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Prof. Irma Beatriz Ruffiner
Prof. Mercedes Martinelli
U.T.N.- F.R.C.U.
Matemá tica Discreta
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Matemá tica Discreta
INDICE
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA .................................................................... 2
DE RELACIÓN INTERDISCIPLINARIA (CON LA MATERIA INTEGRADORA)................... 2
PROPIOS DE LA ASIGNATURA O ESPECÍFICOS ........................................................... 3
PROGRAMA ANALÍTICO ..................................................................................................... 4
CRONOGRAMA TENTATIVO ................................................................................................ 5
CRONOGRAMA DE EVALUACIONES .................................................................................... 6
BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................... 7
EVALUACIÓN Y PROMOCIÓN ............................................................................................. 9
METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA ................................................................................. 10
MEDIOS AUXILIARES ....................................................................................................... 10
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OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA
DE RELACIÓN INTERDISCIPLINARIA (con la materia integradora)
Conceptuales:
Que el alumno logre:
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formar una base de razonamiento riguroso,
conocer y comprender las ideas directrices de su razonamiento y aprecie su valor instrumental,
modelar matemáticamente los problemas planteados en la materia integradora,
familiarizarse con la terminología propia de su especialidad al resolver problemas planteados desde la asignatura
correspondiente,
precisión en el lenguaje científico,
establecer las relaciones existentes entre los temas de la materia y los problemas básicos planteados en la materia
integradora,
desarrolle un aprendizaje integrado teórico-práctico-tecnológico.-
Procedimentales:
Que el alumno logre:
•
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•
•
resolver situaciones propias de la actividad ingenieril,
graficar e interpretar esta problemática desde el campo de la Matemática Discreta,
generar problemas que surjan de la actividad en la carrera y se resuelvan a través de modelos pertenecientes a la
asignatura,
promover la participación, la innovación y la búsqueda de soluciones teóricas creativas,
adquirir y reforzar hábitos de orden y exactitud en el trabajo.-
Actitudinales:
Que el alumno logre:
•
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despertar curiosidad por el saber científico tecnológico,
objetividad en el análisis,
respeto por las opiniones ajenas,
interés en participar en los debates y trabajos grupales,
eliminar prejuicios y discriminación intergrupales,
adoptar una postura solidaria.-
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PROPIOS DE LA ASIGNATURA O ESPECÍFICOS
Conceptuales:
Que el alumno logre:
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adquirir la preparación técnico-científica de la asignatura,
trabajar en la conceptualización y teorización partiendo de la práctica concreta superando la disociación teóricopráctica,
comprender los temas y técnicas de razonamiento combinatorio y métodos discretos,
recordar el lenguaje lógico que permita unificar y dar coherencia a los contenidos,
obtener información científica mediante el uso acertado de bibliografía específica,
enfrentar situaciones complejas no necesariamente matemáticas, pero casi siempre matematizables,
comprender, integrar y utilizar el simbolismo, las leyes, teorías y técnicas de la asignatura.-
Procedimentales
Que el alumno logre:
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•
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elaborar e investigar algoritmos de cálculo y desarrollar las demostraciones conducentes a la solución de
problemas,
aplicar las distintas técnicas y valorar la confiabilidad de las mismas en la resolución de ejercicios y problemas,
verificar soluciones,
fundamentar soluciones,
investigar y discutir los temas propuestos,
criticar y debatir dichos temas,
analizar y resolver los ejercicios y problemas propuestos,
escoger el método más adecuado para resolver un problema particular,
desarrollar la competencia y habilidad para la representación matemática,
representar y analizar modelos a través de los cuales interpretar y/o resolver problemas con los que su actividad
los enfrente,
interpretar en forma correcta los resultados y detectar errores,
orientar la línea de trabajo en relación a sus conocimientos con otras rama de la matemática y/u otras ciencias,
seleccionar contenidos que le permitan efectivizar dichas relación,
promover la participación, la innovación y la búsqueda de soluciones teóricas creativas
adquirir habilidad y destreza en el acopio de datos
reflexionar acerca de la importancia de conocer y saber evaluar softwares de aplicación.-
Actitudinales
Que el alumno logre:
•
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•
interpretar la armonía y la estructuración de los contenidos de la Matemática Discreta,
estimar la importancia de la Matemática Discreta en las problemáticas de la carrera,
desarrollar la madurez matemática mediante el estudio de un área tan diferente del cálculo,
comprender la importancia del rigor el tratamiento de los temas,
apreciar la significación de la matemática en los distintos temas,
fomentar el trabajo interdisciplinario,
comprometerse en una actividad continua que le interese por sí misma y que un verdadero problema surja en tal
situación, como estímulo de reflexión,
formar y consolidar buenos hábitos de conducta tanto para el trabajo individual como para el trabajo en equipo.-
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PROGRAMA ANALÍTICO
PLAN 1995
PROGRAMA ANALÍTICO DE MATEMÁTICA DISCRETA
De la coordinación con los profesores de Sistemas Operativos, Algoritmos y Estructura de Datos, y
Arquitectura de Computadores surgió la siguiente selección y organización de contenidos que darán forma al
programa analítico de Matemática Discreta.-
UNIDAD TEMÁTICA 1: NOCIONES DE LÓGICA Y CONJUNTOS.Proposiciones. Notaciones y conectivos. Operaciones con proposiciones: negación, disyunción, implicación y
equivalencia. Expresión de conectivos condicionales en términos de otros conectivos Determinación de la veracidad
de proposiciones simbólicas: tablas de verdad, circuitos lógicos.- Leyes lógicas. Cuantificadores universal y existencial. Lógica de predicados: verdad y equivalencia de proposiciones cuantificadas.Conjuntos. Definición Pertenencia. Inclusión. Conjunto de partes. Diagramas de Venn. Complementación.
Operaciones: intersección, unión, diferencia, diferencia simétrica. Propiedades de las operaciones con conjuntos.
Operaciones generalizadas. Principio de adición.
Inducción matemática. Demostraciones por inducción. Definición recursiva.
Principios de conteo. Aplicaciones de los principios de conteo. Permutaciones y combinaciones. Números
combinatorios. Problemas de conteo.
UNIDAD TEMÁTICA 2: RELACIONES.Producto cartesiano. Relaciones. Alcanzabilidad. Distintas representaciones de las relaciones: gráfico cartesiano, matricial, digrafos. Dominio e imagen. Relación inversa. Relación complementaria. Composición de
relaciones. Propiedades. Relaciones binarias. Propiedades. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia.
Teorema fundamental de equivalencia. Relaciones de orden. Ordenamientos totales y parciales. Diagramas de
ordenamientos. Clausura. Caminos o trayectorias.-
UNIDAD TEMÁTICA 3: TEORÍA DE GRAFOS.Grafos. Digrafos. Subgrafo Grafo (digrafo) parcial de un grafo (digrafo). Caminos y circuitos. Recorridos
eulerianos. Algoritmo de Fleury. Problema hamiltoniano. Isomorfismo de grafos. Conexión en un grafo. Desconexión
en un grafo. Conexión en un digrafo. Desconexión de un digrafo. Grafo geométrico. Planaridad. Teorema de Kuratowski. Ejemplos notables de grafos. Relaciones en un grafo (digrafo). Clausura o cerradura transitiva.
Representaciones de grafos empleando matrices.
Árboles. Árboles con raíz. Árboles binarios. Representación de árboles binarios. Búsquedas secuenciales.-
UNIDAD TEMÁTICA 4: RETÍCULOS.Conjuntos parcialmente ordenado (copo). Diagrama de Hasse. Elementos extremos de los copos.
Definiciones. Teoremas. Retículos. Subretículos. Retículos isomorfos. Semirretículos. Propiedades de los retículos.
Tipos especiales de retículos.-
UNIDAD TEMÁTICA 5: ÁLGEBRA DE BOOLE.Álgebra de Boole. Dualidad en el álgebra de Boole. Deducción de leyes básicas. Formas canónicas de polinomios booleanos. Teoremas. Operaciones booleanas. Descripción algebraica de un circuito lógico. Simplificación de
polinomios booleanos o de circuitos lógicos.-
UNIDAD TEMÁTICA 6: ÁLGEBRA ABSTRACTA.Semigrupos. Grupos. Definiciones. Ejemplos. Propiedades de los grupos. Ley de composición inversa en un
grupo. Subgrupo. Operaciones con subgrupos. Morfismos. Congruencias. Clases residuales. Partición estable de un
grupo. Subgrupo normal. Grupo cociente. Anillos. Definición. Ejemplos. Subanillo. Homorfismos de anillos.-
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CRONOGRAMA TENTATIVO
SEMANA Nº
DÍAS
TEMA
01
Desde 02-08 al 06-08
Unidad Nº 1: Nociones de Lógica. Conjunto.
02
Desde 09-08 al 13-08
Unidad Nº 1: Nociones de Lógica. Conjunto.
03
Desde 16-08 al 20-08
Lunes y Martes s/a
Unidad Nº 1: Nociones de Lógica. Conjunto.
04
Desde 23-08 al 27-08
Unidad Nº 1: Inducción Matemática. Conteo.
05
Desde 30-08 al 03-09
Unidad Nº 1: Inducción Matemática. Conteo.
06
Desde 06-09 al 10-09
Jueves s/a
Unidad Nº 2: Relaciones.
07
Desde 13-09 al 17-09
Unidad Nº 2: Relaciones.
08
Desde 20-09 al 24-09
Unidad Nº 3: Teoría de grafos.
09
Desde 27-09 al 01-10
Unidad Nº 3: Teoría de grafos.
10
Desde 04-10 al 08-10
Unidad Nº 3: Teoría de grafos.
11
Desde 11-10 al 15-10
Unidad Nº 4: Retículos.
12
Desde 18-10 al 22-10
Unidad Nº 4: Retículos.
13
Desde 25-10 al 29-10
Unidad Nº 5: Álgebra de Boole
14
Desde 01-11 al 05-11
Unidad Nº 5: Álgebra de Boole
15
Desde 08-11 al 12-11
Unidad Nº 5: Álgebra de Boole
16
Desde 15-11 al 19-11
Unidad Nº 6 Álgebra abstracta.
17
Desde 22-11 al 26-11
Unidad Nº 6 Álgebra abstracta.
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CRONOGRAMA DE EVALUACIONES
Semanas de evaluación fijadas por la Facultad para esta asignatura en los turnos tarde y noche:
02-08 al 06-08
16-08 al 20-08
30-08 al 03-09
13-09 al 17-09
27-09 al 01-10
11-10 al 15-10
25-10 al 29-10
08-11 al 12-11
22-11 al 26-11
TURNO TARDE Y NOCHE
Primera evaluación parcial:
Unidades Temática: 1, 2..
15-09-04.
Recuperatorio primera evaluación parcial:
28-10-04.
Segunda evaluación parcial:
Unidades Temática: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
10-11-04.
Recuperatorio segunda evaluación parcial:
24-11-04
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BIBLIOGRAFÍA
1.- OBRAS DE MATEMÁTICA DISCRETA.! BOGART, Kenneth P.
! ALBERTO DE TOSO, Malva
SCHWER DE INGLESE, Ingrid
CÁMARA, Viviana
ROGIANO, Cristina
MEINERO, Silvina
GAVRILOV, G. P.
SAPOZHENKO, A.A
“MATEMÁTICAS
(México, 1996).-
DISCRETAS”.
Editorial
Limusa
S.A.
“MATEMÁTICAS DISCRETA”. Una perspectiva desde las
Ciencias de la Computación. Centro de Publicaciones, UNL
(Santa Fe, 2000)
“PROBLEMAS DE MATEMÁTICA DISCRETA”.
Mir. (URSS. 1980).-
Editorial
! GRIMALDI, Ralph P.
“MATEMÁTICAS DISCRETA Y COMBINATORIA”.
Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. (E.U. A., 1985).-
JOHNSONBAUGH, Richard
“MATEMÁTICAS DISCRETAS’. Grupo editorial Iberoamérica,
S.A. (México, 1988).-
KOLMAN, Bernard
BUSBY, Robert C.
“ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS PARA
LA COMPUTACIÓN”. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A.
1era. edición en español (México 1986).-
! KOLMAN, Bernard
BUSBY, Robert C.
ROSS, Sharon
! ROSS, Kenneth A.
WRIGHT, Charles R.B.
“ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS PARA
LA COMPUTACIÓN”. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A.
1era. edición en español (México 1997).“MATEMÁTICAS
DISCRETAS”.
Prentice-Hall
Hispanoamericana, S.A. 3era. edición en español (México, 1990).-
2.- OBRAS DE MATEMÁTICA.KAUFMANN, A.
PRECIGOUT, M.
“CURSO DE MATEMÁTICAS NUEVAS”. CECSA (Barcelona,
1970).-
! GARCÍA VALLE, Luis J.
“MATEMÁTICAS ESPECIALES PARA COMPUTACIÓN”.
McGRAW-HILL. 1era. edición en español (Madrid, 1988).-
LIPSCHUTZ, Seymour
“MATEMÁTICAS PARA COMPUTACIÓN”.
HILL. 1era. edición en español (México, 1992).-
LÓPEZDE MEDRANO, Santiago
“MODELOS MATEMÁTICOS”. Editorial Trillas. 2da. edición
(México, 1981).-
MERRIT, F. S.
“MÉTODOS
MATEMÁTICOS
MODERNOS
EN
INGENIERÍA”. Editorial Labor S.A. 1era. edición. (Barcelona,
1976).-
McGRAW-
3.- OBRAS DE PASCAL Y ESTRUCTURA DE DATOS.! AHO, Alfred V.
HOPCROFT, John E.
ULLMAN, Jeffrey D.
DALE, Nell
LILLY, Susan C.
! JOYANAS AGUILAR, Luis
“ESTRUCTURA DE DATOS Y ALGORITMOS”. AddisonWesley Iberoamericana S.A. (E.U.A., 1988).“PASCAL Y ESTRUCTURAS DE DATOS”. McGRAW-HILL.
2da. edición en español (Madrid, 1989).“PROGRAMACIÓN EN TURBO PASCAL VERSIONES 5.5,
6.0 Y 7.0”. McGRAW-HILL. 2da. e- dición en español (Madrid,
1993).-
LOOMIS, Mary E. S.
“ESTRUCTURA DE DATOS Y ORGANIZACIÓN DE
ARCHIVOS”. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. (México,
1991).-
! WEISS, Mark Allen
“ESTRUCTURAS DE DATOS y ORGANIZACIÓN DE
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ARCHIVOS”. Addison-Wesley Iberoamericana S.A. (E.U.A.,
1995).-
4.- OBRAS DE LÓGICA.HAMILTON, A. G.
“LÓGICA PARA MATEMÁTICOS”. Paraninfo S. A. (Madrid,
1981).-
MORENO, Alberto
“LÓGICA MATEMÁTICA”.EUDEBA. 3era edición. (Buenos
Aires, 1981).-
! NAISHTAT, Francisco S.
“LÓGICA PARA COMPUTACIÓN”. EUDEBA. (Buenos Aires,
1986).-
5.- GRAFOS.FLAMENT, Claude
“TEORÍA DE GRAFOS Y ESTRUCTURAS DE GRUPO”.
Editorial Tecnos S.A. (Madrid, 1972).-
KAUFMANN, A.
“MÉTODOS Y MODELOS DE LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES”. Tomo II, CECSA. 6ta. edición. (México,
1980).-
! TORANZOS, Fausto A.
“INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRAFOS”. Monografía
de Matemática de la O.E.A.-
6.- ÁLGEBRA DE BOOLE.GRIGORI, Artur
“CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
BOOLEANA”. Editorial Trillas. (México, 1973).-
de PALMA, Raoul
“EL ÁLGEBRA BINARIA DE BOOLE Y SUS
APLICACIONES A LA INFORMÁTICA”. Marcombo Boixareu
Editores. 1era. reimpresión. (Barcelona, 1981).-
7.- APUNTE DE LA CÁTEDRA.8.- GUIAS DE TRABAJOS PRÁCTICOS.COMENTARIO SOBRE LA BIBLIOGRAFÍA PROPUESTA.-
Existen numerosos libros referentes a Matemática Discreta, resultaría difícil mencionar todos los
excelentes textos correspondientes a esta disciplina. La bibliografía propuesta, sirve de guía al estudiante
conduciéndolo hacia fuentes básicas que pueda utilizar para aumentar sus conocimientos.
Para el ingeniero moderno el hecho de “ir a la par con su profesión” entraña forzosamente el uso
de bibliografía adecuada. Ciertamente, tal hábito es un aliado del profesional al acompañar las tareas,
tanto analíticas como prácticas, en el desarrollo de proyectos y la solución de problemas en forma más
eficiente. En consecuencia cuanto más a fondo y más temprano se familiarice el estudiante de ingeniería
con una bibliografía adecuada a sus necesidades, mejor será su formación.Todas las referencias anteriores proporcionan explicaciones de los contenidos básicos y están
enfocadas a proporcionar al estudiante formas de explorar más afondo los distintos temas, debe consultar
estas fuentes alternativas para complementar el material de la cátedra y enriquecer sus conocimientos
sobre los temas de la disciplina.En la bibliografía recomendada los textos marcados con ! son los recomendados para el estudiante, esto no excluye otros textos que traten los temas con rigor científico e invitamos a los alumnos al
análisis de los mismos para que concertemos su inclusión en la bibliografía propuesta para esta asignatura.-
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EVALUACIÓN Y PROMOCIÓN
La evaluación del rendimiento del alumno se hará mediante un sistema de evaluación continua
y dos (2) instancias globalizadoras e integradoras.!" evaluación continua en el aula: se forman grupos de trabajo de 4 (cuatro) o 5 (cinco) alumnos, y se
establecen situaciones a resolver contenidas en la guía de trabajos prácticos o en libros de los propuestos
en la bibliografía o de los acercados al aula por los alumnos.- Estas situaciones pueden ser preguntas reflexivas, ejercicios prácticos, problemas disparadores, problemas ingenieriles, demostraciones teóricas,
interpretaciones gráficas, etc. Transcurrido el tiempo destinado a la resolución de la situación planteada,
el grupo desarrolla o explica el tema a sus compañeros en el frente, dando origen esto a la discusión, el
debate de soluciones, la consulta y la corrección de errores o falsas interpretaciones.!" evaluación continua mediante trabajos extra-áulicos: se disponen trabajos prácticos, que serán
resueltos en su totalidad por los alumnos fuera del aula, se permite realizar consultas en el horario de
clase. La entrega en tiempo y forma de estos trabajos adjunta una nota más al concepto y calificación del
alumno.!" evaluación parcial: se disponen dos exámenes parciales en el cuatrimestre, los que deben ser aprobados
con 4 (cuatro) o más para regularizar la materia o con 7 (siete o más) para promocionarla. Estos parciales
constituyen la evaluación sumativa del proceso.!" instancia globalizadora: en esta instancia se completan contenidos y se realiza una evaluación integral
de conceptos, nivel de comprensión y formación de criterios logrados por el alumno. Se examinan los
nexos establecidos en los contenidos, las habilidades, los mecanismos y el grado de abstracción logrado.
No se puede obtener en esta última instancia una calificación menor que 7 (siete).La promoción de la asignatura será directa cuando el alumno haya asistido como mínimo al
80% de la totalidad de las clases y el promedio de todas las calificaciones obtenidas durante el curso (aprobación de trabajos o de informes, notas de parciales e instancia globalizadora, nota conceptual obtenida por la
evaluación continua efectuada en el aula según el desempeño e interés mostrado por el estudiante y nota de la
evaluación continua mediante trabajos extra-áulicos), sea 7 (siete) o más.La nota promedio así obtenida es la calificación definitiva de la materia promovida por el estudiante.Es de hacer notar que, además, cada una de las instancias evaluativas realizada en su justo momento nos orienta en lo concerniente a la calidad del grupo humano, el cumplimiento de los objetivos en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, los avances logrados por los alumnos, las dificultades y obstáculos encontrados, las causas de las deficiencias o fracasos y nos permite también rectificar o ratificar la planificación.El estudiante que no alcanzó los niveles de promoción directa quedará en la siguiente
condición:
!" El alumno que tenga como promedio entre 4 (cuatro) y 6 (seis) puntos tendrá regularizada la materia,
siempre que la calificación obtenida en las instancias evaluativas no sea menor que 4 (cuatro), y deberá
rendir examen final para su eventual aprobación.!" El alumno que obtenga como nota promedio menos de cuatro puntos deberá rendir las instancias recuperatorias globalizadoras también de carácter integradoras que disponga la cátedra dentro del período
lectivo. El que obtenga 4 (cuatro) o más puntos tendrá regularizada la materia y deberá rendir examen
final.!" El alumno que obtenga menos de 4 (cuatro) puntos deberá recursar la materia.Observaciones: • No se realiza evaluación diagnóstica, pues se conoce al grupo por haber cursado con estos
docentes Álgebra y Geometría Analítica en el primer cuatrimestre. Esto permite tener un marco de referencia
más aproximado acerca de la situación de cada estudiante, de este modo, se pueden programar las tareas para
evitar y/o subsanar cualquier dificultad planificando en consecuencia.• Los objetivos de la asignatura, cronograma de actividades, metodología, método de evaluación y bibliografía se dan a conocer a los alumnos el primer día de clases, se deja en el aula una copia de cada ítem y se deja
una copia en fotocopiadora de la Facultad.• Los alumnos reciben, exclusivamente, de los profesores de la cátedra los resultados de sus evaluaciones en
un período no mayor a 7 (siete) días posteriores a la evaluación.-
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METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA
En las clases se efectuará la presentación esquemática general de cada unidad y las actividades
tenderán a integrar lo teórico práctico y lo teórico tecnológico destacando los métodos para la resolución de
problemas en vez de consideraciones matemáticas abstractas del tipo “teorema-demostración”.Se planteará un aprendizaje individual y grupal aplicando diferentes dinámicas: grupo de discusión, técnica de resolución de problemas, método de casos, estudio dirigido, etc., y se estimulará el uso de los
recursos informáticos toda vez que sea posible y oportuno.En la enseñanza individual los alumnos trabajarán en forma independiente, conducidos indirectamente por el profesor por medio de cuestionarios, fichas, guías de trabajos prácticos, guías tutoriales, textos,
apuntes, etc. Se logrará así, estimular en ellos el conocimiento de sus posibilidades y la autodisciplina en el
trabajo tendiente a desarrollar habilidades y hábitos necesarios para su vida profesional y de relación.En la enseñanza grupal los alumnos tendrán oportunidad de recibir y brindar información simultáneamente, conocer y aceptar puntos de vista diferentes, desarrollar actitudes positivas hacia los demás:
cooperar, respetar, tolerar, etc., poner en juego su capacidad creativa, realizar análisis críticos para determinar
la efectividad de los argumentos y procedimientos de los demás integrantes del grupo.Esto permitirá que el rol del profesor sea el de conductor grupal desempeñando funciones de
guía, organizador, estimulador y supervisor de la tarea realizada por el grupo.En definitiva, cualquiera sea la técnica aplicada la preocupación del docente será la de obtener
una participación activa y crítica de los alumnos que logrará seleccionando y graduando de acuerdo a su complejidad todas las actividades áulicas y brindando siempre una ejemplificación adecuada y acorde a la problemática de la carrera o de la profesión.-
MEDIOS AUXILIARES
La enseñanza universitaria supone una constante utilización de variedad de medios producidos
por la tecnología educacional, que además de permitir ahorrar tiempo, facilitan una presentación prolija del
tema. En el desarrollo de esta asignatura se utilizarán textos de instrucción programada y en concordancia con
la meta de enfatizar la resolución de problemas se empleará una abundante ejercitación impresa preparada por
el J.T.P. basándose en las pautas fijadas por el profesor, software matemático, tarjetas de revisión y evaluación
de temas teóricos, guías de estudio, notas y apuntes del responsable de la asignatura para proyectar claramente
el alcance que se quiere dar a los diversos temas, guías de ejercicios de parciales y finales, etc.-
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