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METODOS DE CONTEO Y
PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
Cuando realizamos un experimento,
diremos que es:
 Determinista:
dadas
unas
condiciones iniciales, el resultado
es siempre el mismo.
 Aleatorio: dadas unas condiciones
iniciales, conocemos el conjunto
de resultados posibles,
pero
NO el resultado final.
Definición probabilidad
 Ejemplo:
Al extraer una sola carta de un naipe español (40 cartas), cual
es la probabilidad de obtener:
 a) Un as
 b) Un 3 de espadas
 c) 15 de oros
 d) un número menor o
igual que 3?
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
Rec uent o
CLASIFICACION NORMAL
OMS
OSTEOPENI A
OSTEOPOROSIS
Tot al
MENOPAU SI A
NO
SI
189
280
108
359
6
58
303
697
Tot al
469
467
64
1000
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga
osteoporosis?
¿Probabilidad de tener osteopenia u
osteoporosis?
PROBABILIDAD
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de
interés de un experimento dado, y se le denota
normalmente mediante la letra S.
Ejemplos:
1.- Experimento: Se lanza una moneda.
Espacio muestral = total de formas en como puede
caer la moneda, o sea dos formas de interés, que
caiga sello o que caiga cara. (Si cae de canto no
es de interés y se repite el lanzamiento).
S = { s, c }
PROBABILIDAD
2.- Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
PROBABILIDAD
Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c }
Probabilidad de que aparezcan el
número 2 o 3 con sello.
Probabilidad de que aparezcan números pares con
sello.
Ejemplo
 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados se
obtenga:
 a) Que la suma de sus caras sea 7
 b) En una cara aparezca un tres y en la otra un valor
mayor a 4.
 c) En el primer dado aparezca un 3 o 5 y el segundo
un 2 o 4.
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
Hay 10 parejas posibles
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
Ya que quedan 4 blancas, 3 rojas y
3 azules.
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
En total hay 11 bolas, cuando se extrae la
primera bola quedan 10 y después quedan 9
Métodos de conteo
Las técnicas de conteo son aquellas que son
usadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.
Diagramas de árbol
 Un diagrama de árbol es una herramienta que se
utiliza para determinar todos los posibles resultados
de un experimento aleatorio.
 Ejemplo: Juan tiene 2 corbatas de colores azul y rojo,
respectivamente, y tres camisas de colores azul, rosa y
blanco. ¿Cuántas combinaciones puede hacer?
Ejemplo
 Realiza el diagrama de árbol para las posibles
combinaciones de un menú de almuerzo
Solución
Principio multiplicativo
 Regla de la multiplicación: Si se desea realizar una
actividad que consta de k pasos, en donde el primer paso de
la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de n1
maneras, el segundo paso de n2 maneras y el k-ésimo paso
de Nk maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a
efecto de:
 ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las
letras de la palabra maíz.

4
3
2
1
Ejemplo
 Cuantos billetes de lotería (de cuatro cifras y una
serie de una letra) hay?
Cifras
Ejemplo con condiciones.
Cuántas claves de acceso a un computador será
posible diseñar, si esta debe constar de dos letras,
seguidas de cuatro dígitos, las letras serán
tomadas del abecedario y los números de entre los
dígitos del 0 al 9.
 Considere que se pueden repetir letras y números.
 Considere que no se pueden repetir letras y
números.
 ¿Cuántas de las claves empiezan por la letra A y
terminan en impar?
Ejemplo con condiciones.
Cuántas claves de acceso a un computador será
posible diseñar, si esta debe constar de dos letras,
seguidas de cuatro dígitos, las letras serán
tomadas del abecedario y los números de entre los
dígitos del 0 al 9.
 Considere que se pueden repetir letras y números.
27x27x10x10x10x10
 Considere que no se pueden repetir letras y
números.
27x26x10x9x8x7
 ¿Cuántas de las claves empiezan por la letra A y
terminan en impar? 1x27x10x10x10x5
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
La cantidad de números de cuatro cifras es
10x10x10x10 = 10000
Como se compro una boleta y se juega con dos números
la probabilidad es 2/10000
Diferencia entre combinación y permutación
Permutación
 Una permutación de un conjunto de elementos es
una disposición de tales elementos de acuerdo a
un orden definido. El número de permutaciones
n!
de n elementos tomados de r es:
n
Pr 
 n  r !
1
3
2
1
2
2
1
4
3
3
4
4
2
2
4
4
1
1
4
3
2
2
3
3
1
1
3
4
Permutaciones
 Los equipos A, B, C y D, son finalistas de un torneo.
¿De cuántas maneras pueden quedar asignadas los
títulos de campeón y subcampeón?
AB
AC
AD
BA
BC
BD
CA
CB
CD
DA
DB
DC
n elementos
r subconjuntos.
Permutaciones
4 elementos
2 subconjuntos.
Ejemplo
 ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles
formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario,
Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta
representación puede ser formada de entre 25 miembros
del sindicato de una pequeña empresa.
Ejemplo
 Disponemos de cinco colores para pintar una
bandera de tres franjas verticales de igual ancho y
diferente color.
Teniendo en cuenta este criterio de diseño, ¿cuántas
banderas distintas podemos crear?
Solución
Permutación con todos los elementos.
 Calcular todas las formas posibles de ordenar los
números 1,2 y 3.
Permutación con todos los elementos.
 Calcular todas las formas posibles de ordenar los
números 1,2 y 3.
Ejercicios
a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones
de salida de 8 autos que participan en una carrera de
fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de
los autos participantes en la carrera son dadas totalmente
al azar)
b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros
tres premios de esta carrera de fórmula uno?
Ejercicios
a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones
de salida de 8 autos que participan en una carrera de
fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de
los autos participantes en la carrera son dadas totalmente
al azar)
8P8= 8! = 40320
b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros
tres premios de esta carrera de fórmula uno?
8P3=8!/5! = 8x7x6 = 336
Permutaciones con repetición
 una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de
objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos
del tipo k.
Ejemplo
 Obtenga todas las señales posibles que se pueden
diseñar con seis banderines, dos de los cuales son
rojos, tres son verdes y uno morado.
Solución:
n = 6 banderines
x1 = 2 banderines rojos
x2 = 3 banderines verdes
x3 = 1 banderín morado
6! / 2!3!1! = 60 señales
diferentes
¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números
1,1,1,2,3,3,3,3?
Combinatoria

Permite calcular el número de grupos de tamaño r que
se pueden obtener a partir de n objetos diferentes sin
tener en cuenta su orden. El número de combinaciones
de n objetos tomados de r es:
n!
n
Cr 
r ! n  r !
1
3
2
4
1
2
4
2
4
1
3
2
4
3
3
1
Combinaciones
 Los equipos A, B, C y D, son finalistas de un torneo.
¿Cuántos son los posibles partidos para definir los
títulos de campeón y subcampeón?
AB
AC
AD
BC
BD
CD
Combinaciones
Ejemplo 2
Ejemplo 2
Ejercicios
 Encuentre el número de subconjuntos de tamaño 2 del
conjunto {a, b, c, d, e}.
 Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una
campaña pro limpieza del colegio, cuantos grupos de
limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5
alumnos cada uno de ellos.
Ejercicios
 Encuentre el número de subconjuntos de tamaño 2 del
conjunto {a, b, c, d, e}.
5C2 = 5!/3!2!
 Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una
campaña pro limpieza del colegio, cuantos grupos de
limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5
alumnos cada uno de ellos.
14C5 = 14!/9!5!
Ejemplo
 Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete
mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres.
De cuántas formas puede formarse, si:
 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
Ejercicio
2C1 x 6C4 x 5C4 x 3C2 = 2 x 15 x 5 x 3 = 450
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
 Interesa
la
POSICIÓN de
los elementos
del
grupo
formado.
El maestro desea que se nombre a
los representantes del salón
(Presidente, Secretario y Tesorero).
 Interesa
la
PRESENCIA de los
elementos del grupo
formado.
El maestro desea que tres de los
alumnos lo ayuden en
actividades tales como mantener
el aula limpia o entregar material
a los alumnos cuando así sea
necesario.
Ejercicio Unal
Ejercicio Unal
Tenemos que mirar cuales son los eventos totales. Es
decir de cuantas maneras podemos organizar los 15
aspirantes en grupos de 2.
Es una permutación ya que importa el orden.
15P2=15!/13! = 15 x 14
Hay dos eventos favorables de todos los posibles.