Download 4.1 Introducción Se entiende por dinámica al estudio de las causas

4.1
Con la publicación del magnífico libro
Introducción
Se entiende por dinámica al estudio de
“Principios
Matemáticos
de
Filosofía
Natural” conocido como Principia, Newton
las causas del movimiento.
proporciona las bases fundamentales de
Las leyes que describen el movimiento de
la denominada Mecánica Clásica.
un sistema más grande que un átomo,
moviéndose con velocidades de magnitud
mucho menor que la de la luz, están
4.2
Leyes de Newton.
contenidas en las denominadas leyes de
4.2.1 Primera ley de newton:
Newton del movimiento.
Tales
leyes,
extraordinaria,
de
y
una
de
gran
simpleza
belleza,
permiten dar cuenta del movimiento de
pequeños y grandes cuerpos, de fluidos,
de resortes, cargas eléctricas tanto como
del movimiento de los cuerpos celestes.
Se citan como uno de los grandes logros
de la humanidad, puesto que no solo logró
unificar la explicación de movimientos
celestes y terrestres, sino que durante
NOTA: En toda la discusión que sigue,
cuando
se
hable
de
cuerpos,
se
entenderán como partículas, a objeto de
no considerar sus deformaciones (salvo
en el caso de los resortes) ni su
movimiento de rotación.
Basado en el trabajo de Galileo, Newton
sostiene que un sistema abandonado a si
mismo en un sistema aislado debe tener
velocidad constante.
mucho tiempo fueron considerados como
Newton en cambio, sostiene que un
la
sistema aislado puede estar en reposo
explicación
de
los
hechos
fundamentales del universo.
(velocidad de magnitud constantemente
cero)
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o
moviéndose
con
velocidad
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constante
(velocidad
de
magnitud
y
Newton define el concepto de masa como
una forma de medir la inercia, lo que
dirección constante, MUR).
representa una gran contribución puesto
En consecuencia, no se podría diseñar
experimento alguno en el interior del
sistema
que
permitiera
distinguir
el
reposo del MUR (ver fig. 4.1 y 4.2.)
que explica que un cuerpo que tiene mas
masa posee una mayor inercia y por
consiguiente una mayor capacidad de
oponerse a un cambio en su velocidad.
Esta afirmación contiene el concepto de
inercia expresado por Galileo: “inercia es
la tendencia natural de un objeto de
mantener su reposo o su movimiento
uniforme en línea recta”.
Por tanto, cualquier cuerpo que esté en
reposo o se esté moviendo con velocidad
Fig 4.3
Un camión tiene más inercia que un
automóvil
constante, se dice que está en estado
inercial.
Newton introduce también el concepto de
fuerza, como todo aquello que es capaz de
sacar al cuerpo de este equilibrio.
Fig 4.1
Una
persona
trabajando
en
un
escritorio en reposo respecto de la
calle
La idea de que un cuerpo puede estar en
equilibrio no solo cuando está en reposo
sino también cuando se está moviendo con
velocidad
constante
fue
largamente
resistida, puesto que el pensamiento de
Aristóteles establecía que “el estado
Fig 4.2
La
misma
persona
no
sentiría
diferencia si estuviera encima de un
camión que se mueve con velocidad
constante (en una carretera rectilínea
y plana)
natural de los cuerpos era el reposo”.
Esta idea no es equivocada, sino en cuanto
restringe al reposo las posibilidades de
equilibrio.
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La observación Aristotélica de un cuerpo
equilibran
aparece
una
aceleración,
deteniéndose luego de dejar de empujarlo
producto del aumento en la magnitud del
parece confirmar su opinión, la que solo
vector velocidad.
es descartada a la luz de las indicaciones
de Galileo de considerar la fuerza de roce
en el análisis.
Fig 4.6
Fig 4.4
Un cuerpo se mueve mientras
empujado. Si se deja de empujar
detiene debido a la acción de
fuerza de roce entre el bloque y
superficie de apoyo.
es
se
la
la
Fuerza resultante hacia la derecha
produce aceleración hacia la derecha.
Cuando la mano deja de ejercer fuerza
sobre el bloque, la fuerza resultante es la
fuerza
de
roce,
que
provoca
una
aceleración distinta de la anterior, puesto
que tiene dirección opuesta, disminuyendo
la magnitud del vector velocidad hasta
.
detenerlo.
Fig 4.5
Un
Sin embargo, se detiene más lejos si
las superficies son más pulidas. Esto
es debido a que la fuerza de roce es
de menor magnitud
análisis
de
fuerzas
mejora
la
comprensión del fenómeno.
Fig 4.7
Fuerza resultante hacia la izquierda
produce aceleración hacia la izquierda.
Mientras la mano empuja al bloque, sobre
él existen dos fuerzas en dirección
Si
no
existen
fuerzas,
no
existe
horizontal, la fuerza de la mano y la
aceleración, por tanto la velocidad es
fuerza de roce entre el bloque y la
constante (MUR).
superficie de apoyo. Si las fuerzas no se
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fuerza neta cero (equilibrio)
aceleración resultante cero
velocidad constante
Fig 4.8
Si la fuerza resultante es nula, no hay
aceleración.
La ley de inercia es valida para un
observador en reposo o moviéndose con
Fig 4.9
rapidez constante. Para una persona que
está sobre un vehículo que se mueve con
velocidad constante de magnitud 30
Km
,
h
un objeto dispuesto a su lado está en
reposo y por tanto la fuerza resultante
sobre él será nula.
Para la persona del camión, los libros
están en reposo. Para la persona en la
calle, viajan con velocidad constante.
Para ambos, el objeto no está
acelerado.
4.2.2 Segunda ley de Newton.
La primera ley ha establecido una forma
operacional de determinar si existe una
Para un observador que está en reposo en
fuerza neta actuando sobre un cuerpo: si
el exterior, vehículo, objeto y persona se
la velocidad con que se mueve un cuerpo
mueven
no es constante, entonces sobre él debe
con
magnitud 30
velocidad
Km
h
constante
de
y por tanto para él
haber actuando una fuerza resultante o
neta.
también la fuerza resultante sobre el
Si queremos cuantificar la magnitud de la
objeto será nula.
fuerza neta se podrían realizar algunos
Se dice que un sistema de referencia en
reposo
o
moviéndose
con
experimentos sencillos:
velocidad
constante son marcos de referencia
En primer lugar, dispongamos un cuerpo
inerciales.
de cierta masa y apliquemos sobre él una
fuerza
neta
determinada;
entonces
aparece en él una aceleración.
Si aumentamos la fuerza neta aplicada,
observamos un aumento proporcional en la
aceleración.
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av
1
m
Combinando ambas, podemos escribir:
av
Fn
m
Desde donde,
Fn =kma
Si escogemos unidades de masa y fuerza
Fig 4.10
La fuerza resultante es directamente
proporcional
a
la
aceleración
resultante.
adecuadas,
la
constante
de
proporcionalidad vale 1.
Es decir, si la masa es constante, se
Como ya hemos discutido en capítulos
cumple que:
anteriores, fuerza y aceleración son
a v Fn
cantidades vectoriales, por lo que la
En segundo lugar, se puede averiguar que
pasaría si la misma fuerza neta se aplica a
cuerpos de masas distintas.
expresión se debe escribir:
&
¦F
&
ma
Puesto que la fuerza neta o resultante, no
es más que la suma vectorial de todas las
fuerzas aplicadas sobre el cuerpo.
Es necesario indicar que esta formulación
matemática no fue obra de Newton sino
de Leonhard Euler muchos años después
de la publicación de los Principia.
Fig 4.11
Se
La
aceleración
resultante
es
inversamente proporcional a la masa.
observa
que
la
aceleración
inversamente proporcional a la
es
Si ambos vectores están en el espacio
coordenado cartesiano, se tiene:
6Fx i 6Fy j 6Fzk
m ax i ay j azk
masa
cuando la fuerza es constante, es decir:
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De donde, por igualdad de vectores,
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6Fx
max
6Fy
may
6Fz
maz
1N=105dinas=0,225lb
1lb=4,45N
Ejemplo 4.1.
Un barco es arrastrado
Sistema de ecuaciones algebraicas que
por tres remolcadores como se observa
resulta inapreciable para resolver un
en la figura 4.12 cada uno ejerce una
sinnúmero de aplicaciones.
fuerza de magnitud 3000N.
Dimensionalmente se tiene que:
>F@
y
ª¬MLT -2 º¼
Ra
20º
x
10º
20º
En el Sistema Internacional de Unidades
Rc
la unidad de fuerza es
>F @
ªKg m º
«¬ s2 »¼
Rb
-y
Fig 4.12
Figura para ejemplo 4.1.
Denominado Newton [N].
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
En el sistema CGS, la unidad será:
>F @
ªg cm º
«¬ s2 »¼
resultante?
b) ¿y la magnitud de la aceleración?
Solución.
Denominada dina [dina].
a) Las fuerzas de los remolcadores se
En el Sistema Inglés, la unidad de fuerza
pueden escribir como
será:
&
Ra
Ra cos20ºiˆ Ra sen20ºjˆ
&
Rb
Rb cos-10ºiˆ Rb sen-10ºjˆ
Denominada libra [lb].
&
R
Rb cos-30ºiˆ Rb sen-30ºjˆ
Las equivalencias respectivas son fáciles
Donde
>F @
pie º
ª
« slug s2 »
¬
¼
Ra=Rb=Rc=3000N
de encontrar y son:
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Por lo que:
&
6F
igual magnitud pero de dirección opuesta
&
&
&
Ra Rb Rc
8371,58Niˆ - 994,88Njˆ
sobre el cuerpo que se la ejerció.
b) de la segunda ley, se tiene
&
a
&
a
'
6F
m
8371,58Niˆ - 994,88Njˆ
10000Kg
m
0,84 ˆi - 0,10 ˆ
j 2
s
Fig 4.13
Un carro bomba con VCI constante
mayor que la velocidad de un auto
(VAI), que esta en su camino.
Fig 4.14
Al chocar, ambos se ejercen fuerzas.
Fig 4.15
Las fuerzas de acción y reacción se
manifiestan cambiándole la velocidad a
ambos.
Cuya magnitud es:
a
0,84
m
0,102 §¨ 2 ·¸
©s ¹
2
2
0,85
m
s2
4.2.3 Tercera Ley de Newton
Cuando un camión choca a un automóvil
observamos en este último un cambio en
su velocidad que nos hace indicar que le
fue suministrada una fuerza, de acuerdo
a la segunda ley. Sin embargo, al observar
al
camión,
vemos
que
este
también
En términos matemáticos:
experimentó un cambio de velocidad en la
interacción y por tanto le fue aplicada
&
F12
&
-F21
una fuerza (ver figs. 4.13 a 4.15).
La fuerza que el cuerpo 1 hace sobre el
Este sencillo fenómeno sirve para ilustrar
cuerpo 2 tiene como reacción la fuerza
el tercer principio de Newton que indica
que el cuerpo 2 hace sobre el cuerpo 1.
que un cuerpo sometido a una fuerza
reaccionará ejerciendo una fuerza de
Ambas fuerzas son de igual magnitud y
dirección opuesta y no se pueden anular
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entre sí, pues están aplicadas sobre
cuerpos distintos.
El hecho de que las fuerzas de acción y
reacción vengan de a pares establece una
relación de simetría que no permite
identificar a alguna de ellas como la
Fig 4.17
Si se analizan solo las fuerzas
horizontales, se encuentran varios
pares acción y reacción. Las ruedas no
rotan. Las interacciones son las
fuerzas entre: hombre y suelo;
hombre y cuerda; cuerda y máquina;
rueda delantera y suelo; rueda trasera
y suelo. Note que sobre el hombre
ejercen fuerzas la cuerda y el suelo;
sobre la cuerda ejercen fuerzas el
hombre y la máquina; sobre la máquina
ejercen fuerzas la cuerda y el suelo.
Fig 4.18
El invento del reactor representó un
gran avance para la navegación al no
depender de los gases de la atmósfera
para obtener reacción. A cambio,
expulsa con extraordinaria fuerza los
gases producto de la reacción química
de su combustible, obteniendo la
fuerza de reacción a cambio. Esto
permite obtener propulsión en ausencia
de atmósfera.
acción. Cualquiera de ellas puede serlo.
Existe la idea errónea de que los cuerpos
dotados de movimiento y los seres vivos
son los que ejercen acciones y los cuerpos
sobre
los
que
actúan,
ejercen
las
reacciones.
Los
siguientes
ejemplos
ayudarán
a
desvirtuar estas creencias y permitirán
observar
los
pares
de
fuerzas
de
interacción.
FSM
FMS
FTM
FMT
Fig 4.16
Aquí las fuerzas son verticales, y sus
puntos de aplicación y líneas de acción
son distintos a las observadas por
razones de dibujo. La tierra atrae a
la máquina (peso) y la máquina atrae a
la tierra. Ambas fuerzas están
aplicadas sobre sus centros de
gravedad. La máquina presiona hacia
abajo a la superficie y la superficie
empuja hacia arriba a la máquina.
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Ejemplo 4.2.
Una lámpara L cuelga de
una cuerda C. La lámpara pesa P. Ver
figura 4.22.
Fig 4.19
La luna atrae a la tierra con igual
fuerza que la tierra atrae a la luna. la
aceleración de la luna es mayor pues
su masa es menor. La fuerza sobre la
luna le produce aceleración centrípeta
que la obliga a girar sobre la tierra.
La fuerza de la luna sobre la tierra
produce las mareas y un ligero
movimiento zigzageante.
Fig 4.22
figura para ejemplo 4.2.
a) ¿Qué fuerzas actúan sobre la lámpara?
b) ¿Qué fuerza hace la lámpara sobre la
cuerda?
Fig 4.20
El
dibujo
está
muy
exagerado,
pretendiendo
solo
ejemplificar
el
efecto de la fuerza de la luna sobre la
tierra en relación con su movimiento
de traslación alrededor del sol.
c) ¿Son un par acción-reacción el peso de
la lámpara y la fuerza de la lámpara
sobre la cuerda?
Solución.
Siempre es conveniente un diagrama de
cuerpo libre.
F cuerda sobre
lámpara
Fig 4.21
Existe un gran número de aparatos que
funcionan empujando fluidos como el
aire o el agua, hacia atrás o hacia
abajo o diversas otras combinaciones,
para obtener movimiento gracias a la
fuerza de reacción del fluido sobre la
nave. Básicamente esto se hace con
hélices, ruedas, toberas, etc.
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F gravitacional
sobre lámpara (peso)
Fig 4.23
Diagrama de fuerzas sobre lámpara.
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a) Sobre la lámpara existen dos fuerzas:
la
fuerza
de
atracción
gravitacional
4.3
Fuerzas
4.3.1 Fuerzas fundamentales
dirigida hacia abajo y la fuerza de la
cuerda, dirigida hacia arriba.
Son el resultado de las interacciones
De nuevo, un diagrama de cuerpo libre
elementales entre partículas. Explican
fenómenos que no pueden atribuirse a
ayuda a la comprensión del problema.
otras fuerzas.
se
F soporte sobre
cuerda
observa
A lo largo de la historia
una
tendencia
hacia
la
unificación de las fuerzas, esperándose
que finalmente se alcance el conocimiento
de
una
fuerza
fundamental
última,
determinando que la naturaleza posee una
F lámpara sobre
cuerda
estructura extraordinariamente simple.
El cuadro siguiente muestra el camino
Fig 4.24
Diagrama de fuerzas sobre cuerda.
b) Sobre la cuerda existen dos fuerzas,
seguido hacia la unificación.
Gravedad
Celeste
Gravedad
Terrestre
Fuerza
Eléctrica
Fuerza
Magnética
la fuerza de la lámpara sobre ella,
dirigida hacia abajo y la fuerza del
soporte dirigida hacia arriba. Aquí se
considera
a
la
cuerda
con
Gravitación
Universal
(Newton)
Fuerza
Nuclear
débil
Fuerza
Electromagnética
(Maxwell)
peso
despreciable, por lo que no participa en el
Fuerza
Nuclear
Fuerte
análisis.
Fuerza
Electrodébil
(Glashow, Salam
y Weinberg)
c) No, pues el peso de la lámpara es la
Unificación
posible
fuerza con que la tierra atrae a la
lámpara y por tanto la reacción será la
fuerza con que la lámpara atrae a la
Unificación
última
tierra hacia arriba.
Fig 4.25
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Fuerzas fundamentales y su evolución
hacia la unificación última.
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Por consiguiente, hoy se sabe que en la
independientes antes del trabajo de
naturaleza
Maxwell en el siglo XIX.
existen
tres
fuerzas
fundamentales: de gravitación universal,
La
electro débil y nuclear o fuerte.
fuerza
nuclear
responsable
La fuerza de gravitación universal fue
descubierta
por
Newton
quien
de
fuerte
mantener
es
la
unidos
los
núcleos de los átomos.
logró
describir la fuerza que existe entre dos
cuerpos de cualquier masa (1687). Un
caso particular de gran importancia para
nosotros es la fuerza que existe entre la
Tierra y los cuerpos que están en su
cercanía, que estudiaremos más adelante.
Existe
entre
nucleones
(protones
y
neutrones) solo si están muy cercanos
(10-15m
entre
sí),
decreciendo
rápidamente con la separación. A una
distancia mayor de 1,5x10-14m la fuerza
nuclear es mucho menor que la fuerza
eléctrica entre los nucleones y puede
La fuerza electro débil, propuesta a
despreciarse.
mediados de la década de 1970 por
Glashow, Salam y Weinberg, quienes
unificaron las fuerzas nucleares débiles y
las fuerzas del electromagnetismo.
Las
fuerzas nucleares débiles existen entre
partículas llamadas hadrones (entre las
que se incluyen mesones y bariones) y
entre partículas denominadas leptones
(entre las que se incluyen electrones,
positrones,
muones
y
neutrinos),
Si bien es cierto las fuerzas nucleares
son muchísimo más intensas que las
electro
débiles
acción
a
y
gravitacionales,
distancias
muy
su
cercanas
permiten a las restantes ser percibidas.
A
escala
astronómica
sin
embargo,
prevalecen las fuerzas gravitacionales,
debido a la disposición eléctricamente
neutra de los cuerpos celestes.
responsables de la radioactividad beta y
A escala macroscópica en nuestra vida
de la inestabilidad en los núcleos y
cotidiana, la mayor parte de las fuerzas
partículas
fuerzas
que observamos entre los cuerpos, son de
son
el
naturaleza gravitacional o de naturaleza
resultado de la unificación de las fuerzas
electro débil (electromagnéticas casi en
magnéticas y eléctricas, consideradas
su totalidad).
elementales.
electromagnéticas
a
su
Las
vez
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Entre ellas se pueden citar las fuerzas de
G es una constante universal cuyo valor
contacto, y de rozamiento, así como las
es 6,67x10-11 Nm2/Kg2, determinada con
fuerzas ejercidas por cuerdas y resortes,
gran exactitud por Cavendish en 1798.
que son manifestaciones muy complejas
Note que si queremos calcular la magnitud
de interacciones electromagnéticas.
de la fuerza con que el cuerpo de masa m1
A
estas
fuerzas
se
les
denomina
atrae al cuerpo de masa m2 , obtenemos la
mismo valor que si calculamos la fuerza
secundarias.
con que m2 atrae a m1, lo que resulta
En este curso, trabajaremos con fuerzas
coherente con la tercera ley de Newton.
de este último tipo por lo que nos
detendremos para analizar en detalle
fuerzas tales como roce, tensión, normal
F12
F21
m1
m2
y elástica.
r
A continuación analizaremos una fuerza
fundamental que ocuparemos en este
curso,
como
es
analizaremos
el
algunas
peso.
Fig 4.26
Fuerzas de acción y reacción entre
partículas
Luego
fuerzas
En la figura 4.27 se puede apreciar la
secundarias.
posición
relativa
de
las
partículas
respecto a un sistema de referencia.
Ley de Atracción Gravitacional. Peso.
Enunciada por Newton, establece que
entre dos cuerpos de masas m1 y m2 que
y
m1
r1
están separados una distancia r, existe
r2-r1
m2
r2
x
una fuerza de atracción gravitacional
cuya magnitud está determinada por la
expresión:
F
G m1 m2
r2
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Fig 4.27
Diagrama de posición de las partículas
respecto de un sistema de referencia
Se tiene un sistema de referencia desde
&
&
son los vectores de
el cual r1 y r2
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las partículas 1 y 2.
& &
Evidentemente r2 r1 da la dirección
El peso es una gran fuerza comparado con
desde la partícula 1 hacia la partícula 2,
los cuerpos cercanos a la tierra entre sí,
de tal modo que se puede definir un
razón por las que estas últimas no son
vector
percibidas.
posición
de
unitario
en
ese
sentido
que
denominaremos r̂ .
las fuerzas gravitatorias generadas por
Por ejemplo, la fuerza de atracción entre
de
dos cuerpos de masa 1Kg separados 10cm
gravitación universal de newton puede
es de 6,67x10-9 Newton, cerca de un
expresarse como:
millón de veces menor que el peso de un
Entonces
vectorialmente
&
F
la
ley
cuerpo de masa 1 gramo puesto en la
G m1 m2
rˆ
r2
superficie de la tierra.
&
Siendo F la fuerza con que m1 atrae a m2,
cuya dirección es hacia m1, como muestra
el signo negativo.
Otra conclusión importante de la ley de
gravitación universal dice relación con la
rápida disminución de la magnitud de la
fuerza con la distancia entre los cuerpos,
Lo verdaderamente relevante de esta
debida a su relación cuadrática inversa.
expresión es que permite calcular la
fuerza con que se atraen dos cuerpos
cualesquiera, y el genio de Newton está
justamente
en
determinar
que
esta
relación que era estudiada para fuerzas
entre cuerpos celestes, tenía un valor
universal.
La fuerza de atracción gravitatoria es la
causa del peso de los cuerpos que nos
rodean y de nosotros mismos, definido
este como la fuerza con que la tierra y
los cuerpos que están en su cercanía se
En efecto, un cuerpo cuya masa es de 1Kg,
en la superficie de la tierra es atraído
con
una
fuerza
(considerando
(peso)
de
9,81N
masa de la tierra =
5,97x1024Kg, y radio medio de la tierra =
6,37x106m).
Si aumentamos al doble la distancia su
peso disminuye a 2,45N; si aumentamos al
triple la distancia, disminuye a 1,09N y
finalmente,
al
cuádruplo
la
distancia
produce solo una fuerza de 0,613N.
atraen.
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Por otra parte, aunque la fuerza de
peso del
cuerpo
atracción de la tierra sobre el cuerpo y la
fuerza de atracción del cuerpo sobre la
tierra son dos vectores opuestos (igual
magnitud
y
dirección
opuesta),
fuerza con que el
cuerpo atrae a
la tierra
en
términos prácticos solo observamos la
primera, en razón de la extraordinaria
diferencia entre sus masas
Finalmente, en razón de la geometría de
la tierra, puede considerarse a esta como
si fuera una esfera (en realidad es un
esferoide achatado en los polos), con su
masa concentrada en su centro (centro
Fig 4.28
Fuerza de interacción entre la tierra
y los cuerpos que están
en su
cercanía.
de masas).
De esta manera, se puede considerar que
y
cualquier cuerpo situado en su superficie
-P j
estará sometido a una fuerza dirigida
hacia el centro (centrípeta)
j
En términos locales, consideraremos que
x
línea tangente a la
superficie de la tierra
un cuerpo cualquiera está sometido a la
acción del peso, fuerza que en el plano XY
z
será representada por el vector
&
P
-P k
P( ˆ
j)
k
Mientras que en el espacio, será el
x
vector:
&
P
ˆ
P( k)
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Fig 4.29
y
plano tangente a la
superficie de la tierra
Representación vectorial del peso en el
plano y en el espacio.
134
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4.3.2 Fuerzas Secundarias.
Son aquellas que se pueden explicar a
partir de las fuerzas fundamentales. Las
P
fuerzas de contacto por ejemplo, son
causadas
por
fuerzas
electromagnética
moléculas,
que
de
naturaleza
entre
operan
átomos
y
nivel
de
al
partículas constituyentes: electrones y
núcleos. Son por tanto, una manifestación
compleja de una fuerza fundamental.
de
lo
experiencia
nuestros
observado
cotidiana
sentidos,
en
a
las
Cuerpo depositado sobre una mesa.
Obviamente el cuerpo está en equilibrio y
puesto que el peso es una fuerza que no
ha dejado de existir, necesariamente la
En términos macroscópicos, es decir al
nivel
Fig 4.30
nuestra
través
de
fuerzas
de
superficie de la mesa en contacto con el
cuerpo debe haber proporcionado una
fuerza opuesta al peso para anularlo. A
esa fuerza se le denomina Normal.
contacto tales como la Normal, el Roce y
N
la Tensión.
Para estudiar estas fuerzas, en este
curso tomaremos dos cuerpos rígidos en
contacto a través de sus superficies
planas. Los cuerpos serán considerados
como partículas, de manera tal que las
fuerzas
serán
en
todo
Fig 4.31
momento
Efecto de la superficie de la mesa
sobre el cuerpo
concurrentes.
Ambas fuerzas están aplicadas sobre
Normal.
puntos distintos. El peso sobre el centro
Consideremos un cuerpo de masa m,
de gravedad del cuerpo y la normal en el
sometido a la fuerza de atracción de la
punto de contacto entre las superficies.
Tierra, puesto sobre la superficie de una
Sin
mesa:
aplicadas sobre el mismo punto cuando el
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embargo,
puede
suponérselas
135
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cuerpo pueda considerarse como una
N
partícula.
La Normal en general, es una fuerza
perpendicular a la superficie de contacto,
y su magnitud equivale a la fuerza
P
necesaria para equilibrar el sistema de
fuerzas en esa dirección.
Fig 4.32
Diagrama de cuerpo libre
En otras palabras, la normal tiene una
magnitud equivalente a la resultante de
las
fuerzas
perpendiculares
a
la
superficie.
Si el sistema está en equilibrio, entonces
& &
debe cumplir con la condición 6F 0 , por
lo que se tiene, suponiendo que están en
el plano XY:
Veamos esto en detalle, puesto que es
Njˆ Pjˆ
frecuente fuente de equivocaciones en
los alumnos iniciados en el tema:
Ejemplo 4.3 Calcular la fuerza normal a
la superficie en los ejemplos siguientes:
a) En la figura anterior si el peso es de
magnitud 20N.
Solución:
&
0
de donde
N–P=0
o sea
N = P = 20N
b) Si además, se ejerce una fuerza hacia
arriba de magnitud 5N
Solución:
Entonces se tiene el siguiente diagrama
de cuerpo libre:
Si realizamos un diagrama de cuerpo libre
N
y suponemos que el cuerpo se comporta
F
como partícula se tiene:
P
Fig 4.33
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Diagrama de cuerpo libre
136
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Entonces:
Njˆ Pjˆ Fjˆ
de donde
N–P+F=0
ángulo T(el ángulo de inclinación del
o sea
N = P – F = 20N – 5N
plano) respecto del eje –Y, debido a la
&
0
De esta manera, la normal tiene dirección
&
&
ĵ , F tiene dirección î y P forma un
geometría del problema.
N = 15N
&
El vector P se ha descompuesto en los
c) Si tenemos un cuerpo en equilibrio
sobre un plano inclinado sin roce como en
la figura siguiente (T = 37º):
Y debido a que el cuerpo se encuentra en
N
F
equilibrio estático, debe cumplirse que
&
6F
T
P
por lo que:
T
desde donde, por igualdad de vectores,
x
se tienen las ecuaciones:
P
PsenT - F = 0
Diagrama de cuerpo libre
N – PcosT = 0
Solución:
por lo que:
El diagrama de cuerpo libre muestra a las
F = Psen T
fuerzas
&
0
PsenT
PcosT
tres
&
0
Njˆ ª«PsenTˆi P cos Tˆ
j º» Fiˆ
¬
¼
N
F
&
0
& & &
N P F
y
Fig 4.34
ejes mencionados, de manera que se
&
j
tiene: P PsenTˆi P cos Tˆ
ubicadas
en
un
plano
cartesiano que por conveniencia se ha
Ÿ
F = 12N
N = Pcos T Ÿ
N = 16N
definido con uno de sus ejes (X) paralelo
al plano inclinado.
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137
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Desde el punto de vista macroscópico,
Fuerza de Roce.
quien más contribuyó al conocimiento de
El roce (o fricción) es una fuerza de
contacto
que
según
los
primeros
científicos provenía del entrelazamiento
mecánico de las irregularidades de las
superficies (asperezas).
esta fuerza fue Leonardo Da Vinci,
el
que descubrió que el roce entre las
superficies de cuerpos en reposo o en
movimiento relativo era independiente del
área de contacto aparente entre ellos y
materiales
proporcional a la magnitud de la fuerza
aparentemente más lisos, se observan
Normal proporcionada por la superficie
irregulares al microscopio, mostrando
de apoyo.
En
efecto
hasta
los
crestas y valles que se concatenan con los
de las superficies de otros cuerpos en
contacto impidiendo o dificultando en
mayor
o menor medida el movimiento
relativo entre ellos.
embargo, aun cuando no está totalmente
comprendido, lo muestra proviniendo de
tres fuentes principales: la mencionada
de
las
encontrar igual valor de la fuerza de roce
entre una mesa y un cuerpo de madera
(con
caras
de
áreas
distintas),
no
importando cual cara de este se pusiera
El conocimiento actual del fenómeno sin
trabazón
Este hecho sorprendente lo mostró al
irregularidades,
la
atracción entre los puntos de contacto
(que producen enlaces o uniones de
en contacto con la mesa.
También encontró que la fuerza necesaria
para mover un cuerpo en reposo relativo
sobre
otro
cuerpo
(fuerza
de
roce
estática) es mayor que la fuerza de roce
entre dos cuerpos en contacto que
presentan movimiento relativo (cinética).
carácter electromagnético) debida a las
fuerzas entre las moléculas de los dos
Esto es mejor entendido hoy, pues se
cuerpos
particularmente
sabe
metales)
microscópico
importante
(fenómeno
para
los
y
el
que
desde
la
el
punto
superficie
de
real
vista
de
desprendimiento de los materiales más
contacto es extraordinariamente inferior
débiles por parte de los más fuertes
a la superficie aparente de contacto.
(efecto de “arado”).
Se explica así que la superficie real de
contacto sea prácticamente igual, no
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138
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importa cual cara del cuerpo se deposite
N
sobre la mesa.
A
En cambio, al aumentar la Normal se
B
aumenta la superficie real de contacto al
P
estar las superficies de los cuerpos mas
Fig 4.35
presionadas entre sí.
Fuerzas verticales aplicadas sobre A
Adicionalmente, se obtiene mayor fuerza
Ambos cuerpos están sometidos a la
de roce con superficies más ásperas pues
acción
la superficie real de contacto es mayor al
gravitatoria vertical y no existiendo
trabarse
fuerzas en dirección horizontal, no se
más
estrechamente
las
irregularidades.
de
la
fuerza
de
atracción
espera que A deslice sobre B.
Al
estar
en
equilibrio
estático,
las
Fuerza de roce Estático
fuerzas aplicadas sobre el cuerpo A
& &
cumplen con la condición 6F 0 , por lo
Desde un punto de vista cuantitativo,
que entonces su normal tiene magnitud P
analizaremos acá la fuerza de roce
y
existente
horizontal, no existe fuerza de roce.
entre
dos
cuerpos
cuyas
como
no
existe
ninguna
fuerza
superficies están en reposo relativo
entre sí. El caso de las fuerzas de roce
cuando
exista
movimiento,
lo
analizaremos en el capítulo de dinámica.
Empujemos entonces levemente hacia la
derecha el cuerpo mediante una fuerza
&
F , sin moverlo. Como continúa en
equilibrio estático, entonces se mantiene
Consideremos un cuerpo A cuyo peso es
&
P dispuesto sobre otro B como se indica
la condición, lo que exige la existencia de
en la figura. Las superficies son rugosas
equilibre: la fuerza de roce. (se dibujará
(ásperas), y supondremos las fuerzas
fuera del cuerpo por razones didácticas,
aplicadas sobre el centro de gravedad de
aunque ud. debe recordar que está
A.
aplicada entre las superficies).
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una fuerza hacia la izquierda que la
139
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N
N
f
B
Fig 4.36
fs
F
Fc
B
P
Fig 4.37
Fuerzas aplicadas sobre cuerpo A.
&
Entonces claramente la magnitud de f es
&
igual que la magnitud de F .
La fuerza de roce estático equivale en
magnitud a la fuerza crítica.
Es decir, cuando un cuerpo está apoyado
en condición de equilibrio estático, la
fuerza
Si continuamos aumentando la magnitud
&
de F y aún no se mueve el cuerpo A,
P
de
roce
entre
ambos
tiene
magnitudes que van desde 0 hasta fS,
alcanzándose este último valor, cuando los
entonces necesariamente debe aumentar
cuerpos están a punto de moverse uno
proporcionalmente la magnitud de la
sobre el otro.
fuerza
de
situación
roce.
no
se
Sin
embargo
puede
esta
mantener
indefinidamente, observándose en cambio
&
que para algún valor de F (que
&
denominaremos fuerza crítica Fc ) el
cuerpo
se
encuentra
“a
punto
de
moverse”. De hecho, si se incrementa
&
infinitesimalmente la magnitud de F , el
Como lo preveía Leonardo, si repetimos el
experimento apoyando cualquier cara del
cuerpo A sobre B, se obtiene el mismo
resultado:
fS
no depende de la
superficie de contacto (la magnitud de la
normal no ha variado).
Pongamos ahora otro cuerpo sobre A.
cuerpo se mueve.
N2
&
Cuando se ejerza sobre A la fuerza Fc ,
entonces la fuerza de roce alcanza el
fs2
mayor valor posible en equilibrio estático,
razón por la que le denomina fuerza de
&
roce estático ( fs ).
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Fc2
B
P2
Fig 4.38
Al aumentar el peso, aumentan
proporcionalmente la fuerza crítica y
la normal.
140
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El peso del nuevo cuerpo provoca que el
distinta (o el cuerpo B se cambia por otro
peso total sobre B aumente en magnitud
de rugosidad distinta), se encuentra lo
hasta P2 lo que a su vez se traduce en un
mismo que en el caso anterior, solo que el
aumento proporcional en la magnitud de la
normal hasta N2.
Naturalmente esto
provoca que la fuerza que “casi mueve” al
valor de PS será distinto. En consecuencia
PS depende de la rugosidad de ambas
superficies en contacto.
sistema de cuerpos sobre C también
aumente su magnitud hasta FC2 lo que a
su vez exige que la fuerza de roce
estático aumente su magnitud hasta fS2.
En la actualidad se tiene conocimiento de
los valores de esta constante para un
gran número de superficies, algunos de
los cuales se muestran en la siguiente
Sin embargo, las superficies en contacto
tabla.
no han cambiado.
PS
Superficies en contacto
Si uno mide las magnitudes de las fuerzas
involucradas, encuentra que el cuociente
entre la fuerza de roce estático y la
normal en ambos casos, se mantiene
secas
Acero-acero
0,76
Si se repite el experimento muchas
0,01 – 0,23
Aluminio-aluminio
1,05
0,30
Vidrio-vidrio
1,94
0,35
Madera-madera
0,58
Teflón-teflón
0,04
Goma-concreto seco
constante.
lubricadas
1,2
Goma-concreto húmedo
0,80
Madera-acero
0,50
Fuente: Wilson. Física con aplicaciones
veces, aumentando o disminuyendo el peso
del cuerpo A, cada vez se encuentra el
mismo valor para el cuociente entre las
Esto permite evaluar la fuerza de roce
estático
fuerzas mencionadas, o sea:
que
se
tendrá
entre
dos
superficies conocidas, si se dispone de la
Ps
fs
N
Normal, pues de la ecuación anterior se
tiene:
siendo PS el coeficiente de roce estático.
fS = PS N
Si volvemos a repetir la experiencia, pero
ahora cambiando el cuerpo A por otro
cuya
superficie
tenga
una
rugosidad
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141
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Fuerza de roce cinético.
A diferencia de lo que observamos cuando
un cuerpo esta en reposo, la existencia de
movimiento relativo entre dos cuerpos
cuyas
superficies
produce
una
están
fuerza
en
de
Fig 4.41
contacto
oposición
En cambio, si se disminuye la fuerza
externa, se produce una fuerza neta
negativa, una aceleración negativa y
una disminución en la magnitud del
vector velocidad.
denominada fuerza de roce cinético (fK)
que es constante, independiente de la
velocidad.
La
fuerza
de
cinética
es
directamente proporcional a la Normal,
La magnitud de fK es igual que la magnitud
tal como la fuerza de roce estático.
fK v N
de la fuerza externa que se necesita para
mantenerlo
roce
moviéndose
con
velocidad
constante. De esta manera, si la fuerza
Que da lugar a la expresión:
externa es mayor o menor que fK, el
fK
cuerpo tendrá fuerza neta positiva o
PK
PK N
negativa respectivamente (amentando o
Donde
disminuyendo la magnitud de la velocidad)
proporcionalidad denominada coeficiente
es
una
constante
de
de roce cinético, que depende de las
superficies en contacto.
Como la fuerza de roce cinético equivale a
Fig 4.39
Fuerza
neta
cero.
Cuerpo
equilibrio. Movimiento inercial
en
la fuerza necesaria para mantener a un
cuerpo en estado inercial, su magnitud es
menor que la fuerza de roce estático, que
equivale a la magnitud de la fuerza
necesaria para sacar a un cuerpo del
reposo relativo con respecto del otro
Fig 4.40
Si aumenta la fuerza externa, se
produce una fuerza neta positiva y una
aceleración positiva, manifestada por
un aumento en la magnitud de la
velocidad.
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cuerpo en contacto.
Esta es una experiencia común a todos
quienes hemos tratado de mover a un
142
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automóvil descompuesto. Cuesta mucho
Tensión
moverlo, pero una vez que lo logramos,
necesitamos mucho menor esfuerzo para
Se entiende por tensión de cuerdas,
alambres, cables o hilos, a la fuerza que
mantenerlo en movimiento.
ejercen sobre cuerpos a los que están
FZA DE ROCE
unidos. La dirección es siempre a lo largo
de la cuerda tirando a los cuerpos a los
fS
fK
que está unida y en el caso de cuerdas
con
FZA APLICADA
REPOSO
masa
despreciable,
es
de
igual
magnitud a lo largo de toda la cuerda.
Cuando se trabaja con cuerdas de masa
MOVIMIENTO
despreciable y poleas ideales sin masa ni
Fig 4.42
La gráfica muestra la fuerza de roce
en función de la fuerza externa
aplicada al cuerpo y el estado de
movimiento.
roce,
se
encuentra
que
la
cuerda
mantiene su tensión aún cuando cambia de
dirección.
La siguiente tabla incluye algunos valores
La
de los coeficientes de roce cinético y
intermoleculares que permiten a la cuerda
estático. Los valores son aproximados y
existir y ser flexible.
tensión
se
debe
a
las
fuerzas
deben usarse solo como referencia.
Ejemplo 4.4
MATERIALES
PS
PK
cuerpo libre de la cuerda, el cuerpo C y el
cielo de la habitación de la que cuelgan,
Madera-madera
0,4
0,2
Hielo-hielo
0,1
0,03
Metal-metal (lubricado)
0,15
0,07
Acero-acero(sin lubricar)
0,7
0,6
Acero-aluminio
0,6
0,5
Caucho-concreto seco
1,0
0,8
Hule-concreto mojado
0,7
0,5
Teflón-teflón en aire
0,04
0,04
Rodamientos de bolas,
< 0,01
< 0,01
0,01
0,01
Articulaciones cuerpo humano
FUENTES: D.
APLICACIONES.
GIANCOLI, FISICA:
J WILSON, FISICA.
Dibuje el diagrama de
PRONCIPIOS
en la siguiente figura:
CON
Fig 4.43
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Figura del ejemplo 4.4.
143
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Solución:
En la figura se observan las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo, sobre la cuerda y
sobre el cielo.
Sobre el cielo existen tres fuerzas: la
&
tensión de la cuerda ( TT ) y las fuerzas de
&
&
las paredes ( R1 y R2 ).
Debido a que están en equilibrio, la
resultante de las fuerzas sobre cada uno
de ellos debe ser igual al vector nulo.
4.3.3 Pesar y masar
Pesar
El Peso es una magnitud fácil de medir
(“pesar”)
con
un
sencillo
dispositivo
consistente en un resorte y una escala
graduada,
Fig 4.44
Diagrama de cuerpo libre para cuerda,
cielo y cuerpo del ejemplo 4.4
denominada
Dinamómetro
(Pesa).
Un resorte es un sistema que tiene la
Aquí se ha supuesto que la cuerda y el
propiedad
de
cielo tienen masas despreciables.
apreciablemente
bajo
deformarse
la
acción
de
fuerzas. Si la magnitud de las fuerzas
Note que sobre el cuerpo existen dos
&
fuerzas que se anulan: el peso ( P ) y la
&
tensión de la cuerda ( Tc ).
aplicadas es la apropiada, el resorte
retornará a su largo natural después de
ser liberado. Mientras esto suceda, se
tendrá que la fuerza aplicada y el
Sobre la cuerda existen dos fuerzas
también: la reacción a la tensión de la
&
cuerda sobre el cuerpo ( T c* ) y la reacción
de la tensión de la cuerda sobre el cielo
&
( T T* ).
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alargamiento
serán
directamente
proporcionales. La reacción a esta fuerza
sigue la denominada Ley de Hooke, que se
verá con detalle mas adelante.
144
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Como el cuerpo quedará en reposo,
X0
F
'X1
entonces la fuerza que hace el resorte
F3
sobre
F2
F1
'X2
debe
tener
igual
'X1 'X2 'X3
F2
cuerpo
magnitud que el peso del cuerpo.
F1
el
'X
Según la tercera Ley, esta fuerza tendrá
una reacción que es una fuerza de igual
'X3
magnitud, dirigida hacia abajo, del cuerpo
F3
sobre el resorte. Es decir, el nuevo largo
Fig 4.45
Gráfico magnitud de la fuerza aplicada
sobre un resorte versus alargamiento
desde el largo natural.
del resorte es una indicación del peso del
F=k'x donde k
Un diagrama de cuerpo libre siempre
Por tanto se tiene que
es una constante de proporcionalidad que
cuerpo colgado en él.
aclara estas discusiones:
depende de la constitución del resorte.
Si colgamos el resorte desde un soporte
fza resorte sobre
cuerpo
fza soporte sobre
resorte
su propio peso le proporcionará un nuevo
largo
natural.
Si
a
continuación
le
1 Kg
colgamos un cuerpo de masa 1Kg se
elongará una determinada cantidad.
fza tierra sobre
cuerpo (peso)
L0
0
'L1
0
1
Fig 4.47
fza cuerpo sobre
resorte
Ambos cuerpos están en equilibrio.
Todas
las
fuerzas
tienen
igual
magnitud.
1 Kg
Si colgamos un cuerpo de 2 Kg de masa, la
elongación será el doble de la anterior.
Fig 4.46
En el papel se marca 0 frente al largo
natural y 1 frente al largo que alcanza
cuando se cuelga un cuerpo de masa
1Kg
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denominado
'L1
0
1
1 Kg
'L2
Técnico
Gravitacional (STG).
0
Sistema
1
En nuestra vida diaria encontramos un
2
sinnúmero de estos aparatos, que no solo
2 Kg
utilizan la ley de hooke sino otras
Fig 4.48
La elongación
fuerza
es
proporcional
a
la
variables
físicas
que
dependen
linealmente del aumento de peso. Algunas
presentan
Se tiene ahora una escala graduada que
escalas
lineales,
otras
circulares, otras digitales, etc.
permite comparar el peso de un cuerpo
cualquiera con el peso de una masa
Es común que se presente una confusión
patrón,
la
con estas unidades. Cuando nos subimos a
elongación resultante y el número en la
una pesa en la farmacia, observamos una
escala.
lectura de 60Kg, erróneamente indicados,
simplemente
observando
puesto
peso (Kf)
que
debería
decir
Kf
como
acabamos de ver. Lo mismo ocurre en la
0
mayoría de las tiendas que nos pesan los
1
artículos
(verduras,
frutas,
clavos,
azúcar, etc) y nos dan indicaciones en
2
Kilogramos, cuando realmente está en
Kilogramos fuerza.
Fig 4.49
La cámara pesa igual que un cuerpo
patrón de masa 2 Kg, pues elonga el
resorte hasta el número 2 de la escala
graduada en Kf.
La confusión en términos cotidianos no es
tan grave si uno observa que la masa en
Kg es numéricamente igual que el peso en
El instrumento permite medir pesos, por
lo que se denomina dinamómetro.
Kf. Desde el punto de vista de la física
sin embargo, la diferencia es notable,
puesto que Kg es una unidad de masa en el
La escala está graduada en una unidad
SI, en cambio Kf es una unidad de fuerza
nueva de fuerza, denominada Kilógramos-
en el STG.
fuerza o Kilógramos-peso [Kf] en el
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Es fácil advertir que este instrumento
tendrá validez solo en el lugar en el que
fue calibrado, puesto que una masa patrón
en la superficie de la Luna por ejemplo,
pesará solo la sexta parte de lo que pesa
en
la
Tierra.
Deberá
FIZQ
FDER
calibrarse
nuevamente allí.
Fig 4.50
Esto no es extraño, puesto que sabemos
que el peso es una fuerza de atracción
gravitacional, que depende de las masas
de ambos objetos.
Balanza analítica. La fuerza con que la
tierra atrae a ambos brazos es igual.
Existe
equilibrio
de
rotación
y
traslación. La barra se mantiene
horizontal.
Cuando se pone un cuerpo en uno de los
platos, se observa que la barra se inclina,
del
debido a que al aumentar el peso, existe
inverso del cuadrado de las distancias
desequilibrio de rotación produciéndose
entre ambos, por lo que en distintos
un torque resultante. Note que no existe
lugares de la Tierra también deberá
desequilibrio de traslación, de modo tal
calibrarse nuevamente, puesto que cada
que la barra solo rota alrededor del eje
punto de la superficie de la tierra no está
ubicado en el punto de unión con la barra
a la misma distancia desde el centro de
vertical.
Adicionalmente,
también
depende
gravedad de la Tierra.
Masar.
FDER
Un caso distinto es el procedimiento
destinado a medir masas (masar), para el
FIZQ
que se utiliza un aparato denominado
balanza analítica compuesto básicamente
de un soporte vertical con dos brazos
horizontales
de
igual
largo
Fig 4.51
El peso del lado izquierdo es mayor
que el peso sobre el lado derecho. El
torque
resultante
produce
la
inclinación.
con
dispositivos para colocar cuerpos.
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El
equilibrio
se
puede
restablecer
4.4
Aplicaciones de los principios de
Newton a sistemas de cuerpos.
poniendo cuerpos con igual masa al lado
derecho. Si ponemos cuerpos de masas
En los siguientes ejemplos, revisaremos
conocidas, la suma de sus masas equivale
las formas de aplicar las leyes de Newton
exactamente a la masa del cuerpo del
en
lado izquierdo.
involucran
interacción
sometidos
a
Note que se necesita que las fuerzas a
ambos
lados
sean
iguales,
la
resolución
la
de
problemas
entre
acción
del
que
cuerpos
campo
gravitacional e interacción entre ellos
mismos.
independientemente de su magnitud. Es
decir, este instrumento permite medir
masas
en
cualquier
lugar.
El
procedimiento se denomina “masar”.
Una fuerza de magnitud
Ejemplo 4.5.
50N es aplicada sobre un cuerpo (A) de
masa 30Kg, el que a su vez se encuentra
en contacto con un cuerpo (B) de masa
1
Kg
20Kg como se indica en la figura. Ambos
se encuentran sobre una superficie lisa
(sin roce).
FIZQ
Fig 4.52
FDER
El equilibrio se restablece cuando las
fuerzas sobre el lado derecho e
izquierdo son iguales. Esto ocurre
cuando las masas son iguales. Aquí, la
masa del balón es de 1 Kg.
a) ¿Cuál es la aceleración del sistema?
b) ¿Cuál es la magnitud de las fuerzas de
interacción entre los cuerpos?.
F
Fig 4.54
Fig 4.53
balanza analítica
27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl
A
B
Figura para el ejemplo 4.5
Solución.
148
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a) Primero haremos un diagrama de
cuerpo libre para ambos bloques.
mA aAx (1)
6FyA
mA aAy (2)
si suponemos que los cuerpos A y B están
NA
F
6FxA
en el plano XY, entonces las ecuaciones
FBA
A
(1) y (2) serán,
PA
NB
mA as
(1)
NA -PA
0
(2)
FAB
B
pues ayS es cero.
Por las mismas razones, se tiene para B:
PB
Fig 4.55
F-FBA
Diagrama de cuerpo libre
bloques del ejemplo 4.3
FAB
para los
mB aS
(3)
0
(4)
NB -PB
Las aceleraciones de los cuerpos A y B
son iguales en magnitud pues ambos
conforman el sistema y se mueven unidos.
&
aA
&
aB
&
aS
Disponemos por tanto, de un sistema de 4
ecuaciones.
Si sumamos las ecuaciones
(1) y (3), tenemos:
F-FBA +FAB =mAaS+mBaS
asˆi
(5)
Como sabemos que la segunda ley tiene la
Pero FBA=FAB pues son las magnitudes de
forma vectorial:
las fuerzas de interacción entre los
6Fx i 6Fy j 6Fzk
m ax i ay j azk
Si la aplicamos al cuerpo A, se tendrá:
6FAx i 6FAy j
De
donde
se
mA aAx i aAy j
tienen
las
ecuaciones
escalares:
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cuerpos A y B, que constituyen un par de
Acción y Reacción.
Por tanto la ecuación resulta,
F=aS(mA+mB)
De donde
aS
F
mA mB
50N
30Kg 20Kg
1
m
s2
149
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b) La fuerza de interacción es posible de
Solución.
obtener de la ecuación (1) o de la
ecuación (3). Tomemos la ecuación (3):
FAB
20Kg ¨§ 1
m·
2 ¸
© s ¹
mB aS
Nuevamente,
la
solución
se
facilita
enormemente si se considera un diagrama
de cuerpo libre para cada cuerpo, como se
20N
observa en la figura.
Por lo que
N1
&
FAB
1
20Niˆ
N3
T11
T23
P1
N2
Note que si toma la ecuación (1) tiene:
P3
2
T12
F-FBA
T22
P2
mA as
Fig 4.57
De donde
FBA
F-mA aS
m
50N- 30Kg §¨ 1 2 ·¸
© s ¹
20N
Pero FBA está definida como negativa, por
lo que
- 20 N ˆi
FBA
F
3
Diagrama de cuerpo libre para ejemplo
4.6.
Sobre cada cuerpo existen 2 fuerzas
verticales,
la
fuerza
de
atracción
gravitacional, que es distinta pues cada
uno tiene masa distinta, y la fuerza con
Como era de esperarse pues son un par de
que la superficie se opone al movimiento
hacia abajo, que es distinta para cada
acción y reacción.
uno.
Ejemplo 4.6. Calcular las tensiones de la
figura,
si
m1=10Kg;
m2=20Kg,
m
m3=30Kg; F=6Kf y g=10 2 .
s
1
2
3
&
Horizontalmente se tiene la acción de F
sobre el cuerpo 3 y la acción de las
cuerdas 1 y 2 sobre los cuerpos 1,2 y 3.
La cuerda 1 afecta a los cuerpos 1 y 2 con
F
una
fuerza
que
hemos
denominado
tensión.
Fig 4.56
Figura para el ejemplo 4.6.
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La cuerda ejerce un esfuerzo hacia la
&
derecha sobre el cuerpo 1 ( T11 ) pero
150
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6Fy2
&
hacia la izquierda sobre el cuerpo 2 ( T12 ),
(4)
m2 ay2
por lo que produce vectores distintos,
aunque de igual magnitud ( T1 ).
De donde:
La cuerda 2 también ejerce fuerzas de
igual magnitud sobre ambos cuerpos ( T2 ),
pero sobre el cuerpo 2 la ejerce hacia la
&
derecha ( T22 ) y sobre el cuerpo 3 hacia la
T2–T1=m2as
(3)
N2–P2=0
(4)
Finalmente para el cuerpo 3, se tiene:
&
izquierda ( T23 ).
6Fx3
m3 ax3
(5)
Analíticamente, de acuerdo a la segunda
6Fy3
m3 ay3
(6)
Ley de Newton:
De donde:
6Fx1
m1 ax1
(1)
6Fy1
m1 ay1
(2)
Por lo que:
F–T2=m3as
(5)
N3–P3=0
(6)
Se cuenta entonces, con un sistema de 6
T1=m1 aS
(1)
ecuaciones, que permite resolver hasta 6
incógnitas.
N1–P1=0
(2)
En este caso, resolveremos el sistema
Debido a que la aceleración es de igual
para calcular las tensiones. Para ello,
magnitud en la horizontal (x) para todos
ocuparemos las ecuaciones (1), (3), y (5).
los cuerpos (aS) y por tanto es la
aceleración del sistema
y cero en la
vertical puesto que no se mueve en la
T1=m1aS
(1)
T2–T1=m2as
(3)
F–T2=m3as
(5)
dirección y.
Para el cuerpo 2 se tiene, aplicándole la
Donde
segunda Ley de Newton:
6Fx2
T1, T2
y
as
son
incógnitas.
Resolveremos primero la aceleración.
m2 ax2
(3)
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151
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Sumando las ecuaciones, se tiene:
De donde:
as
F
m1 m2 m3
60N
10Kg 20Kg 30Kg
1
T
F=(m1+m2+m3)as
m
1 2
s
Fig 4.58
2
Figura para el ejemplo 4.7.
Solución:
Puesto que F=6Kf=6(10N)=60N
Las
figuras
siguientes
Ahora reemplazamos la aceleración en la
diagramas
ecuación (1):
cuerpos 1 y 2 respectivamente.
T1=m1as=(10Kg)(1
m
s2
de
cuerpo
muestran
libre
los
para los
El sistema de referencia para el cuerpo 1
)=10N
se ha escogido de manera tal que el eje x
es paralelo a la superficie del plano y el
En la ecuación (3):
eje y es perpendicular a él.
T2–T1=m2as
y1
T2=m2as+T1=(20Kg)(1
m
s2
)+10N=30N
N1
Es necesario destacar que:
&
T11
&
T22
10Niˆ
ˆ
10N(-i)
30Niˆ
&
T23
ˆ
30N(-i)
P1
y1
nT
T
Determinar la tensión de
x1
P 1cos
P 1 se
Ejemplo 4.7.
x1
T
T
&
T12
Tc1
la cuerda en el sistema de la figura si
P1
entre el plano y los cuerpos no existe
roce.
Considere: m1=30Kg, m2=20Kg, T=30º.
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Fig 4.59
Diagrama de cuerpo libre para cpo. 1
152
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Las fuerza normal es perpendicular al
plano y por tanto tiene dirección ĵ1 ; la
Tc1–m1g senT=m1ax1
(1)
N–m1gcosT=0
(2)
Tensión tiene dirección î2 ; el peso del
cuerpo 1 tiene componentes en ambos
Ya que P1=m1g
ejes y se puede escribir como
&
P1 Pcos
Tˆi1 Psen
Tˆ
j1 puesto que el ángulo
1
1
y2
Tc2
se copia contra el semieje –y.
x2
El ángulo se copia allí debido a que las
P2
direcciones del plano de deslizamiento y
el eje y son perpendiculares, de igual
forma que la dirección del peso y el plano
Fig 4.60
Diagrama de cuerpo libre para cpo. 2
de la base.
Si aplicamos segunda Ley de Newton al
cuerpo 1, se tiene:
6Fx1
m1 ax1
(1)
6Fy1
m1 ay1
(2)
Respecto al cuerpo 2 se tiene:
6Fx2
m2 ax2
(3)
6Fy2
m2 ay2
(4)
Pero como no existen fuerzas en el eje
horizontal y tampoco hay movimiento, solo
De donde:
Tc1–P1senT=m1ax1
podemos escribir la ecuación (4):
(1)
Tc2–P2=m2(-ay2)
N–P1cosT=0
(4)
(2)
Puesto que la dirección de la aceleración
La
aceleración
del
cuerpo
1
en la
perpendicular al plano es nula puesto que
del cuerpo 2 es la del semieje negativo de
las y en su sistema de referencia.
no se mueve en esa dirección.
En función de la masa del cuerpo 2:
Las ecuaciones (1) y (2) se pueden
rescribir para expresarlas en función de
Tc2–m2g=m2(-ay2)
(4)
la masa del cuerpo 1:
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153
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Lo anterior nos ha proporcionado un
La
sistema de 3 ecuaciones, que cuenta con
rápidamente la magnitud de la cuerda:
un número de incógnitas mayor que 3.
m m
T=m2(g-as)= 20Kg §¨ 10 2 -1 2 ·¸
s ¹
© s
Estas se pueden reducir, puesto que
ecuación
(4)
permite
calcular
180N
sabemos que si la cuerda es inextensible
las magnitudes de las tensiones de la
Es decir,
cuerda sobre ambos cuerpos son iguales,
&
Tc1
180Niˆ1 ;
&
Tc2
180Njˆ2
es decir:
Tc1=Tc2=T
Ejemplo 4.8. Determine la magnitud de
y las aceleraciones de los cuerpos son de
la fuerza necesaria parra arrastrar el
igual magnitud: ax1=ax2=as.
cuerpo de la figura hacia la derecha con
Por tanto:
T=37º.
velocidad constante, si m=20Kg; Pk=0,2 y
T–m1g senT=m1as
(1)
N–m1g cosT=0
(2)
T–m2g=m2(-as)
(4)
F
T
Haciendo (1)–(2), se tiene:
Fig 4.61
Figura para el ejemplo 4.8.
m2g–m1g senT=(m1+m2)as
Solución:
De donde:
as
as
g(m2 -m1 senT)
m1 m2
§ m·
¨ 10 2 ¸ ¬ª20Kg 30 Kg 0,5 ¼º
© s ¹
30Kg 20Kg
Por lo tanto:
&
a1
1
mˆ &
i1 ; a2
s2
1
En la figura siguiente se encuentra un
diagrama de cuerpo libre.
N
m
1 2
s
m ˆ
j2
s2
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T
fk
F
P
Fig 4.62
Diagrama de cuerpo libre para ejemplo
4.8.
154
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Si está en movimiento, entonces la fuerza
de roce es cinética, de manera que:
6Fx
max
(1)
6Fy
may
(2)
F
0,2 20Kg §¨ 10
m·
¸
s2 ¹
0,8 0,2 0,6 ©
Ejemplo 4.9.
44, 4N
Sobre el cuerpo A de la
figura actúa una fuerza de magnitud F e
De donde:
inclinación 37º respecto de la horizontal.
FcosT–fk=0
(1)
Si la cuerda es inextensible y de masa
FsenT+N–P=0
(2)
Pk=0,05:
Puesto que la velocidad es constante en x,
a) ¿Cuál es la magnitud máxima que puede
&
y no hay movimiento en y.
tener F para que el sistema siga en
La fuerza de roce cinético se puede
calcular como
despreciable, mA=6Kg; mB= 8Kg; Ps=0,1 y
fk=PkN y el peso como
P=mg, por lo que:
reposo?
b) Determine la aceleración del sistema si
la magnitud de la fuerza fuera de
Fcos37º–PkN=0
(1)
Fsen37º+N–mg=0
(2)
100N.
c) Para el caso de la pregunta b),
determine la magnitud de la tensión de
De (2);
la cuerda.
N=mg–Fsen37º
Reemplazándola en (1):
T
A
F
B
Fcos37º-Pk(mg–Fsen37º)=0
Fig 4.63
Figura para el ejemplo 4.9.
De donde:
F
Pk mg
cos37º Pk sen37º Solución:
La figura muestra un diagrama de cuerpo
libre para cada cuerpo.
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yA
Fcos37º-T-PSBNB=0
(3)
Fsen37º+NB–mBg=0
(4)
NA
fSA
A
TcA
xA
Pues las magnitudes de las tensiones son
PA
iguales, las aceleraciones son nulas pues
las velocidades en x e y son nulas, los
pesos y las fuerzas de roce estático se
yB
pueden
NB
TcB
T
fSB
xB
calcular
según
lo
discutido
anteriormente.
B
En las ecuaciones se ha considerado la
PB
fuerza de roce estática, pues cuando el
cuerpo está a punto de moverse, se tiene
Fig 4.64
Diagrama de cuerpo libre para ejemplo
4.9.
la fuerza máxima para conservar el
reposo.
a)
Aplicando segunda Ley de Newton
sobre cuerpo A:
6FxA
6FyA
Se puede calcular el valor de las normales
sobre
ecuaciones
(1)
mA axA
los
cuerpos
2
y
a
4
partir
de
las
respectivamente,
resultando:
(2)
mA ayA
NA=mAg de la ecuación (2)
Según
lo
6FxB
mB axB
(3)
6FyB
mB ayB
(4)
discutido
en
los
NB=mBg -Fsen37º de la ecuación (4)
Reemplazando
ejemplos
estos
valores
en
las
ecuaciones (1) y (2) respectivamente, se
tiene:
anteriores.
T–PSAmAg=0
De la figura 4.64 se tiene:
T–PSANA=0
(1)
NA–mAg=0
(2)
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(5)
Fcos37º-T-PSB(mBg -Fsen37º)=0
(6)
De (5):
156
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T
0,1 6Kg ¨§ 10
©
m·
¸
s2 ¹
Reemplazando en las ecuaciones (7) y (9),
6N
se tiene:
Mientras que de la ecuación (6) se tiene:
F
T PS mB g
cos37º PS sen 37º
F
(11)
Fcos37º-T-PkB(mBg -Fsen37º)=mBaS (12)
Reemplazando los valores, finalmente:
m
6N 0,1 8Kg §¨ 10 2 ·¸
© s ¹
0,8 0,1 0, 6 T–PkAmAg= mAaS
14N
0,86
16,3N
Sumando, y reemplazando los valores, se
tiene:
aS=5,43
m
s2
c) reemplazando la aceleración en la
b) Si la magnitud de F fuera de 100N,
ecuación (11), se tiene
T=35,6N.
entonces sería suficiente para mover el
sistema. Entonces la fuerza de roce sería
cinética, y el sistema de ecuaciones
4.5
Cantidad de Movimiento e
Impulso.
Como
hemos
quedaría:
T–PkANA= mAaS
(7)
NA–mAg=0
(8)
matemática
dicho,
de
la
la
formulación
segunda
presentada por Euler.
Ley
fue
Newton en su
Fcos37º-T- PkBNB=mBaS (9)
segunda ley de newton no se refiere a la
Fsen37º+NB–mBg=0
del movimiento (lo que hoy denominamos
(10)
masa y a la aceleración sino a la variación
cantidad de movimiento o momentum
Las
ecuaciones
(8)
y
(10)
permiten
lineal):
calcular las normales:
“la rapidez de cambio del movimiento de
NA=mAg de la ecuación (8)
NB=mBg-Fsen37º de la ecuación (10)
un cuerpo es proporcional a la fuerza neta
aplicada sobre él, y tiene lugar en la
misma dirección”.
Note que la situación en y no ha
cambiado.
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157
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Definida la cantidad de movimiento como
general que la consideración de masa
el vector que resulta de multiplicar la
&
&
masa por la velocidad ( p mv ), entonces
variable,
podemos escribir:
relatividad, en donde la relación entre la
&
6F
puesto
perfectamente
que
con
la
se
sintoniza
teoría
de
la
fuerza y la aceleración depende de la
&
dp
dt
velocidad. En efecto, en la medida en que
la velocidad se acerca a la de la luz, se
En términos discretos:
&
6F
tiene que la masa va aumentando.
&
'p
't
En
este curso, consideraremos que la
masa es constante, pues los fenómenos
O en otras palabras: fuerza es todo
que estudiamos están muy lejos de las
aquello que es capaz de cambiar la
dimensiones o velocidades relativistas.
cantidad de movimiento de un cuerpo.
Note
que
esta
expresión
La ecuación de la variación de momentum
puede
&
6F dt
escribirse como:
&
6F
&
d(mv)
dt
&
6F
Es decir:
&
dv
m
dt
&
ma
derivable
de
&
6F't
&
ma
y
lo
tenemos
contrario
una
&
dp
En términos discretos:
Expresión que es válida solo si la masa es
constante,
lineal se puede escribir como:
sería
expresión
&
'p
&
Donde 6F representa la fuerza neta
media aplicada sobre el cuerpo en el
intervalo de tiempo 't.
distinta, como sucede con sistemas de
masa variable, de los cuales los cohetes
que van perdiendo masa al quemar el
combustible
son
los
ejemplos
más
emblemáticos.
Es importante reconocer el genio de
Esta ecuación explicita que el cambio en
la cantidad de movimiento depende del
tiempo en que estuvo aplicada la fuerza.
A la cantidad de la izquierda se le
&
denomina Impulso I y es un vector en
la misma dirección que la fuerza neta.
Newton en esta formulación mucho más
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158
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&
6Fdt
&
I
complejos en los que participan varios
cuerpos, con gran sencillez.
En términos discretos:
Las
unidades
En el caso de colisiones, las fuerzas de
&
6F't
&
I
de
la
interacción
cantidad
de
movimiento e impulso son las mismas como
m
es natural y son ª«Kg º» o >Ns @ .
¬ s¼
están
presentes
durante
intervalos de tiempo extremadamente
pequeños, a lo que se debe sumar la
dificultad de que no son constantes.
F2
F1
F3
El impulso puede ser representado como
v
v
el área bajo la curva en un gráfico fuerza
v
versus tiempo.
F
Fig 4.66
F
t1
t0
Fig 4.65
t
Una pelota golpea una pared. La
velocidad de la pelota disminuye en
magnitud pues la fuerza de la pared
tiene dirección opuesta al movimiento.
La magnitud de la fuerza aumenta en
la medida que la deformación de la
pelota también lo hace.
Aquí se representa la fuerza constante
recibida por un cuerpo.
Entre t0 y
t1 el área bajo la curva es F(t1–t0), es
decir, el impulso recibido durante ese
lapso.
F6
v
F5
v
F4
v
Se puede rescribir la segunda ley de
Newton en función de la cantidad de
movimiento y el impulso, quedando en
términos discretos como:
&
I
La
cantidad
de
&
'p
movimiento
permite
estudiar
fenómenos
27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl
Finalmente la pelota se detiene,
invierte el sentido de la dirección de
la velocidad y se devuelve, aumentando
la magnitud hasta separarse. La
fuerza de la pared sobre la pelota
está en igual dirección que el
movimiento
y
su
magnitud
va
disminuyendo.
es
particularmente importante por cuanto
nos
Fig 4.67
Una gráfica de la fuerza versus el tiempo
es una curva como la siguiente:
159
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Por
F
tanto,
complejo
F3 , F4
queremos
fenómeno
de
evaluar
la
el
colisión,
podemos usar la expresión:
F2 , F5
&
Fmedia 't
t
F1 , F6
&
'p
t1
t0
Fig 4.68
si
Gráfica F(t) para interacción entre
cuerpos
El impulso es el área bajo la curva, cuyo
cálculo no es trivial.
Sin embargo, si reemplazamos la fuerza
variable por una fuerza constante de
Fig 4.70
magnitud igual que la fuerza media
Foto ultrarrápida del choque de una
raqueta y una pelota de tenis.
actuando en el mismo intervalo de tiempo,
tenemos un área igual.
4.6
F
Conservación de la cantidad de
movimiento.
Observemos una interacción a la luz de la
Fmedia
tercera
t
t0
Ley
y
de
la
cantidad
de
movimiento.
t1
Para ello consideremos dos esferas que
Fig 4.69
El área bajo
Impulso.
la curva F(t) es el
chocan linealmente luego de lo cual salen
separadas, como se observa en la figura
siguiente.
Que se puede calcular simplemente como
&
I
&
Fmedia 't
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160
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vA
mA
vB
mB
actuando durante el mismo lapso de
tiempo, por tanto:
mA
& &
mB uB -vB mB
& &
-mA uA -vA Es decir la misma cantidad de movimiento
uA
mA
uB
mB
que pierde una bolita es ganada por la
otra, y por tanto si consideramos que
Fig 4.71
Las bolitas de masas mA y mB viajan en
la misma dirección, chocan y salen
separadas con velocidades distintas.
No hay roce con la superficie
ambas bolitas constituyen un sistema, la
cantidad de movimiento del sistema ha
permanecido inalterable.
En este ejemplo,
si el roce entre las
Este resultado, que puede extenderse a
bolitas y la superficie es despreciable, las
sistemas de muchas partículas, incluso
fuerzas que se hacen entre ellas son las
gases u otros sistemas, es una forma del
únicas que participan en la dirección del
denominado Principio de conservación de
movimiento.
la cantidad de movimiento (publicado por
La fuerza que A ejerce sobre B, le
produce un cambio en la cantidad de
movimiento a B, según lo previsto en la
segunda Ley:
&
FAB 't
& &
mB uB -vB La fuerza que B ejerce sobre A está en la
dirección opuesta y le produce un cambio
en la cantidad de movimiento a A:
&
- FBA 't
& &
mA uA -vA Según la Tercera Ley ambas fuerzas son
iguales en magnitud; además estuvieron
27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl
primera vez por el matemático John
Wallis en 1668, antes de la publicación de
los Principia; se cree que Newton se basó
en este principio para la formulación de
su Tercera Ley).
El principio se enuncia así:
“si sobre un sistema no actúan fuerzas
externas, su cantidad de movimiento es
constante”.
Note
que
la
expresión
matemática
anterior se puede reordenar como:
&
&
mA vA mB vB
&
&
mAuA mBuB
161
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Conocida en la mayoría de los textos como
a) La cantidad de movimiento adquirida.
la formulación matemática del principio
de
conservación
de
la
cantidad
de
b) El impulso que adquirió
movimiento lineal, aunque es solo la
c) Si el impulso duró 0,01, determine la
versión restringida a la colisión de dos
magnitud de la fuerza media que actuó
partículas.
sobre la pelota.
En
general,
si
el
sistema
tiene
n
partículas:
&
a) 'p
¦ m v ¦ mu
i n
i n
&
i
i
&
'p
i i
i 1
Solución:
i 1
&
m 'v de modo que:
50g §¨ 3000
©
Esta es una expresión vectorial, por tanto
podemos tener el caso de que se conserve
&
I
b) Como
cm ·
¸
s ¹
&
'p
150000
gcm
s
entonces:
en una dirección y en otra no, como en el
caso de la explosión de una granada que
I=150000
está sujeta al peso en la dirección
vertical pero no tiene fuerza externa
actuando en la dirección horizontal y por
tanto
conservará
la
cantidad
de
c) la fuerza no es constante, pero en la
&
expresión: I F't , F es la fuerza media
que actuó sobre la pelota, por tanto:
movimiento solo en la última dirección.
Retornaremos
colisiones,
a
la
luego
discusión
que
de las
discutamos
el
gcm
s
F
I
't
§ gcm ·
15X10 4 ¨
¸
© s ¹
2
10 s
15X106D
principio de conservación de la energía
Ejemplo 4.11. Un bloque de masa 10Kg
Ejemplo 4.10.
Una pelota de golf cuya
masa es 50g recibe un golpe que le
proporciona una rapidez inicial de 30
m
.
s
desliza a partir del reposo por un plano
inclinado.
Determinar
su
rapidez
3s
después de iniciado su movimiento, si
Pk=0,25 y T=25º.
Determine:
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162
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De (2): N=mgcosT
T
Fig 4.72
En (1), ya que fk=PkN,
PkmgcosTmgsenT=-ma
Figura para el ejemplo 4.11.
Ordenando:
Solución:
Como
mgsenTPkmgcosT=ma
siempre,
confeccionaremos
un
mg(senTPkcosT=ma
diagrama de cuerpo libre.
O, lo que es lo mismo:
6Fx
y
N
fk
&
y como sabemos que I
T
T
6Fx 't
escribir como:
&
'p que se puede
m'v , para la
dirección del movimiento,
P
y
T
mg(senTPkcosT 't m(v3–v0)
x
os
mg c
en
mg s
mg(senTPkcosT
x
de donde, como v0=0:
T
v3=g(senT–PkcosT)'t
P
Fig 4.73
Diagrama
ej.4.11.
de
cuerpo
libre
para
Aplicando segunda Ley de Newton:
6Fx
max
(1)
6Fy
may
(2)
m
sen25º - 0,25 cos25º 3s
s2
v3
10
v3
5,88
m
s
Ejemplo 4.12.
y
Por lo que:
fk–mgsenT=m(-a)
(1)
N–mgcosT=0
(2)
rapidez u=6
m
s
se
divide
en
dos
fragmentos que se separan en direcciones
que
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Un cuerpo de masa 4Kg
forman
ángulos
de
60º
y
30º
respectivamente, con respecto de la
163
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dirección original del movimiento. Si la
masa del primer fragmento es 1Kg. ¿Cuál
v1 cos60º 3v2cos30º
4ux
0
(1)
(2)
v1 sen60º- 3v2 sen30º
será la rapidez de cada fragmento?.
Reemplazando los valores conocidos:
m1 = 1 Kg
M= 4 Kg
24=0,5v1+2,5v2
60º
30º
0=0,87v1–1,5v2
m2 = 3 Kg
Fig 4.74
De donde:
Figura para el ejemplo 4.12.
V2=6,94
m
m
; V1=11,94
s
s
y
Solución:
En
una
explosión,
la
cantidad
de
u
M
x
movimiento debe conservarse, pues es un
evento interno al sistema, por tanto:
y
&
Mu
4uxˆi
v2 cos 30º
&
&
m1 v1 m2 v2
1 v1xˆi v1y ˆ
j 3 v2xˆ
i v2y ˆ
j
v2
y
uxˆi
&
v1
&
v2
v1
v1cos60ºiˆ v1 sen60ºjˆ
ˆ sen30ºjˆ
v2 cos30ºi-v
2
v cos60ºiˆ v sen 60ºjˆ 1
1
ˆ
ˆ
3v2cos30ºi-3v
2 sen30ºj
x
v1 cos 60º
En consecuencia:
4uxˆi
x
30º
v1 sen 60º
&
con: u
&
PSf
-v2 sen 30º
&
PSi
Fig 4.75
Vectores velocidad antes y después de
la explosión del ejemplo 4.12.
De donde, por igualdad de vectores se
tiene las ecuaciones:
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164
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4.7
veremos,
Trabajo Mecánico.
Se define como Trabajo mecánico (W) a
algunos
posteriores
nos
de
los
ejemplos
permitirán
estudiar
algunos de los complejos problemas de la
la cantidad:
cinemática y de la dinámica, con gran
*
&
F
³ x dr
r
W
simplicidad y belleza.
r0
&
Donde F es la fuerza aplicada sobre el
&
cuerpo y dr es el desplazamiento.
Si existen varias fuerzas aplicadas sobre
La figura siguiente nos muestra a nuestro
cuerpo afectado por una fuerza cuya
dirección con respecto a la dirección del
movimiento es T.
el cuerpo, entonces el trabajo neto será
Recuerde que en este curso los cuerpos
simplemente el trabajo realizado por la
son considerados como partículas, de
fuerza neta
modo tal que no se deforman ni rotan.
Esta definición constituye uno de los
F
T
pilares fundamentales de la física, como
m
veremos a continuación.
x
F cos T
Consideremos un cuerpo que se mueve en
el eje x, por simplicidad.
Si ninguna
Fig 4.76
Cuerpo sometido a una fuerza no
paralela a la dirección del movimiento
fuerza actúa sobre el, entonces se
moverá
con
velocidad
constante
de
acuerdo a lo señalado por Newton.
Entonces, si consideramos que el cuerpo
sufre
Sin embargo, si la fuerza neta sobre el no
dx ,
es nula, entonces tendrá una aceleración,
es:
un
desplazamiento
el trabajo realizado por la fuerza
y las relaciones entre estas variables
fueron estudiadas en el capítulo de
infinitesimal
³ F cos Tdx
x
W
x0
dinámica con suficiente rigor.
De acuerdo a la definición de producto
El trabajo permite otro punto de vista, al
escalar entre vectores.
permitir estudiar la relación entre las
variables dinámicas y cinemáticas. Como
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F cos T
Gráficamente, representa el área bajo la
curva en el plano F vs x, como se ve en la
FX
figura.
Area = W
F cos T
x
Fig 4.78
FX(x)
Area = W
x
El área bajo la curva en el plano F vs
x es fácil de calcular si la fuerza es
constante
x
x0
Fig 4.77
x
x0
El área bajo la curva en el plano F vs
x representa el trabajo.
Si el ángulo entre la fuerza y el
desplazamiento está en el intervalo entre
0º y menos que 90º, entonces el valor de
Si la fuerza es constante, entonces FcosT
es constante, y entonces se tiene que:
³ F cos Tdx
x
W
x0
FcosT ³ dx
x
cos T es positivo y el trabajo también, por
lo que se denomina trabajo motor.
FcosTx/xx0
Si el ángulo es de 90º, entonces el coseno
x0
es nulo y por tanto la fuerza no realiza
trabajo.
De donde:
W
FcosT'x
F
F
'x
Es decir, si la fuerza es constante, el
F
'x
trabajo es simplemente el producto entre
la
componente
de
la
fuerza
en
la
dirección del movimiento y la magnitud
del desplazamiento.
Fig 4.79
No
trabajan,
pues
fuerza
desplazamiento son perpendiculares
y
Gráficamente el área bajo la curva en el
Si el ángulo es mayor que 90º y menor o
plano F vs X , que representa el trabajo,
igual que 180º, entonces el coseno es
es simple de calcular, como se observa en
negativo y el trabajo es resistente.
la figura.
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Un cuerpo pesa 40Kf y
Ejemplo 4.13.
'x
Fig 4.80
F
'x
F
F
es arrastrado 20m subiendo en un plano
inclinado 37º respecto de la horizontal,
por una fuerza que forma un ángulo de
Si
trabajan,
pues
fuerza
y
desplazamiento no son perpendiculares.
14º respecto al plano inclinado y cuya
magnitud es de 200N.
No existe roce.
Calcule:
Si el ángulo es de 0º, se tiene el máximo
trabajo motor; mientras que se tendrá
máximo trabajo resistente si el ángulo es
a) El Trabajo realizado por la fuerza.
b) El Trabajo realizado por el peso
de 180º.
'x
c) El Trabajo neto hecho sobre el cuerpo
F
en
F
inclinado.
la
dirección
paralela
al
plano
.
d) El Trabajo neto hecho sobre el cuerpo
Fig 4.81
Máximo trabajo motor
Respecto de las unidades:
en la dirección perpendicular al plano
inclinado.
y
F
En el Sistema Internacional de unidades
N
las unidades de Trabajo mecánico son:
[W]=[Nm]=[Joule]=[J]
14º
37º
P
También: [W]=[Dcm]=[Erg]
En el Sistema Técnico Gravitatorio:
x
y
F
[W]=[Kfm]=[Kilográmetros]=[Kgm]
N
14º
Sus equivalencias son:
1J=107 Erg; 1Kgm=9,8J
P
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37º
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y
14º
F sen
º
e n 37
Ejemplo
y
os
mg c
mg s
x
F
37º
14
F cos
registro
de
la
componente de la fuerza neta realizada
x
14º
El
4.14.
sobre un cuerpo en la dirección del
º
desplazamiento
P
en
un
experimento,
permitió confeccionar el gráfico de la
Fig 4.82
Figura
para
el
ejemplo
4.13,
incluyendo diagrama de cuerpo libre y
descomposición de fuerzas.
figura. A partir de esta información,
determine el trabajo efectuado sobre el
cuerpo durante los primeros 30m.
Solución:
Fx (N)
&
a) El trabajo realizado por F es:
50
30
WF=Fcos14ºx=(200N)(0,97)(20m)
x(m)
0
WF=3880J
0
b) El Trabajo realizado por el peso es:
Fig 4.83
20
30
40
Figura para el ejemplo 4.14.
WP=Pcos233ºx=(200N)(-0,6)(20m)
Solución:
WP=4800J.
El trabajo es el área bajo la curva, por
c) El trabajo neto realizado en la
dirección
y
es
cero
pues
tanto:
el
desplazamiento es cero en esa dirección.
d) El trabajo neto realizado en la
W=(30N)(20m)+(30N)(10m)+½(20N)(10m)
W=1000J
dirección x es el trabajo realizado por la
resultante
de
las
fuerzas
en
dirección:
esa
Ejemplo 4.15.
Un cuerpo que se mueve
sobre una superficie horizontal sin roce
WRx=FR x=(Fcos 14º-mgsen37º)x
WRx=-920J. es un trabajo resistente
es sometido a una fuerza neta constante
de magnitud F paralela a ella. Calcule el
trabajo realizado sobre el cuerpo.
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De donde:
F
v0
a
a
m
(3)
Reemplazando en (2) se tiene:
r=xi
Fig 4.84
v2 -v02
2'x
Cuerpo sometido a la acción de una
fuerza
constante
paralela
a
la
dirección del desplazamiento.
F
§ v 2 - v0 2
m ¨
¨ 2 'x
©
·
¸
¸
¹
(5)
y reemplazando (5) en (1):
Solución:
W
El cuerpo está sometido a la acción de la
fuerza
constante,
por
tanto
debe
Que se puede expresar como:
moverse con aceleración constante.
El trabajo realizado por la fuerza es:
W=Fcos0º'x
W
(1)
Donde 'x es la magnitud del vector
desplazamiento
ocurrido
§ v2 -v02 ·
m ¨
¸ 'x
© 2'x ¹
durante
la
1
1
mv2 - mv02
2
2
(6)
Es decir, el cuerpo venía moviéndose con
una
cantidad
equivalente
a
½mv02
constante. Al actuar la fuerza sobre él,
esta cantidad aumentó hasta el valor ½ m
aplicación de la fuerza.
v2 pues v es mayor que v0 y ambas son
Según la Segunda Ley de Newton, la
magnitud de la fuerza puede expresarse
como:
muy
pequeñas
comparadas
con
la
velocidad de la luz por lo que la masa se
ha mantenido constante.
F=ma
(2)
La expresión (6) nos dice que el cambio es
Donde la aceleración puede calcularse a
equivalente al trabajo realizado por la
partir de la función v(x) para un MUA
fuerza, y es un hallazgo notable.
rectilíneo:
V2=v02+2a 'x
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4.8
Energía Cinética (K).
N
fk
v0
El ejemplo 4.13 mostró que el trabajo
v=0
a
realizado por una fuerza se acumula en el
cuerpo en forma de la cantidad ½mv2.
'r = 'x i
P
Esta cantidad es denominada Energía
m
Cinética (K), y es una de las formas que
Fig 4.85
toma la Energía en la naturaleza.
cuerpo
rugoso
moviéndose
sobre
un
plano
En consecuencia, diremos que el cambio
en la energía cinética de un cuerpo es
igual al trabajo realizado sobre él por la
fuerza neta, expresión conocida con el
Solución:
La fuerza neta aplicada sobre el cuerpo
es:
nombre de teorema del trabajo y la
&
6F
energía.
WFN='K
El trabajo realizado por la fuerza neta
A pesar de que este teorema fue
obtenido
a
partir
de
fk -iˆ
una
fuerza
constante, es válido también para el caso
de que las fuerzas sean funciones del
tiempo o de la posición del cuerpo.
es, por tanto:
WFN
Pk N -1 'x
fk 'x cos180º
-Pk mg'x
ya que N = mg.
Aplicando teorema del trabajo y energía,
Ejemplo
4.16.
Calcular
Pk mg'x
el
desplazamiento total de un cuerpo hasta
Multiplicando por
detenerse, a partir del ingreso a un
sector rugoso en un plano horizontal.
1
2
mv2 - 21 mv02
1
y ya que v=0, y x0=0
m
se tiene:
Pk g'x
Suponga que mk=0,1 y que la rapidez antes
- 21 v02
de entrar a la zona rugosa es constante y
de magnitud 5
m
.
s
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De donde:
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§5 m ·
¨
¸
© s¹
m
2 0,1 §¨ 10 2 ·¸
© s ¹
2
'x
2
v0
2P k g
transferirá parte de su cantidad de
12,5m
movimiento, disminuyendo su velocidad.
Bajo el nuevo concepto desarrollado aquí,
Se ha resuelto una cantidad cinemática
con gran sencillez.
diremos que le realizó trabajo, a costa de
su energía cinética.
Al perder energía cinética el cuerpo
disminuyó
la
posteriores
capacidad
trabajos
de
realizar
sobre
otros
cuerpos. El cuerpo colisionado aumentó su
4.9
Energía.
energía
Básicamente por energía se entiende una
magnitud
que
poseen
los
cinética
aumentando
de
esa
manera su capacidad de realizar trabajo.
cuerpos,
mientras que el trabajo es una forma de
alterar su magnitud. La energía es un
escalar.
Si la energía cinética ganada por el
cuerpo colisionado equivale a la energía
cinética del cuerpo que lo colisiona,
entonces el sistema compuesto por ambos
Realizar trabajo no es la única forma de
cuerpos se dice que es conservativo. Esto
alterar la cantidad de energía que un
es un sistema idealizado, puesto que en la
cuerpo posee, como veremos en otros
interacción participan otras formas de
cursos de nuestra formación académica,
energía,
de igual forma que movimiento no es la
transfieren a otros sistemas.
algunas
de
las
cuales
se
única forma de energía que el cuerpo
posee.
Si el sistema pierde parte relevante de la
energía
Una forma de definir energía es como “la
disponible,
se
dice
que
es
disipativo.
capacidad de realizar trabajo”.
La energía es una forma de energía
Esto se entiende bien si se observa a un
denominada mecánica, como también lo es
cuerpo que se mueve con una velocidad
la
determinada e interacciona con otro que
denominada energía potencial (U).
energía
debida
a
la
posición,
se encuentra en su camino, como vimos en
el ejemplo de las colisiones. Entonces le
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Otras formas de energía son: eléctrica,
velocidad, temperatura y otras), pero no
térmica,
indican “lo que es”.
nuclear,
electromagnética
química,
etc. Todas estas son formas
idénticas de representar una cantidad
que está contenida en los cuerpos y que
se puede cambiar de una forma en otra si
las condiciones son las apropiadas.
potencial del agua es transformada en
un cuerpo cae y se
golpea contra el piso deteniéndose: su
energía mecánica se disipa en forma de
calor y ruido; una “honda” transforma la
energía contenida en la deformación del
elástico en energía cinética; el cuerpo
humano transforma la energía química de
los
alimentos
muscular
en
entre
energía
otras;
térmica
las
Energía Potencial.
Como hemos indicado, un cuerpo tiene
capacidad de realizar trabajo sobre otro,
En una central hidroeléctrica, la energía
energía eléctrica;
4.10
y
plantas
cuando posee energía cinética.
Además
tiene
capacidad
de
realizar
trabajo de acuerdo a su posición o a su
deformación. Un cuerpo dispuesto sobre
una mesa, un resorte comprimido y otros
ejemplos,
son
formas
de
trabajo
acumulado “potencialmente” disponible. Si
se deja caer el cuerpo desde la mesa o se
suelta el resorte, se manifestará la
energía potencial, realizando un trabajo,
como analizaremos a continuación.
transforman la luz del sol en energía
química a través de la fotosíntesis; etc.
Note que no existe una idea clara de lo
4.10.1 Energía potencial gravitatoria.
que es la energía, sino que es descrita a
Consideremos primero el caso del cuerpo
través de sus manifestaciones en los
sobre la mesa.
cuerpos.
Si se mueve hasta el borde, cae con
Incluso estas definiciones operacionales,
aceleración
están basadas en nuestra capacidad de
movimiento se hace en dirección al centro
medir los cambios experimentados en las
de gravedad de la tierra a menos que en
magnitudes básicas de los cuerpos (masa,
su
camino
de
se
gravedad.
encuentre
Este
con
otra
superficie u otra fuerza que se lo impida.
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172
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U=mgy
En la figura 4.70 se observa un cuerpo de
masa m, dispuesto sobre una mesa a una
altura y0 desde el piso que se le permite
caer hasta otra superficie, cuya altura es
medida desde el piso. Al caer, el peso
&
trabaja a lo largo del
j
P
mg - ˆ
ˆ ˆ
j
yj-y
Que es una cantidad relativa al sistema
de referencia utilizado. En rigor, y
debería ser la distancia entre los centros
de gravedad del cuerpo y de la Tierra.
y-y0 ˆj ,
Como esta distancia es difícil de conocer,
que tiene dirección ĵ puesto que y0>y;
conocida y calcular la diferencia de
desplazamiento
&
'y
0
por tanto:
se acostumbra determinar una referencia
energía potencial que el cuerpo tendrá
entre dos puntos, que resulta igual que el
WP
trabajo necesario para trasladarlo.
mg (y-y0 ) cos0º
De donde,
WP
Ejemplo
mgy- mgy0
4.17.
Calcular el trabajo
necesario para levantar a un cuerpo h
metros desde la superficie de la tierra.
Solución:
y0
'y
P
y
Si consideramos a la superficie de la
tierra
como
origen
del
referencia, entonces allí
sistema
de
y0=0.
Se
quiere levantar al cuerpo hasta que la
Fig 4.86
Cuerpo cayendo bajo la acción del peso
El trabajo hecho por el peso le ha
provocado un cambio a la cantidad mgy
que poseía el cuerpo y por tanto esta es
la energía potencial gravitatoria.
posición sea y = h
Se necesita una fuerza de magnitud a lo
menos igual a la magnitud del peso para
levantarlo. Por tanto:
W=mgy–mgy0=mgy=mgh
En otras palabras, la energía potencial de
un cuerpo es:
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173
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Note que si llevamos al cuerpo por un
la desviación de su posición de equilibrio,
camino no vertical, tal como un plano
siguiendo la Ley de Hooke: F=-kx
inclinado
o una escalera, el resultado
El signo se debe a que es una fuerza
será el mismo.
restauradora, es decir, tiende a devolver
al resorte hacia la posición de equilibrio.
F=mgj
F=mgj
y=h
Consideremos un resorte que está sobre
'y = h j
una mesa y sujeto a una pared vertical,
como se observa en la figura siguiente.
y0= 0
Fig 4.87
El trabajo para levantar un cuerpo es
independiente del camino.
(0)
largo natural; x=0
Fm = Fm (- i )
Esto
es
debido
a
que
la
fuerza
'x= x (- i )
gravitatoria es una fuerza conservativa.
Son fuerzas conservativas todas aquellas
Fm1 = Fm1(- i )
(1)
cuyo trabajo no depende del camino. De
otra manera dicho, si el trabajo para un
camino cerrado es cero.
x1
Las fuerzas conservativas no dependen
del
tiempo,
la
velocidad
ni
de
x
(0)
F = k 'x
la
aceleración del cuerpo.
4.10.2 Energía potencial elástica.
Fm
-Fm1
(1)
Fig 4.88
Fuerza de una mano sobre un resorte.
Consideremos ahora el caso de un cuerpo
que se deforma, como un resorte.
Despreciemos el efecto del roce entre el
resorte y la mesa.
Como ya hemos visto, la fuerza ejercida
por un resorte es variable, y depende de
El
resorte
equilibrio
está
(0).
en
su
Con
posición
la
mano
de
lo
comprimiremos ejerciéndole una fuerza
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174
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hacia la izquierda, hasta que alcance la
Es decir, el trabajo realizado por la
posición (1). En la misma figura se
fuerza
muestra una gráfica de la fuerza ejercida
aumentando progresivamente la cantidad
por la mano versus el desplazamiento
½kx2 en exactamente la misma cantidad
obtenido.
que trabajo le hacía. El resorte ha ido
sobre
el
resorte
le
ha
ido
acumulando el trabajo en deformación; en
Se observa una fuerza negativa y un
desplazamiento
negativo.
La
curva
obtenida es una recta de la forma
F=k(x-x0) con x0=0.
constante,
sino
que
La fuerza no es
ha
cambio
de
posición
relativa
de
sus
partículas. Es por tanto una forma de
energía potencial, denominada energía
potencial elástica.
aumentado
progresivamente hasta alcanzar el valor
Por tanto:
Fm1 en el punto (1), cuando llegó a -x1.
El trabajo que hizo la mano es el área
bajo la curva en este gráfico, como ya
hemos visto antes, de manera que:
Ue=½kx2
Como el trabajo hecho por la mano ha
provocado un cambio en esa cantidad, se
tiene que en general,
W=½(-Fm1)(-x1)
Wexterno=½k'x2
Donde 'x es la compresión o elongación
Pero: F1=kx1
del resorte y Wext es el trabajo realizado
Por lo que:
sobre el resorte por cualquier agente
W=½(-kx1)(-x1)=½kx12
externo.
Fm
x1
x
(0)
Ejemplo 4.18.
W
Si se dispone de un
resorte cuya constante elástica es de
(1)
-Fm1
600
N
, cuanto debe comprimirse para
m
almacenar una energía potencial de 50J.
Fig 4.89
El trabajo es el área bajo la curva.
Solución:
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175
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W='U=½k'x2
2 50J N
600
m
2'U
k
'x
comportamiento
de
la
fuerza
restauradora.
0,41m
(0)
FR1 = FR1 (+ i )
(1)
x1 = x1(- i )
Si el resorte hubiera sido estirado en
lugar de comprimido, el resultado es el
(2)
FR2 = FR2(+ i )
mismo, como se puede apreciar en la
figura.
x2 = x2(- i )
(3)
FR3 = 0 x3 = 0
largo natural; x=0
(0)
(4)
FR4 = FR4(- i )
Fm = Fm (+ i )
x 4 = x 4( i )
'x= x2 (+ i )
FR
(1)
FR1
FR2
(2)
(2)
Fm2 = Fm2(+ i )
x1 x2
Fm
(3)
W = (1/2)Fm2 x2
Fm2
F
=
k
'x
(2)
W = (1/2)(k x2)x2
W = (1/2)k x2
-FR4
x4
F
=
-k
x
'x
(4)
2
x
(0)
Fig 4.90
Fig 4.91
x2
Trabajo realizado por la
restauradora de un resorte
fuerza
Mano elongando un resorte.
En (1) se ha soltado el resorte. La fuerza
restauradora tiene dirección hacia la
Observemos ahora el trabajo realizado
por el resorte. Para ello, atemos un
cuerpo a su extremo libre y empujemos
derecha (es positiva) pero se encuentra a
la izquierda de la posición de equilibrio
por tanto su posición es negativa.
con la mano comprimiéndolo hasta -x1.
Una
vez
hecho
grafiquemos
esto,
para
soltémoslo
estudiar
y
Entre (1) y (2) la fuerza restauradora
el
siempre es positiva pero su magnitud va
disminuyendo. Su posición sigue siendo
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menos
El trabajo hecho por la fuerza sobre el
negativa. Por tanto su desplazamiento es
cuerpo es positivo entre (1) y (3), pues el
positivo. Esto ocurre hasta el punto (3),
área resulta ser:
negativa,
pero
cada
vez
es
donde se encuentra el punto de equilibrio.
Allí, la posición es cero y la fuerza
restauradora es nula. A partir de ese
Area=WFR=½(FR3-FR1)(x3–x1)=
=½{[0–[-k(x3-x1)]}(x3-x1)=½[k(-x1)](-x1)
momento, la fuerza restauradora invierte
su dirección, volviéndose negativa pues
trata de que el cuerpo vuelva a su
Pues x3=0, FR3=0 y FR1=-k(x3-x1).
Por tanto:
posición de equilibrio. Al llegar al punto
W1=½kx12
(4) invierte la dirección de su movimiento.
Hasta
ese
punto
estudiaremos
el
fenómeno en esta parte del curso.
El resorte le está realizando trabajo al
cuerpo a costa de perder su energía
el
potencial acumulada en deformación, que
comportamiento de la magnitud de la
ganó cuando el cuerpo lo comprimió.
fuerza restauradora es F=-k'x, conocida
Ambas son iguales como era de esperarse.
Note
que
la
función
que
regula
como Ley de Hooke.
La
figura
muestra
Entre (3) y (4) el trabajo realizado por la
las
áreas
que
representan el trabajo hecho por la
fuerza restauradora.
W1
x4
(3)
Pues x3=0 , FR3=0 y FR4=-k(x4-x3).
x
W2
-FR4
Fig 4.92
=½[-k(x4-x3)](x4-x3)=½[-k(x4)](x4)
FR1
x1
respectiva:
Area=WFR=½(FR4 –FR3)(x4–x3)=
FR
(1)
fuerza restauradora es, midiendo el área
Es decir:
(4)
Trabajo
hecho
por
la
restauradora de un resorte.
W2=-½kx42
fuerza
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El trabajo es negativo (lógico pues la
energía potencial elástica (tal como pasó
fuerza
con la gravitacional):
va
hacia
la
izquierda
y
el
desplazamiento hacia la derecha).
W=½kx02–½kx12
Ahora el resorte está acumulando energía
Donde x1 es la posición final y x0 es la
potencial.
posición inicial en el tramo considerado.
Note que si x1=x4, entonces las áreas son
iguales, indicando que el trabajo neto
realizado por el resorte entre ambos
Ejemplo
Este es un resultado muy importante,
pues muestra que si esperamos que el
resorte se devuelva desde x4 hasta x1 (si
no existen otras fuerzas que disipen
En efecto, entre (4) y (3) el trabajo será
positivo pues fuerza y desplazamiento
trabajo será negativo pues la fuerza
izquierda
y
trabajo
N
sobre un cuerpo de
m
masa 50kg, si el cuerpo se mueve desde
un punto situado 3cm a la izquierda del
punto de equilibrio (largo natural del
resorte) hasta un punto situado a 2cm a
Solución:
W=½kx02–½kx12
serán hacia la izquierda. Entre (3) y (1) el
la
el
la derecha de este último.
energía en el proceso), pasará lo mismo.
hacia
Calcular
realizado por un resorte cuya constante
elástica es k=100
puntos es cero.
estará
4.19
el
W=½(100
N
N
)[(-3)2cm2]-½(100 )(22cm2)
m
m
Pero 1cm2=10-4 m2, por tanto:
desplazamiento hacia la derecha. Sus
magnitudes deben ser equivalentes.
W=½(100
El ciclo completo tendrá entonces un
-½(100
N
)(9x10-4m2)m
N
)(4x10-4m2)= 250x10–4J
m
trabajo total neto cero, mostrando que la
fuerza de restauración es conservativa.
Gráficamente:
En general, se tiene que el trabajo
realizado por el resorte sobre otros
sistemas, viene dado por los cambios en la
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W1 = 450 x 10-4 J
FR (N)
transforman energía en trabajo. A estos
F1
dispositivos
2
que
considerados
x(cm)
en
cajas
denominaremos
W2 = - 200 x 10-4 J
este
muy
curso
negras,
son
les
genéricamente
motores.
-F2
En una planta, tan importante como
-
=
especificar el trabajo que necesitamos de
un motor es la tasa de trabajo que es
Fig 4.93
Gráfico del ejemplo 4.19
capaz de entregarnos en el tiempo. No
solo deseamos trasladar botellas en una
4.11
Potencia Mecánica.
planta de embotellado, sino que deseamos
Hasta ahora hemos calculado el trabajo
que circulen a una determinada velocidad
que hace una fuerza y su acumulación en
para que sea eficiente el proceso de
los cuerpos, pero no hemos prestado
llenado, tapado, etiquetado y embalado.
atención a la rapidez con que ello ocurre.
Una magnitud física que da cuenta de
En situaciones industriales es vital la
esta necesidad es la denominada Potencia
obtención de trabajo mecánico: levantar
mecánica (P), definida como cantidad de
objetos,
trabajo por unidad de tiempo.
cortarlo,
muchas
trasladarlos,
molerlos,
otras,
son
deformarlos,
hacerlos
girar,
actividades
y
que
En términos discretos:
demandan trabajo.
Pm
'W
't
Las primeras actividades de manufactura
obtuvieron el trabajo a partir de la
La potencia instantánea será:
energía muscular de los humanos y luego
Pm
de los animales. Posteriormente fueron
dW
dt
aprovechadas las fuerzas de la naturaleza
con la construcción de molinos de agua y
de viento. Hoy en día se cuenta con
dispositivos
muy
sofisticados
que
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Cuyas unidades serán:
En el SI:
>P@
ªJ º
«¬ s »¼
>Watt@
179
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En honor del escocés James Watt, cuyo
maquinaria
trabajo en la eficiencia de las máquinas
especificaciones técnicas las usan, están
de
en
en retirada bajo la atenta mirada de la
sociedad con el industrial inglés Matthew
Conferencia General de Pesas y Medidas,
Boulton provocó una gran revolución en la
quien
industria.
magnitudes dentro de lo definido en el
vapor
y
su
industrialización
los
de
conmina
ellos
a
cuyas
establecer
sus
Sistema Internacional de Unidades.
A raíz de la idea de Thomas Savery de
estandarización de la potencia en función
Una unidad muy extendida para medir la
de la rapidez de realizar trabajo de un
energía
caballo,
quien
diseñada a partir de la unidad del SI de
determinó que eran capaces de realizar
potencia: se denomina un Kwatt-hora a la
un trabajo de 360 libras fuerza pie por
energía eléctrica consumida durante una
cada segundo, aunque lo aumentó en 50%
hora, por un sistema cuya potencia es de
por razones de estrategia comercial para
1 Kwatt; equivale al trabajo realizado por
la venta de sus máquinas. Esta unidad que
un motor cuya potencia sea de 1Kw, o la
fue
energía consumida por una ampolleta en
fue
el
denominada
propio
HP
equivale entonces a 550
Watt
(Horse
Power),
lbfuerza pie
s
o
eléctrica
consumida
ha
10 horas si su potencia es de 100W.
a 746Watt.
La equivalencia con el Joule es:
Desgraciadamente la unidad HP está tan
1Kwh=(103W)(3600s)=3,6x106J.
enraizada en la cultura industrial que aún
pasará algún tiempo en dejar de usarse en
su argot.
En
Francia
sido
En términos generales, se compra energía
a
las
compañías
distribuidoras
de
electricidad, quienes la miden en Kwhora.
se
desarrolló
una
idea
Esto
es
muy
práctico,
puesto
que
equivalente, definiendo un caballo de
conocemos las potencias de nuestros
vapor (CV) como 746W.
aparatos de calefacción e iluminación, así
como
A pesar de que estas unidades son
todavía usadas en países de habla inglesa
o francesa, y en aquellos que compran
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de
los
artefactos
electrodomésticos, de manera que es muy
sencillo calcular el valor de la factura
mensual por ese concepto.
180
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Se puede relacionar la potencia y la
y
velocidad de una manera muy sencilla y
conveniente, pues:
P
dW
dt
&
&
F x dr
dt
& dr&
Fx
dt
& &
Fxv
FR
'W
't
Pm
FcosT'x
't
FcosT
'x
't
x
30º
30º
En términos discretos, si se mueve
rectilíneamente en x:
FP
N
P
Fig 4.94
Diagrama de cuerpo libre para ejemplo
4.20.
Fx v
Donde Pm es la potencia media, Fx es el
módulo de la fuerza si está hecha en la
misma dirección que la velocidad, de lo
contrario, será la componente de ella en
esa dirección y v es el módulo de la
&
Aquí FP es la reacción a la fuerza que las
ruedas
hacen
hacia
atrás
sobre
el
pavimento. Este reacciona y ejerce una
fuerza sobre el automóvil hacia delante.
&
FR es la suma de todas las fuerzas que se
oponen al movimiento. Como veremos en
velocidad.
otro curso, estas son la fuerza con que el
aire afecta a la carrocería y depende
Ejemplo 4.20.
Determine la potencia
entre otras cosas, de su forma y de la
masa
velocidad con que se mueve (Newton
1000Kg para subir una pendiente inclinada
descubrió que las fuerzas de roce viscoso
en 30º con una rapidez constante de
de
que
36
necesita
Km
.
h
un
automóvil
de
Considere que la fuerza de
resistencia al movimiento producto del
roce de los neumáticos y el pavimento y
del viento con la carrocería es de 800 N.
Solución:
El diagrama de cuerpo libre de la figura
muestra las fuerzas que participan.
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un
fluido
proporcionales
al
son
directamente
cuadrado
de
la
velocidad), y la fuerza de roce entre
pavimento y ruedas, que es una fuerza de
roce estático, pues al roto trasladarse la
velocidad de traslación del punto de
apoyo de las ruedas se compensa con su
velocidad de rotación (este efecto se
visualiza bien cuando observamos las
181
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orugas de un tanque que están en
En HP, la potencia media será:
contacto con el piso).
ª HP º
Pm=8500W=8500 «
=11HP
¬ 746 »¼
El motor proporciona a las ruedas la
capacidad de ejercer fuerzas sobre el
pavimento, mediante un complejo juego de
trasmisiones mecánicas (en las que se
pierde parte importante de su potencia)
Considerando
que
los
automóviles
standard hoy desarrollan potencias de
alrededor de 80HP o más, esto no es una
dificultad para ellos.
de tal manera que se puede calcular la
&
potencia desarrollada por FP para estimar
la que un auto necesita para subir la
cuesta.
Los
principios
de
conservación
son
importantes de la física. Si una magnitud
FP -FR -mgsen30º
0
(1)
Porque la velocidad es constante (a=0)
6Fx
Conservación de la energía.
probablemente las ideas teóricas más
En consecuencia:
6Fx
4.12
física permanece constante en un sistema
a pesar de los cambios que existan en su
interior, la convierte en una magnitud
FP -FR -mgsen30º
0
(2)
fundamental. Por ello los físicos han
destinado parte importante de su vida a
de (1)
buscarlas.
FP=FR+mgsen30º
Hoy se estima como piedras angulares de
FP=800N +(1000Kg)(10
m
)(0,5)
s2
la física los principios de conservación de
la energía y de la cantidad de movimiento.
FP = 850N
Por tanto la potencia será:
Pm=Fv=(850N)(40
Pm= (850N)[36(
Km
)
h
m
)]=8500W
3,6s
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182
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4.12.1 Conservación
mecánica.
de
A
el
pesar
de
energía
En cambio un sistema es disipativo si
actúan en él fuerzas disipativas (como las
de
fuerzas de roce), es decir, fuerzas que
escapa
dependen del camino, produciendo que el
largamente de las denominadas energías
trabajo neto en un camino cerrado sea
mecánicas que hemos estado estudiando,
distinto de cero. En el caso del roce,
es
parte de la energía del sistema se
conservación
posible
que
la
de
la
principio
energía
restringirlo
para
ellas,
enunciándolo como:
perderá en calor migrando a otro sistema.
“en un sistema aislado la energía mecánica
total en un sistema aislado permanece
constante”.
Esto significa que las
4.12.2 Sistemas conservativos.
formas
La energía mecánica se define como la
transformándose unas en otras, pero sin
suma de las energías cinética y potencial
alterar su suma total.
de un cuerpo.
energías
pueden
cambiar
de
EM= K+U
Esto es verdad absoluta si el sistema es
el universo.
Por tanto el principio de conservación de
En general, consideraremos a un sistema
la energía mecánica puede enunciarse
conservativo si las fuerzas que actúan en
como:
él, son conservativas (como el peso y la
fuerza restauradora de los resortes), es
decir, aquellas que no dependen del
camino, produciendo que el trabajo neto
en un camino cerrado es cero.
Adicionalmente,
en
ellas
el
trabajo
provoca solo un cambio en la energía
potencial como hemos visto en el caso de
las fuerzas conservativas peso y elástica.
EM= K+U=constante
O, lo que es lo mismo:
'EM=0
Consideremos un cuerpo que es lanzado
verticalmente hacia arriba con velocidad
de magnitud v0. La única fuerza que actúa
sobre él es el peso por tanto está
moviéndose en un sistema conservativo.
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183
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En ese momento tiene la máxima rapidez
En t1 y t3 U=K, en cualquier otro tiempo
del movimiento (K máxima) pero la mínima
son distintas, pero siempre suman igual.
altura, si consideramos ese punto como
En t0 U es mínima (cero) y K máxima
referencia (U=0).
sobre el nivel de referencia. A partir de
t 4,
En
la
medida
que
sube
su
rapidez
K
sigue
aumentando,
pues
está
moviéndose bajo el nivel de referencia.
disminuye, (disminuye K) pero su posición
respecto del centro de gravedad de la
Note que después de t4, U se hace
tierra aumenta (aumenta U).
negativa.
Se dice entonces que está en
un pozo de energía potencial, lo que se
Cuando su velocidad es nula (K=0) alcanza
su máxima altura (U máximo), invierte su
puede evitar simplemente escogiendo un
nivel de referencia más bajo.
movimiento y empieza a aumentar su
rapidez (K aumenta) pero disminuye su
En t2 K es mínima (cero) mostrando el
altura (U disminuye).
lugar de inversión de la dirección del
movimiento; allí U es máxima pues ya no
En todo momento debe cumplirse que:
sigue subiendo.
U+K=EM=cte.
En la figura se observa una gráfica de la
evolución de ambas formas de energía en
masa 1Kg hacia arriba con una rapidez de
función de la altura.
20
K,U
Se lanza una piedra de
Ejemplo 4.21.
m
.
s
Calcular
energía
cinética
y
potencial al lanzarse, 1 segundo después
de lanzada, cuando llega a la altura
K
máxima y cuando regresa al nivel del
lanzamiento.
t0
t1
Fig 4.95
t2
t3
t4
U
Comportamiento de U y K en
lanzamiento vertical hacia arriba
Solución:
un
Al
lanzarse
tiene
energía
cinética
solamente si consideramos ese punto
como referencia.
27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl
184
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K0=½mv02=½(1Kg)(20
m 2
) =200J
s
Cuando llega a su altura máxima entonces
v2=0 por tanto toda su energía es
Esa es la energía mecánica de la piedra,
que debe conservarse durante todo su
potencial, de modo que allí
EM2=U2=200J.
movimiento
Cuando regresa al nivel de lanzamiento U3
EM=K0+U0=200J
se hace cero y K3 debe ser la única
energía, por tanto:
1 segundo después su rapidez será:
v1=v0–gt=20
EM3=K3=200J.
m
m
m
-(10 )(1s)=10
s
s
s
Lo que es razonable pues como vimos en
Por tanto
cinemática, la rapidez con que llega de
vuelta al nivel de lanzamiento vertical es
m
K1=½mv1 =½(1Kg)(10 )2=50J
s
2
la misma.
No solo para los movimientos sujetos a la
Su altura será:
fuerza
m
m
X1=v0t–½gt =(20 )(1s)–½(10 2 )(1s)2
s
s
2
gravitatoria
siguen
estos
comportamientos, por supuesto.
La
X1=15m
figura
siguiente
muestra
el
comportamiento de las energías potencial
Por tanto:
U1=mgh=(1Kg)(10
elástica y energía cinética de un cuerpo
unido a un resorte en función de la
m
)(15m)=150J
s2
posición.
Entonces:
K,U
EM1=K1+U1=50J+150J=200J
U
K
Como era de esperarse, pues EM0= M1
x
.
-x1
Fig 4.96
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x 2= 0
x3
Comportamiento de U y K en un cuerpo
185
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El resorte es liberado en –x1, lugar donde
k=500
tiene U máximo y K mínimo (cero) y se
mueve hacia la derecha disminuyendo su
U y amentando K. Cuando llega a x2, U se
N
. Si el elástico recorre 10cm
s
antes de soltar la piedra, calcular:
a) La rapidez con que suelta la piedra y
hace cero pues es la referencia (largo
natural) allí la velocidad es máxima así
que K es máxima.
la
fuerza
A partir de ese lugar,
invierte
su
Solución:
dirección
disminuyendo su velocidad (K disminuye)
pero empieza a aumentar su posición
hacia la derecha (U aumenta) hasta que
llega a x3.
b) La altura máxima que alcanza.
a)
El elástico le hará
We=½k'x2.
trabajo:
a la piedra un
La piedra será
lanzada con una velocidad v0.
En ese lugar la velocidad se
Si en el lugar que se suelta la piedra
hace cero nuevamente (K=0) y se invierte
escogemos nuestra referencia, entonces
la dirección del movimiento. Allí se tiene
allí
nuevamente U máximo y empieza el
K0=½mv02.
la
energía
será
solo
cinética:
camino de retorno hacia –x1, lugar que
alcanzará
si
no
existen
fuerzas
Todo el trabajo elástico se transferirá a
la piedra en forma de energía cinética,
disipativas.
por tanto:
Si solo existe la fuerza restauradora del
½ k'x2 =½mv02
resorte, entonces el movimiento será
oscilatorio alrededor de x2.
De donde:
La energía mecánica en todo momento
será igual. El sistema es conservativo.
v0
k 'x 2
m
N·
2
§
¨ 500 ¸ 0,1m s
©
¹
0,5Kg
10
m
s2
b) En la máxima altura K=0, toda la
Ejemplo 4.22. Una piedra es lanzada
energía es potencial:
verticalmente con una honda provista de
un
resorte
de
constante
elástica
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EM=U=mghmax
186
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Y es igual que la cinética inicial, pues la
fuerza paralela al plano, como se muestra
fuerza es conservativa:
en la figur, donde también se muestran
las fuerzas que participan.
mghmax=½mv02
§ 10 m ·
¨
¸
© s¹
m
2 §¨ 10 2 ·¸
© s ¹
Entre el plano y el cuerpo existe roce; el
coeficiente de roce cinético es Pk.
2
hmax
mv02
2gm
v02
2g
5m
y
F
N
Note que es independiente de la masa, y
x
la ecuación es igual que la encontrada en
FR
cinemática.
Tº
Tº
P
4.12.3
Fig 4.97
Sistemas no conservativos.
Un caso más general que el anterior es
aquel
en
conservativas
que
participan
y
no
Cuerpo subiendo un plano sujeto a
fuerzas
conservativas
y
no
conservativas.
fuerzas
conservativas
Si el cuerpo pasa por el punto (0) con una
rapidez v0, que se encuentra a una altura
(disipativas).
y1 respecto de un punto mas abajo que la
A pesar de que la relación general puede
base del plano, entonces tendrá allí
encontrarse
diferencia entre las energías inicial y
energía cinética y potencial. Si la fuerza
&
F es constante y paralela al plano, y con
final en un sistema deben ser igual que la
una magnitud convenientemente grande,
energía perdida a través del trabajo
entonces
hecho por las fuerzas disipativas u otras
uniformemente acelerado con aceleración
formas de pérdida no mecánicas, es
positiva.
deductivamente,
pues
la
el
movimiento
será
conveniente encontrar esta relación a
través de un ejemplo.
Consideremos para ello a un cuerpo cuya
masa es m, que desliza subiendo por un
plano inclinado Tº por medio de una
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v2
a
L
v22 - v12
2L
Reemplazando todo en (1)
v1
T
y2
F-mg
y2 -y1 L
y1
-fk
§ v 2 - v12 ·
m¨ 2
¸
© 2L ¹
y=0
Fig 4.98
Si multiplicamos la expresión por L:
Consideraciones cinemáticas.
Cuando llegue a la altura y2 su rapidez
habrá
aumentado
hasta
v2
y
FL-mg y2 y1 -fk L
§ v 2 -v 2 ·
m¨ 2 1 ¸
© 2 ¹
habrá
Donde:
recorrido L metros.
Si aplicamos segunda ley de Newton al
cuerpo, se tiene:
FL es el trabajo realizado por F,
mg(y2–y1) es el cambio en la energía
6Fx
F-mgsenT-fk
6Fy
N-mgcosT
ma
(1)
(2)
0
de (1), se tiene:
F-mgsenT-fk
ma
potencial,
fkL es el trabajo realizado por la fuerza
de roce y
§ v 2 -v 2 ·
m ¨ 2 1 ¸ es el cambio en la energía
© 2 ¹
cinética.
Pero de la figura 4.82 resulta
senT
y2 -y1 Entonces la expresión (3) se puede
L
WF -'U–Wfk='K
escribir como:
Además, como es un MUAR, se puede
calcular su aceleración con la función v(x):
v22
v12 2aL
O, lo que es lo mismo:
WF='K+'U+Wfk
De donde:
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188
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Pero 'K+'U='EM (es el cambio en la
v1
energía mecánica total):
L=
a
WF='EM+Wfk
Es decir, el trabajo que la fuerza F le
v0 =
0
y0 = 0
realiza al cuerpo se ocupó en parte en
6m
F
y1
T
y
cambiar la energía mecánica del cuerpo y
x
F
N
en parte se perdió a través del trabajo
disipativo de la fuerza de roce, migrando
fR
Tº
en forma de calor a otro sistema.
P
Fig 4.99
Ejemplo 4.23.
Figura para el ejemplo 4.23.
Un bloque de masa 50Kg
es empujado una distancia de 6m, a partir
Solución:
del reposo, subiendo por la superficie de
a) WF=F'x=(50Kf)(6m)=[50(10N)](6m)
un plano inclinado 37º, mediante una
fuerza de magnitud 50Kf paralela a la
superficie del plano inclinado. Si Pk=0,2;
calcule:
a) ¿Cuánto trabajo realiza F?
b) ¿Cuánto ha aumentado la energía
potencial del bloque?
c) ¿Y la energía cinética?
d) El trabajo realizado por la fuerza de
roce.
WF=3000 J
b) 'K=K1–K0=K1
pues v0=0
'K=½mv12
Necesitamos calcular v1. Sabemos que es
un MUAR, por lo tanto:
v12=v02+2aL=2aL
(1)
Donde a es desconocido, y lo calculamos
aplicando segunda Ley de Newton,
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6Fx
F-fk -mgsenT
6Fx
F-Pk N-mgsenT
ma
ma
(2)
(3)
189
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6Fy
N-mgcosT
0
(4)
de (4): N=mgcosT
WF=('U+'K)+Wfk
Por tanto:
Wfk=WF–('U+'K)=3000J–(1800J+720J)
Reemplazando en (1),
F–mkmgcosT-mgsenT=ma
Wfk=480 J
De donde:
Note
a
a
a
a
F - Pk mgcos T - mgsenT
m
F
g Pk cos T senT m
500N § m ·
- ¨ 10 ¸ ª 0,2 0,8 0, 6º¼
50Kg © s2 ¹ ¬
2,4
que
WF=('U+'K)+Wfk
considerado
resultado
en
el
negativo,
debe
expresión
trabajo
por
se
ha
tanto
el
interpretarse
como
negativo.
Lo mismo se obtendría si lo calculamos
como:
Wfk=fkLcos180º=PkNL(-1)
m
s2
en (1) v12=(2)(6m)(2,4
m
m2
)=28,8
s2
s2
Wfk=-mkmgcosTL
Wfk=-(0,2)(50Kg)(10
Por tanto:
'K=½(50Kg)(28,8
la
m2
)=720J
s2
m
)(0,8)(6m)
s2
Wfk=-480J
c) Si consideramos la base del plano como
referencia, entonces:
'U=U1-U0=U1=mgh1=mg(LsenT)
m
'U= (50Kg)(10 2 )(6m)(0,6)=1800J
s
d)
Sabemos que en caso de fuerzas
disipativas:
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4.13
Choques unidimensionales y los
teoremas de la conservación.
El teorema de la conservación de la
cantidad de movimiento
es otro de los
pilares fundamentales de la física.
De acuerdo a lo que sabemos, la segunda
ley de Newton puede escribirse como:
190
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&
'p
&
I
conservan su energía). Ambos choques son
&
Donde I es el impulso que recibe un
&
cuerpo y 'p es el cambio en su cantidad
de movimiento.
podemos
estudiar
más
apropiadamente las colisiones.
elásticos se observan entre átomos y
fuerzas
externas,
numerosos
ejemplos
que
se
pueden
considerar como tales, como hemos dicho.
Los choques reales pueden dividirse en
La ecuación anterior implica que si no
existen
macroscópicos (choques perfectamente
partículas subatómicas), aunque existen
Ahora que contamos con el concepto de
energía,
ideales y no se observan entre cuerpos
no
existe
elásticos e inelásticos, en ninguno de los
cuales se conserva la energía.
cambio en la cantidad de movimiento del
Como una forma de diferenciarlos, se
sistema.
harán
En
otras
palabras,
puede
cambiar la cantidad de movimiento de
observaciones
teóricas
y
experimentales.
cada uno de los cuerpos presentes, pero
su suma se mantiene inalterable en el
Si
los
cuerpos
resultan
separados
después de la colisión, el choque se llama
tiempo.
elástico; si además el sistema conserva su
Ahora sabemos que si bien es cierto que
energía, se llama perfectamente elástico.
una colisión no implica un cambio en la
En ellos no existe deformación residual
cantidad
en los cuerpos.
de
movimiento
del
sistema
(siempre y cuando no exista intercambio
de
materia
ambiente),
entre
el
sistema
y
el
bien puede ser que en el
proceso se obtenga una pérdida de
energía
si
existen
fuerzas
no
Si los cuerpos resultan unidos se llama
inelástico, si la deformación resultante es
igual que la máxima obtenida en el
proceso,
se
denomina
perfectamente
elástica.
conservativas.
En consecuencia, podemos dividir a los
choques
entre
aquellos
que
son
perfectamente elásticos (conservan su
energía) y perfectamente inelásticos (no
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perfectamente
Antes del choque, las esferas tienen
&
&
velocidades v1 y v2 respectivamente.
Para encontrar la forma matemática del
Después del choque, tienen velocidades
&
&
u1 y u2 .
4.13.1 Choques
elásticos
coeficiente de restitución, estudiaremos
un
choque
perfectamente
elástico.
Sabemos que en ellos se deben conservar
Debe
ambos teoremas de la conservación y la
movimiento, por tanto:
&
&
m1 v1 m2 v2
forma no debe alterarse, es decir la
razón entre la forma pre y postcolisión
debe ser igual a 1.
conservarse
sencillo de este choque, constituido por
&
&
m1u1 m2u2
de
(1)
modo que:
1
2
&
&
m1 v12 m1 gh1 21 m2 v22 m2 gh2
dos esferas (que se comportan como
partículas) que están moviéndose en un
plano paralelo a la superficie de la tierra
de forma tal que ningún evento les
produce un cambio en su energía potencial
1
2
&
&
m1u12 m1 gh´1 21 m2u22 m2 gh´2
Donde todas las alturas son iguales, por
tanto:
gravitatoria.
1
2
v1
v2
m2
&
&
m1 v12 21 m2 v22
m2
1
2
&
&
m1u12 21 m2u22
Si multiplicamos por 2, tenemos:
&
&
m1 v12 m2 v22
m1
cantidad
También debe conservarse su energía, de
La siguiente figura presenta el caso más
m1
la
Las
'
&
m1u12 m2u22
ecuaciones
(1)
y
(2)
(2)
pueden
reordenarse del modo siguiente:
u1
m1
u2
m2
&
&
m1 v1 -m1u1
&
&
m2u2 -m2 v2
Todos los vectores tienen igual dirección,
Fig 4.100 Esferas
de
masas
m1
y
m2
experimentando
una
colisión
perfectamente elástica. No hay roce
con la superficie.
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por tanto, se puede escribir:
m1 v1 -m1u1
m2u2 -m2 v2
192
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De donde:
Una partícula de masa
Ejemplo 4.24.
m1 v1 -u1 m2 u2 -v2 m1=5Kg moviéndose con rapidez v1=2
(3)
m
s
choca con una partícula de masa m2=8Kg
Mientras que (2) queda como:
inicialmente en reposo.
Determinar la
m1 v12 m1u12
m2u22 -m2 v22
rapidez de cada partícula después del
m1 v12 u12 m2 u22 -v22 choque si es perfectamente elástico.
m1 v1 u1 v1 u1 m2 u2 -v2 u2 v2 Solución:
(4)
Debe
conservar
la
cantidad
de
movimiento:
Si dividimos (4) y (3), tenemos:
m1 v1 u1 v1 u1 m1 v1 u1 v1 u1
m2 u2 v2 u2 v2 m1v1+m2v2=m1u1+m2u2
m2 u2 v2 (1)
Puesto que es un choque unidimensional.
u2 v2
Debe conservar la energía mecánica. Si
suponemos que el evento completo ocurrió
De donde:
en un plano equipotencial, se tiene:
(v1–v2)=- (u1– u2)
(5)
½m1v12+½m2v22= ½m1u12+½m2u22
El término de la izquierda es la velocidad
Multiplicando por 2,
relativa de una esfera respecto de la
m1v12+m2v22=m1u12+m2u22
(2)
otra, antes del choque; el signo positivo
muestra
que
es
una
velocidad
de
acercamiento. El término de la derecha es
la velocidad relativa entre las esferas
después del choque; el signo negativo
muestra
que
es
una
velocidad
Reemplazando los valores en la ecuación
(1), se tiene:
(5Kg)(2)+(8)(0)=(5)u1+(8)u2
10=5u1+8u2
(3)
de
alejamiento.
Y en la ecuación (2):
La ecuación (5) indica que las velocidades
(5Kg)(4)+(8)(0)=(5)u12+(8)u22
relativas en un choque perfectamente
20=5u12+8u22
(4)
elástico se mantienen constantes.
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En el caso de los choques perfectamente
De donde:
u1´=2
m
s
u2´=0
u1´´=-0,46
m
s
elásticos este cuociente es 1, como se
m
s
observa en la ecuación (5).
u2´´=1,39
m
s
Note
que
si
los
choques
son
perfectamente inelásticos siguen juntos y
El
primer
juego
de
soluciones
es
imposible, porque el cuerpo 2 no puede
quedar en reposo y menos que 1 pase a
través de 2.
las velocidades después del choque son
iguales (u1=u2), por lo que e=0; es decir,
la deformación máxima que experimentan
en
El segundo juego de soluciones es el
el
evento,
es
la
definitiva;
se
recuperan 0%.
correcto, e indica que el cuerpo 1 se
devuelve con rapidez de 0,46
m
s
y el
cuerpo 2 se mueve hacia la derecha con
rapidez de 1,39
m
.
s
4.13.3 Choques
perfectamente
inelásticos (plásticos).
Son aquellos en los que los cuerpos siguen
juntos después de colisionar.
Aquí no se conserva la energía, pero se
4.13.2 Coeficiente de restitución.
Se
define
como
coeficiente
conserva la cantidad de movimiento.
de
restitución (e) al módulo del cuociente
entre las velocidades relativas antes y
después del choque. Para choques en una
Este
esferas
que
partículas,
se
que
comportan
se
mueven
como
hacia
la
derecha, chocan y siguen juntas. Se
dimensión:
e
En la figura siguiente se tienen dos
mueven en un plano equipotencial sin roce.
(u1 u2 )
(v1 v2 )
coeficiente
(6)
da
cuenta
Entonces se tiene que:
del
porcentaje de deformación permanente
de los cuerpos a causa del evento.
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&
&
m1 v1 m2 v2
Pero
&
u1
&
&
m1u1 m2u2
&
u2
&
u
&
&
m1 v1 m2 v2
m1 m2 u
&
194
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De donde:
En el ejemplo 4.24,
Ejemplo 4.25.
&
u
&
&
m1 v1 m2 v2
m1 m2
determine la rapidez después del choque
si
es
Determine
perfectamente
además,
la
inelástico.
variación
de
energía cinética del sistema.
v1
v2
m1
m2
Solución:
Si el choque es perfectamente inelástico,
m1
entonces:
m2
&
u
m1
m2
u1 = u2
u
m1 v1
m1 m2
&
&
m1 v1 m2 v2
m1 m2
5 Kg §¨ 2
m·
¸
© s¹
5Kg 8Kg
0,77
m
s
Fig 4.101 Dos esferas chocando inelásticamente.
Antes del choque, la energía cinética del
Note que si consideramos el coeficiente
1:
de restitución:
e
(u1 u2 )
=0
(v1 v2 )
sistema es la energía cinética del cuerpo
pues u1=u2.
k1=½m1v12=½(5Kg)(2
m 2
) =10J
s
Después del choque:
En resumen, se tiene que los choques se
pueden clasificar de acuerdo a la tabla
K1´=½(m1+m2)u2=½(5Kg+8Kg)(0,77
siguiente.
Clasificación de choques.
Choque
'EM> 'P>0
e
siguen
Perfect. elástico
si
si
1
Separados
Inelástico
no
si
0<e<1
juntos
Perfect. inelástico
no
si
0
juntos
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m 2
)
s
K1´=3,85J
Por tanto:
'K=-6,15J
195