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TEMA I
RESPUESTA TEMPORAL.
TRANSITORIOS
1.1.-Introducción.
1.2.-La respuesta completa de una red lineal.
1.3.-Condiciones iniciales de los elementos.
1.3.1.-Resistencia.
1.3.2.-Inductancia.
1.3.3.-Capacidad.
1.4.-Circuitos de Primer Orden.
1.4.1.-Introducción.
1.4.2.-Circuito RC.
1.4.3.-Circuito RL.
1.4.4.-Resolución sistemática.
1.5.-Circuitos de Segundo Orden.
1.5.1.-Introducción.
1.5.2.-Circuitos RLC serie y paralelo.
1.5.3.-Clasificación de circuitos.
1.5.3.1.-Amortiguamiento crítico.
1.5.3.2,.Sobreamortiguamiento.
1.5.3.3.-Subamortiguamiento.
1.5.4.-Parámetros de interés.
1.5.4.1.-Sobreimpulso.
1.5.4.2.-Tiempo de subida.
1.5.4.3.-Tiempo de estabilización.
1.6.-Circuitos de Orden Superior.
-11-
I.1.-INTRODUCCIÓN
Antes de que un circuito (o máquina) pueda llegar a una situación estacionaria
o de régimen permanente de funcionamiento (que sea diferente de algún estado
anterior), el circuito pasa por un periodo de transición, durante el cual, las tensiones y
corrientes varían en función del tiempo, hasta llegar finalmente a la condición de
equilibrio (estado estacionario) impuesta por los parámetros de la red. El periodo de
tiempo requerido para que las tensiones y corrientes alcancen el estado final
estacionario, se denomina periodo transitorio. Durante este tiempo, las expresiones
matemáticas de las tensiones y corrientes en las diversas partes de la red contienen
ciertos términos distintos de las componentes estacionarias estudiadas en los
apartados dedicados al régimen estacionario senoidal. Estas componentes
constituyen los términos transitorios y son, por lo general, de corta duración, siendo
amortiguados por ciertos factores exponenciales decrecientes, cuyos valores dependen
de los parámetros del circuito.
En general, cualquier operación de conexión, o desconexión, inducción o
conmutación dentro de un circuito, hará que existan fenómenos transitorios en la red.
Aunque los fenómenos transitorios son generalmente de corta duración, es
precisamente en estos periodos de tiempo en los que se presentan los problemas más
serios y complicados de funcionamiento de un circuito o, en particular, de una máquina
eléctrica.
En este capítulo se van a estudiar los circuitos eléctricos en régimen transitorio.
El análisis se realizará por el método clásico, es decir, resolviendo las ecuaciones
integrodiferenciales (en definitiva diferenciales) que resultan de aplicar los lemas de
Kirchhoff al circuito, y determinando las constantes de integración que resultan,
conociendo las condiciones iniciales de la red. Este método es fácil de aplicar a
circuitos simples, representados a lo sumo por una ecuación diferencial de segundo
orden, pero resulta complicada y tediosa su aplicación en circuitos de mayor orden, por
la dificultad en determinar correctamente las condiciones iniciales de la red. Veremos,
por este método, los circuitos de orden uno y dos, en los que se incluyen conceptos y
terminologías de gran interés en el análisis transitorio. Más adelante, utilizando el
concepto de Transformada de Laplace, se verá el método moderno de cálculo de
transitorios en circuitos eléctricos. Este procedimiento consiste en transformar las
funciones y operaciones temporales en otras funciones que dependen de una
frecuencia compleja generalizada s = F + jw . El método es muy sistemático y potente,
ya que permite resolver las ecuaciones diferenciales de un circuito de un modo simple,
pues transforma las ecuaciones diferenciales lineales de una red, en ecuaciones
algebraicas, función de la frecuencia compleja s, con la gran ventaja de que las
condiciones iniciales del circuito quedan incorporadas de un modo automático.
-12-
I.2.-LA RESPUESTA COMPLETA DE UNA RED LINEAL
Al aplicar los lemas de Kirchhoff a circuitos eléctricos simples (serie o paralelo),
se obtienen unas ecuaciones integro-diferenciales de orden 1 ó 2. Las ecuaciones de
primer orden responden a la forma general:
a
df (t )
+ b ⋅ f (t ) = g (t )
dt
(1)
que corresponde a la expresión normalizada:
df (t ) f (t )
+
= g (t )
t
dt
(2)
Las ecuaciones de segundo orden son de la forma:
d 2f (t )
df (t )
a
+
+ c ⋅ f (t ) = g (t )
b
dt 2
dt
(3)
donde f(t) puede representar una tensión, una corriente o una carga; g(t) es la tensión
o corriente de excitación de la red (generadores); a, b, c y J son coeficientes
constantes y t es el tiempo. Las ecuaciones diferenciales anteriores reciben también
el calificativo de lineales, debido a que los coeficientes que aparecen en cada término
son parámetros constantes y no son función de la variable dependiente f(t).
En circuitos más complejos, que estén formados por más mallas y nudos, la
aplicación de los lemas de Kirchhoff da lugar a una serie de ecuaciones integrodiferenciales en las que, cada variable dependiente (corriente de malla o tensión de
nudo) responde a una ecuación diferencial lineal de un orden que, en general, es
superior a dos, de la forma:
d n f (t )
d n −1f (t )
df (t )
an
+
+
+
+ a0f (t ) = G (t )
a
a
n −1
1
dt n
dt n −1
dt
donde G(t) es, en general, una función lineal de g(t) y de sus derivadas.
Como se recordará, la solución completa de una ecuación diferencial lineal
(con coeficientes constantes) se compone de dos términos: el primero de ellos se
obtiene resolviendo la homogénea de la ecuación diferencial, es decir, es la solución
general de la ecuación diferencial cuando g(t) o G(t) se hace igual a cero, o de otro
modo, cuando se anula la función de excitación del circuito. Esta solución fn(t) se
conoce en ingeniería eléctrica, como respuesta natural, propia y también libre del
circuito; físicamente, representa la respuesta de un circuito cuando se anulan los
generadores existentes en el mismo y donde se consideran únicamente como fuentes,
las debidas a las energías almacenadas en los elementos reactivos de la red:
inductancias y condensadores, como consecuencia de una alimentación previa de los
-13-
(4)
mismos. La respuesta natural recibe este nombre porque es así como responde el
circuito naturalmente, libremente, sin estar forzado. El sistema se comporta de este
modo debido a su propia estructura, ya que no hay fuentes conectadas que lo exciten.
El otro término que se incluye en la solución de la ecuación diferencial depende del tipo
de excitación del circuito y corresponde a la solución particular fp(t) de la ecuación
diferencial, se conoce con el nombre de respuesta forzada del circuito, ya que
depende de la forma particular de la fuente (o fuentes) de excitación.
En definitiva, la solución completa de una ecuación diferencial lineal como la
indicada en (4) es de la forma:
f (t ) = fn (t ) + fp (t )
La respuesta natural del circuito fn(t) contiene las constantes de integración de
la ecuación diferencial correspondiente. En circuitos pasivos que contengan
resistencias, esta respuesta debe ser necesariamente amortiguada, viniendo
caracterizada por términos exponenciales decrecientes con el tiempo. Al cabo de un
cierto tiempo, estos términos pueden considerarse despreciables, quedando como
única respuesta, la solución particular fp(t); en este caso se dice que el circuito funciona
o ha llegado al régimen permanente. Mientras que la respuesta natural no sea
despreciable, se dice que el circuito funciona en régimen transitorio. La respuesta
forzada del circuito fp(t) no contiene constantes de integración arbitrarias ya que están
definidas por la excitación correspondiente.
Para determinar las constantes de integración de la respuesta compuesta, que
están presentes en la respuesta natural, es preciso conocer el estado del circuito en
algún instante de tiempo. En la práctica este instante corresponde al momento en que
se produce la conexión (o desconexión en su caso) de los interruptores del circuito. Por
conveniencia matemática, se considera casi siempre, que la conmutación (conexión
o desconexión) se produce en el instante t=0, de tal modo que el tiempo
inmediatamente anterior se define por t=0- y el tiempo inmediatamente posterior a la
conmutación se denota por t=0+. El estado previo del circuito anterior a la conmutación
(en t=0-) se define generalmente con el conocimiento de la tensión en bornes de los
elementos capacitivos y la corriente en los elementos inductivos. Estas condiciones de
contorno definidas en t=0- se denominan condiciones iniciales. Sin embargo, hay que
tener en cuenta que para evaluar las constantes de integración deben conocerse los
valores inmediatamente después de que se ha producido la conmutación, puesto que
se pretende analizar el comportamiento del circuito a partir de dicho instante. En
muchos casos el problema es indiferente, ya que las variables: tensión y corriente, son
funciones continuas en t=0 (es decir, f(0-) = f(0+)), pero existen situaciones con
excitaciones tipo impulso donde las variables no tienen el mismo valor en t=0- y t=0+,
por lo que es preciso determinar con sumo cuidado las magnitudes de las tensiones
y corrientes en t=0+, necesarias para la evaluación de las constantes iniciales partiendo
del conocimiento de sus valores en t=0- . Esta determinación requiere un conocimiento
claro del comportamiento de los elementos pasivos simples, en el instante de la
conmutación y se analizan con detalle en el siguiente apartado.
-14-
(5)
I.3.-CONDICIONES INICIALES DE LOS ELEMENTOS
Las condiciones iniciales de una red dependen de las energías almacenadas en
los elementos reactivos en t=0-, y la estructura topológica de la misma en t=0+ después
de la conmutación. Lo que haya pasado antes se manifestará en los valores que
tengan las tensiones en los condensadores y las corrientes en las bobinas. Los detalles
de este proceso no tienen importancia y lo único que interesa es conocer los valores
en t=0-. Una vez realizada la conmutación en t=0+, pueden aparecer nuevas tensiones
y corrientes en la red, como resultado de los valores iniciales anteriores y debido a las
fuentes que ahora se introducen (o desaparecen). La evaluación de las tensiones y
corrientes en t=0+, permitirá determinar las constantes de integración que aparecen en
la respuesta completa de la red para t>0. Veamos el comportamiento de los elementos
pasivos simples en el momento de la conmutación.
I.3.1.-RESISTENCIA
En una resistencia, la relación entre la tensión y la corriente viene expresada por
la ley de Ohm:
v (t ) = R ⋅ i (t )
(6)
Según la ecuación anterior, existe proporcionalidad directa entre la tensión y la
corriente en una resistencia, lo que equivale a decir que la corriente sigue los cambios
(la forma) que imponga la tensión; si ésta cambia instantáneamente, la corriente
también cambiará de un modo instantáneo con una magnitud 1/R de la tensión.
I.3.2.-INDUCTANCIA
En una inductancia, la relación entre la tensión y la coriente es de la forma:
v (t ) = L
di L (t )
dt
(7)
De la ecuación anterior se deduce que la corriente en una bobina no puede
variar bruscamente, ya que la tensión debería hacerse infinita, lo cual no tiene sentido
físico.
Se puede comprobar la afirmación anterior con un poco más de detalle
matemático, deduciendo a partir de (7) la corriente iL(t) para un tiempo genérico t:
t
1
i L (t ) = ∫ v (t )dt
L −∞
-15-
(8)
Que se puede descomponer en dos sumandos:
0
t
1 −
1
i L (t ) = ∫ v (t )dt + ∫ v (t )dt
L −∞
L 0−
(9)
El primer sumando representa el valor de la corriente en t=0-. Si la conmutación
se realiza en t=0 y se desea calcular la corriente en el instante t=0+, resultará:
0
1 +
i L (0+ ) = i L (0− ) + ∫ v (t )dt
L 0−
(10)
que, exceptuando la situación teórica de que la tensión aplicada sea un impulso de
Dirac, la integral de (10) será siempre igual a cero, de donde se deduce que:
i L (0+ ) = i L (0− )
(11)
que representa la continuidad física de la corriente en la bobina en el momento de la
conmutación.
De la ecuación anterior se deduce que para el cálculo de los valores iniciales en
un circuito, una bobina cargada se puede sustituir por una fuente ideal de
corriente de valor iL(0+) = iL(0-). Si la bobina está descargada, iL(0-) = 0, entonces se
comporta inicialmente como un circuito abierto (iL(0+) = 0), independientemente de la
tensión en sus terminales.
El circuito equivalente de Norton lo obtenemos a partir de la ecuación de
definición:
(12)
que equivale a una fuente de intensidad continua Io en paralelo con la bobina
descargada.
Figura 1
En cuanto al circuito de Thevenin, lo obtenemos poniendo esa bobina
descargada inicialmente, en serie con un impulso de tensión de área l, lo que origina
un flujo total inicial NMo = l y una corriente Io = l/L. Esto es, e(t) = (Io·L)·*(t)
-16-
Figura 2
Otras conclusiones que pueden deducirse de (7) es el comportamiento de una
bobina cuando las excitaciones del circuito (generadores) son de corriente continua.
En este caso, cuando se ha alcanzado el régimen permanente (t = 4), la corriente en
la bobina tendrá un valor constante independiente del tiempo, por lo que, según (7), la
derivada será igual a cero, lo que significa que, con corriente continua, en régimen
permanente, una bobina se comporta como un cortocircuito.
I.3.3.-CAPACIDAD
En un condensador, la relación entre la tensión y la corriente viene expresada
por:
v c (t ) =
1
i (t )dt
C∫
(13)
dv c (t )
dt
(14)
o de un modo equivalente:
i (t ) = C
de la ecuación anterior se deduce que la tensión en un condensador no puede
variar bruscamente, ya que la corriente debería hacerse infinita, lo cual no tiene
sentido físico.
La aseveración anterior se puede justificar con más detalle a partir de (12):
t
0
t
1
1 −
1
v c (t ) =
i (t )dt =
i (t )dt + ∫ i (t )dt
∫
∫
C −∞
C −∞
C 0−
(15)
La primera integral del último miembro de la anterior ecuación representa la
tensión en el condensador en t=0-, es decir, vc(0-). Si la conmutación del condensador
se produce en t=0, el valor de la tensión del condensador en t=0+, será igual, de
acuerdo con (14), a:
0
1 +
v c (0+ ) = v c (0− ) + ∫ i (t )dt
C 0−
-17-
(16)
que, para corrientes que no sean de tipo impulso, conduce a:
v c (0+ ) = v c (0− )
(17)
que representa la continuidad de la tensión en un condensador en el momento de la
conmutación.
De (16) se deduce que, para el cálculo de los valores iniciales en un circuito, un
condensador cargado se puede sustituir por una fuente ideal de tensión de valor vc(0+)
= vc(0-). Si el condensador está descargado [vc(0-) = 0] entonces se comporta como un
cortocircuito [vc(0+) = 0] independientemente de la corriente que circula por el mismo.
El circuito equivalente, según Thevenin, de un condensador cargado con una
carga inicial Uo(voltios) lo podemos obtener a partir de la ecuación de definición:
(18)
Esta ecuación indica que, a partir del instante t=0, un condensador cargado
puede sustituirse por una fuente de tensión continua, que suministra un escalón
Uo·U(t) y un condensador de igual capacidad (descargado):
Figura 3
La tensión en bornes del condensador real es u(t) entre A y B (no uC).
El circuito equivalente de Norton puede obtenerse a partir del anterior. La
intensidad de cortocircuito que puede suministrar el condensador en el instante t=0, en
que UAB = Uo·U(t) es:
(19)
Figura 4
y siendo la carga del condensador q = C·Uo lo que
implica que la corriente de cortocircuito es un impulso
de área q:
icc(t) = q·*(t)
-18-
Por otro lado, si se considera un condensador en un circuito de corriente
continua, cuando se ha alcanzado el régimen permanente (t = 4), la tensión en bornes
del condensador tendrá un valor constante, independiente del tiempo, por lo que,
según (13), la derivada será igual a cero, lo que significa que con corriente continua,
en régimen permanente, un condensador se comporta como un circuito abierto.
En resumen, cuando se desean determinar las condiciones iniciales de una red,
deberían seguirse los siguientes pasos:
a)Sustituir los generadores de tensión del circuito vg(t) por fuentes de tensión
continua de valor vg(0+).
b)Sustituir todos los generadores de corriente del circuito ig(t) por fuentes de
corriente continua de valor ig(0+).
c)Sustituir todas las bobinas cargadas por generadores de corriente de valor
iL(0+) = iL(0-). Si la corriente inicial en la bobina es cero iL(0-) = 0, sustituir por un
circuito abierto.
d)Sustituir todos los condensadores cargados por generadores de tensión de
valor vc(0+) = vc(0-). Si la tensión inicial en un condensador es cero, vc(0-) = 0,
sustituir por un cortocircuito.
e)En la red resistiva resultante, calcular las corrientes y tensiones iniciales
necesarias para el estudio subsiguiente de la red.
ADICIONAL: Si se desean determinar las condiciones iniciales para las
derivadas (por ejemplo i’(0+), v’(0+)), se escribirán las ecuaciones de la red aplicando
los lemas de Kirchhoff según se necesite, para t>0. A continuación se calcularán las
variables derivadas para el instante t = 0+. (Las condiciones iniciales para las derivadas
son necesarias para el estudio de redes de orden superior a 1).
EJEMPLO DE APLICACIÓN 1.
En la red de la figura, la corriente del generador de intensidad es ig = 10e-2t.
Figura 5
-19-
El interruptor se abre en t = 0, siendo los valores iniciales:
iL(0-) = 0
; vc(0-) = -5v
Calcular:
1º)iR(0+), iC(0+), vL(0+)
2º)v’C(0+), i’L(0+)
3º)v’‘C(0+)
RESOLUCIÓN:
1)El circuito correspondiente en el instante t = 0+ (válido únicamente para este
instante) es el mostrado en la figura siguiente. Se observa que la bobina se ha
sustituido por un circuito abierto, ya que iL(0-) = 0; el condensador se ha sustituido por
un generador de tensión vC(0-) = -5v (obsérvese la polaridad del generador). Además,
se ha tomado la corriente del generador de intensidad ig(0+) = [10e-2t]t=0 = 10A.
Figura 6
Del circuito de la figura 6 se deduce de un modo inmediato:
iR(0+) = 10A ; iC(0+) = 0
Para calcular el valor de vL(0+) aplicamos el segundo lema de Kirchhoff a la
malla de la derecha:
vL(0+) - 5 - 2AiR(0+) = 0
de donde se deduce:
vL(0+) = 5 + 2A10 = 25v
2)Para calcular las condiciones iniciales de las derivadas, es preciso representar
el circuito pata t>0. En la Fig. 7 se muestra la red correspondiente. En esta red se
cumple:
Figura 7
-20-
i c (t ) = C
dv c (t )
= i L (t )
dt
(20)
y, en consecuencia, en t = 0+ resulta:
C
dv c (t )
= i L (0+ ) = i L (0− )
dt t = 0
(21)
+
y, por lo tanto: v’c(0+) = 0
Si se aplica el segundo lema de Kirchhoff a la malla de la derecha de la Fig. 3
se obtiene:
L
di L (t )
+ v c (t ) − R ⋅ i R (t ) = 0
dt
(22)
que, en el instante t = 0+ nos da:
Li’L(0+) + vC(0+) - RAiR(0+) = 0
y teniendo en cuenta los resultados del apartado 1), queda:
0.5 i’L(0+) + (-5) - 2A10 = 0
es decir:
i’L(0+) = 25/0.5 = 50 A/s
3) De acuerdo con el apartado 2), en el circuito de la Fig. 7 se cumple:
iC (t ) = C
dv C (t )
= i L (t )
dt
(23)
expresión que, al derivar respecto de t, nos da:
d 2v c (t )
i 'L (t ) = C
= C ⋅ v "c (t )
dt 2
que, para t = 0+ da lugar a:
i’L(0+) = CAv’‘C(0+)
y teniendo en cuenta el resultado del apartado anterior se llega a:
v’‘c(0+) = i’L(0+)/C = 50/0.2 = 250 V/s2
que es el resultado solicitado.
-21-
(24)
Es importante, en el estudio de las condiciones iniciales, que se distingan los
circuitos que se obtienen en t = 0+ y en t > 0. En nuestro caso, el esquema de la Fig.
6 representa la visión del circuito “congelado” en t = 0+. A partir de este momento, para
t > 0, el circuito se ha transformado y se convierte en el de la Fig. 7.
I.4.- CIRCUITOS DE 1er ORDEN
I.4.1.-INTRODUCCIÓN.
Como ya vimos en el tema de métodos matemáticos, un circuito eléctrico,
sometido a una excitación u(t), responde con una señal y(t), que es solución a la
ecuación diferencial lineal genérica:
(25)
Esta ecuación tiene como solución total la suma de:
a) Solución a la ecuación homogénea (suponiendo excitación nula: u(t) = 0):
(26)
llamada también "solución transitoria o respuesta libre (o natural) del
sistema".
b) Una solución particular de la ecuación completa, llamada "respuesta forzada
o permanente (o estacionaria)" del sistema.
Como ya vimos en el tema inicial, la solución homogénea (en el caso de que ri
sean simples) es de la forma:
yh = C1·er1t + C2·er2t + .. + Cm·ermt
siendo ri las soluciones (raíces) de la ecuación característica
am·rm + am-1·rm-1 + ... + a1·r + ao = 0
- La respuesta libre es, pues, independiente de la entrada o excitación u(t).
Solamente depende de la topología del circuito y de su estado inicial.
En un circuito pasivo, esta respuesta natural es amortiguada y, por lo tanto,
transitoria, extinguiéndose después de un período de tiempo definido por las
constantes del circuito.
- La respuesta forzada o permanente depende de la excitación u(t), y existirá
mientras el circuito esté sometido a ella (lo que no significa que no de lugar a
transitorios, como ocurre, por ejemplo, en los instantes de conexión y desconexión de
circuitos, en las variaciones bruscas de excitación, etc.)
En definitiva, la respuesta puede expresarse de la forma:
-22-
y(t) = y(t)permanente + y(t)transitoria
En este tema estudiaremos los circuitos cuyo modelo matemático es una
ecuación diferencial lineal de primer orden, por lo que se les denomina "circuitos de
primer orden". Físicamente, estos circuitos están constituidos por un número
cualquiera de resistencias y fuentes de energía independientes, pero con un solo
elemento almacenador de energía (bobina o condensador) o varios del mismo tipo, que
puedan ser sustituidos por uno solo equivalente, al estar asociados en serie o en
paralelo.
I.4.2.-CIRCUITO RC
Sea el circuito RC típico de la figura;
Figura 8
Aplicando las leyes de Kirchhoff al nudo A: i(t) = iR + iC siendo
(27)
con lo que obtenemos la ecuación de primer orden que caracteriza a este tipo
de circuitos:
(28)
Se define el producto RC / J como "constante de tiempo" del circuito.
(29)
Suponiendo que el condensador está cargado inicialmente con una tensión
entre sus bornes de uC(0) = Uo (en t=0), y aplicando el método convencional de
resolución de ecuaciones diferenciales lineales, obtendremos la solución de la
ecuación homogénea, a partir de su ecuación característica:
-23-
a+
1
=0
RC
(30)
de ahí obtenemos dicha solución homogénea (respuesta natural), que denominaremos
ucn(t), y cuyo valor es:
u cn (t ) = A ⋅ e
−
t
t
(31)
siendo A una constante de integración, cuyo valor obtendremos a partir de las
condiciones iniciales, una vez obtengamos la otra parte de la solución.
Figura 9
Este sería el resultado para el caso de que el
sistema no estuviese excitado (esto es, problema de
la descarga de un condensador inicialmente cargado,
a través de una resistencia). Si obtenemos también la
expresión de la corriente que circula en este caso por
el condensador y dibujamos ambas obtendríamos:
(32)
Figura 10
La pendiente de la tangente en el origen de uc(t) es:
(33)
donde esa tangente u'C = Uo - (Uo/J)·t corta al eje de abcisas en el punto t = J. Punto
en el cual, la tensión uC vale uC(t=J) = Uo/e = 0.368·Uo que equivale al 36.8% de la
tensión inicial.
-24-
Así pues, podemos considerar a J como una especie de medida de la rapidez
con que se amortigua la energía en el circuito (esto es, la velocidad con que se
descarga el condensador). Si J es pequeña, la pendiente en el origen, de la curva, es
grande, por lo que uC se aproxima muy
rápidamente a cero. Al contrario, si J es
grande, las variables del circuito se
aproximan más lentamente a su estado
final. Todo esto se muestra en la siguiente
figura (un proceso semejante ocurre para
la intensidad).
La energía almacenada inicialmente
en el condensador se disipa en forma de
calor en la resistencia. El estado final del
circuito, es decir, la descarga total del
condensador y la consiguiente anulación
de uC e i se alcanza, teóricamente,
después de un tiempo infinito; sin
embargo, en la práctica, este estado puede
considerarse alcanzado después de
transcurridos entre 3 y 4 J.
Figura 11
Al término
(34)
se le denomina "pulsación propia (o natural) del circuito" (aunque no se presente
ningún tipo de oscilación).
Para obtener la solución particular es obvio que necesitaremos excitar el circuito
con un generador determinado, por lo que la resolución dependerá de cual sea el tipo
de función elegida. Está claro que no podemos elegir las infinitas posibilidades
existentes, así que nos conformaremos con elegir dos de las de más uso en
electricidad, como son una excitación DC y otra AC, lo que veremos en los dos
apartados siguientes.
a)Caso de excitación DC: i(t) = I0
En este caso, al ser la excitación una constante (polinomio de orden cero) y,
siguiendo las pautas ya indicadas en el apartado correspondiente, habría que pobar
como posible solución particular (o forzada), otro polinomio genérico del mismo grado,
esto es, otra constante, que llamaremos B:
-25-
u cp = B
(35)
Sustituyendo dicha solución en la ecuación original completa, obtendríamos que
I0
B
= 0+
C
RC
⇒
u cp (t ) = RI0
(36)
cosa que ya conocíamos de antemano, pues sabemos que cuando se alcance el
estado estacionario, el condensador se comportará como un circuito abierto, por lo que
la tensión en sus bornes coincidirá con la caída de tensión en la resistencia (RI0).
Con esto llegamos casi al final de nuestro objetivo, ya que tenemos que:
u c (t ) ≡ u cn (t ) + u cp (t ) = Ae
−
t
t
+ RI0
(37)
y, solamente nos queda obtener el valor de la constante A, para lo que utilizamos las
condiciones de contorno (en este caso son iniciales), que nos dicen que uc(t=0)=U0.
Sustituyendo esto en la expresión obtenida llegamos a que A = U0 - RAI0 con lo que la
solución final será:
u c (t ) = (U0 − RI0 )e
−
t
t
+ RI0
(38)
donde se aprecian claramente los términos respuesta natural y respuesta forzada
del circuito estudiado.
Suponiendo ahora condiciones iniciales nulas:
(39)
Podemos observar que la respuesta uC(t) está
formada por dos sumandos:
- Respuesta permanente (estacionaria): up = RI
- Respuesta transitoria (amortiguada): ut = RI·e-t/J
Podemos observar esta respuesta (suponiendo
ahora condiciones iniciales nulas) en la siguiente
figura
Figura 12
Durante el período transitorio se carga el
condensador, hasta alcanzar una tensión en bornes
igual a la caída de tensión en la resistencia. Una vez
cargado el condensador, la corriente continua no
puede pasar por él, y sí lo hace por R (siendo U = IR),
y estableciéndose, pues, el régimen estacionario.
-26-
Podemos obtener la expresión de la corriente por la resistencia R:
(40)
b)Caso de excitación AC: i(t) = I0Acos(wt)
Como vimos, en este caso, lo lógico sería optar por una solución particular de
la forma ucp(t) = A1cos(wt) + A2sen(wt) , pero puede demostrarse que esta opción es
equivalente a escogerla de la forma que adoptaremos: ucp(t) = BAcos(wt+n) (puede
observarse que siguen habiendo dos constantes a determinar: en lugar de A1 y A2,
ahora tenemos B y n).
Sustituyendo dicha solución en la ecuación inicial, obtenemos:
I0
1
cos(wt ) = − Bwsen (wt + j ) +
B cos(wt + j )
C
RC
(41)
desarrollando las funciones trigonométricas, utilizando que las funciones seno y coseno
son linealmente independientes, y operando, llegamos a obtener los valores de B y de
n, con lo que la solución particular quedará:
u p (t ) =
RI0
1+ (RCw )
2
cos(wt + j )
; tg (j ) = − RCw
Como puede comprobarse, esta es la solución que obtendríamos si nos
planteásemos el problema como un circuito de alterna y utilizásemos el cálculo
simbólico, por lo que, si tenemos un mayor dominio en ese campo, puede ser
interesante el obtener la solución particular de esa otra manera, en lugar de las
engorrosas operaciones matemáticas seguidas por el método tradicional (a grandes
rasgos, no es desatinado decir que la solución particular coincide con la solución de
estado estacionario; solamente habría que matizar esto en el caso en que el sistema
no fuese amortiguado, lo que nos llevaría a que la solución homogénea no decrecería
con el tiempo y, estrictamente, también estaría presente una vez alcanzado el estado
estacionario).
Por último, podemos poner la solución total, que será la suma de ambas y, de
nuevo, utilizar la condición de contorno para encontrar el valor de la constante A de la
solución homogénea. Una vez hecho todo esto, dicha solución final será:
-27-
(42)

 −t
RI0
t
u c (t ) =  U0 −
+
2e

1+ (RCw ) 
RI0
1+ (RCw )
2
cos(wt + j )
(43)
siendo tg(n) = -RCw.
De nuevo, suponiendo carga inicial nula (para simplificar), esta respuesta
contiene dos partes:
- Una solución transitoria amortiguada en función de la cte. de tiempo J:
(44)
- Una solución permanente (estacionaria), senoidal, de amplitud:
La figura siguiente muestra la respuesta uC(t) total, así como las dos
componentes (transitoria y estacionaria) que la conforman:
I.4.3.-CIRCUITO RL
Sea el circuito RL típico de la figura;
Figura 13
Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff: e(t) = uR + uL siendo:
(45)
podemos obtener la ecuación asociada:
(46)
-28-
Si definimos J / L/R como la "constante de tiempo" del circuito, suponiendo
que en la bobina existe un campo magnético inicial tal que en t=0 tenemos iL(0) = Io
y aplicando un tratamiento similar al caso anterior llegamos a los siguientes resultados.
(47)
Ahora se define la "pulsación propia (o natural)" del circuito como:
(48)
En general, podemos afirmar que la respuesta natural de un circuito de primer
orden, será de la forma:
(49)
donde solamente con conocer el estado inicial del circuito y su constante de
tiempo J, obtendremos la expresión de la repuesta. Esto lo realizaremos
detalladamente en el punto siguiente.
I.4.4.-RESOLUCIÓN SISTEMÁTICA
Se puede generalizar la resolución de circuitos de primer orden (aquellos en los
que solamente exista un único elemento almacenador de energía: bobina o
condensador o, que existiendo varios del mismo tipo, se puedan transformar en uno
sólo equivalente.
Para estos circuitos, su configuración equivalente en el instante siguiente a la
conmutación (para t $0), sustituyendo el resto del circuito por su equivalente Thevenin
para una bobina (o el de Norton para un condensador) será la indicada a continuación.
Figura 14
-29-
Las respuestas naturales serán:
i n (t ) = A ⋅ e
v n (t ) = B ⋅ e
−
−
t
t
(con t =
t
t
L
)
RTh
(con t = RThC )
(50)
(51)
Estas expresiones, unidas las componentes forzadas permiten calcular de un
modo simple la respuesta transitoria de una red de primer orden. Las constantes de
integración (A y B) se obtendrán a partir de las condiciones iniciales (o de contorno en
su defecto).
Este cálculo anterior se puede sistematizar más si se analiza con detenimiento
la solución de una ecuación diferencial de primer orden de la forma normalizada:
df f
+ = g (t )
dt t
(52)
Como sabemos, la solución de la ecuación diferencial anterior tiene dos
componentes: natural fn(t) y forzada o particular fp(t). Esta última representa la
respuesta permanente de la red, es decir, para t = 4 , y que representaremos mejor por
f4(t). La componente natural será de la forma general y, de ese modo, se puede escribir
la solución total como:
f (t ) = A ⋅ e
−
t
t
+ f∞ (t )
(53)
La constante A se determina para el tiempo inmediato a la conmutación t = 0+,
resultando: f(0+) = A + f4(0+) Y A = f(0+) - f4(0+) que, al sustituir, da:
[
f (t ) = f (0 ) − f∞ (0
+
+
)] ⋅ e
−
t
t
+ f∞ (t )
Como se observa, se distinguen las dos componentes: respuesta natural (primer
sumando) y respuesta permanente (segundo sumando).
Conviene recordar algo sobre la solución anterior. En primer lugar f(0+) se
determina por el principio de continuidad de tensiones o corrientes (en ausencia de
señales impulso), por lo que f(0+) = f(0-).
El cálculo de la componente permanente f4(t) es bastante simple cuando se trata
de redes DC, ya que en estos casos las inductancias se pueden sustituir por
cortocircuitos y los condensadores por circuitos abiertos, dando lugar a una red
resistiva en la cual la resolución es sencilla. En el caso se que los generadores
presentes en la red sean AC senoidal, la componente permanente f4(t) se determina
con las técnicas de cálculo simbólico. Para otro tipo de excitación, la respuesta
permanente se determinará directamente como solución particular de la ecuación, ya
que no existen procedimientos directos para calcular f4(t).
-30-
(54)
En resumen, el proceso de cálculo de transitorios en una red de primer orden
sigue los siguientes pasos:
1º)Dibujar el circuito para t < 0 y calcular el valor de régimen permanente de la
corriente en la bobina (o tensión en bornes del condensador) en este circuito.
Determinar entonces este valor en t = 0. Se obtiene así iL(0-) o vc(0-).
2º)Aplicar el principio de continuidad y determinar los valores iL(0+) = iL(0-) o vc(0+) =
vc(0-) en su caso (esto es cierto sin generadores de señales de tipo impulso).
3º)Dibujar el circuito para t > 0 y calcular la resistencia de Thevenin (RTh) vista desde
los bornes de la bobina o el condensador. Con ello se determina la constante de
tiempo de la respuesta natural: J = L/RTh o J = RthC.
4º)Calcular la respuesta en régimen permanente (corriente en la bobina o tensión en
el condensador) en el circuito para t > 0.
a)Si los generadores son DC, entonces sustituir antes la bobina por un
cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.
b)Si los generadores de la red son de AC senoidal, aplicar las técnicas de
cálculo simbólico para calcular esta respuesta.
c)Si los generadores tienen otor tipo de forma, determinar la solución particular
de la ecuación diferencial correspondiente a t > 0.
5º)Escribir la solución completa para t > 0 aplicando la ecuación:
[
f (t ) = f (0 ) − f∞ (0
+
+
)]e
−
t
t
+ f∞ (t )
6º)Utilizando la respuesta calculada en el apartado anterior, determinar otras variables
de interés en la red.
I.5.-CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
I.5.1.-INTRODUCCIÓN
Los circuitos de segundo orden son aquellos cuyo comportamiento físico viene
caracterizado por una ecuación de 2º grado, y están constituidos por un número
cualesquiera de resistencias, y dos elementos almacenadores de energía de distinta
clase (bobina y condensador) o de la misma clase, cuando no pueden ser sustituidos
por uno equivalente.
Estudiaremos el circuito típico RCL en serie y en paralelo, aunque, obviamente,
no es el único posible.
-31-
(55)
I.5.2.-CIRCUITOS RLC SERIE Y PARALELO
Supondremos unas cargas iniciales:
uc(0) = Uo ; iL(0) = Io
Se debe verificar que:
uR = uL = uC / u ; i(t) = iR + iL + iC
siendo
(56)
de donde
(57)
Derivando la ecuación:
(58)
Definiendo como "pulsación o resonancia propia wo":
(59)
y el "factor o relación de amortiguamiento (>)":
(60)
Podemos escribir la ecuación de forma "canónica":
(61)
Resolviéndola se obtendrá la tensión entre los bornes de los elementos.
Si deseásemos, por ejemplo, la intensidad que circula por la bobina, en lugar de
la tensión en bornes, se procedería de forma análoga:
-32-
(62)
(63)
(64)
Para resolver esta ecuación hemos de hallar la solución general de la ecuación
homogénea (haciendo nulo el segundo miembro) que, en nuestro caso equivale a
prescindir de la fuente de excitación y obtener lo que en el capítulo anterior
denominábamos "respuesta a entrada cero" o "respuesta natural" del circuito.
A la solución así obtenida, se le añadirá una solución particular, dependiendo
de la forma analítica del segundo miembro (esto es, del tipo de excitación), obteniendo
así, la solución completa:
a) Respuesta a entrada cero:
La ecuación característica es: r2 + 2>wor + wo2 = 0 . Cuyas soluciones son:
(65)
con lo que la solución será de la forma:
(66)
donde las constantes K1 y K2 se determinan a partir de las condiciones iniciales:
(67)
La forma de la intensidad, así determinada, dependerá de la naturaleza de las
raíces r1 y r2. Se pueden presentar tres casos, según el valor del factor de amortiguamiento: > < 1 ; > = 1 ; > > 1 .
La respuesta a entrada cero será, pues, amortiguada, al existir elementos
pasivos (resistencias) en el circuito.
-33-
b) Respuesta completa:
Para obtenerla hay que sumar a la solución homogénea encontrada
anteriormente, una solución particular, cuya forma dependerá del tipo de excitación
i(t).
Como todo circuito lineal, la respuesta completa puede estudiarse también como
suma de la respuesta a estado inicial cero (que es debida exclusivamente a las
fuentes) y respuesta a entrada cero (que es debida solamente a cargas iniciales).
Igualmente a como vimos anteriormente, podemos sustituir los elementos
inicialmente cargados por los circuitos equivalentes de Thevenin o Norton, en que
figuran los mismos elementos, descargados, y las fuentes que representan las cargas.
Para el circuito RLC serie indicado en la figura,
consideremos que la bobina y el condensador están
inicialmente descargados.
Obtendremos como respuesta la tensión en
bornes del condensador (la intensidad podrá
obtenerse posteriormente derivando esta tensión y
multiplicando por C).
e(t) = uR + uL + uc
siendo
(68)
recordando que
(69)
(70)
Definiendo como "pulsación o resonancia propia wo":
(71)
y el "factor o relación de amortiguamiento (>)":
-34-
(72)
Podemos escribir la ecuación de forma "canónica":
(73)
Vemos que las ecuaciones obtenidas son formalmente análogas para ambos
casos (con las diferentes relaciones de amortiguación), por lo que el estudio solamente
lo haremos para una cualquiera de las dos. En concreto, solamente vamos a estudiar
el caso en que la entrada es un escalón (señal DC). Posteriormente, en el capítulo
dedicado expresamente a la Transformada de Laplace realizaremos el mismo estudio
también para forzamientos senoidales.
I.5.3.-CLASIFICACIÓN DE CIRCUITOS
De acuerdo con lo visto hasta ahora, hemos llegado a que la solución de la
ecuación homogénea tiene como raíces:
(74)
Como es obvio, podemos clasificar los circuitos de segundo orden de forma
cualitativa, atendiendo al tipo de solución representada por dichas raíces, más
concretamente, atendiendo al discriminante de la ecuación característica, esto es:
a)Raíces reales e iguales (discriminante nulo), obtenido cuando > = 1
b)Raíces reales y distintas (discriminante positivo), que se obtiene cuando > > 1.
c)Raíces complejas conjugadas (discriminante negativo), caso en que > < 1.
I.5.3.1.-AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO (> = 1)
En este caso las raíces son reales e iguales. Si suponemos que la entrada es
un escalón (y que las condiciones iniciales son nulas), resolviendo de la forma
convencional la ecuación diferencial se obtiene como solución:
(75)
-35-
Figura 17
La respuesta permanente será, pues, el escalón unitario U(t), y la transitoria
estará formada por los dos términos exponenciales (1) y (2) (-e-wot y -wote-wot
respectivamente).
La corriente en el circuito tiene la forma: i(t) = C wo2te-wot que es amortiguada
(una vez cargado el condensador, la corriente cesaría, aunque esto solamente se
alcanza, desde el punto de vista teórico, en t=4).
I.5.3.2.-SOBREAMORTIGUAMIENTO (> > 1)
En este caso, las raíces son reales, negativas y distintas, con lo que la solución
para una entrada escalón unitario (de nuevo con condiciones iniciales nulas) será:
(76)
Como en el caso anterior, en el circuito se establece un régimen transitorio
"aperiódico", alcanzando la tensión, finalmente, el valor del escalón U(t).
Dependiendo de los valores del
amortiguamiento > (siempre mayor que la
unidad) obtendremos una u otra curva. La
respuesta tiende a ser la de un circuito de
primer orden para valores de > elevados.
La corriente del circuito es igualmente amortiguada, hasta anularse
(teóricamente en el infinito) cuando el
condensador adquiere la tensión final.
Figura 18
-36-
I.5.3.3.-SUBAMORTIGUAMIENTO (> < 1)
En este caso, las raíces r1 y r2 son complejas conjugadas y situadas en el SPI.
Definiendo como "pulsación natural amortiguada", a la expresión:
(77)
tendremos las raíces:
(78)
De acuerdo con las técnicas generales estudiadas, para una entrada escalón
y con condiciones iniciales nulas, se obtiene:
(79)
(81)
(80)
con lo cual:
(82)
En la gráfica siguiente se muestran
tres respuestas (para >=0, 0.1 y 0.5),
donde puede apreciarse que para >=0 la
respuesta sería uC(t)=U(t)-cos wot, que no
se amortigua, obteniéndose una senoide
de la misma frecuencia que la respuesta
Figura 19
amortiguada.
Se observa que la tensión final se alcanza después de un período transitorio
oscilante alrededor del valor unidad. La corriente sería:
(83)
-37-
I.5.4.-PARÁMETROS DE INTERÉS
En este apartado vamos a definir algunos parámetros de interés para sistemas
de segundo orden (del tipo subamortiguado, visto anteriormente), frente a una entrada
escalón unitario (se pueden generalizar para otras entradas, pero nos interesa solo el
aspecto cualitativo de estos parámetros).
I.5.4.1.-PORCENTAJE DE SOBREIMPULSO
(84)
En la respuesta del sistema que tiene por ecuación característica
(85)
Figura 20
La representación del porcentaje de sobreimpulso es la que indica la figura
anterior. En base a la experiencia, se ha encontrado que una relación de
amortiguamiento de cerca de 0.7 es satisfactoria en un amplio margen de aplicaciones
(como los sistemas de posicionamiento y pilotos automáticos de aeronaves). Un valor
numérico conveniente es %2/2 = 0.707 para el cual la parte real e imaginaria del polo
-38-
son iguales. La respuesta es más rápida que con amortiguamiento crítico y el
sobreimpulso es aproximadamente de sólo el 5%.
I.5.4.2.-TIEMPO DE SUBIDA
Se define como el tiempo que se requiere para que la respuesta escalón de un
sistema ascienda del 10 al 90% del valor final. En las siguientes figuras se muestra
(para el sistema con función de trasferencia anterior, y relación de amortiguamiento
> = 0.2) como obtener esta cantidad (superior) y la gráfica del tiempo de subida
normalizado en función de la relación de amortiguamiento.
Figura 21
I.5.4.3.-TIEMPO DE ESTABILIZACIÓN
Es el tiempo que se requiere para que la respuesta escalón de un sistema se
estabilice dentro de alguna banda específica de valores (normalmente en ±5%),
respecto del valor final. La siguiente figura muestra un ejemplo, para nuestro sistema
Figura 22
típico, con relación de amortiguamiento > = 0.5 aproximadamente.
-39-
Figura 23
I.6.-CIRCUITOS DE ORDEN SUPERIOR
En el casos en que la ecuación diferencial asociada a un circuito en cuestión sea
de orden superior a dos, nos encontraremos con la dificultad añadida de resolver la
ecuación polinómica característica (recordemos que, de acuerdo con un teorema
demostrado por el matemático noruego Abel, solamente existe fórmula de obtención
de raíces para polinomios de grado inferior a cinco). En cualquier caso, siempre existen
métodos numéricos de resolución (cualquier programa matemático actual contempla
dicha posibilidad). No obstante, en la mayoría de los casos, lo que se suele hacer es
una aproximación, de forma que el circuito se simplifica a uno de segundo orden (si
esta simplificación es aceptable) que tenga como raíces las dos más próximas al eje
imaginario, del polinomio original (esto es válido siempre que el resto de raíces esté lo
suficientemente alejado hacia la izquierda de estas dos raíces principales, como para
permitir el que puedan ser despreciadas).
En cualquier caso, dado que la dificultad del tema excede las pretensiones de
la presenta asignatura, no nos ocuparemos de esta situación, dejándola para estudios
más avanzados.
-40-