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1.5
Superposición de movimientos armónicos simples
La superposición simultánea de dos o más vibraciones armónicas
se presenta en muchos fenómenos físicos. Como ejemplo considere el
sistema presentada en Fig. 1.5.1 de dos masas y dos resortes. Siendo
elongaciones de los resortes correspondientes x1 y x1 sus valores presentan
dos movimientos armónicos simples descritos por las ecuaciones:
x1  A1 cos 1 t  1  ; x2  A2 cos 2 t  2 
(1.5.1)
El desplazamiento resultante de la segunda masa respecto del piso viene dado por:
Fig. 1.5.1
x  x1  x2  A1 cos 1 t  1   A2 cos 2 t  2 
(1.5.2)
La pregunta fundamental es ¿el movimiento resultante presenta un MAS o no?
La respuesta a esta pregunta se puede dar haciendo unas transformaciones algebraicas un poco largos en el caso general y las mismas
respuestas se obtienen fácilmente para el caso especial cuando A1  A2  A; 1   2   . En este último caso
x  A  cos 1 t     cos 2 t    
Si las frecuencias también son iguales entre sí ( 1  2   ), entonces:
x  2 A cos  t   
En el resumen vemos que una superposición de dos MAS de la misma frecuencia también es un MAS.
Consideremos ahora otro caso particular cuando las frecuencias se difieren uno de otro a un valor pequeño:
1     ; 2     ;   
(1.5.3)
(1.5.4)
(1.5.5)
Para simplificar la expresión (1.5.3) usamos la fórmula trigonométrica cos   cos   2 cos     2  cos     2 :
   1 
   2

x  2 A cos  2
t  cos  1
t     2 A cos    t  cos   t   
2
2




Expresión se hace muy parecido a un MAS (pero no es un MAS!) si lo representamos así:
x  t   A  t  cos   t    ;
A  t   2 A cos    t 
(1.5.6)
(1.5.7)
Desde las fórmulas (1.5.7) se ve que el resultante es un proceso periódico el cual producto de dos factores, el primer factor describe la
oscilación de la amplitud A  t  con una baja frecuencia  y un grande periodo T  2  y el segundo factor describe las oscilaciones
con una alta frecuencia  y un pequeño periodo T  2  . Este tipo de procesos periódicos se llaman pulsaciones.
Un ejemplo de una pulsación muestra el gráfico en la Fig. 1.5.2
Fig. 1.5.2 Gráfico de una pulsación
En el resumen: la superposición de dos MAS de frecuencias diferentes genera unas pulsaciones , unas oscilaciones periódicas en las
cuales la amplitud es variable, creciendo y disminuyéndose periódicamente.
1.6
Variación de la energía en el movimiento armónico simple
En cualquier movimiento oscilatorio mecánico se realiza una transformación periódica de la energía cinética K en la energía potencial
U y viceversa, cumpliéndose siempre la ley de conservación de la energía total E  K  U , según la cual esta energía en cualquier
momento del tiempo es la misma, es decir E  K  U  const . Consideremos como ejemplo el MAS del sistema masa –resorte para
el cual el desplazamiento x desde la posición de equilibrio en cualquier momento del tiempo t está dado por:
x  A cos  t
(1.6.1)
La fase inicial  hemos escogido igual a cero. Entonces, su velocidad es
dx
  A sin  t
(1.62)
dt
Se ve que valores máximos de coordenada y de velocidad se obtienen cuando los módulos de las funciones trigonométricas son iguales
a uno, es decir:
x max  A;
V max   A
(1.63)
V
La energía cinética en cualquier momento del tiempo es:
mV
1
m A
2
2
(1.6.4)
 m  A sin t  
sin t
2
2
2
La energía potencial está dada por
1
1
2
2
2
U  k x  k A cos  t
(1.65)
2
2
Fórmulas (4) y (5) se puede reducir a una forma similar tenia en cuenta la relación entre la frecuencia de MAS para el sistema masaresorte:
k
2
2
   k  m
m
Por eso
2
2
2
K
m A
kA
kA
m A
2
2
2
2
sin t 
sin t ;
U
cos  t 
cos  t
2
2
2
2
Estas fórmulas permiten demostrar que la energía total no depende del tiempo y por eso es una constante:
(1.66)
m A
kA

 const
2
2
Teniendo en cuenta este resultado las fórmulas para las energías cinetica y potencial se puede escribir como:
(1.6.7)
2
2
2
2
2
2
K
2
2
2
E  K U 
K  E sin t ;
2
U  E cos  t ;
2
m A
kA

2
2
2
E
2
2
(1.6.8)
Fig. 1.6.1 (a) La energía cinética y la energía potencial en función del tiempo para un MAS (b) La energía cinética y la energía
potencial frente a la posición para un MAS. Anótese que en ambos casos K+U=const.
1.7
Oscilaciones amortiguadas
Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora son válidos solamente para los
sistemas ideales que oscilan indefinidamente bajo la acción de una sola fuerza lineal restauradora
F  k  x . En muchos sistemas reales además accionan las fuerzas no conservativas, tales como la
fricción que amortiguan el movimiento.
En
Fig. 1.7.1 Un ejemplo de un oscilador
consecuencia, la energía mecánica del sistema
disminuye con el tiempo, y el movimiento se llama
amortiguado es un bloque conectado con un
amortiguado. Figura 1.7.1 representa un ejemplo de
resorte y sumergido en un líquido viscoso
dichos sistemas: un bloque conectado a un resorte y
sumergido en un líquido viscoso. La fuerza amortiguadora comúnmente es proporcional a la velocidad del bloque en movimiento y actúa
en la dirección opuesta a la de la velocidad.. Esta fuerza amortiguadora se observa a menudo cuando un objeto se mueve a través de aire,
por ejemplo. Debido a que la fuerza amortiguadora puede ser expresado como Fa  b  V (donde b es una constante llamado el
coeficiente de amortiguación y V es la velocidad). La fuerza elástica de la parte del resorte llamada la fuerza de recuperación del sistema
se puede escribir como Fr  k  x . Por eso la segunda ley de Newton para este sistema podemos escribir como
2
m a  Fr  Fa   k x  b V  m
d x
dt
2
dx
k x 0
dt
b
(1.7.1)
Usando las notaciones
k
b
b
2
  ; 2   
m
m
2m
La última ecuación se reduce a la siguiente forma:
2
d x
dt
2
2
(1.7.2)
dx
2
 x  0
dt
(1.7.3)
F  Fr
En adelante consideremos solamente el caso de amortiguamiento débil a
, es decir cuando el segundo término en la ecuación es

 
mucho menor que es mucho menor que el último, es decir
. Ecuación diferencial (1.7.3) se transforma en una ecuación armónica

0

0
cuando
. Pero en el caso cuando
su solución es un poco más complicada. Busquemos la solución de (1.7.3) en la forma
pt
x  A e . Sustituyendo esta función en (1.7.3) después unas simples transformaciones algebraicas se obtiene la siguiente ecuación
característica respecto parámetro p, que estamos buscando
p  2 p   0
2
2
(1.7.4)
La ecuación cuadrática (1.7.4) tiene el discriminante negativo: D  4  4   0 y por eso sus dos soluciones son números complejos
2
p1     i ;
p 2     i ;  
 
2
2
2
(1.7.5)
Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial (1.7.3) es:
p t
p t
  t
i t
i  t 
x  A1 e 1  A2 e 2  e  A1 e  A2 e
(1.7.6)


Se sabe desde la teoría de las variables complejos (fórmulas de
Euler) que la exponente de la variable imaginaria es una
combinación lineal de dos funciones trigonométricas, seno y
coseno. Por esta razón la fórmula (1,7.6) es equivalente a la
siguiente, que es parecida a un MAS pero no es MAS:


x  t   A  t  cos  t   ; A  t   Ae
  t
(1.7.7)
b
k
2
2
2
;     ;  
2m
m
Diferencia principal de la relación (1.7.7) de un MAS consiste
en que su amplitud se varía con el tiempo, disminuyéndose exponencialmente, es decir sufre un decaimiento. En la Fig. 1.7.7 se
presenta un ejemplo de la evolución de una coordenada con el tiempo en una oscilación amortiguada. Análisis de la fórmula (1.7.7)
muestra que OSCILACIONES AMORTIGUADAS en comparación con MAS tienen UNA AMPLITUD QUE DECRECE
EXPONENCIALMENTE y UNA FRECUENCIA DISMINUIDA.
A continuación, analicemos ¿Qué cambio sufre la energía en oscilaciones amortiguadas?
Según las fórmulas (1.6.8) la energía total en cualquier momento del tiempo es proporcional al cuadrado de amplitud. En el caso de las
oscilaciones amortiguadas

2 2 t
kA  t 
kA e

2
2
La energía total en momento del tiempo inicial es:
(1.7.8)
2
kA  0 
kA

2
2
Por eso la formula (1.7.9) puede ser escrita como:
(1.7.9)
E t  
2
2
E  0 
E t   E  0 e
2 t
 E t  E  0  e
2 t
(1.7.10
Es decir, la energía total en oscilaciones amortiguadas se disminuye exponencialmente
1.8
Oscilaciones forzadas. Resonancia
Cuando sobre un sistema oscilatorio está actuando una fuerza externa de forma periódica F  t   F0 cos  t (donde  es la
frecuencia de la fuerza externa), durante su movimiento, éste se denomina como la oscilación forzada. Cualquier sistema oscilatorio
en su movimiento libre oscila con una frecuencia  (llamada la frecuencia propia) que en general es diferente de  . Al iniciar el
proceso oscilatorio las oscilaciones propias con el tiempo se apagan, debido a la presencia de la amortiguación, y el sistema empieza a
oscilar al a misma frecuencia de la fuerza externa. A continuación
analicemos ¿Cómo amplitud y la energía de las oscilaciones forzadas
dependen de la diferencia entre frecuencias de la fuerza externa,  y la
frecuencia propia  ? Para responder a esta pregunta consideramos un
sistema masa-resorte con amortiguamiento viscoso, y con una fuerza
externa armónica Fe  t   F0 cos  t , como se indica en la figura (1.8.1).
Hay tres fuerzas aplicadas al bloque de masa m : fuerza recuperadora
dx
Fa  bV  b
Fr  kx ,
amortiguadora
y
la
externa
dt
Fe  t   F0 cos  t . Según II ley de Newton:
2
dx
 F0 cos  t
dt
dt
Dividendo ambas partes de la igualdad por m se obtiene:
ma  Fr  Fa  Fe  m
2
d x
d x
2
 kx  b
(1.8.1)
dx
F
b
k
2
2
  x  sen  t;  
;  
dt
m
2m
m
dt
Busquemos la solución de la ecuación (1.8.2) en la forma:
x  t   A cos   t     A    cos  t      
2
2
(1.8.2)
(1.8.3)
La función (1.8.3) describe vibraciones forzadas estacionarias. Son vibraciones armónicas con una frecuencia igual a la de la fuerza
externa. La amplitud A y el retraso de la fase  son dos incógnitas que dependen de la frecuencia de la fuerza externa A  A    y
      . Al sustituir (1.8.3) y haciendo unas transformaciones algebraicas simples pero un poco tediosas se encuentran estas
dependencias
 F / m
 2  
A  
;      arctan  2
(1.8.4)
2 
2
2
2
2
  
     2  


Se ve a que la amplitud A  A    de las vibraciones forzadas además es proporcional a la fuerza externa. La fase vibraciones forzadas
se retardan por fase de la fuerza externa, con la particularidad de que la magnitud del retardo     

también depende de la
frecuencia externa.
La dependencia entre la amplitud de las vibraciones forzadas de la frecuencia de la fuerza externa, conduce a que con cierta frecuencia,
determinada para el sistema dado, la amplitud de las vibraciones alcanza su valor máximo. El sistema vibratorio con dicha frecuencia
se hace sensible en extremo a la acción que ejerce la fuerza externa. Este fenómeno se denomina resonancia y la frecuencia que le
corresponde, frecuencia resonante
Para determinar la frecuencia resonante  res hay que hallar el máximo dé la función A  A    o bien el mínimo de la expresión
subradical en el denominador la expresrión de (1.8.4), que es lo mismo. Derivando dicha expresión por  e igualándola a cero,
obtenemos la condición que determina a  res


4      8   0
2
2
2
(1.8.5)
La ecuación (60.16) tiene tres soluciones:   0;      2 .
La
solución nula corresponde al máximo del denominador. De las dos restantes
soluciones, la negativa debe ser excluida por no tener sentido físico (la frecuencia
no puede ser negativa). Así, pues, para la frecuencia resonante solo valor:
2
   res    2
2
2
2
(1.8.6)
Poniendo este valor de la frecuencia en la expresión para A  A    , hallaremos
la expresión para la amplitud correspondiente al haber resonancia
 F / m
Ares  A  res  
2
2
2   
(1.8.7)
De (1.8.7) se desprende que al no haber amortiguación del medio
(   0 ) la amplitud se crecería al infinito si hubiera
resonancia. De acuerdo con (1.8.7) la frecuencia resonancia en
esas mismas condiciones   0 ), coincide con la frecuencia
propia  res   de las vibraciones del sistema. La dependencia
entro la amplitud de las oscilaciones forzadas y la frecuencia de la
fuerza externa está representada gráficamente en la fig. 1.8.2.
Curvas aisladas en la gráfica corresponden a diversos valores del
parámetro  . En correspondencia con (1.8.6) y (1.8.7) menor  , más arriba y a la derecha yace el máximo de la curva dada. El conjunto
de gráficas do la función (60.14), representado en la fig. 1.8.2, que corresponde a diversos valores del parámetro  recibe el nombre de
curvas de resonancia.
En la fig. 1.8.3 vemos que las vibraciones forzadas se retardan por fase de la fuerza externa, y la magnitud del retardo  se ubica en la
franja entre 0 y  . La dependencia del retardo de la fase  en función de la frecuencia  de la fuerza externa para diferentes valores
de  se muestra gráficamente en la fig. 1.8.3. A la frecuencia    le corresponde    / 2 .
El fenómeno de la resonancia debe ser tomado en consideración al proyectar máquinas y diferentes construcciones. La frecuencia propia
de las vibraciones de dichos dispositivos no debe ser de ninguna manera próxima a la frecuencia de posibles perturbaciones exteriores.
Por ejemplo, la frecuencia propia de las vibraciones del casco de un buque o de las alas de un avión, debe diferenciarse considerablemente
de la frecuencia de las vibraciones que pueden ser excitadas por la rotación de la hélice del buque o del avión. En caso contrario, surgen
vibraciones que pueden provocar una catástrofe. Son conocidos casos, cuando se hundían los puentes al desfilar por ellos al paso una
columna de soldados. Esto sucedía porque la frecuencia propia de las vibraciones del puente era cercana a la frecuencia con la que
andaba la columna. Al misino tiempo, el fenómeno do resonancia es con frecuencia muy útil, on particular, en acústica, radiotécnica,
etc.