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Modelos de Simulación del Memristor para el Pspice
Eustaquio Alcides Martínez
Facultad Politécnica, Universidad Nacional del Este,
Ciudad del Este, Paraguay
amartinez@fpune.edu.py
Resumen. El presente trabajo presenta un modelo para simulación para el recientemente construido componente
eléctrico, el memristor. Se presenta el modelo en tres versiones, todos basados en el propuesto por científicos de los
laboratorios de la HP. Simulaciones realizadas del componente y su comportamiento en circuitos básicos como el
MC, ML y MLC presentan resultados coherentes con los reportados en estudios teóricos encontrados en la literatura
consultada.
Palabras Claves: Memristor, Simulación, PSpice, Circuito MC, circuito ML,Circuito MLC.
Abstrac. This work presents models for simulation for the newly built electrical component, the memristor. Show
the model in three versions, all based on the proposed by scientists from HP laboratories. Simulations and the
component behavior in circuits such as MC, ML and MLC presented results consistent with those reported in
theoretical studies found in the literature.
Key Words: Memristor, Simulation, PSpice, MC Circuit, ML circuit, MLC circuit
1. Introducción
En la teoría clásica de circuitos eléctricos [5], existen
tres elementos pasivos bien conocidos: el resistor, el
inductor y el capacitor. Estos elementos tienen su
comportamiento modelado a través de la relación de
dos de las cuatro variables de circuitos eléctricos: la
tensión v(t), la corriente i(t), la carga q(t) y el flujo
magnético '(t). Las relaciones de estas variables que
originaron al resistor v(t) = R i(t), al capacitor
i(t) = C dv(t)=dt y al inductor v(t) = L di(t)=dt son bien
conocidas. Del mismo modo las relaciones entre la
corriente y la carga i(t) = dq=dt , la tensión y el flujo
magnético v(t) = d'=dt son de hecho también bien
definidas. En el resistor se relacionan la tensión v(t) y
la corriente i(t) (dv = R di ), en el capacitor la carga q(t)
y la tensión v(t) (dq = C dv ), en el inductor el flujo
magnético '(t) y la corriente i(t) (d' = L di ), lo que
establece cinco combinaciones para estas variables. Sin
embargo Chua en 1971 [1], estableció que faltaba la
relación entre el flujo '(t) y la carga q(t), que originaría
un cuarto elemento pasivo en el contexto de circuitos
eléctricos: el Memristor.
El memristor (acrónimo de resistor con memoria),
propuesto en [1] y estudiado también en [2, 3, 4, 10,
12, 14, 15] relaciona '(t) y q(t) a través de la
expresión:
v(t) = M (q(t))i(t)
(1)
donde
d'
(2)
M (q) =
dq
denominada memristor controlado por la carga.
También según [1], se puede plantear el memristor
como controlado por el flujo magnético
i(t) = W ('(t)) v(t)
(3)
dq (' )
d'
(4)
donde
W (' ) =
En ambos casos se puede notar que este elemento es no
lineal y que en esencia es pasivo (energía disipada por
el mismo es no negativa) y la medida de la
memristancia [1], puede hacerse en ohmios,
considerando que es un elemento resistivo no lineal en
que la resistencia depende de la historia pasada de la
tensión que se aplicó sobre el mismo [1, 12, 13, 15].
El memristor, aunque su existencia fue propuesto
teóricamente en 1971, no fue sino hasta mayo de 2008
su real invención [12, 13], hazaña lograda gracias a las
bondades de la nanotecnología. En general se
considera al memristor un caso particular de sistemas
dinámicos no lineales denominados Sistemas
Memristivos, formalmente generalizados en [2]. En
general un sistema memristivo se describe por las
ecuaciones [2, 12, 13, 15]:
v = R(w; i) i
(5)
dw
= f (w; i)
dt
(6)
donde w es un conjunto de variables de estados y f una
función explícita del tiempo.
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009
112
Basado en lo anterior y en las particularidades de
ciertos materiales semiconductores de óxido metálico,
en el contexto de la nanotecnologia, es que en [12], se
propone un interesante y elegante modelo para el
memristor. Esto posibilita, utilizando las ecuaciones
matemáticas que representan el comportamiento del
modelo, que el presente trabajo proponga un modelo
de simulación para el PSpice [9], utilizando elementos
pasivos y fuentes controladas no lineales.
Para cumplir con lo propuesto este artículo se organiza
de la siguiente manera: Sección 2, una breve revisión
del modelo matemático propuesto en [12], en la
sección 3 el circuito equivalente de un memristor y los
modelos para su simulación. En la sección 4, los
circuitos para la simulación en el PSpice así como los
subcircuitos [9], que modelan al componente como uno
de dos terminales, dejando para la sección 5 los
resultados de las distintas simulaciones, incluyendo
circuitos MC, ML y MLC. En la sección 6 las
conclusiones y finalmente en la Sección 7 los trabajos
futuros en función a la presente propuesta.
2. Modelo Matemático para el Memristor
Como mencionado, en [12] se propone un elegante
modelo para el memristor, basado en un fino film
semiconductor de espesor D , soportado entre dos
contactos metálicos, como se puede observar en la
figura 1. La resistencia total del dispositivo es
determinada por dos resistores en serie, donde la
resistencia es dada por la longitud total D del
dispositivo.
Específicamente,
la
pastilla
semiconductora tiene una región con alta
concentración de dopantes, con una resistencia baja
RON , y el resto con una baja concentración de dopantes
con un valor de resistencia mucho más alta ROF F , de
acuerdo a lo planteado por la figura 2.
w
Dopada
No Dopada
Figura 1. Pastilla semiconductora entre dos contactos
metálicos
El dispositivo de la figura 1 es modelado en base a los
resistores RON y ROF F conectados en serie, como
observado en la figura 2.
Dopada
ROF F
RON
v(t) =
µ
RON
w(t)
+ ROF F
D
µ
1¡
w(t)
D
¶¶
(7)
i(t)
y para w(t) :
dw(t)
RON
= ¹v
i(t)
dt
D
(8)
de donde se puede obtener una expresión para w(t):
w(t) = ¹v
¹v
RON
q(t)
D
(9)
es la movilidad promedio de un ión en D .
Reemplazando la expresión (9) en la expresión (7) y
considerando RON ¿ ROF F , se logra:
M (q) = ROF F
µ
1¡
RON
q(t)
D2
¶
(10)
que es la expresión de la memristancia, dependiente de
la carga.
2.1 Modelo Simplificado (Tipo 1)
Al reemplazar la expresión (9) en la expresión (7),
desconsiderando la simplificación, se tiene:
v(t) = ¹v
RON 2
(RON ¡ ROF F )q(t)i(t) + ROF F i(t)
D2
(11)
lo que corresponde a un modelo simplificado de un
memristor con memristancia
M(q) = ¹v
RON 2
(RON ¡ ROF F )q(t) + ROF F
D2
(12)
A la expresión (12), en este trabajo se denomina
memristor simplificado Tipo 1. Se considera
simplificado por no tener en cuenta la memristancia
inicial ni la polaridad en el modelo. Su
comportamiento depende de la carga instantánea q (t).
2.2. Modelo con Polaridad (Tipo 2)
D
No Dopada
En función al modelo simplificado de la figura 2 y de
acuerdo a las especificaciones de [7, 12], se puede
escribir la expresión:
RON =D
ROF F =D
Para este caso existe una pequeña modificación de la
expresión (8), de manera a introducir el concepto de
polaridad [6, 7]:
dw(t)
¹v RON
=´
i(t)
dt
D
(13)
´ = §1 indica la polaridad del memristor, donde ´ = +1
implica la expansión de la región dopada. Note que la
conmutación de la polaridad del memristor indica
cambio de los terminales de la fuente de alimentación,
la inversión de las placas del capacitor en un circuito
MC o la inversión de la corriente en un circuito ML
[6, 7].
Figura 2. Diagrama de un memristor con su modelo
simplificado
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009
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La solución de la expresión (13) es:
w(t) = w0 + ´
¹v RON
q (t)
D
(14)
donde w0 es el tamaño inicial de la región dopada. El
tamaño de esta región cambia proporcionalmente con
la cantidad de carga (q ) que pasa a través de ella,
específicamente cuando se considera el modelo de
“desplazamiento lineal de la frontera entre las regiones
dopadas y no dopadas” (the-linear-drift-model) [6, 7,
12, 15]. En este contexto, la carga necesaria para pasar
a través de la frontera entre la región dopada y no
dopada, recorriendo la distancia D , es dada por [12]:
Q0 =
D2
¹D RON
¢Rq
(16)
Q0
donde R0 = RON (w0 =D) + ROF F (1 ¡ w0 =D) indica la
memristancia inicial en t = 0 y ¢R = ROF F ¡ RON .
M(q) = R0 ¡ ´
M (q) = RON (
R0
y ¢R en (16) se
w0
w0
(ROF F ¡ RON )
) + ROF F (1 ¡
)¡´
q (17)
D
D
Q0
Que representa al memristor del Tipo 2, y que
contempla la memristancia inicial R0 y polaridad ´.
2.3. Modelo con Polaridad, Memristancia y Carga
Iniciales (Tipo 3)
Cuando el memristor hace parte de circuitos que
contienen elementos almacenadores de energía como el
capacitor o inductor, que generalmente cuentan con
energía inicial almacenada, es necesario considerar esa
carga inicial en su expresión matemática. En [7] se
establece que la expresión de la memristancia en estos
casos es:
M (q ) = R0 ¡ ´
¢R(q0 ¡ q )
Q0
¢R
¢R
q0 + ´
q
Q0
Q0
(19)
En la expresión (19) se puede notar que el término
RF = ¡´¢Rq0 =Q0 es constante y no depende de q(t), lo
que permite escribir:
M(q) = R0 + RF + ´
La teoría básica de circuitos permite, en función a
expresiones matemáticas que establezcan relaciones
entre tensión y corriente, construir modelos de
circuitos equivalentes utilizando elementos pasivos y
activos [5]. De hecho en [1] se plantea la imposibilidad
de modelar un memristor solamente con elementos
pasivos.
3.1. Circuito Equivalente Memristor Tipo 1
Considerando la expresión (11), se puede modelar un
circuito eléctrico que lo represente, pues el primer
término equivale a una fuente de tensión no lineal
R
controlada por corriente, dado que q(t) = i(t)dt
considerando que q(0) = 0. Esto permite escribir la
expresión (11) de la siguiente manera:
v(t) = ¹v
RON 2
(RON ¡ ROF F )
D2
Z
i(t)dt i(t) + ROF F i(t)(21)
El segundo término es un resistor con valor ROF F por
quien también circula la corriente i(t), con estas
consideraciones a través de la expresión (11) se puede
representar el circuito equivalente del memristor Tipo
1 (Sin polaridad, sin carga inicial y sin memristancia
inicial). El circuito se puede apreciar en la figura 3.
i(t)
ROF F
v(t)
¹v
RON2
D2
(RON ¡ ROFF )
Z
i(t)dt i(t)
(18)
donde q0 es la carga remanente en el capacitor (o
inductor) y la carga que pasa por el memristor en ese
momento es (q ¡ q0 ). Esto permite escribir la
memristancia en forma explícita como:
M(q) = R0 ¡ ´
3. Circuito Equivalente del Memristor
(15)
que reemplazando en la expresión (14) y este a su vez
en la expresión (7), resulta en:
Reemplazando las expresiones de
tiene:
Finalmente la expresión (20) corresponde al modelo
Tipo 3 del memristor que contempla una memristancia
inicial R0, carga inicial q0 en RF y la polaridad ´ .
¢R
q
Q0
Figura 3. Circuito equivalente de un memristor Tipo 1(sin
polaridad, sin carga inicial y sin memristancia inicial)
3.2. Circuito Equivalente Memristor Tipo 2
Análogamente al modelo tipo 1, en función a la
expresión (17), se puede construir un circuito
equivalente para el memristor del tipo 2. R0 es un
resistor por el cual circula la corriente i(t) y
R
(¡´¢Rq(t)=Q0 ) i(t)dt i(t) es también una fuente de
tensión no lineal controlada por corriente. Esto permite
construir el circuito equivalente para el memristor del
Tipo 2. El resultado se puede observar en la figura 4.
(20)
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009
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i(t)
se propone utilizar una fuente de corriente controlada
por i(t) sobre un capacitor de 1F, de acuerdo a la
figura 6.
R0
v(t)
¡´
¢R
Q0
Z
i(t)dt
dt i(t)
i(t)
C = 1F
Z
i(t)dt
Figura 4. Circuito equivalente de un memristor Tipo 2 (con
polaridad y memristancia inicial, sin carga inicial)
3.3. Circuito Equivalente Memristor Tipo 3
Figura 6. Circuito para obtener
Para el circuito del modelo del tipo 3, así como en los
casos anteriores, se utiliza la ecuación que lo
representa: la expresión (20), que contempla la
polaridad ´ , la memristancia inicial R0 y la carga
inicial q0 cuyo efecto se representa en el resistor
RF = ¡´(¢R=Q0 )q0. El circuito equivalente se
encuentra en la figura 5.
R
i(t)d
dt
El modelo del PSpice para el circuito de la figura 3, se
puede observar en la figura 7. En la misma se
utilizaron los modelos ABM EVALUE (E1) para
modelar la fuente de tensión controlada por la corriente
en conjunto con GVALUE (G1) para obtener la
integral de i(t).
i(t)
R0
v(t)
RF
´
¢R
Q0
Z
i(t)dt i(t)
Figura 5. Circuito equivalente de un memristor Tipo 3 (con
polaridad, memristancia inicial y carga inicial)
Loss circuitos equivalentes presentados hasta aquí son
utilizados para construir los circuitos para
las
simulaciones en el OrCAdD PSpice versión 9.1 Demo
[9].
4. Circuitos para Simulación en el PSpice
En función a los circuitos equivalentes la tarea
pendiente
iente consiste en modelar los mismos en el
OrCAdD PSpice [9], de hecho esa herramienta cuenta
con modelos comportamentales de circuitos (ABM A
Spice Behavioral Model)) que permiten modelar
elementos no lineales como las fuentes controladas no
lineales [8, 11, 16].
Para todos los circuitos hasta aquí presentados se debe
modelar una fuente de tensión no lineal controlada por
R
la corriente i(t) y su integral i(t)dt, para resolver esto,
Figura 7. Circuito dee la figura 3 en el PSpice
En el circuito de la figura 7 se puede observar que la
fuente de corriente controlada G2 es utilizada para
convertir la corriente i(t) en tensión a través del resistor
de 1Ð y así poder utilizarlo como parámetro de control
en E1, donde aparece como factor de un producto. La
fuente de tensión continua V_i(t) es utilizada para
obtener la corriente i(t) como parámetro de control de
la fuente de corriente controlada
da G1, Int_it corresponde
a la tensión que representa a la integral de i(t), que
afecta a la parte izquierda del circuito a través del
factor V(5), del mismo modo V(6) representa a la
corriente i(t) en voltios de manera a afectar el valor de
la fuente de tensión controlada no lineal E1.
El circuito de la figura 7 también permitió la
construcción de un susbcircuito para crear una
biblioteca Spice para el memristor contemplando los
tres modelos. El primer subcircuito,
uito, denominado Tipo
1 se construyó en base al código presentado en la
figura 8.
ELÉ
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009
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.subckt Memristor_T1 1 2 PARAMS: D=10e
D=10e-9 uv=1e-14
RON=100 ROFF=16000
*
*Este modelo no implementa carga inicial, memristancia inicial
ni *polaridad del MERISTOR
*
R_Roff
1 3 {ROFF}
*
*Fuente de Tensión no lineal controlada por la corriente y la
Carga
*
E_E1
4 2 VALUE {(V(5)-V(2))*(V(6)
V(2))*(V(6)-V(2))*(({RON}{ROFF})*{RON}*{uv}/({D}*{D})) }
*
*Fuente de Corriente controlada por corriente
*
G_G2
2 6 VALUE { I(V_V_it) }
*
R_R3
26 1
V_V_it
3 4 0Vdc
*
*Convertidor de corriente a tensión
*
G_G1
2 5 VALUE { I(V_V_it) }
*
C_C1
25 1
R_R2
2 5 1giga
.ends
Figura 8. Código del Subcircuito Memristor tipo 1
.subckt Memristores_T3 1 2 PARAMS: D=10e-9
D=10e uv=1e-14
RON=100 ROFF=16000 n=1 w0=45e-6
6 q0=5e-9
q0=5e
*
*
*Este modelo implementa memristancia inicial, carga inicial y
polaridad del MERISTOR
*
R_Ro 1 3 {RON*(w0/D)+(1-(w0/D))*ROFF}
(w0/D))*ROFF}
R_Rf
3 4 {-1*n*(ROFF-RON)*uv*RON*q0/(D*D)}
RON)*uv*RON*q0/(D*D)}
*
*Fuente de Tensión no lineal controlada por la corriente y la
Carga
*
E_E1
7 2 VALUE {n*(V(5)-V(2))*(V(6)
V(2))*(V(6)-V(2))*(({ROFF}{RON})*{RON}*{uv}/({D}*{D})) }
*
*Fuente de Corriente controlada por corriente
*
G_G2
2 6 VALUE { I(V_V_it) }
*
R_R3
26 1
V_V_it
4 7 0Vdc
*
*Convertidor de corriente a tensión
*
G_G1
2 5 VALUE { I(V_V_it) }
*
C_C1
25 1
R_R2
2 5 1giga
.ends
Figura 10. Código del Subcircuito Memristor tipo 3
Del mismo modo
do se construyeron los subcircuitos para
generar los modelos Spice para el memristor tipo 2 y
tipo 3, los códigos de los subcircuitos mencionados se
pueden observar en las figuras 9 y 10.
En el modelo de la figura 10 se contemplan la
polaridad dada por n, la memristancia inicial R_Ro y la
carga inicial dada en R_Rf.
5. Simulaciones
.subckt Memristores_T2 1 2 PARAMS: D=10e
D=10e-9 uv=1e-14
RON=100 ROFF=16000 n=1 w0=5e-9
*
*
*Este modelo implementa memristancia inicial y polaridad del
*MERISTOR
*
R_Ro 1 3 {RON*(w0/D)+(1-(w0/D))*ROFF}
(w0/D))*ROFF}
*
*Fuente de Tensión no lineal controlada por la corriente y la
Carga
*
E_E1
4 2 VALUE {(-1)*n*(V(5)
1)*n*(V(5)-V(2))*(V(6)V(2))*(({ROFF}-{RON})*{RON}*{uv}/({D}*{D}))
{RON})*{RON}*{uv}/({D}*{D})) }
*
*Fuente de Corriente controlada por corriente
*
G_G2
2 6 VALUE { I(V_V_it) }
*
R_R3
26 1
V_V_it 3 4 0Vdc
*
*Convertidor de corriente a tensión
*
G_G1
2 5 VALUE { I(V_V_it) }
*
C_C1
25 1
R_R2
2 5 1giga
.ends
5.1. Memristor Tipo 1
Como primer paso para validar el modelo propuesto y
sus variaciones se simuló el comportamiento del
memristor conectado
ectado con una fuente de tensión
senoidal v(t) = v0 senwo t de acuerdo al circuito de la
figura 11.
Figura 11. Circuito para simular el comportamiento del
memristor del tipo 1 (sin memristancia inicial ni polaridad)
Figura 9. Código del Subcircuito Memristor tipo 2
En el modelo de la figura 9 se contempla la polaridad n
y la memristancia inicial dada por el resistor R_Ro.
En este circuito se utilizó el subcircuito de la figura 8
(Tipo 1). En la figura se puede observar al memristor
como un elemento de dos terminales representado por
el símbolo para el memristor, propuesto en [1]. Los
parámetros de esta simulación están ajustados de
acuerdo a lo presentado en [12]. La memristancia es
ELÉ
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009
116
dominante en bajas frecuencias [6, 7, 12, 13, 15] que
está dada por [7]:
w . w0 =
2¼
t0
(22)
Para frecuencias más altas el memristor se comporta
como un resistor, este hecho se puede observar en la
figura 14.
1
1.0V
Para D2 = 10nm , ¹v = 10¡10 cm2 s¡1 V ¡1 y v0 = 1V , se
tiene que w0 = 200¼ rad=s, lo que equivale a una
frecuencia f0 = 100Hz , por lo tanto para observar el
efecto memristivo se tiene que someter al memristor a
frecuencias inferiores a los 100Hz .
0.5V
40uA
0V
0A
-0.5V
-40uA
-1.0V
Los resultados obtenidos para la simulación del
circuito de la figura 11, se pueden observar en la
figuras 12, 13, 14, 15 y 16.
1.0V
2
>>
-80uA
0s
1
i(t)
50ms
V(U3:1) 2
100ms
I(X_U3.V_V_it)
150ms
200ms
250ms
300ms
350ms
400ms
Time
Figura 14. i(t) vs. v (t). Parámetros ajustados de acuerdo a
[12]:
ROF F =RON = 160 ,
D = 10nm ,
¹v = 10¡10 cm2 s¡1 V ¡1, f = 5Hz (10f0 ), v0 = 1V .
100uA
Para las condiciones de la figura 14, se da una relación
quasi lineal entre la tensión y la corriente. Esto se
puede observar en la figura 15, hechos reportados
también en [6, 7, 12].
v(t)
0.5V
50uA
0V
0A
-0.5V
-50uA
-1.0V
80uA
v(t)
donde t0 = D2 =¹v v0 es el tiempo que los dopantes
necesitan para atravesar la longitud D del material,
bajo la influencia de una tensión constante v0.
1
2
>>
-100uA
0s
1
i(t)
80uA
40uA
0A
V(U3:1)
0.5s
1.0s
2
I(X_U3.V_V_it)
1.5s
2.0s
2.5s
3.0s
Time
Figura 12. v (t) e i(t) vs. tiempo. Parámetros ajustados de
acuerdo
a
[12]:
ROF F =RON = 160 ,
D = 10nm ,
¹v = 10¡10 cm2 s¡1 V ¡1, f = 0:5Hz , v0 = 1V .
-40uA
-80uA
-1.0V
-0.8V
I(X_U3.V_V_it)
En la figura 12 se puede observar el comportamiento
no lineal del modelo. La tensión y la corriente pasan
por cero en el mismo instante, sin embargo a diferencia
del un resistor ideal la corriente y la tensión tienen sus
valores máximos y mínimos en instantes diferentes.
Este hecho se debe a la histéresis de la corriente
respecto a la tensión, característica principal del
comportamiento del memristor. En la figura 12 se
puede observar lo mencionado.
-0.6V
-0.4V
-0.2V
0V
0.2V
0.4V
0.6V
0.8V
1.0V
V(V1:+)
Figura 15. i(t) vs. v (t). Parámetros ajustados de acuerdo a [12]:
ROF F =RON = 160 , D = 10nm , ¹v = 10¡10 cm2 s¡1 V ¡1,
f = 5Hz (10f0 ), v0 = 1V .
La figura 15 confirma la dependencia del efecto
memristivo de la frecuencia, al observarse que el efecto
se acentúa en bajas frecuencias y desaparece en las
altas.
100uA
Como parte del proceso de validación se procedió
también a simular el comportamiento de la carga q (t)
respecto al tiempo y de q (t) respecto al flujo magnético
'(t), los resultados se pueden observar en las figuras 16
y 17. En este caso la carga es representada por la
tensión sobre el capacitor C1 del circuito equivalente
del memristor en el PSpice (ver figura 7).
50uA
0A
-50uA
-100uA
-1.0V
-0.8V
I(X_U3.V_V_it)
-0.6V
-0.4V
-0.2V
0V
0.2V
0.4V
0.6V
0.8V
1.0V
V(V1:+)
Figura 13. i(t) vs. v (t). Parámetros ajustados de
acuerdo a [12]: ROF F =RON = 160 , D = 10nm ,
¹v = 10¡10 cm2 s¡1 V ¡1, f = 0:5Hz , v0 = 1V .
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009
117
En la figura 19 se puede observar el gráfico de v (t) e
i(t) con los mismos parámetros de la figura 17 y con
´ = ¡1. El máximo de la corriente se adelanta respecto
a la tensión como efecto del cambio de polaridad del
memristor.
5.0uV
4.0uV
3.0uV
2.0uV
1
1.0V
2
600uA
v(t)
1.0uV
400uA
i(t)
0.5V
0V
200uA
0s
50ms
V2(X_U3.C_C1)
100ms
150ms
200ms
250ms
300ms
350ms
400ms
Time
Figura 16. carga q (t) vs. tiempo. En este caso la carga está
R
representada por i(t)dt, ROF F =RON = 160 , D = 10nm ,
¹v = 10¡10 cm2 s¡1 V ¡1, f = 5Hz , v0 = 1V .
0V
0uA
-200uA
-0.5V
45uV
-400uA
40uV
>>
-600uA
0s
1
-1.0V
5ms
V(V1:+)
2
10ms
15ms
I(X_U16.V_V_it)
20ms
25ms
30ms
35ms
40ms
45ms
50ms
Time
30uV
Figura 19. v (t) e i(t) con ´ = ¡1, ROF F =RON = 160 ,
D = 10nm , ¹v = 10¡10 cm2 s¡1 V ¡1, f = 40Hz , v0 = 1V .
20uV
5.3. Memristor Tipo 3
10uV
0V
0
50m
V2(X_U3.C_C1)
100m
150m
200m
250m
300m
350m
400m
( V(V1:+)/ I(X_U3.V_V_it))* V2(X_U3.C_C1)
Figura 17.
carga q (t) vs. '(t), ROF F =RON = 160 ,
,
¹
=
10¡10 cm2 s¡1 V ¡1, f = 5Hz , v0 = 1V .
D = 10nm v
5.2. Memristor Tipo 2
El siguiente paso consistió en simular el efecto de la
polaridad y la memristancia inicial sobre el modelo
(Memristor Tipo 2). Se utilizó subcircuito de la figura
9, en el que ´ = +1 y w0 =D = 0:9, para asegurar
¢R À R0 y consecuentemente la visualización del
efecto de la memristancia. Los resultados se pueden
observar en la figura 18.
1
1.0V
2
Para el memristor del tipo 3 se procedió a simular en
las mismas condiciones del Tipo 1 y 2. En este caso en
particular, el modelo considera la memristancia inicial,
la polaridad y la carga iniciales. El resultado de lo
mencionado se puede visualizar en la figura 20. Aquí
se puede notar el efecto de la carga inicial en el
comportamiento de la corriente, pues RF al depender
de q0 afecta el comportamiento de la corriente i(t).
1
1.0V
2
800uA
0.5V
400uA
0V
0A
-0.5V
-400uA
1.0mA
v(t)
0.5V
v(t)
i(t)
0.5mA
i(t)
-1.0V
0V
0A
>>
-800uA
0s
1
V(V1:+)
10ms
20ms
2
I(X_U2.V_V_it)
30ms
40ms
50ms
60ms
Time
-0.5V
-1.0V
Figura 20. v (t) e i(t) con ´ = ¡1, ROF F =RON = 160 ,
f = 35Hz , w0 =D = 0:5, v0 = 1V , q0 = 45x10¡6 C
-0.5mA
>>
-1.0mA
0s
1
5ms
V(V1:+)
2
10ms
15ms
I(X_U16.V_V_it)
20ms
25ms
30ms
35ms
40ms
45ms
50ms
Time
5.3. Circuito MC
Figura 18. v (t) e i(t) con ´ = +1, ROF F =RON = 160 ,
D = 10nm , ¹v = 10¡10 cm2 s¡1 V ¡1, f = 40Hz , v0 = 1V .
En este apartado se presentan los resultados de las
simulaciones de un circuito MC en que el capacitor se
encuentra cargado con una carga inicial q0. Para efectos
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009
118
de comparación se han utilizado los parámetros
propuestos en [7]. Los resultados se pueden visualizar
en la figura 20.
ML con ´ = ¡1 se descarga más rápido que el circuito
RL ideal.
5.5. Circuito MLC
1.0V
También se simuló un circuito MLC con el memristor
tipo 2 y con una fuente de alimentación
v (t) = v0 sen(wt), el resultado para w > wLC , w = wLC y
p
w < wLC ; wLC = 1= LC es la frecuencia de resonancia
de un circuito RLC ideal. En todos los casos el
capacitor e inductor sin cargas iniciales.
0.8V
´ = +1
0.6V
Circuito RC
0.4V
´ = ¡1
1
8.0V
2
15uV
w > wLC
w < wLC
0.2V
4.0V
10uV
0V
5uV
-4.0V
0V
0V
0s
V(U1:1)
1us
2us
V(C2:2)
V(C3:2)
3us
4us
5us
6us
7us
8us
9us
10us
Time
Figura 21. Proceso de descarga de un circuito MC,
ROF F =RON = 20; q0 =Q0 = 0:45 para asegurar la validez del
modelo (q0 =Q0 < (1 ¡ w0 =D )), C = 1nF , vc0 = 1V (carga
inicial del Capacitor).
En la figura 21 se puede confirmar lo reportado en [7],
el circuito MC con ´ = +1 se descarga más rápido que
el circuito RC ideal con R= R0, por otro lado el
circuito MC con ´ = ¡1 se descarga más lento que el
circuito RC ideal, validando el modelo propuesto.
-8.0V
>>
-5uV
0s
1
w = wLC
0.1s
0.2s
0.3s
V(L3:2,C3:1)
V(C2:2,C2:1)
2
0.4s
0.5s
V2(X_U1.C_C1)
Time
0.6s
0.7s
0.8s
0.9s
1.0s
Figura 23. q (t) vs. tiempo con v0 = 1V , ´ = +1, w0 =D = 0:5,
RON =ROF F = 10 , L = 50H fijos y C = 200¹F
(w > wLC ), C = 2¹F (w = wLC ) y C = 1¹F (w < wLC ).
5.4. Circuito ML
También se ha simulado un circuito ML utilizando el
memristor Tipo 3, con el inductor cargado con una
corriente inicial i0. Para efectos de comparación se han
utilizado los parámetros propuestos en [7]. Los
resultados se pueden visualizar en la figura 22.
1.4mA
1.2mA
La figura 23 muestra la carga q (t) en función del
tiempo (representado por la tensión sobre el capacitor
C1 en el modelo del memristor) que es un resultado
muy semejante a lo mostrado en [7], pues muestra
claramente que la menristancia tiene efecto sólo en el
periodo transitorio, desapareciendo su influencia en
régimen permanente, de ahí es que se puede afirmar
que el modelo propuesto para este caso es coherente
con los modelos matemáticos analizados teóricamente
en [6, 7, 12].
1.0mA
6. Conclusiones
0.8mA
´ = ¡1
0.6mA
Circuito RL
´ = +1
0.4mA
0.2mA
0A
0s
-I(L1)
10ms
-I(L2)
20ms
-I(L3)
30ms
40ms
50ms
60ms
70ms
80ms
90ms
100ms
Time
Figura 22. Proceso de descarga de un circuito ML,
ROF F =RON = 30 , i0 =I0 = 0:135 para asegurar la validez
del modelo (i0 =I0 < 0:140 ), L = 30H , i0 = 1:35mA
(corriente inicial por el inductor), que corresponde a una
carga inicial en el memristor de q0 = 5x10¡7 C .
En la figura 22 se puede confirmar lo reportado en [7],
el circuito ML con ´ = +1 se descarga más lento que el
circuito RL ideal con R= R0, por otro lado el circuito
Todas las variantes del modelo de simulación del
memristor propuesto en este trabajo presentan
resultados coherentes con los planteados en la
literatura. Hasta aquí los modelos estudiados e
implementados se basan en el “desplazamiento lineal
de la frontera entre las regiones dopadas y no
dopadas” (the-linear-drift-model), que presenta
limitaciones importantes en términos de corriente y
tensión aplicadas [6, 7, 12], pues fallan en ciertas
instancias. Este hecho fue corroborado en varios
pasajes del estudio, manifestado en problemas de
convergencia del PSpice.
Por otro lado los Modelos ABM del PSpice son
versátiles al permitir con cierta facilidad modelar el
complejo comportamiento de ciertos elementos, hecho
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009
119
que permitió obtener el modelo del memristor, objeto
del presente estudio. Finalmente se puede afirmar que
el modelo aquí propuesto y sus variantes son
aceptables y pueden ser utilizados en estudios básicos
del comportamiento del memristor como elemento
componente de circuitos simples. La disponibilidad de
los códigos de los diferentes tipos de memristores para
el PSpice abre un sinnúmero de posibilidades para
continuar el estudio en situaciones más complejas,
específicamente a través de la simulación.
7. Trabajos Futuros
Existe un modelo matemático que modela un
memristor contemplando una “derivación no lineal de
los dopantes” (Non-Linear Dopant Drift) [7, 12], que
corrige las fallas del modelo más simple, utilizado en
este trabajo (the-linear-drift-model). Por lo tanto como
continuación de lo reportado hasta el momento, se
pretende la implementación de ese modelo en el
PSpice con el objetivo de utilizar al memristor en
circuitos más complejos, específicamente en líneas de
transmisión no lineales, que se pretende, como parte de
los trabajos futuros, simular para analizar y estudiar.
Referencias
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Transaction on Circuit Theory, Vol. CT-18, No. 5,
setiembre de 1971.
[9] OrCAD, Inc., OrCAD Spice, User Guide, Primera
Edición, Noviembre de 1998
[10] Oster G.F., Auslander D.M., “The Memristor: A
New Bond Graph Element”, Journal on Dinamisc
Systems, Measurement, and Control, Setiembre
de 1973.
[11] Patel D., “Aplication of Spice to model nonlinear
devices and circuits from behavioral description”,
Electronics letters, Vol. 29, No. 6, marzo de 1993.
[12] Strukov D. B., Zinder G.S., Stewart D.R., Willians
R.S., “The
missing memristor found”, Nature,
Vol. 453, mayo de 2008.
[13] Tour J. M., He T., “The fourth element”, Nature,
Vol. 453, mayo de 2008.
[14] Valtonen M., Microwave Circuit Simulation
Using Higher-Order Dynamics Elements, ISBN
951-22-2301-5, Octubre de 1994
[15] Wang F. Y., “Memristor for introductory
physics” [en línea]
< http://arxiv.org/abs/0808.0286 > [10/10/2008]
[16] Yakov S., Peretz M., “A Spice Behavioral Model
of Non-Linear Inductors”, IEEE Power
Electronics Society Newsletter, Fourth Quarter
2003.
[2] Chua L.O., “Memristive Devices and Systems”,
Proceedings of the IEEE, Vol. 64, No. 2, Febrero
de 1976.
[3] Chua L. O., “Synthesys of Nonlinear Network
Elements”, Proceedings of the IEEE, Vol. 56, No.
8, Agosto de 1968
[4] Chua L. O., “Device via Basic Nonlinear Circuits
Elements”, IEEE Transaction and Systems, Vol.
Cas 27. No. 11, Noviembre de 1980.
[5] Close C.L., Cuircuitos Lineares, Segunda Edición,
2da. Edición, Libros Técnicos y Científicos
Editora, 1972.
[6] Joglekar Y. N., Wolf S. J. “The elusive memristor:
Propierties of basic electrical circuits” [en línea]<
http://arxiv.org/abs/0807.3994> [1/03/2009].
[7] Joglekar Y. N., Wolf S. J. “The elusive memristor:
signature in basic electrical circuits” [en línea]
<http://arxiv.org/abs/0807.3994v1> [31/08/2009].
[8] Lee Y., Chow M., Wong J., “Spice simulation of
nonlinear equations and circuits”, IEE proceedings,
Vol. 38, No. 2, Abril de 1991
ELÉCTRICA - Nº 5 – AÑO 2009