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Álgebra 1
1° cuatrimestre (2008)
Trabajo Práctico Nº 4 : “ Conjuntos ”
1) a) Defina igualdad de conjuntos.
b) Determine cuáles de los siguientes conjuntos son iguales a 1, 2, 3 .
A  3, 2,1 


D  n  Z / n2  9
B  3, 2,1, 2, 3 
C  N   , 7 / 2
E  k  Z / k  2  1 
F  x  R  / x3  x  x 2  x  6


2) Determine qué elementos forman los siguientes conjuntos, describiendo por extensión
cuando sea posible. En cada caso, señale si el conjunto es infinito, finito, unitario o vacío.


A  3. 1 / n  Ν
n

G   y C /

D  z  C / z 2  4


k 
B   k 2    / k  N  k  6
 10 


C  x  R / x 2  4
E  z  C / z  z.z
F   yR / y 5  2


y 5  2


H  w  C / w5  1  0


I   x  R / 5x  0
3) Dado el conjunto universal U   k  Ν / k  10  y los subconjuntos
A  1,3,5,7 , B  5,6,7,8 y C  3,4,5,8,9,
i) Realice un diagrama de Venn que represente las relaciones entre estos conjuntos.
ii) Identifique los siguientes conjuntos en el diagrama anterior y escriba por extensión:
a) A
d) A  B
b) B  C
e) B  C
c) A C
f)
g) A  C
h) A  C
A  B  C 
i)
A  C   B
4) Considere los conjuntos:


D   z C / z  1
A  ik / k N

E  a  bi /
B  z C / z 2  1

a  1  bR 

C  z  C / z8 1

F   a  bi / a  b 
Represente en el plano complejo los conjuntos dados y los siguientes:
a) A C
b) A  F
c) D  B
d) B  E
e) F
f) D
g) C  E
h) B  F
i) A  E
j) A  C
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5) Demuestre las siguientes inclusiones:
a) Z  Q


b) z  C / z 4  16   z  C / z  2
c)
 n  N / 6 | n   k  N / 2 | k 
6) Pruebe que  z  C / z  1    w  C / w  cos   i sen para algún   R  .
7) Escriba cada proposición simbólicamente y demuéstrela:
a) Todo conjunto es el complemento de su propio complemento.
b) El complemento del universal es el conjunto vacío.
c) La unión de un conjunto y su complemento es el universal.
d) Todo conjunto y su complemento son disjuntos.
8) Demuestre cada propiedad, siendo A, B y C subconjuntos cualesquiera de un universal U:
a)
 A  B 
A   A  B
b) A  B  A  B
c)   A
d) A    A  
b)
 A  B   A  B   A
e) A  B   A  B  B  A
f) C  A  C  B  C  A  B
9) Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles falsas.
a)   
b)   
c)   
d)  
e)   
10) Dado A   s, t , t , determine si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
a) s  A
b)
s A
c)
d)
s  A
s  A
e)
f)
t  A

t A
g)
h)
t A

t  A
i)
j)   A
11) Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes a X  Y :
a) Y  X
b) X  Y  
c) X  Y  Y
2
 A
d) X  Y  X
f)
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12) a) En cada caso, escriba por extensión el conjunto de partes del conjunto dado:
A x 
;

B   a, b, c  ; C    R /  2  1


; D    C /  2  1

b) Según estos ejemplos, ¿Qué relación puede sugerir entre la cardinalidad de un
conjunto finito y la de su conjunto de partes?
13) Según el ejercicio 8-f, ¿qué relación existe P A  B y P A  PB ?
14) Para cada una de las siguientes proposiciones, demuestre o exhiba un contraejemplo.
a)
b)
X : X  A  X  B  A  B
P A  B  P A  PB
c) A  ( B  C )  ( A  B)  C
d)
A  B  U
 A B 

 BA
15) Demuestre por inducción las Leyes de De Morgan para un número n de conjuntos X i .
n
 i 1


n  n
b)   X i    X i
 i1  i1
n
a)   X i    X i
i 1
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