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Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Matemáticas 2 – MA 111
POLÍGONOS
Un agricultor contrata a una compañía constructora
para que realice el cálculo del área de un terreno
que se encuentra en una explanada y que desea
adquirir.
La forma del terreno es arbitraria y se muestra en la
figura. El ingeniero encargado se sitúa en el punto O
de su interior y selecciona 8 puntos A1, A2, .....A8,
que descansan sobre el lindero del terreno. El dibujo
se encuentra a escala 1: 100.
A continuación mide con su teodolito los ángulos α1,
α 2, ..., α 8, así como los segmentos OAi.
Una aproximación del área del terreno es el área de
la región poligonal encerrada por el polígono
A1A2A3A4A5A6A7A8; y esta se puede calcular
sumando las áreas de los triángulos formados.
A1
A2
A8
A7
α2
α1 α3
α8
α4
α7
α6 α5
A3
A4
A6
A5
1.
Definición
Sean: A1, A2, .....An, n distintos puntos del plano. Trazamos los segmentos: A1A 2 ,
A 2 A 3 , A 3 A 4 ,…, A n −1A n , A n A1 . La unión de estos segmentos recibe el nombre de
polígono si se cumplen las siguientes dos propiedades:
a.
b.
No es posible que descansen, sobre una misma recta, dos segmentos con un
punto en común.
Dos segmentos cualesquiera sólo pueden intersecarse en sus extremos.
Clasificación de los Polígonos
Según su número de lados se clasifican en:
Número de lados
Nombre
Triángulo
4
Pentágono
6
Heptágono
8
Nonágono
10
Endecágono
12
Pentadecágono
17
Icoságono
POLÍGONOS
1
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2.
Elementos
A3
β2
β3
α3
α4
α2
A2
A4
β4
α5
α1
β1
A5
β5
A1
El Pentágono- Base Militar de USA
Lados:
A 1A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 , A 4 A 5 , A 5 A 1
Son los segmentos que conforman el polígono.
Vértices:
A1, A2, …, A5
Son las intersecciones de dos lados consecutivos.
Ángulos interiores:
α1, α2, …, α5
Son los ángulos formados por dos lados consecutivos.
Ángulos Exteriores: β1, β2, …, β5
Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la
prolongación del lado consecutivo. El ángulo interior y el ángulo
exterior correspondiente, son suplementarios.
Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Diagonales:
Ejercicio:
Para los siguientes polígonos indique los lados, el número de lados y los vértices.
A
H
C
G
D
F
L
Q
T
O
M
E
S
N
R
Polígono
n (número de lados)
ABCDEFGH
8
POLÍGONOS
K
P
B
Vértices
A, B,…
2
Lados
AB, BC, …
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3.
Polígonos convexos y no convexos
Un polígono es convexo si el segmento que une dos puntos interiores cualesquiera del
polígono está contenido en el interior del polígono. En caso contrario el polígono se
denomina no convexo.
Ejemplo: ¿Cuál de los siguientes polígonos es convexo y cuál es no convexo?
A
B
Nota: en este curso vamos a tratar solo con polígonos convexos.
4.
Discusión sobre las características más importantes de todos los polígonos
convexos
Notas
Sα
Sβ
d
D
180°
360°
0
0
3 lados
1
1( )
( )
¿En cuántos
triángulos puedo
3 dividir el
pentágono?
180°( ) =
2( )
( )
¿En cuántos
triángulos puedo
180°( ) =
3 dividir el hexágono?
3( )
( )
2
4
2
1
6 lados
180°( ) =
3
1
5 lados
4 lados
4
5
6
5
1
“n” lados
¿En cuántos
triángulos puedo
dividir el
cuadrilátero?
2
1
4
2
n
3
n-1
4
POLÍGONOS
¿En cuántos
triángulos puedo
dividir el n-ágono?
180°( ) =
3
( )( )
( )
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Ejercicios 01
1) ¿En cuántos triángulos dividen al polígono las diagonales trazadas desde un vértice?
a) Si el polígono tiene 6 lados
b) Si el polígono tiene
n
lados
2
2) Encuentre la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de 12 lados,
usando el razonamiento inductivo mostrado anteriormente.
3) Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es 1260°, encuentre
el número de lados de un polígono.
4) En un decágono:
a) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice?
b) ¿Cuántas diagonales tiene el decágono entonces?
5) Encuentre el número de lados de un polígono, si se cumple que la suma de las medidas
de sus ángulos internos es el doble que la de sus ángulos externos.
5.
Polígonos y circunferencias
Polígono inscrito
Polígono circunscrito
Es aquel polígono cuyos vértices están
sobre la circunferencia.
Es aquel polígono cuyos lados son
tangentes a la circunferencia.
R
r
O
O
Nota: No todos los polígonos se pueden inscribir ni circunscribir a una circunferencia, aquí
se muestra un par de ejemplos.
Algunas reflexiones:
1)
2)
3)
4)
¿Un triángulo siempre se puede inscribir y circunscribir a circunferencia?
¿Un cuadrilátero siempre puede ser inscriptible y circunscriptible a una circunferencia?
¿Un trapecio puede ser siempre inscriptible y circunscriptible?
¿Entonces qué tipo de trapecios son inscriptibles?
POLÍGONOS
4
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6.
Polígonos regulares
6.1 Definición: es todo polígono que tiene sus lados congruentes y sus ángulos
congruentes entre sí.
TRIÁNGULO REGULAR
(EQUILÁTERO)
CUADRILÁTERO REGULAR
(CUADRADO)
HEPTÁGONO
REGULAR
OCTÁGONO
REGULAR
PENTÁGONO
REGULAR
NONÁGONO
REGULAR
HEXÁGONO
REGULAR
DECÁGONO
REGULAR
6.2 Elementos
Trace con un compás la circunferencia inscrita al polígono regular presentado. ¿Qué
puede observar con respecto al radio y al centro de dicha circunferencia inscrita?
•
Trace con un compás la circunferencia circunscrita al polígono regular presentado.
¿Qué puede observar con respecto al radio y al centro de dicha circunferencia
circunscrita?
•
POLÍGONOS
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l5
Centro:
Se denomina centro de un polígono
regular al punto O, centro de la
circunferencia inscrita (radio = r) o
circunscrita (radio = R).
ap5
O
θ
R
Radio:
Se denomina radio (R) de un polígono
regular al radio de la circunferencia
circunscrita al polígono.
Apotema:
Se denomina apotema (ap) de un
polígono
regular
al
segmento
perpendicular trazado desde el centro del
polígono a uno cualquiera de los lados.
(Observe que se cumple que ap = r)
A. Central:
Se denomina ángulo central (θ) de un
polígono regular al menor ángulo formado
por dos radios que unen el centro y dos
vértices consecutivos cualesquiera del
polígono.
l5
ap5 = r
O
θ
R
6.3
Discusión de las características más importantes de todos los polígonos
regulares convexos.
Si todos los ángulos y lados son congruentes entre sí, entonces:
Notas
1
2
4
3
1
α (A. Interior)
2
3
6
4
5
1
2
n
3
n-1
4
POLÍGONOS
6
β (A. Exterior)
θ (A. Central)
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6.4
Casos más relevantes
Triángulo Equilátero _____________
Triángulo Equilátero _____________
Cuadrado ______________
Cuadrado ______________
Hexágono Regular _____________
Hexágono Regular _____________
Ejercicios 02
1) Se tiene una circunferencia de 3cm de radio. Calcule el área del cuadrado inscrito.
2) Se circunscribe una circunferencia en un triángulo equilátero de lado 2cm. Calcule cuál
es el perímetro de dicha circunferencia.
3) En un hexágono regular de lado 6cm está inscrita una circunferencia; calcule el área de
dicha circunferencia.
4) Calcule el área encerrada por la circunferencia inscrita y circunscrita a un cuadrado de
lado 1cm.
5) Calcule el área del triángulo formado al unir los puntos medios de un hexágono regular
de lado 3cm.
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Observaciones:
6.5
•
•
Todos los lados son congruentes.
Todos los ángulos internos son congruentes.
•
Cada ángulo interno mide:
•
Si se trazan segmentos desde el centro hacia dos vértices consecutivos del
polígono regular, siempre se forman triángulos isósceles.
El apotema de un polígono regular cae en el punto medio del lado.
•
7.
180°(n − 2)
.
n
Cálculo de áreas usando trigonometría
1. Calcule el área de cada figura mostrada:
a.
¡Error!
b.
27°
12
30°
17
c.
d
40º
5
140º
140º
8
40º
2. El propietario desea encontrar el área de un terreno rectangular, para esto se contrata un
topógrafo, pero este le indica lo siguiente “El ángulo que forma un lado de 580m del
terreno con la diagonal es de 37°”. ¿Cuál es el área del terreno?
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HEXÁGONO
REGULAR
Nº de lados n = 6
Suma de los ángulo interiores = 720º
Ángulo interior = 120º
PENTÁGONO
REGULAR
Nº de lados n = 5
Suma de los ángulo interior = 540º
Ángulo interior = 108º
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