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TEMA 5
SÓLIDO RÍGIDO
CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
Ten presente la distinción entre velocidad angular ωZ y velocidad ordinaria vX. Si un
objeto tiene una velocidad vX el objeto en su totalidad se mueve a lo largo del eje X. Por el
contrario, si un cuerpo tiene una velocidad angular ωZ está girando en torno al eje Z, no
quiere decir que el cuerpo se mueva a lo largo del eje Z.
A veces por la
falta de costumbre
te
resulta
difícil
determinar el sentido
de ω y α. Para la
velocidad angular, ωZ
es la componente Z
de un vector de
velocidad angular ω
dirigido a lo largo del
eje de rotación. Como
puedes ver en la
figura, la dirección de ω está dada por la regla de la mano derecha. Si la rotación es en
torno al eje Z, ω sólo tiene componente Z, la cual es positiva si ω apunta en la dirección +Z
y negativa si ω apunta en la dirección –Z.
Del mismo modo, es muy útil trabajar con la aceleración
angular α. Matemáticamente, α es la derivada con respecto al
tiempo del vector velocidad angular ω. Si el objeto gira en torno a
un eje Z fijo, α sólo tiene componente Z; la cantidad αZ es
precisamente esta componente. En este caso, αZ apunta en la misma
dirección que ω si la rotación se está acelerando y en la dirección
opuesta si se está frenando.
La estrategia para resolver problemas de dinámica rotacional es muy similar a la
utilizada para problemas en los que interviene la segunda ley de Newton. En primer lugar,
deberás identificar los conceptos relevantes. La ecuación ΣM=Iα es muy útil en todos los
problemas en los que actúan momentos sobre un cuerpo rígido, es decir, cuando existen
fuerzas que al actuar sobre el cuerpo alteran su estado de rotación. A veces el problema
requiere un enfoque de energía; sin embargo, cuando la incógnita es una fuerza, un
momento, una aceleración, una aceleración angular o un tiempo transcurrido, casi siempre
es más eficiente usar la ecuación ΣM=Iα.
A continuación hay que realizar un esquema de la situación y elegir un cuerpo o
grupo de cuerpos que se analizarán.
Dibuja un diagrama de sólido libre para cada cuerpo, aislando el cuerpo e incluyendo
todas las fuerzas que actúan sobre él (y sólo ellas), incluido el peso. Marca las cantidades
desconocidas con símbolos algebraicos. Una nueva consideración es que se debe mostrar
con exactitud la forma del cuerpo, incluyendo todas las dimensiones y ángulos que se
necesitarán para los cálculos de los momentos. Resulta muy útil trazar paralelamente al
diagrama de fuerzas un diagrama del mismo sólido donde aparezcan la aceleración del
centro de masa del cuerpo y su aceleración angular. Así resulta más sencillo aplicar las
ecuaciones ΣF=maG y ΣMG=IGα. Además, el sentido de las aceleraciones a veces nos indica el
sentido de algunas de las fuerzas desconocidas.
Escoge los ejes de coordenadas para cada cuerpo e indica un sentido de rotación
positivo para cada cuerpo que gire. Si hay una aceleración lineal, lo más sencillo suele ser
escoger un eje positivo en su dirección. Si ya se conoce el sentido de α se simplificarán los
cálculos si se escoge ése como sentido de rotación positivo.
Para cada cuerpo del problema decide si sufre movimiento rotacional, traslacional o
ambos. Dependiendo del comportamiento del cuerpo, aplica ΣF=ma, ΣM=Iα o ambas al
cuerpo. Escribe ecuaciones de movimiento aparte para cada cuerpo.
Podría haber relaciones geométricas entre los movimientos de dos o más cuerpos,
como cuando un hilo se desenrolla de una polea girándola o cuando un neumático gira sin
resbalar. Exprésalas en forma algebraica, habitualmente como relaciones entre dos
aceleraciones lineales o una aceleración lineal y una angular.
Verifica que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Resuelve
las ecuaciones para obtener la o las incógnitas.
Evalúa la respuesta. Comprueba que los signos algebraicos de tus resultados son
lógicos. Por ejemplo, supón que el problema se refiere a un carrete de hilo. Si se está
sacando hilo del carrete las respuestas no deberán decirnos que el carrete gira en el
sentido en el que el hilo se enrolla. Siempre que puedas, verifica los resultados para casos
especiales o valores extremos y compáralos con los que esperas intuitivamente. Pregúntate:
“¿es lógico este resultado?”
En una polea giratoria, con fricción entre la polea y el hilo para evitar
deslizamientos, las dos tensiones no pueden ser iguales. Si lo fueran, la polea no podría
tener aceleración angular. Marcar la tensión en ambas partes del hilo como T sería un grave
error. Cuídate de este error en cualquier problema que implique una polea que gira.
Es importante tener en cuenta que en ruedas la relación vcm=Rω sólo se cumple si
hay rodamiento sin deslizamiento.
En el caso de problemas de trabajo y energía, su resolución es análoga a los
problemas del tema de la partícula con algunas adiciones. Muchos problemas implican una
cuerda o cable enrollado en un cuerpo rígido giratorio que funciona como polea. En estos
casos recuerda que el punto de la polea que toca la cuerda tiene la misma velocidad lineal
que la cuerda, siempre que ésta no resbale sobre la polea. Así, podemos aprovechar las
ecuaciones v=rω y at=rα, que relacionan la velocidad lineal y la aceleración tangencial de un
punto de un cuerpo rígido con la velocidad y la aceleración angulares del cuerpo.
Escribe las expresiones para las energías cinética y potencial iniciales y finales y
para el trabajo no conservativo (si lo hay). La novedad es la energía cinética rotacional, que
se expresa en términos del momento de inercia I y la velocidad angular ω del cuerpo
respecto del eje dado, en lugar de su masa m y su velocidad v. Sustituye las expresiones en
la ecuación de la energía y despeja las incógnitas. Como siempre, verifica que tu respuesta
sea lógica físicamente.
TEMA 5
SÓLIDO RÍGIDO
PROBLEMAS
1.- Una placa triangular que pesa 450 N está
sostenida por dos cables, tal como se indica en la figura.
Cuando la placa pasa por la posición representada, la
velocidad angular de los cables es de 4 rad/s en sentido
antihorario. Determinar en ese instante: a) la aceleración
del centro de masas de la placa; b) la tensión en cada
cable.
(Sol: a)
TAB=535,24 N)
a=10,78
m/s2;
b)
TCD=295,39
N;
2.- El sistema de la figura consta de una polea formada por dos
discos coaxiales soldados de masas 550 g y 300 g y radios 8 y 6 cm
respectivamente. Dos masas de 600 g y 500 g cuelgan del borde de cada
disco. Calcular: a) ¿en qué sentido gira? b) la tensión en cada cuerda; c) la
aceleración de cada masa; d) la velocidad de cada cuerpo cuando uno de
ellos (¿cuál?) haya descendido 3 m partiendo del reposo.
Momento de inercia de un disco respecto de su punto medio
1
2
MR .
2
(Sol: a) horario; T1=6,064 N; T2=4,695 N; c) a1=0,3071 m/s2; a2=0,4094 m/s2; d)
desciende el bloque 2; v1=1,176 m/s; v2=1,567 m/s)
(
3.- La placa rectangular de 152 x 203 mm y 120 kg de
masa cuelga de las articulaciones de pasador A y B. Se retira
el pasador B y la placa oscila libremente en torno al pasador
A. Hallar: a) la aceleración angular y las reacciones en el
pasador A inmediatamente después de retirar el pasador B;
b) la velocidad angular de la placa tras haber rotado 90º; c)
la velocidad angular máxima que alcanza en su movimiento.
Momento de inercia de una placa plana de lados a y b respecto de su centro:
)
1
m a 2 + b2 .
12
(Sol: a) α=46,40 rad/s2; AX=423,16 N; AY=610,85 N; b) ω2=4,83 rad/s; c) ωmáx=6,82
rad/s
4.- Se suelta sin velocidad inicial una esfera de masa m
y radio r sobre un plano inclinado. Hallar: a) el valor mínimo del
coeficiente de rozamiento compatible con un movimiento de
rodadura; b) la velocidad del centro de la esfera tras haber
rodado 4 m en estas condiciones; c) la aceleración lineal del
centro de masas y la aceleración angular de la esfera si el
coeficiente de rozamiento fuera 0,1 y el radio de la esfera 20
cm; d) la velocidad de la esfera si hubiera recorrido 4 m sobre
un plano sin rozamiento inclinado 30º.
m/s)
(Sol: a) µmín=0,165; b) vCM=5,29 m/s; c) aCM=4,05 m/s2; α=10,61 rad/s2; d) vCM=6,26
5.- Se unen dos discos de 400 mm de
diámetro y uno de 240 mm de diámetro para
formar un carrete que tenga una masa de 125 kg y
un radio de giro de 125 mm respecto al eje que
pasa por el centro de masas del carrete. A éste se
le aplica una fuerza de 500 N mediante un cable
arrollado sobre el disco de 240 mm, según se
indica en la figura. Determinar la aceleración del
centro de masa y la aceleración angular del
carrete si: a) la superficie horizontal es lisa; b) la superficie horizontal no es lisa µ=0,25.
(Sol: a) aCM=4 m/s2; α=30,72 rad/s2; b) aCM=4,602 m/s2; α=23,011 rad/s2)