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TEMA 8. OSCILACIONES
OBJETIVOS
Comprender que toda partícula sometida a una fuerza (o momento de
fuerzas), proporcional y de signo contrario al desplazamiento, describe un
movimiento armónico simple (MAS).
Identificar cuando un sistema describe un MAS.
Describir las características del MAS.
Definir las propiedades básicas de osciladores amortiguados y forzados:
coeficiente de amortiguamiento, decremento logarítmico, constante de
tiempo, tiempo de relajación, resonancia.
Resolver por aplicación de métodos dinámicos y/o energéticos,
problemas que puedan ser descritos como un MAS.
TEMA 8. OSCILACIONES
ÍNDICE
8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.3 Energía del movimiento armónico simple
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
TEMA 8. OSCILACIONES
8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.1 Movimiento oscilatorio
(a) Masa-muelle horizontal
(b) Péndulo
(c) Masa-muelle vertical
Al separar una partícula de su posición de equilibrio, ésta adquiere un movimiento vibratorio
TEMA 8. OSCILACIONES
8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.1 Movimiento oscilatorio
(d) Péndulo de torsión
(e) Molécula de hidrógeno
(f) Circuito L-C
εL
L
i
C
εC
Al separar una partícula de su posición de equilibrio, ésta adquiere un movimiento vibratorio
TEMA 8. OSCILACIONES
8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.2 Movimiento armónico simple
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
⟹
𝑎𝑎 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥
Por definición:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
⟹
𝛼𝛼 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜙𝜙
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8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.3 Elongación y velocidad del MAS
𝑎𝑎 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥
𝑑𝑑 2 𝑥𝑥
= −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡 2
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
= −𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿 = 𝜔𝜔 𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 𝑡𝑡
𝑎𝑎 =
=
= −𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥
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8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.3 Elongación y velocidad del MAS
𝑎𝑎 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥
𝑑𝑑 2 𝑥𝑥
= −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡 2
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
= −𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 𝑡𝑡
𝑎𝑎 =
=
= −𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 2
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿 = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿 + 𝜋𝜋/2 = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿′
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8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.4 Amplitud, fase y constante de fase
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝐴𝐴: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿): 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝛿𝛿: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝛿𝛿 =
𝜋𝜋
2
𝛿𝛿 = 𝜋𝜋
⟹
⟹
𝑥𝑥0 = 0
𝑥𝑥0 = −𝐴𝐴
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8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.5 Periodo, frecuencia y frecuencia angular
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑇𝑇 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿 + 2𝜋𝜋 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝜋𝜋
1
𝑓𝑓 =
𝑇𝑇
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝜋𝜋
𝜔𝜔 =
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑇𝑇
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑡𝑡 + 𝑇𝑇) + 𝛿𝛿
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑣𝑣 = −𝐴𝐴𝜔𝜔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑎𝑎 = −𝐴𝐴𝜔𝜔2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛿𝛿 = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥
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8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.6 Ejemplo: masa unida a un muelle
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 = −𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑎𝑎 = −
𝑘𝑘
𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥
𝑚𝑚
𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑇𝑇 =
𝑘𝑘
𝑚𝑚
2𝜋𝜋
𝑚𝑚
= 2𝜋𝜋
𝜔𝜔
𝑘𝑘
En un MAS, el periodo y la frecuencia
son independientes de la amplitud
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8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.7 MAS y movimiento circular
Cuando una partícula se mueve con velocidad constante en una circunferencia,
su proyección sobre el diámetro de la circunferencia se mueve con un MAS
𝜃𝜃 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿)
𝑣𝑣 = −𝑣𝑣 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 = −𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿)
TEMA 8. OSCILACIONES
8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle
8.1.7 MAS y movimiento circular
Cuando una partícula se mueve con velocidad constante en una circunferencia,
su proyección sobre el diámetro de la circunferencia se mueve con un MAS
El movimiento de la hoja
de una sierra es un MAS
La rueda giratoria con una espiga, activa
un brazo ranurado de ida y vuelta
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.1 Péndulo simple
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 = −𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ≈ 𝜙𝜙
𝑠𝑠 = 𝜙𝜙𝜙𝜙
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑔𝑔
𝐿𝐿
𝑔𝑔
𝑎𝑎 = − 𝑠𝑠
𝐿𝐿
𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑇𝑇 =
𝑔𝑔
𝐿𝐿
2𝜋𝜋
𝐿𝐿
= 2𝜋𝜋
𝜔𝜔
𝑔𝑔
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.2 Péndulo físico
𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼 = −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 ≈ 𝜙𝜙
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝐼𝐼
𝛼𝛼 = −
𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑇𝑇 =
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜙𝜙
𝐼𝐼
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐼𝐼
2𝜋𝜋
𝐼𝐼
= 2𝜋𝜋
𝜔𝜔
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐿𝐿𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐼𝐼
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋
= 2𝜋𝜋
𝑔𝑔
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐿𝐿𝑒𝑒𝑒𝑒 =
𝐼𝐼
𝑚𝑚𝑚𝑚
Longitud equivalente
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.3 Péndulo de torsión
𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼 = −𝐾𝐾𝜙𝜙
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝐾𝐾
𝐼𝐼
⟹
𝐾𝐾
𝛼𝛼 = − 𝜙𝜙
𝐼𝐼
𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑇𝑇 =
𝐾𝐾
𝐼𝐼
2𝜋𝜋
𝐼𝐼
= 2𝜋𝜋
𝜔𝜔
𝐾𝐾
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.4 Circuito L-C
Las dos diferencias de potencial son iguales: εL = εC
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 2 𝑞𝑞
𝜀𝜀𝐿𝐿 = −𝐿𝐿 = −𝐿𝐿 2
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑞𝑞
𝜀𝜀𝐶𝐶 =
𝐶𝐶
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝐿𝐿𝐿𝐿
1
𝑑𝑑 2 𝑞𝑞
=−
𝑞𝑞
𝑑𝑑𝑡𝑡 2
𝐿𝐿𝐿𝐿
𝜔𝜔 = 𝐶𝐶 =
𝑇𝑇 =
1
𝐿𝐿𝐿𝐿
2𝜋𝜋
= 2𝜋𝜋 𝐿𝐿𝐿𝐿
𝜔𝜔
εL
L
i
C
εC
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.5 Ejemplos
Un coche de 1.100 kg de masa está sostenido por cuatro resortes verticales iguales
unidos a los ejes de las ruedas. Para probar la suspensión, se empuja hacia abajo el
automóvil y después se libera súbitamente. El coche se mueve arriba y abajo con
un periodo de 0,75 s. ¿Cuál es la constante de resorte de cada uno de los resortes?
𝑘𝑘𝑒𝑒𝑒𝑒 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖
𝑚𝑚
2𝜋𝜋
𝑇𝑇 =
= 2𝜋𝜋
𝜔𝜔
𝑘𝑘𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑘𝑘𝑖𝑖 = 1,9 ∙ 104 𝑁𝑁/𝑚𝑚
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8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.5 Ejemplos
Una masa de 150 g se une a un resorte con constante k = 8,0 N/m y oscila sin fricción.
La masa se desplaza 20 cm del equilibrio y, en t = 0, se libera del reposo. Si la posición
en función del tiempo se escribe como x = A cos(ωt + δ), determine los valores de A, ω
y δ. ¿Cuál es la velocidad máxima de la masa y cuál es su aceleración máxima?
𝐴𝐴 = 0,2 𝑚𝑚
𝑥𝑥0 = 𝐴𝐴
𝜔𝜔 =
⟹
𝛿𝛿 = 0
𝑘𝑘
= 7,3 𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝜔𝜔 = 1,46 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2 = 10,7 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2
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8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.5 Ejemplos
Una masa m = 2,5 kg cuelga del techo mediante un resorte con k = 90 N/m. Inicialmente,
el resorte está en su configuración no estirada y la masa se mantiene en reposo con su
mano. Si, en el tiempo t = 0, usted libera la masa, ¿cuál será su posición en función del
tiempo?
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑘𝑘𝑦𝑦0 ⟹ 𝑦𝑦0 = 0,27 𝑚𝑚
𝑦𝑦 ′ = 𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿)
𝐴𝐴 = 0,27 𝑚𝑚
𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡=0) = 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛿𝛿 ⟹ 𝛿𝛿 = 0
𝜔𝜔 =
𝑘𝑘
=6
𝑚𝑚
A
y’=0
-A
𝑦𝑦 ′ = 0,27 cos(6𝑡𝑡)
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.5 Ejemplos
Un oscilador armónico simple, de 0,60 kg de masa, oscila con una frecuencia de 3,0 Hz
y una amplitud de 0,15 m. Suponga que, mientras la masa está instantáneamente en
reposo en su punto de retomo, rápidamente se le une otra masa de 0,60 kg. ¿Cómo
cambia esto la amplitud del movimiento, la frecuencia, la energía, la rapidez máxima y
la aceleración máxima?
𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴
𝑓𝑓 ′ =
1
𝜔𝜔
1
𝑓𝑓
𝑘𝑘
=
=
=
= 2,12 𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑇𝑇 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 2𝑚𝑚
2
𝐸𝐸 ′ = 𝐸𝐸
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝜔𝜔 = 2 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2 = 26,7 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.5 Ejemplos
Un carro de masa m tiene cuatro ruedas uniformes de masas M y radios R. El carro rueda,
sin deslizarse, de ida y vuelta, sobre un plano horizontal bajo la influencia de un resorte, de
constante k, unido a uno de sus extremos. Considerando momento de inercia de las ruedas,
encuentre una ecuación para la frecuencia del movimiento de ida y vuelta del carro.
𝑎𝑎 = 𝑥𝑥̈
𝑎𝑎 = 𝛼𝛼𝛼𝛼
kx
El momento de una fuerza es positivo en el
sentido de α que viene dado por esta relación
∑𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 + 4𝑀𝑀 𝑎𝑎
a
Fr/4
x
⟹
𝐹𝐹𝑟𝑟 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 = (𝑚𝑚 + 4𝑀𝑀)𝑎𝑎
1
𝑎𝑎
2
∑𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝐼𝐼 ⟹ −𝐹𝐹𝑟𝑟 𝑅𝑅 = 4 𝑀𝑀𝑅𝑅
⟹ −𝐹𝐹𝑟𝑟 = 2𝑀𝑀𝑀𝑀
2
𝑅𝑅
𝑎𝑎 = −
𝑘𝑘
𝑥𝑥
(𝑚𝑚 + 6𝑀𝑀)
1
𝑘𝑘
𝑓𝑓 =
2𝜋𝜋 (𝑚𝑚 + 6𝑀𝑀)
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.5 Ejemplos
El péndulo más largo que existe es el péndulo de Foucault, que mide 27 m, en Portland,
Oregon ¿Cuál es el periodo de este péndulo?
𝑔𝑔
𝑎𝑎 = − 𝑠𝑠
𝐿𝐿
𝜔𝜔 =
𝑇𝑇 =
𝑔𝑔
𝐿𝐿
2𝜋𝜋
𝐿𝐿
= 2𝜋𝜋
= 10,4 𝑠𝑠
𝜔𝜔
𝑔𝑔
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.5 Ejemplos
Una pintura circular tiene 2,00 m de diámetro y un grosor uniforme. Cuelga
de una pared, suspendida por un clavo a 10 cm de su borde superior. Si se
empuja ligeramente, ¿cuál es el periodo de las oscilaciones pequeñas de la
pintura?
1
𝑚𝑚𝑅𝑅2 + 𝑚𝑚𝑑𝑑 2
𝐼𝐼
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋
= 2𝜋𝜋 2
= 2,4 𝑠𝑠
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
d
TEMA 8. OSCILACIONES
8.2 Péndulo simple, físico y de torsión
8.2.5 Ejemplos
Un disco uniforme horizontal de masa M y radio R unido en su centro al extremo
de una fibra vertical sin masa, de constante de torsión K. (a) Calcular la frecuencia
angular de oscilación. (b) Si el disco se gira un ángulo inicial de φ0 y se libera, ¿cuál
es la máxima velocidad angular de rotación del movimiento posterior? (c) ¿Para
qué valor de φ0 coinciden las respuestas (a) y (b)?
2𝐾𝐾
2𝐾𝐾
(a) 𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼 = −𝐾𝐾𝜙𝜙 ⟹ 𝛼𝛼 = −
𝜙𝜙
⟹
𝜔𝜔
=
𝑀𝑀𝑅𝑅2
𝑀𝑀𝑅𝑅2
(b)
𝜙𝜙 = 𝜙𝜙0 cos
(c)
𝜔𝜔 =
2𝐾𝐾
𝑡𝑡 + 𝛿𝛿
𝑀𝑀𝑅𝑅2
; 𝜙𝜙𝑡𝑡=0 = 𝜙𝜙0 ⟹ 𝛿𝛿 = 0
𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝐾𝐾
= − 𝜙𝜙0
sen
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑀𝑀𝑅𝑅 2
𝜙𝜙0 = 1 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
2𝐾𝐾
2𝐾𝐾
𝑡𝑡
⟹
𝜔𝜔
=
𝜙𝜙
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
0
𝑀𝑀𝑅𝑅2
𝑀𝑀𝑅𝑅2
TEMA 8. OSCILACIONES
8.3 Energía del MAS
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑣𝑣 = −𝐴𝐴𝜔𝜔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝐾𝐾 =
1
1
1
𝑚𝑚𝑣𝑣 2 = 𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿 = 𝑘𝑘𝐴𝐴2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿)
2
2
2
1 2 1 2
𝑈𝑈 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 𝑘𝑘𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿)
2
2
1
𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑘𝑘𝐴𝐴2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿
2
1
= 𝑘𝑘𝐴𝐴2
2
TEMA 8. OSCILACIONES
8.3 Energía del MAS
Gráficos de x, U y K en función de t
Función de la energía potencial U en el
caso de un objeto de masa m unido a
un muelle de masa despreciable
TEMA 8. OSCILACIONES
8.3 Energía del MAS
8.3.1 Ejemplos
Un extremo de un resorte horizontal, con constante k, está fijo y el otro extremo está
unido a una masa m sobre una superficie sin fricción. El resorte está inicialmente en
su posición de equilibrio. En t = 0, se aplica una fuerza constante F en la dirección de
elongación del resorte. Transcurrido un tiempo t, la masa se ha movido una distancia
d en la dirección de la fuerza ¿Cuál es la variación de energía cinética en dicho
tiempo?
𝑊𝑊𝑛𝑛𝑛𝑛 = Δ𝐸𝐸𝑡𝑡 = Δ𝐸𝐸𝑐𝑐 + Δ𝐸𝐸𝑝𝑝
1
Δ𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑛𝑛𝑛𝑛 − Δ𝐸𝐸𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑘𝑘𝑑𝑑 2
2
d
F
TEMA 8. OSCILACIONES
8.3 Energía del MAS
8.3.1 Ejemplos
El péndulo de un reloj regular consiste de una masa de 120 g en el extremo de una barra
de madera (sin masa) de 44 cm de longitud. (a) ¿Cuál es la energía total (cinética más
potencial) de este péndulo cuando oscila con una amplitud de 4°? (b) ¿Cuál es la rapidez
de la masa cuando está en su punto más bajo?
𝑔𝑔
𝑡𝑡 + 𝛿𝛿
L
𝐿𝐿
𝑔𝑔
𝑡𝑡 + 𝛿𝛿
𝐿𝐿
𝑔𝑔 1 2 1
𝐸𝐸𝑝𝑝 = −∫ 𝐹𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ = −∫ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚
𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝐿𝐿𝜙𝜙0 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2
𝐿𝐿 2
2
1
𝐸𝐸𝑡𝑡 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜙𝜙0 2 = 1,26 ∙ 10−3 𝐽𝐽
2
(b)
𝑔𝑔
𝑣𝑣 = 𝐴𝐴𝜔𝜔 = 𝐿𝐿𝜙𝜙0
= 0,145 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝐿𝐿
(a)
𝑔𝑔
𝑎𝑎 = − 𝑠𝑠 ⟹ 𝑠𝑠 = 𝐿𝐿𝜙𝜙0 cos
𝐿𝐿
1
1
𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑚𝑚𝑣𝑣 2 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝐿𝐿𝜙𝜙0 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2
2
2
φ0
m
𝑔𝑔
𝑡𝑡 + 𝛿𝛿
𝐿𝐿
𝐴𝐴 = 𝐿𝐿𝜙𝜙0
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.1 Movimiento vibratorio amortiguado
𝑚𝑚𝑚𝑚 = −𝑘𝑘𝑘𝑘
MAS
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝜔𝜔0 =
𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
1 2
𝑘𝑘𝐴𝐴
2
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.1 Movimiento vibratorio amortiguado
t
En los movimientos oscilatorios reales existen rozamientos que conllevan pérdidas
energéticas, y con ello, una disminución de la amplitud de las oscilaciones
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.2 Ecuación diferencial del movimiento amortiguado
𝐹𝐹𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = −𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = −𝑏𝑏𝑥𝑥̇ − 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑥𝑥̈ +
𝜔𝜔0 =
b: Coeficiente de amortiguamiento ≡ [M T-1]
Representa el efecto disipativo
𝜏𝜏𝑅𝑅 =
2
𝑥𝑥̇ + 𝜔𝜔0 2 𝑥𝑥 = 0
𝜏𝜏𝑅𝑅
𝑣𝑣 = 𝑥𝑥̇
𝑎𝑎 = 𝑥𝑥̈
𝑘𝑘
: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑚𝑚
2𝑚𝑚
: 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑏𝑏
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.2 Ecuación diferencial del movimiento amortiguado
Condensador con carga inicial q0. Al cerrar el circuito:
R
L
C
𝑞𝑞
𝜀𝜀𝐿𝐿 + 𝜀𝜀𝑅𝑅 + 𝜀𝜀𝐶𝐶 = 𝐿𝐿𝑞𝑞̈ + 𝑅𝑅𝑞𝑞̇ + = 0
𝐶𝐶
𝑞𝑞̈ +
𝑅𝑅
1
𝑞𝑞̇ +
𝑞𝑞 = 0
𝐿𝐿
𝐿𝐿𝐿𝐿
2
𝑞𝑞̈ +
𝑞𝑞̇ + 𝜔𝜔0 2 𝑞𝑞 = 0
𝜏𝜏𝑅𝑅
𝑣𝑣 = 𝑥𝑥̇
𝑎𝑎 = 𝑥𝑥̈
En este caso, el único efecto disipativo corresponde a la resistencia: Efecto Joule
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.3 Caso ω0>1/τR. Movimiento armónico amortiguado
2
𝑥𝑥̈ +
𝑥𝑥̇ + 𝜔𝜔0 2 𝑥𝑥 = 0
𝜏𝜏𝑅𝑅
𝜔𝜔0 > 1/𝜏𝜏𝑅𝑅
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿)
𝜔𝜔 =
𝜔𝜔0 2 −
1
𝜏𝜏𝑅𝑅 2
Decremento logarítmico, Δ: Logaritmo neperiano de la relación entre dos elongaciones
máximas sucesivas
A0
𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴0
𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅
𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴0 𝑒𝑒 −(𝑡𝑡+𝑇𝑇)/𝜏𝜏𝑅𝑅
𝐴𝐴1
𝑇𝑇
Δ = ln
=
𝐴𝐴2
𝜏𝜏𝑅𝑅
𝐴𝐴1
= 𝑒𝑒 𝑇𝑇/𝜏𝜏𝑅𝑅
𝐴𝐴2
A(t)
A0/e
x(t)
A1
A2
τR
Factor e-Δ
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.3 Caso ω0>1/τR. Movimiento armónico amortiguado
Energía del movimiento: El tiempo que tarda la energía promedio en disminuir a
1/e del valor inicial, se denomina constante de tiempo, τ
1 2 1
𝐸𝐸𝑡𝑡 = 𝑘𝑘𝐴𝐴 = 𝑘𝑘𝐴𝐴0 2 𝑒𝑒 −(𝑏𝑏/𝑚𝑚)𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0 𝑒𝑒 −(𝑏𝑏/𝑚𝑚)𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏
2
2
𝜏𝜏𝑅𝑅 𝑚𝑚
𝜏𝜏 =
=
2
𝑏𝑏
E0
E0/e
Factor de calidad del movimiento amortiguado:
Coincide aproximadamente con el número de
ciclos antes de que el movimiento se amortigüe
Q = 𝜔𝜔0 𝜏𝜏 = 2𝜋𝜋
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
=
τ
𝜋𝜋
Δ
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.4 Caso ω0≤1/τR. Movimiento sobreamortiguado y críticamente
amortiguado
𝑥𝑥̈ +
2
𝑥𝑥̇ + 𝜔𝜔0 2 𝑥𝑥 = 0
𝜏𝜏𝑅𝑅
2𝑚𝑚
𝜏𝜏𝑅𝑅 =
𝑏𝑏
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿)
Sobreamortiguado:
1
𝜔𝜔0 <
𝜏𝜏𝑅𝑅
Amortiguado críticamente:
1
𝜔𝜔0 =
𝜏𝜏𝑅𝑅
⟹
𝑏𝑏 > 𝑏𝑏𝑐𝑐 = 2𝑚𝑚𝜔𝜔0
⟹
𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑐𝑐 = 2𝑚𝑚𝜔𝜔0
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅
𝜔𝜔 =
𝜔𝜔0
2
1
−
𝜏𝜏𝑅𝑅 2
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.5 Oscilaciones forzadas
La persona de la fotografía impulsa el
columpio y varía su energía interna.
También cambia, en menor cuantía, la
energía mecánica del oscilador. El
valor de ésta última aumenta cuando
la frecuencia del oscilador forzado
(columpio impulsado) es similar a la
frecuencia natural del columpio (sin
amortiguamiento)
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.5 Oscilaciones forzadas
𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝐹𝐹0 cos(𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡)
𝑚𝑚𝑎𝑎 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝐹𝐹0 cos(𝜔𝜔𝑒𝑒 𝑡𝑡)
𝑑𝑑 2 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐹𝐹0 cos 𝜔𝜔𝑒𝑒 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 2 + 𝑏𝑏
+ 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿 + 𝐴𝐴0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝛿𝛿 ′ )
Estacionaria
Transitoria
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.5 Oscilaciones forzadas
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿 + 𝐴𝐴0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝛿𝛿 ′ )
Estacionaria
𝐴𝐴 =
𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
2
𝐹𝐹0
+ 𝑘𝑘 − 𝑚𝑚𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2
Transitoria
2
=
𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛿𝛿 =
=
𝑘𝑘 − 𝑚𝑚𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2 𝑚𝑚 𝜔𝜔0 2 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2
𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
2
𝐹𝐹0
+ 𝑚𝑚 𝜔𝜔0 2 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2
2
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.6 Resonancia
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿
𝐴𝐴 =
𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
Impedancia
2
Solución estacionaria
𝐹𝐹0
+ 𝑘𝑘 − 𝑚𝑚𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑍𝑍 =
𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 = 0 𝑦𝑦 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝜔𝜔0
En general, b≠0. Operando
𝑑𝑑𝑑𝑑
=0
𝑑𝑑𝑑𝑑
2 2
𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
⟹
=
2
𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
2
𝐹𝐹0
+ 𝑚𝑚 𝜔𝜔0 2 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2
+ 𝑚𝑚 𝜔𝜔0 2 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2
𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⟶ ∞
⟹ 𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝜔𝜔0
2
𝑏𝑏2
−
2𝑚𝑚2
2
2
Resonancia: la amplitud
de la oscilación forzada
es máxima
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.6 Resonancia
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝜔𝜔0
2
𝑏𝑏2
−
2𝑚𝑚2
Para un amortiguamiento
relativamente pequeño
se cumple:
Δ𝜔𝜔 1
=
𝜔𝜔
𝑄𝑄
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.6 Resonancia
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝐴𝐴 =
𝜔𝜔0
𝐹𝐹0
𝑄𝑄
𝑘𝑘
2
𝑏𝑏2
−
2𝑚𝑚2
Amplitud de un oscilador armónico amortiguado
forzado en función de la frecuencia de la fuerza
osciladora
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.7 Ejemplos
Un péndulo de 1,50 m de longitud se pone a balancear con una amplitud inicial de
10°. Después de 12 min, la fricción reduce la amplitud a 4° ¿Cuál es el valor de Q
para este péndulo?
𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅
𝜏𝜏𝑅𝑅 = 786 𝑠𝑠
𝜔𝜔0 =
⟹
𝑔𝑔
= 6,5 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝐿𝐿
1,5
4𝜋𝜋
10𝜋𝜋 −12∙60/𝜏𝜏
𝑅𝑅
= 1,5
𝑒𝑒
180
180
𝜏𝜏𝑅𝑅
𝑄𝑄 = 𝜔𝜔0 = 1 ∙ 103
2
TEMA 8. OSCILACIONES
8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia
8.4.7 Ejemplos
Una fuerza armónica F = F0 cos ωt, donde F0 = 0,20 N, se aplica a un oscilador armónico
amortiguado con constante de resorte k = 15 N/m y masa m, donde ω = (k/m)1/2. La
amplitud de oscilación aumenta rápidamente al principio, y luego permanece en un
valor constante, A= 40 cm ¿Cuál es el Q del sistema? ¿Cuál sería la amplitud si la
frecuencia angular de la fuerza F fuese mucho menos que (k/m)1/2?
𝑄𝑄 = 𝐴𝐴
𝑍𝑍 =
𝑘𝑘
= 30
𝐹𝐹0
𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑆𝑆𝑆𝑆 𝜔𝜔 ⟶ 0
2
⟹
+ 𝑚𝑚 𝜔𝜔0 2 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2
𝑍𝑍 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
⟹
2
𝐴𝐴 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐