Download Series de tiempo II - Gabriel Montes

Series de alta persistencia
Tendencia y estacionalidad
Series de tiempo II
Raı́ces unitarias y series no estacinarias
Gabriel V. Montes-Rojas
Gabriel Montes-Rojas
Series de tiempo II
Series de alta persistencia
Tendencia y estacionalidad
Paseo aleatorio
Orden de integración
Raı́ces unitarias
Paseo aleatorio (random walk)
Consideremos el proceso
yt = yt −1 + et , t = 1, 2, ..., et ∼ i.i.d.(0, σe2 )
Esto es un paseo aleatorio. Entonces,
E [yt +h |yt ] = yt , ∀h ≥ 1
Esto significa que el proceso no revierte a la media y por lo tanto no es
predecible. [En contraste con AR(1) E [yt +h |yt ] = φ1h yt → 0 cuando
h → ∞ (revierte a la media).]
Este es un caso especial de un proceso de raı́z unitaria porque φ1 = 1 en
un AR(1).
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Paseo aleatorio
Orden de integración
Raı́ces unitarias
Paseo aleatorio
Un paseo aleatorio se puede escribir como
yt = et + et −1 + ... + e1 + y0
Entonces,
E [yt ] = E [et ] + E [et −1 ] + ... + E [e1 ] + E [y0 ] = E [y0 ]
Var [yt ] = Var [et ] + Var [et −1 ] + ... + Var [e1 ] = tσe2
(note que la varianza → ∞ cuando t → ∞)
Cov [yt , yt −k ] = (t − k )σe2
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Tendencia y estacionalidad
Paseo aleatorio
Orden de integración
Raı́ces unitarias
¿Como simular paseos aletorios en STATA?
clear
global T=1000
set obs $T
gen t= n
forvalues j=1(2)5 {
/*estamos generando 5 series al mismo tiempo*/
gen et‘j’=rnormal(0,1)
gen yt‘j’=.
replace yt‘j’=et‘j’ in 1
global rho=1
forvalues i=2(1)$T {
quietly replace yt‘j’=$rho*yt‘j’[‘i’-1]+et‘j’[‘i’] in ‘i’
}
}
line yt* t
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Paseo aleatorio
Orden de integración
Raı́ces unitarias
Paseo aleatorio con constante (drift)
Consideremos el proceso
yt = µ + yt −1 + et , t = 1, 2, ..., et ∼ i.i.d.(0, σe2 )
Este se llama paseo aleatorio con constante (drift). Note que µ es en
realidad la tendencia de la serie:
yt = tµ + et + et −1 + ... + e1 + y0
Además,
E [yt +h |yt ] = hµ + yt
Var [yt ] = Var [et ] + Var [et −1 ] + ... + Var [e1 ] = tσe2
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Paseo aleatorio
Orden de integración
Raı́ces unitarias
¿Cómo simular paseos aleatorios con constante en STATA?
clear
global T=1000
set obs $T
gen t= n
forvalues j=1(2)5 {
gen et‘j’=rnormal(0,1)
gen yt‘j’=.
replace yt‘j’=et‘j’ in 1
global rho=1
global mu=1
forvalues i=2(1)$T {
quietly replace yt‘j’=$mu+$rho*yt‘j’[‘i’-1]+et‘j’[‘i’] in ‘i’
}
}
line yt* t
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Paseo aleatorio
Orden de integración
Raı́ces unitarias
Orden de integración de una serie
Las series débilmente dependientes se definen como integradas de
orden cero, o I(0). Esto significa que se le puede aplicar una
regresión y hacer inferencia con esos resultados.
Procesos de raı́ces unitarias son procesos integrados de orden
uno, o I(1). La primera diferencia de estos procesos es I(0).
Una serie temporal yt es ARIMA(p, 1, q ) (i:integrada) si la
diferencia ct = yt − yt −1 es un proceso ARMA(p, q ).
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Orden de integración
Raı́ces unitarias
Contrastes de hipótesis para raı́ces unitarias
Consideremos un modelo AR(1):
yt = ρyt −1 + ut
con E [et |yt −1 , yt −1 , ..., y0 ] = 0, et ∼ N (0, σ2 )
Un contraste de raı́z unitaria es H0 : ρ = 1 contra H1 : ρ < 1. Sin embargo, bajo
la hipótesis nula, la distribución de ρ̂ no es estándar, o sea no sigue una
distribución t.
Supongamos el estimador ρ̂T = ∑ yt 2t −1 . Si ρ < |1|, entonces
∑ t −1
√
d
T (ρ̂T − ρ) → N (0, (1 − σ2 )).
√
p
Pero si ρ = 1, entonces T (ρ̂T − ρ) → 0.
y y
Necesitamos entonces estandarizar por T para obtener T (ρ̂T − ρ) (ver
Hamilton, cap.17).
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Raı́ces unitarias
Contrastes de hipótesis para raı́ces unitarias
Contraste de Dickey-Fuller
Transformar el modelo en
∆yt = α + θyt −1 + et
Un contraste de raı́z unitaria se construye como H0 : θ = 0 contra H1 : θ < 0.
Contraste de Dickey-Fuller aumentado
∆yt = α + θyt −1 + γ1 ∆yt −1 + et
Dickey-Fuller con tendencia
∆yt = α + θyt −1 + δt + et
En STATA:
http://www.stata.com/help.cgi?dfuller
http://www.stata.com/help.cgi?pperron
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Tendencia
Estacionalidad
Tendencia
Muchas series de tiempo contienen tendencia, o sea aumentan o decrecen en el
tiempo. Ej: precios, PBI.
Si se ignora la tendencia en ciertas variables se obtiene una relación espúrea
entre variables, es decir, que viene dada por la tendencia misma y no por la
relación de causalidad entre las variables.
Consideremos el siguiente ejemplo: y = αt + ut , x = βt, donde u son v.a.
independientes (ej. N(0,1)). Asumiendo que α > 0 y β > 0, las dos variables
crecen en el tiempo. ¿Pero hay una relación enre ellas?
T
Supongamos la regresión yt = δxt + wt , entonces δ̂ = ∑t =T 1 t 2t .
∑t =1 xt
"
#
"
#
T
T
∑t =1 ( βt + ut )(αt )
∑ t =1 t 2
=α>0
E [δ̂] = E
=
αβE
2
2
β ∑T
∑T
t =1 xt
t =1 t
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x y
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Tendencia
Estacionalidad
Modelo MCO con tendencia determinı́stica
(Hamilton Cap.16)
Supongamos el modelo
yt = α + δt + et , e ∼ N (0, σ2 ), t = 1, 2, ..., T
Usando el algebra de MCO tenemos que
α̂T − α
δ̂T − δ
=
∑1
∑t
∑t
∑ t2
−1 ∑ et
∑ tet
∑ t = T (T + 1)/2, ∑ t 2 = T (T + 1)(2T + 1)/6.
0
C < ∞. Sin
∑T
t =1 xt xt → C donde
√
α̂T − α
embargo, si xt = [1 t ], la matriz diverge. Por lo tanto T
diverge
δ̂T − δ
a infinito.
Notar que en MCO tenemos el supuesto
1
T
Entonces tenemos que usar distintas estandarizaciones para α y δ.
√
T (α̂T − α)
T 3/2 δ̂T − δ
√
=
T
0
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0
T 3/2
∑1
∑t
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∑t
∑ t2
−1 ∑ et
∑ tet
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Tendencia
Estacionalidad
Tendencia
Hay varios tipos de tendencia determinı́stica. Supongamos que ut es una serie
de ruido blanco.
Lineal: yt = δt + ut
Exponencial: ln(yt ) = δt + ut
Cı́clica: yt = rcos (ωt + θ ) + ut .
En este caso: r es la amplitud, ω es la frecuencia, con ciclo periodo
‘phase shift’.
En general,
yt =
k
k
i =1
i =1
2π
ω ,
∑ ri cos (ωi t + θi ) + ut = ∑ [Ai cos (ωi t ) + Bi sin(ωi t )] + ut
con Ai = ri cos (θi ) y Bi = ri sin(θi ).
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θ es el
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Tendencia
Estacionalidad
Estacionalidad
Estacionalidad es un comportamiento cı́clico que ocurre en forma regular de
acuerdo al calendario.
Tipos de estacionalidad: trimestral, mensual, semanal, diario.
Ej.: Los precios de las casas son influenciados por el tiempo (en épocas de frı́o o
falta de luz hay pocas visitas para comprar una casa).
Ej.: Precios de los juguetes para niños, más caros en Navidad.
Ej.: Pasajes aéreos.
En el caso trimestral:
yt = β 0 + δ2 Q2t + δ3 Q3t + δ4 Q4t + β 1 xt + ut
donde Q2 , Q3 , Q4 son variables dummy (¿Por qé Q1 es excluida?)
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Tendencia y estacionalidad
Tendencia
Estacionalidad
Estacionalidad
El operador ∆s = (1 − Ls ) se define como el operador de diferencias
estacionales, tal que ∆s xt = xt − xt −s .
Supongamos que la serie xt tiene datos trimestrales y estacionalidad trimestral.
Entonces se deberı́a usar ∆4 .
Esto da lugar a los llamados modelos de estacionalidad multiplicativa:
(1 − Ls )(1 − L)xt = (1 − θLs )(1 − ΘL)at , donde at es ruido blanco,
|θ | < 1, |Θ| < 1.
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Estacionalidad
Modelo de componentes
Supongamos el modelo
yt = xt + wt + ut
xt : componente de tendencia
wt : componente de estacionalidad
ut : componente irregular
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Estacionalidad
Modelo de filtros
Filtros lineales se definen como una combinación lineal de señales:
yt = ψ(L)xt =
∑ ψj xt −j
j
La secuencia ψ(L) = {... + ψ−1 L−1 + ψ0 + ψ1 L + ...} es el filtro lineal.
ψ(L) puede ser finito o infinito. Si es finito se define como un filtro moving
average. Cuando todos los pesos del filtro son no negativos entonces de define
como causal o backward-looking.
En STATA ver el comando tssmooth
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Modelo de filtros
El filtro de series de tiempo más conocido es el de Hodrick-Prescott, “HP filter”.
T
minτt
∑
(xt − τt )2 + λ((τt +1 − τt ) − (τt − τt −1 ))2
t =1
- τt : tendencia
- zt = xt − τt : business cycle
- λ: parámetro de penalización de fluctiaciones
En STATA ver el comando hsprescott (hay que instalarlo)
http://repec.org/nasug2006/TSFiltering_beamer.pdf
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