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El problema del mono y los cocos
Ciclo 1 – Nivel 4 2008-2009
En este cuestionario nos encontraremos con un mono, tres marineros y
muchos cocos.
Tres marineros navegaban en un barco. Se desató una
tormenta y los marineros naufragaron y terminaron en una
isla desierta junto a un mono hambriento. La única comida en
la isla eran los cocos. Los marineros colectaban cocos todos
los días y en la noche se iban a dormir acordando que al día siguiente se los
repartirían entre ellos. Durante una noche, uno de los marineros se despertó
y decidió repartir los cocos y llevarse su parte: dividió el total de los cocos en
tres pilas y le sobró uno que se lo regaló al mono, escondió su pila y dejó el
resto de los cocos en el lugar original, luego se volvió a dormir. Más tarde, un
segundo marinero se despertó e hizo lo mismo con los cocos restantes,
también en este caso le sobró un coco que lo recibió el mono. Hacia la
madrugada, se despertó el tercer marinero y repitió lo que hicieron sus
compañeros, y el mono volvió a recibir un coco sobrante. A la mañana se
despertaron los tres marineros y repartieron los cocos que habían quedado
en el lugar original (sin hacer comentarios sobre la cantidad que notaron
disminuida). También esta vez sobró un coco, que se lo regalaron al mono.
La pregunta es: ¿Cuál es el número de cocos más pequeño posible que los
marineros recolectaron al llegar a la isla?
Más adelante presentaremos diversas soluciones a este problema. Pero
antes de continuar la lectura trata de encontrar tu propia solución.
1
Desde el final hacia el comienzo
Concentrémosnos en las dos últimas etapas del problema:
El tercer marinero dejó de lado un coco (que se lo dio al mono), y repartió la
pila en tres partes iguales llevándose una. Luego, a la mañana, los tres
marineros repartieron la pila encontrada entre ellos, dándole un coco al
mono. Veámoslo en el siguiente esquema:
Elijamos un número cualquiera, por ejemplo 17, y apliquemos estas etapas:
Vemos que muy pronto obtenemos un número no entero de cocos. Para que
este número sea entero, su antecesor en el esquema debe ser múltiplo de 3.
Comencemos nuevamente, ahora con 19.
Esta vez tuvimos éxito con el número con el que comenzamos en los
primeros cuatro pasos, pero el resultado de todo el proceso no es un entero.
A continuación, debemos requerir que el quinto número obtenido en este
proceso sea múltiplo de 3. Pero antes de proseguir, observemos que este
proceso puede ser abreviado.
2
En lugar de dividir entre 3 y restar la cantidad retirada, podemos usar una
sola operación aritmetica. Obsérvalo en el esquema.
Y como se ha visto, nos debemos a restringir a que aparezcan múltiplos de 3
en el segundo y en el cuarto lugar de este esquema.
1. Encuentra una secuencia de números que al ser ubicados en el segundo
lugar nos aseguren que lo obtenidos en el cuarto lugar sean múltiplos de 3.
En lugar de adivinar números posibles de cocos que encontró el tercer
marinero, invertimos el proceso y emprendemos una búsqueda sistemática.
2. a. Describe qué característica común tienen los números que se obtienen
en el penúltimo lugar de este esquema.
Comencemos sistemáticamente con números naturales y apliquémosles el
proceso del esquema. Debido a la limitación que encontraste en la pregunta
2.a. comenzaremos sólo con impares.
2. b. ¿Por qué si comenzamos con impares se cumple la limitación
encontrada en 2.a.?
3
Observemos una aplicación sistemática del proceso comenzando con los
cinco primeros números impares:
1
×3
3
3
5
7
×3
×3
×3
9
+1
4
+1
10
× 32
× 32
15
6
+1
7
+1
16
15
+1
16
× 32
24
+1
25
21
+1
22
× 32
33
+1
34
9
×3
27
+1
28
× 32
42
+1
43
3. Busca sistemáticamente una solución al problema del mono y los cocos.
(Te puedes ayudar con los esquemas que encontrarás al final del
cuestionario)
4
Ecuaciones diofánticas
El problema del mono y los cocos puede formularse como un sistema de
ecuaciones, donde A es la cantidad que recibió cada marinero en el reparto
de la mañana, B la cantidad que se llevó el tercer marinero a la madrugada,
C la cantidad que se llevó el segundo durante la noche, D lo que se llevó el
primero esa noche y E la cantidad total que recolectaron al llegar a la isla.
2B = 3A + 1
2C = 3B + 1
2D = 3C + 1
E = 3D + 1
De este sistema se puede obtener una sola ecuación que relaciona A con E :
8E = 81A + 65
Para resolver el problema, sólo nos resta encontrar los números enteros más
pequeños que al ser sustituídos en E y A satisfagan la ecuación. En otras
palabras, debemos resolver esta ecuación diofántica (es decir, una ecuación
con dos incógnitas que son números enteros).
4. Resuelve esta ecuación diofántica.
Aunque el mono se vista de seda, mono se queda
A veces es conveniente reorganizar una ecuación, cambiando su apariencia
de tal manera que aunque exprese lo mismo lo hace con una "vestidura" que
nos permite una lectura más accesible de la información. Veamos:
8E = 81⋅ A + 65 ⇒ E =
81A + 65 (8 ⋅10 A + A) + (8 ⋅ 8 + 1)
A +1
=
= 10 A + 1 +
8
8
8
Es decir, obtuvimos una ecuación equivalente más amistosa para los efectos
de nuestra búsqueda E = 10 A + 1 +
A +1
8
5. Encuentra el número entero más pequeño que al sustituirlo en A dé un
número entero.
5
Cocos negativos
Supongamos que las condiciones del problema hayan sido un poquito
diferentes y que al cabo de cada reparto intermedio (en tercios) no hubiesen
quedado cocos sobrantes para el mono. En ese caso, la ecuación sería
E ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 13 = A
(como en el caso anterior, E representa la cantidad inicial de cocos
recolectados y A la cantidad que recibió cada marinero en el reparto de la
mañana). En este caso, el valor más pequeño que puede tomar E es 34 .
En nuestro problema original también se divide cuatro veces la cantidad
inicial entre 3, entonces 34 es el número mas pequeño que se le puede
sumar a una solución cualquiera para obtener otra. En otras palabras, si N
es una solución del problema, N ± 34 lo será también.
6. Explica por qué la afirmación precedente es correcta.
Supongamos que nuestros esfuerzos por adivinar cantidades que sean
soluciones posibles de este problema hayan resultado infructuosos.
Seguramente los números que intentamos eran positivos, pero a lo mejor los
números negativos nos dan una pista.
Sin tomarnos demasiado tiempo
haciendo ensayo y error, llegaremos a una sorprendente respuesta: -2.
Veámoslo.
Los marineros recolectaron -2 cocos. Por la noche, el primer marinero le da
un coco al mono, quedándole -3, retira un tercio para sí (es decir -1 coco)
dejando en la pila -2 cocos, que es precisamente ¡la cantidad inicial! El
segundo marinero repite el mismo proceso, lo mismo el tercero y lo mismo
ocurre en el reparto de la mañana. Para obtener una respuesta positiva (en
realidad la primer cantidad posible) le sumamos 34 , obteniendo 34 − 2 = 79
que es el mismo resultado al que se llega en la respuesta a la pregunta 5.
6
Cocos de colores
Para quién le cueste aceptar la idea de cocos negativos, podemos presentar
la solución anterior de otra manera.
Comencemos con 34 cocos. Vimos que este es el número más pequeño del
cual se puede retirar un tercio y repetir el proceso anterior cuatro veces. Dos
de los 34 cocos se pintan de azul y se dejan a un costado. Al dividir el
número que queda entre 3, el resultado es 33 − 1 con resto 1, que es el coco
que el primer marinero le da al mono, y luego se lleva su parte. Antes de que
el segundo marinero se lleve su parte, agregamos los dos cocos azules a la
pila para que ésta tenga ahora 2 ⋅ 33 cocos. Este número es divisible entre 3.
Nuevamente, dejamos a un lado los dos cocos azules, y si ahora dividimos
entre 3 el resultado es 2 ⋅ 32 − 1 dejando resto 1, que es el coco que el
segundo marinero le da al mono.
Es decir que la función que cumplen
nuestros dos cocos azules es permitirnos visualizar que la pila ante nosotros
(en cualquier etapa del proceso) es divisible entre tres, y si los retiramos
obtendremos un resultado que ahora es menor en uno y con resto 1 (que es
el coco que recibe el mono). Al concluir el cuarto reparto los dos cocos
azules quedan a un lado, porque no pertenecen a nadie, sólo nos han
facilitado visualizar las distintas etapas del proceso de reparto.
Más sobre el problema del mono y los cocos
7. Cambiemos un detalle de la historia: en el reparto de la mañana, los
marineros lograron repartir en partes iguales la pila ante ellos sin que
quede un coco para el mono. ¿Cuál es el número de cocos más pequeño
posible que los marineros recolectaron al llegar a la isla?
8. Resuelve el mismo problema, pero ahora sabiendo que al final de cada
etapa, quedan dos cocos que los recibe el mono.
7
9. En esta versión de la historia, la acción transcurre durante dos noches. Es
decir, cada marinero repite el proceso de reparto dos veces (una en cada
noche) y el reparto en presencia de los tres se efectúa al finalizar la
segunda noche. Resuelve el problema con estas condiciones.
10. Ahora han llegado a la isla 4 marineros. Durante la noche, cada uno de
ellos le da un coco al mono y reparte la pila entre cuatro, llevándose su
parte. A la mañana, le dan un coco al mono y reparten lo que queda. ¿Cuál
es el número de cocos más pequeño posible que los 4 marineros
recolectaron al llegar a la isla?
11. a. Propón una nueva versión de la historia y resuélvela,
ó
b. Intenta una solución a alternativa a las presentadas acá,
ó
c. Intenta encontrar una generalización del problema.
Bibliografía y material adicional
1. Warren J. Himmelberger (1973), Puzzle, Problems and Diophantine
Equations. Mathematics Teacher 66(2), pp. 136-138.
2. Martin Gardner (1987) The 2nd Scientific American Book of
Mathematical Puzzles & Diversions (Chapter 9
8
Esquema para responder a la pregunta 3
Número
natural
×3
×3
×3
×3
×3
×3
×3
×3
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
× 32
× 32
× 32
× 32
× 32
× 32
× 32
× 32
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
El tercer
marinero
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