Download Progresiones - Matemáticas en el IES Valle del Oja

UNIDAD DIDÁCTICA
http://www.amolasmates.es/progresiones/Examen_aritmeticas.htm
Sucesiones
Concepto de sucesión
Se llama sucesión a un conjunto de números
dispuestos uno a continuación de otro.
a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n / 3, 6, 9,..., 3n

Los números a 1 , a 2 , a 3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es a n es una expresión matemática que nos permite
determinar cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión:
Por el término general
El término general es a n es un criterio que nos permite determinar cualquier
término de la sucesión.
a n = 2n-1
a 1 = 2 ·1 - 1 = 1
a 2 = 2 ·2 - 1 = 3
a 3 = 2 ·3 - 1 = 5
a 4 = 2 ·4 - 1 = 7
1, 3, 5, 7,..., 2n-1
No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de
los números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el
cuadrado del anterior: 2, 4, 16,...
Sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 , ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los
dos términos anteriores.
Sucesiones y Progresiones
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Sucesiones especiales
Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente
número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
 El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
 y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Sucesiones y Progresiones
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Series
Toda "sucesión" tiene una "serie asociada” así:
Ejemplo 1
Sucesión
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a6 a 7 a 8 a 9 … a n
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … 1 (sucesión constante)
Serie s 1 = a 1 = 1__
s 2 = a 1+ a 2= 2____
s 3 = a 1+ a 2+ a 3 = 3____
s 4 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4= 4_____
s 5 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5= 5_____
s 6 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a 6= 6______
s 7 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5 +a 6+ a 7= 7________
……
n
s n = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7 …
+
an =
a
m 1
m
= n ______=> (serie de nº naturales)
Ejemplo 2
Sucesión
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … n (sucesión nº naturales)
Serie s 1 = a 1 = 1__
s 2 = a 1+ a 2= 3____
s 3 = a 1+ a 2+ a 3 = 6____
s 4 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4= 10____
s 5 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5= 15____
s 6 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a 6= 21_____
s 7 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5 +a 6+ a 7= 28_______
……
n
s n = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 7 …
+
an =
a
m 1
m
= n(n+1)/2 ____=> (serie nº triangulares)
Ejemplo 3
Sucesión
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,
… … 2n-1 (sucesión nº impares)
Serie s 1 = a 1 = 1__
s 2 = a 1+ a 2= 4____
s 3 = a 1+ a 2+ a 3 = 9____
s 4 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4= 16____
s 5 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5= 25____
s 6 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a 6= 36_____
s 7 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5 +a 6+ a 7= 49_______
……
n
s n = a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 7 …
+
an =
a
m 1
Sucesiones y Progresiones
m
= n 2 __________=>(serie números cuadrados)
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Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones a n y b n :
a n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
b n = b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n
Suma de sucesiones
(a n ) + (b n ) = (a n + b n )
(a n ) + (b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , ..., a n + b n )
Propiedades
1 Asociativa:
(a n + b n ) + c n = a n + (b n + c n )
2 Conmutativa:
an + b n = bn + a n
3 Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ...)
an + 0 = an
4 Sucesión opuesta
(-a n ) = (-a 1 , -a 2 , -a 3 , ..., -a n )
a n + (-a n ) = 0
Diferencia de sucesiones
(a n ) - (b n ) = (a n - b n )
(a n ) - (b n ) = (a 1 - b 1 , a 2 - b 2 , a 3 - b 3 , ..., a n - b n )
Producto de sucesiones
(a n ) · (b n ) = (a n · b n )
(a n ) · (b n ) = (a 1 · b 1 , a 2 · b 2 , a 3 · b 3 , ..., a n · b n )
Propiedades
1 Asociativa:
(a n · b n ) · c n = a n · (b n · c n )
2 Conmutativa:
an · bn = b n · a n
3 Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = a n
4 Distributiva respecto a la suma
a n · (b n + c n ) = a n · b n + a n · c n
Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si
todos sus términos son distintos de cero. Si
la sucesión b n es inversible, su inversa es:
Sucesiones y Progresiones
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Cociente
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es
inversible.
Tipos de sucesiones
Sucesiones monótonas
Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es
mayor que el anterior.
a n+1 > a n
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que
el anterior.
a n+1 ≥ a n
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la
sucesión es menor que el anterior.
a n+1 < a n
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es
menor o igual que el anterior.
a n+1 ≤ a n
Sucesiones y Progresiones
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Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales,
a n = k.
a n = a n+1
5, 5, 5, 5, ...
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores
o iguales que un cierto número K, que llamaremos COTA INFERIOR de la
sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama EXTREMO INFERIOR O ÍNFIMO .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama MÍNIMO .
Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente
y su límite es igual al supremo de la sucesión.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores
o iguales que un cierto número K', que llamaremos COTA SUPERIOR de la
sucesión.
a n ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama EXTREMO SUPERIOR O SUPREMO .
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama MÁXIMO .
Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es
convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente . Es
decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la
sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por
lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K' .
k ≤ a n ≤ K'
Sucesiones convergentes
Límite = 0
Sucesiones y Progresiones
Límite = 1
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Sucesiones divergentes
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite
finito.
Límite = ∞
Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes.
términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
Sus
Sucesiones alternadas
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus
términos. Pueden ser:
Convergentes
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.
Divergentes
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.
Oscilantes
−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1) n n
Ejemplos
a n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n Es creciente.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ... El mínimo es 1.
No está acotada superiormente. Divergente
b n = -1, -2, -3, -4, -5, ... –n Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: -1, 0, 1, ...
El máximo es -1.
No está acotada inferiormente. Divergente
c n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: 2, 3, 4, ... El máximo es 2.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ... El ínfimo es 1.
Convergente, límite = 1.
d n = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1) n-1 2 n
No es monótona.
No está acotada.
No es convergente ni divergente.
Sucesiones y Progresiones
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Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones
1
a n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
2
a n = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
3
a n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
4
a n = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1) n-1 2 n
5
6
7
8
Sucesiones y Progresiones
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Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de
números tales que cada uno de ellos (salvo el
primero) es igual al anterior más un número fijo
llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5; -2 - 3 = -5; -7 - (-2) = -5; -12 - (-7) = -5…. d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término y la razón d.
a n = a 1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, .. a n = 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión y
la razón d.
a n = a k + (n - k) · d
a 4= -7 y d= -5
a n = -7+ (n - 4)· (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir
una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean
los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. 8, 3, -2, -7, -12.
Casi siempre, al hablar de interpolar medios, hemos de calcular la nueva
diferencia o razón d.
En la fórmula para el cálculo del valor de d, tendremos que sustituir n por n+2:
Con esta última fórmula puedes halla la diferencia de la
nueva progresión y volviendo al ejemplo:
La diferencia o razón es 1.
Esto quiere decir que la nueva progresión sería: 6. 7. 8. 9. 10
Como puedes comprobar,
tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.
Sucesiones y Progresiones
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1 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.
Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)
2 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de
todos los términos.
Respuestas: d = 10; S = 1265
3 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la progresión.
Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.
4 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas
es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven?
Respuesta: 16 años.
Solución:
Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:
Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación
que la tomamos de la fórmula de la suma:
Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda:
Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término:
Sucesiones y Progresiones
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Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Sean a i y a j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la
suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos .
ai + aj = a1 + a n
a 3 + a n-2 = a 2 + a n-1 = ... = a 1 + a n
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
5 Existe una progresión aritmética con este formato:
…………14,6.16.……………..44
Sabemos que tiene 31 términos. ¿Cuánto vale la suma de todos los términos?
Respuesta: 713
6 La sucesión
es una progresión aritmética?
Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos?
Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de
La suma de los 50 primeros términos = 127,50
Solución:
Para calcular el valor de d restamos
7 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros. Entre farola y
farola hay una distancia constante de 7 metros. ¿Cuántos metros hay desde el portal
de mi casa hasta la farola 30?
Respuesta: 208 metros
Solución:
Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu casa hasta la
farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 = 203 metros.
Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido 5 trozos:
Sucesiones y Progresiones
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La diferencia o razón es 1.
Esto quiere decir que la nueva progresión sería: 6. 7. 8. 9. 10
Como puedes comprobar, tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.
8 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.
Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)
9 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de
todos los términos.
Respuestas: d = 10; S = 1265
10 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la rogresión.
Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.
11 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas
es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven?
Respuesta: 16 años.
Solución:
Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:
Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación
que la tomamos de la fórmula de la suma:
Dividiendo ambos miembros
del signo ‘=’ por 11 nos queda:
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Conociendo el valor de d calculamos el valor del
primer término:
12 La sucesión
es una progresión aritmética?
Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos?
Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de
La suma de los 50 primeros términos = 127,50
Solución:
Para calcular el valor de d restamos
13 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros. Entre farola y
farola hay una distancia constante de 7 metros. ¿Cuántos metros hay desde el portal
de mi casa hasta la farola 30?
Respuesta: 208 metros
Solución:
Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu casa hasta la
farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 = 203 metros.
Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido 5 trozos:
Sucesiones y Progresiones
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Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se
obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2; 12 / 6 = 2; 24 / 12 = 2; 48 / 24 = 2;
r= 2.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término y la razón r.
a n = a 1 · r (n- 1)
3, 6, 12, 24, 48, ..
a n = 3· 2 (n – 1) = 3· 2 n · 2 – 1 = (3/2)· 2 n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
a n = a k · r n- k
a 4 = 24, k=4 y r=2.
an = a4 · rn – 4
a n = 24· 2 n – 4 = (24/16)· 2 n = (3/2)· 2 n
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es
construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números
dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. 3, 6, 12, 24,
48.
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Sucesiones y Progresiones
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Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente
ilimitada:
En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1 < r < 1, se tiene
que
, es decir, rn se acercará a cero tanto como queramos, tomando n
suficientemente grande.
En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG
sería
. Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir
cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo caso?
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión:
3, 6, 12, 24, 48, ...
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el
producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a 1 . an
a 3 · an- 2 = a 2 · an- 1 = ... = a 1 · an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión:
3, 6, 12, 24, 48, ...
Sucesiones y Progresiones
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Cálculo del término general de una sucesión
1 Comprobar si la sucesión es una progresión aritmética.
8, 3, -2, -7, -12, ...
d= -5
a n = 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13
2 Comprobar si la sucesión es una progresión geométrica.
3, 6, 12, 24, 48, ...
r= 2
a n = 3· 2 n- 1
3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.
4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el
exponente es constante: b n = 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es: a n = (n + 1) 2
También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números
próximos a cuadrados perfectos.

5, 10, 17, 26, 37, 50 ...
a n = (n + 1) 2 + 1

6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
a n = (n + 1) 2 + 2

3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
a n = (n + 1) 2 - 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ...
a n = (n + 1) 2 - 2
4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de si gno.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos:
Multiplicamos a n por (-1) n .
-4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

a n = (-1) n (n + 1) 2
Si los términos impares son positivos y los pares negativos:
Multiplicamos a n por (-1) n- 1 .

4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
a n = (-1) n- 1 (n + 1) 2
5 Si los términos de la sucesión
son fraccionarios (no siendo una
progresión). Se calcula el término general del numerador y denominador
por separado.
a n = b n /c n
Sucesiones y Progresiones
2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,... a n = (3n - 1)/(n + 1) 2
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1
Hallar el término general de las siguientes sucesiones
1 8, 3, -2, -7, -12, ...
2 3, 6, 12, 24, 48, ...
3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...
5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...
8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...
10
2 Calcular el término general de las siguientes sucesiones:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Sucesiones y Progresiones
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NÚMEROS FIGURADOS
Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba en la escuela
cuando su profesor, tal vez con la intención de entretener a los niños mientras
trabajaba, propuso a la clase que sumaran todos los números del 1 al 100.
El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta
correcta poco después de ser formulada la pregunta. Seguramente, Gauss procedió
de la siguiente manera:
S=101x50=5050
Seguramente conocerás los números triangulares y cuadrados que fueron estudiados
por los Pitagóricos en el s. VI a.C.
NÚMEROS TRIANGULARES:
Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular (trianón) era una figura
sagrada por la que tenían la costumbre de jurar.
Tabla de los números triangulares:
Nº
1
2
3
4
T
1
3
6
10
...........
n
.
.
¿Tn?
.
.
Si observamos la naturaleza de los números triangulares es fácil reconocer las dos
propiedades siguientes:
Tn = Tn-1 + n
Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n
 Basándote en la última propiedad, y procediendo como Gauss, descubre la
expresión del enésimo número triangular. Halla también la expresión de los
dos que le siguen.
Sucesiones y Progresiones
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NÚMEROS CUADRADOS:
Tabla de los números cuadrados:
Nº
1
2
3
4
...........
n
.
.
C
1
4
9
16
...........
n2
.
.
Halla la expresión de los dos números cuadrados que siguen al enésimo. Haz
lo mismo con los dos anteriores.
El esquema geométrico que muestra la figura siguiente manifiesta a relación entre los
números triangulares y los cuadrados:


Comprueba la igualdad de forma algebraica
Existen más tipos de números figurados:
OBLONGOS (Números rectangulares en los que la dimensión de un lado es una
unidad mayor que el otro)
PENTAGONALES
Sucesiones y Progresiones
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HEXAGONALES
ESTRELLADOS
CÚBICOS
TETRAÉDRICOS
Sucesiones y Progresiones
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TÉCNICAS PARA BUSCAR EL PATRÓN
MÉTODOS GEOMÉTRICOS
El esquema anterior sugiere que un número pentagonal se expresa como la suma
de tres números triangulares de un orden menor y de los puntos de su lado P n = 3 ·
Pn-1 + n , de donde

Deduce del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números
estrellados.

Realiza la misma actividad con los números hexagonales:
Ten presente que uno de los vértices se cuenta dos veces.
Sucesiones y Progresiones
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PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de números reales
de manera que cada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una
cantidad fija, d, llamada diferencia .
Veamos algunos ejemplos:
-8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 = -8 y d = 5.
70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a1 = 70 y d = -30.
3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 = 3/2 y d = 5/2.
De esta manera se tiene que :
En general tenemos que
En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos
de una PA:
Esto nos permite averiguar cómodamente el valor de Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n.
Observamos que el enésimo número triangular se construye sumando los n primeros
términos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4, ......, n, de primer término 1, enésimo término n y
diferencia 1.
Si aplicamos la fórmula anterior se tiene que
Utilicemos lo estudiado para hallar el la expresión del enésimo número pentagonal:
P 1= 1
P2 = 1+4
P3 = 1+4+7
P4 = 1+4+7+10
P5 = 1+4+7+10+13
Sucesiones y Progresiones
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Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer término 1 y diferencia 3, tenemos
que Pn se corresponde con la suma de los n primeros términos de la sucesión. En
virtud de las fórmulas que hemos visto:

Halla, mediante una técnica similar, el término general de los números
hexagonales y estrellados.
DIFERENCIAS FINITAS
Comencemos estudiando las diferencias entre los términos consecutivos de una PA
cualquiera, por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...
Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de números hexagonales:
Y la de los números cúbicos:
En el caso de la PA las diferencias son constantes. En el de los números hexagonales
lo son las diferencias segundas y, en el caso de los números cúbicos, hay que llegar
hasta la tercera diferencia. Lo anterior, como se verá, no se debe a la casualidad.
Sucesiones y Progresiones
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En general, si una secuencia a1 , a2 , a3 , a4,... Tiene las primeras diferencias fijas
podemos concluir que la secuencia es una progresión aritmética de diferencia d y
primer término a1 :

Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de término general 2 n + 5, 3
n - 1 y -6 n + 9.
¿Cómo
son
las
secuencias de término general an = a n + b?
Veamos que cuando el término general de una secuencia viene dada por un
polinomio de segundo grado en n, an = a n 2 + b n + c, las segundas diferencias son
constantes:

Recíprocamente, si las segundas diferencias son constantes el término general será
del tipo an = a n2 + b n + c.
Se pueden hallar los coeficientes a, b y c de la siguiente forma:
la diferencia segunda es el doble del valor de a, para obtener el valor de b hay que
restarle 3a al primer valor de D1.
Por último, para obtener el coeficiente c, se restan a y b al primer término de la
secuencia.
 Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias para las secuencias de
término general
n2 + 3n + 2 y -n2 + 7
 Investiga utilizando diferencias el patrón de la secuencia de los números
tetraédricos.
 Estudia las diferencias de una sucesión de término general an = a n 3 + b n 2 + c
n+d
 Halla el término general de las secuencias:
2, 9, 20, 35, 54, 77,....
4, 5, 8, 13, 20, 29,....
Sucesiones y Progresiones
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
Llamamos números poligonales a los que se generan mediante un polígono:
triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc. Comprueba que, si en la
fórmula ,
cambiamos b por 1 obtenemos la expresión general de los números triangulares;
si la cambiamos por 2 obtenemos la de los números cuadrados: si lo hacemos por
3 se obtiene la de los pentagonales, ...

Comprueba que se verifican las siguientes relaciones:
Cn=Tn + Tn-1
Pn=Cn + Tn-1
Hn=Pn + Tn-1
etc.
No siempre nos valen las diferencias:
Cuando el término general de una secuencia no sea un polinomio en n no podremos
utilizar la técnica de las diferencias finitas. Veremos algunos casos en que esto ocurre
y aprovecharemos para estudiar dos tipos de secuencias que también son muy
frecuentes en la literatura matemática: las progresiones
geométricas y las sucesiones recurrentes.
Estudiemos ahora el siguiente caso: supongamos infinito
el proceso de construcción de cuadrados (el cuadrado
grande tiene lado 1).
¿Cuánto mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud
de la línea negra?
¿Y si considerásemos a la infinidad de ellos?
Resuelve la cuestión cuando leas el siguiente apartado:
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una progresión geométrica (PG) es una secuencia de números reales
de manera que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el anterior una
cantidad fija, r, llamada razón.
De esta manera se tiene que :
Sucesiones y Progresiones
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En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos
de una PG:

Halla el perímetro del copo de nieve de n capas:
En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1 < r < 1, se tiene
que
, es decir, rn se acercará a cero tanto como queramos, tomando n
suficientemente grande.
En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG
sería
. Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir
cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo caso?
SUCESIONES RECURRENTES
De manera algo imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes como aquellas
en las que un término se expresa en función de términos anteriores.
Veamos un par de casos que aclaren la idea:
Averiguar el número de caminos distintos que se pueden tomar desde los vértices
numerados para llegar hasta 0 (no vale retroceder):
Sucesiones y Progresiones
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En el esquema se muestra que C n = C n-1 + C n-2 (cada término es la suma de los dos
anteriores)
Según esto la secuencia es 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Comprueba que al hacer las diferencias termina apareciendo la propia sucesión, con
lo que no se hacen constantes y es imposible determinar, de esta manera, su término
general.
Las Torres de Hanoi:
Hay que traspasar los discos a otro poste,
de forma que queden en la misma
posición. Los discos sólo pueden situarse
descansando en alguno de los tres postes,
sin que un disco mayor pueda colocarse
sobre otro menor.
Hallar la secuencia
Nº. De discos
1
2
.................................
Nº. mínimo de movimientos
1
3
.................................
n
Metodología.
Comenzar por pocos discos.
Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1,
siendo
A n = A n-1 + 1 + A n-1 = 1 + 2 · A n-1 .
Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se sigue que An= 2n - 1.
Del hecho de que A n = 1 + 2 · A n-1 se deduce que las diferencia primera será:
D = A n+1 - A n = 1 + 2 A n - A n = 1 + A n que no se hace constante. Puedes estudiar lo
que ocurre con las demás diferencias y comprobarás que ocurre lo mismo.
Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres
de Hanoi, hemos hallado una expresión para su término general: An = 2n - 1.
Sucesiones y Progresiones
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APÉNDICES
TRAYECTO DESDE LAS SUCESIONES RECURRENTES A LAS PROGRESIONES
GEOMÉTRICAS MEDIANTE UNA ACTIVIDAD RECREATIVA DEBIDA A LEWIS
CARROLL: El cuadrado evanescente
Se ha dicho que la Geometría es el arte de razonar bien sobre
figuras falsas. (CHASLES, en otro sentido, claro)
En esta paradoja aparente intervienen los números 5, 8 y
13. Si probamos a plantearla con cuadrados de otras
dimensiones, comprobaremos que también funciona con
los números 8, 13 y 21. Lo anterior huele a los términos de
la sucesión de Fibonacci, vista anteriormente, en los que
cada uno es la suma de los dos anteriores.
Precisamente, si construimos la paradoja con los números
2, 3 y 5 veremos mejor la trampa que encierra (la diagonal
del rectángulo no es una línea, sino un delgado cuadrilátero cuya área vale una
unidad).
Sean a, b, c tres términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, se tiene que a + b
= c y b2 = a · c +1, o b2 = a · c -1
Consideremos una sucesión de términos no necesariamente enteros, en la que cada
término se obtenga mediante la suma de los dos anteriores. La pregunta es: ¿se
podrán dar las condiciones a + b = c y b2 = a · c?. Es decir, ¿se podrá cortar el
cuadrado de tal forma que al disponer las piezas del rectángulo tenga el área igual al
cuadrado?.
Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuación b2 - ab - a2 =
0.Cuya solución positiva es
¡Aparece el número áureo!
La única sucesión de Fibonacci en la que cada término es el producto de sus términos
adyacentes es la sucesión 1,N , 1+N, 1+2N, 2+3N,..... o, equivalentemente, la PG de
razón 1,N,N 2,N 3,N 4,...
TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES RECURRENTES:
Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el término
general de una sucesión recurrente.
Ecuación característica de una sucesión recurrente
Si una relación de recurrencia es del tipo:
siendo los ci números reales, Se denomina ecuación característica de la relación a la
expresión:
Está claro que la sucesión
verifica la relación de recurrencia sii b es raíz de la
ecuación característica. En general, si la ecuación tiene
distintas, entonces cualquier sucesión del tipo:
Sucesiones y Progresiones
raíces no nulas y
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, donde las ci son arbitrarias, verifica la relación de
recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales
, entonces se puede
obtener una solución particular, pues estas condiciones determinan un sistema de
ecuaciones lineales en las incógnitas ci:
Y al ser las raíces distintas y no nulas, el determinante de la matriz de los
coeficientes, que es el producto de
por un determinante de Vandermonde,
es diferente de cero y obtenemos una solución particular para An
Veamos, como ejemplo, cómo obtener el término general de la sucesión anterior:
Una sucesión de Fibonacci viene definida en los términos
,
la ecuación característica asociada es
.
Si concretamos en nuestro ejemplo del número de caminos, las condiciones iniciales
son d1 = 1, d2 = 2. Tenemos así el sistema
cuyas soluciones son:
.
Así pues, el término general de la sucesión viene dado por la
regla:
obtuvo.
, que se llama fórmula de Binet (1786-1856) porque que la
Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli.
Dado que
Por lo tanto

, tenemos que
para n suficientemente grande.
Encuentra el término general de la secuencia 1,2, 5, 14, 41, ... en la que cada
término se obtiene multiplicando por cuatro el término anterior y restándole
el triple del que está detrás de éste.
Sucesiones y Progresiones
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ALGUNAS ACTIVIDADES RECREATIVAS RELACIONADAS CON EL TEMA:

D. Juan el albañil es especialista en enlosar patios de forma cuadrada. Su diseño
favorito consiste en utilizar losas rojas para el interior y blancas para los bordes. He
aquí algunos patios construidos por él:
Si atendemos al número L de baldosas que tiene el patio en cada lado, podemos hacer la
siguiente tabla, en la que B indica el número de baldosas blancas empleadas.
L
3
4
5
6
.................
n
B
8
12
16
20
.................
?
Un señor le pregunta a Juan la fórmula para un patio con n baldosas de lado. ¿Sabrías
ayudarle a averiguar las baldosas blancas y rojas que se necesitarían?
El Jefe de D. Juan admira la idea de poner losas rojas en el centro y blancas en los
bordes. Su especialidad son los patios rectangulares en los que un lado es la mitad del
otro pero tiene el problema de que se lía contando. ¿Sabrías ayudarle a calcular las
baldosas blancas y rojas, en función del número de baldosas del ancho del patio?

El siguiente problema aparece en el papiro de Rind (2000 a J): Entre cinco personas
se reparten cien medidas de trigo; la segunda recibe más que la primera tanto como
la tercera más que la segunda, la cuarta más que la tercera y la quinta más que la
cuarta. Además, las dos primeras recibieron siete veces menos que las tres restantes.
¿Cuánto correspondió a cada una?

Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un
decalitro semanal para cada una. Esto se hacía en el caso de que el número de
gallinas permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminuía en una
el número de aves, la comida preparada duró el doble de lo proyectado. ¿Qué
cantidad de comida prepararon como reserva y para cuánto tiempo fue calculada?

Realiza las sumas:
1+3+5+.....+(2n+1)
3+4+5+.....+(n+2)
5+8+11+....+(3n+2)
Sucesiones y Progresiones
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
Los soldados de una guarnición costera van a construir un fuerte en una isla. Si
hubiese trabajado toda la guarnición hubiesen tardado 24 días. La isla se comunica
con la costa mediante un barco que realiza un viaje diario de ida y vuelta.
El trabajo fue comenzado por el
primer grupo de soldados que
llegó a la isla, al día siguiente se
le unió el segundo grupo, al
tercer día el tercero, etc. Sabiendo
que todos los grupos eran iguales
y que el primero trabajó once
veces más que el último, ¿cuántos
días trabajó cada grupo?

Veamos otro clásico problema: Un hortelano vendió al primero de sus compradores
la mitad de las manzanas de su jardín más media manzana; al segundo la mitad de
las restantes más media, al tercero la mitad de las que quedaban más otra media
manzana, etc. El séptimo comprador, al adquirir la mitad de las manzanas sobrantes
más media manzana, agotó la mercancía. ¿Cuántas manzanas tenía el jardín?

Determina la expresión de An :

Demuestra que si multiplicas por ocho un número triangular, y sumas uno, obtienes
un número cuadrado. Intenta demostrarlo mediante un esquema geométrico.
(NOTA: la demostración algebraica requiere expresar 4n2 + 4n +1 como cuadrado
perfecto)

Un bodeguero desea almacenar en cinco formaciones triangulares los 140 toneles
que dispone. ¿Con cuántos toneles se formará la base? ¿Y si fuesen 345 toneles,
podría realizar su deseo?

Una escuadrilla aérea tiene unos cincuenta
aviones aproximadamente y su formación en
vuelo es un triángulo equilátero.
Algunos aviones caen después de un combate, de
manera que cuando los aviones restantes regresan lo
hacen formando cuatro triángulos equiláteros de igual
lado.
Dinos cuántos aviones tenía la escuadrilla, sabiendo que con los aviones derribados
se podía haber formado otra formación igual en triángulo equilátero.
Sucesiones y Progresiones
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
¿Cuántos trozos, no necesariamente
iguales, se pueden obtener como máximo al
realizar n cortes sobre una tarta?
Intenta obtener el máximo con 5 y 6 cortes y comprueba si lo has conseguido, sabiendo
que las diferencias segundas de dicha secuencia se hacen
constantes.

Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre de 4 capas.
Expresa el número de cubos necesario para realizar una de n
capas.
. Halla A
n
(número máximo
de regiones obtenidas por intersección de n círculos)

.
A veces las apariencias engañan. Si observamos el
número máximo de regiones que se pueden obtener al unir
n puntos de una
circunferencia, la
observación de los 5 primeros términos parece
indicar que la secuencia sigue la fórmula An =
2n-1. Claramente se ve que el término sexto no
cumple ya esa regla. Determina la expresión
general de la sucesión, sabiendo que sus
primeros términos son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99,
163, 256,... y que sus cuartas diferencias son
constantes.

Curiosidades con números cuadrados:
16 = 42
1156 = 342
111556 = 3342
1115556 = 33342
11115556 = 333342
1111155556 = 3333342
12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
92 = 81
992 = 9801
9992 = 998001
99992 = 99980001
999992 = 9999800001
Sucesiones y Progresiones
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Sucesiones - Encontrar la regla
Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer la
regla
A veces basta con mirar los números y ver el patrón.
Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?
Respuesta: son cuadrados (12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...)
Regla: xn = n2
Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
¿Has visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"?
xn significa "el término en la posición n", así que el tercer término sería x3
Y también hemos usado "n" en la fórmula, así que para el tercer término hacemos
32 = 9. Esto se puede escribir
x3 = 32 = 9
Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por
ejemplo término 25º se calcula "poniendo dentro" 25 donde haya una n.
x25 = 252 = 625
Qué tal si vemos otro ejemplo:
Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?
Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue así
(en realidad es parte de la Sucesión de Fibonacci):
Regla: xn = xn-1 + xn-2
Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
¿Qué significa xn-1 aquí? Bueno, sólo significa "el término anterior" porque la
posición (n-1) es uno menos que (n).
Entonces, si n es 6, será xn = x6 (el 6º término) y xn-1 = x6-1 = x5 (el 5º término)
Vamos a aplicar la regla al 6º término:
x6 = x6-1 + x6-2
x6 = x5 + x4
Ya sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta es:
x6 = 21 + 13 = 34
Muy simple... sólo pon números en lugar de "n"
Muchas reglas
Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de una sucesión
es que las matemáticas son tan potentes que siempre hay más de una regla que
vale.
Sucesiones y Progresiones
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¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?
Hay (por lo menos) tres soluciones:
Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...
Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...
Regla: xn = n(n-1)/2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...
(La regla parece complicada, pero funciona)
Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:
Regla: xn = xn-1 + xn-2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ...
Solución 3: suma los tres números anteriores
Regla: xn = xn-1 + xn-2 + xn-3
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...
Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente.
¿Cuál es la correcta? Todas son correctas.
Y habrá otras soluciones.
Hey, puede ser una lista de números ganadores... así que el
siguiente será... ¡cualquiera!
La regla más simple
Cuando dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona también
que hay otras soluciones.
Calcular diferencias
A veces ayuda encontrar diferencias entre los términos... muchas veces esto nos
muestra una pauta escondida.
Aquí tienes un ejemplo sencillo:
Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte de la
respuesta.
Probamos 2n:
n:
1
2
3
4
5
Términos (xn):
7
9
11
13
15
2n:
2
4
6
8
10
Error:
5
5
5
5
5
La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:
Regla: xn = 2n + 5
Sucesiones y Progresiones
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OK, podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números, pero
queremos un sistema que funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.
Segundas diferencias
En la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} tenemos que calcular las diferencias...
... y después calcular las diferencias de esas diferencias (se llaman segundas
diferencias), así:
En este caso las segundas diferencias son 1.
Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2 / 2".
En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n2 / 2:
n:
1
2
3
4
5
Términos (xn):
1
2
4
7
11
n2 :
1
4
9
16
25
n2 / 2:
0.5
2
4.5
8
12.5
Error:
0.5 0
-0.5 -1 -1.5
Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos
ahora: n2 / 2 - n/2
n2 / 2 - n/2:
0
1
3
6
10
Error:
1
1
Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:
n2 / 2 - n/2 + 1:
1
2
1
1
1
4
7
11
Error:
0
0
0
0
0
La fórmula n2 / 2 - n/2 + 1 se puede simplificar a n(n-1)/2 + 1
Así que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...
Otros tipos de sucesiones
Además de las que se explican en sucesiones y series:
 Sucesiones aritméticas
 Sucesiones geométricas
 Sucesión de Fibonacci
 Sucesiones triangulares
Ten en cuenta
 Números primos
 Números factoriales
 ¡y cualquier otra sucesión que veas en tus viajes!
Sucesiones y Progresiones
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La verdad es que hay demasiados tipos de sucesiones para decirlos aquí, pero si
hay alguno que te gustaría que digamos, sólo tienes que decírmelo.
La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
 El 2 se calcula sumando (1+1)
 Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
 Y el 5 es (2+3),
 ¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55
¡Así de simple!
Aquí tienes una lista más larga:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...
¿Puedes encontrar los siguientes números?
La regla
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y
series): la regla es xn = xn-1 + xn-2 donde:
 xn es el término en posición "n"
 xn-1 es el término anterior (n-1)
 xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Por ejemplo el sexto término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Razón de oro
Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de
Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente
está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor
aproximado 1.618034...
De hecho, cuanto más grandes los números de
Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos
con algunos:
A
2
3
5
8
...
144
233
Sucesiones y Progresiones
B
3
5
8
13
...
233
377
B/A
1.5
1.666666666...
1.6
1.625
...
1.618055556...
1.618025751...
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...
...
...
Usar la razón de oro para calcular números de Fibonacci
Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de
Fibonacci usando la razón de oro:
Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma
de los dos términos anteriores.
Ejemplo:
Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón
aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor
más cercano a 8.
¡Prueba tú mismo!
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EJERCICIOS DE REPASO
SUCESIONES Y PROGRESIONES
1.- Halla el noveno término de la progresión 5, 8,
11, 14, ...
2.- El primer término de una p. a. es 7 y el sexto es
–3. ¿Cuál es la diferencia?. Calcula la suma de los
100 primeros términos de esta progresión.
3.- Halla el trigésimo término de la progresión 36, 18, 9, 4’5, .....
4.- Halla la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica 2, 1, ½,
¼, .....
5.- Halla la suma de los 13 primeros términos de la p. g. cuyo primer término
es a1=5 y cuya razón es r=2.
6.- Comprueba si las siguientes progresiones son aritméticas o geométricas.
Escribe cuatro términos más de cada una de ellas. Calcula sus términos
generales.
a) 2, 5, 8, 11, 14, ...
b) 30, 28, 26, 24, 22, ...
c) 8, -16, 32, -64, 128, ...
d) 0, -5, -10, -15, -20, ...
e) 7, 7, 7, 7, 7, ...
f) –16, -15’5, -15, -14’5, -14, ...
g) 1, 0’2, 0’04, 0’008, 0’0016,… h) 5, 10, 20, 40, …
i) –3, -9, -27, -81, -243, …
j) 2, -6, 18, -54, …
7.- Compramos un televisor a plazos, y tenemos que pagar 63 el primer mes;
69 el segundo; 75 el tercero, y así sucesivamente. El último mes pagamos
117. ¿Durante cuántos meses hemos estado pagando?
8.- Juan envía dos postales a dos amigos el día 1 de enero, pidiéndoles que
envíen a otros dos amigos dos postales el día primero del mes siguiente. Si no
se rompe la cadena y los destinatarios son distintos, ¿cuántas postales se
envían en un año?
9.- Una hoja de papel tiene aproximadamente un grosor de 0’13 mm.
Supongamos que podemos hacer dobleces en ella de forma indefinida.
a) ¿Qué grosor alcanzará cuando hayamos hecho 10 dobleces?
b) ¿Y después de hacer 20?
c) Comprueba que si pudiéramos doblar la hoja por la mitad 42 veces,
el grosor resultante superaría la distancia de la Tierra a la Luna, que
es de unos 384000 Km.
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10.- Una moto cuesta 3000. Cada año que pasa, por su uso y envejecimiento,
pierde un 20% de su valor. ¿Por cuánto la podremos vender al cabo de diez
años?
11.- Observa cómo se construye con palillos la siguiente sucesión de
triángulos. Escribe la sucesión que indica el número de palillos necesarios para
construir cada término y calcula el término general. ¿Qué tipo de sucesión es?
12.-
Progresiones aritméticas de segundo orden:
a) 49, 64, 81, 100, 121, 144, ...
b) 2, 2, 4, 8, 14, ...
c) 9, 18, 31, 48, 69,...
d) 8, 24, 46, 74, 108,...
e) 7, 11, 19, 31, 47,...
f) -3, 0, 7, 18, 33,...
g) 3, 10, 23, 42, 67,...
Ejercicios de progresiones aritméticas
1 El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16.
Escribir la progresión.
2 Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.
3 Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
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4 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27.
Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
5 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
6 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
7 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
8 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en
progresión aritmética, siendo d= 25º.
9 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos,
sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.
10 Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la
suma de sus cuadrados es 511/2.
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II. Término General de una Sucesión
Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con aun, al término que
representa uno cualquiera de ella.

Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una
fórmula:
Dándole a n un cierto
valor natural, se obtiene el término
correspondiente.
 En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más
de los anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término
concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores.
Ejemplos:
1) 5; 8; 12; 17; 23
2) 42; 36; 28; 18; 6; 8
3) 1; 2 ;6 ; 24; 120; 720
III. Tipos De Sucesiones
a) Sucesión por Recurrencia
En las cuales encontramos la serie Fibonacci. Es aquella en la cual se usa sus términos
anteriores para formar el siguiente.
Ejemplo:
1; 1; 2;3 ; 5; 8; 13; …….
b) Sucesiones Aritméticas
Ejemplos:
 5; 8; 12; 17; 22;…
 30; 28; 26; 24; 22;…
c) Sucesiones geométricas
Ejemplos:
 5; 20; 80; 320; 1280;…
 600; 300; 150; 75;…
d) Sucesiones combinadas
Ejemplos:
 0; 4; 8; 12; 24; 28;…..
 30; 15; 20; 10; 15;…
e) Sucesiones alternadas
Son las que se dan al intercalar don o más sucesiones que se rigen cada uno de ellas
por su respectiva ley de formación .
Ejemplos:
 6; 5; 8; 7; 11; 10; 15; 14; 20; 19
Solución
1º) 6; 8; 11; 15; 20
2º) 5; 7; 10; 14; 19
 2; 17; 2; 16; 4; 14; 12; 11; 48; 7
Solución
1º) 2; 2; 4; 12; 48
2º) 17; 16; 14; 11; 7
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f) Sucesiones Literales
Es un conjunto de letras del abecedario, cuyo procedimiento es el mismo que el de
una sucesión numérica.
Se considera a la letra “CH” y “LL” cuando por lo menos una de ellas aparece como
dato del problema.
Ejemplos:
A; C; E; G; I; J
A; CH; G; J; N; P
g) Sucesiones Alfanuméricas
Es una sucesión donde convergen una sucesión numérica y una sucesión literal o
alfanumérica, cada uno con respecto a la ley de formación.
Ejemplos:
 1; C; 2; E; 4; I; 7; Ñ
Solución
1º) 1; 2; 4; 7
2º) C; E; I; Ñ
h) Sucesiones graficas
Se da por lo general en los gráficos circulares, cuya ley de formación puede ser en
sentido horario o antihorario.


Solución
4; 9;
16; 25; 36; X
Donde x=36+13=49
IV. Termino Enésimo
Es el
término general mediante el cual se obtiene un término
cualquiera de la sucesión en función de otros
anteriores.
Este término será dado por la variable “n” que toma los
valores de 1, 2, 3, …. y así sucesivamente donde se obtiene el primer, segundo,… y
así sucesivamente el Enésimo Termino.
a) Sucesión Lineal
Se dice así cuando la razón es constante, cuya ley de formación o termino enésimo es
dada por la siguiente sucesión:
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b) Sucesión no Lineal
Se dice cuando la razón de sus términos no son constantes
c) Sucesión Cuadrática
Sean los términos de una sucesión cuadrática:
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