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SOCIEDAD EXTREMEÑA “VENTURA REYES PROSPER”
Problemas propuestos
Adivinanza numérica
¿Quién soy?
Soy el mayor número natural de todos aquellos que tienen doce divisores y como
únicos divisores primos al dos y al tres. ¿Cuáles son mis doce divisores?
Solución y criterios de calificación.Se trata de un problema de aritmética que pretende relacionar un número con
sus divisores, distinguiendo los primos de los compuestos.
Si el número buscado es N, se puede expresar en la forma N = 2 x ⋅ 3 y
Si sabe expresar el número buscado en la forma adecuada: (2 Puntos)
Al ser el número de divisores 12, se tiene: (x+1).(y+1)=12.
Si sabe como calcular el número de divisores: (2 Puntos)
Como los factores deben ser números naturales, las únicas posibilidades son:
x+1=12, y+1=1 de donde: x=11, y=0. No es válida pues N = 211
x+1=1, y+1=12 de donde: x=0, y=11. No es válida pues N = 311
x+1=6, y+1=2 de donde: x=5, y=1. N = 2 5 ⋅ 31 = 96
x+1=2, y+1=6 de donde: x=1, y=5. N = 21 ⋅ 35 = 486
x+1=4, y+1=3 de donde: x=3, y=2. N = 2 3 ⋅ 3 2 = 72
x+1=3, y+1=4 de donde: x=2, y=3. N = 2 2 ⋅ 33 = 108
El número buscado es: N=486
Si estudia todas las posibilidades y deduce correctamente la solución: (4 Puntos)
Ahora es muy fácil deducir los 12 divisores: 1,3,9,27,81,243,2,6,18,54,162 y
486.
Si deduce de forma ordenada los doce divisores: (2 Puntos)
Perímetro doble
Un triángulo equilátero tiene doble perímetro que un exágono regular. Si el área
del exágono es 36 cm 2 , calcula el área del triángulo.
Solución y criterios de calificación.El problema se puede resolver sin utilizar ningún tipo de cálculo geométrico;
descomponiendo las figuras en triángulos equiláteros iguales:
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Si el área del exágono es 36 cm 2 , cada uno de los seis triángulos equilateros en que
se descompone tiene 6 cm 2 de superficie.
El triángulo equilátero de perímetro doble, consta de 16 triángulos equiláteros
iguales que los anteriores (ver figura), luego su área es 16.6=96 cm 2
Si lo razona de esta forma (10 Puntos)
Si se resuelve utilizando razonamientos geométricos:
llamando a al lado del exágono y b al del triángulo equilátero, 3b=12a de donde
(1 Punto)
b=4a.
Conocido el área del exágono 36, se deduce el lado a: 36 =
6a ⋅
a 3
2 ⇒ a 2 = 24
2
3
(4 Puntos)
El área de un triángulo equilátero conocido el lado L es:
Como
este caso L=b=4a,
24
16 ⋅
⋅ 3
2
16a 3
3
=
= 96 cm 2
4
4
(5 Puntos)
en
se
tiene:
L2 3
4
área del
triángulo
=