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Síntesis y Caracterización
Estructural de los Materiales
Ángel Carmelo Prieto Colorado
Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía.
Facultad de Ciencias.
Universidad de Valladolid.
Bases Cristalográficas
Tema 9
Asociación de elementos de simetría: Noción de grupo
matemático
Simetría puntual: Grupos puntuales de simetría en dos y
tres dimensiones
Símbolos de los grupos puntuales
©A. Carmelo Prieto Colorado
Asociación de elementos de simetría: Noción de grupo matemático
Estructura de Grupo Matemático
✓
De todas las posibles combinaciones de elementos
de simetría (1, n, n y m), compatibles con {T=pt} en el
espacio bi y tridimensional, solo existen 10 y 32
posibles estructuras de grupo matemático,
respectivamente. Son los grupos puntuales
cristalográficos, denominados así porque dejan
invariante un punto en el espacio. Ese punto
invariante -común a todos los elementos de simetría
del grupo- se toma como centro u origen del sistema
de referencia cristalográfico.
©A. Carmelo Prieto Colorado
✓
Un conjunto de operadores de simetría (R), tienen
estructura de Grupo, respecto de la operación
producto, si cumplen las siguientes propiedades:
Cerrada: ∀A,B∈{G} A*B∈{G}
Asociativa: ∀A,B,C∈{G} (A*B)*C≡A*(B*C)
Elemento Neutro: ∀A∈{G}∃E (A*E)≡(E*A)≡A
Elmt. Inverso ∀A∈{G}∃A-1 (A*A-1)≡(A-1*A)≡E
G. Abeliano: ∀A,B∈{G} (A*B)≡(B*A)
G. Cíclico: ∀A∈{G}
(A,A1,A2,... An)≡E
©A. Carmelo Prieto Colorado
Simetría puntual: Grupos puntuales de simetría en dos y tres
dimensiones
Elementos de simetría en 1D, y 2D
Centros de Rotación: n
Lineas de Reflexión
1
1D
2Ξ1
y
2D
3
m
4
6
©A. Carmelo Prieto Colorado
GSP 2D : 10
1
m
2
2mm
3
3m
4
4mm
6
6mm
©A. Carmelo Prieto Colorado
Simetría puntual: Grupos puntuales de simetría en dos y tres
dimensiones
Elementos de simetría en 3D
Ejes de Rotación
propios: n
Planos de
Reflexión
Ejes de Rotación
impropios: n
1
1
2
2
3D
3
m
3
4
4
6
6
©A. Carmelo Prieto Colorado
Propiedades de los operadores de simetría
1°Si∃n;(n = 2n)⊥m∃1 en la intersección
2°Si∃m ∗ m(∠mm : θ mm = π /n) ⇒ ∃n : θ mm = 2π /n
3°Si∃m,m#,m##....en [UVW ] ≡ n ⇒ ∃m1 ...mn
4°Si∃[2;m⊥2;1 ] ⇒ (2 ∗ m ≡ 1 );(2 ∗ 1 ≡ m);(m ∗ 1 ≡ 2)
5°Si∃n⊥2 ⇒ ∃n2
6°Si∃n no ⇒ ∃ de E. generadores (n;1 )
7° (1 ≡ S2 );(2 ≡ S1 );(3 ≡ S6 );(4 ≡ S4 );(6 ≡ S3 )
% n(
%n(
8°Si∃[2⊥n ;n = 2n ] ⇒ ∃' * m //n ) y ∃' *2⊥n )
& 2)
&2)
©A. Carmelo Prieto Colorado
Tabla de multiplicación del Grupo de Simetría
Si ∃[2;m⊥2;1 ] ⇒ (2 ∗ m ≡ 1 );(2 ∗ 1 ≡ m);(m ∗ 1 ≡ 2)
€
1
m
1
1
2
m
1
1
m
€
2/m
1
2
m
1
€
€
2
m
m
1
1
2
2
1
m
€
2
2
1
1
m
€
€
€
2
€
1
1
m
2
1
Orden del grupo: número
ü de
elementos de simetría
©A. Carmelo Prieto Colorado
Posiciones equivalentes en la red
(-x-yz)
(-yxz)
(y-xz)
(xyz)
ü
Mutiplicidad: 4, 8, 12
©A. Carmelo Prieto Colorado
Combinación de ejes de rotación
Combinando n y ñ, no pueden existir dos y solo dos ejes que se corten en un
punto, siempre existirá un tercer eje.
Solo existen 4 posibilidades : nnn; n nn ; nn n ; n n n.
€
Las relaciones que cumplen los lados y ángulos de un triángulo esférico o de Euler:
-Un lado de un triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia
-La suma de los tres lados de un triángulo esférico es menor que 360º
-La suma de los tres ángulos es mayor que 180º y menor que 540º
-Si un triángulo esférico tiene dos ángulos iguales, los lados opuestos también son iguales
-Si un triángulo esférico tiene dos ángulos desiguales, a mayor ángulo se opone el mayor lado
©A. Carmelo Prieto Colorado
Combinación de rotaciones n y n
Para determinar si tres ejes (nx, ny, nz) se intersectan de forma
compatible en un punto debemos resolver el Triángulo esférico:
180º< θnx/2 + θny/2 + θnz/2 < 540º
Sabemos que θnx = 360º/nx , θny =360º/ny; θnz = 360º/nz
Sustituyendo tendremos que:
180º< 180º/nx + 180º/ny + 180º/nz < 540º
Dividiendo entre 180
1 < 1/nx + 1/ny + 1/nz < 3
El valor de nx, ny y nz no puede ser nunca 1, ya que no sería un eje de
simetría en sentido estricto, si no la identidad.
©A. Carmelo Prieto Colorado
El ángulo entre ejes, se determina -evitando la multiplicidad- con la Ley de los
cosenos:
Cos (nx∧ny) = [cos θnz/2 + (cos θnx/2) (cos θny/2)] / (sen θnx/2) (sen θny/2)
Cos (nx∧nz) = [cos θnx/2 + (cos θny/2) (cos θnz/2 )] / (sen θny/2) (sen θnz/2)
Cos (ny∧nz) = [cos θny/2 + (cos θnx/2) (cos θnz/2)] / (sen θnx/2) (sen θnz/2)
En función del orden del eje: (θn/2)=180/2, 120/2, 90/2, ó 60/2.
nx
2
3
4
6
4
2
ny
2
2
2
2
3
3
nz
2
2
2
2
2
3
nx∧ny
nx∧nz
ny∧nz
90º
90º
90º
90º
54º44´
54º44´
90º
90º
90º
90º
45º
54º44´
90º
60º
45º
30º
35º16´
70º32´
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GSP 3D : 32
rotaciones propias n
1
3
2
4
5
6
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rotaciones impropias n
1
3
2
m ≡ (2 )
4
6
€
10
©A. Carmelo Prieto Colorado
rotaciones propias nnn
222
32 (322)
422
622
23 (233)
432
16
©A. Carmelo Prieto Colorado
rotaciones propias n I m
2/m
4/m
6/m
19
©A. Carmelo Prieto Colorado
rotaciones propias nnn I m
"4 2 2%
4 / mmm$
'
# m m m&
" 2%
3 m$ 3 '
# m&
"2 2 2%
mmm$
'
# m m m&
€
€
"6 2 2%
6/mmm$
'
# m m m&
"2
m3$
#m
"4 2%
m3m$ 3 '
# m m&
%
3'
&
25
€
€
©A. Carmelo Prieto Colorado
Combinaciones propias e impropias nnn; nnn y nnn
222 ⇔ 22 2 (mm2)
322 ⇔ 32 2 (3m)
# 42 2 (4 mm)&
422 ⇔ $
'
% 422 (42m) (
#62 2 (6mm)&
622 ⇔ $
'
% 6 22 (6 m2) (
432 ⇔ 43 2 (43m)
©A. Carmelo Prieto Colorado
Combinaciones propias e impropias nnn; nnn y nnn
22 2 (mm2)
€
62 2 (6mm)
32 2 (3m)
42 2 (4mm)
€
€
422 (42m)
43 2 (43m)
6 22 (6 m2)
32
€
€
©A. Carmelo Prieto Colorado
GSP 3D : 32
n
1
n
1
nnn
n⊥m
2
m≡2
222
2/m
3
3
32;(322)
∗
4
6
4
6
422
622
23;(233)
432
4 /m
6/m
nnn⊥m
$2 2 2'
mmm;&
)
% m m m(
$ 2'
3 m;& 3 )
% m(
$4 2 2'
4 / mmm;&
)
% m m m(
$6 2 2'
6 / mmm;&
)
% m m m(
$2 '
m3;& 3)
%m (
$4 2'
m3m;& 3 )
% m m(
n nn ;nn n ;n n n
mm2;(22 2 )
3m;( 32 2 )
4 mm;( 42 2 )
42m;( 422 )
6mm;(62 2 )
6 m2;( 6 22 )
43mm;( 43 2 )
$2
'
3
6 4
4 6
∗3 / m ≡ ( 6 );& ≡ m; ≡ ; ≡ ; ≡ 6)
m m m m m
%m
(
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Símbolos de los grupos puntuales
©A. Carmelo Prieto Colorado
©A. Carmelo Prieto Colorado
32 Clases Cristalinas
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©A. Carmelo Prieto Colorado
©A. Carmelo Prieto Colorado
©A. Carmelo Prieto Colorado
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Grupos Puntuales de Laue
©A. Carmelo Prieto Colorado
Ángel Carmelo Prieto Colorado
Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía
Facultad de Ciencias
Universidad de Valladolid