Download α, β ∈ − , π tan(α) − tan(β) = sen(α − β) cos(α) cos(β) , π f(x) = x2 +

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 13-1
Control 3
P1.
€
(a) (3,0 ptos.) Sean α, β ∈ − π2 , π2
Š
(i) Demuestre que
tan(α) − tan(β) =
sen(α − β)
cos(α) cos(β)
€
Š
(ii) Use (i) para probar que tan(x) es estríctamente creciente en − π2 , π2 .
(b) (3,0 ptos.) El triángulo ABC de la gura tiene lados a, b, c, ángulos interiores α, β, γ y área A.
Demuestre que a2 sen(2β) + b2 sen(2α) = 4A.
P2.
(a) (4,0 ptos.) Estudie completamente las funciones
f (x) = x2 + 4x + 3
y
g(x) =
x
.
2−x
indicando en cada caso (si corresponde): dominio, ceros, intersecciones con eje OY , imagen, paridad, asíntotas, crecimiento y gráco.
(b) (2,0 ptos.) Usando la información obtenida en (a), graque la función h denida por
8
>
<x” + —4x + 3
h(x) =
>
:
2
x
2−x
x
x−2
si x < 0
si 0 ≤ x ≤ 1 (parte entera)
si x > 1
Justifique cada uno de sus pasos
Tiempo: 1:15