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Circuito LC de corriente alterna.
E: Un circuito LC está formado por una fuente de voltaje que suministra 2 cos 50t V, un capacitor
de 0:2 F y un inductor de 0:002 H. Determine la carga y la corriente sobre el circuito suponiendo
que al inicio el capacitor tenía una carga de 4 C y circulaba una corriente de 50 A.
D: H La carga Q.t/ satisface la ED:
d 2Q Q
d 2Q
Q
C
D
V
.t/
)
0:002
C
D 2 cos 50t
dt 2
C
dt 2
0:2
que se simplifica como:
d 2Q
C 2 500Q D 1 000 cos 50t:
dt 2
La ED homogénea asociada tiene como ecuación característica a r 2 C 2 500 D 0, que tiene las
raíces r1 D 50i y r2 D 50i. La solución complementaria está dada por:
L
Qc .t/ D c1 cos 50t C c2 sen 50t:
Como el voltaje de entrada tiene frecuencia angular ! D 50 rad/s, al igual que la solución
complementaria, proponemos como solución particular:
Qp .t/ D At cos 50t C Bt sen 50t:
Derivando tenemos:
Qp0 .t/ D
50At sen 50t C A cos 50t C 50Bt cos 50t C B sen 50tI
Qp00.t/
2 500At cos 50t
D
100A sen 50t
2 500Bt sen 50t C 100B cos 50t:
d 2Q
C 2 500Q D 1 000 cos 50t, resulta:
dt 2
2 500At cos 50t 100A sen 50t 2 500Bt sen 50t C 100B cos 50tC
C 2 500At cos 50t C 2 500Bt sen 50t D 100A sen 50t C 100B cos 50t D 1 000 cos 50t:
Sustituyendo en la ED
De donde obtenemos A D 0 & B D 10. Luego, la solución particular es
Qp .t/ D 10t sen 50t
y la solución general de la ED lineal no homogénea es
Q.t/ D 10t sen 50t C c1 cos 50t C c2 sen 50t:
Derivando tenemos la corriente
I.t/ D 10 sen 50t C 500t cos 50t
50c1 sen 50t C 50c2 cos 50t:
Si ahora usamos las condiciones iniciales Q.0/ D 4 & I.0/ D 50, obtenemos c1 D 4 & c2 D 1.
Por lo tanto, la carga sobre el capacitor es
Q.t/ D 10t sen 50t C 4 cos 50t C sen 50t C.
y la corriente que circula sobre el circuito está dada por:
I.t/ D 500t cos 50t
190 sen 50t C 50 cos 50t A.
4. canek.azc.uam.mx: 18/ 1/ 2011