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Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.
EstadísTICa
Curso Primero
Graduado en Geomática y Topografía
Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía.
Universidad Politécnica de Madrid
Capítulo II
PROBABILIDAD. VARIABLES ALEATORIAS
UNIDIMENSIONALES
Manuel Barrero Ripoll.
Mª Luisa Casado Fuente.
Mª Ángeles Castejón Solanas.
Luis Sebastián Lorente.
Departamento de Ingeniería Topográfica y Cartografía
Universidad Politécnica de Madrid
2-II
Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía Geodesia y Cartografía
II PROBABILIDAD. VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
2.1 Experimento Aleatorio
4
2.1.1 Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio
2.2 Sucesos
4
2.2.1 Operaciones con sucesos. Álgebra de sucesos
2.2.2 Propiedades de la unión e intersección de sucesos
2.2.3 Leyes De Morgan
2.3 Regla de Laplace. Definición clásica de probabilidad
2.4 Combinatoria
5
6
2.4.1 Fórmula 1 (Principio de multiplicación)
2.4.2 Fórmula 2 (Variaciones y Permutaciones)
2.4.3 Fórmula 3 (Variaciones con repetición)
2.4.4 Fórmula 4 (Combinaciones). Números combinatorios
2.5 Definición axiomática de probabilidad
2.6 Probabilidad Condicionada
2.7 Sucesos independientes
8
9
10
2.7.1 Cálculo de la intersección de sucesos
2.8 Probabilidad total
11
2.8.1 Ley de la probabilidad total
2.9 Fórmula de Bayes
13
2.10 Concepto de variable aleatoria
14
2.11 Variables aleatorias discretas. Función de probabilidad
2.12 Variables aleatorias continuas. Función de densidad
2.13 Función de distribución de una variable aleatoria
2.14 Propiedades de la función de distribución
14
15
15
16
2.14.1 Cálculo de probabilidades utilizando la función de distribución
2.15 Características de las variables aleatorias
19
2.15.1 Esperanza matemática o media E[X]
2.15.2 Propiedades
2.15.3 Varianza de una variable aleatoria V[X]
2.15.4 Propiedades
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3 - II
2.1
Experimento Aleatorio
Llamamos así a todo fenómeno que realizado en iguales condiciones puede dar lugar a
resultados o efectos diferentes y del que “no” se puede predecir el resultado.
Lanzamos un dado y observamos el número o la figura que aparece en la cara superior.
Lanzamos dos monedas y observamos el número de caras obtenidas.
Un Suceso Elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.
2.1.1 Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio. El conjunto formado por
todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio se denomina Espacio Muestral, y
lo designamos con la letra E.
Los espacios muestrales del lanzamiento de un dado y del lanzamiento de dos monedas son
respectivamente:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y E = {CC, CX, XC, XX}.
A cada suceso del experimento aleatorio le asociamos un subconjunto y lo designamos con
una letra mayúscula. Un Suceso Aleatorio es cualquier subconjunto de E.
En el lanzamiento de un dado un posible suceso aleatorio sería obtener un número par, es
decir, el conjunto {2,4,6}.
2.2
Álgebra de sucesos
Un Suceso Complementario de un suceso A es, el suceso Ac formado por todos los
resultados del espacio muestral que no están en el suceso A.
Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y A = {1, 3}, entonces Ac = {2, 4, 5, 6}.
E
Ac
Llamamos Álgebra de Sucesos a una clase de subconjuntos A del
espacio muestral E, que cumplen las condiciones siguientes
A
a) Si A  A  Ac A.
b) Si A1 , A2 ,..., An A 
n
Figura 7.1.1
Ai  A.
i 1
En cualquier experimento aleatorio hay sucesos que siempre están presentes, y por ello, los
destacamos a continuación.
 Un Suceso Compuesto es el conjunto de varios sucesos elementales.
A = {1,3, 5}= “obtener un número impar al lanzar un dado”.
 Un Suceso Imposible es aquel que no se verifica nunca, se representa con el símbolo .
A = {obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado} = .
 Un Suceso Seguro es aquel que se verifica siempre, es decir el espacio muestral E.
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2.2.1 Operaciones con sucesos. Álgebra de sucesos
La unión de dos sucesos A y B es el suceso A B que consta de
todos los resultados que están contenidos en cualquiera de los dos
sucesos.
E
A B ={x tales que x  A ó x  B }.
Propiedad A Ac  E .
Figura 7.2.1
La intersección de dos sucesos A y B de un espacio muestral E es el suceso A B  E que
consta de todos los resultados que están contenidos en ambos sucesos.
E
A B ={ x tales que x  A y x  B }.
A B
Propiedad. A Ac   .
Dos sucesos A y B son incompatibles o excluyentes si A B =.
Figura 7.2.2
La diferencia de dos sucesos A y B es el suceso A  B que
consta de todos los resultados que están contenidos en el suceso
A pero no en B.
E
A  B  A Bc
Figura 7.2.3
2.2.2 Propiedades de la unión e intersección de sucesos
A BB A
Conmutativa
A
Asociativa
B
C    A B C
A
B
A AA
Idempotente
B A  A
C    A B  A
A
B
C    A B C
A AA
A
Simplificativa
Distributiva
A BB A
B A  A
C    A B  A
A
C
A
B
C
2.2.3 Leyes De Morgan

A
B  Ac
c
Bc . El suceso complementario de la unión de sucesos, es el suceso
intersección de los complementarios.

A
B  Ac
c
Bc . El suceso complementario de la intersección de sucesos, es el
suceso unión de los complementarios.
2.3
Regla de Laplace. Definición clásica de probabilidad
La probabilidad de un suceso A, viene definida por el cociente entre el nº de casos favorables
(nA) y el número de casos posibles (n):
fA 
nA

 P  A   0,1
n 
n
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Ejemplo. Hallar la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al lanzar una vez un dado.
El conjunto E={1,2,3,4,5,6} es el espacio muestral. Sea A el suceso “obtener múltiplo de 3”;
A={3,6}. Los casos favorables y posibles son nA =2 y n=6 respectivamente, por tanto
2
P(A)  .
6
2.4
Combinatoria
Es frecuente que en un experimento aleatorio, el espacio muestral E tenga un número finito de
elementos, y para calcular la probabilidad de un suceso A, debemos contar el número de
sucesos posibles y el número de casos favorables del suceso A. Cuando podemos expresar de
forma explícita todos los elementos del espacio E resulta fácil contar el número de casos
posibles y favorables para aplicar la definición anterior. Sin embargo, es frecuente
encontrarnos con situaciones donde es casi imposible o muy complicado escribir cada
elemento del espacio muestral, pero el proceso de contar los casos se puede simplificar
mediante el empleo de algunas fórmulas que nos ayudarán en los cálculos.
2.4.1 Fórmula 1 (Principio de multiplicación). Si un cierto trabajo puede realizarse en m
formas diferentes y para cada una de esas formas se puede realizar otro trabajo de n formas
distintas, entonces el número total de maneras diferentes en que se pueden realizar los dos trabajos
es m  n . Se generaliza fácilmente para el caso de k operaciones, el número total de maneras de
realizar las k secuencias es n1  n 2  n k .
Hay que escoger un director y una directora de entre un grupo de candidatos formado por 4
hombres y 5 mujeres. ¿De cuántas formas se les puede escoger?
El número total es 5  4  20.
2.4.2 Fórmula 2 (Variaciones y Permutaciones). Las variaciones de m elementos tomados
de n en n (n<m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de forma que:
- En cada grupo entren n<m elementos.
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de
estos.
El número de variaciones de m elementos tomados de n en n se representa por Vm,n
Vm,n =m·(m-1)·(m-2)···(m-n+1).
Si m=n se denomina Permutaciones de m elementos (Pm) o factorial de un número.
Pm  m!  m·(m  1)·(m  2)  3  2 1 .
Se define 0!  1.
Representa el total de maneras en que podemos colocar m elementos distintos.
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¿Cuántos números de dos cifras diferentes, se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?
En este caso m=4 y n=2, además se verifica:
- No entran todos los elementos. De los cuatro solo entran dos.
- Si importa el orden. Los números 23 y 32 son distintos.
- No se repiten los elementos. Se especifica con cifras diferentes.
Se trata, por tanto, de variaciones de cuatro elementos tomados de dos en dos.
V4,2= 4·3 =12
¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes, se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?
En este caso m=4 y n=4, además se verifica:
- Entran todos los elementos.
- Si importa el orden. Los números 23 y 32 son distintos.
- No se repiten los elementos. Se especifica con cifras diferentes.
Se trata, por tanto, de variaciones de cuatro elementos tomados de cuatro en cuatro y que
llamamos permutaciones de 4 elementos.
V4,4 = P4 = 4! = 4·3·2·1 =24
2.4.3 Fórmula 3. (Variaciones con repetición)
Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (n<m) son los distintos grupos
que se pueden formar con los m elementos, de forma que:
- En cada grupo entren n elementos, repetidos o no.
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de
estos.
El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se representa por
VR m,n :
VR m,n =mn .
¿Cuántos números de dos cifras, se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?
En este caso m=4 y n=2, además se verifica:
- No entran todos los elementos.
- Si importa el orden. Los números 23 y 32 son distintos.
- Los dígitos se pueden repetir.
Se trata, por tanto, de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de dos en dos.
VR4,2 = 42=16.
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2.4.4 Fórmula 4. (Combinaciones). Números combinatorios
Las combinaciones m elementos tomados de n en n (n  m) son los distintos grupos que se pueden
formar con los m elementos, de forma que:
- En cada grupo entren n elementos distintos.
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de
colocación de estos.
m
El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se representa por C m,n    .
n
Si hay m objetos diferentes y se tiene que obtener una muestra de tamaño n (todos diferentes), el
número posible de muestras diferentes es :
m
m!
Cm,n,    
.
 n  n! (m  n)!
De cuantas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de dos en dos.
En este caso m=7y n=2, además se verifica:
- No entran todos los elementos.
- No importa el orden en la mezcla.
- No se repiten los colores en una misma mezcla.
Se trata, por tanto, de las combinaciones de siete elementos tomados de dos en dos.
7
7!
C7,2    
 21 .
 2  2! 5!
2.5
Definición axiomática de probabilidad
En la definición axiomática de la probabilidad no se establece cómo se calcula la probabilidad
de un suceso sino únicamente se proponen las reglas que la probabilidad debe satisfacer.
Sean E el espacio muestral y A un suceso de un experimento aleatorio. La probabilidad del
suceso A la designamos P(A) y es un número real que satisface los siguientes axiomas:
 Ax. I.
P E  1.
 Ax. II. Para todo suceso A  A , se verifica 0  P(A)  1 .
 Ax. III. Si A k k 1...n es un conjunto de sucesos de A, tales que Ai

A j  Ø para todo
 n
Ak    P  Ak  .
 k 1  k 1
i  j , entonces P 
n
Estos axiomas implican las siguientes propiedades.
1. P  Ac   1  P  A  .
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2. P(Ø )=0.
El recíproco no es cierto. P(A) = 0 no significa que A=Ø.
3. Si A  B , entonces P(A)  P(B) .
4. Si A, B y C son sucesos compatibles entonces:
4.1. P  A B  P(A)  P(B)  P  A B .
4.2. P  A B C  P  A   P  B  P  C   P  A B  P  A C   P  B C   P(A B C) .
Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 o de 11 en un lanzamiento de 2
dados?
Si A es el suceso “obtener una suma de 7” y B el suceso “obtener una suma de 11”, el suceso
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
Tabla 2.5.1
A∪B es, “obtener una suma de 7 o de 11”.
n A  6 y n=36 
P(A ) 
6
.
36
2
.
36
6 2 2
P(A  B)  P(A)  P(B)  
 .
36 36 9
n B  2 y n=36  P(B) 
Ejemplo. La probabilidad de aprobar la asignatura A es 1/2, la de aprobar la asignatura B es
1/3 y la de aprobar A y B es 1/5. A partir de estos datos calcular:
 La probabilidad de aprobar al menos una de las dos asignaturas.
Se aprueba al menos una asignatura si se aprueban una o dos asignaturas, por tanto,
P  A B  P  A   P  B  P  A B  
1 1 1 19
  
2 3 5 30
 La probabilidad de aprobar A pero no B.
Debemos calcular,
1 1 3
P  A Bc   P  A   P  A B     .
2 5 10
E
 La probabilidad de que no apruebe A y no apruebe B.
P  Ac
2.6


Bc   P  A B   1  P  A B  
c
Ac
11
.
30
Bc   A B
c
Probabilidad condicionada
Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio, se llama probabilidad de B
condicionado por A, y se representa por P B , como la probabilidad de que ocurra el
A
suceso B, supuesto que haya ocurrido el suceso A, se define:
 
 A   P PB A A  , siendo P  A   0 .
P B
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Ejemplo. La probabilidad de que un vuelo regular despegue a su hora programada es de 0.95;
la de que aterrice a la hora prevista 0.93; y la de que despegue y aterrice a la hora prevista es
de 0.92. Calcular la probabilidad de que un vuelo:
a) Aterrice a la hora prevista dado que despegó a su hora.
b) Despegase a tiempo sabiendo que aterrizó a la hora prevista.
Si llamamos “D” al suceso el avión despega a su hora, y “A” el suceso el avión aterriza a la
hora prevista. Del enunciado se deduce que:
P  D   0.95 ;
P  A   0.93 ;
P  D A   0.92
 0.968
 D  P PD DA   0.92
0.95
a) Debemos calcular P A
 0.989
 A   P PD A A   0.92
0.93
b) En este caso calculamos P D
2.7 Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si y solo si P  A B  P  A   P  B .
De la definición anterior se deduce que las siguientes afirmaciones son correctas:
 P B  P  B y P A  P  A  .
A
B
 Si B es independiente de A, entonces, A es independiente de B.
 Si dos sucesos A y B son independientes, la ocurrencia o no, de uno de ellos no
depende de la ocurrencia del otro.
 
 
2.7.1. Cálculo de la intersección de sucesos. Según la definición de probabilidad
condicionada
 A   P PB A A 
P B
 A
 P  A B  P  A  P B
 A   P  B , y por tanto
Si los sucesos A y B son independientes, se verifica que P B
P  A B  P  A   P  B .
Ejemplo. Se saca una carta, del mazo de una baraja española de 40 cartas. Comprobar, cuáles
de los siguientes pares de sucesos son independientes.
1. A={sacar un rey},
B={sacar una espada}
2. A={sacar una figura},
B={sacar una espada}
3. A={sacar un rey},
B={sacar una figura}.
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1. La probabilidad de sacar un rey es P(A) 
4
1

40 10
.
La probabilidad de sacar un rey sabiendo que ha salido una espada es
 B   P(sacar el rey de espadas de entre las diez espadas) = 101 , por tanto, los
PA
 B  P(A)  101 .
sucesos A y B son independientes, ya que P A
2. Para este apartado, vamos a utilizar otra forma de estudiar la independencia de
sucesos.
12 3
La probabilidad de sacar una figura es P(A) 
 .
40 10
10 1
La probabilidad de sacar una espada es P(B) 
 .
40 4
3
La probabilidad de sacar una figura y que sea espada es P(A B) 
=P(A) P(B), por
40
tanto, los sucesos A y B son independientes.
3. Son sucesos dependientes, ya que
P(A) 
4
1

40 10
P(B) 
y
12 3
, siendo

40 10
4
1 3

 P(A) P(B) . Por tanto, los sucesos son dependientes, que salga una
40 10 10
figura facilita que después salga un rey.
P(A B) 
2.8 Probabilidad total.
Decimos que un conjunto de sucesos A1, A2,…, An forma un sistema completo cuando
cumplen:
1. Son incompatibles dos a dos, A i  A j  ∅ si i  j .
n
Ai  E ).
2. La unión de todos ellos forma un suceso seguro (
i 1
Ejemplo. En el gráfico tenemos un suceso B y un sistema completo formado por los sucesos
A1 B , A 2 B , A3 B y A 4 B que son excluyentes y recubren B, ya que:
B   A1
B
 A2
B
 A3
B
 A4
B
B
P(B)  P  A1
A1 B
A
Por tanto
A
1
B  P  A 2
B   P  A3
B  P  A 4
B
A2
A
A3
B
3
A4
B
2
B
A
4
o de forma equivalente
P(B)  P  B  P  A1    B  P  A 2    B  P  A3    B  P  A 4 
 A1 
 A2 
 A4 
 A3 
Figura
2.8.1
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2.8.1 Ley de la probabilidad total. Si los sucesos A1, A2,…, An forman un sistema
completo de X, entonces:
P(X)  P  A1
X   P  A2
X   ...  P  A n
n
X    P  Ai
X
i 1
o de forma equivalente
P(X)  P  X  P  A1   P  X  P  A 2   ...  P  X  P  A n    P  X  P  A i 
 A1 
 A2 
 An 
 Ai 
i 1
n
Ejemplo. Un libro ha sido traducido por tres traductores A, B y C. El 90% de las páginas que
traduce A no contienen errores. El 95% de las traducidas por B y el 99% de las traducidas por
C tampoco tienen errores. El libro tiene 500 páginas, de las cuales A, B y C han traducido 125,
175 y 200 páginas respectivamente.
Si elegimos al azar una página del libro ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún error?
Definimos los sucesos:
X el suceso “la página no tiene errores”
A el suceso “la página fue traducida por el traductor A”
B el suceso “la página fue traducida por el traductor B”
C el suceso “la página fue traducida por el traductor C”
 A
Conocemos la probabilidad de los siguientes
sucesos
PA  
125
,
500
PB 
175
500
PC 
,
200
500
PA 
PB
Además los sucesos A  X , B  X , C  X son
excluyentes y recubren X, por tanto
X
B
X
C
A
X 
125 90
500 100

 B
PX
PX
P  X   P  A

c
P X
,
95
99
 B   100
, PX C 
100
90
 A   100
,
PX
PX
+
175 95
500 100
 B
+
c
P X
PC
 C
PX
 C
200 99
500 100
c
P X
 PA
X  P  B X  P C
X 
Figura 2.8.2
 A  + P  B P  X B +
= P A P X
175 95
90
200 99
+
+
=
 C = 125
500 100 500 100 500 100
P  C P X

1907
 0.9535
2000
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2.9 Fórmula de Bayes
Si los sucesos A1, A2,…, An forman un sistema completo con P  Ai   0 para todo Ai,
i=1,2,…,n. Y sea X un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales
P  X  entonces:
 Ai 
P  X  P  Ai 
P  X  P  Ai 
A
Ai 
A
i
P  i   
 n 
 X
P X
P  X  P  Ai 

 Ai 
i 1
En el ejemplo anterior. Si elegimos una página al azar y observamos que no contiene ningún
error. ¿Cuál es la probabilidad de que fuera traducida por el traductor A?
Al utilizar la fórmula de Bayes se obtiene:
 X 
P A
 A P A 
P X
P X
 A P A

P  X  P  A   P  X  P  B  P  X  P  C 
A
B
C
P X
125 90
500 100
 0.235973

125 90 175 95 200 99


500 100 500 100 500 100
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2.10 Concepto de variable aleatoria
El estudio de un experimento aleatorio lo podemos efectuar desde dos puntos de vista
distintos:
 Después de realizar el experimento.
 Antes de realizar el experimento.
Después de realizar el experimento podemos observar los resultados obtenidos y ellos
constituyen una variable estadística. Los valores repetidos de cada uno de los resultados son las
frecuencias.
Antes de realizar el experimento podemos considerar todos los posibles resultados que pueden
ocurrir y definir una función que asocie a cada resultado posible un número real, de esta
forma obtenemos una variable aleatoria, por tanto, una variable aleatoria es una función
X : E 
 ℝ, que asigna a cada suceso elemental un número real y cada uno de los posibles
valores que toma la variable aleatoria tendrá una cierta probabilidad de ocurrencia,
Las variables aleatorias las representaremos por letras mayúsculas y los valores concretos que
toma la variable los representamos con letras minúsculas con subíndice.
Ejemplo. Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas al aire y contar el
número de caras obtenidas. Si designamos con C el resultado de obtener cara en una de las
monedas y C no obtener cara, el espacio muestral es:


E  CCC, CCC CCC, CCC, CCC, CCC, CCC, CCC
Podemos definir una variable aleatoria X que toma los valores 0, 1, 2, 3 que corresponden al
número de caras obtenidas:
 
X  CCC  =X  CCC  =X  CCC  = 2,
X CCC  0,

 
 

X CCC =X CCC =X CCC = 1,
X  CCC   3.
2.11. Variables aleatorias discretas. Función de Probabilidad
Decimos que una variable aleatoria es discreta si el número de valores que puede tomar es
finito o infinito numerable. Generalmente N o un subconjunto de N. El ejemplo anterior
corresponde a una variable aleatoria discreta.
Se llama Función de Probabilidad de una variable aleatoria X a la función que indica la
probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado xi, es decir
P  X  xi   p  xi 
La suma de las probabilidades de todos los posibles valores de la variable aleatoria es siempre
igual a 1.
 P  X  xi   1
i
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La función de probabilidad de la variable aleatoria X, del ejemplo anterior está dada por
xi
0
1
2
3
P(X=xi)
P(X=0)=1/8
P(X=1)=3/8
P(X=2)=3/8
P(X=3)=1/8
La gráfica de la función de probabilidad se representa mediante un diagrama de columnas
donde la altura de cada columna es igual a la probabilidad del valor correspondiente.
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
1
2
3
Figura 2.10.1
2.12 Variables aleatorias continuas. Función de Densidad
Decimos que una variable aleatoria es continua si la variable toma valores en un conjunto no
numerable. Sea X una variable aleatoria continua se define la función de densidad f(x) de una
variable aleatoria continua X, como una función que verifica:
1.- Es no negativa; f x  0 para todo x  ℝ.

2.-  f(x)dx  1

3z 2 si 0  z  1
Ejemplo. La función f (z)  
es la función de densidad de una cierta variable
 0 en otro caso
aleatoria Z, ya que, f (z)  0 , para todo, z ℝ y
1
 3z dz  1 .
2
0
2.13 Función de Distribución de una variable aleatoria
En general, definimos la función de distribución F(x) asociada a una variable aleatoria X
discreta o continua de la forma siguiente:
F(x) : R 
[0,1] con
F(x)  P  , x   P X  x  , para todo valor de x  ℝ
Si la variable aleatoria es discreta:
k
F  x k   P  X  x k    p(x i ) .
i 1
Indica la probabilidad acumulada por todos los valores menores o iguales que xk.
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Si la variable aleatoria X es continua, y f(x) es su función de densidad, entonces:
x
F(x)  P(X  x) 
 f (t)dt , es la función de distribución de la variable X.

La función de distribución F(x) de una variable continua representa el área encerrada por la
función de densidad f(x) y el eje de valores de la variable aleatoria desde  hasta x.
Si F(x) es la función de distribución de una variable aleatoria continua X entonces
x
F(x)  P(X  x) 
 f (t)dt
y por el teorema fundamental del cálculo

dF(x)
 f (x) es la
dx
función de densidad de la variable aleatoria X en los puntos en que F(x) sea diferenciable.
2.14 Propiedades de la función de distribución
Sea X una variable aleatoria discreta o continua, y su función de distribución F(x). De la
definición de función de distribución se sigue que F(x) verifica las propiedades siguientes:
1. 0  F(x)  1 .
2. La función F(x) es no decreciente ( xi  x j ⇒ F(xi )  F(x j ) ).
3. El límite lim F(x) =0.
x 
4. El límite lim F(x) = 1.
x
5. - Si X es una variable discreta; F(x) es continua por la derecha.
- Si X es una variable continua; F(x) es continua ( lim F(x  h)  F(x) ).
h0
6. - P(x i  X  x k )  F(xk) - F(xi) =
- P(x i  X  x k ) = F(xk) - F(xi) =
 p  x  . En el caso discreto.
k
ji 1
j
xk
 f (x)dx . En el caso continuo.
xi
Ésta última propiedad permite calcular, de forma sencilla e inequívoca, la probabilidad de
cualquier suceso asociado a una variable aleatoria X a partir de la función de probabilidad o de la
función de densidad.
Caso discreto
Caso continuo
P(x  a)  p  a 
P(x  a)   f  x  dx  0
a
a
P(x  a)  F(a)  p  x  a 
a
P(x  a) 
 f  x  dx  F(a)  P  x  a) 

P(x  a)  1  F(a)  1  P  x  a) 

P(x  a) 
 f  x  dx
a
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2.14.1. Cálculo de probabilidades utilizando la función de distribución. Primeramente
estudiemos la construcción de la función de distribución, pues en su definición podemos
apreciar que tiene incluida el sumatorio o la integral y por ello no se necesitan para el cálculo
de la P ( X ≤ a ) .
Por ejemplo si deseamos calcular P ( X ≤ a ) el resultado es directamente F(a).
En el caso de variables aleatorias discretas el cálculo de F(x) el cálculo es muy sencillo. Si
los valores de la variable para los cuales la probabilidad es distinta de cero son x1, x2,…xn, la
función de distribución es:
0
si
x<x1


p(x1 )
si x1 ≤ x < x 2

 p(x1 ) + p(x 2 )
si x 2 ≤ x < x 3
F(x) = 
 p(x1 ) + p(x 2 ) + p(x 3 ) si x 3 ≤ x < x 4
 ....................................................

1
si
xn ≤ x

1
F(x2)
F(x1)
x1
x2
xn
Figura 2.12.1
Para el ejemplo del número de caras obtenidas al lanzar tres monedas al aire, la distribución de
X es:
0
1

8
 4
F(x) = 
8
7
8

 1
si x<0
si 0 ≤ x<1
1
7/8
si 1 ≤ x<2
4/8
si 2 ≤ x<3
si 3 ≥ x
1/8
0
1
2
3
Figura 2.12.2
En el caso de variables aleatorias continuas el proceso de cálculo de F(x) es algo diferente.
Supongamos una variable aleatoria continua con función de densidad:
si x1 ≤ x<x 2
 f1 (x)
 f (x)
si x 2 ≤ x<x 3
 2
f (x) = 
.
....................
f (x)
si x n −1 ≤ x<x n
 n −1
en otro caso
 0
Para calcular la función de distribución, se tiene en cuenta, el valor de la función de densidad en
cada uno de los distintos intervalos, es decir
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0
si
x<x1


x
 F(x )  f (t)dt
si x1  x  x 2
1
x

1

x

si x 2  x  x 3
F(x 2 )   f (t)dt
F(x)  
.
x2

..................................

x

si x n 1  x  x n
 F(x n 1 )   f (t)dt

x n 1

1
si
xn  x

3x 2 si 0  x  1
Ejemplo. Si la función de densidad de la variable continua X es, f (x)  
la
 0 en otro caso
función de distribución de dicha variable se calcula de la siguiente forma:
x
 Si
x  0, F(x)   0dt  0
-
x
 Si 0  x  1,
F(x)  F  0    3t 2dt  x 3
0
x
 Si 1  x,
F(x)  F 1   0dt  1
1
por tanto
 0 si x  0

F(x)   x 3 si 0  x  1 .
 1 si 1  x

Ejemplo. Sea X una variable aleatoria discreta definida por su función de probabilidad
1
P  X  x   , para todo valor de x=0,1,2,…,5,6.
7
Calcular: a) La función de distribución de X. b) P(X>4). c) P(X  5) . d) P 1  X  4  .
x
a) F  x   P  X  x    P  X  x  
0
b) P(X>4)= P(X=5)+P(X=6)=
c) P(X  5) =F(5)=
5 1 6
 .
7
7
x 1
, para x=0,1,2,…5,6.
7
2
.
7
d) P 1  X  4  =P(X=2)+P(X=3)+P(x=4)=
o también
P 1  X  4  =F(4)-F(1)=
3
7
4 1 11 3


7
7
7
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Ejemplo. Dada la variable aleatoria X definida por su función de distribución
si x  2
 0

3
  x-2 
Fx  
si 2  x  4 .
 8
si 4  x
 1

Hallar la función de densidad, P  3  x  , P 1  x  3 y P  x  4  .
Conocida la función de distribución F(x) de la variable aleatoria continua, su función de
densidad f(x) es la derivada de F(x) en los puntos en los que sea derivable, así pues:
si
x2
 0

2
 3  x-2 
f (x)  F'(x)  
si 2  x  4 .
8

0
si 4  x


Las probabilidades se pueden obtener de la forma siguiente:
P  3  x   1  P(x  3)  1  F(3) 
7
1
; P 1  x  3  F(3)  F(2)  ; P  x  4   1  F(4)  0 .
8
8
2.15 Características de las variables aleatorias
Los modelos de distribución de probabilidad son una representación idealizada de un
experimento aleatorio, por ello constituyen un modelo de la variable estadística obtenida de una
muestra en un experimento, así pues, las definiciones de las medidas estadísticas que
caracterizan a las variables estadísticas pueden extenderse a las variables aleatorias
cambiando frecuencia relativa por probabilidad
2.15.1 Esperanza matemática o media. Se define la esperanza matemática de una
variable aleatoria continua X y se designa E[X] como el valor:
Si X es discreta.

  E  X    x i p(x i )
i 1
Si X es continua.
  E X 

 xf (x)dx

Si la suma o integral arriba mencionadas no convergen, decimos que la variable aleatoria no
tiene esperanza finita.
Por ejemplo, supongamos que debemos calcular la media de la variable aleatoria, “número de
caras obtenidas al lanzar tres monedas” con distribución de probabilidad
x
P(X)=x
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
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3
1
3
3
1 3
E  X    x·P(X  x)  0·  1·  2·  3· 
8 8
8
8 2
x 0
Ahora consideremos el cálculo de la E[X] de la variable aleatoria continua con función de
densidad
3x 2 si 0  x  1
.
f (x)  
0
en
otro
caso

E  X 


0
xf (x)dx 



1

1
0
1
0
x·0dx   x·3x 2dx   x·0dx   x·3x 2dx 
3
4
2.15.2 Propiedades de la esperanza matemática E[X]. Veamos ahora unas propiedades
muy útiles de la media o esperanza de una variable aleatoria.
Si a y b son números reales y X e Y variables aleatorias entonces:
1.- E  a   a .
2.- EaX  aEX .
3.- E  X  Y  E  X  E  Y .
4.- EaX  bY   aEX  bEY.
 R una función, tal que g(X) es una
5.- Sea X una variable aleatoria, y g : R 
variable continua con esperanza finita, entonces:
E g  X   



i 1
 g  x  f (x)dx ó E g  X    g  xi  p(x i )
2.15.3 Varianza de una variable aleatoria V[X]
Otra característica asociada a las variables aleatorias es la llamada varianza y que designamos
por 2 ó V[X], y se define como:
Si X es discreta.
Si X es continua.

2
2
2  V  X   E  X        x i    ·p(x i )

 i 1
2
  V  X   E  X     



  x  
2
f (x)dx

Calculemos la varianza de la variable aleatoria, “número de caras obtenidas al lanzar tres
monedas” con distribución de probabilidad
x
P(X)=x
2
0
1/8
1
3/8
2
2
3/8
2
3
1/8
2
2
3

 3 1  1 3  1 3  3 1 3
V  X     X   ·P(X  x)     ·     ·     ·     · 
2
 2 8  2 8  2 8  2 8 4
x 0 
3
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Ahora consideremos el cálculo de la V[X] de la variable aleatoria continua con función de
densidad
3x 2 si 0  x  1
.
f (x)  
 0 en otro caso

2
2
3
3
3


V  X     x   f (x)dx    x   3x 2dx 
4
4
80
 
0
1
2.15.4 Propiedades de la varianza V[X]. Veamos ahora unas propiedades muy útiles de
la varianza de una variable aleatoria.
1. La varianza de una constante es cero.
V a   0
2. Es invariante por traslaciones.
V X  a   V  X .
3. La varianza de una constante por una variable X es el producto del cuadrado de la
constante por la varianza de la variable.
V aX  a 2  V  X .
4. La varianza de una suma o diferencia de variables aleatorias es igual, en ambos casos,
a la suma de las varianzas de las variables, cuando éstas son independientes.
V(X  Y)  V(X)  V(Y)
Ejemplo. Por estudios realizados anteriormente, se sabe que el número de vehículos X que
pasan por una estación de autolavado entre las 16 y 17 horas en cualquier sábado tiene la
siguiente función de densidad
f  x 
1
8
e

 x  7 2
8
.
Hallar para un sábado cualquiera entre las 16 y 17 horas:
a. El número medio y la varianza de los vehículos que llegan.
b. Si cada vehículo paga 6 € ¿cuál será la recaudación media y la varianza de la
recaudación?
c. Si Y=2X-1 es la cantidad de dinero que el administrador paga al encargado, ¿cuál será
la media y la varianza de la cantidad cobrada por el encargado un sábado cualquiera entre las
16 y 17 horas?
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a) El número medio de vehículos que llegan es

1 
  E  X   x
e
8


 x  7 2
8
dx  7
La varianza del número de vehículos que llegan es
  V  X   E  X   E  X 
2
2
2

x

2
1 
e
8
 x  7 2
8
dx  7 2  4
b) Sea R=6X la variable recaudación realizada cualquier sábado entre las 16 y 17 horas.
La recaudación media es
E  R   E 6X  6E  X  42 €
La varianza de la variable recaudación en dicho periodo es
V  R   V 6X  36V  X  144
c) Si Y es 2X-1 entonces, la media y la varianza de la cantidad cobrada por el encargado en los
sábados de 16 a 17 horas es:
E  Y  E  2X  1  2E  X  1  13 €
V  Y  V  2X  1  4V  X  16 €
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