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ESCUELA DE INGENIERÍA
AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
Curso 2013-2014
PROBLEMAS DE FÍSICA I
Septiembre 2013
Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica
Curso 2013-14
Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica
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Curso 2013-14
Capítulo 4
Dinámica de la partícula
PROBLEMA 4.1. Leyes de Newton.
Los dos bloques de masas MA y MB de la gura 4.1 están unidos
por una cuerda gruesa y uniforme, de masa MC y longitud L. Se
aplica una fuerza F hacia arriba, como se indica. Se pide:
1. Dibujar un diagrama de fuerzas para cada uno de los bloques y para la cuerda. Para cada fuerza, indicar qué cuerpo
la ejerce.
2. Determinar la aceleración a del sistema en conjunto.
3. Calcular las tensiónes Ts y Tm en el extremo superior y en
el punto medio de la cuerda.
4. Determinar la tensión T (x) en la cuerda como función de
la distancia x al extremo superior (x = 0, arriba). Particularizar el resultado al caso en el que la masa de la cuerda
es despreciable (cuerda ideal).
Figura 4.1:
SOLUCIÓN 4.1.
2. a =
F
MA +MB +MC
3. Ts =
−g
MB +MC
MA +MB +MC
F
M
MB + 2C
4. Tm = MA +MB +MC F
5. T (x) =
x
MB +MC (1− L
)
MA +MB +MC
F
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
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PROBLEMA 4.2. Leyes de Newton
Los cuatro bloques idénticos de masa M , en contacto como se indica en la gura, descansan
sobre una mesa horizontal de masa 10M , muy larga, cuyas patas, que soportan por igual el
peso de los bloques, apoyan sobre un suelo también horizontal. No hay rozamiento y se aplica
sobre el bloque M1 la fuerza F indicada.
Si se denota por Nij , i, j = 1, · · · , 4, la fuerza que ejerce el bloque Mj sobre el bloque Mi ,
se pide:
1. Dibujar los diagramas de fuerzas sobre los bloques M1 , M2 , M3 , M4 y sobre la mesa. Para
cada fuerza indicar que cuerpo la ejerce.
2. Calcular las aceleraciones a1 , · · · , a4 de cada uno de los bloques.
3. Determinar el valor de todas las fuerzas de contacto involucradas.
Figura 4.2:
SOLUCIÓN 4.2.
. 2. a1 = a2 = a3 =
3. N12 = N21 =
N23 = N32 =
F
,
3M
a4 = 0
2F
3
F
3
N42 = N24 = M g
N13 = N31 = 0
N1 = N3 =
N = 14M g
N2
2
= Mg
(mesa-bloques)
(suelo-mesa)
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PROBLEMA 4.3. Ley de la gravitación universal
Una estación de seguimiento de satélites E se encuentra emplazada en una isla tropical
situada en el ecuador terrestre. Un día, exactamente a las doce del mediodía, recibe la señal
de dos objetos que identica como satélites de comunicaciones. En ese instante ambos están
pasando por encima de su vertical (gura 4.3). El primero y más cercano, S1 , va en dirección
oeste a este, mientras el segundo, S2 , más alejado, lo hace en dirección contraria. Esa misma
noche, a las doce, recibe una nueva señal de los satélites, los cuales, como por la mañana, están
pasando por la vertical a la estación.
Asumiendo que las órbitas de los satélites son circulares, se pide:
1. Determinar los periodos de revolución P1 y P2 de los satélites y las alturas h1 y h2 respecto
a la estación E a la que se encuentran sus órbitas.
2. Calcular la magnitud de las velocidades vS1 y vS2 con que se mueven los satélites, tomando
como referencia un sistema jo cuyo origen se sitúa en el centro de la Tierra.
DATOS:
Para la Tierra: MT = 5.97 × 1024 kg, RT = 6.38 × 106 m, PT = 24h.
Constante gravitacional: G = 6.674 × 10−11 N.m2 /kg2 .
Figura 4.3:
SOLUCIÓN 4.3.
1. P1 = 8 horas,
P2 = 24 horas
h1 = 13924.6 km,
2. vS1 = 4.43 km/s,
h2 = 35855.35 km
vS2 = 3.07 km/s
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PROBLEMA 4.4. Tiro parabólico
Desde un cañón con ángulo de inclinación α sobre la horizontal se dispara un proyectil en
tiro parabólico con velocidad inicial de módulo v0 -Fig. 4.4.a-. Se pide:
1. La altura máxima H que alcanza en vuelo.
2. El alcance D del proyectil.
3. El tiempo tv que permanece el proyectil en el aire.
4. Dado un punto P (x, y) del plano, ¾qué condición han de satisfacer la inclinación α y la
velocidad v0 para que el proyectil pase por P ?
5. Conocido el radio R de la Tierra, tomando g como el valor de la gravedad en puntos
próximos a la supercie de aquella y despreciando la resistencia del aire, ¾con qué velocidad habría de lanzarse un proyectil horizontalmente para ponerlo en una órbita circular
alrededor de la Tierra, -Fig. 4.4.b-?
Figura 4.4: a) Movimiento de un proyectil. b) Dibujo original de Newton que muestra cómo un
proyectil, lanzado con la velocidad suciente, podría caer "alrededor" de la Tierra convirtiéndose
en un satélite.
SOLUCIÓN 4.4.
1. H =
v02 sen2 α
2g
2. D =
v02 sen 2α
g
3. tv =
2v0 sen α
g
4. y = x tan α − gx
(1 + tan2 α)
2v 2
2
0
√
5. v0 = gR
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PROBLEMA 4.5. Vuelos parabólicos
Todos los años la Agencia Espacial Europea (ESA) ofrece la oportunidad a treinta equipos
de estudiantes de los distintos países miembros, de probar en condiciones de microgravedad
experimentos que ellos mismos han diseñado, invitándoles a participar en una campaña de
vuelos parabólicos. Y en efecto, desde que esta actividad fue iniciada en 1994, varios equipos
de la UPM se han visto involucrados con éxito en esta iniciativa.
Es creencia común que los astronautas otan por hallarse lejos de la Tierra, usándose el
término de "ingravidez" o "ausencia de gravedad". Sin embargo, para que la fuerza de la
gravedad se anulase, deberíamos alejarnos una distancia innita de cualquier cuerpo con masa.
Si se considera que el campo gravitatorio terrestre es el creado por una partícula situada en el
centro de la Tierra, el valor en la supercie de ésta es prácticamente igual al valor en una órbita
terrestre baja, como en la que se encuentra la Estación Espacial Internacional (a una media de
400 km de altitud sobre la supercie de la Tierra). Para ser exactos, el valor de la gravedad en
la ISS es el 89 % de la terrestre (apenas un 10 % menor). Parece natural entonces preguntarse,
¾por qué otan los astronautas?
La respuesta es que los astronautas otan, no por estar lejos de la Tierra, sino por estar
cayendo alrededor de ella. A este estado de movimiento se le denomina "microgravedad"
y se caracteriza porque, mientras sucede, la única fuerza signicativa es la de la gravedad. ¾Se
puede conseguir la "microgravedad" dentro de un avión de pasajeros? La respuesta es armativa
y, de hecho, ese es el objetivo de los llamados "vuelos parabólicos".
Un vuelo parabólico es un tipo de maniobra conocida desde los comienzos de la aviación en la
que el avión, a una cierta altura, reduce al mínimo la potencia de los motores y se "deja caer"
atraído únicamente por la gravedad terrestre, describiendo la misma trayectoria que cuando
lanzamos una piedra a lo lejos. Para ello se deben anular el resto de fuerzas sobre el avión,
como la sustentación en las alas y la resistencia aerodinámica, lo que resulta en una maniobra
muy concreta.
Figura 4.5: Las tres fases: vuelo horizontal, hipergravedad y microgravedad, en un vuelo parabólico (fuente: ESA).
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
La descripción de un vuelo de este tipo se representa esquemáticamente en la gura 4.5 y es
la siguiente: en un principio el avión vuela horizontalmente hasta un punto A. Después se eleva
con los motores a máxima potencia, y cuando alcanza con un ángulo θ0 y con una velocidad
~vB , una altura hB sobre el nivel del mar (punto B ), reduce la potencia de los motores hasta un
mínimo suciente para contrarrestar la disipación de energía producida por la resistencia del
aire. En esta primera fase del vuelo AB , que dura un tiempo tAB , los pasajeros sienten que su
"peso" casi se duplica. A partir de B el vuelo puede considerarse libre y, por tanto, la trayectoria
que describe es parabólica (de ahí el nombre de estos vuelos). El vértice de la parábola (punto
C ) se encuentra a una altura, hC . Posteriormente, ya iniciado el descenso del avión, en el punto
D, situado a una altura similar a la de B , se incrementa de nuevo la potencia de los motores
para permitir que en el punto E el aparato recupere el vuelo horizontal. Durante el trayecto
B − C − D tanto los pasajeros como la carga transportada se encuentran en condiciones de
microgravedad. Sin embargo, durante el trayecto DE , cuya duración es también análoga a la
del trayecto AB , sienten de nuevo que su peso casi se duplica.
En un vuelo parabólico típico esta secuencia se realiza hasta un total de 31 veces. Una
campaña consta de entre 2 y 3 vuelos permitiendo un tiempo acumulado de microgravedad
superior a la media hora.
Considerando al avión como una partícula puntual, y para un vuelo de este tipo, determinar:
1. El módulo de la velocidad del avión en los puntos B y C , vB y vC .
2. Los valores de la gravedad aparente media, g 0AB y g 0DE , en los trayectos AB y DE ,
respectivamente.
3. El tiempo tBD del que disponen los estudiantes en cada maniobra para realizar sus experiencias en un entorno de microgravedad.
4. La distancia dBD entre los puntos B y D situados en la misma horizontal.
5. Comparar los valores obtenidos con los indicados en la gráca. ¾Podría sugerir una fuente
posible para justicar las discrepancias?
Tómese θ0 = 47o , hB = 7600 m, hC = 8500 m, tAB = 20 s y g0 = 9.81 (m/s2 )
para el valor de la aceleración de la gravedad en puntos próximos a la supercie terrestre.
DATOS:
SOLUCIÓN 4.5.
√
1. vB =
2. g 0AB = g 0DE
3. tBD = 2
4. dBD =
√
2g0 (hC −hB )
sen θ0
q
' 654 km/h
,
vC =
√
2g0 (hC −hB )
= g0 +
' 1, 7 g0
tAB
2(hC −hB )
g0
4
tan θ0
2g0 (hC −hB )
tan θ0
' 446 km/h
' 27 s
(hC − hB ) ' 3.357 m
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PROBLEMA 4.6. Movimiento de un proyectil
Desde el origen O de un sistema de coordenadas cuyo eje X es horizontal y está contenido
en la supercie de la Tierra -considerada plana-, un cañón lanza un proyectil de tamaño despreciable, con una cierta velocidad inicial ~v0 y con un ángulo de lanzamiento α con respecto a
la horizontal. Se trata de que el proyectil pase por el punto de coordenadas A(a/2, a) e impacte
en el suelo en el punto B(a, 0), gura 4.6.
Despreciando la resistencia del aire y el tamaño del cañón, (h a), se pide:
1. El ángulo de lanzamiento α.
Nada más efectuar el disparo, el artillero se da cuenta de que ha elegido un blanco equivocado. Cambia el ángulo de lanzamiento, pone el de máximo alcance, β , y dispara otro proyectil
con la misma velocidad inicial ~v0 . Este proyectil debe alcanzar al primero.
Tomando como datos la velocidad ~v0 y la aceleración de la gravedad g , calcular:
2. El punto C(xc , yc ) donde la colisión puede producirse.
3. El tiempo t∗ que debe transcurrir entre ambos disparos para que la colisión tenga lugar.
4. Los vectores velocidad ~v1 y ~v2 de los proyectiles justo antes de la colisión.
Figura 4.6:
SOLUCIÓN 4.6.
1. α = arctan 4
2. xc =
2v02
,
5g
6v 2
yc = 25g0
√ √
3. t∗ = 2v5g0 17 − 2
0
~i − 14~j ,
4. ~v1 = √v17
5
~v2 =
v0
√
2
~i + 1~j
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PROBLEMA 4.7. Movimiento de un proyectil
Un cañón que se encuentra situado en la cima de una colina de altura H (punto A de la
gura 4.7), dispara un proyectil con una velocidad inicial de magnitud v0 y ángulo de elevación
α respecto a la horizontal.
1. Sea θ el ángulo formado por la horizontal y la tangente a la trayectoria del proyectil en
un punto C cualquiera de ésta. Mostrar que el radio de curvatura en C es:
ρC =
v02 cos2 α
gcos3 θ
¾En qué punto el radio de curvatura es mínimo?
2. Determinar el valor de θ, θ∗ , cuando el proyectil llega al suelo en P.
3. Calcular el alcance D del proyectil.
4. Determinar el valor de αmax para el que el alcance del proyectil sea máximo y calcular
este valor máximo, Dmax .
Figura 4.7:
SOLUCIÓN 4.7.
2. θ∗ = arctan
hq
3. D = v0 cos α
4. tan αmax = √
Dmax =
v0
g
tan2 α +
√
v0 sin α+
2gH
v02 cos2 α
i
(v0 sin α)2 +2gH
g
v0
v02 +2gH
p
v02 + 2gH
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PROBLEMA 4.8. Fuerzas de contacto
Un ascensor de masa mA está siendo acelerado hacia a rri ba
mediante una fuerza constante F~ . El ascensor tiene colgada de
su techo una jaula de masa mJ y altura d, mediante un hilo
ideal inextensible; la base de la jaula dista inicialmente una
distancia h, (h < d), del suelo del ascensor. En el interior de
la jaula, un colibrí de masa mc , en reposo respecto a la jaula,
descansa apoyado en su base, como se muestra en la gura 4.8.
Sabiendo que |F~ | > (mA + mJ + mc )g , se pide:
1. La aceleración ~aA del ascensor respecto a un sistema
OXY Z jo a tierra.
2. La tensión T~ en el hilo.
Figura 4.8:
~ que ejerce la base de la jaula sobre el pájaro.
3. La fuerza N
En un momento dado, la cuerda se rompe. Al comprobar la falta de apoyo en sus patas y de
manera instintiva, el colibrí comienza a aletear rápidamente generando con ello una fuerza de
~ que le permite mantenerse a la misma altura h que tenía respecto al suelo del
sustentación L
ascensor antes de la rotura del hilo. En estas condiciones, se pide:
4. La aceleración ~aA del ascensor respecto a tierra y la aceleración ~a 0J de la jaula relativa al
ascensor (despreciar aquí la resistencia que ejerce el aire al movimiento de la jaula a su
través).
~.
5. El valor de L
6. El tiempo t∗ que tarda la jaula en chocar con el suelo del ascensor.
SOLUCIÓN 4.8.
h
F
mA +mJ +mC
2. T = F
mJ +mC
mA +mJ +mC
3. N = F
1. ~aA =
4. ~aA =
h
F
mA
5. L = F
6. t∗ =
mC
mA +mJ +mC
r
i
− g ~j,
i
− g ~j
h
a~0 J = − mFA 1 +
mC
mJ
i
~j
mC
mA
2mA h m
F 1+ mC
J
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.9. Fuerzas elásticas. Ley de Hook
Para las tres conguraciones distintas de muelles de las guras 4.9(a), 4.9(b) y 4.9(c),
sabiendo que la masa del bloque es M y que las constantes elásticas y las longitudes naturales
de los muelles son las indicadas, determinar:
1. La frecuencia angular ω de las oscilaciones para cada caso.
2. La longitud máxima xmax y mínima xmin del muelle en el caso de la gura 4.9(a), suponiendo que el movimiento se inicia al soltar la masa en el instante en el que el la longitud
del muelle es igual al doble de su longitud natural.
(a)
(b)
(c)
Figura 4.9:
SOLUCIÓN 4.9.
1. ωa =
ωb =
ωc =
q
q
q
k
M
k1 +k2
M
k1 k2
(k1 +k2 )M
.
2. xmax = 2l0
xmin =
2M g
k
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PROBLEMA 4.10. Cuerdas, poleas y muelles ideales
Tres bloques A, B y C , de masas M , 2M y 2M , respectivamente, están unidos por hilos y
poleas ideales, como se indica en la gura 4.10.
Entre B y C hay un muelle de longitud natural l0 y constante elástica k . En el instante
inicial el muelle tiene su longitud natural y los tres bloques están en reposo.
Se libera el sistema y el muelle comienza a oscilar. Se pide:
1. La longitud máxima lmax alcanzada por el muelle (supóngase aquí que los hilos son lo
sucientemente largos como para poder asegurar que el muelle alcanzará su longitud
máxima antes de que el bloque A choque con la polea P1 ).
2. La tensión T del hilo en el instante en el que el muelle alcanza esa longitud.
Figura 4.10:
SOLUCIÓN 4.10.
1. lmax = l0 + 3Mk g
2. T = 2M g
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PROBLEMA 4.11. Cuerdas, poleas y muelles ideales
Un abalorio de masa m se puede mover sin rozamiento por la guía vertical EE 0 mostrada
en la gura 4.11.
El abalorio está unido a un punto jo O mediante un muelle de constante elástica k y
longitud natural nula, (l0 = 0); asimismo, y mediante un hilo inextensible que pasa por una
polea ideal ja, el abalorio está conectado a una masa M que cuelga del hilo.
En el instante inicial el abalorio está en reposo en el punto A. Se pide:
1. Mínimo valor de
M
m
para que el abalorio ascienda.
2. Si M = 3m, calcular:
a ) La frecuencia natural ω0 del movimiento armónico simple generado.
b ) La altura máxima zmax alcanzada por el abalorio.
Figura 4.11:
SOLUCIÓN 4.11.
1.
M
m
>1
q
k
2a) ω0 = 4m
2b) zmax =
4mg
k
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PROBLEMA 4.12. Fuerza de rozamiento
Sobre un bloque C en forma de cuña, inclinado α = 30o y jo al suelo, apoya un bloque
A de masa M que está unido mediante una cuerda ideal que pasa por una polea P , también
ideal, a otro bloque B de la misma masa M , ver gura 4.12. Entre A y C existe rozamiento
con coeciente de rozamiento µ.
En un cierto instante, que tomaremos como instante inicial, los bloques A y B se están
moviendo con una velocidad v0 , en las direcciones indicadas. Calcular:
1. Tiempo t∗ que tardan los bloques A y B en pararse.
2. Mínimo valor de µ para que A y B continúen en reposo a partir de ese instante.
Figura 4.12:
SOLUCIÓN 4.12.
1. t∗ =
4v0√
g(1+µ 3)
2. µ >
√1
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PROBLEMA 4.13. Fuerzas de contacto: rozamiento
En la gura 4.13 se muestran dos bloques A y B , de igual masa M , en contacto mutuo;
además, el bloque A está en contacto con una pared vertical mientras que el bloque B apoya
sobre un suelo horizontal.
Se aplica a B una fuerza F~ de magnitud:
√
3
|F~ | =
Mg
6
en la dirección indicada.
√ Sabiendo que sólo existe rozamiento entre B y el suelo, con coeciente
de rozamiento µ = 1/ 3, y que el sistema parte del reposo, se pide:
1. Aceleraciones ~aA y ~aB de cada uno de los bloques.
~ A que ejerce la pared sobre el bloque A.
2. Fuerza R
Figura 4.13:
SOLUCIÓN 4.13.
1. ~aA = − g6 ~j,
~A =
2. R
~aB =
g ~
√
i
6 3
5
√
M g ~i
2 3
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PROBLEMA 4.14. Rozamiento
En el sistema de la gura 4.14, formado por los bloques A, B y C , de masas MA = MC = m,
y MB = m cos θ, las poleas son ideales y los hilos inextensibles; además, solo existe rozamiento
con coeciente µ entre el suelo y el bloque C .
Sabiendo que el sistema parte del reposo, se pide:
1. Mínimo valor de µ, µmin , para que C no deslice sobre el suelo.
2. Aceleración de B , ~aB .
3. Valor de la aceleración de B , ~aB , y la fuerza de rozamiento F~R , si µ = 12 µmin .
Figura 4.14:
SOLUCIÓN 4.14.
1. µmin =
2. ~aB =
3. ~aB =
sin θ
2−cos θ
g sin θ
2−cos θ
~i
(5+cos θ−2 cos2 θ) sen θ
2(2−cos θ)(3−cos2 θ)
g ~i,
F~R =
sin θ
4−2 cos θ
mg~i
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PROBLEMA 4.15. Rozamiento
Por una polea ideal P pasa sin rozamiento un cable inextensible y sin masa que une un
bloque A, de masa MA , que cuelga del cable, a un bloque B , de masa MB , que apoya sobre
una cinta transportadora CC 0 muy larga, que está moviéndose con velocidad ~vC en el sentido
indicado, ver gura 4.15.
Entre la cinta y el bloque B existe rozamiento con coeciente µ.
(A)
Cuando la velocidad ~vC de la cinta es constante se observa que B está en reposo relativo
a la cinta. Se pide:
1. El mínimo valor de la masa de B , Mmin , para que tal circunstancia sea posible.
~ que ejerce el soporte sobre la polea en este caso.
2. La fuerza R
(B)
Suponiendo ahora que MB = 2Mmin , y tomando como condiciones iniciales el movimiento
en A, se comunica externamente una aceleración constante d~vC / dt a la cinta, en la dirección de ~vC . Hallar la condición que ha de satisfacer d~vC / dt para que B deslice respecto a
la cinta.
Figura 4.15:
SOLUCIÓN 4.15.
1. Mmin =
MA
µ
~ = MA g (~i + ~j)
2. R
3. |d~vC / dt| >
µg
µ+2
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PROBLEMA 4.16. Teorema de la energía cinética.
En la gura 4.16 se representa un bloque de masa M que apoya sobre un suelo horizontal,
y está unido mediante un muelle de constante elástica k y longitud natural l0 a una pared
vertical.
Entre el suelo y el bloque existe rozamiento con coeciente µ < kl0 /4M g .
Se suelta el bloque con velocidad nula desde una distancia d = 3l0 /2 a la pared. Se pide:
1. Velocidad v0 del bloque en el momento en el que por primera vez su distancia a la pared
es l0 .
2. Distancia máxima xmax y mínima xmin a la pared alcanzada por el bloque en el movimiento
subsiguiente.
Figura 4.16:
SOLUCIÓN 4.16.
1. v0 =
q
kl02
4M
− µgl0
g
2. xmax = 32 l0 − 4µM
,
k
xmin =
l0
2
+
2µM g
k
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.17. Conservación de la energía
En el contorno de un disco jo de radio R, situado en un plano vertical, está enrollado un
hilo inextensible y sin masa.
Una partícula de masa m está sujeta al extremo libre del hilo, como se muestra en la gura
4.17. Inicialmente se tiene desenrollada una longitud R del hilo y éste se encuentra en posición
horizontal.
Si la partícula se abandona sin velocidad inicial desde esta posición, determinar:
1. El vector velocidad de la partícula en función del ángulo de desenrolle θ, ~v (θ).
2. La ecuación que proporciona el máximo valor de θ, θmax .
3. El valor de la tensión del hilo en función del ángulo θ, T (θ).
Figura 4.17:
SOLUCIÓN 4.17.
1. ~v (θ) =
2gR [cos θ + (1 + θ) sin θ − 1] sin θ~i − cos θ~j
p
2. sin θmax + cos θmax + θmax sin θmax = 1
⇒
θmax ≈ 2.5995 (numérica)
θ−1
3. T (θ) = 3 sin θ + 2 cos1+θ
mg
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
21
PROBLEMA 4.18. Conservación de la energía
Un abalorio de masa m puede moverse, sin rozamiento, ensartado en un alambre semicircular
de radio R y centro O, situado en un plano vertical. Además, el abalorio está unido a O por un
muelle de constante elástica k y longitud natural l0 , ver gura 4.18.
Sabiendo que el abalorio parte de A con velocidad ~v0 , calcular:
1. El mínimo valor de |~v0 | para que llegue a B .
~ (θ) que ejerce el alambre sobre el abalorio en una posición genérica denida
2. La fuerza N
por el ángulo θ.
Figura 4.18:
SOLUCIÓN 4.18.
1. |~v0,min | =
√
2gR
h
2
i
~ (θ) = k(R − l0 ) + mg(2 − 3 cos θ) − m v0 (− sin θ ~j + cos θ ~k)
2. N
R
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.19. Conservación de la energía
En el plano vertical Y Z , un alambre gira alrededor del eje Z con velocidad angular constante
~ 0 = Ω0 ~k .
Ω
Desde
√ el punto A se lanza un abalorio con velocidad ~v0 , relativa al alambre, de magnitud
gR. Considerando despreciable el rozamiento entre el abalorio y el alambre, calcular el
valor mínimo de Ω0 para que el abalorio llegue a B , en los siguientes casos:
|~v0 | =
a)
El alambre es circular de radio R, gura 4.17(a).
b)
El alambre es elíptico de semiejes R y 2R, gura 4.19(b).
(a)
(b)
Figura 4.19:
SOLUCIÓN 4.19.
1. Ω0 >
pg
2. Ω0 >
pg
1
R
2
R
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.20. Conservación de la energía
En la gura 4.20 se muestra una guía vertical EE 0 , separada una distancia D del eje Z , por
la que puede desplazarse sin rozamiento un abalorio de masa m. El abalorio está unido a un
punto jo O mediante un muelle de constante elástica k y longitud natural despreciable.
~ 0 = Ω0 ~k .
La guía está girando alrededor del eje Z con velocidad angular constante, Ω
Sabiendo que en el instante inicial el abalorio se encuentra en A con una velocidad relativa
a la guía ~v0 0 = v0 0~k , determinar:
1. La frecuencia angular ω del movimiento armónico del abalorio relativo a la guía.
2. Las posiciones extremas z± del abalorio (es decir la coordenada z de los puntos más alto
y más bajo que alcanza).
~ | que ejerce la guía sobre el abalorio.
3. El valor de la fuerza |N
Figura 4.20:
SOLUCIÓN 4.20.
1. Ω0 =
q
2. z± =
mg
k
k
m
−1 ±
q
1+
kv02
mg 2
~ | = (k − mΩ20 )D
3. |N
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24
PROBLEMA 4.21. Fuerzas de inercia
La plataforma circular horizontal de radio R mostrada en la gura 4.21 tiene un canal recto,
a una distancia R/2 de un punto jo O, por donde puede moverse sin rozamiento una partícula
de masa m. La partícula, además, está unida a O mediante un muelle de constante elástica k
y longitud natural nula.
Considérese la situación en la cual la plataforma está girando con velocidad angular cons~ 0 = Ω0 ~k en torno a un eje que pasa por O y es perpendicular a su plano. Se pide:
tante Ω
1. Determinar la condición que deben cumplir k, m y Ω0 para que el movimiento de la
partícula en el canal sea armónico simple.
2. Calcular el periodo P del movimiento armónico generado.
Suponiendo que en el instante
q inicial la partícula se encuentra en el punto A, con una velocidad
√
3
0
de magnitud |~v0 | = 2 R mk − Ω20 , relativa a la plataforma, determinar:
3. Posiciones extremas l± de la partícula en el canal.
~ (0) que ejerce la plataforma sobre la partícula en el instante inicial.
4. Fuerza N
Figura 4.21:
SOLUCIÓN 4.21.
1. ω 2 ≡
k
m
− Ω20 > 0
2. P = √ k2π
m
3. l± = ±
−Ω20
√
~ (0) =
4. N
3
R,
2
mR
2
(extremos del canal)
√
ω 2 1 − 2 3 ( Ωω0 ) ~i + mg~k
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.22. Conservación energía. Movimiento armónico simple
Un abalorio de masa m puede moverse sin rozamiento por una guía horizontal contenida en
un plano vertical Y Z , mientras permanece unido a un muelle de constante elástica k y longitud
natural nula, jo por uno de sus extremos a un punto A del eje Z , ver gura 4.22. El conjunto
~ 0 = Ω0 ~k .
gira alrededor de este eje con velocidad angular constante Ω
En el instante inicial el abalorio esta en O con velocidad ~v00 , relativa a la guía. Se pide:
1. La condición que deben cumplir k, m y Ω0 para que el movimiento de la partícula sea
armónico simple.
2. Bajo esta condición:
a ) Distancia máxima al origen, lmax , que alcanza el abalorio.
b ) Tiempo t∗ que tarda el abalorio en alcanzar esa posición.
Figura 4.22:
SOLUCIÓN 4.22.
1. Ω0 <
2.
q
k
m
a ) lmax =
q
b ) t∗ = √ kπ
2
m
mv 0 20
k−mΩ20
−Ω20
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.23. Sistemas de referencia no inerciales. Fuerzas de inercia.
Un abalorio de masa m puede deslizar, sin rozamiento, ensartado en un alambre circular de
radio R, como se muestra en la gura 4.23. El alambre, situado en un plano vertical, se hace
girar alrededor del eje jo Z con velocidad angular constante ω
~ 0 = ω0 ~k .
Si el√abalorio parte del punto A con una velocidad ~v0 , relativa al alambre, de módulo
|~v0 | = 2 gR, se pide:
1. Máximo valor de ω0 para que el abalorio llegue a B .
2. Para ω0 =
p
6g/R,
a ) La altura máxima alcanzada H por el abalorio.
~ A que ejerce el alambre sobre el abalorio cuando pasa por A.
b ) La fuerza N
Figura 4.23:
SOLUCIÓN 4.23.
1. ω0 =
q
2g
R
2. a) H = 23 R
~ A = 10mg~j
b) N
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PROBLEMA 4.24. Conservación de la energía. Teorema de la energía cinética en
sistemas no inerciales.
Por un alambre AB en forma de cuarto de circunferencia de radio R, contenido en un plano
XY , desliza sin rozamiento una partícula de masa m. La partícula está unida a uno de los
extremos de un muelle de constante k y longitud natural l0 = R/2, el cual está jo por el otro
extremo a un punto C del eje Y . , ver gura 4.24.
Suponiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en B , con velocidad ~v0 paralela
−→
a OA, determinar:
1. La velocidad de la partícula en A, ~vA , si el plano XY es un plano vertical, -g. 4.24,a.
2. El módulo de la velocidad de la partícula relativa al alambre en A, |~v 0A |, si el plano XY es
horizontal y el alambre gira alrededor del eje vertical Z con velocidad angular ω
~ = K1 t ~k ,
-g. 4.24,b.
Figura 4.24:
SOLUCIÓN 4.24.
1. ~vA =
2. |~v
0
A|
q
=
v02 − 2gR +
q
√
3− 5 k 2
R
2 m
v02 − K1 πR2 +
(−~i)
√
(3− 5) k 2
R
2
m
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.25. Teorema de la energía cinética en sistemas no inerciales.
Potencial centrífugo.
Por un alambre ABC de masa despreciable puede deslizar sin rozamiento un abalorio de
masa m, ver gura 4.25. El alambre, situado en un plano vertical, se hace girar alrededor del
eje jo EE 0 vertical con velocidad angular constante ω
~ 0.
Suponiendo que 2g > 9ω02 R, se pide:
1. Magnitud mínima de la velocidad del abalorio en A, relativa al alambre, v 0A,min , de manera
que el abalorio llegue a C .
2. Componentes intrínsecas de la aceleración del abalorio respecto al alambre en P , ~a 0P (θ).
Figura 4.25:
SOLUCIÓN 4.25.
1. v 0A,min =
p
R(2g − 9ω02 R)
2. ~a 0P (θ) = a 0T (θ)~uT + a 0N (θ)~uN
donde:
a 0T (θ) = [ω02 R (2 + sin θ) cos θ − g sin θ]
a 0N (θ) =
1
R
[vA2 − 2gR(1 − cos θ) + ω02 R2 (2 + sin θ)2 ]
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.26. Teorema de la energía cinética en sistemas no inerciales.
Potencial centrífugo.
Una partícula de masa m desliza, sin rozamiento, ensartada en un aro de radio R contenido
en un plano vertical. La partícula está unida a un hilo ideal que pasa por una polea B , también
ideal, y en su extremo libre se aplica una fuerza F~0 de magnitud |F~0 | = mg/4.
El aro gira alrededor del eje BC , jo, con velocidad angular ω
~0 =
p
g/R ~k constante.
Si la partícula parte de C con una velocidad v~0 0 relativa al aro desconocida, se pide:
1. Calcular el valor mínimo de |v~0 0 |, (|v~0 0,min |), para que la partícula llegue al punto A.
~A y N
~ C que ejerce el aro sobre la partícula
2. Para |v~0 0 | = |v~0 0,min |, determinar la fuerzas N
en las posiciones A y C .
Figura 4.26:
SOLUCIÓN 4.26.
1. |v~0 0,min |2 =
√1 gR
2
√ ~
2. NA = mg 1 − 82 ~un (dirección normal)
h √ i
p √
~ C = mg 3+2 2 ~un − 2 2 ~ub
N
(dirección normal y binormal)
4
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.27. Teorema de la energía cinética en sistemas no inerciales.
Una plataforma horizontal de radio R está girando con velocidad angular: ω
~ 0 = ω0 ~k 0 ,
constante, alrededor de un eje vertical E que pasa por su centro O. En la plataforma existe un
canal recto AB , que dista R/2 de O, y por el que puede deslizar sin rozamiento una partícula
de masa m2 = m. Esta partícula se encuentra unida a otra de masa m1 = 4m, la cual cuelga
de un hilo ideal de longitud 2R que pasa por un pequeño oricio practicado en O.
Considérese el sistema móvil S 0 (O0 ; X 0 , Y 0 , Z 0 ), ligado a la plataforma -gura 4.27-, denido
de forma tal que O0 ≡ O, Z 0 ≡ E y donde el eje X 0 es paralelo al canal AB en todo instante.
Si ~v1 0 (θ) ≡ v1 0 (θ) ~k,0 y ~v2 0 (θ) ≡ v2 0 (θ)~i,0 son las velocidades de m1 y m2 relativas a S 0 en un
punto arbitrario C del canal, y se sabe que en el instante inicial la partícula m2 se encuentra
en el extremo A con velocidad nula respecto al canal, se pide:
1. Condición sobre ω0 para que m2 se mueva respecto al canal desde el instante inicial.
2. Relación cinemática entre v1 0 (θ) y v2 0 (θ)
Supóngase a partir de ahora que ω02 = 2g/R. En este supuesto, determinar:
3. El valor de v2 0 (θ). ¾Alcanzará m2 el extremo B o se parará instantáneamente antes?
4. El valor de θ̇(θ).
5. Las aceleraciones ~a1 0 (θ) ≡ a1 0 (θ) ~k,0 y ~a2 0 (θ) ≡ a2 0 (θ)~i,0 de m1 y m2 relativas al canal.
6. Los valores máximo Tmax y mínimo Tmin de la tensión en el hilo.
~ 0 que ejerce el canal sobre m2 en el instante en el que |~v2 0 | es máximo.
7. La fuerza N
Figura 4.27:
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
SOLUCIÓN 4.27.
1. ω0 <
4g
R
2. v1 0 (θ) = v2 0 (θ) cos θ
3. v
r
0
2 (θ)
=−
4. θ̇(θ) = −
2gR
2
R
5. ~a2 (θ) = −g
0
h
1
1
(1− 2 sen
)(3− 2 sen
)
θ
θ
2
1+4 cos θ
i
v 02 (θ) sen2 θ
1
1
16 sen3 θ cos θ (1− 2 sen
3− 2 sen
θ )(
θ)
1
4 − sen
θ
1+4 cos2 θ
+
~a1 0 (θ) = a2 0 (θ) cos θ + R2 (v 02 (θ))2 sen3 θ ~k 0
(1+4 cos2 θ)2
6. Tmax = 24 mg ,
cos θ ~i0
Tmin = (5/2) mg
√
~ 0 = mg[(23 − 2 5) ~j 0 + ~k 0 ]
7. N
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.28. Fuerzas centrales: Fuerza atractiva proporcional a la distancia.
Una partícula P de masa µ se mueve sometida a la acción
de una fuerza central:
F~ (~r) = −k~r
la cual emana de un punto O, origen de un sistema de referencia inercial S(O; X; Y ; Z). Aquí k es una constante positiva y ~r el vector de posición de la partícula, -ver gura
4.28-.
Figura 4.28:
Sean ~r0 = r0 ~i y ~v0 = v0 ~j la posición y la velocidad de la
~ O su momento cinético
partícula en el instante inicial, y L
respecto al origen de S .
Se pide:
1. Demostrar que la energía E de la partícula se conserva y puede expresarse como:
1
E≡ µ
2
dr
dt
2
+
~ 0 |2 1
1 |L
+ kr2
2 µr2
2
2. Determinar la velocidad inicial ~v0 ≡ ~vc , necesaria para que la trayectoria de P sea una
circunferencia.
3. Si la velocidad inicial es el doble de la calculada en el apartado anterior, ~v0 = 2~vc ,
determinar los puntos r± de mínimo y máximo acercamiento de P al origen O.
4. Vericar los resultados de los apartados anteriores integrando las ecuaciones de Newton
que denen el movimiento de la partícula y determinando su trayectoria.
SOLUCIÓN 4.28.
2. ~vc = r0
q
3. r− = r0 ,
4.
x2
r02
+
y2
(µ
)v 2
k 0
k~
j
µ
r+ = 2r0
=1
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Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.29. Fuerzas centrales: Fuerza inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia.
Una partícula P de masa µ se mueve sometida a la acción
de una fuerza:
Aµ
F~ (~r) = − 2
r
~r
r
donde ~r es el vector de posición de la partícula respecto a
un punto jo O, origen de un sistema de referencia inercial
S(O; X; Y ; Z) y A una constante positiva (Aquí r ≡ |~r|).
Figura 4.29:
Sean ~r0 = r0 ~i y ~v0 = v0 ~j la posición y la velocidad de la
~ O su momento cinético
partícula en el instante inicial, y L
respecto al origen de S .
Se pide:
1. Demostrar que la energía E de la partícula se conserva y puede expresarse como:
1
E≡ µ
2
dr
dt
2
+
~ 0 |2 Aµ
1 |L
−
2 µr2
r
2. Determinar la velocidad inicial ~v0 ≡ ~vc , necesaria para que la trayectoria de P sea una
circunferencia, -gura 4.29-. ¾Cuánto vale la energía E ≡ Ec de la partícula en este caso?
3. Calcular el valor mínimo de la velocidad inicial ~vE necesaria para que la partícula "escape",
es decir no vuelva a pasar por la posición inicial.
4. Si ~v0 = 3/2 ~vc , determinar los puntos r± de mínimo y máximo acercamiento de P al
origen O.
p
SOLUCIÓN 4.29.
2. ~vc =
3. ~vE =
q
√
A
r0
~j,
Aµ
Ec = − 2r
0
2 ~vc
4. r− = r0 ,
r+ = 3r0
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34
Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.30. Órbita de colisión
Una sonda espacial S de masa m está describiendo una órbita circular de radio nR, (n > 1)
y centro O, alrededor de un planeta de radio R y masa M , (M >> m), -gura 4.30-.
En su órbita circular, que está contenida en el plano ecuatorial del planeta, el módulo v0 de
la velocidad de la sonda permanece constante.
Tras fotograar el planeta, y para concluir su misión, se ajusta la trayectoria de la sonda
permitiendo que ésta se estrelle sobre la supercie, a n de efectuar estudios adicionales de
las características del suelo. Para ello, y en el instante en el que la sonda se encuentra en el
punto A de su órbita inicial, se conectan unos propulsores que reducen casi instantáneamente
su velocidad a αv0 , con α una constante positiva (supóngase despreciable la perdida de masa
de la sonda en esta maniobra).
Considerando a efectos prácticos que el planeta no se mueve y que su atmósfera es muy
tenue, se pide:
1. Demostrar que para que la trayectoria de colisión sea posible α ≤
p
2/(n + 1).
2. Si la colisión se produce, determinar el ángulo ψ que forma la tangente a la trayectoria
de la sonda con la vertical en el instante de impacto (punto B de la gura).
3. Sabiendo que la trayectoria de caída es el segmento de elipse mostrado en la gura, uno
de cuyos focos se sitúa en el centro del planeta, calcular el perigeo r− , (punto C en el
−
de la misma.
interior del planeta), el apogeo r+ y la excentricidad ε ≡ rr++ −r
+r−
4. En función de las coordenadas polares (r, θ) mostradas, la elipse referida en el apartado
anterior tiene por ecuación:
r=
1+ε
1 − ε cos θ
r−
Utilizar este dato para determinar el valor del parámetro α, necesario para que el choque
con la supercie tenga lugar de modo que θ = 90o .
Figura 4.30:
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35
SOLUCIÓN 4.30.
1. 0 < α ≤
p
2/(n + 1)
2. sen ψ = √
nα
α2 +2(n−1)
3. r− =
4. α =
α2
2−α2
q
nR,
r+ = nR,
ε = 1 − α2
1
n
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36
PROBLEMA 4.31. Órbita de transferencia
Se quiere poner un satélite de masa m en una órbita
circular de radio 2RT alrededor de la Tierra, en el
plano ecuatorial. Sea MT >> m la masa , RT el
radio y ΩT la velocidad de rotación de la Tierra en
torno a un eje que pasa por sus polos.
Para poner en órbita el satélite se utiliza una órbita de transferencia elíptica, gura 4.31, lanzando
el satélite desde A con una velocidad de magnitud
vA0 relativa a la Tierra y tangente a su supercie, y
de tal forma que el apogeo B de la órbita de transferencia (máxima distancia al centro de la Tierra)
coincida con el radio de la órbita circular.
En cuanto el satélite llega a B , recibe un incremento de velocidad ∆v , prácticamente instantáneo y
tangente a su trayectoria, que lo coloca en la órbita
circular deseada. Se pide:
Figura 4.31:
1. Valor de vA0 .
2. Tiempo tAB que tarda el satélite en recorrer el arco AB .
3. Valor de ∆vB .
Para la Tierra: MT = 5.97 × 1024 kg, RT = 6.38 × 106 m, ΩT = 24h. Constante
gravitacional: G = 6.674 × 10−11 N.m2 /kg2 .
DATOS:
SOLUCIÓN 4.31.
q
1. vA0 = 2
2. tAB =
π
2
3. ∆vB =
GMT
3RT
q
− ΩT RT ≈ 8661 m/s
(3RT )3
2GM
√1
2
−
≈ 1 hora y 17 minutos
√1
3
q
GMT
R
≈ 1025 m/s
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37
Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.32.
El bloque B de la gura 4.32 se desplaza respecto
del triedro jo S(OXY Z) con aceleración constante, ~aB = g~i, dirigida hacia la derecha.
Sobre su perl superior, de forma circular y radio
R, puede deslizar, sin rozamiento, una partícula
de masa m. En el instante inicial la partícula
se encuentra en reposo respecto al bloque en la
posición θ = 0.
Se dene un triedro móvil S 0 (O0 ; X 0 , Y 0 , Z 0 ) con
origen en el punto O0 , cuyos ejes son paralelos
en todo instante a los jos, en movimiento de
traslación con respecto a S con la velocidad del
bloque. Se pide:
Figura 4.32:
1. Velocidad de la partícula relativa al bloque, v~0 (θ).
2. Determinar la posición, θmax , en la que la velocidad relativa es máxima.
3. Aceleración de la partícula relativa al bloque, a~0 (θ).
4. Aceleración de la partícula en el instante en el que θ = θmax .
~ (θ) que ejerce el bloque sobre la partícula.
5. Fuerza N
~ O0 0 (θ) de la partícula con respecto a O0 en 0 .
6. Momento cinético L
7. Vericar el teorema del momento cinético en el triedro S 0 .
SOLUCIÓN 4.32.
1. ~v 0 (θ) =
p
2. θmax =
π
4
h
i
2gR (sin θ + cos θ − 1) − cos θ~i + sin θ~j
3. ~a 0 (θ) ≡ ~aT 0 (θ) + ~aN 0 (θ)
~aT 0 (θ) = −g(cos θ − sen θ)(cos θ ~i − sen θ ~j)
~aN 0 (θ) = 2g(sen θ + cos θ − 1)(sen θ ~i + cos θ ~j)
h
√ √ i
~
4. ~a(θmax ) = g 3 − 2 i + 2 − 2 ~j
(aceleración tangente)
(aceleración normal)
~ (θ) = mg [3(sen θ + cos θ) − 2] (sin θ~i + cos θ~j)
5. N
~ O0 0 (θ) = −mR
6. L
p
2gR (sin θ + cos θ − 1) ~k
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38
PROBLEMA 4.33. Enero 2013
Alrededor del eje vertical OZ de un triedro inercial S(O, X, Y, Z), se hace girar con velocidad
~ 0 = Ω0 k~0 constante, una varilla semicircular ABC de radio R. Por la varilla se puede mover
angular Ω
un abalorio de masa m, inicialmente en reposo en el punto B . No hay rozamiento entre el abalorio y
la varilla.
Durante el movimiento se observa que si se desplaza el abalorio ligeramente de B , éste alcanza
el extremo C de la varilla si Ω0 es mayor que un cierto valor Ω0, lim ; mientras que permanece en las
proximidades de B si Ω0 es menor que dicho valor límite.
Se dene un triedro S 0 (O0 , X 0 , Y 0 , Z 0 ), jo a la varilla, con O ≡ O0 y Z ≡ Z 0 , de forma tal que la
varilla permanece en el plano vertical Y 0 Z 0 en todo instante, -ver gura-.
A)
Supóngase Ω0 > Ω0, lim .
Si F~I (θ) = FI,x0 (θ) ~i0 + FI,y0 (θ) j~0 + FI,z0 (θ) k~0 es la resultante de las fuerzas de inercia sobre el
abalorio en S 0 , para una posición genérica denida por el ángulo θ, y para un valor v 0 del módulo
de la velocidad del abalorio en S 0 , entonces:
1. La componente FI,x0 (θ) vale:
A) FI,x0 (θ) = mΩ20 R sen θ
C) FI,x0 (θ) = 2mΩ0 v 0 sen θ
E) FI,x0 (θ) = 0
B) FI,x0 (θ) = mΩ20 R cos θ
D) FI,x0 (θ) = 2mΩ0 v 0 cos θ
2. La componente FI,y0 (θ) vale:
A) FI,y0 (θ) = mΩ20 R sen θ
C) FI,y0 (θ) = −2mΩ0 v 0 sen θ
E) FI,y0 (θ) = 0
B) FI,y0 (θ) = mΩ20 R cos θ
D) FI,y0 (θ) = −2mΩ0 v 0 cos θ
3. La componente FI,z0 (θ) vale:
A) FI,z0 (θ) = mΩ20 R sen θ
C) FI,z0 (θ) = mΩ20 R sen2 θ
E) FI,z0 (θ) = 0
B) FI,z0 (θ) = mΩ20 R cos θ
D) FI,z0 (θ) = mΩ20 R cos2 θ
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Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica
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39
Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
B)
Valor límite Ω0, lim
4. El valor mínimo
de Ω0 para que el abalorio llegue a C vale:
p
p
A) Ω0, lim = pg/R
B) Ω0, lim = p2g/R
D) Ω0, lim = g/2R
C) Ω0, lim = p 3g/2R
E) Ω0, lim = g/3R
C)
En lo que sigue se tomará para Ω0 el valor Ω0 =
p
4g/R
5. El vector velocidad v~0 C del abalorio cuando éste llega a C , en el triedro S 0 , vale:
√
√
B) v~0 C = 2gR k~0
A) v~0 C = gR k~0
√
√
D) v~0 C = 4gR k~0
C) v~0 C = 3gR k~0
√
E) v~0 C = 6gR k~0
6. Respecto del triedro S , el ángulo α que forma con la vertical el vector velocidad ~vC del
abalorio cuando llega a C , en S , vale:
√
A) tan α = √
0
B) tan α = 2√
C) tan α = 3√
D) tan α = 1/ 2
E) tan α = 1/ 3
7. El trabajo WIBC en S 0 de las fuerzas de inercia entre B y C vale:
B) WIBC = (3/2) mgR
A) WIBC = 0
D) WIBC = 3mgR
C) WIBC = 2mgR
BC
E) WI = 4mgR
8. Cuando el abalorio llega a C , su momento cinético respecto del punto O, en el triedro S 0 ,
~ 0 O , vale:
L
~ 0 = mR√gR ~i0
~ 0 = mR√2gR ~i0
A) L
B) L
O
O
~ 0 = −mR√gR ~i0
~ 0 = −mR√2gR ~i0
C) L
D) L
O
O
~ 0 = ~0
E) L
O
9. Cuando el abalorio llega a C , su momento cinético respecto del punto O, en el triedro S ,
~ O , vale:
L
~ O = ~0
~ O = mR√gR (~i0 + 2k~0 )
A) L
B) L
√
√
~ O = mR 2gR (~i0 + 2k~0 )
~ O = −mR√gR (~i0 + 2k~0 )
C) L
D)
L
√
~ O = −mR√2gR (~i0 + 2k~0 )
E) L
10. La componente Nx0 de la fuerza que la varilla hace sobre el abalorio, cuando éste llega a
C , vale:
A) Nx0 = mg
B) Nx0 = −mg
C) Nx0 = 4mg
D) Nx0 = −4mg
E) Nx0 = 0
SOLUCIÓN 4.33.
1) D 2) A 3) E 4) B 5) B 6) B 7) C 8) B 9) C 10) E
♣
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40
Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMA 4.34. Julio 2013
Sobre la supercie horizontal XY de un triedro inercial S(O; X, Y, Z), se apoya sin rozamiento un
~ = Ω ~k , alrededor de un
aro circular de radio R. El aro se hace girar con velocidad angular constante Ω
eje perpendicular a su plano y que pasa por un punto A de su contorno. En todo instante A permanece
jo en el origen de S .
Se dene un triedro S 0 (O0 ; X 0 , Y 0 , Z 0 ), jo al aro, con O0 = O y Z ≡ Z 0 , de forma tal que el aro
permanece siempre en el plano horizontal X 0 Y 0 .
Un abalorio de masa M puede moverse sin rozamiento por el aro, y está conectado a A mediante
un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural nula. Del movimiento del abalorio se sabe
que:
En el instante inicial se encuentra en el punto B del aro, (θ0 = 45o ), en reposo relativo a éste,
-Fig.1-.
~ , denotado por Ω
~ 0 = Ω0 ~k , para el que la condición anterior se satisface en
Existe un valor de Ω
todo instante.
1. Si θ representa el ángulo que forma el muelle con el eje X 0 de S 0 en un instante genérico (para
Ω > Ω0 , -ver Fig.2-), y θ̇ ≡ dθ/dt su variación con el tiempo, se puede armar que:
A)
θ̇ =
C)
θ̇ =
q
− 12
q
1
2
(Ω2
(Ω2 −
−
3K
2M )
3K
4M )
B)
cos 2θ
D)
cos 2θ
q
K
θ̇ = − 12 (Ω2 − M
) cos 2θ
q
θ̇ = 21 (Ω2 − 2K
M ) cos 2θ
E) Ninguna de las anteriores.
2. Respecto al valor de Ω0 , se puede decir que:
A) Ω0 =
q
q
3K
4M
3K
C) Ω0 = 2M
E) Ninguna de las anteriores.
B) Ω0 =
D) Ω0 =
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q
2K
qM
K
M
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41
Capítulo4: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
Supóngase a partir de ahora que:
.
Cuando el abalorio pasa por el punto D del aro:
Ω=3
q
K
M
3. Su velocidad en S 0 , ~v 0 (D), vale:
A)
~v 0 (D)
= −R
q
K
qM
B)
~j 0
~v 0 (D)
= −2R
q
D) ~v 0 (D) = −4R
K ~0
j
C) ~v 0 (D) = −3R M
E) Ninguna de las anteriores.
4. Su aceleración en S 0 , ~a 0 (D), vale:
A) ~a 0 (D) = −(16 RK/M )~i 0
C) ~a 0 (D) = −( RK/2M )~i 0
E) Ninguna de las anteriores.
K
qM
~j 0
K
M
~j 0
B) ~a 0 (D) = (RK/M )~i 0
D) ~a 0 (D) = (8 RK/M )~i 0
5. Su velocidad en S , ~v (D), vale:
A) ~v (D) = 3R
q
K
M
q
B) ~v (D) = −R
(~i 0 + ~j 0 )
D) ~v (D) = R
K ~0
j
C) ~v (D) = −2R M
E) Ninguna de las anteriores.
q
q
K
M
K
2M
~j 0
(~i 0 + ~j 0 )
6. La resultante de las fuerzas de inercia en S 0 , F~I (D), vale:
A) F~I (D) = (RK/2) (~i 0 − ~j 0 )
B) F~I (D) = 9RK
(~i 0 − ~j 0 )
√
C) F~I (D) = −6RK ~i 0
D) F~I (D) = − 2RK ~i 0
E) Ninguna de las anteriores.
7. La componente según el eje X 0 , Nx0 (D), de la fuerza que ejerce el aro sobre el abalorio vale:
A) Nx0 (D) = −8RK
B) Nx0 (D) = KR
2
C) Nx0 (D) = 8RK
D) Nx0 (D) = − KR
2
E) Ninguna de las anteriores.
~ O (D), vale:
8. El momento cinético con respecto al origen O en S , L
√
√
~ O (D) = 4 KM R2 ~k 0
~ O (D) = 6 KM R2 ~k 0
A) L
B) L
√
~ O (D) = ~0
~ O (D) = 2KM R2 ~k 0
C) L
D) L
E) Ninguna de las anteriores.
BD entre B y D de la fuerza elástica del muelle vale:
9. En S , el trabajo Welas
BD = 2KR2
BD = KR2
A) Welas
B) Welas
BD
2
BD = 0
C) Welas = −2KR
D) Welas
E) Ninguna de las anteriores.
BD entre B y D de la fuerza que ejerce el aro sobre el abalorio vale:
10. En S , el trabajo Wnorm
BD = 0
BD = −6KR2
A) Wnorm
B) Wnorm
BD
2
BD = −2KR2
C) Wnorm = −4KR
D) Wnorm
E) Ninguna de las anteriores.
SOLUCIÓN 4.34.
1) B 2) D 3) D 4) A 5) E 6) C 7) A 8) A 9) E 10) B
♣
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