angular
   (MgD / I o )
Aproximación de
pequeñas oscilaciones:
2


       MgD / Io
sin   
I0 = M 2
  no depende de M
 (t )  A cos(t   ) T  2 Io / MgD
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




 (t )  A cos(t  0 )
 ángulo inicial (rad): 0  A cos(0 )
 fase inicial (rad):
0
 velocidad angular (rad/s)
     A sin(t  0 )
 aceleración angular (rad/s2)
     A 2 cos(t   )
 frecuencia angular (rad/s)
  g/L
Péndulo simple
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  MgD / I 0
Péndulo físico
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Ejercicio: disco que oscila
¿Con qué periodo oscilará un disco de radio R y
masa M que gira en un plano vertical alrededor
de un eje horizontal que pasa por su periferia?
3
2
I o  I cm  MR  I o  MR 2
2
Teorema de
Steiner
  MgD / I o
DR
T  2 I o / MgR
I
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disco
cm
1
 MR 2
2
3R
T  2
2g
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Péndulo de torsión
SR unido a un barra sometida a una torsión.
k = constante de torsión
M o  k
I   M  k
o
o
   (k / I o )
2


       k / I 0
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Problemas
Momento de inercia de una barra (Masa
M, longitud L) respecto al centro de masas
(cm) y respecto al extremo de la barra (O):
I cm
ML2

12
ML2
IO 
3
Problema 10: Un alambre homogéneo de masa m y longitud L se dobla por la
mitad formando un codo de 60º. Si se coloca el codo sobre un eje horizontal de
forma que el alambre realiza oscilaciones en un plano vertical, ¿cuánto valdrá el
periodo del movimiento ?
2
L
Solución:
T
3
2 3
g
Problema 12: Una barra de masa m y longitud 2L esta unida a un muelle de
constante k y articulada por su punto medio como muestra la figura. Si la barra está
en equilibrio en la posición indicada, determinar el periodo de las pequeñas
oscilaciones.
Solución: T  2 m
3k
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1.4 Energía de un MAS
La fuerza elástica de un muelle es una fuerza conservativa por lo
que tiene una energía potencial:
dU
F 
dx
kx2
C
F  kx  U 
2
U=0 en x=0: C  0
kx2
Energía potencial elástica U 
2
mv
Energía cinética K 
2
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2
Energía mecánica
E  K U
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Conservación de la energía mecánica de
un MAS masa - muelle
 x(t )  A cos(t   )


v(t )   A sin(t   )
1 2 1 2

2
U

kx

kA
cos
(t   )

2
2

1 2 1
 K  mv  mA2 2 sin 2 (t   )

2
2
Energía mecánica:
E  K U
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  k /m
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kA2
E
2
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Representación gráfica de U, K y E en
función del tiempo
x(t )  A cos(t   )
1 2
U  kx
2
U (t ) 
1 2
kA cos 2 (t   )
2
v(t )   A sin(t   )
1 2 1
K  mv  mA2 2 sin 2 (t   )
2
2
  k /m
1 2 2
K (t )  kA sin (t   )
2
1
cos(2 t  2 )  1
2
1
sin 2 (t   )  1  cos(2 t  2 )
2
cos 2 (t   ) 
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U, K oscilan con frecuencia
angular 2 (período = T/2)
25
Representación gráfica de U, K y E en función de
la distancia a la posición de equilibrio
1 2
U  kx
2
1 2
E  kA
2
K  E U
1 2
K  A  x 2 
2
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Conservación de la energía y ecuación del
movimiento del MAS
Cuando la fuerza es conservativa podemos deducir la ecuación del
movimiento de la conservación de la energía mecánica
Ejemplo 1: sistema masa-muelle
1 2 1 2
E  K  U  mv  kx  cte
mva  kxv  0  mx  kx
2
2
Derivando
Ejemplo 2: péndulo físico
1 2
E  K  U  I o  mgD cos   cte
2
Energía cinética
de rotación
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Derivando
Energía
gravitatoria
Pequeñas
oscilaciones
I o  mgD(sin  )  0
I o  mgD  0
sin  
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1.5 Oscilaciones entorno a un punto de
equilibrio estable
dU
F 
dx
Puntos de equilibrio de una fuerza conservativa:
F(xeq)=0  Extremos (máximos o mínimos) de U(x)
Tipos de puntos de equilibrio:
A: estable
B: inestable
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dU
dx
0
x  xeq
C: neutro
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Movimiento cerca de un mínimo local (x1)
Desarrollo de Taylor: aproximamos U(x)
cerca del mínimo por una parábola
dU
U ( x)  U ( x1 ) 
dx
dU
dx
1 d 2U
U ( x) 
2 dx 2
1 d 2U
( x  x1 ) 
2
2
dx
x  x1
(x1 es un mínimo)
x  x1
d 2U
dx 2
0
x x1
x  x1
2
dU
d
U
2
( x  x1 )  F  
 2
dx
dx
 F  k ( x  x1 )  ma
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( x  x1 ) 2  ...
k 0
x  x1
( x  x1 )
x  x1
El movimiento es un MAS en

torno a x1 con frecuencia angular
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k /m
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Ejemplo
Una partícula de masa m se encuentra en un campo de fuerzas unidimensional
donde la energía potencial viene dada por la expresión
U ( x)  2 x3  3x 2  12 x
(a) Encontrar los puntos de equilibrio y estudiar su estabilidad
(b) Calcular el período de las pequeñas oscilaciones de la partícula en torno al
mínimo de energía potencial
dU
 6 x 2  6 x  12
dx
dU
dx
d 2U
d 2U
 12 x  6  2
2
dx
dx
d 2U
 2
dx
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 x1  2
 0  6 x  6 xeq  12  0  
 x2  1
2
eq
x  xeq
 18  0
x x1
 18  0
x x2
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T  2 m / 18
30
Preguntas VF
1. En un MAS la energía cinética de la partícula es proporcional a la
elongación al cuadrado.
2. Si en un MAS, v es la velocidad de la partícula y a y x su aceleración y
elongación respectivamente, se cumple que: v  2ax
3. La frecuencia de un MAS disminuye si aumenta su amplitud.
4. Una partícula no puede realizar un MAS alrededor de un mínimo de
energía
potencial ya que la fuerza es nula.
5. La energía cinética y la energía potencial de un MAS están desfasadas π
radianes entre si.
6. La energía mecánica de un MAS es proporcional a su amplitud al cuadrado.
7. Toda partícula sometida a una fuerza conservativa realiza un MAS.
8. Si una partícula realiza un MAS y en el instante inicial se encuentra en el
origen, su fase inicial es nula.
9. Al cortar un muelle en dos trozos, la constante elástica de cada trozo será
mayor que la constante del muelle original.
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Ejemplo
Un proyectil de masa m que se mueve a la velocidad vo impacta
contra un bloque de masa M y se incrusta dentro del bloque. El
bloque está unido a un muelle de constante k, fijado a la pared. El
bloque y el muelle se encuentran apoyados en una superficie
horizontal lisa. Si elegimos t=0 el instante del impacto y x=0 la
posición inicial del bloque, describir a) el movimiento posterior del
bloque y b) la fuerza máxima que realiza el muelle sobre la pared.
x(t )  A sin t
  k /( M  m)
1 2 1

mv0
kA  ( M  m)v12 
A

2
2

k ( M  m)

mv0  (m  M )v1

Fmax  kA
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Ejemplo
Movimiento vertical de una pelota que se deja caer desde una altura h y que choca
elásticamente contra el piso, rebotando y volviendo a subir hasta su altura inicial,
para luego volver a caer y rebotar contra el piso, etc. Calcular:
(a) la posición de la pelota a tiempo t, y(t)
(b) el período del movimiento
y 2
dy
mgh  mgy  m  y   2 g (h  y) 
  2 g (h  y )
2
dt

dx
ax  b
2
a
ax  b
t
2 2 g (h  y )
dy
dy
t

 dt   
  dt 
2g
2 g (h  y )
2 g (h  y ) 0
h
y
 y(t )  h  gt 2 / 2
T / 2  2h / g
T depende de la amplitud (h) del movimiento
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