Download estudio de las vibraciones

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Por: Ing. Avid Roman Gonzalez
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FORMULACION TEORICA DE LAS VIBRACIONES
2.1.
INTRODUCCION
La vibración es el movimiento oscilatorio (de un lado hacia otro) de una
maquina, de una estructura, o de una parte de ellas, alrededor de su posición
original de reposo (o de equilibrio).
Una forma de medir las vibraciones es a través de un transductor de
vibraciones.
2.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
El movimiento armónico es la forma más simple de vibración. Se obtiene, por
ejemplo, cuando se hace vibrar libremente un sistema masa-resorte o un péndulo.
La posición instantánea de un cuerpo vibrante respecto a su posición de
equilibrio, o desplazamiento vibratorio d (t ) puede ser expresado matemáticamente
por la ecuación.
d (t ) = D0 sen(2πft + φ )
(2 .1)
Donde:
d (t )
Desplazamiento instantáneo en cualquier instante
D0
Es el desplazamiento pico (Amplitud)
f
Es la frecuencia de la vibración
φ
Es la fase de la vibración
D pp
Desplazamiento pico a pico o máxima distancia que se
desplaza la masa mientras vibra.(Lo mas usado)
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2.2.1 LA FRECUENCIA DE LA VIBRACIÓN
f
, está definida como el número de ciclos u oscilaciones que efectúa el
cuerpo en cada segundo. Está relacionada con el periodo de la vibración T,
definido como el tiempo que demora el cuerpo en efectuar una oscilación, a
través de la ecuación.
f (hertz o ciclos / seg ) = 1 / T (seg / ciclo )
(2.2)
2.2.2 LA FRECUENCIA CIRCULAR O VELOCIDAD ANGULAR
ω , expresada en (rad/seg) es otra forma de expresar la frecuencia de la
vibración. La relación entre
ω
y
f
está dada por la ecuación.
ω (rad / seg ) = 2πf (hertz )
(2.3)
y el desplazamiento vibratorio queda expresado entonces corno:
d (t ) = D0 sen(ωt + φ )
(2 .4)
De la ecuación (2.4) puede verse claramente que un ciclo completo de la
vibración tiene lugar cuando
(ωt )
a pasado a través de 360° o sea 2 π
radianes.
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2.2.3 EL DESFASE O DIFERENCIA DE FASE ENTRE DOS VIBRACIONES
Es la posición relativa, expresada en grados, entre dos puntos que vibran a
una misma frecuencia. Debido a la diferencia de fase
φ = φ1 − φ 2
, las dos
vibraciones no llegarán a sus posiciones extremas al mismo tiempo, ya que una
de ellas estará φ / ω seg detrás de la otra. Note que el ángulo de desfase sólo
tendrá significado si se trata de dos vibraciones con la misma frecuencia.
2.3 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN VIBRATORIA
Hasta ahora hemos descrito la vibración armónica en términos de su
desplazamiento. Sin embargo, también puede ser caracterizada por otros dos
parámetros que frecuentemente son encontrados en el análisis vibratorio: la
velocidad y la aceleración.
a) Velocidad vibratoria.- Es una medida de la rapidez con que se está moviendo
un punto mientras está vibrando. La velocidad vibratoria es cero cuando la masa
llega a sus posiciones extremas, puesto que en esos puntos la masa se detiene.
La velocidad es máxima cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, positiva
cuando se mueve hacia la derecha y negativa cuando se mueve hacia la izquierda.
Se puede deducir que a velocidad vibratoria está adelantada en 90º respecto al
desplazamiento, es decir, llega a su valor máximo o pasa por cero un cuarto de
oscilación (90º) antes que el desplazamiento.
b) Aceleración vibratoria.- Es la rapidez de cambio de la velocidad con el tiempo.
Debe recordarse que de acuerdo a la segunda Ley de Newton, la aceleración
a=F/m, donde F es la fuerza resultante actuando sobre la masa m. Es decir, entre
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mayor es la rapidez de cambio de la velocidad, mayor serán las fuerzas sobre la
masa m debido a la mayor aceleración.
Expresado en forma matemática, la velocidad v(t) y la aceleración a(t) será:
v(t ) =
∂d (t )
∂t
(2 .5)
∂v(t ) ∂ 2 d (t )
a(t ) =
=
∂t
∂t 2
(2 .6)
Para el caso de un movimiento armónico simple:
d (t ) = D0 sen(ωt + φ )
(2.7)
(
v(t ) = D0ω cos(ωt + φ ) = V0 sen ωt + φ + 90 o
(
)
a(t ) = D0ω 2 sen(ωt + φ ) = A0 sen ωt + φ + 180o
(2 .8)
)
(2.9)
Donde:
V0 = velocidad pico = D0ω = D0 * 2πf
(2 .10)
A0 = aceleración pico = D0ω 2 = V0 * ω = V0 * 2πf
(2.11)
.
2.4 DINÁMICA VIBRATORIA, RELACIÓN ENTRE FUERZA Y VIBRACIÓN
Para resolver un problema de dinámica vibratoria analíticamente, se debe
construir un modelo, tan simple como sea posible, pero que represente la realidad
de la problemática a estudiar.
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2.4.1 AMORTIGUAMIENTO
En todo proceso físico hay pérdidas por el motivo que sea, no existe el
movimiento continuo (a excepción de las ideas de Einstein al respecto), y en este
caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento vibratorio armónico
simple.
El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la
velocidad, como lo son las fuerzas de rozamiento con fluidos (aire, agua...) y por
ello la fórmula es la misma. c es un coeficiente de rozamiento viscoso.
F=c*v = c*x'
(2.12)
(cuando la masa está parada, no se mueve, por lo que o no hay fuerza o
está compensada), la ecuación se hace:
(2.13)
Donde:
M: Masa sometida a oscilación.
Fs: Fuerza del resorte (Ley de hooke).
Fd: Fuerza producida por el coeficiente de rozamiento.
d 2 x c dx K
+
+
x=0
dt 2 M dt M
Donde:
c:
Coeficiente de rozamiento.
K:
Constante de elasticidad.
(2.14)
Para que resolver la ecuación característica sea más fácil, hacemos
y
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tenemos:
(2.15)
La ecuación característica es:
(2.16)
Las raíces son:
(2.17)
Esto muestra tres casos posibles, en los que las raíces son diferentes, iguales o
complejas.
Estamos
llegando
a
la
compresión
del
fenómeno
del
amortiguamiento.
Tres casos:
Caso 1
Esto implica que LA FUERZA DE AMORTIGUAMIENTO ES MAYOR QUE
LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD.
Caso 2
Si las dos raíces m1 y m2 son iguales:
y
Esto implica que LA FUERZA DE AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL
QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD.
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Caso 3
En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR
QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD.
2.4.2 VIBRACIONES FORZADAS
Si añadimos una fuerza más al sistema anterior, tendremos algo más próximo
a lo que sucede en un altavoz, ya que el altavoz lo que hace es eso
exactamente, es el sistema resonante que hemos estudiado, pero además existe
un motor magnético que genera una fuerza que desplazará el cono. Fe es la
nueva fuerza añadida.
Podemos escribir la ecuación de esta forma, reuniendo todas las fuerzas
presentes:
En el caso del altavoz, la fuerza de excitación es una suma de frecuencias
puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda
cosenoidal pura:
(2.25)
Como ya hemos resuelto la parte homogénea, aplicaremos el método de los
coeficientes indeterminados para hallar la resolución, que será alguna de las tres
posibles soluciones anteriores (soluciones homogéneas) más una solución
particular. Tomaremos como solución:
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Sustituimos en (2.25) y obtenemos el sistema
(2.26)
(2.27)
de donde obtenemos A y B, que son:
(2.28)
(2.29)
Es decir, nuestra solución particular es la siguiente:
(2.30)
Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:
y nos queda la siguiente solución particular:
(2.31)
Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no
homogénea es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp), y
que tenemos tres posibles soluciones homogéneas que dependen de los
parámetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante
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elástica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobreamortiguado,
críticamente amortiguado y subamortiguado.
Sobreamortiguado:
(2.32)
Críticamente amortiguado:
(2.33)
Subamortiguado:
(2.34)
En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la única
necesidad de que exista un mínimo amortiguamiento, tenemos una parte que
decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibración) y una parte que es
constante en el tiempo, consecuencia de la vibración forzada. A la primera parte
se la denomina transitoria y a la segunda estacionaria, ya que con el transcurso
del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.
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2.4.3 DESBALANCE ROTATORIO
El desbalance en maquinas rotatorias es una fuente común de excitación
vibratoria. Consideramos aquí un sistema resorte-masa restringido a moverse en
la dirección vertical y excitado por una maquina rotatoria no balanceada. El
desbalance está representado por una masa excéntrica m con excentricidad e
que rota con velocidad angular w.
2.5 RESONANCIA
Nos quedamos con la solución particular del apartado anterior, las vibraciones
forzadas, que es la parte estacionaria.
De ella, una parte es periódica y otra no, es su coeficiente, y éste coeficiente
depende de la frecuencia.
(2.35)
El módulo depende de las condiciones de masa (M), amortiguamiento (c) y la
constante elástica (k), y por supuesto de la frecuencia y de F0.
(2.36)
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Cuando c es muy pequeño hemos observado antes que la frecuencia de
resonancia del sistema
tiende a
(2.37)
, y la gráfica del coseno modulada por la exponencial decreciente tarda mucho en
decrecer, para intervalos de tiempo razonablemente pequeños, el movimiento
descrito con poco amortiguamiento se asemejará la un simple coseno, como si no
existiese amortiguamiento.
Esto quiere decir que el sistema vibra con gran libertad a su frecuencia, pero
¿qué pasará si forzamos la vibración con una fuerza cosenoidal de frecuencia
próxima a Fs?
Cuando se excita el sistema con una frecuencia próxima a la frecuencia de
resonancia
En uno de los términos del denominador sucede lo siguiente:
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Y como hemos dicho que c tiene un valor muy pequeño, el denominador
entero tiende a cero, sólo podría serlo si c fuese cero (pero entonces la ecuación
sería diferente). Esto hace que se obtengan valores del módulo muy altos, y lo que
sucede en la realidad es que la amplitud de la vibración es muy alta, tanto mayor
como menor sea el amortiguamiento.
A este fenómeno que consiste en que a una frecuencia se obtienen
amplitudes de vibración muy altas con muy poca fuerza se le denomina resonancia,
y está presente en todos los sistemas resonantes por alto que sea su
amortiguamiento.
En la gráfica abajo podemos ver una simulación de un sistema resonante con
amortiguaciones bajas sometido a un barrido de frecuencias. El eje Y marca la
amplitud y el eje x la frecuencia que se imprime al circuito
Voltaje (V)
Frecuencia (Hz)
Fig. 2.1 Simulación de un Sistema Resonante
No es descabellado ver que se obtienen amplitudes extremadamente
grandes, pero se podían haber forzado más.
En el caso de estructuras de construcción civil los movimientos, y por lo tanto
los esfuerzos a que se ven sometidas las distintas partes, dependen, entre otras, de
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las características de la onda sísmica, y de las frecuencias naturales de oscilación
del edificio.
El edificio tenderá a oscilar según sus frecuencias propias de oscilación, que
si no coinciden con algún armónico de los principales que forman la onda sísmica no
aumentará en cada oscilación, pero en el caso de que coincidan, se produce el
fenómeno de resonancia.
Cuando el sismo posee un armónico de amplitud considerable que coincide
con una frecuencia de oscilación natural del edificio (o período fundamental), éste
entra en resonancia, y la aceleración crece en cada periodo, por lo que
irremediablemente será destruido, a menos que el sismo cese rápidamente, o que la
ruptura de algunas de las partes del edificio varíen su frecuencia natural de
oscilación, o que el rozamiento interno de los materiales sea suficiente como para
disipar la energía.
La construcción resistirá si todas sus partes consiguen responder a los
movimientos coherentemente, ya sea trasladándose juntas, o girando alrededor de
los mismos ejes en cada instante. Para esto se supone que los distintos nudos no
pueden variar su distancia, pues los elementos que forman la estructura no pueden
ni alargarse ni acortarse.
Cuando se quiere que una construcción resista sismos fuertes, se diseña
especialmente para ello. Por ejemplo es necesario que los hospitales sigan en pie
después de un terremoto.
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Suele dar la impresión de que los edificios altos, sobre todo si son de similar
construcción van a sucumbir antes en un sismo. Esto suele ser cierto, pues además
los edificios altos tienen mayor periodo de oscilación. Sin embargo esto depende de
los armónicos de resonancia del sismo y del edificio, por lo que en general puede ser
bastante arbitrario.
Fig. 2.2 Este edificio, tenia dos zonas con dos alturas distintas, como puede apreciarse en las
ventanas de la última planta. Curiosamente, la zona más elevada ha resistido, aunque esto no suele
ser así. Quizás su frecuencia de resonancia no haya coincidido con la del sismo, mientras que en la
otra parte sí.
2.6 ANÁLISIS EN EL DOMINIO TIEMPO Y DOMINIO DE LA FRECUENCIA
La vibración medida experimentalmente, llamada señal vibratoria, es en
general difícil de analizar en el dominio tiempo (forma de la onda o de la vibración en
el tiempo), de aquí que se hace necesario, como veremos más adelante analizarla
en el dominio de la frecuencia. La descomposición de una vibración global en sus
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componentes que la forman se llama análisis frecuencial o espectral. Una manera
conveniente de presentar los resultados es en un gráfico donde se indican las
amplitudes de las componentes vibratorias existentes en la señal global versus sus
frecuencias, llamados espectros vibratorios.
En la figura 2 .6 se compara la presentación de una vibración en el dominio
del tiempo o la forma de la vibración global con la presentación de la vibración en el
dominio frecuencial o sea su espectro vibratorio.
Fig. 2.3 Comparación del dominio del tiempo y la frecuencia
Gráficos con escala lineal y logarítmica. El decibel
Cuando las componentes en el espectro vibratorio varían en un amplio rango
de valores, no es posible representar simultáneamente las componentes grandes y
pequeñas en un gráfico con escala lineal. La solución en este caso es utilizar una
escala logarítmica. En una escala logarítmica las componentes grandes son
comprimidas y las pequeñas son expandidas hacia arriba, lo que permite
visualizarlas todas al mismo tiempo.
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Una escala logarítmica frecuentemente utilizada es aquella expresada en
decibeles. La unidad “bel” proviene del físico Alejandro Bell. El decibel es la décima
parte del bel. El decibel se define como:
dB = 20 log(A / Aref )
A
= Amplitud medida
Aref
= Amplitud de referencia
Observe que el decibel es básicamente una relación de amplitudes en una
escala logarítmica. Para ganar experiencia con los dB, es conveniente analizar la
Tabla N°2.1, la cual expresa en dB diferentes razones de amplitudes.
Algunos valores para recordar son: que 3dB corresponden a una relación de
amplitudes de
1: 2
y que 20 dB corresponden a una elación de amplitudes de
10:1.
Tabla N° 2.1 valores en dB correspondientes a diferentes razones de
amplitudes
Decibeles (dB)
40
20
10
3
0
-3
-10
-20
Razón de amplitudes
100
10
3.16
1.414
1
0.707
0.1
0.01
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