Download l2 - Ingenieria Mecanica y Electromecanica | Ingenieria Mecanica y

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERIA ELECTRICA
TEXTO DE ELT 250
CIRCUITOS ELECTRICOS II
DOCENTE:
Msc. ING. RAUL S. LEAÑO ROMAN
LA PAZ - BOLIVIA
CAPITULO I
ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO DE LAS MALLAS.
El siguiente método de formato es usado para abordar el análisis de mallas.
1. Asignar una corriente de malla a cada trayectoria cerrada independiente en el sentido de las
manecillas del reloj (Figura 7).
2. El número de ecuaciones necesarias es igual al número de trayectorias cerradas
independientes escogidas. La columna 1 de cada ecuación se forma sumando los valores de
resistencia de los resistores por los que pasa la corriente de malla que interesa y multiplicando
el resultado por esa corriente de malla.
3. Debemos considerar los términos mutuos, se restan siempre de la primera columna. Es
posible tener más de un término mutuo si la corriente de malla que interesa tiene un elemento
en común con más de otra corriente de malla. Cada término es el producto del resistor mutuo
y la otra corriente de malla que pasa por el mismo elemento.
4. La columna situada a la derecha del signo igual es la suma algebraica de las fuentes de
tensión por las que pasa la corriente de malla que interesa. Se asignan signos positivos a las
fuentes de fuerza electromotriz que tienen una polaridad tal que la corriente de malla pase de
la terminal negativa a la positiva. Se atribuye un signo negativo a los potenciales para los que
la polaridad es inversa.
5. Se resuelven las ecuaciones simultáneas resultantes para las corrientes de malla deseadas.
Figura 1. Una red eléctrica donde claramente se distinguen dos mallas. Nótese como las
corrientes de malla se dibujan en el sentido de las agujas del reloj.
Análisis de circuitos por el método nodal.
El siguiente método de formato es usado para abordar el análisis nodal
1. Escoger un nodo de referencia y asignar un rótulo de voltaje con subíndice a los (n — 1)
nodos restantes de la red (Figura 8).
2. El número de ecuaciones necesarias para una solución completa es igual al número de
tensiones con subíndice (N - 1). La columna 1 de cada ecuación se forma sumando las
conductancias ligadas al nodo de interés y multiplicando el resultado por esa tensión nodal
con subíndices.
3. A continuación, se deben considerar los términos mutuos, se restan siempre de la primera
columna. Es posible tener más de un término mutuo si la tensión nodal de la corriente de
interés tiene un elemento en común con más de otra tensión nodal. Cada término mutuo es el
producto de la conductancia mutua y la otra tensión nodal enlazada a esa conductancia.
4. La columna a la derecha del signo de igualdad es la suma algebraica de las fuentes de
corriente ligadas al nodo de interés. A una fuente de corriente se le asigna un signo positivo si
proporciona corriente a un nodo, y un signo negativo si toma corriente del nodo.
Figura 8. Una red eléctrica donde claramente se distinguen cuatro nodos. Nótese como uno
de los nodos se tomó como referencia, o sea, su potencial es cero.
Resolver las ecuaciones simultáneas resultantes para las tensiones nodales deseadas.
Figura 1: La ley de corrientes de Kirchhoff es la base del análisis de nodos.
En análisis de circuitos eléctricos, el análisis de nodos, o de tensiones nodales, es un método
para determinar la tensión (diferencia de potencial) de los nodos (puntos donde dos o más
elementos se conectan) en un circuito eléctrico en términos de las corrientes.
Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podrían usar análisis de nodos
(tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o análisis de malla (corrientes
de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el análisis de nodos se escribe
una ecuación para cada nodo, con condición que la suma de esas corrientes sea igual a cero en
cualquier instante, por lo que una carga no puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se
escriben en términos de las tensiones de cada nodo del circuito. Estas corrientes se escriben en
términos de las tensiones de cada nodo del circuito. Así, en cada relación se debe dar la
corriente en función de la tensión con la conductancia. Por ejemplo, para un resistor, Irama =
Vrama * G, donde G es la conductancia (=1/R) del resistor.
El análisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este método
produce un sistema de ecuaciones, que puede resolverse a mano si es pequeño, o también
puede resolverse rápidamente usando álgebra lineal en un computador. Por el hecho de que
forme ecuaciones muy sencillas, este método es una base para muchos programas de
simulación de circuitos (Por ejemplo, SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen
conductancia, se puede usar una extensión más general del análisis de nodos, El análisis de
nodos modificado.
Los ejemplos simples de análisis de nodos se enfocan en elementos lineales. Las redes no
lineales(que son más complejas) también se pueden resolver por el análisis de nodos al usar el
método de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas
lineales.
Figura 2: Se elige el nodo con más conexiones como nodo de referencia (cuya tensión es 0) y
se asignan 3 variables Va, Vb y Vc
1. Localize los segmentos de cable conectados al circuito. Estos serán los nodos que se usarán
para el método.
2. Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto
no afecta para nada los cálculos; pero elegir el nodo con más conexiones podría simplificar el
análisis.
3. Identifique los nodos que están conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el
nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensión del nodo. Si la fuente es
independiente, la tensión del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK.
4. Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensión del nodo
ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Véase Figura 2)
5. Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las Leyes de Kirchhoff
Básicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo e igualelas a 0. si el número de
nodos es n, el número de ecuaciones será por lo menos n − 1 porque siempre se escoge un
nodo de referencia el cual no se le elabora ecuación.
6. Si hay fuentes de tensión entre dos tensiones desconocidas, una esos dos nodos como un
supernodo. Las corrientes de los dos nodos se combinan en una nueva ecuación muy sencilla.
7. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada tensión desconocida.
Ejemplo 1: Caso básico
Circuito sencillo con una tensión desconocida V1.
La única tensión desconocida en este circuito es V1. Hay tres conexiones en este nodo y por
esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el
nodo, así:
Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:
Se resuelve con respecto a V1:
Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada
variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular
cualquier corriente desconocida.
[editar] Ejemplo 2
Gráfico del Ejemplo 2
Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos'
1.
2.
3.
4.
5.
o
Solución:
Se localizan todos los nodos del circuito.
Se busca el nodo con más conexiones y se le llama nodo de referencia Vd (Figura 3).
No hay fuentes de tensión.
Se le asignan variables a los nodos Va, Vb y Vc
Se plantean las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff, así:
Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de 2Ω tiene la polaridad de
la Figura 5. Así
simplificando:

Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán
la polaridad de la Figura 3:
factorizando obtenemos
Para la polaridad del nodo Vc asumimos así:
factorizando obtenemos:
Sistema de ecuaciones: Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar
los valores del los voltajes en los nodos.
Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: Va = 42.5V, Vb = 22.5V y
Vc = 12.5V
Supernodos
En este circuito, VA está en medio de dos tensiones desconocidas, y además es un supernodo.
En este circuito, inicialmente tenemos dos tensiones desconocidas, V1 y V2. La tensión en la
terminal positiva de VB ya se conoce porque la otra terminal se encuentra en el nodo de
referencia. La corriente que pasa por la fuente de voltaje VA no puede ser calculada
directamente. Además no podemos escribir las ecuaciones de corriente para V1 y 2. Incluso si
los nodos no pueden resolverse individualmente, sabemos que la combinación de estos nodos
es cero. Esta combinación de los dos nodos es llamada el método de supernodo, y requiere
una ecuación adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V1 = V2 + VA.
El sistema de ecuaciones para este circuito es:
Al sustituir V1 en la primera ecuación y resolviendo con respecto a V2, tenemos:
Ejemplo de resolución por supernodos
Ejemplo de supernodo
Para calcular la tensión entre las terminales de la fuente de tensión, sumamos las tensiones de
las resistencias que están unidas a estos nodos, y además consideramos los dos nodos de la
fuente de tensión como uno solo, así:

Tensión en la resistencia de 4Ω:
factorizando

Observamos el supernodo en los nodos Vb y Vc, tomamos estos dos nodos como uno solo, por
lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a
Vb y Vc:
factorizando

Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en
los nodos así:
Vb − Vc = 10
Observación:Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta última
ecuación, y así obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.
Sistema de ecuaciones:
Resolviendo Va= 62,5 V, Vb= 22,5 V y Vc= 12,5 V
EJEMPLOS
CAPITULO 2
RESONANCIA Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Resonancia en un circuito RLC en serie
Se dice que un circuito RLC en serie esta en resonancia cuando la corriente tiene su máximo
valor . En general la corriente se puede escribir como
Donde Z es la impedancia
De aquí se deduce que para que la corriente I sea máxima la impedancia Z debe tener un valor
mínimo o como se dice que el circuito es una resonancia en serie o resonancia de baja
impedancia cuando Z es real (i por tanto| Zen | es mínimo) esto es cuando
 o  1  LC
Esta frecuencia corresponde a la frecuencia natural de oscilación de un circuito LC, Por lo
tanto la corriente en un circuito RLC en serie alcanza su valor máximo
Circuito en paralelo.
En la estructura mostrada nos interesa evaluar la variación de la amplitud y fase en estado
estacionario de la tensión de salida vo(t), cuando se produce una variación de la frecuencia de
la fuente de corriente.
El comportamiento es como el que se grafica en la figura.
Vo  I  Y
Y  (1 / R)  (1 / j L)  ((  C ) / j )  (1 / R)  j(  C  1 /(  L))
Vo  Is /(1 / R  j( C  1 /  L))
Vo  Im / 0 / 1 / R 2  ( C  1 /  L) 2 / 
Vm  Im/ 1 / R 2  ( C  1 /  L) 2
tg  ( C  1 /  L)R
La frecuencia de resonancia del circuito se define como la frecuencia a la cual la impedancia
(admitancia) a la fuente de corriente es enteramente resistiva. En este caso:
 o  1  LC
Lugares geométricos
A menudo se utiliza esta forma de utilizar la condiciones de funcionamiento de algunos
equipos eléctricos como las maquinas de corriente alterna, líneas de transmisión como se les
llama, se usan tanto en sistemas de suministro de energía como en comunicaciones.
Procedimiento analítico de inversión geométrica.
Ejemplo: Se desea obtener el lugar geométrico de la corriente en un circuito serie R-L cuando se
varía la frecuencia de una fuente de amplitud de tensión constante.
El procedimiento general es:
a) representar el lugar geométrico del vector impedancia compleja Z,
b) determinar mediante la inversión de Z el lugar del vector admitancia Y
correspondiente,
c) multiplicar el lugar geométrico de Y por la tensión vectorial E obteniendo el
lugar geométrico de la corriente I.
a) Z = R + jwL
j
(Imag)
3 1
X=
L
2 1
Z
1

Z
R=
Cte
Real
b) Trazar Y = 1/Z
Lo trataremos como un problema de geometría analítica. Teniendo:
Z(u) = R(u) + jX(u)
hallar un lugar geométrico recíproco gráficamente.
Si representamos Z(u) en un sistema cartesiano R-X el plano determinado se llama
"plano Z" y el lugar geométrico de Z al variar u podría tener la forma siguiente:
X
Z(uZ)
X(uZ)

Z
R
R(uZ)
Deseamos hallar:
Y = 1/Z(u) = 1/[R(u) + jX(u)]
abandonando la notación funcional por simplicidad:
Y = 1/Z = 1/(R + jX) = (R - jX)/(R2 + X2) = G + jB
G = R/(R2 + X2)
con:
B = -X/(R2 + X2)
B
G(uZ)
G

Y
B(uZ)
Y(uZ)
El lugar geométrico de Y al variar u se representa en el plano G-B llamado "plano Y" y
este lugar es la inversión compleja del lugar Z(u).
Tomando el recíproco de Y se podrían obtener R y X en función de G y de B:
Z = 1/Y = 1/(G + jB) = (G - jB)/(G2 + B2) = R + jX
con:
R = G/(G2 + B2)
X = -B/(G2 + B2)
Procedimiento gráfico de inversión geométrica
Hemos visto que la parte imaginaria de Y es de signo opuesto al de la de Z por lo que
geométricamente conviene realizar la inversión en dos pasos principales.
Primero se obtiene el conjugado de Y, Y*:
Y*  G  jB 
R
X
 j 2
2
R  X
R  X2
2
luego se obtiene Y substituyendo B' por -B' es decir obteniendo la imagen de Y* con respecto al
eje G.
Se puede evitar trabajar en el plano complejo haciendo varios pasos intermedios en el
plano real.
Del punto R + jX del plano complejo Z se toman R y X determinando un punto en el
plano real R-X (geométricamente igual al Z pero con coordenadas reales).
Mediante las ecuaciones:
G = R/(R2 + X2); B = -X/(R2 + X2); y B'= -B
se obtienen las coordenadas de un plano real G-B'. Esto es la inversión geométrica.Para obtener el punto G - jB' del plano complejo Y no hay más que cambiar de nombre a los ejes
obteniendo primero el punto (G,B') y luego hallando su imagen con respecto al eje real G se
obtiene (G,-B') o sea Y = G +jB.
Procedimiento:
En el plano a procesar se traza con centro en el origen una circunferencia de radio
unitario, para lo cual se deberá trabajar con la misma escala en ambos ejes ortogonales.
Desde el origen se traza una semirrecta que pase por el punto (m) al que se desea obtener
la inversión. Pueden ocurrir dos casos: que el punto quede fuera o dentro de la circunferencia
unidad.
Si queda fuera: se traza por el punto una de las tangentes posibles a la circunferencia. Del
punto de tangencia (n), que puede precisarse teniendo en cuenta que la perpendicular a la
tangente en ese punto pasa por el origen, se traza una perpendicular a la semirrecta Om que
determina en su intersección con ésta el punto m' que es la inversión gráfica buscada.
Si queda dentro: se traza una perpendicular a la semirrecta desde el punto. Desde la
intersección de ésta con la circunferencia unidad se traza una tangente a la misma cuya
intersección con la semirrecta Om define la inversión deseada como punto m'.
X
B'
m' (R-X) inversión
geométrica de m
n
m
o
R
G
'
circunferencia
unidad
m" (G-B)
inversión
compleja de m
La demostración se puede obtener considerando que los triángulos onm y mnm' son
rectángulos y tienen un ángulo agudo en común por lo que resultan ser semejantes. Por ello se
puede escribir que:
om
on
1


om 
on
om'
om'
ya que on que es, por construcción, igual a 1.
Con ello se demuestra que las distancias al origen (módulo) son recíprocas y los ángulos (fase)
son iguales por estar ambos puntos sobre la misma semirrecta que pasa por el origen.
Si hallamos la imagen de m' respecto al eje R obtenemos el punto m" que puede interpretarse
como la inversión compleja de m.
VI - A.2.3 - Lugares geométricos circulares.
Supongamos tener en el plano Z un lugar geométrico, de una cierta impedancia, circular:
X
(Z)
r

0

R
Z estará dada por:
(R - )2 + (X - )2 = r2
R2 + 2 - 2R + X2 +2 - 2X - r2 = 0
Reemplazamos R y X en función de G y B':
1/(G2 + B'2) - 2G/(G2 + B'2) - 2B'/(G2 + B'2) + 2 + 2 - r2 =
0
2
2
Multiplicamos por: (G + B' )/(2+2-r2)
1/(2+2-r2) - 2aG/(2+2-r2) - 2B'/(2+2-r2) + G2 + B'2 = 0
Sumamos y restamos: 2/(2+2-r2)2
y
2/(2+2-r2)2
[G2 - 2G/(2+2-r2) + a2/(2+2-r2)2] - 2/(2+2-r2)2 +
+ [B'2 - 2B'/(2+2-r2) + 2/(2+2-r2)2] - 2/(2+2-r2)2 =
= -1/(2+2-r2)
[G - /(2+2-r2)]2 + [B' - /(2+2-r2)]2 = r2/(2+2-r2)2
Expresión
que
corresponde
a
la
ecuación
de
una
circunferencia, que se convierte en una recta si se cumple que:
2 + 2 = r2
Partiendo de una recta, por ejemplo:
Y = m + jn(u)
la recíproca resultará:
Z = 1/[m + jn(u)]
m + jn = 1/Z = 1/(x + jy) = (x - jy)/(x2 + y2)
igualando partes reales hacemos:
m = x/(x2 + y2)
con lo que:
mx2 + my2 = x
x2 + y2 - x/m = 0
x2 + y2 - x/m + 1/4m2 = 1/4m2
(x - 1/2m)2 + y2 = (1/2m)2
llegando a la ecuación de una circunferencia de radio 1/2m que
tiene su centro en x = 1/2m e y = 0
VI - A.2.4 - Lugares geométricos de las funciones elementales (sin pérdidas).
Si consideramos los elementos reactivos en forma aislada obtenemos como respuesta las
curvas siguientes:

XL

BL
Susceptancia Inductiva
Reactancia Inductiva

BC

XC
Reactancia Capacitiva
Susceptancia Capacitiva
Vemos que se cumple que la pendiente de las curvas es siempre positiva, es decir hacia arriba y a
la derecha.
Para las combinaciones de inductancia y capacidad se obtienen las gráficas siguientes.
Para los elementos en serie se cumple la misma propiedad para la reactancia y para la
susceptancia.
Y, por dualidad, podemos decir que lo mismo ocurre con los elementos puestos en
paralelo.
A las curvas las definen los polos (infinitos) y los ceros y la escala vertical la da otro
punto cualquiera.
El Teorema de la reactancia de Foster dice que ninguna otra curva puede pasar por los
mismos polos y ceros a menos que difiera en la escala vertical.
B
X


Reactancia Serie L-C




Susceptancia Serie L-C
Las reglas generales son:
1) En todas observamos que la pendiente es siempre positiva, arriba y a la derecha.
2) Los polos y ceros están siempre alternados a lo largo del eje .
3) Encontraremos siempre un polo o un cero en ambos extremos, es decir para frecuencia
cero y para frecuencia infinita.
Físicamente hay un cero para = 0 si existe un camino que no pase por un capacitor.
Hay un cero para = si hay un camino que no contenga una inductancia.
Debe recalcarse que así como hay una sola forma de círculo o de recta hay una sola
forma de curva de reactancia (o susceptancia). Sólo una recta puede pasar por dos puntos, una
circunferencia por tres, y una curva de reactancia o susceptancia por los polos y ceros
especificados.
Lugares geométricos de las funciones
pérdidas).
elementales
(con
Si consideramos una inductancia en serie con una resistencia su impedancia estará dada
por la expresión:
Z = R0 + j L
Por consiguiente la admitancia será la recíproca compleja:
Y = 1 / Z = 1 / ( R0 + j L )
La primera expresión es la de una semirrecta en el plano Z mientras que la otra es un
semicírculo en el plano Y; lo que puede ponerse en evidencia escribiendo Y(R0+j L)=1 y
dividiendo por R0 queda Y + jY L/R0 = 1/R0 que indica que para cualquier valor de frecuencia
se forma un triángulo rectángulo que tiene la hipotenusa de valor constante. Nótese que la
primera está en el semiplano positivo y la segunda en el negativo debido al hecho de ser
expresiones complejas.
X
(Z)
(Y)
B
1/2R0
f
L
Y

1/R0
jYL/
R0
Y

R0
G
f
R
Para el circuito paralelo R, L, C, de tres ramas veremos que con la frecuencia varía tanto
la parte resistiva como la reactiva de la impedancia:
G
B
Y  G  jB

Z  2
 j 2
 R  jX
2
G  B
G  B2
Podemos obtener entonces los siguientes diagramas:
R
0
f/f0
0.99
1.0
1.01
Parte resistiva de la impedancia
X
f/f0
0
0.99
1.0
1.01
Parte reactiva de la impedancia
f/f0
=0.
99
X
f/f0 =1.0
f=0
f=∞
R
f/f0=1.01
Impedancia en el plano Z
En el circuito sin pérdidas la reactancia cambia de signo en la frecuencia de resonancia,
en f=f0, con discontinuidad infinita; con pérdidas el cambio se hace menos brusco.
En todos los casos que representamos el plano de impedancias o admitancias la
frecuencia no aparece como variable pero se puede indicar sobre las curvas.
REGLAS GENERALES:
1)Cuando el lugar geométrico es una curva cerrada la frecuencia aumenta en el
sentido del reloj, cuando es abierta aumenta hacia arriba.
2)Los lugares geométricos empiezan y terminan (en f = 0 o en f = ) sea en el eje
horizontal o en el infinito. En su principio y en su final la curva es horizontal o vertical.
El circuito paralelo de dos ramas se comporta de la misma manera que el de tres ramas
cerca de la frecuencia de resonancia.
La rama C es una recta y la R-L una semicircunferencia. La admitancia es la suma de
ambas para cada frecuencia. Para la impedancia tiene la forma que se muestra.
B
R
X
Z
Y=jC+1/(R+jL)
jC
L
C
f=
f=f0
f=0
Circuito
∞
1/R0
1/(R+j
L)
Admitancia
R0
f=0
G
Impedancia
f=f0
R
Analicemos ahora la expresión de la tensión en una impedancia:
V = I·Z = I·R + jI·X
y supongamos que el circuito
tiene resistencia constante,
con lo que podemos poner:
V/R = I + jI·X/R
expresión que nos indica que
el lugar geométrico de la
=0
corriente es, en este caso,
=
una circunferencia ya que nos
queda formado un triángulo
I
rectángulo con la hipotenusa
constante.
X<0
V/R
=0
jIX/R
X>0
La circunferencia ocupa el semiplano positivo para valores negativos de la reactancia y el
negativo para los positivos.
Si es en función de la frecuencia ésta
R=0
aumenta
en
el
sentido
horario
comenzando en el origen, recorriendo el
semiplano positivo hasta llegar a la
X<0
abscisa
para
la
frecuencia
de
resonancia y volviendo al origen, por
el
semiplano
negativo,
para
la
R=
frecuencia infinita.
Si,
en
cambio,
resulta
la
resistencia variable y constante la
I
reactancia
el
resultado
es
el V/jX
X>0
siguiente:
IR/j
V/jX = IR/jX + I
X
y se obtiene una semicircunferencia
R=0
ubicada en el semiplano negativo si la
reactancia
es
positiva,
o
en
el
positivo si ésta es negativa.
Para la expresión de la corriente tendríamos en el circuito paralelo:
I = V·G + jV·B
expresión dual a la de la tensión y, consecuentemente, el lugar geométrico de la tensión puede
obtenerse por dualidad de los mismos gráficos.
RESPUESTA EN FRECUENCIA
Bajo este título analizaremos la respuesta en régimen permanente de configuraciones
básicas de los circuitos teniendo como variable a la frecuencia de la excitación.
Circuito serie RL (Resistencia Inductancia)
R
L
Examinaremos ahora el comportamiento del circuito a través del análisis del valor
absoluto de la impedancia y de su ángulo de fase
|Z| = [R2 + ( L)2]½
z= arctg ( L/R)
para generalizar el estudio podemos tomar la impedancia relativa:
|Z|/R = [1 + ( L/R)2]½
De esta manera vemos que tanto la impedancia relativa como su ángulo de fase son
funciones de L/R y una sola representación gráfica puede cubrir todos los casos para todas las
frecuencias, es decir que podemos obtener un gráfico universal o normalizado.
Observamos que tanto la constante de tiempo, = L/R, como la frecuencia intervienen
con igual importancia. En función de su producto el comportamiento varía desde el resistivo
puro (Z = R, con = 0) al inductivo puro (Z = L, con = /2):
|Z|/R
Z
3
2
|Z|/
R

2

Z
1
0
1
Gráfico normalizado para circuito R-L serie

T
Circuito serie RS (Resistencia Elastancia).
R
S
También analizamos del valor absoluto de la impedancia y de su ángulo de fase:
2 1/2
|Z| = [R2
]
z
generalicemos tomando la impedancia relativa:
|Z|/R = [1 + (S/ R)2]1/2
De esta manera vemos que tanto la impedancia relativa como su ángulo de fase son
funciones de S/ R.
Observamos que tanto la constante de tiempo, = R/S, como la frecuencia intervienen
con igual importancia. Su producto es ahora la inversa de la variable y en función de ésta el
comportamiento varía desde el resistivo puro (Z = R, con = 0) al capacitivo puro (Z = S/ , con
/2):
|Z|/
R
|Z|/
R
5
4
3
2
1
S/
R
1/T
0
Z


Z
Si invertimos la variable obtenemos una representación gráfica análoga al estudio
anterior, que nos servirá para todos los casos y todas las frecuencias, es decir que podemos
obtener un gráfico universal o normalizado.
|Z|/
R
5
4
3
2
1
|Z|/
R
0
Z


Z
Gráfico normalizado para circuito R-C serie
R/
S

T
Circuito serie RLS (Resistencia Inductancia y
R
Elastancia)
L
S
Este caso exige un estudio más completo. La impedancia es, como sabemos:
Z = R + j(XL + XC) = R + jX
la parte XL + XC = X = L - S/ , es la reactancia del circuito y la única que contiene a la
frecuencia angular (omega); las componentes son:
XL = L y XC = - S/
En el margen de frecuencias en que la reactancia es positiva el circuito responderá
inductivamente y en el que sea negativo, por lo contrario, el comportamiento será capacitivo.
Podemos representar la reactancia (X) y sus componentes en un gráfico en función de .
XL será una recta ( L) y XC una hipérbola equilátera (-S/ )
XL
L

0
-S/
XC
Reactancias para circuito R-L-C serie
Por su parte podemos representar la variación de la impedancia de la siguiente forma:
|Z|
XL
X
R
Z0


0
XC
Componentes del circuito R-L-C serie
Habrá un valor para el cual XL = -XC, es decir que X = 0; tal situación la tendremos para
la frecuencia angular llamada de resonancia e indicada como 0 en la cual:
L - S/ = 0
expresión de la que obtenemos:
= (S/L)1/2 = (1/LC)1/2
CAPITULO 3
SISTEMAS TRIFASICOS.
Los generadores trifásicos contienen tres fuentes sinusoidales de tensión
de igual frecuencia pero desfasadas 120° unas con otras. Esto se realiza
situando tres bobinas separadas 120° eléctricos en un mismo rotor.
Normalmente, las amplitudes de las tres fases son también iguales. En
este caso se dice que el generador está equilibrado.
En las tres bobinas están igualmente distribuidas alrededor de la
circunferencia del rotor, es decir, las bobinas están desplazadas unas con
otras en 120° mecánicos. Es evidente que si al girar en el sentido
contrario a las agujas del reloj los lados A, B y C de las bobinas pasan
bajo los polos en el orden …….A-B-C-A-B-C…. La polaridad de la
tensión se invierte en cada cambio de polo. Suponiendo que la forma del
polo y la correspondiente densidad de flujo magnético son tales que la
tensión o las tensiones inducidas son sinusoidales, el resultado en las
tres bobinas es:
La tensión “B” esta 120 ° eléctrico retrasada a la “A” y la “C” retrasa
240°. Esta distribución se conoce como secuencia A B C. Cambiando el
sentido de giro se obtendrá …..A C B A C B….. que se denomina
secuencia CBA.
Lo visto anteriormente es un modelo teórico, en un modelo real el
campo es el que gira y el bobinado 3Ø esta estático.
CONEXIÓN ESTRELLA “Y”.
Las terminales de las bobinas se pueden conectar en estrella (también
designado “Y”) con los terminales A’, B’ y C’ unidas en un punto
común denominado neutro “N”, y los terminales A, B y C se prolongan
para ser líneas o fases del sistema trifásico.
La tensión de cada bobina es la tensión de fase.
VL 
 3V
f
IL  I f
CONEXIÓN DELTA “∆”.
Los terminales de las bobinas del generador se pueden conectar
obteniéndose en este caso un sistema trifásico conectado en triangulo
con líneas A, B, y C. Una conexión en triangulo de las bobinas no tiene
neutro para realizar el sistema de cuatro hilos.
En conexión delta.
IL 
 3 I
f
VL  Vf
SECUENCIA DE FASES.
Las secuencias de fases A B c y C B A, es solo una convención referida
a la rotación.
Sec: A B C
Sec: C B A
El sentido del sistema de fasores gira en sentido contrario a las agujas
del reloj.
2.5
TENSIONES NORMALIZADAS 3Ø.
La relación del Angulo de fase de una de las tensiones en el sistema
trifásico fijar los ángulo de todos los demás.
VAN  V f 900
Fase
VBN  V f  300
VBC  VL 00
Línea
VCA  VL 2400  VL  1200
VCN  V f 2100  V f  1500
VAN  V f  900
Fase
VBN  V f 300
VAB  VL 1200
VBC  VL 00
Línea
VCN  V f  2100  V f 1500
VCA  VL 1200
VAB  VL 2400  VL  1200
CIRCUITOS TRIFASICOS DESEQUILIBRADOS
Con el conocimiento suscitado en circuitos equilibrados, podemos
comparar hasta cierto punto, con la excepción de que en un circuito
desequilibrado solo basta que una impedancia varié para que se cumpla
el desequilibrio ( Z1  Z2  Z3 ).
DELTA DESEQUILIBRADO.
En este circuito si al menos una de las impedancias es diferente, existe
una clara diferencia entre las corrientes trifásicas de línea y de fase.
I AB 
VAB
Z AB
I A  I AB  ICA
I BC 
VBC
Z BC
I CA 
VCA
ZCA
IC  ICA  I BC
I B  I BC  I AB
La solución de cargas desequilibradas en ∆ consiste en calcular las
intensidades de fase y posteriormente aplicar la LKC para obtener las de
línea. Las intensidades de corriente serán distintas entre si y no tendrán
la simetría del caso equilibrado.
ESTRELLA DESEQUILIBRADO (4 hilos).
Si al menos una de las impedancias es diferente entonces el sistema 3Ø
es desequilibrado, “ I N  0 ”.
IA 
VAN
ZA
IB 
VBN
ZB
IC 
VCN
ZC
I N  I A  I B  IC  0
El conductor neutro transporta la corriente de desequilibrio de una carga
conectada en “Y” estrella y mantiene el valor de la tensión fase neutro a
lo largo de cada línea hasta la carga. Las intensidades de línea son
distintas entre si y no guardan simetría alguna en el diagrama fasorial.
ESTRELLA DESEQUILIBRADO (3 hilos).
Si al menos una de las impedancias es diferente entonces el circuito es
desequilibrado y el punto central deja de ser el punto neutro y se
desplaza hacia el punto “O”.
Desplazamiento del neutro “ VON ”
VAN  VAO  VON
VBN  VBO  VON
VCN  VCO  VON
→
→
→
VAO  VAN  VON
VBO  VBN  VON
VCO  VCN  VON
VON  VNO
En el punto “O” aplicamos la primera ley de Kirchoff.
I A  I B  IC  0
VAO VBO VCO


0
Z A Z B ZC
VAN  VON VBN  VON VCN  VON


0
ZA
ZB
ZC
1
VAN VBN VCN
1
1 


 VON  

 0
Z A Z B ZC
 Z A Z B ZC 
Desplazamiento del neutro:
VAN VBN VCN


Z A Z B ZC
VON 
1
1
1


Z A Z B ZC
CAPITULO 4
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Introducción.La potencia eléctrica es un parámetro instantáneo, generado o absorbido por un elemento de
un circuito dependiendo el tipo de bipólo involucrado ya sea este activo o un bipólo pasivo.
La misma viene dada por el producto de la tensión instantánea v( t ) en las terminales del
elemento y una corriente instantánea it  a través del mismo
pt   vt it 
Potencia en cargas equilibradas.a) Delta
IL
A
+88.8
Amps
Vl=Vf
+88.8
AC Volts
Z
Z
If
B
Z
C
Al tener cargas equilibradas se puede evidenciar que las corrientes de línea son iguales, y que
la tensión de línea es igual a la tensión de fase, por consiguiente la potencia de fase es un
tercio a la potencia total.
Para el caso de un circuito trifásico de conexión delta sabemos que la tensión de línea es
igual a la tensión de fase lo que da como resultado la potencia por fase:
PF  VL I F cos
QF  VL I F sin 
S F  VL I F
Siendo θ el angulo de la impedancia.
Por lo tanto, como ya fue mencionado que la potencia por fase es un tercio de la potencia
total se tiene que:
PT  3VL I F cos 
QT  3VL I F sin 
ST  3VL I F
Como : I L  3* I F para un circuito delta se puede definir la potencia total como:
PT  3VL
IL
cos
3
De la misma manera para la potencia reactiva y potencia aparente tenemos:
PT  3VL I L cos 
QT  3VL I L sin 
ST  3VL I L
b) Estrella 3,4 hilos
IL
A
+88.8
AC Amps
Vf
+88.8
AC Volts
If
VL
Z
+88.8
AC Volts
N
Z
B
C
Z
En el caso de la conexión estrella la corriente de línea es igual a la corriente de fase y la
tensión en las impedancias es la tensión de fase, entonces tenemos como potencia por fase:
PF  VF I L cos
QF  VF I L sin 
S F  VF I L
Siendo θ el angulo de la impedancia.
De igual manera a la conexión delta la potencia por fase es un tercio de la potencia total
entonces se tiene que:
PT  3VF I L cos 
QT  3VF I L sin 
ST  3VF I L
Como : VL  3 *VF para un circuito estrella se puede definir la potencia total como:
PT  3VL
IL
cos
3
De la misma manera para la potencia reactiva y potencia aparente tenemos:
PT  3VL I L cos 
QT  3VL I L sin 
ST  3VL I L
En el caso de un sistema equilibrado independientemente de su conexión se tiene la misma
potencia total, esto se evidencia en las ecuaciones mostradas.
La gran ventaja de las cargas equilibradas es que se puede medir su potencia en un circuito
monofásico equivalente sabiendo que la potencia por fase es un tercio de la potencia total.
Potencia en carga desequilibrada
a) Delta
IA
A
Zab
Zca
Iab
Ica
IB
B
Zbc
Ic
C
Ibc
En el caso de tener un sistema desequilibrado delta la potencia total viene dada por la suma de
las potencias de cada fase:
PAB  VAB I AB cos  AB
PBC  VBC I BC cos  BC
PCA  VCA I CA cos  CA
PT  PAB  PBC  PCA
De la misma manera para la potencia reactiva y la potencia aparente:
QAB  VAB I AB sin  AB
S AB  VAB I AB
QBC  VBC I BC sin  BC
S BC  VBC I BC
QCA  VCA I CA sin  CA
SCA  VCA I CA
QT  QAB  QBC  QCA
ST  S AB  S BC  SCA
b) Estrella tres hilos
A
Ia
Za
Zb
Zc
IB
B
IC
C
En este sistema trifásico desequilibrado la tensión de fase no es simétrica:
PA  VAO I A cos  A
PB  VBO I B cos  B
PC  VCO I C cos  C
PT  PA  PB  PC
De la misma manera para la potencia reactiva y la potencia aparente:
QA  VAO I A sin  A
S A  VAO I A
QB  VBO I B sin  B
S B  VBO I B
QC  VCO I C sin  C
SC  VCO I C
QT  QA  QB  QC
ST  S A  S B  SC
c) Estrella cuatro hilos
A
Ia
N
Za
IN
Zb
Zc
IB
B
IC
C
A diferencia de la anterior conexión se tiene las tensiones simétricas debido al conductor
neutro:
PA  VAN I A cos  A
PB  VBN I B cos  B
PC  VCN I C cos  C
PT  PA  PB  PC
De la misma manera para la potencia reactiva y la potencia aparente:
QA  VAN I A sin  A
S A  VAN I A
QB  VBN I B sin  B
S B  VBN I B
QC  VCN I C sin  C
SC  VCN I C
QT  QA  QB  QC
ST  S A  S B  SC
Medición de potencia en circuitos trifásicos
El vatímetro es el instrumento para medir la potencia promedio (o real) en circuitos
monofásicos, como se explico en la parte de potencia en cargas equilibradas, un vatímetro
también puede medir la potencia en un sistema trifásico balanceado, de modo que P1=P2=P3;
la potencia total es tres veces la lectura de ese vatímetro. En cambio, se necesitan dos o tres
vatímetros para medir la potencia si el sistema esta des balanceado.
B.A.
B.V.
I
V
⟹ W  V I cos
V
I
a) Carga equilibrada
Wa
A
A
W
Wf
Ia
Za
Zca
N
Iab
Zb
Zc
B
IB
B
Ica
Zbc
Ibc
IC
C
C
W1  Pf
P  3WA
PT  3W A
b) Carga desequilibrada
A
Wca
Wab
B
Wbc
C
PT  WAB  WBC  WCA
A
WA
A
Ia
Za
WB
A
N
Zb
B
Zc
IB
WC
IC
C
PT  WA  WB  WC
Lo que se puede evidenciar en los sistemas desequilibrados es que si el sistema tiene n hilos
tan solo bastan n-1 medidores para determinar la potencia de dicho sistema.
Método de los dos vatímetros
En circuitos trifásicos la potencia total viene dada por n-1 instrumentos (vatímetros) siendo n
el numero de hilos del sistema trifásico.
a) Estrella cuatro hilos
A
WA
A
Ia
Za
N
WB
A
B
Zb
Zc
IB
IC
C
Para esta configuración la potencia total del sistema viene dada por la suma de cada una de las
lecturas de los tres vatímetros:
PA  WA 

PB  WB  PT  PA  PB  PC
PC  WC 
b) Tres hilos (delta) ⟶ 2 medidores
wa
La potencia total en este sistema se
da por la suma de la lectura de los
dos vatímetros:
IA
A
A
Zab
Zca
Iab
Ica
WA  VAB I A cos
VAB
IA
WC  VCB IC cos
VCB
IC
IB
B
Zbc
Ic
Ibc
C
wc
Por nudos:
I B  I AB  ICA
IC  ICA  ICB
WA  VAB I AB cos
VAB
I AB
 VAB I AC cos
VAB
I AC
WC  VCB I CA cos
VBC
ICA
 VAB I AC cos
VAB
I AC
WA  PAB  VAB I AC cos( CA  60)
WC  VCA I CA cos(60   CA )  PBC
WA  WC  PAB  PBC  VCA I CA cos   CA  60   cos(60   CA ) 
cos(
WA  WC  PAB  PBC  PCA
CA )
c) Estrella tres hilos carga equilibrada
con los vatímetros en las líneas A y C sus
lecturas son:
A
Ia
Z
Z
WA  VAB I A cos
VAB
IA
WC  VCB IC cos
VCB
IC
Z
IB
B
IC
C
Del diagrama fasorial:
cos
VAB
IA
 cos(30   )
cos
VBC
IC
 cos  30   

WA  WC  VL I L cos30cos   sen30 sen  cos30cos   sen30 sen
PT WA  WC  VL I L (2cos30cos  )  VL I L 2
PT  3VL I L cos 
3
cos 
2
