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Tema 6 Crecimiento endógeno: el
modelo de Rebelo
6.1 El modelo de familias productoras.
6.2 Equivalencia de las soluciones de mercado
y del planificador central.
6.3 Dinámica de transición y la hipótesis de
convergencia.
Bibliografía: Sala i Martin 5
Crecimiento Económico
Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía
Prof. Julio López Díaz
6.1 El modelo de familias productoras
Supuestos
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Se dedican a la producción de bienes.
Comportamiento
Preferencias
∞
U (0) = ∫ e
−( ρ − n ) t
0
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[1]
Restricción presupuestaria
kt = Ak t − c t − (δ + n)k t
[2]
Hamiltoniano
H =e
−( ρ −n) t
ct1−θ − 1
+ λt ( Ak t − ct − (δ + n)k t )
1−θ
Condiciones de primer orden
Hc = 0 
→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt
H b = −λt 
→ λt ( A − δ − n) = −λt
[4]
[5]
Condición de transversalidad
lim λt k t = 0
[6]
ct 1
= (A − δ − ρ)
ct θ
[7]
t →∞
[3]
Tasa crecimiento del consumo
[4] y [5] → γ c
≡
Estado estacionario
Se obtiene el mismo resultado que en el escenario de mercado.
γ k* = γ c* = γ *y = γ * =
1
1
(A − δ − ρ)
θ
[8]
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Prof. Julio López Díaz
Cuestiones
6.1.1 Calcula los efectos sobre la tasa de crecimiento de la renta per capita de una
mejora tecnológica.
6.1.2 Calcula los efectos sobre la tasa de crecimiento del consumo per capita de
una reducción en la tasa de crecimiento de la población.
6.1.3 Calcula los efectos sobre la tasa de crecimiento del consumo agregado de
una reducción en la tasa de crecimiento de la población.
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6.2 Equivalencia de las soluciones de mercado y de planificador
central
6.2.1 EL MODELO DE MERCADO
Supuestos
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Propietarias factores productivos y de activos financieros
Empresas:
Alquilan trabajo y capital
Venden su producto.
3 mercados:
Capital, trabajo y producto
Familias
Preferencias
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[9]
bt = wt + rt bt − ct − nbt
[10]
∞
U (0) = ∫ e
−( ρ − n ) t
0
Restricción presupuestaria
Comportamiento familias
Maximizar [9] s. a. [10]
Hamiltoniano
H =e
−( ρ − n ) t
ct1−θ − 1
+ λt ( wt + (rt − n)bt − ct )
1−θ
Condiciones de primer orden
Hc = 0 
→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt
[12]
→ λt (rt − n) = −λDt
H b = −λDt 
[13]
Condición de transversalidad
lim λt bt = 0
t →∞
[11]
Tasa crecimiento del consumo
3
[14]
Crecimiento Económico
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[12] y [13] → γ c ≡
ct
1
= (rt − ρ )
ct θ
[15]
Empresas
Alquilan trabajo al salario w y capital a la tasa R.
Nota: Se cumple la paridad de rentabilidades R - δ = r
Venden su producto a precio 1.
Son competitivas.
Utilizan tecnología neoclásica: función de producción F(K,L) con:
-
Rendimientos constantes de escala.
-
Rendimientos factoriales decrecientes.
-
Condiciones de Inada.
Objetivo: maximización de los beneficios
Π = F ( K t , Lt ) − (rt + δ ) K t − wt Lt
-
En términos per capita
π = f (kt ) − (rt + δ )kt − wt
-
[17]
Condiciones maximización del beneficio:
f ' (kt ) = (rt + δ )
wt = f (kt ) − f ' (kt )kt
[16]
Si la función es del tipo AK:
[18]
[19]
Yt = F (kt ) = AK t
Único factor productivo: el capital → RCE y Rdtos. Ctes. Capital.
Interpretación: Capital y trabajo son dos tipos de capital diferentes
(físico y humano), que precisan ambos de inversión, englobables bajo
un mismo epígrafe.
yt = f (kt ) = Akt
[20]
Entonces [18] y [19] se convierten en:
A = (rt + δ ) → r = A − δ
[21]
wt = Akt − Akt = 0
[22]
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Equilibrio
Existe equilibrio en los mercados de trabajo, capital y producto y
financiero.
Si b = k, a partir de [10], [21] y [22]:
kDt = Ak t − ct − (n + δ )k t
Sustituyendo en las FOC y en la condición de transversalidad, se obtiene:
ct
1
= (A − δ − ρ)
ct θ
lim λt kt = 0
t →∞
[23]
[24]
[25]
Observación de [16]: el consumo crece a una tasa constante en todo
momento.
Estado estacionario
Tasa de crecimiento del capital en estado estacionario.
-
A partir de [15]:
c
kt
= A − t − (n + δ )
kt
kt
-
[26]
Por definición de estado estacionario, las tasas de crecimiento son
constantes. Operando se obtiene que:
γ k* = γ c* = γ *y = γ * =
1
(A − δ − ρ)
θ
[27]
6.2.2 EL MODELO DEL PLANIFICADOR
Mismo resultado que en los casos de familias productoras y mercados, dada la
ausencia de externalidades, y dado que los agentes privados disponen de toda la
información existente.
Cuestiones
6.2.1 Plantea y resuelve el modelo bajo el escenario del planificador.
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6.3 Dinámica de transición y la hipótesis de convergencia
Dinámica de transición
De [27] → En estado estacionario, todas las variables per capita crecen a una
tasa constante.
De [24] → El consumo siempre crece a la misma tasa.
Consecuencia: El consumo siempre se encuentra en estado estacionario.
El capital y el producto también crecen a la misma tasa.
Consecuencia: El modelo no presenta transición alguna hacia el estado
estacionario.
Todas las variables crecen permanentemente a una tasa constante.
Hipótesis de convergencia
A diferencia del modelo neoclásico (Solow y Swan, Ramsey Cass y Koopmans),
este modelo no predice la convergencia entre economías, ni absoluta ni
condicional.
La tasa de crecimiento no está relacionada negativamente con la renta.
Cuestiones
6.3.1 Demuestra que el capital y el producto crecen a la misma tasa que el
consumo.
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