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Unidad 7: Matrices
7.1
Introducción
Las matrices son una de las herramientas más poderosas de las matemáticas. Fueron inventadas en 1857
por A. Cayley (1821-1895), como una forma mas e…ciente de calcular el resultado de sustituir un sistema
lineal por otro. Posteriormente G. Frobenius (1848-1917) las instituyo en la matemática moderna. En 1924,
con gran sorpresa para los físicos, se establece que las matrices (como números complejos de Frobenius)
eran la herramienta correcta para describir el comportamiento de los sistemas atómicos.
Nuestra cultura está llena de matrices de números, por ejemplo: el horario de las películas en cines;
las cotizaciones de monedas extranjeras en cada uno de los días de la semana, etc.
Cuando trabajamos ordenadamente con sistemas de ecuaciones lineales, pronto nos percatamos de que
estamos escribiendo muchas veces los mismos símbolos super‡uamente.
Del sistema
8
x + y + z =
7
<
x
3z =
3
:
2x
5y + 3z =
8
la información esencial queda perfectamente expresada así:
0
1
1
1
1
7
@ 1
0
3
3 A
2
5
3
8
con el con siguiente ahorro de esfuerzo. Así es como se introdujo en matemáticas la noción de matriz,
como una tabla de números.
Para utilizar matrices de manera efectiva debemos estudiar las operaciones y propiedades algebraicas
de las matrices.
En matemáticas, las matrices que aparecen tienen, en general, una estructura muy rica por tener un
sentido preciso e informativo, esto ha conducido a un gran desarrollo, originado a …nes del siglo pasado, del
álgebra lineal que ha tenido una intensa repercusión, en campos tales como las ecuaciones diferenciales, el
análisis funcional, la optimización y, consiguientemente, en muchos aspectos de la economía y de la física
actuales. Cuando las matrices son de pequeño tamaño, como las que en este tema se presentan su manejo
se puede realizar con lápiz y papel de modo sencillo. Pero en las aplicaciones prácticas, nos encontramos
con matrices de muchas …las y columnas. A partir del uso de las computadoras, se puede tratar grandes
matrices y resolver grandes sistemas de ecuaciones en pocos segundos.
7.2
De…niciones consideraciones Generales
En general las matrices son una tabla de doble entrada, donde los registros o entradas reciben el nombre
de elementos , que por lo general son números reales o complejos. Trabajaremos con matrices de números
reales. A menos que se indique otra cosa, el lector puede suponer que el término escalar se re…ere a un
número real. Si deseamos referirnos a matrices sin escribir especí…camente todas sus entradas, utilizaremos
letras mayúsculas, A; B; C, etc. En general, aij denotará el elemento de la matriz A que está en la
i esima …la y la j esima columna. Por lo tanto:
De…nición 1 Dados m y n enteros positivos, llamamos matriz de tamaño o dimensión m n a una tabla
72
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
de números reales aij con m …las (o renglones) y n columnas de la siguiente forma:
0
1
a11 a12 a13
a1n
B a12 a22 a23
a2n C
C
B
B
a3n C
Am n = B a31 a32 a33
C:
B ..
..
..
.. C
@ .
.
.
. A
am1 am2 am3
amn
El números aij es el elemento de la matriz Am;n correspondiente a la …la i y a la columna j.
Notación
La matriz se la denota por Am
n
= (aij )i=1;:::;m ; y cuando no hay problema de dimensión
j=1;:::;n
nos referiremos como la matriz A = (aij ) :
De…nición 2 Si una matriz Am;n tiene igual número de …las y columnas (m = n); decimos que la matriz
A; es una matriz cuadrada de orden n; también la denotamos An :
Ejemplo 1 :
0
B
B
@
3
4
5
7
8
0
6
3
1
2
3 C
C;
5 A
8
0
1
7
3 A;
8
@
4 0 3
0
; @
2
1
8 2
6 5 A
3 0
3
5
7
La primera es una matriz de 4 3: La segunda es un matriz de dimensión 3 1; que se llama vector columna:
La tercera es un vector f ila de dimensión 1 4: La cuarta es una matriz cuadrada de orden 3.
A veces abreviamos esta expresión como Am
n
= (aij ) ; en forma análoga Bm
De…nición 3 Se dice que dos matrices A y B de m
n
= (bij ) :
n son iguales si aij = bij para cada i y j:
De…nición 4 Se llama transpuesta de una matriz A de m n, a la matriz AT (o At ), de n
obtiene al cambiar en A las …las por las columnas y las columnas por las …las:
Si
Ejemplo 2 :
A3
7.3
7.3.1
4
0
Am
3 4
@
8 0
=
2 3
n
= (aij )
5
6
5
entonces
1
7
3 A
8
AT4
ATn
3
m
m; que se
= (aji ) :
0
B
= B
@
3
4
5
7
8
0
6
3
1
2
3 C
C
5 A
8
Operaciones con Matrices
Multiplicación Escalar
De…nición 5 Si una matriz A de m n; la multiplicamos por un escalar
matriz A de m n que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por :
73
, entonces obtenemos la
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Ejemplo 3 Si
3
A=
1
2
1
0
5
4
!
entonces
2A =
7.3.2
6
8
0
1
4
3 C
C
C
1 A
0
5
1
B 5
B
2
A=B
3
@ 3
7
2 p4
0
2
2
5
3 1
A = ( 1) A =
4 0
2
1
5
!
Suma
De…nición 6 Si A = (aij ) y B = (bij ) son matrices de igual dimensión m n; entonces la suma A + B
es la matriz de igual dimención m n cuyo ij esimo elemento es aij + bij para cualquier i; j: Esto es:
(A + B)m
n
= (cij ) = (aij + bij )
Ejemplo 4 :
3 8 2
4 0 3
Si A =
A+B =
Si de…nimos A
; y
3 8 2
4 0 3
0
1
B=
0
1
+
2
1
2
1
2
3
2
3
entonces
3 6 4
3 1 0
=
B como A + ( 1) B; tenemos que:
A
B =
3 8 2
4 0 3
0
1
=
3 8 2
4 0 3
+ ( 1)
=
3 8 2
4 0 3
+
=
3
5
0
1
2
1
2
3
0
1
2
1
2
1
2
3
2
3
10 0
1 6
Ejercicio. Demuestre que si 0 representa un matriz, de la misma dimensión que A, cuyos registros son
todos cero, entonces:
1.- A + 0 = 0 + A = A
2.- A + ( 1) A = 0 = ( 1) A + A
7.3.3
Producto de Matrices o Multiplicación Matricial.
Así como la suma de matrices o el producto por un escalar se de…ne en forma muy sencilla, el producto
de dos matrices no es tan simple. Por ello comenzaremos multiplicando dos matrices muy especiales.
74
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
0
B
B
El producto de un vector f ila (a1 ; a2 ; :::; an ) ; por un vector columna B
@
b1
b2
..
.
bn
1
C
C
C (con el igual número
A
de elementos), es un número de…nido de la siguiente forma:
0
1
b1
B b2 C
B
C
(a1 ; a2 ; :::; an ) B .. C
=
a1 b1 + a2 b2 + ::: + an bn :
@ . A Def inicion
bn
0 1
3
Ejemplo 5 : (2; 1; 0) @ 8 A = 2:3 + ( 1) :8 + 0:2 = 2
2
0
1
b1
B b2 C
B
C
Observación: Si las matrices (a1 ; a2 ; :::; an ) y B .. C representan las coordenadas de dos vectores en
@ . A
bn
n
R , el producto que acabamos de de…nir es el producto escalar de vectores.
Aplicación 1: Cálculo de ganancias
Ejemplo 6 En una tienda de ropa se venden camisas a $125, corbatas a $80 y trajes a $1300. El mes
pasado se vendieron 60 camisas, 25 corbatas y 15 trajes. ¿Cuál fue la recaudación total por esas ventas?
Solución. Establezcamos un vector renglón P; que representa los precios de cada artículo y un vector …la
C; para la cantidad de artículos vendidos.
C a ntid a d
Pr ecio
P =
C a m isa s
C o rb a ta s
Tra je s
125
80
1300
0
ve n d id a
1
60
C = @ 25 A
15
C a m isa s
C o rb a ta s
Tra je s
La recaudación total se obtiene realizando el producto de P:C. Es decir,
0
1
60
PC =
125 80 1300 @ 25 A =
15
(125) : (60) + (80) : (25) + (1300) : (15) = 7500 + 2000 + 19500 = 29000
Recaudación
Recaudación
Recaudación
por las
por las
por las
camisas
corbatas
trajes
La recaudación total es: $29000:
De manera más general, es posible multiplicar una matriz A por una matriz B si el número de
columnas de A es igual al número de …las de B. La primera columna del producto se obtiene a
partir de la primera columna de B, la segunda a partir de la segunda columna de B, y así sucesivamente.
Por lo tanto, para determinar la entrada (i; j) del producto AB utilizamos los registros del i esima f ilas
de A y la j esima columna de B.
75
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
De…nición 7 Si A = (aij ) es una matriz m n y B = (bij ) es una matriz n r, entonces el producto
AB = C = (cij ) es la matriz m r cuyas entradas o registros están de…nidos por:
cij =
n
X
aik bkj
k=1
Lo que establece esta de…nición es que para obtener el (ij) esimo elemento del producto, se toma, el
i esimo renglon de A y la j esima columna de B, se multiplican los elementos correspondientes en
parejas y se suman los números resultantes.
Para operar por parejas los elementos de esta manera, el número de columnas de A debe ser igual al
numero de renglones de B. Si no ocurre esto, la multiplicación es imposible.
Ejemplo 7 Si
3 4
1 2
A=
0
1
1 2
B=@ 4 5 A
3 6
y
entonces es imposible multiplicar A por B, ya que el número de columnas de A no es igual al número de
renglones de B: Sin embargo, es posible multiplicar B por A.
0
1
0
1
1 2
5 8
3 4
BA = @ 4 5 A
= @ 17 26 A :
1 2
3 6
15 24
Ejemplo 8 Si
A=
2 1 3
4 1 6
y
En este caso es posible calcular AB y BA;entonces:
AB =
=
2:3 + 1:2 + 3:1
4:3 + 1:2 + 6:1
1
20
0
3
B=@ 2
1
1
2
4 A
3
2:( 2) + 1:4 + 3:( 3)
4:( 2) + 1:4 + 6:( 3)
1
22
y
1
3:( 2) + ( 2):4 3:1 + ( 2) :1 3:3 + ( ) 2:6
2:( 2) + 4:4
2:1 + 4:1
2:3 + 4:6 A
BA = @
1:( 2) + ( 3) :4 1:1 + ( 3) :1 1:3 + ( 3) :6
0
1
14
1
3
6
30 A :
= @ 12
14
2
15
0
Observemos que en este ejemplo a pesar que se pueden realizar las multiplicaciones AB y BA, tenemos
que el producto no es conmutativo ya que tienen AB y BA tienen diferentes dimensiones.
Ahora nos preguntamos que pasa si el producto tienen iguales dimensiones. Sean A y B son matrices
cuadradas de orden n, entonces se pueden realizar las dos multiplicaciones: AB y BA serán también
matrices cuadradas de orden n pero la multiplicación de matrices no es conmutativa. Analicemos
el siguiente ejemplo.
76
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Ejemplo 9 Dadas las matrices
1 1
2 2
A=
1 1
0 0
AB =
1 1
0 0
1 1
2 2
=
3 3
0 0
BA =
1 1
2 2
1 1
0 0
=
1 1
2 2
y
B=
entonces
y
y por lo tanto AB 6= BA.
Aplicación 2: Carlos pesa 178 libras y desea perder peso mediante un programa de dieta y ejercicio.
Después de consultar la tabla 1 elabora un programa de ejercicio en la tabla 2. ¿Cuántas calorías quemará
todos los días si sigue este programa?
T ABLA 1
: Calorías quemadas por hora
Actividad de ejercicio
Caminar
Correr
Peso
2 millas=h
5:5 millas=h
152
213
651
161
225
688
170
237
726
178
249
764
T ABLA 2 :
Andar en bicicleta
5:5 millas=h
304
321
338
356
Jugar tenis
(moderado)
420
441
468
492
Horas por día asignadas a cada actividad
Programa de ejercicio
Caminar Correr Bicicleta Tenis
Lunes
1.0
0.0
1.0
0.0
Martes
0.0
0.0
0.0
2.0
Miércoles
0.4
0.5
0.0
0.0
Jueves
0.0
0.0
0.5
2.0
Viernes
0.4
0.5
0.0
0.0
Solución. La información perteneciente a Carlos está localizada en el renglón 4 de la tabla 1. Esta
información se puede representar con una matriz X de 4 1 La información de la tabla 2 se puede
representar por una matriz A de 5 4. Para contestar la pregunta simplemente calculamos el producto
AX.
0
1
0
1
1
1:0 0:0 1:0 0:0 0
605:0
Lunes
B 0:0 0:0 0:0 2:0 C 249
B 984:0 C Martes
B
CB
C B
C
B 0:4 0:5 0:0 0:0 C B 764 C = B 481:6 C Miércoles
B
C@
C
A B
@ 0:0 0:0 0:5 2:0 A 356
@ 1162:0 A Jueves
492
0:4 0:5 0:5 0:0
481:6
Viernes
el vector columna obtenido representa la cantidad de calorías que quemará por día.
77
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
7.3.4
Reglas Algebraicas
El teorema siguiente proporciona algunas reglas útiles para realizar operaciones aritméticas con matrices.
Teorema 1 Cada uno de los siguientes enunciados es válido para cualquier escalar
matriz A, B y C para las cuales estén de…nidas las operaciones indicadas.
(1) A + B = B + A
(2) (A + B) + C = A + (B + C)
(3) (AB)C = A(BC)
(4) A(B + C) = AB + AC
(5) (A + B)C = AC + BC
(6) ( )A = ( A)
(7) (AB) = ( A)B = A( B)
(8) ( + )A = A + A
(9) (A + B) = A + B:
y , para cualquier
Demostración Ejercicio.
1 2
3 4
A(B + C) = AB + AC:
Ejemplo 10 A =
2 1
3 2
B=
1 0
2 1
y C=
veri…car que A(BC) = (AB)C y
Solución
A(BC) =
(AB)C =
1 2
3 4
4 1
1 2
4 5
6 11
6 5
16 11
=
1 0
2 1
6 5
16 11
=
:
Así
A(BC) =
A(B + C) =
AB + AC =
6 5
16 11
1 2
3 4
4 5
6 11
= (AB)C
3 1
1 3
+
1 7
5 15
=
5 2
11 4
=
1 7
5 15
Por lo tanto,
A(B + C) = AB + AC:
Las reglas aritméticas dadas por el Teorema parecen bastante naturales, ya que son similares a las que
se usan con números reales. Sin embargo, hay diferencias importantes entre las reglas de la aritmética de
matrices y las de la aritmética de números reales. En particular, la multiplicación de números reales es
conmutativa; no obstante, vimos en el Ejemplo (8) que la multiplicación de matrices no es conmutativa.
Esta diferencia justi…ca una atención especial al hecho que indica que "la multiplicación de matrices no
es conmutativa".
Algunas de las otras diferencias entre la aritmética de matrices y de números reales se ilustran en los
siguientes ejercicios:
Ejercicios.
3.- De un ejemplo de dos matrices A y B de 2 2, distintas de la matriz 0, tal que AB = 0:
4.- De un ejemplo de matrices A, B y C distintas de la matriz 0, tal que: AC = BC y A 6= B
78
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
7.4
Matrices cuadradas
Las matrices cuadradas de un cierto orden Mn , además de sumarse y multiplicarse por números, pueden
multiplicarse entre sí y cumplen todas las propiedades que hemos visto hasta ahora. Todo ello se resume
diciendo que el conjunto de las matrices cuadradas de orden n; con las operaciones suma, producto y
producto por números es un álgebra.
Pero aún nos quedan unos detalle:
Una matriz muy importante I n que llamamos matriz identidad; esta de…nida por
si i = j
si i =
6 j:
1
0
aij =
Por ejemplo
I2 =
1 0
0 1
0
1
1 0 0
I3 = @ 0 1 0 A
0 0 1
;
Ejercicio: Para toda matriz cuadrada A de orden n; se cumple que
AIn = In A = A:
Ejemplo 11
0
10
1 0 0
2
@ 0 1 0 A@ 3
0 0 1
1
0
10
2
2 3
@ 3 12 10 A @
1
0 1
1 0
2 3
12 10 A = @
0 1
1 0
1 0 0
0 1 0 A=@
0 0 1
2
3
1
2
3
1
1
2 3
12 10 A
0 1
1
2 3
12 10 A
0 1
Por otra parte, dada una matriz cuadrada A de orden n, ¿existirá otra matriz B, tal que AB = BA =
In ?
Ejemplo 12 Considere las matrices
0
1
@
1
A=
2
1
0
5
se cumple que
1
0
1
3 A yB=@
3
15
9
5
8
5
3
1
3
2 A
1
AB = BA = In :
En este caso decimos que la matriz B es la inversa de A:
Volviendo a la pregunta de la existencia de la matriz inversa. En general tenemos que no siempre
existe. Por ejemplo dada la matriz
1 0
A=
0 0
no podemos encontrar una matriz B tal que AB = I2 ; para ver esto consideremos el producto
1 0
0 0
a b
c d
=
a 0
c 0
79
6=
1 0
0 1
= I2 :
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
De…nición 8 Una matriz cuadrada A tiene una inversa, (decimos que A es invertible o no singular)
si existe otra matriz cuadrada B; de igual orden que A; tal que:
AB = BA = In :
Lema 1 Si A es invertible entonces la matriz inversa B es única.
Demostración Supongamos que B y C son matrices inversas de A; es decir que AB = BA = I y
AC = CA = I entonces se cumple que
B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C:
A la matriz inversa de A; que es única, la denotaremos por A 1 :
7.4.1
Método práctico para calcular la inversa
Si A es invertible, podemos calcular A 1 mediante operaciones elementales de renglones, de la siguiente
forma:
Si A = (aij ) es n n, comenzamos con la matriz n 2n formada al unir In a A:
0
1
a11 a12
a1n 1 0
0
B a21 a22
a2n 0 1
0 C
B
C
B ..
..
..
.. ..
.. C
@ .
.
.
. .
. A
an1 an2
ann 0 0
1
luego aplicamos una sucesión de transformaciones elementales de renglón, hasta que llegamos a una matriz
de la forma:
0
1
1 0
0 b11 b12
b1n
B 0 1
0 b21 b22
b2n C
B
C
B .. ..
..
..
..
.. C
@ . .
.
.
.
. A
0 0
1 bn1 bn2
bnn
en que la matriz identidad In aparece a la izquierda de la línea vertical. Se puede demostrar que la matriz
B = (bij ) de n n es la inversa de A, esto es, B = A 1 .
0
1
1
1
1
0
3 A
Ejemplo 13 Encontrar A 1 si A = @ 1
2
5
3
0
1
0
1
1
1
1 1 0 0
1
0
3 0 1 0
@ 1
0
3 0 1 0 A F1 $ F2 @ 1
1
1 1 0 0 A
!
2
5
3 0 0 1
2
5
30 0 0 1
0
1
1
1
0
3 0
1 0
1 0
3 0 1 0
F1 + F2 ! F2 y
@ 0
1
2 1
1 0 A 5F2 + F3 ! F3 @ 0 1
2 1 1 0 A
( 2)F1 + F3 ! F3
!
0
5
9 0
2 11
0 0
1 5 3 1
0!
0
1
1 0
0
15
8
3
1 0
0
15
8
3
F1 + ( 3)F3 ! F1 y @
0 1
0
9
5
2 A ( 1)F1 ! F1 @ 0 1
0
9
5
2 A
F2 + ( 2)F3 ! F2
!
0 0
1
5
3
1
0 0
1
5
3
1
!
80
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Respuesta:
A
Veri…cación:
AA
y
1
0
1
1
2
0
15
9
5
=@
A 1A = @
1
0
5
8
5
3
1
0
15
9
5
=@
10
1
3 A@
3
1
3
2 A:
1
8
5
3
15
9
5
8
5
3
1 0
1
3
1 0 0
2 A=@ 0 1 0 A
1
0 0 1
1
1
2
1
0
5
1 0
1
1
1 0 0
3 A=@ 0 1 0 A
3
0 0 1
10
3
2 A@
1
Lema 2 Sean A y B matrices n n inversibles, entonces AB es también es inversible y (AB)
1
= B 1A 1:
Demostración Debemos veri…car que (AB) (B 1 A 1 ) = (B 1 A 1 ) (AB) = I
(AB) B 1 A
A (In ) A
1
=
por asociativa
1
A BB
=
por de…nición de matriz identidad
1
A
1
AA
1
=
B es inversible
=
A es inversible
In
En forma similar se prueba (B 1 A 1 ) (AB) = I:
P roblema Historico
Matrices y números complejos. En sus investigaciones, Frobenius enfatizó la forma en que se podría
utilizarse las matrices para imitar otros sistemas matemáticos (los matemáticos llaman a esta relación isomor…smos). En este ejercicio imitaremos el comportamiento de los númreros complejos mediante matrices
N umeros complejos ()
()
a + ib
M atrices
a b
b a
Así
2 + 3i ()
2 3
3 2
y
4
1. Encuentre las matrices correspondientes a 2
5i y 1 + 3i:
2i ()
4
2
2
4
Ejercicio:
2. Multiplique las dos matrices.
3. Determine el numero complejo correspondiente a la matriz encontrada en la parte anterior.
4. Multiplique 2 5i por 1+3i .y obtenga la matriz correspondiente. Compare los resultados obtenidos.
5. Veri…que que el procedimiento también funciona con la suma y la resta.
81
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
7.5
Forma matricial de un sistema de ecuaciones
El sistema de ecuaciones
8
<
x + y + z =
x
3z =
2x
5y + 3z =
:
puede escribirse así
7
3
8
(1)
0
10 1 0
1
1
1
1
x
7
@ 1
0
3 A@ y A = @ 3 A
2
5
3
z
8
esta es la forma matricial del sistema. En general
El sistema n n
8
>
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
..
>
.
>
>
: a x + a x + ::: + a x = b
m1 1
m2 2
mn n
(2)
m
se puede escribir en forma matricial
(3)
AX = B
Donde
0
B
B
B
A=B
B
@
y
a11
a12
a31
..
.
a12
a22
a32
..
.
a13
a23
a33
..
.
a1n
a2n
a3n
..
.
am1 am2 am3
amn
0
B
B
X=B
@
7.5.1
x1
x2
..
.
xn
1
C
C
C
A
1
C
C
C
C matriz de los coe…cientes
C
A
0
B
B
B=B
@
b1
b2
..
.
bnm
1
C
C
C:
A
Resolución de sistemas matriciales cuadrados
Diremos que el sistema (2) es un sistema cuadrado si tiene igual número de ecuaciones que variables, es
decir, la matriz A de los coe…cientes es una matriz cuadrada.
Teorema 2 Si el sistema (2) es un sistema cuadrado y la matriz A de la ecuación matricial (3) es
inversible, entonces el sistema (2) tiene solución única.
Demostración Sea A
del siguiente modo:
1
la inversa de A y multipliquemos a izquierda por A
A 1 (AX)
A 1A X
In X
X
Por lo tanto como A
1
=
=
=
=
A
A
A
A
1
B
B
1
B
1
B
1
1
la ecuación matricial (3)
por la prop. asociativa del producto
Por ser A 1 la inversa de A (A 1 A = In )
y B el sistema (2) tiene solución única y es X = A 1 B:
82
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Ejemplo 14 Resolver el sistema (1)
Este sistema se representa matricialmente por
0
10 1 0
1
1
1
x
@ 1
0
3 A@ y A = @
2
5
3
z
como la matriz
0
A=@
es inversible y su inversa es A 1 la solución de (4)
0 1 0
x
15
8
@ y A=@
9
5
z
5
3
1
1
2
1
0
5
es
10
3
2 A@
1
1
1
3 A
3
1
7
3 A
8
1 0
7
3 A=@
8
(4)
1
105
64 A
34
Observe que las ecuaciones del sistema (1), representan tres plano no paralelos y la solución ( 105; 64; 34)
es el punto de corte de los planos.
Podemos probar los siguientes resultados:
Teorema 3 El sistema AX = B tiene solución única si y solo si el determinante de la matriz A es distinto
de cero.
Corolario 1 El sistema AX = 0 tiene solo la solución trivial si y solo si A es inversible.
7.6
Rango de una Matriz. Teorema de Rouché.
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuando un sistema m n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las …las de las matrices como vectores …las y las columnas como vectores
columnas y analizaremos cuales son linealmente independientes.
Ejemplo 15
1.
A=
2 3
1 4
1 0 4
5
sus …las son L.I. en cambio las columnas 3 y 4 son L.D. de las columnas 1 y 2; que son L.I.
(3a = 4 1a 3 2a y 4a = 5 1a 2 2a )
2.
0
5
B 6
B=B
@ 1
11
1
1
3 C
C
17 A
2
las columnas son L.I. en cambio las …las 3 y 4 son L.D. de las …las 1 y 2 (4a = 1a + 2a y 3a =
84
57
1a +
2a )
5
9
83
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
3.
0
2
@
1
C=
1
1
5
1 A
6
3
2
5
las Filas 3 y 4 son L.D pero la …la 1 es L.D. de las …las 2 y 3. (1a = 3a + 2a ) :
4.
0
15
9
5
D=@
Las …las y las columnas son L.I.
1
3
2 A
1
8
5
3
En los casos anteriores observamos que el número de …las y columnas linealmente independientes son
iguales
De…nición 9 Se llama rango de una matriz al número de …las L.I.
Se puede probar que las operaciones o transformaciones elementales de una matriz no cambia el rango
de una matriz. Es decir, las operaciones que se usan en el método de Gauss no modi…ca el rango.
Ejemplo 16 El rango de las siguientes matrices es:
2 3
1 0
ran
0
2
ran @ 1
1
1 4
4 5
3
2
5
=2
1
5
1 A=2
6
Se puede probar el siguiente resultado
0
5
B 6
ran B
@ 1
11
0
15
ran @ 9
5
1
3
17
2
8
5
3
1
C
C=2
A
1
3
2 A=3
1
Lema 3 En una matriz el número de …las linealmente independientes, coincide con el número de columnas
linealmente independientes.
Po esto podemos dar la siguiente de…nición:
De…nición 10 Rango de una matriz es el número de …las, o de columnas linealmente independientes.
Denotamos por ran (A) al rango de la matriz A: Ahora estamos en condiciones de dar un criterio para
saber, antes de resolver, si un sistema tiene o no solución.
Teorema 4 [Rouché] La condición necesaria y su…ciente para que un sistema de m ecuaciones con n
variables
8
>
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
(5)
..
>
.
>
>
: a x + a x + ::: + a x = b
m1 1
m2 2
mn n
m
84
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
tenga solución es que el rango de la matriz de los coe…cientes
0
a11 a12 a13
B a12 a22 a23
B
B
Amxn = B a31 a32 a33
B ..
..
..
@ .
.
.
am1 am2 am3
coincida con el rango de la matriz ampliada
0
a11 a12 a13
B a12 a22 a23
B
B
A0mx(n+1) = B a31 a32 a33
B ..
..
..
@ .
.
.
am1 am2 am3
a1n
a2n
a3n
..
.
amn
1
C
C
C
C
C
A
b1
b2
b3
..
.
amn
bm
es decir que ran (A) = ran (A0 )
Demostración. Podemos escribir el
0
0
1
a11
a12
B a12 C
B a22
B
B
C
B a31 C
B
B
C x1 + B a32
B .. C
B ..
@ . A
@ .
am1
am2
1
a1n
a2n
a3n
..
.
sistema (5), en forma vectorial
0
0
1
1
a13
a1n
B a2n
B a23 C
C
B
B
C
C
B
B
C
C
C x2 + B a33 C x3 + ::: + B a3n
B .. C
B ..
C
@ .
@ . A
A
am3
amn
Si el sistema (6) tiene solución, existen números
C
C
C
C:
C
A
1
0
B
C
B
C
B
C
C xn = B
B
C
@
A
b1
b2
b3
..
.
bm
1
C
C
C
C
C
A
(6)
x1 ; x2 ; x3 ; :::; xn
que al multiplicarlos por las columnas de la matriz A y sumarlos nos da la columna de los b; es decir
que la columna de los términos independientes es combinación lineal de las anteriores. Por ésto cuando
agregamos esta columna a la matriz A no se aumenta el rango (numero de columnas L.I.) así se tiene que
ran(A) = ran(A0 ):
El recíproco es similar.
Ejemplo 17 Determinar por el teorema de Rouché si el sistema tienen solución:
8
< 2x1 + x2 4x3 = 3
x1 2x2 + 3x3 = 4 :
:
3x1 + 4x2 x3 = 2
Tenemos que determinar el rango de la matriz de los coe…cientes A3x3
0
A3x4 , con
0
1
0
2
1
4
2
1
0
2
3 A
2
A3x3 = @ 1
A3x4 = @ 1
3
4
1
3
4
85
y el rango de la matriz ampliada:
4
3
1
1
3
4 A
2
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
ran (A3x3 ) = 3; ya que los vectores columnas de esta matriz son L.I., en efecto:
Sea
0
1
0
1
0
1 0 1
2
1
4
0
@ 1 A+ @ 2 A+ @ 3 A=@ 0 A
3
4
1
0
entonces
2 +
4 =0
2 +3 =0
3 +4
=0
Aplicando el método de Gauss, tenemos:
2 +3 =0
5
10 = 0
4 =0
por lo tanto = = = 0; lo que implica que los vectores columnas son L.I.
0
Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada A3x4 :
0
1
0
1
0
2
1
4
3
1
2
3
4
1
0
@
A
@
A
@
1
2
3
4
2
1
4
3
0
!
!
A3x4 =
3
4
1
2
3
4
1
2
3
0
1
0
1
1
2
3
4
1
2
3
4
@
A
@
0
5
10
5
0
5
10
5 A
!
!
0
2
8 10
0
0
4
8
2
5
4
3
10
1
1
4
5 A
2
0
La matriz A0 tiene las 3 …las L.I. luego el ran A3x4 es 3.
0
Entonces ran (A3x3 ) = ran A3x4 = 3; y por el Teorema de Rouché el sistema es Compatible.
En un sistema incompatible ¿que relación hay entre los rangos de las matices A y A0 ?
Si negamos el Teorema de Rouché, tenemos que el ran (A) 6= ran (A0 ) si y solo si el sistema incompatible.
Puesto que A0 es el resultado de ampliar A con una columna más, el número de columnas L.I. es a lo
sumo de una unidad mas, es decir ran (A0 ) ran (A) + 1; por tanto en este caso ran (A0 ) = ran (A) + 1:
Ejemplo 18 El sistema
es incompatible.
8
<
:
5
10 =
+2 =
2 =
4
2
5
En efecto, el rango de la matriz de coe…cientes es 1 ya que la segunda columna es dos veces la primera,
mientras que el rango de la matriz ampliada es 2, note que la tercer columna no es un múltiplo de la
primera, (c2 = 2c1 ; c3 y c1 son L.I.).
86
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
7.6.1
Aplicación
El estudio de la posición relativa de planos entre sí y de planos y rectas, se reduce, en todos los casos, a
la resolución de sistemas de ecuaciones. Sin embargo, es conveniente con anterioridad prestarle atención a
ciertos detalles.
Posiciones relativas de planos.
Dos planos pueden cortarse, ser paralelos o coincidir. El sistema formado por sus ecuaciones
ax + by + cz = d
a x + b0 y + c0 z = d0
(7)
0
da lugar a las matrices
M=
a b c
a0 b 0 c 0
y M0 =
a b c d
a0 b0 c0 d0
El estudio de sus rangos nos da información sobre las soluciones del sistema (7) (es decir, sobre los
puntos en común a ambos planos) y por lo tanto, sobre la posición relativa de los mismos:
!
– Si los vectores normales !
n = (a; b; c) y n0 = (a0 ; b0 ; c0 ) no son proporcionales, no son paralelos
son L.I. entonces ran(M ) = ran(M 0 ) = 2 , el sistema (7) es compatible, los planos se cortan en
una recta.
!
!
– Si los vectores normales !
n = (a; b; c) y n0 = (a0 ; b0 ; c0 ) son proporcionales: !
n = K n0 ; con
K 2 R ( son paralelos son dependientes). Entonces ran(M ) = 1
– Si los términos independientes no sigue la relación de dependencia, es decir d 6= Kd; por lo
tanto (a; b; c; d) y (a0 ; b0 ; c0 ; d0 ) son L.I. Entonces el ran(M 0 ) = 2 , por lo que el sistema (7) es
incompatible. Los planos son paralelos.
– Si los términos independientes siguen la relación de dependencia, es decir d = Kd; por lo tanto
(a; b; c; d) y (a0 ; b0 ; c0 ; d0 ) son dependientes. Entonces el ran(M 0 ) = 1 , por lo que el sistema (7)
es compatible. Los planos son coincidentes.
Ejemplo 19 Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
: 2x + 3y + 4z = 1
:
x 3y + 4z = 11
a)
;
b)
12y + 16z = 40
1 : 3x + 4y + 5z = 3
1 : 4x
Solución: a) el sistema
2x + 3y + 4z = 1
3x + 4y + 5z = 3
determina
M=
2 3 4
3 4 5
2 3 4 1
3 4 5 3
y M0 =
observe que ran(M ) = 2 (la columnas c1 y c2 son L.I. pero c3 = 2c2 c1 ), por lo tanto el ran(M 0 ) = 2: los
planos se cortaran.
:
x 3y + 4z = 11
b)
A simple vista se aprecia que los vectores normales son proporcionales,
:
4x
12y + 16z = 40
1
mientras que el termino independiente no conserva la proporcionalidad. Luego
ran
1
4
3 4
12 16
= 1 y ran
1
4
3 4
12 16
11
40
=2
por lo tanto los planos son paralelos.
87
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre