1
Download Zapandí Matemática. Pag 1-76
Document related concepts
Transcript
MATEMÁTICA
Este libro de Matemática Zapandí (9º año), corresponde al último libro
del Tercer Ciclo de la Educación General Básica Abierta, el cual está dividido
en cuatro áreas de conocimientos para este nivel. Se pretende desarrollar
las habilidades necesarias para abordar cada una de los objetivos.
Está dividida cada área con un texto básico, actividades y trabajos
individuales.
La metodología aplicada para la enseñanza de la Matemática toma en
cuenta algunos supuestos psicopedágogicos que afectan el aprendizaje
debido a que siempre partimos de la premisa, las primeras impresiones
son las más duraderas.
En el área Números, trabajaremos con los números reales con el
propósito de que usted adquiera la habilidad de utilizar los números reales en cualquiera de sus representaciones y que posteriormente elabore
estrategias para realizar cálculos con ellos para luego resuelva problemas
en diversos contextos en los que se involucren estos números. Además
conoceremos los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy grandes y muy pequeñas.
En el área Geometría, se dará un enfoque más formal de los conceptos
y propiedades de los distintos conceptos geométricos. Con los triángulos
y con particular uso del teorema de Pitágoras conectaremos la geometría
sintética con la geometría analítica. La trigonometría que se estudiará aquí
está muy ligada al triángulo rectángulo. Es por esto, que aprovecharemos
sus propiedades en el estudio de las razones trigonométricas y en particular
con la relación sen2x + cos2x = 1 la cual es una consecuencia del teorema
de Pitágoras. En cuanto al estudio de las pirámides y los prismas rectos
identificaremos sus elementos. Identificaremos las figuras que se forman
cuando se cortan con un plano.
i
En el área Relaciones y Álgebra continuaremos con el concepto de
función y mas detalladamente con las funciones cuadráticas. Veremos los
distintos tipos de representar la gráfica de una función cuadrática. Resolveremos problemas relacionados con las ecuaciones de segundo grado
o con funciones cuadráticas.
En el área Estadística y Probabilidad daremos más énfasis a las
variables continuas en los distintos análisis de casos planteados. Sistematizaremos la información obtenida proponiendo problemas que incluyan
situaciones cotidianas donde se realizarán la construcción de distribuciones
y poligonos de frecuencia o histogramas para extraer las conclusiones correspondientes de cada caso. Introduciremos el análisis probabilístico con
base en la definición frecuentista o empírica a partir del concepto clásico de
probabilidad mediante la identificación de los puntos muestrales que están
a favor de un evento dentro de un espacio muestral. Utilizando la noción
intuitiva de la ley de los grandes números se identificará la evolución que
esas probabilidades van experimentando a medida que se incrementa
el tamaño de la muestra cuando se realizan varios experimentos con las
mismas situaciones previas.
Los contenidos desarrollados están de acuerdo con los programas
vigentes aprobados por el Consejo Superior de Educación que aprobó el
21 de mayo de 2012 los programas de Matemática para los I, II, III Ciclos
de la Educación General Básica y el Ciclo Diversificado.
ii
ÍNDICE
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Página
Presentación......................................................................................................................... i
Índice....................................................................................................................................iii
ÁREA 1: NÚMEROS
Distribución según habilidades y conocimientos.................................................................. 1
Números reales
¿De dónde vienen nuestros números? ........................................................................... 3
¿Qué son números irracionales? .................................................................................... 5
Conjunto de los números reales ..................................................................................... 7
Actividad 1....................................................................................................................... 9
Operaciones con números ............................................................................................ 13
Propiedades fundamentales de los números................................................................ 14
Propiedades de potencias............................................................................................. 15
Expresiones radicales.................................................................................................... 16
Valor absoluto................................................................................................................ 18
Actividad 2..................................................................................................................... 21
Orden de los números reales........................................................................................ 22
Actividad 3..................................................................................................................... 25
Trabajo individual 1........................................................................................................ 27
Cálculos y estimaciones
Potenciación en ℝ.......................................................................................................... 37
Leyes de potencias........................................................................................................ 38
Relacionemos raíces con potencias.............................................................................. 39
Exponentes racionales.................................................................................................. 40
Actividad 1..................................................................................................................... 41
Radicación en ℝ............................................................................................................ 42
Actividad 2..................................................................................................................... 43
Simplificación de expresiones radicales........................................................................ 44
Actividad 3..................................................................................................................... 47
Actividad 4..................................................................................................................... 49
Radicales semejantes.................................................................................................... 50
Radicales homogéneos................................................................................................. 51
Actividad 5. ................................................................................................................... 52
Operaciones con expresiones que contienen radicales................................................ 53
iii
ÍNDICE
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Actividad 6..................................................................................................................... 55
Multiplicación de radicales no homogéneos.................................................................. 57
Actividad 7..................................................................................................................... 58
Actividad 8..................................................................................................................... 59
Racionalización de denominadores............................................................................... 60
Actividad 9..................................................................................................................... 61
Actividad 10................................................................................................................... 62
Combinando operaciones.............................................................................................. 63
Trabajo individual 2........................................................................................................ 67
Cantidades muy grandes y muy pequeñas
Prefijos del SI................................................................................................................. 73
Trabajo individual 3........................................................................................................ 76
ÁREA 2: GEOMETRÍA
Distribución según habilidades y conocimientos................................................................ 77
Triángulos
Triángulos...................................................................................................................... 79
Teorema de Pitágoras.................................................................................................... 81
Actividad 1..................................................................................................................... 83
Actividad 2..................................................................................................................... 85
Actividad 3..................................................................................................................... 87
Triángulos especiales.................................................................................................... 91
Actividad 4 .................................................................................................................... 93
Trabajo individual 1........................................................................................................ 95
Trabajo individual 2...................................................................................................... 102
El Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia...................................................... 104
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano...................................................... 105
Aplicaciones de la distancia entre dos puntos ............................................................ 106
Trabajo individual 3...................................................................................................... 108
Trigonometría
Origen de la trigonometría............................................................................................111
¿Qué es un radián....................................................................................................... 112
Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal y en el sistema circular.......... 113
Actividad 1................................................................................................................... 114
Las razones trigonométricas........................................................................................ 115
iv
ÍNDICE
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Actividad 2................................................................................................................... 117
Actividad 3................................................................................................................... 119
Ángulos complementarios........................................................................................... 120
Actividad 4................................................................................................................... 122
Tabla de valores para razones trigonométricas........................................................... 123
Actividad 5................................................................................................................... 124
Resolución de triángulos rectángulos.......................................................................... 124
Relación fundamental de la trigonometría................................................................... 135
Actividad 6................................................................................................................... 135
Trabajo individual 1...................................................................................................... 136
Trabajo individual 2...................................................................................................... 141
Ley de senos............................................................................................................... 145
Actividad 1................................................................................................................... 147
Aplicación de la Ley de los senos................................................................................ 147
Actividad 2................................................................................................................... 149
Actividad 3................................................................................................................... 151
Trabajo individual 1...................................................................................................... 153
Trabajo individual 2...................................................................................................... 156
Geometría del espacio
Clases de cuerpos sólidos........................................................................................... 160
Tipos de poliedros........................................................................................................ 161
Prisma.......................................................................................................................... 162
Área del prisma............................................................................................................ 163
Área de un prisma triangular regular........................................................................... 164
Actividad ..................................................................................................................... 165
Área del prisma rectangular......................................................................................... 167
Área de un prisma cuadrangular regular..................................................................... 169
Trabajo individual 1...................................................................................................... 171
Pirámide....................................................................................................................... 175
Área de la pirámide ..................................................................................................... 177
Tipos de pirámide triangular
Trabajo individual 2...................................................................................................... 181
Tipos de pirámide cuadrangular.................................................................................. 182
Trabajo individual 3...................................................................................................... 184
Una pirámide rectangular............................................................................................ 185
v
ÍNDICE
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Tipos de pirámide rectangular..................................................................................... 186
Trabajo individual 4...................................................................................................... 189
ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
Distribución según habilidades y conocimientos................................................................ 77
Funciones
Álgebra........................................................................................................................ 193
Funciones.................................................................................................................... 195
Representación gráfica de una función cuadrática...................................................... 198
Orientación o concavidad........................................................................................... 199
Representación tabular y gráfica de una función cuadrática....................................... 201
Trabajo individual 1...................................................................................................... 203
Expresiones algebraicas
Factorización............................................................................................................... 207
Actividad 1................................................................................................................... 209
Actividad 2................................................................................................................... 211
Factorización de una diferencia de dos cuadrados..................................................... 212
Actividad 3................................................................................................................... 214
Trinomio cuadrado perfecto......................................................................................... 215
Actividad 4................................................................................................................... 216
Factorización completa combinando el factor común y los productos notables.......... 217
Actividad 5................................................................................................................... 217
Trabajo individual 1...................................................................................................... 219
Trabajo individual 2...................................................................................................... 221
Factorización de un trinomio que no es un cuadrado perfecto.................................... 223
Actividad 6................................................................................................................... 225
Actividad 7................................................................................................................... 226
Factorización por el método de completar cuadrados................................................. 227
Actividad 8................................................................................................................... 228
Actividad 9................................................................................................................... 231
División de polinomios................................................................................................. 232
Actividad 1................................................................................................................... 234
Actividad 2................................................................................................................... 235
Actividad 3................................................................................................................... 235
División de un binomio entre un binomio..................................................................... 236
vi
ÍNDICE
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Actividad 4................................................................................................................... 237
División sintética.......................................................................................................... 239
Actividad 5................................................................................................................... 241
División de un trinomio por un trinomio....................................................................... 242
Actividad 6................................................................................................................... 243
Trabajo individual 1...................................................................................................... 244
Expresiones algebraicas fraccionarias........................................................................ 247
Actividad 1................................................................................................................... 250
Suma y resta de fracciones algebraicas...................................................................... 251
Actividad 2................................................................................................................... 252
Actividad 3................................................................................................................... 255
Multiplicación de fracciones algebraicas..................................................................... 257
Actividad 4................................................................................................................... 258
Actividad 5................................................................................................................... 260
Actividad 6................................................................................................................... 264
Racionalización de denominadores y numeradores.................................................... 266
Actividad 1................................................................................................................... 267
Actividad 2................................................................................................................... 268
Racionalización de un binomio.................................................................................... 269
Trabajo individual 1...................................................................................................... 270
Trabajo individual 2...................................................................................................... 273
Ecuaciones
Ecuaciones cuadráticas............................................................................................... 274
Actividad 1................................................................................................................... 279
Fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado.............................. 280
Actividad 2................................................................................................................... 286
Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado a la solución de problemas......... 287
Actividad 3................................................................................................................... 290
Trabajo individual 1...................................................................................................... 292
Función cuadrática
Función cuadrática...................................................................................................... 295
Función canónica o estándar de la función cuadrática................................................ 296
Forma factorizada de la función cuadrática................................................................. 298
Actividad 1................................................................................................................... 299
Actividad 2................................................................................................................... 304
vii
ÍNDICE
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Trabajo individual 1...................................................................................................... 304
Aplicaciones de las funciones cuadráticas.................................................................. 306
Trabajo individual 2...................................................................................................... 308
ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Variables cuantitativas
Estadística................................................................................................................... 313
¿Qué es la estadística?............................................................................................... 315
Actividad 1................................................................................................................... 317
Distribuciones de frecuencia
Clase o intervalo de clase............................................................................................ 319
Límites de los intervalos.............................................................................................. 320
Distribución de frecuencia absoluta............................................................................. 321
Distribución de frecuencia relativa............................................................................... 321
Representaciones gráficas.......................................................................................... 325
Construcción y análisis de histogramas...................................................................... 326
Polígonos de frecuencia.............................................................................................. 331
Actividad 2................................................................................................................... 334
Problemas resueltos.................................................................................................... 336
Trabajo individual 1...................................................................................................... 344
Trabajo individual 2...................................................................................................... 349
Muestras aleatorias
Introducción................................................................................................................. 357
Clasificación de los sucesos o eventos....................................................................... 359
Actividad 1................................................................................................................... 360
Probabilidad frecuencial.............................................................................................. 360
Actividad 2................................................................................................................... 364
Hojas de respuestas......................................................................................................... 367
Programa de Matemática Zapandí................................................................................... 405
Ejemplo de hoja de respuesta (para lectora óptica)......................................................... 409
viii
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS
ÁREA 1: NÚMEROS. 12 ÍTEMS
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES ESPECÍFICAS
Números reales
1.1 Identificar números irracionales en diversos contextos.
t
Números irracionales
t
Concepto de número real
t
Representaciones
t
Comparación
t
Relaciones de orden
t
Recta numérica
1.2 Identificar números con expansión decimal
infinita no periódica.
1.3 Realizar aproximaciones decimales de
números irracionales.
1.4 Reconocer números irracionales en notación decimal, en notación radical y otras
notaciones particulares.
1.5 Comparar y ordenar números irracionales
representados en notación decimal y radical.
1.6 Identificar números reales (racionales e
irracionales) y no reales en cualquiera
de sus representaciones y en diversos
contextos.
Cálculos y estimaciones
t
Suma
t
Resta
t
Multiplicación
t
División
t
Potencias
t
Radicales
1.7Estimar el valor de la raíz de un número
entero.
1.8Determinar números irracionales con representación radical entre dos números
enteros consecutivos.
1.9Utilizar la calculadora para resolver operaciones con radicales.
Cantidades muy grandes y muy pequeñas
1.10 Utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar
cantidades muy grandes y muy pequeñas.
1.11 Utilizar la calculadora o software de cálculo
simbólico como recurso en la resolución
de problemas que involucren las unidades.
1
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
¿DE DÓNDE VIENEN NUESTROS
NÚMEROS?
La historia nos cuenta que el desarrollo del comercio trajo consigo la ampliación de los números naturales. La razón de esto
era una situación de necesidad, producto del
mismo comercio.
Consideremos el caso siguiente:
Dos comerciantes, uno de ellos solicita
cierta mercadería a otro, pero al momento
de pagarla no le alcanza el dinero que posee.
Se llega al acuerdo de pagar posteriormente.
A este acuerdo se le denomina deuda.
Situaciones como estas ocurren y ocurrirán siempre. Debido a esto el ingenio humano
crea los números negativos. Este nuevo
conjunto de números se denomina números enteros y se le simboliza con una ℤ.
ℤ = {..., -5, -4, -3, -2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Una vez solucionado este problema, surge otro muy
antiguo y que al parecer ya había sido considerado por los egipcios: la representación de partes de la unidad, o sea, las fracciones.
Al analizar problemas semejantes a estos, matemáticos del pasado conciben
otro tipo de números: los números racionales.
Ejemplos:
a) b) La mamá de Alejandro hizo un queque y lo partió en 8 partes iguales, de estas
Alejandro se comió una parte de ese queque. ¿Cómo se puede representar
esa parte del queque utilizando números?
Para la creación de este nuevo tipo de números se fundamentan en las
características y propiedades de los números enteros y lo definen de la manera
siguiente:
ℚ=
3
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Esta nueva clase de números, a su vez posee características, propiedades y operaciones muy particulares que ya han sido estudiadas en el libro de
Matemática Ujarrás.
Antes de continuar con la historia de los números, repasemos algunos datos
referentes a los números racionales.
Los números racionales se caracterizan por tener una expresión decimal
que solo puede ser de tres tipos:
tExacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras.
t Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente.
31
= 0,31313131…
99
1
= 0,142857142857…
7
t Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite, es decir, existe un
anteperíodo (cifras decimales que no se repiten) y el período (las que se
repiten).
1
= 0,0166666… = 0,016
60
43
= 0,130303030… = 0,130
330
¿Pero existen números que no se pueden expresar como cociente o razón
de dos números enteros?
Cierto. El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de
medir la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que se le formaba en
una baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de sus diagonales.
4
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema de
Pitágoras, apareció el primer número irracional, que es 2 , cuyo valor aproximado es 1,4142135…
Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en forma de
fracción común o decimal, aunque pueden calcularse con los decimales que se
deseen (no tienen expansión decimal infinita periódica).
Ejemplos de números irracionales:
2,
3,
5,
6,
7,
8,
10, etc.
π (pi) = 3,14592…
e (número de Euler) = 2,718281828459…
φ (razón de oro) = 1,618033988749…
¿Qué son números irracionales?
Los números irracionales son números que poseen expansión decimal infinita no periódica, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar
aproximaciones decimales. Estas se pueden obtener con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedimientos geométricos. Los valores obtenidos
suelen truncarse o redondearse.
El conjunto de los números irracionales se simboliza con II.
Si al conjunto de números racionales le añadimos el conjunto de los números irracionales, obtenemos un conjunto que se llama conjunto de los números
reales (ℝ).
5
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
En Matemática Zapandí vamos a conocer los números reales que resulta
de la unión o reunión del conjunto de los números racionales ℚ y el conjunto
de los números irracionales II. Estudiaremos sus características, además de
las propiedades y operaciones que se pueden dar con estos.
Nada mejor para comenzar este "paseo por los números" con una célebre
frase de Leopold Kronecker, matemático del siglo XIX: Dios creó los números
enteros, todo lo demás es obra del hombre.
6
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Anteriormente hemos estudiado los números
naturales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} luego los números enteros {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}.
También consideramos el caso del conjunto de
números cuyos elementos se representan por el
cociente de dos números enteros a y b donde b no
es igual a cero; a este conjunto de números se le
denomina conjunto de los números racionales.
Además de esto, tenemos que todo número
puede representarse como el cociente de sí mismo
y de 1; es decir
ℚ=
Producto de esta situación, tenemos que
cualquier número racional puede escribirse en
notación decimal.
El conjunto de los números racionales es un
conjunto denso, es decir, es un conjunto tal que
entre dos números racionales cualesquiera, siempre es posible determinar otro número racional.
1 1
Por ejemplo entre y existe una cantidad infinita
4 2
de números racionales.
Por ejemplo:
3
puede escribirse como 0,3
10
9
puede escribirse como 2,25
4
a)Veamos
53
puede escribirse como 1,656 25
32
Como vemos, este tipo de número racional
posee una expansión decimal finita; es decir, se
les pueden contar los decimales.
b) También entre los enteros – 4 y 2 existen una cantidad infinita de números racionales, por ejemplo
− 7 y 6 .
2
5
Por eso se les llama números racionales conmensurables.
Pero también hay números racionales cuya
representación decimal es inconmensurable; o
sea, no se pueden medir porque es periódica.
Por ejemplo:
1. 5 tiene una expansión decimal 0,555 555…
9
donde el dígito 5 se repite.
7
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Tenemos por ejemplo:
2. 17 tiene la expansión decimal 0,171 717…
99
donde los dígitos 1 y 7 se repiten sucesivamente
y en ese orden.
t
Arquímedes determinó que dicho valor está
1
entre 3 10
.
71 y 3 7
t
Los chinos en el siglo I le asignaron el valor
de 10 con un error del 2%.
t
Los hindúes posteriormente le dieron el valor
1
de 3,141 6 con un error de
.
400 000
Por tanto, cualquier número que tiene una
expansión decimal finita o una expansión decimal
infinita periódica es un número racional.
t
En el siglo XVII, Adriano Mercio le asigna la
1
fracción 355 con un error de
.
10 000 000
113
Al interpretar los números racionales con esta
nueva forma se plantea una pregunta:
Actualmente, se conocen más de 5 billones de
decimales de este número que se pueden calcular
fácilmente con una computadora. Estas son algunas
de sus cifras decimales
3.
2
3
= – 0,666… después de cada 6 irá otro 6.
Entonces, decimos que la expansión decimal
2
de − 3 es infinita periódica y se representa de
− 2
2
la siguiente forma: − 3 = − 0,6 indicando que el
3
6 se repite infinitamente.
−
¿Existen números cuya representación
decimal sea infinita y no periódica?
π ≈ 3,141 592 653 589 8...
Este símbolo π (pi), es una notación introducida por el matemático Euler en 1748, que proviene
de la letra inicial minúscula de la palabra griega
perímetro, debido a su relación con el perímetro
del círculo.
La respuesta es afirmativa
�
Desde la antigüedad, la necesidad de contar
con números que expresaran ciertas relaciones
importantes, enfrentó al ser humano a números
cuya expansión decimal es infinita y no periódica:
un problema importante lo constituyó la necesidad
de determinar un número que correspondiera a la
razón existente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro, pues los antiguos
matemáticos determinaron que en cualquier círculo
por más grande o más pequeño que fuese, la
longitud de la circunferencia es aproximadamente
tres veces la longitud del diámetro. A este número
se le denominó π.
En nuestro caso, este símbolo π aparecerá en
las fórmulas de perímetro y de área de un círculo
de radio r que se utilizarán en los libros de El
Maestro en Casa.
Otro número irracional muy conocido es el
número de Nepper, simbolizado con la letra e (se
lee e) donde e ≈ 2,718 281 828 46...
Este número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos
apreciar en los tendidos eléctricos.
Otro tipo de números irracionales son los que
se le atribuyen al matemático griego Pitágoras de
la Isla de Samos 540 años antes de Cristo, este los
8
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
encontró al establecer la relación que existe entre
los lados de un cuadrado y su diagonal.
forma característica, por lo tanto, tenemos que:
los números irracionales es el conjunto de los
números que no pueden expresarse como cociente
de dos enteros. Solo pueden expresarse en forma
decimal y el número de decimales que tienen es
infinito y no se repiten siguiendo algún período
determinado.
Algunos de estos números irracionales son:
2 (se lee raíz cuadrada de dos)
3 (se lee raíz cuadrada de tres)
5 (se lee raíz cuadrada de cinco)
Al conjunto de los números irracionales se le
denota con . A la unión del conjunto de los números racionales ℚ y del conjunto de los números
irracionales se le llamará conjunto de los números
reales; el cual se denotará con ℝ. Simbólicamente
se escribe ℝ = ℚ ∪ .
7 (se lee raíz cuadrada de siete)
De acuerdo a lo anterior, tenemos que el
conjunto de los números irracionales es infinito,
y además cada uno de sus elementos posee una
ACTIVIDAD 1
1. Analice los siguientes números e indique si son números racionales o números irracionales
a) 12,124 356…
b) 0, 523 598 7…
c) 0, 342 342 34…
d) 1, 838 849 1…
e) 4, 232 323…
f) – 9, 030 030 030…
g) – 0, 494 494 49…
h) – 3, 222 2…
i) 2, 122 333 444 455 555…
j) 3, 456
k) 6, 122 333
9
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Complete la siguiente tabla escribiendo pertenece o no pertenece según sea el caso.
Número
4
2,171717…
4
5
2,345678…
− 3
4
− 9
Natural?
Entero?
Racional?
Irracional?
Real?
Recuerde:
e)0,1234567891011121314151617181920212223…
Es un número real.
II: conjunto de los números irracionales,
expansión decimal infinita no periódica.
f)1,01001000100001000001000000100000001…
Es un número real.
ℚ conjunto de los números racionales,
números con expansión decimal infinita
periódica.
Como puede verse, algunos números tienen
expansión decimal periódica como en a, b y c
y otros tienen expansión decimal no periódica
como en d, e y f. En consecuencia, los ejemplos a, b y c son números racionales y d, e y f
son números irracionales. La característica de
tener expansión decimal infinita periódica para
los racionales y la propiedad de tener expansión
decimal infinita no periódica para los irracionales
define dos tipos de números muy distintos, esto
significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos. Simbólicamente se escribe
ℚ ∩ = ∅, donde el símbolo ∩ es intersección y
este símbolo refiere a los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez, en este caso, ℚ
e II no tienen elementos en común.
Números reales
En principio podemos definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión
decimal infinita periódica y los que tienen expansión
decimal infinita no periódica. Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,0000000000…
b)
c)
1
1
es un número real ya que = 0,5000000000…
2
2
1 es un número real ya que 1 = 0,3333333333…
3
3
d)
2 es un número real ya que
2 = 1,4142135623730950488016887242097…
Recordemos que ∅ significa conjunto vacío y
es el único conjunto que no tiene elementos.
10
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
A su vez, los números reales se clasifican en:
t
Números naturales ( ), los que usamos para
contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…
t
Números enteros (ℤ), son los números naturales, los negativos y el cero. Por ejemplo:
…– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,…
Números racionales, son aquellos números
que se pueden expresar como cociente de dos
números enteros, es decir, son números de la
a
forma
con a, b enteros y b ≠ 0.
b
t Números irracionales, se clasifican en:
t
t
t
Números trascendentes: Son números reales
irracionales que no son algebraicos, es decir,
que no son solución de alguna ecuación polinominal. Provienen de las funciones trascendentes como las trigonométricas, logarítmicas
y exponenciales.
Por ejemplo,
n0,123456789101112131415161718192…
n1,010010001000010000010000001000…
Para estos conjuntos tenemos las siguientes
relaciones:
Números algebraicos: Se dice de los números
irracionales que son solución de alguna ecuación polinominal, en la que los coeficientes de
la ecuación son números enteros.
1)
natural es entero (y a su vez racional y real),
todo número entero es racional, por ejemplo
si tomamos el entero – 3, tenemos: – 3 = − 3
1
por lo tanto – 3 ∈ ℚ ya que hemos podido
Por ejemplo, en la ecuación x2 – 14 = 0 la solución es ± 14 , por lo que 14 y – 14 son
números irracionales algebraicos.
escribir nuestro número como un cociente de
dos enteros con el denominador diferente de
En general, todas las raíces no exactas de
cualquier orden son irracionales algebraicos.
cero. Esto lo podemos hacer con cualquier
número entero.
2)
Recuerde:
Hay números racionales que parecen irracio3
Llamamos recta real a la recta donde cada
punto que la conforma corresponde un número
real. Como cada punto de ella está identificado con
un número racional o irracional esta recta es una
recta compacta donde no queda ningún "espacio
libre" entre dos puntos de ella. Para tener una
idea de esta propiedad imagine que dados dos
números racionales siempre es posible encontrar
uno entre ellos. Esto es simple considerando que
la semisuma de dos números cualquiera siempre
está entre ellos dos. Es decir, dados dos números
A simple vista parecen irracionales pero al
al calcular las raíces notamos que estas son
exactas y obtenemos números racionales.
En efecto,
n
n
n
⊂ ℝ.
La recta real
nales, como por ejemplo 1+ 4 , 9 y 25
2
⊂ ℤ, ℤ ⊂ ℚ, ℚ ⊂ ℝ. Es decir: todo número
1+ 4 1+ 2 3
=
=
2
2
2
9 3
= =1
3
3
25 = 5
11
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
racionales a y b con a < b, siempre se verifica que
a < a + b < b.
2
En la recta real representamos todos los
números (recuerde que todo punto de la recta
está etiquetado como un número real) y en ella
podemos visualizar el orden en que se ubican
los números.
Otra manera de representar números
irracionales en la recta real (forma
aproximada)
Para representar el número irracional 5 en
la recta numérica, tenemos que tener presente que
los números irracionales no se pueden escribir
como el cociente de dos números racionales. Por
otra parte, su representación decimal es infinita y
no periódica.
1 3
, , e, π por citar algunos
2 2
se representan usando su expansión decimal
Los números
ubicando en la recta aproximadamente su lugar
(respetando el orden). En el caso de algunos
números irracionales como ± 2, ± 3, ± 5 …
Por estas razones, para ubicar un número
irracional en la recta numérica debemos hacerlo
en forma aproximada.
pueden representarse exactamente en la recta
mediante el uso de una regla y compás. Por
Para ubicar el número irracional 5 en la recta
numérica tenemos que el valor aproximado de
5 = 2, 236 068... (utilizando una calculadora);
es decir,
ejemplo, para representar ± 2 consideramos
un triángulo rectángulo isósceles en el que los
catetos miden 1 cm, con uno de sus vértices en
el origen de la recta (ver figura siguiente). Lue-
2
3
6
0
6
8
+
+
+
+
+
10 100 1000 10 000 100 000 1000 000
go con un compás trazamos una circunferencia
2+
circunferencia con la recta real es el número
En la recta numérica, ubicamos primero el
número 2
en la que su radio es la hipotenusa de dicho
triángulo (que es 2 ). La intersección de esta
2
a la derecha, y – 2 a la izquierda (ver figura).
De manera análoga se puede representar ± 5 .
0
En este caso, se toma un triángulo rectángulo en
el que catetos miden 2 cm y 1 cm, tal como se
1
2
3
2
Para ubicar
después del dos, procedemos
10
dividiendo el segmento entre 2 y 3 en 10 partes
iguales y tomamos dos de ellos. Así.
muestra en la siguiente figura.
2
12
2,2
2,3
3
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ahora si dividimos el segmento entre 2,2 y 2,3 en
10 partes iguales obtendremos las 3 centésimas
2,3
2,23 2,24
2,2
opera con cualquier par de números racionales el
resultado es un racional. Por ejemplo:
3
2
t Al sumar los números racionales
y
ob10
5
7
tenemos el número racional
.
10
Dividiendo el segmento entre 2,23 y 2,24 en 10
partes iguales obtendremos las seis milésimas.
2,23
2,236 2,237
2 3 (10 ÷ 5)2 + (10 ÷ 10)3 (2)2 + (1)3 4 + 3 7
+ =
=
=
=
10
10
10
10
5 10
2,24
t
Realizando esto repetidas veces encontraremos que 2, 236 068 ... lo podemos localizar en la
recta numérica aproximadamente así:
17 11 (12 ÷ 4)17 − (12 ÷ 3)11 51− 44 7
−
=
=
=
4
3
12
12
12
2,236 068
2,237
2,236
17 11
Al restar los números racionales
y
ob3
4
7
tenemos el números racional
12
Esta es la forma aproximada de representar
un número irracional. La aproximación de este
número puede ser a la décima, la centésima, la
milésima o más 2,236 068 ...
t
Se pueden efectuar combinaciones de operaciones tales como:
1 5
1
8 + − + − 8 − 25
8
2
2
y el resultado es un número racional:
1 5 1
4
8 + − + − 8 − 25 = 8 + − 1− 25 = 8 + 2 − 26 = −16
2
2 2 8
Luego tenemos que
5 ≈ 2,236068…
Operaciones con números
Operaciones con números irracionales
Como los números reales son la unión de dos
conjuntos disjuntos ℝ = ℚ ∪ Ⅱ, las operaciones
deben analizarse desde dos puntos de vista.
En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:
t
3 + 5 = 3 + 5 . Dos irracionales cuya
suma resulta un irracional.
t
2 • 3 = 6. Dos irracionales cuyo producto
es un irracional.
Operaciones en los números racionales
Lo primero que debemos decir es que las
operaciones con los números racionales están bien
definidas, esto quiere decir, que toda vez que se
13
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
t
5 + (− 5 ) = 0. Dos irracionales cuya suma
es un racional.
a pesar de su extraño comportamiento tenemos
dos afirmaciones que siempre son válidas:
t
2 • 8 = 16 = 4. Dos irracionales cuyo producto es un racional.
1.Si a es racional y b es irracional entonces la
suma a + b siempre es irracional.
t
18 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 = 3. Dos irracionales
cuya división resulta un racional.
2.Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces
el producto a • b siempre es irracional.
Se puede afirmar que:
Como podemos notar, las operaciones de
suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales. Esta afirmación quiere decir que dados dos
números irracionales no siempre la suma, resta y
multiplicación o división de dichos números resulta
un número irracional. Los ejemplos anteriores nos
advierten que los números irracionales no se comportan, con respecto a las operaciones, de manera
similar a los números racionales. Sin embargo, y
t
2 + 3 es irracional.
t
2 • 5 es irracional.
Propiedades fundamentales de los
números
En la siguiente tabla se muestra, a manera
de resumen, las operaciones entre números y
sus propiedades. En cada caso las letras a, b y c
representan números reales, a ≠ 0.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Propiedad
Ejemplo
Descripción
Propiedad conmutativa
de la adición
a+b=b+a
de la mmultiplicación
ab = ba
Propiedad asociativa
de la adición
(a + b) + c = a + (b + c)
de la multiplicación
(ab)c = a(bc)
7+3=3+7
10 = 10
3•5=5•3
15 = 15
Cuando se suman dos números, no importa el orden.
Cuando se multiplican dos números no importa el orden.
(2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)
6 + 7 = 2 + 11
13 = 13
(3 • 7) • 5 = 3 • (7 • 5)
21 • 5 = 3 • 35
105 = 105
Propiedad distributiva de la multipli- 2 • (3 + 5) = 2 • 3 + 2 • 5
2 • 8 = 6 + 10
cación respecto de la suma
a(b + c) = ab + ac
16
=
16
(3 + 5) • 2 = 2 • 3 + 2 • 5
(b + c)a = ab + ac
8 • 2 = 6 + 10
16 =
16
14
Cuando se suman tres números, no importa cuáles dos
se suman primero.
Cuando se multiplican tres números, no importa cuáles
dos se multiplican primero.
Cuando se multiplica un número por una suma de dos
números se obtiene el mismo resultado que al multiplicar
el número por cada uno de los términos y luego sumar
los resultados.
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Propiedad
Propiedad del inverso aditivo
a + (– a) = (– a) + a = 0
Ejemplo
Descripción
5 + (– 5) = (– 5) + 5 = 0
Cuando se suma un número y su opuesto el resultado
es cero.
Propiedad del inverso multiplicativo,
a≠0
2 • 2–1 = 2–1 • 2 = 1
a • a–1 = a–1 • a = 1
Propiedad elemento neutro de la
suma
5+0=0+5=5
a+0=0+a=a
Propiedad elemento neutro multiplicar
a•1=1•a=a
–3•1=1•–3=–3
Cuando se multiplica un número por su inverso el resultado
es uno.
Cuando se suma un número con cero se obtiene el mismo
número.
Cuando se multiplica un número por uno se obtiene el
mismo número.
siempre en el sentido de "lo uno o lo otro o las dos
cosas a la vez".
Si observamos con atención notaremos que
las propiedades de los números se basan en las
operaciones de suma y multiplicación. Esto se debe
a que la suma y la multiplicación son las operaciones básicas; la resta y la división dependen de
ellas. La resta es la suma de un inverso aditivo y
la división es la multiplicación por el inverso multiplicativo. Esto es:
a
1
a − b = a + (− b) y
= a • = a • b − 1
b
b
Observe que 3 – 5 ≠ 5 – 3 y 5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5, lo
que nos dice que la resta y la división no son conmutativas y tampoco son asociativas.
Propiedades de potencias
En la tabla adjunta se resumen las propiedades
que verifica la potencia de números reales.
Propiedades de potencias
Exponente cero
a0 = 1
Exponente uno
a1 = a
Producto de potencias
am • an = am + n
de igual base
am
= am − n
n
a
(a • b)m = am • bm
Cociente de potencia
de igual base
La propiedad del elemento simétrico para el
producto permite deducir una propiedad de los
números muy utilizada en el cálculo.
Potencia de un producto
Sean a y b números. Si el producto a • b = 0,
entonces a = 0 o b = 0.
Esta propiedad indica que toda vez que el
producto de números es cero, necesariamente
uno de los factores debe ser cero. Entiéndase que
puede ocurrir que a la vez a = 0 y b = 0, ya que esta
posibilidad no se excluye; cuando en matemáticas
decimos "a = 0 o b = 0", la conjunción o, se usa
Potencia de un cociente
Potencia de una potencia
(am)n = am • n
Exponente negativo
Base negativa
exponente par
Base negativa
exponente impar
15
m
am
a
= n
b
a
a
−m
1 a
= m ;
a b
−m
b
=
a
(– a)m = am
(–a)m = – am
m
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Expresiones radicales
b)
1
t7 = 49 porque 7 • 7 = 49
2
a)
2
121 = 11 pues 112 = 11 • 11 = 121
b)
5
32 = 2 pues 25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
c)
3
343 = 7 pues 73 = 7 • 7 • 7 = 343
Cada parte de un radical lleva un nombre:
4 porque 2 • 2 = 4
=
3 3 9
3
9
2
En la expresión
−1 −1
=
32 2
En este libro Matemática Zapandí también haremos cálculos y estimaciones pero adaptándolas
al conjunto de los números reales, enunciando
para aquellos casos las nuevas propiedades que
se consideren necesarias y fundamentales.
n
a :
"n" recibe el nombre de índice
"a" recibe el nombre de subradical
es el símbolo radical
Por ejemplo:
a)En 8 30 , 8 es el índice del radical y 30 es el
subradical.
b)En 3 27 , 3 es el índice del radical y 27 es el
subradical.
Raíz enésima de un número real
Si a es un número real mayor o igual a cero y
Importante
n es un número natural mayor que uno, se define
1
n
raíz enésima de a y se denota a n , al número real
n
camente tenemos:
=a
I. Cuando un elemento x pertenece a un conjunto
A, lo denotamos x ∈ A. Si esa relación no se
cumple, escribimos x ∉ A.
Notación
La raíz enésima de a se denota
1
n
a , es decir:
an = n a
Por ejemplo:
Por ejemplo:
a)
2 ∈ ℝ porque 2 = 1,41423562… posee
una expansión decimal infinita no periódica.
8 (se lee raíz cúbica de 8) se puede denotar
1
n
Relación de pertenencia e inclusión
1
a n = b ⇔ bn = a
3
an = a
( a)
positivo b que cumple la igualdad bn = a. Simbóli-
a)
a = b ⇔ bn = a
Por ejemplo:
t54 = 625 porque 5 • 5 • 5 • 5 = 625
5
n
podemos expresar esto
t23 = 8 porque 2 • 2 • 2 = 8
36 6
= •
26 5
1
n
Así usando el hecho de que a n = a , también
Así por ejemplo tenemos que:
t
625 (se lee raíz cuarta de 625) se puede de1
notar también 625 4 , es decir 625 4 = 4 625
En el libro Matemática Ujarrás estudiamos al
conjunto de los números racionales y sus respectivas operaciones; entre ellas las operaciones
potenciación y radicación con base racional y
exponente natural.
t 2
4
1
también 8 3 , es decir 8 3 = 3 8 .
b)
16
4 ∉ II porque
4 = 22 = 2
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3
3
3
porque − 8 = − 2 = − 2
c) − 3 8 ∉
Por ejemplo:
a)
d)0,404061017… ∈ II porque posee una expansión decimal infinita no periódica.
⊂ℤ
b) ℤ ⊂ ℚ
c)
OBSERVE ES IMPORTANTE
⊂ ℚ
d) ℚ ⊂ ℝ
Un mismo número se puede representar de
diferentes maneras.
e)
f)
Por eso, hay que tener cuidado antes de
asegurar que un número pertenece o no a cierto
conjunto.
Números reales ℝ
II ⊂ ℝ
{−
5, 1, 3
}
⊄ II este caso debe observase
con mucho cuidado porque − 5 ∈ II, 3 ∈ II,
pero 1 ∉ II, 1 es un número natural.
25 + 2
g) − 4, 3 27 ,
⊄ℤ
3
−2,12
π
5
7
En este caso se tiene que − 4 = – 2 ∈ ℤ
3
3
3
también 27 = 3 = 3 ∈ ℤ, recuerde que:
− 5(− 3)0
− 21
7
2
− 7 11
2
− 15
− 3
3
− 8
− 1
9
0
5
3 3,
0,0101001000…
3
27
8
3−33
an = a
y además
sen 70°
81
(
n
16
− 17
4
0,3 −
3
3,1415
)
25 + 2 5 + 2 7
=
= ∉ℤ
3
3
3
3
25
Importante
Cuando en un conjunto se coloca un signo a la
derecha y arriba (en posición de un exponente) se
restringe únicamente a los números de ese signo
que pertenecen al conjunto.
II. Cuando todos los elementos de un conjunto A
pertenecen a un conjunto B, decimos que A es
un subconjunto de B, independientemente de
que existan elementos de B que no pertenecen
a A.
Por ejemplo:
En tal caso, lo denotaremos A ⊂ B si A no es
un subconjunto de B, lo denotaremos A ⊄ B.
17
t
ℝ– significa: el conjunto de todos los números
reales negativos.
t
ℝ+ significa: el conjunto de todos los números
reales positivos.
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplos
5) ℚ+ _____ ℝ
En cada uno de los siguientes casos, complete
con ∈ o ∉ ó ⊂ o ⊄.
real positivo por eso ℚ+ ⊂ ℝ.
1) 0,345 841 300 2… _______ ℚ
6)
Como el número 0,345 841 300 2… es un
número cuya expansión decimal es infinita y
no periódica. Entonces, no pertenece a los
números racionales: 0,345 841 300 2… ∉ ℚ.
2) 2,4 +
1
_______
4
Para pasar un número racional en notación
decimal periódica pura a fracción se hace lo siguiente: se escribe en el numerador el número
sin la coma decimal, se resta el período y en
el denominador se escriben tantos números
como cifras tenga el período. (Ver página 18
Ujarrás. Decimales períodos puros).
Al convertir la expresión 2,4 a fracción,
tenemos que 2,4 =
|a|=
_____ ℤ+
33 3
=
queda claro
53 5
a si a ≥ 0
– a si a < 0
Gráficamente
, se dijo que
–a
= {0, 1, 2, 3, 4,…}, como ℤ = ℤ– ∪ {0} ∪ ℤ+,
esto nos indica que
3
Si a es un número real, entonces el valor
absoluto de a es
El número – 0,245 6 es un número cuya expansión decimal es finita, en un número racional.
Cuando consideramos a
27
=
125
Al simplificar
3
es un número racional. Entonces
que
5
27 ∉ II.
3
165
3
El valor absoluto de un número a denotado por
| a |, es la distancia desde 0 hasta a sobre la recta
de los números reales. La distancia es siempre
positiva o cero, de modo que tenemos | a | ≥ 0 para
cada número a.
Así, – 0,2456 ∈ ℚ–.
4)
27 _____ II
125
Valor absoluto
24 − 4 20
=
. Entonces,
9
9
20 1 80 + 9 89
+ =
=
que es un número ra9 4
36
36
1
cional. 2,4 + ∉ .
4
3) – 0,245 6 _______ ℚ–
3
Importante: si necesita repasar la representación decimal de los números decimale, repase
la semana primera de Matemática Ujarrás 2016,
páginas 17 a 21.
a
7)
_____ ℚ– donde a ∈ ℚ–, b ∈ ℤ+
b
El resultado de dividir una fracción negativa
entre un número entero positivo será siempre
una fracción negativa, así con certeza podemos
a
asegurar que
∈ ℚ–.
b
Recuerde:
Cada número racional positivo es un número
⊄ ℤ+.
a
18
a
0
0
a
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Por ejemplo:
e) | 3 – π | = – (3 – π) = π – 3
a) La expresión | 3 | se lee "valor absoluto de tres",
la cual corresponde a la distancia desde 0 al
número 3.
Cuando se trabaja con valores absolutos,
usamos las propiedades siguientes:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Propiedad
Ejemplo
Descripción
El valor absoluto
de un número es
1. |a| ≥ 0
|– 3| = 3 ≥ 0
siempre positivo o
cero.
Un número y su
negativo tienen
2. |a| = |– a|
|5| = |– 5|
el mismo valor
absoluto.
El valor absoluto
de un producto es
3. |ab| = |a| |b|
|– 2 • 5| = |– 2| |5|
el producto de los
valores absolutos.
El valor absoluto
12
a a
12
de un cociente es
4. =
=
b b
− 3 – 3
el cociente de los
valores absolutos.
b) La expresión | – 3 | se lee “valor absoluto de menos
tres”, la cual corresponde a la distancia desde
– 3 al número 0.
c) Si el número es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número.
5
= 5
0
= 0
3
=
2 =
4
3
4
2
d) Si el número es negativo, su valor absoluto es
el opuesto del número.
Operaciones con valor absoluto
A. Realice las siguientes operaciones:
− 8 = −(− 8) = 8
(
)
−3 5 = − −3 5 =
(puesto que 3 < π ⇒ 3 – π < 0
1. |2 + 3(– 4)| = _______
3
5
Solución:
Observe
|2 + 3(– 4)| = |2 – 12| = |– 10| = 10
2.– |– 4| = _______
De los resultados anteriores, podemos
concluir que el valor absoluto de un número,
nunca es negativo.
Solución:
– |– 4| = – (4) = – 4
19
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3.– |(– 2)2 | = _________
C. Simplificación de expresión con valor absoluto
Solución:
1) |(– 1 + 4(2)) + 2| + |– 4 – (7 – 2 • 3)| = _______
– |(– 2)2 | = – |4| = – 4
Solución:
4.– |– 2|2 = _________
Solución:
– |– 2|2 = – (2)2 = – 4
5.(– |– 2|)2 = __________
|(– 1 + 8) + 2| + |– 4 – (7 – 6)| =
|7 + 2| + |– 4 – 1| =
|9| + |– 5| = 9 + 5 = 14
2)
Solución:
(– |– 2|)2 = (– (2))2 = (– 2)2 = 4
Solución:
B.Calcule
1)
5 + 2 = _______
2.
5 +2 = 5 +2
2 + 1 19
−
=
3
4
3 − 39 = _______
3 19
−
=
3
4
Como 3 − 39 ≈ – 3,24 , entonces el valor absoluto cambia de signo. Entonces
3 19
−
=
4 3
3. − 1− 3 = ______
1 3 – 2 12 + 8 2
+
−
− =
2
4
3
6
1 1 20 1
+ −
− =
3 3
2 4
Como 5 + 2 ≈ 4,23 , entonces el valor absoluto
"queda igual".
8 2
1 3 1
+ − − 4 + − = _____
3 6
2 4 2
El número − 1− 3 es negativo; entonces
− 1− 3 = − (− 1− 3) = 1+ 3 .
9 – 76
=
12
− 67
12
20
Observe 2 1
=
6 3
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 2
Si a > 0 y b < 0 son números reales, calcule las siguientes expresiones.
1. a = ____ 3. ab2 = ____ 5. 7b = ____ 7. a2 = ____
2. b = ____ 4. b 3 = ____
6. a
= ____ 8. 5 b6 = ____
2
Números reales opuestos
Propiedades del conjunto de los
números reales
Dos números reales son opuestos, si se localizan a la misma distancia del cero en la recta
numérica.
Considerando que el conjunto de los números
reales se forma mediante la unión del conjunto
de los números racionales y del conjunto de los
números irracionales, podemos asegurar que el
conjunto de los números reales posee las propiedades siguientes:
1. ℝ es un conjunto infinito, por cuanto ℝ = ℚ ∪ II.
Tanto ℚ como II son conjuntos infinitos, entonces
ℝ también es infinito.
2. ℝ no tiene primero ni último elemento.
Por ejemplo:
– 3 es el opuesto de
3
2
–2
es el opuesto de
2 es el opuesto de
3
– 3 3 es el opuesto de
3
3. El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, ya que dados dos números
reales distintos siempre se puede establecer
entre ellos una relación de menor o mayor.
– 2
3
3
4. ℝ es un conjunto completo, ya que a todo
número real le corresponde un punto sobre la
recta y a todo punto sobre la recta le corresponde un número real.
3
3
21
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplos
Cuando solamente teníamos a los números
racionales, aunque representáramos en la
recta numérica muchos números racionales
muy cerca uno del otro, siempre quedaban
puntos libres, puntos que no corresponden con
números racionales. Los números irracionales
vienen a llenar los "huecos" que dejan los
números racionales en la recta numérica.
5. ℝ es denso, ya que entre dos números reales,
existen infinitos números reales.
Orden de los números reales
El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, esto es dado dos números reales
cualesquiera, siempre es posible establecer cuál
de ellos es el mayor, o si se trata de la misma
cantidad.
De acuerdo con la Ley de Tricotomía, para
a ∈ ℝ, b ∈ ℝ cualesquiera se tiene:
Intervalos reales
a < b se lee "a es menor que b"
Con respecto a los números reales, tenemos
que es continuo, es denso y es completo. Con estas
propiedades se garantiza que entre dos números
reales cualesquiera, hay una infinidad de números
reales entre ellos. Por ejemplo, entre – 1 y 0 se
encuentra infinita cantidad de números reales.
a > b se lee "a es mayor que b"
a = b se lee "a es igual a b"
Recuerde:
Para dos números reales cualesquiera
a y b sólo una de las tres relaciones es
verdadera.
En este caso al número -1 se le llama extremo inferior y al número 0 se le llama extremo superior.
a < b, a = b , a > b
En general tenemos:
22
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Dados dos números reales a y b, donde a < b,
a
4. Intervalo semiabierto por la izquierda de extremos a y b.
b
podemos definir los siguientes conjuntos.
]a, b] = {x/x ∈ ℝ; a < x ≤ b}
a
b
Por ejemplo: 1∉ ]1, 3], 3 ∈ ]1, 3]
1. Intervalo abierto, de extremos a y b.
]a, b[ = {x/x ∈ ℝ; a < x < b}
Intervalos de extremos infinitos
Nótese que a ∉ ]a, b[,
5. El conjunto de números reales mayores o
iguales que a.
Por ejemplo: 5 ∉ ]5, 8[ , 8 ∉ ]5, 8[
a
b
b ∉ ]a, b[
[a, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ; x ≥ a}
Recuerde: ∈: pertenece ∉: no pertence
a
Por ejemplo: 5 ∈[ 5, + ∞[
2. Intervalo cerrado, con extremos a y b.
[a, b] = {x/x ∈ ℝ; a ≤ x ≤ b}
a
6. El conjunto de números reales mayores que a.
]a, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ; x > a}
b
Nótese que a ∈ [a, b],
Por ejemplo: − 1∈[ − 1, 2 ], 2 ∈ [ − 1, 2 ] a
b ∈ [a, b]
Por ejemplo: 4 ∉ ]4, + ∞[
3. Intervalo semiabierto por la derecha, de extremos a y b.
7. El conjunto de números reales menores o
iguales que a.
[a, b[ = {x/x ∈ ℝ; a ≤ x < b}
]– ∞, a] = { x/x ∈ ℝ; x ≤ a}
a
a
b
Por ejemplo: − 3 ∈ ]− ∞, – 3]
Por ejemplo: 1∈ [1, 7[ , 7 ∉ [1, 7[
23
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
8. El conjunto de números reales menores
que a.
La segunda es utilizando la notación por comprensión de conjuntos. Para hacerlo, escribimos
entre llaves la desigualdad señalada después de ser
explícitos en que nos referimos a números reales:
]– ∞, a[ = { x/x ∈ ℝ; x < a}
{x/x ∈ ℝ, 1 < x < 2}
a
Por ejemplo: 2 ∉ ]– ∞, 2[
La expresión anterior se lee: "x tal que x es un
número real mayor que 1 y menor que 2".
9. El conjunto ℝ de los números reales, se puede
definir como el intervalo:
]– ∞, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ, – ∞ < x < + ∞}
La tercera notación es utilizando paréntesis
cuadrados. Los intervalos reales son tan utilizados en la matemática que necesitan una notación
particular. Esta es ]1, 2[ y se lee: el intervalo entre
1 y 2 ambos abiertos (abierto: que no incluye al
número).
Es importante destacar que este conjunto
]1, 2[ no tiene un menor elemento, porque el 1 no
pertenece al conjunto y cualquier otro número que
pertenezca al intervalo no podrá ser el menor, ya
que siempre se podrá escoger un número que sea
mayor que 1.
Recuerde:
1. Un intervalo es un subconjunto de
los números reales. Los intervalos
pueden ser abiertos, cerrados, semiabiertos o de extremos infinitos
llamados también semirrectas.
Algunos intervalos se pueden expresar con una
notación más simple ya que representan conjuntos
muy utilizados.
2. Se utilizará el símbolo +∞ para indicar el infinito positivo y el símbolo
–∞ para infinito negativo.
Nos referimos a ]0, + ∞[ = ℝ+ el conjunto de los
números reales positivos y ]– ∞, 0[ = ℝ– el conjunto
de los números reales negativos.
Por lo general, los intervalos se representan
en tres notaciones, la primera es la notación gráfica, que es como lo representamos en los casos
anteriores.
24
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 3
1. Complete la siguiente tabla.
Notación gráfica
Notación de intervalo
a)
b)
Notación por comprensión
{x/x ∈ ℝ, – 2 ≤ x < 5}
]– 5, 8]
c)
d)
e)
f)
{x/x ∈ ℝ, – 4 ≥ x}
]– 2, + ∞[
g)
h)
[3, 7]
i)
j)
k)
{x/x ∈ ℝ, – 4 < x ≤ 6}
11. − 2, 5
l)
m)
{x/x ∈ ℝ, x > – 1}
]– ∞, 0,5]
n)
ℝ+
ñ)
ℝ
0)
{x/x ∈ ℝ, – 3 < x ≤ 2}
25
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. En cada una de las siguientes proposiciones, complete con ∈, ∉ según corresponda adecuadamente.
1
3
− 2
1.
3 ___ [ − 3, + ∞[
8.
2.
−3 ___ ]3, + ∞[
9.
3.
− 5 ___ ]− 2, − 1]
10.
4.
3 ___ ]− 2, 4[
22
11. e + π ___ 2,
7
5.
− 8 ___ ]− 2, − 1 [
12. − 2,1___ [ − 2,11, + ∞[
6.
π
___ [ 2, 3,1415[
2
13. − e ___ ]− 3, − 2[
7.
12 ___ ]1, 5[
___ R+
− 7 ___ [ − 2, + ∞[
5
___ ]0, 2[
4
14. − e + 2 ___ ]− 2, 0[
26
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 1
REPRESENTEMOS EN LA RECTA NUMÉRICA
ALGUNOS NÚMEROS REALES
1. Represente en la recta respectiva los siguientes números reales. (Algunos de estos números pueden
ser ubicados en dos o más rectas)
a)
5; − 8; 5 21 ; − 4,75; 0,3;
0
1
2
3
4
4;
5
6
6;
−π
3
7
8
N
b)
c)
II
d)
IR
e)
27
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Obtenga el opuesto de cada número real.
a) 5 el valor opuesto es _______________
b) – 3 el valor opuesto es ________________
9 = ____ el valor opuesto es _______
c) d) − 6 el valor opuesto es _______________
3. Complete las expresiones siguientes. Escriba en los espacios los símbolos >, < ó = según corresponda.
a) −7 ___ − 4
g)
3
8
___
5
7
b) −3 ___ 5
h)
3,24 ___ 3,24
c)
π
___ − 1,57
2
i)
1
___ 0,09
11
d)
π
___ 2e
4
j)
5
___ 0,8333…
6
e)
225 ___
f)
289 ___ 17
3
500
k)
2 ___
l)
π ___ e
π
28
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
4. Escriba una equis (x) si cada número de ℝ pertenece a los conjuntos , ℤ–, ℤ+, ℚ e II.
N
-3
0
Ú
M
20% 0,333…
100
0,09
E
0,3
R
25
12
7
O
2
3+ 4
−
32
32
−
2
2
3
25
Entero positivo
Entero negativo
Número racional
Número
irracional
5. Completar con SÍ o NO, según corresponda, la siguiente tabla.
NÚMERO
7
10
–2,08
1,1212212221…
5
–2,2424…
4
7
6
−
Natural
Entero
Racional
Irracional
Real
6. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Escriba F (falso) V (verdadero).
a)100 ∈
_________
b)5,41 ∈ ℤ _________
c)3,14 ∈ ℚ _________
3
− 216 ∈ ℤ _________
d)0 ∈ ℤ _________e)
∈ ℝ _________f)
5
g)2,141414… ∈ ℚ _________h)
−5
∉ ℚ _________
6
29
i)500,1 ∉
_________
8
2
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
7. Coloque el símbolo ∈ (pertenece) o el símbolo ∉ (no pertenece)en cada una de las proposiciones
siguientes.
1)
1 ________ ℤ
3
10) 3,14159 ________ II
2) − 1 ________ ℚ
2
11) 0,3 − 7 ________ ℤ
3
3)
3
12) 2,3511 ________ II
4)
2 ________ ℚ
________ ℝ
13) 0 ________ ℝ
0
0
5) 0,1333... ________ II 14)
________
4
π+π
________
π
6) 1,5 ________ ℚ
15)
7) 0,12 ________ ℚ
16) π ________ ℚ
e
8) 0 ________ ℚ
8
17) a ________ ℚ a ∈ II , b ∈ ℤ+
b
9) − 34 ________
− 17
18) 2π – e + 1 ________ II
8. Señale en la recta numérica los valores opuestos de cada número real.
−1
2
− 1; −5; ; ; 3; 5
3
5
30
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
9. Complete con ⊂ o ⊄ las siguientes proposiciones según corresponda.
1. ℤ+ _______
2.
4 − 9
7. , , 2,3 _______ II
3
7
5 + 1
_______ ℚ+8.
_______ II
π, e, 2
3. ℝ _______ ℚ
9. ℤ ∩
4. {1, 2, 3} _______ 10.ℚ ∪ ℤ _______ ℤ
5.
{−
4, (− 2)2
} _______ ℤ
6.
{−
5, − 9 _______ II _______ {0}
11.{0} _______ ℝ
–
}
12.ℚ ∩
_______ ℚ
10. Indique si la afirmación es V (verdadera) o F (falsa).
1. Un número entero es un número racional.
_______
2. Un número racional es un número entero.
_______
3. Un número es racional o irracional pero no ambos.
_______
4. Todo número real es irracional.
_______
5. Todo número real es racional.
_______
11. Complete las expresiones siguientes, escribiendo en los espacios correspondientes los símbolos
>, < ó = según corresponda.
a) –7 ______ –14
h) 3,24______ 3,24
b) – 3 ______
i) – 0,25 ______– 0,26
3
−5 31
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
π
c)
______ 1,57
j) – 8,50 ______– 8,50
2
1 .______ 0,09
d) π ______ 2 e k)
5
11
4
e) 225______ 500
l) 2 ______0,666…
3
5 ______0,8333
f) 289______ 172m)
6
4
g) − 3 ______ 8 n)
2 ______ 4
7
5
( )
12. Escriba V si la proposición es verdadera o F si es falsa.
a) (
)
– 4 es un elemento de ℤ.
b) (
)
π es un elemento de ℝ pero no es elemento de ℚ.
c) (
)
Todo número irracional es número real.
d) (
)
Todo número entero es un número racional.
e) (
)
Todo número decimal es número real.
f) (
)
La intersección del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números
irracionales es el conjunto vacío.
g) (
)
Todo porcentaje puede expresarse como decimal.
h) (
)
Todo número racional puede expresarse como decimal.
i) (
)
Todo decimal puede expresarse como el cociente de dos enteros.
j) (
)
Todo porcentaje es un número real.
32
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
13. Hagamos operaciones con valor absoluto.
Simplifique:
a) 3 – 4 • (2 – 7) = _______________
Solución:
3 – 4 • (2 – 7) = 3 – 4 • –5
= 3 + 20
= 23
= 23
b) − 32 − 22 + (4 − 1)2 2 = _________________
Solución:
– 32 – 22 + (4 – 1)2 2 =– 9 – 4 + 32
=
– 9–4+9
=
– 14
= – (14)2
=–196
2
2
2
14. Exprese los siguientes conjuntos de números:
a) Gráficamente b) En forma de intervalos c) Notación por comprensión
1. Todos los números mayores que 4.
2. Todos los números mayores que 1 y menores o iguales que 3.
3
3. Todos los números menores o iguales que .
4
4. Todos los números menores que 4 y mayores o iguales que 2.
5. Todos los números mayores que -2 y menores que 5.
6. Todos los números mayores o igual es que -3 y menores que 2.
7. Todos los números reales.
8. Todos los números mayores o iguales que 11.
9. Todos los números menores que 1.
33
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
1
12
o menores o iguales que
.
3
7
11. Conjunto de los números mayores o iguales que -8 y menores que -2.
10. Los números mayores o iguales que
12. Conjunto de los números negativos.
15. Marque sobre la recta numérica real cada uno de los conjuntos siguientes. Mediante notación de
intervalos represente el conjunto:
a) { x / x ∈ IR , -7 ≤ x < -2 } = __________
b) { x / x ∈ IR , x > 1, x < 10 } = __________
c) { x / x ∈ ℝ, x ≥ 5, x ≤ 10 } = __________
'
d)
{ x / x ∈ ℝ, – 2 ≤ x < 9 } = __________
e)
{ x / x ∈ ℝ, – 5 < x } = __________
34
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
16. Marque sobre la recta numérica real cada uno de los siguientes intervalos y escriba dicho intervalo
utilizando la notación de conjuntos.
a) ] – 2 , 4 [ = _______________
b) [ 3, 7 ]
= _______________
c) [ 1, 6 [
= _______________
d) ] -4 , 0 ] = _______________
e) [ 0, +∞ [
= _______________
f) ] -∞, 5 ]
= _______________
35
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
17. Escriba una equis (x) en la letra que antecede la opción correcta.
1. El conjunto { x / x ∈ ℝ, x ≤ 3 } escrito en notación de intervalo es
A)]
3 , + ∞[
B)[
3 , + ∞[
C) ] – ∞, 3 ]
D) ] – ∞, 3 [
2. Considere las siguientes afirmaciones.
I. 0, 353 ∈ II
1
∈ II
9
III. 0, 325 781 326... ∈ II
II.
¿Cuál de las las afirmaciones anteriores son verdaderas?
A) Solo la I
B) Solo la III
C) Solo la I y la II
D) Solo la II y la III
3. El intervalo ] -5, 4 [ escrito en notación de conjunto corresponde a
A) { x / x ∈ IR , -5 ≤ x ≤ 4 }
B) { x / x ∈ IR , -5 ≤ x < 4 }
C) { x / x ∈ IR , -5 < x ≤ 4 }
D) { x / x ∈ IR , -5 < x < 4 }
4. El conjunto { x / x ∈ IR , 5 ≤ x ≤ 7 } escrito en notación de intervalo corresponde a
A) [ 5, 7 ]
B) [ 5, 7 [
C) ] 5, 7 [
D) ] 5, 7 ]
36
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
En el tema denominado conjunto de los números reales conocimos sus principales características: infinito, denso, completo, continuo.
Según los historiadores se trata de una tablilla para escolares, parecida a nuestras tablas de
multiplicar.
También observamos que un número real
puede ser racional o irracional. Con respecto a
los números irracionales sabemos que estos se
pueden expresar con una expansión decimal infinita no periódica.
Mucho tiempo pasó y fue hasta en el año 1525
que se presenta el símbolo
. Esta notación
significó un extraordinario avance en el manejo
de los radicales.
Por ejemplo:
Potenciación en ℝ
1,002 387 694 309 586 734 023 874…
Cuando estudiamos los números racionales,
sabíamos que con ellos podíamos efectuar las
operaciones básicas (suma, resta, multiplicación,
división) y además la operación potenciación con
exponentes naturales, como caso particular de la
multiplicación.
Sin embargo, otros pueden representarse con una
forma muy característica: la forma de radical.
Podemos decir que antes de que se usaran
signos de radical, para describir estos nuevos conceptos matemáticos, ya se empleaban las palabras
raíz o lado para referirse a la raíz cuadrada de
un número. Se tiene indicios que los sumerios,
un pueblo de la antigüedad 3000 años antes de
Cristo ya conocían este concepto de «la raíz».
Se dice que fue inventada por razones prácticas,
pues tenían la necesidad de calcular el área de una
superficie cuadrada cuando conocían la medida
de su lado.
Esta operación «Potenciación en ℝ» la vamos
a estudiar con más detalle pero ahora la vamos a
aplicar a todo el conjunto de los números reales y
en particular con los radicales.
Utilizando la operación potenciación tenemos, por
ejemplo que el producto 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 128
podemos escribirlo así:
Algunos indicios de esto se pueden observar
en una antigua tablilla conocida como el Texto
Plimpton 322, la cual consta de columnas alineadas
primero con números y luego su raíz.
27 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 128
En este caso tenemos que el número 2 se llama
base, el número 7 se llama exponente, el cual nos
indica que la base debe multiplicarse siete veces
y el número 128 se llama potencia.
«1 : 1 es su raíz»
Como podemos ver, las potencias no solamente
nos sirven para escribir en forma abreviada ciertos
productos sino que también nos permiten efectuar
operaciones en forma ágil y rápida.
«4 : 2 es su raíz»
«9 : 3 es su raíz»
En forma general, podemos expresarlo así,
pero ahora haciendo una generalización para po-
37
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplos:
tencias con exponentes enteros cuando la base
es un número real positivo:
an = a • a • a • a • a • a • a • a • a... = b, donde {a, b, n} ⊂ ℝ
n veces
Las leyes de potencias utilizadas anteriormente, cuando la base es un número racional
y los exponentes son números enteros también
se pueden trasladar al conjunto de los números
reales.
3. Potencia de una potencia: para determinar la
potencia de una potencia, se conserva la base
y se multiplican los exponentes.
Estas leyes de ahora en adelante se utilizarán tanto con números racionales ( 9 ,
4
16 , 25, 36, 16, 81, 4 81,...) como con
números irracionales tales como ( 2 , 3,
7 , 8 , ...).
(am)n = am • n
Ejemplos:
( )
5
( 8)
( )
7
( 7)
( 2)
a)
Leyes de potencias
b)
1. Producto de potencias de igual base: para
multiplicar potencias de igual base, se conserva
la base y se suman los exponentes.
c)
Ejemplos:
b)
c)
d)
(
(
(
(
) ( 3) = ( 3) = ( 3)
5) •( 5) = ( 5) = ( 5)
7) •( 7) = ( 7)
= ( 7) = 7
= ( 9) = ( 3 )
9) •( 9) = ( 9)
4
7
4+7
11
3
2
3+2
5
5
–3
5 + – 3
−3
7
−3 + 7
3 •
2
−2
−3
35
= 2
−2• −3
= 2
6
(a • b)n = an • bn
Ejemplos
2
4
5
7 =
10
4. Potencia de un producto: para determinar la
potencia de un producto, se eleva a potencia
cada factor.
am • an = am + n
a)
2
8 =
a)
4
b)
= ( 3) = 81
4
c)
2. Cociente de potencias de igual base: para
dividir potencias de igual base, se conserva
la base y se restan los exponentes.
(
(
(
) = ( 7) •( 6)
11• 2 ) = ( 11) • ( 2 )
4 • 9) = ( 4) •( 9) = 2
7• 6
3
3
5
2
3
5
2
5
2
2
• 32 = 4 • 9 = 36
5. Potencia de un cociente: para determinar la
potencia de un cociente, se eleva a potencia
tanto el numerador como el denominador.
am ÷ an = am – n, a ≠ 0
n
an
⎛ a⎞
=
; b ≠ 0
⎜⎝ ⎟⎠
b
bn
38
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplos:
4
(
(
(
=
(
a)
3
=
2
b)
5
2
7
)
2)
5)
2)
3
Ejemplos:
4
4
7
( 25 ) = 5
( 4) 4
( 2) = 2
=
( 9) 9
25
=
4
d)
2
9
2
( 3)
b)
( 2)
c)
( 5)
7
3
3
c)
a)
3
3
3
=
125
64
c)
c)
1
( 5)
2
=
1
5
o
x3 = 64
1) Si s2 = 25, y s > 0 entonces ese "s" se
llama raíz cuadrada de 25.
0
1
1
5
Es decir:
0
Obsérvese que s es la base de la potencia
25.
Por ejemplo:
Ejemplos:
b)
( 2)
s2 = 25
0
1
1
7
Observe lo siguiente:
( 8) = 1
(− 5 ) = 1
(− 9 ) = 1
( 8) =
( 5) =
( 9) =
=
( 3)
Partiendo del hecho de que la radicación es la
operación inversa de la potenciación; vamos a resolver situaciones en las que se utilice esta operación.
7. Potencia de exponente uno: en general, definimos a1 = a
a)
−2
=
1
Relacionemos raíces con potencias
2
Ejemplos:
b)
−5
=
2
6. Potencia de exponente cero: en general, si
a ≠ 0, definimos a0 = 1
a)
−7
3
125 = 5 puesto que 53 = 5 • 5 • 5 = 125
5
− 32 = – 2 puesto que
(– 2)5 = – 2 • – 2 • – 2 • – 2 • – 2 = – 32
8
2. Si el índice n es par y x positivo:
5
9=3
Por ejemplo:
a)
4
81 = 3 pues 34 = 81
Recuerde siempre
8. Potencia de exponente negativo: en general,
si a ≠ 0, definimos
Si el índice es 2, normalmente se omite
del radical, por esta razón lo escribiremos
así: 4 = 2
39
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
por la definición de raíz anterior cuando n = 2
b) De igual manera, tenemos que 4 625 = 5 puesto
que 54 = 625
1
3 = 32
Por tanto, lo anterior lo podemos escribir así:
Observación importante
t
3 • 3 = 32 = 3
Si el índice de a es par y el subradical a
es negativo entonces la raíz enésima de un
número real negativo no está definida en el
conjunto de los números reales.
n
Por ejemplo:
− 16, 4 − 1, − − 5 no son números rea
les, puesto que carecen de sentido en dicho
conjunto.
t
Si el índice n de n a es impar y el subradical
es un número real negativo se tiene que:
Por ejemplo:
En general, para expresar raíces en forma
de potencias, se coloca como base la cantidad
subradical, y como exponente, una fracción cuyo
numerador es el exponente de la cantidad subradical y cuyo denominador es el índice de la raíz.
m
a n = n am
1. Exprese en notación radical
2
Para expresar la potencia 8 3 en notación
radical, colocamos el numerador 2 como exponente de 8, y el denominador 3 como índice
de la raíz.
Ejemplos:
Exponentes racionales
2
a)
8 3 = 3 82
b)
1 4 4 1
= =
3
3
c)
π 3 = 3 π2
d)
x 7 = 7 x2
3
Hasta ahora solo hemos trabajado con exponentes enteros, pero también los exponentes
pueden ser números racionales. Veamos.
Debemos decir que los exponentes racionales
siguen las mismas reglas que los exponentes enteros, con la particularidad de que cada potencia con
exponente racional se puede escribir de esta manera:
e)
3
4
1
27
2
2
3
2 5
(ab )
=
5
(ab )
2 3
= 5 a 3b 6
1
an = n a
2. Exprese en notación exponencial
Analicemos el siguiente caso.
1
1
1
32 • 32 = 32
+
1
2
2
= 3 2 = 31 = 3
Para expresar el radical
5
32 en notación ex-
ponencial, colocamos el subradical (3) como
A su vez tenemos que:
la base de la potencia, luego formamos la
fracción que será el exponente del subradical.
40
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Colocamos como numerador al exponente (2)
2. Determine el valor de cada raíz.
de subradical y como denominador al índice
a. 1 =____
0,1 =____
0,0001 =____
b. 9 =____
0,09 =____
0,0009 =____
c. 36 =____
0,36 =____
0,0036 =____
d. 64 =____
0,64 =____
0,0064 =____
e. 0,04 =____ 400 =____
40 000 =____
f. 16 =____
1600 =____
0,0016 =____
g. 25 =____
0,25 =____
2500 =____
h. 0,49 =____
4900 =____
0,0049 =____
i. 81 =____
0,81 =____
810 000 =____
(5) de la raíz, esto es,
5
2
32 = 3 5 .
Ejemplos:
ACTIVIDAD 1
3. Simplifique las potencias siguientes:
Observe los siguientes ejemplos. Obtenga el
cuadrado perfecto de cada uno de los números
indicados. Por ejemplo:
a)122 = 12 • 12 = 144, 144 es un cuadrado
perfecto
b)(0,23) = 0,23 • 0,23 = 0,0529;
un cuadrado perfecto
2
b)
( 2 ) • ( 2 ) = _________
2 ( 3 ) = _________
c)
(5π )3 • (2π )−1 = _________
a)
d)
0,0529 es
e)
5
7
4
4
( 11) • ( 11) = _________
(5 2 ) • ( 5 ) • (7 4 ) • ( 5 ) • ( 3 4 ) • (7 4 )
9
5
5
2
3
2
3
1. Determine cada resultado:
f) a 2 x 4 y −2 z5 a 3 x −1y 7 = _________
a. 12 = _____ 0,12 = _____ 0,012 = _____
g)
b. 22 = _____ 0,22 = _____ 0,022 = _____
c. 32 = _____
d. 42 = _____ 0,42 = _____ 0,042 = _____
= _____
a −3 x 3 m5 n
• •
• = _________
p4 a 2 n6 x 7
h) π 2
0,32 = _____ 0,032 = _____
−3
( 3 )
5 −3
= _________
e. 52 = _____ 0,52 = _____ 0,052 = _____
4. Escriba en forma de potencia las raíces siguientes.
f. 62 = _____
0,62 = _____ 0,062 = _____
a)
g. 72 = _____ 0,72 = _____ 0,072 = _____
b)
h. 82 = _____ 0,82 = _____ 0,082 = _____
c)
i. 92 = _____ 0,92 = _____ 0,092 = _____
d)
41
42 = _____
e)
a
ap = _____
2 3 = _____
f)
x
y a = _____
5
7 3 = _____
g)
5
27a 6b 3 = _____
5
2 = _____
h)
7
16a 5b10 = _____
3
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Radicación en ℝ
5. Escriba en forma de raíz las siguientes potencias.
1
a) 215 2 = _________
2
b) 32 3 = _________
4
c) 9 3 = _________
Anteriormente estudiamos la operación potenciación utilizando para ello, los números reales.
Ahora vamos a estudiar la operación radicación
utilizando los números reales.
1
d) m 3 = _________
3
e) (ab)4 = _________
Al igual que en la suma, la operación inversa
es la resta, lo mismo ocurre con la multiplicación,
la operación inversa es la división. La operación
potenciación que hemos estudiado anteriormente
también posee una operación inversa, que se llama
radicación.
1
f) (x 6 y 7 z4 )3 = _________
6. Evaluar la expresión.
Por ejemplo:
a)
Este procedimiento inverso consiste en lo
siguiente: si tenemos an = b una potencia, la radicación nos permite obtener el término a conociendo
los términos b y n. Ya obtenido el valor de a, este
n
suele identificar así: a = b .
3x − 12 con x = 4.
¿El resultado es un número real? ________
Solución:
3x − 12 =
b)
c)
d)
e)
3(4) − 12
=
12 − 12
=
0
Se llama raíz n-ésima de un número
real b a otro número real a cuya potencia
n-ésima es igual a b (an = b).
= 0 ∈ℝ
Respuesta: Sí es un número ℝ.
Observe que para denotar la raíz n-ésima de
un número b utilizamos el símbolo n b . El valor
de n se llama índice. Resumiendo:
8 − 4y con y = 10.
¿El resultado es un número real? ________
x + 12
con x = – 6.
n
b=a
¿El resultado es un número real? ________
3y + 12 con y = – 5.
¿El resultado es un número real? ________
42
b : es el radical
b: es el subradical
n: es el índice
a: es la raíz
Un radical puede llevar coeficientes que formen
n
parte de él, como por ejemplo, 3 b donde 3
es el coeficiente y forma parte del radical.
Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra
a omitir el índice.
Si n = 3, es la raíz cúbica
Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente.
15 − 2x con x = 8.
¿El resultado es un número real? ________
n
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Algunas propiedades de los radicales
ACTIVIDAD 2
Considere a un número real y n un número
entero positivo mayor que uno.
1.
( a)
n
n
= a si
n
1. Escriba en el recuadro, el número real que
convierte cada expresión en una igualdad
numérica.
a existe
Ejemplos:
( 5) = 5
( − 8 ) = − 8
2
a)
b)
3
3
a) ( 7)
= 7
d) ( 5 5)5 =
b)( 5 11)
= 11
e) (10 )=2
c) ( 6)8 = 6
f) ( )3 = 5
Ejemplos:
2. Aplique las propiedades de las potencias y
los radicales estudiadas. Determine el número racional que representa cada una de las
siguientes expresiones:
a)
a) ( 2)4 =_____
b)
2.
3.
n
n
an = a si a ≥ 0
5 =5
3
33 = 3
Ejemplos:
a)
3
(− 2)3 = − 2
b)
5
(− 3)5 = − 3
4.
n
a = a , si a < 0 y n es par
n
Ejemplos:
a)
b)
(− 3) = − 3 = 3
2
4
=_____
3
b)( 3 -2)
=_____
e)
5
c)(5 7)
=_____
18
f) (6 2)
=_____
4
4
(-0,5)
=_____
3. Observe los siguientes ejemplos y simplifique
los ejercicios.
an = a si a < 0 y n es impar
12
d) 44 11 12
5
2
(− 2)4 = − 2 = 4
43
a)
(3x)2 = 3x
b)
a2b2 = (ab)2 = ab
c)
t2
=_____
d)
9x2
=_____
e)
(– 4d)2=_____
f)
(x + 3)2= _____
g)
1 2 =_____
x
4
h)
1 .
25
=_____
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Simplificación
de expresiones radicales
Así:
La mayoría de las veces necesitamos expresar los radicales en su forma más simple, es decir,
expresarlos de manera que el subradical y el índice
del radical sean lo menor posible; lo cual significa
expresar el radical en su forma estándar.
6 9
3
6
9
Solución:
Se escriben los factores del subradical como
potencias:
3a 4 25a 8 = 3a 4 52 a 8
CASO 1
6
6
3
x y z = x 3 y 3 z 3 = 2 xy 2 z3 = xy 2 z3
3
c) Simplifique la expresión 3a 4 25a 8
Consideremos los casos siguientes que nos
favorecerán posteriormente la comprensión de la
operación radicación con los números reales.
a) Exprese en forma simple
6
16
Solución:
1) Para llevar a la forma simple el radical
6
16 , debemos expresar el subradical en forma
de potencia. Observe que 16 puede escribirse
como 24, por lo tanto, podemos escribir:
Luego se divide el índice del radical y el exponente de cada factor del subradical por un mismo
número que sea divisor común de todos ellos.
Hallemos el divisor del índice y de los exponentes de los factores del subradical.
4282
2
1
4
Divisor común: 2
16 = 6 2 4
2) Seguidamente, expresamos el radical como
una potencia de exponente fraccionario:
6
6
4
24 = 2 6
3) Expresamos en la forma canónica el exponente
4
, es decir:
6
4
2
2 6 = 2 3 = 3 22 = 3 4
d) Simplifique la expresión
4) Por tanto tenemos que: 6 16 = 3 4 , que es la
forma simple del radical dado.
b) Simplifique la siguiente expresión:
6
x 3 y 6 z9
que dividir el índice del radical y el exponente de
cada factor del subradical por un mismo número
que sea divisor común de todos ellos. (Esto
m
n
observe que el divisor común es 3.
− 8a 3b6 x12
Se escriben los factores del subradical como
potencias de exponente igual al índice.
Para simplificar un radical como este, tenemos
es, hacemos uso de la propiedad
3
Solución:
Solución:
t
Cuando el divisor común del índice y de los
exponentes de los factores del subradical
es el mismo índice se puede proceder así:
am = a n ),
44
Usando la propiedad
siguiente
n
m
am = a n obtenemos lo
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Observe que hemos utilizado una ley de potencias. ¿Cuál es?
e) Simplifique la expresión 5a 3 27x 6 y18 z6
Solución:
De esta manera podemos escribir la potencia
con exponente fraccionario mediante un radical y
la otra como coeficiente del mismo. Es decir:
Se escriben los factores del subradical como
potencia de exponente igual al índice. Así:
1
22 • 2 3 = 4 3 2
5a 3 27x 6 y18 z6 = 5a 3 33 (x 2 )3 (y 6 )3 (z2 )3
Usando la propiedad
m
Esta es la forma simple del radical dado.
am = a n , obtenemos
n
lo siguiente:
3
3
3
3
3
5a 3 33 (x 2 )3 (y 6 )3 (z2 )3 = 5a 3 3 (x 2 ) 3 (y 6 ) 3 (z2 ) 3
(
= 5a 3x 2 y 6 z2
= 15ax y z
2
6
Como se puede apreciar las relaciones anteriores sugieren la propiedad multiplicativa de los
radicales.
)
2
Para cualquier par de números reales tenemos que:
n
ab = n a • n b
CASO 2
1. Exprese en forma simple
3
si n a y
positivo.
128
Escribimos el radical en la notación de potencia, esto es:
3
128 = 3 27
7
27 = 2 3
3
1255
25 5
1
3
53;a4 = a3 • a
55
Por esta razón tenemos que:
2+
125a 4b7
125a 4b7 = 3 5 3 a 3b6 • a1b1 =
1
7
3
Se expresa el subradical como producto de
potencias con índice igual al radical multiplicadas por otros términos.
Recuerde que la idea es hacer en lo
posible un subradical más pequeño.
23 = 2
b existen y n es un número entero
Solución:
7
Aquí tenemos que el exponente no se puede
3
simplificar.
7
1
=2+
Sin embargo, podemos escribir
3
3
n
2. Simplificar la expresión
Seguidamente, expresamos el radical (con el
subradical en forma de potencia) como una potencia
de exponente fraccionario:
3
128 = 4 3 2
b7 = b6 • b1
1
= 22 • 2 3
45
Se simplifica el radical extrayendo las variables
que permiten las propiedades.
Recuerde:
n
an = a ;
(a b )
m
n x
= am• x bn• x
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Simplificar la expresión
6
128x 6 y 7
Según la definición de la raíz, 20 3 será la raíz
cuarta de 5 3 si elevada a la cuarta reproduce
la cantidad subradical 5 3 .
Hagamos la comprobación.
Solución:
Se expresa el subradical como producto de
potencias con índice igual al radical multiplicados por otros términos.
6
128x 6 y 7 = 6 26 x 6 y 6 • 2y
1282
642
322
162
82
42
22
1
6
( 3)
20
= 3
2 =2 •2,y =y •y
7
6
1
7
6
1
=3
1
20
•4
=3
4
20
Descomponemos cada potencia como el
producto de un número múltiplo del índice
y otro número cualquiera.
= 2xy 6 2y
n
an = a
=3 =53
En este caso se trata de extraer la raíz cúbica
de 2 a = a .
Veamos
Comprobación:
Según la definición de la raíz, 6 a será la raíz
cúbica de a si elevada al cubo reproduce
( a)
6
a = 3•2 a = 6 a
a , y así es:
3
=
a
1
6
3
1
= a6
•3
3
1
= a6 = a2 = a
256a 8b8
Solución:
Esta ley se representa mediante la fórmula:
a =
3 2
c) Exprese en la forma más simple el radical
La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene
al multiplicar los índices de ambas raíces.
n•m
a
CASO 3
m n
3 2
Solución
la cantidad subradical
Este consiste en la obtención de la raíz de un
radical.
1
5
a
256a 8b8 = 2•2•2 256a 8b8
= 8 256a 8b8
Ejemplos
= 8 28 a 8b8
a) Exprese en forma simple
4 5
= 8 (2ab)8
3
Solución
En este caso se trata de extraer la raíz cuarta
5
de 3
t
4
1
20
b) Simplifique el siguiente radical
26 x 6 y 6 • 2y = 6 (2xy)6 • 6 2y =
4
4 5
t
3 = 4•5 3 = 20 3
46
= 2ab
Utilizamos la propiedad de los radicales:
m n
a = n•m a .
Para extraer la raíz de una raíz se conserva
el subradical y se multiplican los índices.
n
an = a
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Exprese en la forma más simple.
d) Exprese en la forma más simple el radical
3
5
a)
5 3
Solución:
b)
2x 2 y 3
c)
6 3
4 3
4 3
3 3• 4 3 12 3
=
=
5
5
5
Se utilizó la propiedad de radicales
m n
e)
e) Calcule el siguiente radical
g)
(xy 2 )3 = ______________
32x 2 y 2 = ______________
4mn
f)
5 + 14 + 1+ 9
4
16x = ______________
d)
x = n•m x
3x = ______________
(mn)3 = ______________
3 = ______________
3 4
2 = ______________
Solución:
h)
5 3
x10 = ______________
i)
3 4
7x = ______________
Estos ejercicios se comienzan a resolver desde
el radical más interior.
5 + 14 + 1+ 9 = 5 + 14 + 1+ 3
k)
= 5 + 14 + 4
= 5 + 14 + 2
l)
= 5 + 16
= 5+4
= 9
=3
ACTIVIDAD 3
1. Extraer todos los factores posibles de:
a)
b)
3
c)
d)
64x y z
= ______________
54x y z
= ______________
81a 5bc 6
= ______________
128a 8b2 c15
= ______________
6
3
7
3
2
12
2 = ______________
j)
3
4 3
3 5
ab = ______________
2
2
ax = ______________
3
m)
20 + 21+ 8 + 64 = ______________
n)
19 − 4 + 32 − 49 = ______________
ñ)
5a + 21 a + 16a 8 = ______________
2
4
CASO 4
En los ejemplos anteriores se han extraído
factores del radical, ahora se hará lo contrario;
introduciremos factores dentro de un radical. Vamos a utilizar una propiedad de los radicales que
dice: "para introducir factores dentro de un radical
47
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
se tiene que multiplicar su exponente por el índice
de la raíz y luego se multiplica por el subradical";
simbólicamente esto se escribre así:
MUY IMPORTANTE:
,
Utilizando la propiedad
podemos aplicar el caso 3 anterior; esto con el
fin de poder extraer raíces de la forma:
a n b = a nb
Ejemplos:
n
1. Introduzca el coeficiente en cada uno de los
siguientes radicales.
a) 2 3 4 = 2 3 • 4 = 8 • 4 = 32
am x = m•n am x
Algunos ejemplos:
x 2 2x = x 2•2 • 2x = 2x 4 • x = 2x 5
a) Simplifique el radical
simple.
c)
2x 4 y 3 3 4xy 2 = 3 (2x 4 y 3 )1•3 • 4xy 2
Solución:
= 3 2 x y • 4xy
12
9
2
= 3 (8 • 4)(x12 x)(y 9 y 2 )
= 3 32x 3 y11
d)
2a 3 3b2 3 2a
=
b
b 4a 2
1•3
•
3b2 3 2 3 a 3 3b2
=
•
4a 2
b 3 22 a 2
=
3
=
3
24a 3b2
4a 2b 3
6a
b
3
23 • 3
3
2 3 • 3 = 2• 3 8 • 3 = 6 24
3
3 = 6 24
b) Simplifique el radical
más simple.
Hagamos uso de la ley de potencias:
2 3 3 en la forma más
Aquí primero introducimos el factor 2 en el
radical 3 3 , observe que se multiplicó el exponente del factor 2 (el número uno) por el
índice del radical 3 3 (el número 3) se obtiene
Entonces,
3
x 2 x 3 en la forma
Solución:
m
am
a
=
b
bm
n m
b)
3
am x =
Simplifiquemos las potencias siguientes:
Aquí tenemos que aplicar la propiedad: raíz
de una raíz, que nos dice que para extraer la
raíz a una raíz se conserva el subradical y se
multiplican los índices:
m n
a = n•m a
Mucho cuidado…
t
Debemos introductir el factor 2 dentro del
radical x 3 ; obtenemos:
3
x 2 x 3 = x 3 22 x 3
48
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Observe lo que se hizo: aplicamos la propiedad
raíz de una raíz con los radicales.
3
t
ACTIVIDAD 4
22 x 3 = 6 22 x 3 = 6 4x 3
Simplifique al máximo cada uno de los siguientes radicales.
Debemos introducir el factor x dentro del radical
6
4x 3
x 6 4x 3 =
6
a)
x 6 4x 3 = 6•2 4x 9
2 3 25 = ______________
= 12 4x 9
3
x 2 x3 =
Entonces
12
b)
4x 9
5
c)
c) Simplifique el radical
simple.
3
a2
b en la forma más
b
d)
2 3 227 = ______________
25 x 2 y 2 = ______________
4
x 3 x = ______________
Solución:
Este radical nos está indicando que debemos
a2
hallar la raíz cúbica del subradical
b.
2 b
a
Primero debemos introducir el factor
dentro
b
del radical b . Veamos:
3
a
b
2
b =
3
=
6
a
•b
b2
=
6
a 4b
b2
=
6
a4
b
Entonces
3
2
a
b • b
2
4
a2
b =
b
6
a4
b
49
e)
2x 4 x = ______________
f)
5 3 abc = ______________
5 3
g)
2
3 2 = ______________
h)
3 3 5 3 3 = ______________
i)
− 3 3 ab 2a = ______________
3
j)
a4
k)
x2
13
a = ______________
a
13
x = ______________
x
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
45 = 32 • 5 = 32 • 5 = 3 5
Estimado estudiante:
A continuación presentaremos el tema de
los radicales semejantes y los radicales
homogéneos. El conocimiento de estos,
facilitará el estudio posterior de las distintas
operaciones con radicales.
Se hace uso de la ley
453
153
55
1
Radicales semejantes
n
an = a
32
Se hace uso de la siguiente propiedad:
Considere los siguientes grupos de radicales.
3
−7
2a
3
t
2a , 3 2a , 3
3
1
3
t
3, 5 3, 3
2
8
m
n
an = a m
4
2 4 = 2 2 = 22 = 4
802
402
202
102
55
1
Estos radicales tienen algo en común: tienen
el mismo índice y el mismo subradical; por ejemplo
el primer grupo, tienen como índice el número 3 y
como subradical 2a; el segundo grupo tiene como
índice el número 2 y como subradical el 3. A estos
radicales se les llama radicales semejantes.
Radicales semejantes: son aquellos
radicales que tienen el mismo índice y la
misma cantidad subradical; diferenciándose solamente en los signos y en los
coeficientes.
24
20 = 22 • 5 = 22 • 5 = 2 5
202
22
102
55
1
Así entonces se tiene que: 45, 80, 20
son equivalentes a 3 5, 4 5 y 2 5
Importante
Recuerde:
Algunas veces para determinar si dos o más
radicales son semejantes, se tiene que simplificar
cada uno de ellos para verificarlos.
El subradical también debe ser semejante.
No solo el índice nos indica que un radical
es semejante.
¡Pero cuidado! Si no son semejantes los
subradicales, piense en simplificarlos primero; eso le evitará mucho contratiempo.
Por ejemplo: 45, 80, 20
A simple vista estos radicales tienen en común
solo el índice 2, pero esto no es suficiente para
asegurar que ellos no sean semejantes, hay que
simplificarlos así:
Los radicales semejantes nos permitirán
sumar o restar radicales, un tema que
pronto estudiaremos.
50
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Radicales homogéneos
Solución:
Este tipo de radicales solo deben poseer una
característica común que cumplir: todos tienen
que tener el mismo índice; por ejemlo:
a)
b)
3
2 , 3 3, 3 5
1
3
3x, 5 5x 3 , 7x 5
2
8
7=
Radicales homogéneos: son aquellos
radicales que tienen el mismo índice.
Cuando los radicales no son homogéneos, estos se pueden homogeneizar. Pongamos atención.
1 1 4 4
= • =
3 3 4 12
b)
− 2 − 2 5 − 10
=
• =
7
7 5
35
3
1
3
6 =6 23 2
13 3
1 1 m.c.m.: 6
Encontramos el mínimo común múltiplo índice
de ambos índices: m.c.m. (2,3) = 6, transformamos entonces los radicales con índice igual
a 6 de la misma manera como amplificamos
fracciones.
1 3
•
3
1
3
1
1 2
•
2
6 = 63 = 63
3
= 7 6 = 6 7 3 = 6 343
2
= 6 6 = 6 62 = 6 36
62
– 6 3
0
63
– 6 2
0
Así entonces se tiene que 7, 3 6 es equivalente en su forma homogeneizada a
6
343; 6 36
9
4
b) 3 5 , 11
Un procedimiento semejante vamos a utilizar
para homogenizar radicales que poseen distinto
índice.
Solución:
Practiquemos la homogeneización
Consideremos los radicales siguientes, en
su forma heterogénea, es decir, con diferente
índice.
Reduzca al mínimo común índice estos radicales.
a)
1
2
7 ,
7 = 72 = 72
Recuerde que en los números racionales se
puede amplificar una fracción, es decir, multiplicar
el numerador y el denominador por un mismo número. Por ejemplo.
a)
En realidad reducir solo al mínimo común índice
significa homogeneizar radicales en radicales
con el mismo índice. Para esto, primero debemos transformar cada radical a una potencia
con exponente fraccionario.
7, 3 6
51
Transformemos los radicales con índice igual
al m.c.m. (4,9) = 36
36 4
1 9
9
1
•
36
9
4
– 36 9
4 9
36
4
5=5 =5 =5 = 5
0
9
1
1 4
•
9 4
11 = 11 = 11
9
4
= 11 =
36
Entonces tenemos que
valente a 336 59 , 36 114
36
11
4
36 9
– 36 4
0
3 4 5 , 9 11 es equi-
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
c)
3x; 5a 2 ; 6 4m
3
t
Solución:
1
3
3x = ( 3x ) 3 lo podemos amplificar así:
3
3x = ( 3x ) 3
1 2
•
2
( ) lo podemos amplificar así:
= ( 5a ) = ( 5a ) = ( 5a ) = ( 5a )
2
1 3
2 2•3
1
2 2
2
1
t
6
4m = ( 4m) 6 , amplificamos así:
6
4m = ( 4m) 6 = ( 4m) 6 1 = ( 4m) 6 = 6 4m
1 1
•
1
1
Respuesta:
es equivalente a
ACTIVIDAD 5
Homogeneizar los siguientes radicales.
5, 4 3
6)
5x, 3 4x 2 y , 6 a 3b
2)
3
4 , 4 8 , 3
7) 2 3 a , 3 2b, 4 4 5x 2
3)
3
5 , 4 2 , 3
8)
4
8a 2 x 3 , 6 3a 5m4
4)
4
3, 5 4 , 15
9)
3
2mn, 5 3m2p , 15 5m3p2
5)
3
2 , 6 3, 9 9
10)
6
2y 3 , 3 x 2 , 9 5m7
52
2 3
= 6 125a 6
= ( 3x ) 6 = 6 (3x)2 = 6 9x 2
6
= 6 53 a6
1)
3
2 6
236 2
133 3
1 1 1 El m.c.m. es 6
Como,
Los índices de estos radicales son 3, 2, 6.
Hallemos el m.c.m. de los índices.
t
5a 2
En realidad homogenizar radicales también
significa reducir los radicales al mínimo común
índice.
1
5a 2 = 5a 2
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Operaciones con expresiones que
contienen radicales
Ejemplos:
1. Obtengamos el resultado de
Hemos estudiado algunos definiciones y
principos básicos relativos a los radicales, pero
no hemos estudiado aún, las operaciones que se
pueden realizar con estos radicales. Seguidamente
vamos a considerar dos de ellas, muy conocidas
por todos nosotros, a saber:
6 2−4 2+3 2 =
Solución:
Estos radicales son semejantes; todos poseen
ela 2 como radical.
Entonces:
Suma y resta de expresiones
que contienen radicales
Para sumar o bien restar radicales, estos deben
ser radicales semejantes, es decir, deben poseer
igual índice e igual subradical.
2.Efectúe
− 2 12 + 8 3 − 75 =
Solución:
Importante:
La suma o resta de radicales semejantes da
como resultado otro radical semejante, cuyo
coeficiente se obtiene sumando o restando
los coeficientes de los radicales.
13
2
4
2.
1 5
− 2 5
7x , 7x
14
3
−2 12 = – 2 22 • 3 = − 4 3 122
6 2
22
33
1
8 3=8 3
− 75 = − 52 • 3 = − 5 3 753
255 52
5 5
1
Resolviendo tenemos que:
− 2 12 + 8 3 − 75 = − 4 3 + 8 3 + − 5 3
Ejemplos
3 3 2 , − 2 3 2 , Al simplificar los radicales tenemos.
Si los radicales no son semejantes se deja
la operación indicada.
1.
Índice : 3
Subradical : 2
Índice : 5
Subradical : 7x
= (− 4 + 8 + –5) 3
Observe:
= (4 + – 5) 3
El resultado de sumar dos o más radicales
semejantes se obtiene sumando los coeficientes
de los radicales y manteniendo el subradical. Esto
es p a + q a = (p + q) a .
= − 1 3
53
=− 3
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Efectuar 2 3 + 5 27 −
Entonces:
48
Solución:
2
3
Al simplificar los radicales tenemos:
48 =
2 • 3 = 2
4
2
3 = 4 3
Entonces: 2 3 + 5 27 −
48 =
28 −
12 =
= 8 3+2 7
Observe: 8 3 y 2 7 no son radicales semejantes; por eso no se suman
2
3
Solución:
5. Efectuar
18 +
3
5
3
23 • 3 = 2 3 3
3
81 =
3
33 • 3 = 3 3 3
24 +
3
81 = 23 3 + 33 3 = 53 3
3
81 –
3
128
50 −
1
3
Simplificando:
5 3 16 = 5 3 2 3 • 2 = 5 • 2 3 2 = 10 3 2
10 3 + 2 7 − 2 3 = 10 3 − 2 3 + 2 7 =
(10 − 2) 3 + 2 7
24 =
Solución:
22 • 3 = 2 3
28 −
3
7. Efectuar 5 3 16 +
22 • 7 = 2 7
Entonces: 2 75 +
81
Al simplificar los radicales, tenemos:
3
2 75 = 2 52 • 3 = 2 • 5 3 = 10 3
12 =
3
Al simplificar los radicales tenemos:
28 =
24 +
5
Entonces:
Solución:
5 = 5 2 −
Solución:
12
45 =
2 3 + 15 3 − 4 3 = (2 + 15 − 4) 3 = 13 3
4. Efectuar 2 75 +
3
6. Efectuar
1
3
50 −
2 2 +3 2 −
2 3 = 2 3
5 27 = 5 32 • 3 = 5 • 3 3 = 15 3
3
5
18 +
Simplificando cada término de la operación:
2
3
3
5
1
3
81 =
3
128 =
3
33 • 3 = 3 3 3
3
26 • 2 = 22 3 2 = 4 3 2
Entonces:
5 3 16 + 3 81 − 3 128 = 10 3 2 + 3 3 3 − 4 3 2
10 3 2 − 4
45
3
3
2+3
3
3 = 6
3
2+3
3
3
13
2
2
16 + 3 54 – 3 250
2
3
5
Solución:
Simplificando:
13
13 3
1
16 =
2 • 2 = • 23 2 = 3 2
2
2
2
8. Efectuar
2
2
• 3 2 = 2 2
32 • 2 =
3
3
3
3
52 • 2 =
50 =
• 5 2 = 3 2
5
5
1
1
45 =
32 • 5 =
• 3 5 = 5
3
3
18 =
54
2
23 3
23
3 • 2 = • 33 2 = 23 2
54 =
3
3
3
2
2
2
NÚMEROS
1
13 3
13
2 • 2 = • 23 2 = 3 2
16 =
2
2
2
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
23
23 3
2
54 =
3 • 2 = • 33 2 = 23 2
3
3
3
2
5
3
250 =
Entonces:
2
23 3
5 • 2 = • 53 2 = 23 2
5
5
13
2
2
16 + 3 54 – 3 250 =
2
3
5
3
2 +2 2 −2 2 = 2
3
3
3
9.Efectuar x 8x − 3 50x 3 + x 18x
c)
2 5 − 3 45 + 3 20 = ___________
d)
12 − 75 + 48 = ___________
e)
5a 3 − 3 3a 2 + 12a 2 = ___________
f)
2a 3a − 27a 3 + a 12a = ___________
g)
2 3 16x 5 − x 3 54x 2 + 3 128x 5 = ___________
Solución:
x 8x = x 2 2 • 2x = x 2 2 • 2x = 2x 2x
3 50x 3 = 3 5 2 • x 2 • 2x = 3 (5x)2 • 2x
Multiplicación de expresiones
radicales con un mismo índice
= 3(5x) 2x
Sabemos que para números reales tenemos:
= 15x 2x
x 18x = x 3 2 • 2x = x 3 2 • 2x = 3x 2x
n
Para multiplicar y simplificar radicales podemos utilizar la propiedad multiplicativa de los
radicales.
Entonces:
x 8x − 3 50x 3 + x 18x = 2x 2x − 15x 2x + 3x 2x
= (2x − 15x + 3x) 2x
Ejemplos: Multiplicar
= − 10x 2x
ACTIVIDAD 6
Sume y reste los siguientes radicales.
a)
4 18 + 2 8 − 3 32 = ___________
b)
7 3 16 + 3 3 54 − 2 3 128 = ___________
a = na•nb
1.
5 • 7 = 5 • 7 = 35
2.
8 • 8 = 8 • 8 = 64 = 8
Algunas veces, también podemos simplificar
después de multiplicar.
Por ejemplo, se pueden encontrar factores
cuadrados perfectos y tomar sus raíces cuadradas.
55
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplos: Multiplicar y simplificar
a)
Entonces: 2 15 • 3 30 • 5 8 = 15
5
4
6
3 • 18 = 3 • 18 = 54 = 3 • 6 = 3 6
2
Solución
542
273
93
33
1
6
f) Efectuar
32
5
8a 3b 4 •
5
8a 2 b 3
Solución:
b)
c)
d) Efectuar 3 3 10 • 5 3 12
Solución:
Se multiplican los coeficientes, luego los subradicales así:
Entonces
3 3 10 • 5 3 12 = 3 • 5 3 10 • 12 = 15 3 120 =
8a 3b 4 • 5 8a 2b 3 = 2ab 5 2b2
IMPORTANTE
Debemos tener presente que no siempre es
posible extraer todos los factores de una expresión
radical.
15 3 2 3 • 3 • 5 = 15 • 2 3 15 = 30 3 15
2
3
5
15 •
30 •
8
5
4
6
Solución:
Las raíces no exactas, quedan en el subradical
y determinan números irracionales.
e) Efectuar
5
Algunos ejemplos
1.
8 = 22 • 2 = 22 • 2 = 2 • 2 =
56
factor irracional
coeficiente
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
factor irracional
Cuando los radicales no son homogéneos
debemos transformarlos realizando el proceso de
la homogeneización. Por ejemplo.
coeficiente
3
2
1. 2 4a • 2ax =
2.
8
3x16 = 8 3 • 8 x16 = 8 3 • x 2
Solución:
8
8
16
2
Observe x = x 8 = x
Entonces tenemos que el factor que tiene
raíz exacta en la expresión radical, se le llama
coeficiente.
8
16
El coeficiente de una expresión radical puede
ser numérico, literal o ambos a la vez.
b) Elevamos el subradical al número (exponente)
que se ocupó para multiplicar los índices.
2. Un radical es irreducible si los exponentes de
todas las potencias del subradical son menores
que el índice y que alguno de estos exponentes
no tenga factor común con él.
Entonces,
2 3 4a 2 • 2ax = 6 16a 4 • 6 8a 3 x 3 = 2 6 16a 4 • 8a 3 x 3
Ejemplos.
b)
2ax = 2• 3 (2ax)3 = 6 8a 3 x 3
a) Multiplicamos los índices por el número que los
hace iguales, según el mínimo común múltiplo
(6) de los índices.
1. Los radicales que no se pueden simplificar se
llaman irreducibles.
7
2 3 4a 2 = 3•2 (4a 2 )2 = 6 16a 4
Nótese que hemos realizado dos pasos.
IMPORTANTE
a)
Homogeneizamos primero los radicales al
mínimo común índice de 3,2 que es 6.
2 6 128a 7 x 3
a 2b
5ab
c)
3
4
d)
8
2x y
3
Simplificando:
5
Multiplicación de expresiones
radicales no homogéneos
Por lo tanto,
Anteriormente hemos multiplicado radicales
homogéneos, es decir, multiplicamos radicales
con el mismo índice.
2 3 4a 2 • 2ax = 2 6 128a 7 x 3 = 2 • 2a 6 2ax 3
= 4a 6 2ax 3
Ahora bien, ¿qué ocurre cuando los radicales
no son homogéneos?
57
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2.
2 6 3a • 3x 4 2a =
6)
Solución:
Homogeneizamos primero los radicales:
Observe que m.c. m. (6,4) = 12
6
4
3
x • 3 2x 2 = __________
7)
3a = 6•2 (3a)2 = 12 9a 2
2x 4
4x 5
3
•
= __________
25y 5
5y
8)
3 2ab • 4 4 8a 3 = __________
9)
3
9x 2 y • 6 81x5 = __________
10)
3
a 2b2 • 2 4 3a 3b = __________
2a = 4• 3 (2a)3 = 12 8a 3
Entonces,
2 6 3a • 3x 4 2a = 6x
12
9a 2 • 12 8a 3 = 6x
= 6x
12
12
9a 2 • 8a 3
72a 5
11)
Por lo tanto,
2 6 3a • 3x 4 2a = 6x12 72a 5
− 5 2
– 3 5 2
a b ab 3 •
a b = __________
3
a
División y simplificación de radicales
Hasta este momento hemos estudiado muchos
aspectos sobre radicales, por esto pregunto:
ACTIVIDAD 7
1)
¿Qué se puede observar de los resultados de
los radicales siguientes?
3 • 6 = __________
36
9
2)
y 36
9
2 15 • 3 10 = __________
Resolvamos,
3)
1
2
14 •
21 = __________
2
7
4)
3 ab • 2a b = __________
5)
2 a2 x •
36
9
=
6
36
= 2 y = 4=2
3
9
Para contestar a esta pregunta tenemos que
decir que con radicales homogéneos se cumple
3 3
a = __________
2
n
58
a
=
b
n
n
a
b
n
y n
a
b
=
n
a
b
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Siempre que existan
b≠0.
n
a y
n
b ; y además
Efectúe la división
Solución:
Algunas veces un radicando fraccionario se
puede simplificar, por ejemplo, en un cuadrado
perfecto, en un cubo perfecto, etc.
25
=
9
b.
1
1
1
=
=
16
16 4
c.
3
27
=
8
25
9
3
3
27
8
=
=
3
=
4
3
32 = 3 25 = 3•5 25•5 = 15 225
5
4 = 5 22 = 5• 3 22• 3 = 15 26
Entonces,
3
5
3
(3)3
3
(2)
3
=
32
4
=
15
15
2
25
2
6
= 15
25
2
= 15 225 − 6 = 15 219 = 15 215 • 2 4
6
2
= 15 215 • 15 2 4
3
2
= 215 16
Por lo tanto,
3
5
EJEMPLOS. Dividir y simplificar
27
32
Observe el m.c.m. (3,5) = 15
5
3
También podemos utilizar la propiedad de la
división de radicales para simplificar los radicales
con fracciones y para dividir los radicales.
a.
5
Homogeneizamos primero los radicales:
EJEMPLOS. Simplificar.
a.
3
27
= 9=3
3
32
4
= 215 16
ACTIVIDAD 8
Resolver los siguientes radicales indicados.
b.
c.
30a 3
6a 2
=
30a 3
= 5a
6a 2
7 13
7 13 1 1
7 13 ÷ 28 26 =
=
=
28 26 28 26 4 2
En la división también
homogeneizamos
Tal como ocurre con la multiplicación, para
dividir radicales de distinto índice, debemos primeramente homogeneizarlos.
a)
4 6 ÷ 2 3 = _________
b)
2 50 ÷ 6 24 = _________
c)
12 3 ÷ 4 3 = _________
d)
18 ÷ 25 = _________
e)
59
2 3 81x 2
3 3 3x 2
= _________
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
f)
g)
7
7
ab 3 c
= _________
a 2b5
4 10 5
2x
3
h)
9x
A. Cuando el denominador es un término radical
de índice 2 y no tiene coeficiente, se multiplica
el numerador y el denominador por el radical
del denominador.
3 10 2
4x = _________
4
3
3
5m2n
j)
6
18x y z
k)
43
4ab
5
l)
1
2x
2
5
4
3x 2 = _________
i)
3
siones radicales. Para esto vamos a considerar
los casos siguientes:
5
m3n2 = _________
4
Este caso corresponde a los radicales de la
a
forma
, aquí para racionalizar multiplicamos
b
numerador y denominador por b , así:
a
3x y z = _________
2
2
b
3
1
2a 2 = _________
10
=
a b
b• b
=
a b
b
2
=
a b
b
EJEMPLOS
1. Racionalice el denominador de cada una de
las siguientes expresiones:
16
16x 4 = _________
4
a)
Racionalización de denominadores
b)
Una expresión radical para estar expresada
correctamente, es decir, simplificada, debe presentan las siguientes condiciones.
6
=
6
2
=
2
2
3
2
3
•
•
2
=
3
=
2
3
2
b. Una expresión radical en su forma más simple
no tiene radicales en el denominador.
c. Un radical bien simplificado no tiene subradicales fraccionarios.
2• 2
2• 3
3• 3
=
6 2
=
6
4
9
=
=
6 2
=3 2
2
6
3
Observe que en ambos, utilizamos el hecho
de que la división de un número por sí mismo
es 1.
2
a. El subradical no tiene factores con raíces
exactas.
6• 2
= 1 ; 3
3
=1
Nótese que tanto 2 como 3 es el radical
del denominador; al realizar este proceso
"convertimos" el radical denominador en un
número racional.
B. Cuando el denominador es un término radical
de índice 2 que tiene coeficiente racional, se
procede de la manera siguiente: se multiplica
el numerador y el denominador por el radical
sin tomar en cuenta el coeficiente.
En algunos casos estudiados obtuvimos resultados donde el denominador es un radical o bien
poseen subradicales fraccionarios.
Es por esta razón que vamos a trabajar con el
proceso que nos permite eliminar fracciones en el
subradical o bien el radical denominador de expre-
60
Este caso corresponde a los radicales de la
a
forma
. Aquí para racionalizar multiplic b
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
camos numerador y denominador por
cociente se deja igual.
a
=
c b
a b
c b b
a b
=
c b
2
=
a b a b
=
cb
b•c
5 2
=
3
5 2
•
2
2
=
3• 2
5 2• 2
multiplicamos por 1=
5x
b)
a x
=
5x
a x
•
x
x
=
6
6
=
5 • 2 10
=
a x• x
=
5x x 5 x
=
ax
a
a
2 .
18
Solución:
Como 18 = 2 • 32 multiplicamos ambos términos;
el numerador y el denominador por 2 para
que el exponente del 2 se haga par, esto es 22.
18
=
2 2
2 2
c)
e)
5
1
3 3
5
90
= ______
d)
f)
7
3
2 2
9
32
•
n
bn− m
=
n
bn
a n bn− m
=
b
2
Solución:
Se multiplican ambos términos de la fracción
por
3
b) 3
bm
a n bn− m
b)
n
bn− m
2
3
2
Racionalizar el denominador.
= ______
=
bm
n
Racionalice el denominador de cada una de
las siguientes expresiones.
a) 2 2
2 1
=
=
=
=
2
2
2
2
3
2•3
3
2•3 • 2
2 •3
2
a
Observe:
ACTIVIDAD 9
a)
9 5
32
Ejemplos:
Así pues, tenemos que:
2
h)
bn− m , si hubiera coeficientes, se deja igual.
n
n
3 3
2 2
Este caso corresponde a los radicales de
a
la forma n m , con m < n, para racionalizar
b
multiplicamos numerador y denominador por
2
5x 5
Observe x • x = x 2 = x; =
ax a
c) Determine una expresión equivalente a
2
5x • x
5 2
90
f)
C. Cuando el denominador es un radical de índice
3 se multiplican los dos términos de la fracción
(numerador y denominador) por el cuadrado
del radical, el cual al ser multiplicado por el
denominador lo convierte en cubo perfecto y
se multiplica así el resultado.
EJEMPLOS:
3
3 5
g)
Racionalice el denominador de cada una de
las siguientes expresiones.
a)
6
e)
b ; el
= ______
= ______
=
22 y se efectúan las operaciones:
2 • 3 22
3
2 • 3 22
=
2 3 22
2
23
=
23 4 3
= 4
2
2
3 3
Solución:
Se multiplican ambos términos de la fracción
3
por
2
33 3
61
2
3
=
3
32 y tenemos:
2 • 3 32
3 3 3 • 3 32
=
23 9
3 3 33
=
23 9 23 9 2 3
=
=
9
9
3• 3
9
3.
3
4.
3
NÚMEROS
3
3
6
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
5.
7
3
ACTIVIDAD 10
5
4
6. 3
16
Racionalizar el denominador de:
1.
2.
3.
2 4
3
5 3 10
3
4.
3
5.
3
6.
D.
5
3
7.
3
3
3
6
7
3
5
4
16
= ______
7.
= ______
8.
3
= ______
9.
3
3
10.
3
= ______
11.
3
= ______
12.
= ______
2
= ______
1
= ______
4
2
5
= ______
7
11
2
9
9
1
2 3
3
5
a)
3+ 2
Para racionalizar este tipo de expresiones
radicales nos valdremos de la fórmula notable
(a – b) (a + b) = a2 – b2.
Estimado estudiante: El tema de los
productos notables se estudió en el libro
de Matemática Ujarrás en la semana
novena.
En efecto, para transformar una expresión
algebraica de dos términos irracionales del
denominador, en expresiones algebraicas de
dos términos racionales, amplificamos cada
una de las expresiones por el conjugado del
denominador.
Por ejemplo:
El conjugado de
El conjugado de 2 − 3 es 2 + 3
El conjugado de
= ______
= ______
= ______
7
11
Cuando el denominador es una expresión
algebraica de dos términos se multiplica el
2
numerador
y el denominador por el conjugado
8.
3
4
del denominador de la expresión.
3
5
a)
En este último caso, corresponde a los radicales
1
a
9.
de la3 2forma
, con {a, b, c} ⊂ ℝ, b > 0,
b+ c
c > 0, para racionalizar multiplicamos numerador
3+ 2
=
a( b − c)
a( b − c) a( b − c)
=9
=
=
b−c
b +11.c ( b + c)( b − c) ( b)2 − ( c)2
3
9
a
Ejemplos: Racionalice el denominador de cada
1 las siguientes expresiones.
una de
12.
3
2 3
3− 2
2 + 5 es
2 −5
Ahora bien,
y denominador
por la expresión conjugada
5
10. 3
2
del denominador
así:
3 + 2 es
b)
62
c)
5
3−2
2− 7
=
( 3 − 2)
5( 3 − 2 )
1
•
(2 + 7 )
(2 − 7 ) (2 + 7 )
4−7
2( 5 − 2)
=
3
3(2 + 7 )
3
•
( 3 + 2) ( 3 − 2)
5( 3 − 2 )
3
=
=
=
=
3 (2 + 7 )
− 3
=
5( 3 − 2 )
( 3 )2 – ( 2 )2
=5 3−5 2
=
3(2 + 7 )
2 2 − ( 7 )2
= −(2 + 7 ) = −2 − 7
3( 5 + 2)
2( 5 − 2)( 5 + 2)
3
b)
2− 7
=
=
4−7
2( 5 − 2)
=
=
binomio
conjugado
(
5 +2
)
•
(2 + 7 )
(2 − 7 ) (2 + 7 )
3(2 + 7 )
3
c)
3
=
=
=
=
3 (2 + 7 )
− 3
=
3(2 + 7 )
2 2 − ( 7 )2
= −(2 + 7 ) = −2 − 7
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2 3 • 5 18 = 2 • 5 3 • 18 = 10 54 = 10 32 • 3 • 2
3( 5 + 2)
= 10 • 3 3 • 2
2( 5 − 2)( 5 + 2)
= 30 6
3( 5 + 2)
2 ( 5 )2 − (2)2
3 24 = 3 2 • 2 • 3 = 3 • 2 2 • 3 = 6 6
3( 5 + 2)
2
2(5 – 4)
Luego, ambos resultados se restan:
30 6 − 6 6 = 24 6
3( 5 + 2)
2 •1
Respuesta: 2 3 • 5 18 − 3 24 = 24 6
3( 5 + 2)
22
13
3
3
3
3
c) Efectuar 3 10 • 5 12 ÷ 5 5 +
8
(
COMBINANDO OPERACIONES
a) Efectuar
(
)
Solución:
Resolvemos
3 3 10 • 5 3 12 = 3 • 5 3 10 • 12 = 15 3 120
6 • 10 ÷ 3
= 15 3 2 3 • 3 • 5
Recuerde: La prioridad de las operaciones:
primero se hacen las multiplicaciones o divisiones según el orden en que aparecen; después
las sumas y las restas.
= 15 • 2
6 • 10 = 6 •10 = 60 = 22 • 3 • 5 = 2 15
2) 2 15 ÷ 3 = 2 15 ÷ 3 = 2 5
Respuesta:
(
3
3•5
= 30 3 15
Solución:
1)
)
6 • 10 ÷ 3 = 2 5
b) Efectuar 2 3 • 5 18 − 3 24
)
Solución: Por prioridad en el orden de las
operaciones, resolveremos primero las multiplicaciones.
63
3
Este resultado se divide por 5 5
30 3 15 ÷ 5 3 5 =
30 3
15 ÷ 5 = 6 3 3
5
Sumemos este resultado con
63 3 +
13
3
8
13
49 3
48 + 1 3
3=
3
3=
8
8
8
Respuesta:
3 3 10 • 5 3 12 ÷ 5 3 5 + 1 3 3 = 49 3 3
8
8
(
)
NÚMEROS
6a
− 2
9a 2
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
d) Efectuar
150 ÷
(
) (
2 +
2(3a)
−2
3a(3a)
3
2
=
−2
2a
3a
Por prioridad en el orden de las operaciones
y uso de los paréntesis resolvemos:
1)
150 ÷ 2 = 150 ÷ 2 = 75 = 3 • 52 = 5
2)
12 + 3 27 = 22 • 3 + 3 32 • 3 = 2 3 + 3 • 3 3 =
3
3) 5 3 + 11 3 = 16 3
2 − 12 213
6
f) Efectuar
Se suman ambos resultados
Solución:
6
2 − 12 213 = 6 • 2 2 − 12 213
= 12 2 − 12 212 • 2
4) Multiplicamos el resultado obtenido entre los
corchetes con 8 3
= 12 2 − 212 2
16 3 • 8 3 = 16 • 8 3 • 3 = 128 3 = 128 • 3 = 384
2
= −12 2
Respuesta:
(
150 ÷
)
12 + 3 27 • 8 3 = 384
3
− 2
2
6a
–2
=
3a
3a
2a
e) Efectuar
) (
2 +
3
2
−2
=
2a
3a
6a
− 2
9a 2
Respuesta:
6
2 − 12 213 = −12 2
(3 + 5 )
2
g) Efectuar
Solución:
Solución:
6a =
3
− 2
2
–2
=
6a
3a
2a
3a
Respuesta:
2 3 + 9 3 = 11 3
2
2a
1
1
6a − 3 6a −2 6a − 2
6a −
6a =
=
=
6a
3a
a
3a
3a
3a
)
Solución:
6a −
12 + 3 27 • 8 3 = 384
6a
1
=
2
4a
3a
3(2a)
=
2a(2a)
2(3a)
−2
3a(3a)
6a
1
=
2
4a
3a
(3 +
3(2a)
=
2a(2a)
2
6a −
2a
5
)
2
= 32 + 2(3)
( 5) + ( 5)
= 9+6 5 +5
6a =
6a − 3 6a −2 6a − 2
1
1
6a
=
=
6a =
6a −
3a
3a
3a
a
3a
64
= 14 + 6 5
2
Respuesta: (3 + 5 ) = 14 + 6 5
2
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
h) Efectuar
(
)
2
a− b
2
Solución:
(
a− b
) = ( a)
2
2
3
=
4
( a )( b ) + ( b )
2
−2
= a + b − 2 ab
=
= a 2 − 2 a b + b2
i) Efectuar
am =
m
2
3
3
2−
5
4
( )
2
( )( )
9 2 2• 3•2
4
2 −
6 + • 32
16
4•5
25
2
Recuerde:
n
an = a
EJEMPLO
1
b = bn
3
a • n b = n ab
am = a n
n
a
n
3
m
n
b
m n
=
n
( 3)
Respuesta: 3 2 − 2 3 = 321 − 3 6
4
5
200 5
PROPIEDAD
n
2
Recuerde las propiedades que usamos para resolver las operaciones con radicales.
n
2
3 +
5
9 12 3 6
= + −
8 25 5
321 3
=
− 6
200 5
( a)
n
3 2
2 − 2 2
4 5
2
9
2• 3•2 6 4• 3
•2−
+
16
25
4•5
18 12
12
= −
6+
16 20
25
En los números reales se cumplen algunas
propiedades:
n
2
2
=
Respuesta: ( a − b )2 = a + b − 2 ab
2
2 3
3
3 2 2
2 − 3 = 2 − 2 2 3 + 3
5
4
4
4
5
5
5 • 3 4 = 3 20
4
54 = 5 3
3
a
b
3
3
a = nm a
20
3 4
65
1
5 = 53
4
=35
5 = 12 5
2
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
( a)
m
n
( 5)
= n am
3
a • n b = n a nb
( a)
n
n
n
= 3 52 = 3 25
5 • 3 2 = 3 5 3 • 2 = 3 250
( 5)
=a
3
am x = m•n am x
n
2
3
an = a
3
=5
2 3 x = 2• 3 2 3 x = 6 8x
3
33 = 3
p a + q a = (p + q) a
4 a + 8 a = (4 + 8) a = 12 a
p a − q a = (p − q) a
8 3 − 7 3 = (8 − 7) 3 = 1 3
Como podemos apreciar, todo lo que se puede realizar con los radicales
es innumerable. En los esquemas siguientes trabajaremos algunas de las
operaciones. Veamos.
66
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 2
1. Resuelva las siguientes operaciones con radicales y escriba el resultado.
a) 2 5 − 1 5 = __________
3
4
2 1 __________ = __________
− =
3 4
b) 3 6 + 2 6 = __________
4
5
3 2 __________ = __________
+ =
4 5
c)
12 − 27 + 75 = __________
(
) 3 =(
) 3 = __________
3
2. Señale cuál de los grupos contiene radicales semejantes.
a) 3 2, − 5 3
b) 5 5 2 , 7 5 3
2
7, − 5 7
3
1
−5 3
d) 4 6 ,
6
2
7
−3
e) −7 2,
2
4
c)
3. Compruebe si los siguientes grupos de radicales son radicales semejantes.
a)
75; 2 48; − 5 27 =
b) 3 8a; 4 18a;
c) − 3 24; − 2 3 81;
1
2a =
5
3
3=
d) x 147m3; m 75x 2m; x 48m3 =
67
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
4. Efectúe las sumas y restas indicadas.
a) 8 3 + 3 3 = ______
h)
45 − 20 = ______
b) 7 5 − 18 5 = ______
i)
72 + 98 = ______
c) 6 x + 7 x = ______
j)
45 + 80 = ______
d) 9 x − 11 x = ______
e) 5 8 + 15 2 f)
k)
2 3 1024 − 3 2000
= _______
= ______
l)
3 3 189 + 6 3 448
= _______
3 27 − 2 3 = ______
m)
3
g) 7 50 − 3 2 = ______
n)
24 + 3 81
= _______
1
13
16 + 3 250
2
3
= _______
5. Escriba cada uno de los radicales siguientes como potencias de exponente fraccionario o como producto de potencias de exponentes fraccionarios.
a)
3
57
= ______
e)
5x 7 b)
6
a13
= ______
f)
a 7b 3
c)
3
m5n5 = ______
g)
7
6a 2b7
= ______
d)
7
a 8b 3 = ______
h)
5
2a 6b7
= ______
= ______
= ______
6. Escriba las expresiones siguientes utilizando la notación radical.
a)3 2/5
= _____
d)(3x 2)1/4 = ______
b)a11/7
= ______
e) (a + b)1/5= ______
c)(2a)1/3
= ______
f)32/3 m4/7 = ______
68
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
7. Simplifique. Suponga que los radicales están bien definidos.
a)
6
x2
= ______
e)
8
(3y − 2)2
b)
10
x5
= ______
f)
4
4(x + 5)10 = ______
c)
12
x2
= ______
g)
250y 3
= ______
h)
225x 2 y 3
d)
p17
= ______
= ______
= ______
8. Efectuar las operaciones indicadas.
a)
1
3
7−
7 + 2 = ___________
7
4
d)
b)
2
2
6+ 5−
6 = ___________
5
3
e)
c)
3 3 8 − 3 16 + 3 2 3 = ___________
f)
1
1
12 +
16 = ___________
3
4
2 1 18
+
−
9 3 25
a)
0,04 − 2 0,01x + 3 0,16x = ___________
2 • 5 = _________
b)
9.
Multiplique los radicales siguientes.
2
= ___________
49
3 • 7 = _________
c)
4
a 2b • 4 ab2 = _________
a)
2 • 5 = _________
d)
5
a 2b 3 • 5 abc 3 = _________
b)
3 • 7 = _________
e)
7
2ab • 7 3a 2b 3 • 7 4ab 3 = _________
c)
4
a 2b • 4 ab2 = _________
a)
10 • 15 = __________
d)
5
a 2b 3 • 5 abc 3 = _________
b)
14 • 2 = __________
c)
8 • 5 = __________
2 3
e) 7 2ab • 7 y3asimplifique.
b • 7 4ab 3 = _________
10. Multiplique
a)
10 • 15 = __________
d)
6a • 8b 3 = __________
b)
14 • 2 = __________
e)
a 3b • 4a 2b 3 = __________
c)
8 • 5 = __________
d)
6a • 8b 3 = __________
e)
a 3b • 4a 2b 3 = __________
69
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
11. Homogenice cada conjunto de radicales.
a)
3,
b)
2a,
3
2,
4
2,
5
2 = __________
2,
3
3,
4
4 = __________
c)
3
d)
4
2,
5
4 = __________
3a ,
4
4a = __________
12.Multiplique.
a)
3
3 • 4 2a = _________
b)
3
a • 4 a 2b • 5 b 2 = _________
c)
3
2a • 4 4a • 5 2b = _________
d)
3
a 2b • 4 ab 5 = _________
13. Efectúe los productos siguientes y escriba el resultado en su forma estándar.
a)
−1
1
5•
20a = ___________
2
4
b)
−3 2 −7
a b•
ab7 = ___________
5
4
c)
2 2 7 −4 8 4
ab •
a b = ___________
7
5
d)
3
−1
8a •
3a 2b = ___________
2
5
e)
−1
−1
4a 2b •
16b2 = ___________
4
7
70
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
14. Divida y simplifique.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3
3
4a 5
2a
= ____________
80a 2b 3
10a 2 b6
48x 3
3x
h)
1
4
= ________
2
5
= ________
i)
= ____________
j)
−
1
9
= ____________
k)
−
1
= ________
25
= ____________
l)
36a 5b2
b 6a
8
= ________
= ____________
5a
4
27
30a 5
9
= ____________
g)
15. Racionalice.
a)
1
3
= _____________
b)
8
3
= _____________
c)
12
5
= _____________
d)
3
5
= _____________
e)
x
y
= _____________
71
30
70
= ________
= ________
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
16. Racionalice el denominador.
2
a)
b)
c)
d)
3 3
3 6
6 2
5 2
3 5
3 15
5 32
e)
= _____________
= _____________
f)
= _____________
g)
= _____________
h)
4
6
7
12
63
= ________
2
3
3
2
= ________
7
= ________
1
4
1
3 5
= ________
5 3
17. Racionalice y simplifique.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
3+ 2
4 3
5− 3
2 3
a− b
3
a +2
4
5+ a
3
5+ 3
= _____________
g)
= _____________
h)
= _____________
i)
= _____________
j)
= _____________
k)
= _____________
l)
72
2 3− 5
5 +2 3
3+ 2
5− 3
4
2 3−5 3
3 5
3 5 −5 3
5
8− 3
3+ 2
2+1
= ________
= ________
= ________
= ________
= ________
= ________
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
CANTIDADES MUY GRANDES Y MUY PEQUEÑAS
Desde los albores de la humanidad se vio la
necesidad de disponer de un sistema de medidas
para los intercambios.
Por ejemplo:
Para los múltiplos
deca para 10 veces,
Según estudios científicos las unidades de medida empezaron a utilizarse hacia el año 5.000 a. C;
por lo que surge la necesidad de establecer un
sistema de unidades único para todo el mundo
y así facilitar el intercambio científico, cultural,
comercial, de datos, etc.
hecto para 100 veces,
kilo para 1000 veces y
miria para 10 000 veces,
Para los submúltiplos
deci para 0,1
Hasta antes de la Revolución Industrial (1889)
cada país, incluso cada región, tenía su propio
sistema de unidades; a menudo, una misma
denominación representaba un valor distinto en
lugares y épocas diferentes, por lo que Francia
convocó a todos los países a formar un solo
sistema y fue hasta 1960 en la onceava Conferencia General de Pesos y Medidas que se
estableció el Sistema Internacional de Unidades
(SI) compuesto por 7 magnitudes fundamentales
(longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad
luminosa, cantidad de sustancia e intensidad de
corriente eléctrica).
centi para 0,01
mili para 0,001.
Prefijos del SI
Los prefijos del SI para nombrar a los múltiplos
y submúltiplos de cualquier unidad, ya sea básica
o derivada, se anteponen al nombre de la unidad
para indicar el múltiplo o submúltiplo decimal de la
misma; del mismo modo, los símbolos de los prefijos se anteponen a los símbolos de las unidades.
Por ejemplo
Cabe destacar que los países ingleses no participaron por lo que a la fecha utilizan el llamado
Sistema Inglés.
Una vez establecido el SI, surge otro problema:
representar cantidades muy grandes y muy pequeñas, por lo que se utilizaron PREFIJOS griegos y
latinos para representar estas cantidades.
t
7 giga b (siete gigabytes), 9 giga m (nueve
gigametros)
t
650 mega b (650 megabytes), 759 mega m2
(759 megametros cuadrados)
t
4 tera b (cuatro terabytes), 981 yotta gr (981
yottagramos)
Los prefijos los establece oficialmente la Oficina
Internacional de Pesos y Medidas de acuerdo con
el cuadro siguiente:
73
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
10n
Prefijo
Símbolo
Escala corta
1024
Yotta
Y
Septillón
Exa
E
Quintillón
Tera
T
10
21
10
18
10
15
1012
10
9
10
6
10
3
102
10
10
1
0
10
−1
10
−3
10−2
10
10
−6
−9
10−12
10
10
10
−15
−18
−21
10−24
Zetta
Peta
Giga
Z
Sextillón
P
Cuatrillón
G
Billón
M
Millón
Hecto
h
Cien
ninguno
ninguno
Uno
centi
c
Centésimo
µ
Millonésimo
p
Trillonésimo
Feca
deci
k
da
d
mili
m
nano
n
micro
pico
femto
1 000 000 000 000
1 000 000 000
1 000 000
1 000
10
1
Décimo
0,1
0,01
Milésimo
0,001
0,000 001
Billonésimo
Sextillonésimo
y
1 000 000 000 000 000
Diez
z
yocto
zepto
1 000 000 000 000 000 000
100
Cuatrillonésimo
a
1 000 000 000 000 000 000 000
Mil
f
ato
1 000 000 000 000 000 000 000 000
Trillón
Mega
Kilo
Equivalencia decimal en los Prefijos
del Sistema Internacional
Quintillonésimo
Septillonésimo
0,000 000 001
0,000 000 000 001
0,000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 000 000 001
Consideremos algunos ejemplos:
10 Gb = ? Mb
1. Gmail es un servicio de correo electrónico
gratuito que ofrece una capacidad de almacenamiento de más de 10 Gb y Google afirma
que esta cifra seguirá en aumento. Si un disco
compacto (CD) tiene una capacidad de almacenamiento de 650 Mb de datos, ¿cuántos discos
compactos (CD) equivaldrían a la capacidad
de almacenamiento de Gmail?
109 b 1• Mb
10 Gb = 10 Gb •
•
1• Gb 106 b
10 •109 •1• Mb
=
1•106
101+9 Mb
=
106
1010 Mb
=
106
= 1010 •10 −6 Mb
Solución:
Para hallar la respuesta, debemos convertir
7 Gb a Mb, haciendo el siguiente proceso:
= 1010−6 Mb
= 10 4 Mb
= 10 000 Mb
74
Múltiplo
Yotta (Y)
Zetta (Z)
Exa (E)
Peta (P)
Tera (T)
Giga (G)
Mega (M)
Kilo (k)
Hecto (h)
Deca (da)
10n
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Cada CD tiene una capacidad de almacenamiento de 650 Mb dividimos:
10 000 Mb entre 650 Mb.
10 000 Mb ÷ 650 Mb = 15,38 discos compactos (CD)
Así:
28 µm = x cm
28 µm = 28 µm•
10 −6 1cm
•
1 10 −2
28 •10 −6 •102 cm
28 •
Respuesta: la capacidad de almacenamiento
de Gmail es de 16 discos compactos (CD).
28 •10 −4 cm
2. Determine la cantidad de Mb que posee un
disco duro de 4 Tb.
Solución:
Para hallar la respuesta, debemos convertir
4 Tb a Mb, haciendo el siguiente proceso:
Múltiplo
Yotta (Y)
Zetta (Z)
Exa (E)
Peta (P)
Tera (T)
Giga (G)
Mega (M)
Kilo (k)
Hecto (h)
Deca (da)
10 −6 m 1cm
•
1 µm 10 −2 m
10n
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
Múltiplo
yecto (y)
zepto (z)
otto (o)
femto (f)
pico (p)
nano (n)
micro (µ)
mili (m)
centi (c)
deci (d)
10n
10-24
10-21
10-18
10-15
10-12
10-9
10-6
10-3
10-2
10-1
Como 28 • 10– 4 cm= 28 • 0,0001 cm = 0,0028
cm dividimos 5 cm por 0,0028 cm
5 cm ÷ 0,0028 cm = 1785,71
Respuesta: En una fila de 5 cm existen aproximadamente 1786 ácaros.
4. Si Flor recorre 2 km y 2 000 000 de µm, para
llegar a su casa, ¿cuál es la distancia total (en
km) recorrida por Flor?
Solución:
Es claro que debemos sumar ambas distancias,
pero primero, se debe convertir a 2 000 000 µm
a km.
kilo (k) 103
Respuesta: El disco duro de 4 Tb posee
4 • 106 Mb = 4 000 000 Mb
micro (µ) 10– 6
3. Si un ácaro mide 28 µm, ¿cuántos ácaros
existirán, en una fila de 5 cm?
Solución:
Debemos dividir 5 cm entre 28 µm. Pero antes
convertiremos 28 µm a cm.
2 000 000 • 0,000 000 001 km = 0, 002 km
75
Respuesta:
Ana recorre en total 2 km + 0, 002 km = 2,002 km
NÚMEROS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 3
1. Un reproductor de MP3 tiene 1 Gb de capacidad y se desea almacenar en él archivos de música
que tienen un tamaño promedio de 3 Mb. ¿Cuántos archivos de música se pueden guardar?
Resp./
2. ¿Cuántas fotos podría almacenar una cámara digital con memoria interna de 2 Gb si cada foto tiene
un tamaño de 2Mb?
Resp./
3. Una llave maya con una capacidad de 1 Gb tiene el 25% del espacio libre, ¿podrá almacenar un
mapa digitalizado de 280 000 Kb?
Resp./
4. Google requiere 850 Tb para albergar 24 mil millones de páginas, ¿cuál será el tamaño de media
página? Exprese el valor en Kb.
Resp./
5. Se calcula que Gmail tiene unos 50 millones de usuarios y se supone que cada uno requiere un
almacenamiento de 2747 Mb. Estime el tamaño necesario para mantener este servicio.
Exprese el resultado en Petabytes.
Resp./
6. Su cuenta de correo electrónico le permite enviar a sus contactos archivos de hasta 1 Mb.
Indique en cada caso si podrá enviar los siguientes archivos
(Para cada caso efectúe los cálculos correspondientes):
a. Una fotografía de sus vacaciones de 1,317 kb: _________
b. Un archivo de música en formato MP3 de 1 259 459 Bytes: _________
76
