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UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento De Física
Laboratorio de Oscilaciones y Ondas
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MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO AMORTIGUADO
OBJETIVO
Estudiar las características principales del movimiento oscilatorio armónico
amortiguado en un péndulo y calcular su constante de amortiguamiento.
INTRODUCCIÓN
Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es proporcional al desplazamiento del cuerpo
a partir del equilibrio y está fuerza actúa siempre hacía la posición de equilibrio del cuerpo, hay
un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrás alrededor de esta posición. Dicho
movimiento es un ejemplo de lo que se conoce como movimiento periódico u oscilatorio. A este
tipo de fuerza que produce este movimiento se le llama fuerza restauradora.
Algunos ejemplos de movimiento periódico son: las oscilaciones de una masa sobre un resorte,
el movimiento de un péndulo y las vibraciones de una cuerda en un instrumento musical.
Numerosos sistemas muestran movimiento oscilatorio: las moléculas de un sólido oscilan
alrededor de sus posiciones de equilibrio; las ondas electromagnéticas tales como las ondas de
radar, luminosas y de radio se caracterizan por vectores de campo eléctrico y magnético que
oscilan; en circuitos de corriente alterna, el voltaje, la corriente y la carga eléctrica varían
periódicamente con el tiempo.
Movimiento armónico simple (M.A.S): Si la fuerza (Fr) que actúa sobre la partícula es
linealmente proporcional a la magnitud del desplazamiento (x) y en dirección opuesta (es decir,
Fr=-kx, k es la constante de recuperación ), la partícula se moverá de tal forma que siempre
tardará el mismo tiempo en dar una vuelta completa. A éste movimiento se le llama
movimiento armónico simple (MAS), y al tiempo en dar una vuelta completa su periodo (T),
el cual es una de las características principales de este movimiento.
Al aplicar la fuerza Fr a la partícula de masa m, ésta le producirá una aceleración a; y por la
segunda ley de Newton tenemos:
Fr = − kx = ma
(1)
d2x k
+ x=0
m
dt 2
(2)
Si A es la amplitud del movimiento (máximo desplazamiento de su posición de equilibrio), la
solución de la ecuación diferencial (2) queda:
x = A cos( w o t + φ )
Donde wo =
2π
=
T
k
es la frecuencia angular de oscilación de la partícula (Rad/s),
m
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(3)
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φ es el ángulo de fase (Rad) que determina la posición xo al inicio del registro del tiempo (t=0).
Es decir,
−1
si t = 0, entonces, xo = A cos(φ ) . De tal forma que φ = cos (
xo
).
A
Oscilaciones armónicas amortiguadas: El movimiento armónico simple corresponde
a sistemas ideales, es decir, sistemas que oscilan de manera indefinida bajo la acción
de una fuerza restauradora lineal. En sistemas reales, las fuerzas disipativas como la
fricción, están presentes y retardan el movimiento. En consecuencia, la energía
mecánica del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento está
amortiguado.
Un tipo común de fuerza retardadora, es proporcional a la velocidad y actúa en la dirección
opuesta al movimiento. Esta fuerza restauradora se observa cuando un objeto se mueve a
través de un gas o un fluido. Puesto que la fuerza retardadora (fricción) puede expresarse
como F f = −bv , donde b es una constante y la fuerza restauradora del sistema es Fr = −kx ,
cuando la partícula oscila en presencia de estas fuerzas alrededor de x=0 podemos escribir la
segunda ley de Newton así:
Fr + F f = ma
− kx − bv = ma
d2x
dx
− kx − b
=m 2
dt
dt
(5)
(6)
(7)
Cuando la fuerza retardadora es pequeña comparada con la fuerza restauradora, es decir
cuando b es pequeña, la solución de la ecuación (7) es :
x = A e − λ t cos (ω t + φ )
(8)
donde la frecuencia angular del movimiento amortiguado es:
ω = ω 2 − λ2
0
(9)
Donde
wo2 = k / m es la frecuencia angular del movimiento sin presencia de fuerza retardadora y
λ = b / 2m es la constante de amortiguamiento que determina la resistencia del medio (gas,
líquido, etc) donde se mueva la partícula.
Observamos (figura 2) que cuando la fuerza retardadora es pequeña comparada con la fuerza
restauradora, el carácter oscilatorio del movimiento se preserva pero la amplitud disminuye en
el tiempo, y el movimiento finalmente cesa. Cualquier sistema que se comporte de esta manera
se conoce como oscilador amortiguado. La expresión (8) indica que el efecto del
amortiguamiento es disminuir la frecuencia de las oscilaciones.
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Figura 1.
Caso de un péndulo que oscila con movimiento armónico amortiguado. En este caso, θ
es pequeño de tal forma que la fuerza recuperadora debida a la fuerza de atracción
gravitacional, se considera aproximadamente en dirección contraria al desplazamiento x (ver
figura 2) y la fuerza retardadora se debe al rozamiento con el aire y con el soporte.
Figura 2.
Se puede demostrar con la aproximación considerada que la frecuencia angular del movimiento
del péndulo esta dada también por:
ω = ω 2 − λ2
0
Pero en este caso:
wo2 =
L
y λ = b / 2m , donde b depende depende del aire y la geometría del cuerpo.
g
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MATERIALES
2 soportes universales
Péndulo de oscilaciones amortiguadas
Interface Science Workshop 750 (PASCO).
Motion sensor II (PASCO)
PC con software DataStudio (PASCO)
PARA EL PRELABORATORIO
Escribir la ecuación diferencial para el caso del péndulo simple amortiguado y la
solución correspondiente.
Analizar de acuerdo a la solución las principales características de un movimiento
armónico amortiguado del péndulo (amplitud, periodo, frecuencia angular, frecuencia
temporal, constante de amortiguamiento, ángulo de fase, etc.).
Describir los diferentes tipos de amortiguamiento.
MONTAJE
Figura 3.
PROCEDIMIENTO
13. Construye con los elementos a disposición un péndulo amortiguado y colócalo
inicialmente en reposo.
14. Realiza las conexiones correspondientes de la interfaz Science Workshop 750 y del
Motion sensor II al PC.
15. Ejecuta el software DataStudio y escoge la interfaz y el sensor correspondiente para el
respectivo reconocimiento del PC.
16. Coloca el Motion sensor II a una distancia de 0.3m del péndulo y en las opciones de
configuración del Motion sensor realiza la calibración correspondiente y escoge las
respectivas mediciones a realizar.
17. Coloca a oscilar el péndulo e inicia la captura de los datos de posición del péndulo (x’
en metros) y del tiempo correspondiente (t’ en segundos) (ver Figura 3).
18. De la grafica obtenida en el PC, registra en una tabla, la posición de 10 máximos
relativos consecutivos y su respectivo tiempo,
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19. Registra en otra tabla el tiempo correspondiente a tres posiciones diferentes.
ANÁLISIS
16. Con los datos obtenidos de x’,t’ realiza una tabla de las posiciones máximas relativas
(x) respecto al punto de equilibrio del péndulo (ordenadas) y de los tiempos (t)
correspondientes (abcisas) transcurridos desde el inicio del tiempo (ver figura 3)
17. Realiza una grafica de las posiciones máximas relativas (x) (ordenadas) y de los
tiempos (t) correspondientes (abcisas).
18. De la grafica obtenida, calcula de la amplitud (A), el periodo (T), la velocidad angular
(w), y el ángulo de fase (φ) para una referencia coseno del movimiento armónico
amortiguado del péndulo.
19. ¿Cuál es la forma de la ecuación que relaciona las variables de la curva obtenida?
(sugerencia: analiza la solución correspondiente de un movimiento armónico
amortiguado).
20. De acuerdo a la forma de la ecuación sugerida, realiza el cambio de variables adecuado
para convertir la curva obtenida en una recta. Grafica los nuevos datos y si resultó una
recta, calcula su pendiente.
21. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente obtenida?
22. Escribe la ecuación que relaciona la posición del péndulo estudiado respecto a su
posición de equilibrio (x) y el tiempo (t) correspondiente transcurrido.
23. Comprueba con los datos del procedimiento 7, que efectivamente esa es la ecuación
que describe el movimiento del péndulo amortiguado calculando con la ecuación
obtenida, la posición para cada uno de los tiempos considerados.
24. Calcula el error correspondiente para cada una de las tres posiciones obtenidas a
través de la ecuación, respecto a la posición obtenida directamente de los datos
registrados con el Motion sensor. ¿A qué se deben los errores obtenidos?
25. Realiza conclusiones y observaciones.
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