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ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
Prueba de Evaluación Continua
Tipo 1
23-02-16
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Se considera un avión que parte de San Diego hacia Boston recorriendo un arco de
circunferencia máxima. Las coordenadas geográficas de ambas poblaciones son:
 Longitud = 117º 09' 26'' O
A ≡ San Diego 
 Latitud = 32º 42' 55'' N
 Longitud = 71º 03' 35'' O
B ≡ Boston 
 Latitud = 42º 21' 30'' N
Calcular:
a) La distancia entre ambas ciudades, considerando como radio de la tierra, R=6371 km.
b) El rumbo inicial.
c) Las coordenadas geográficas del punto M en el que se encontrará el avión cuando haya
realizado la mitad del recorrido.
d) Sea H el punto de la circunferencia máxima que contiene a A y B más cercano al polo
norte. ¿Se encuentra H en el recorrido del avión?
e) ¿Cuál es la menor distancia a la que se encuentra el avión del polo norte en toda su
trayectoria entre San Diego y Boston?
Solución:
N =Polo Norte
a
b
Greenwich
B
A
n
G
A’
ecuador
B’
a) La distancia entre A y B es la medida en unidades lineales del lado “n” del triángulo
esférico ANB, siendo N el polo norte. Llamamos A’ y B’ a los puntos de corte con el ecuador
de los meridianos de A y de B, respectivamente. G es el punto de corte con el ecuador del
meridiano de Greenwich.
En el triángulo ANB, se conocen:
N= A’G – B’G = Long A – Long B = 46º 05’ 51’
a = 90º - Lat B = 47º 38’ 57’’
b = 90º - Lat A = 57º 17’ 05’’
Para calcular n, utilizamos el teorema del coseno:
cos n = cos a cos b + sen a sen b cos N = 0.79526967 ⇒ n = 37º 19’ 9.36’’ = ng, medida de n
en unidades angulares.
La medida de n en unidades lineales, n l , se calcula con una simple regla de tres:
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Curso 2014-15
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 1
ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
nl =
2π 6371 n g
= 4149.71 km
360
b) El rumbo inicial es la medida del ángulo A en el mismo triángulo esférico ANB.
Utilizando de nuevo el teorema del coseno:
cos a − cos b cos n
cos a = cos b cos n + sen b sen n cos A ⇒ cosA =
= 0.47806542 ⇒
sen b sen n
A = 61º 26’ 27.14’’
N=Polo Norte
c)
N’
b
a
Greenwich
a’
B
A
n/2
M
G
A’
M’ ecuador B’
Se traza el meridiano que pasa por M, que corta al ecuador en el punto M’. En el triángulo
esférico A N’ M, se conocen los datos A, b y n/2 = 18º 39’ 34.86’’. Sea a’ el lado opuesto al
ángulo A en dicho triángulo. Lat M = 90º - a’.
Para calcular a’, se aplica el teorema del coseno en AN’M:
cos a’ = cos b cos (n/2) + sen b sen (n/2) cos A = 0.640747006 ⇒ a’ = 50º 09’ 8.84’’
Lat M = 90º - a’ = 39º 50’ 51.16’’ N
Long M = M’G = A’G – A’M’ = A’G – N’ = Long A – N’
Para calcular N’, se utiliza el teorema del coseno en el triángulo AN’M:
n
cos   − cosa'cos b
2
= 0.930604903
cos (n/2) = cos a’ cos b + sen a’ sen b cos N’ ⇒ cosN' =
sen a ' sen b
⇒ N’ = 21º 28’ 14.5’’
Long M = Long A – N’ = 95º 41’ 11.5’’ O
d)
N =Polo Norte
h
b
B
90º
A
H
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Curso 2015-16
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 2
ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
En el triángulo ANB, puede obtenerse el ángulo B mediante el teorema del coseno para los
ángulos:
cos B = - cos A cos N + sen A sen N cos b = 0.010527098 ⇒ B = 89º 23’ 48.59’’
Por ser agudos los dos ángulos A y B del triángulo esférico ANB, la altura esférica trazada
desde N es interior al triángulo y H se encuentra en el recorrido del avión.
La medida de h en unidades lineales es la menor distancia a la que se encuentra el
avión del polo norte en toda su trayectoria entre San Diego y Boston.
Aplicando el teorema del seno en el triángulo esférico rectángulo ANH, se obtiene:
e)
sen h
sen b
=
⇒ sen h = sen A sen b = 0.738992756 ⇒
sen A sen 90º
 47º 38 ' 44.46 ''
h=
180º − 47º 38 ' 44.46 '' = 132º 21'15.5 ''
h ha de ser aguda por ser el cateto del triángulo rectángulo ANH opuesto al ángulo agudo A.
Luego, h = 47º 38'44.46'' = hg, medida de h en unidades angulares.
La medida de h en unidades lineales, h l , se calcula con una regla de tres:
hl =
2π 6371 h g
360
= 5297.9584 km
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Curso 2015-16
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 3
ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
Prueba de Evaluación Continua
Tipo 2
23-02-16
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Se considera un avión que parte de Seattle hacia Baltimore recorriendo un arco de
circunferencia máxima. Las coordenadas geográficas de ambas poblaciones son:
 Longitud = 122º 19' 55'' O
A ≡ Seattle 
 Latitud = 47º 36' 22'' N
 Longitud = 76º 36' 44'' O
B ≡ Baltimore 
 Latitud = 39º 17' 25'' N
Calcular:
a) La distancia entre ambas ciudades, considerando como radio de la tierra, R=6371 km.
b) El rumbo inicial.
c) Las coordenadas geográficas del punto M en el que se encontrará el avión cuando haya
realizado la mitad del recorrido.
d) Sea H el punto de la circunferencia máxima que contiene a A y B más cercano al polo
norte. ¿Se encuentra H en el recorrido del avión?
e) ¿Cuál es la menor distancia a la que se encuentra el avión del polo norte en toda su
trayectoria entre Seattle y Baltimore?
Solución:
N =Polo Norte
a
b
Greenwich
A
n
B
G
A’
ecuador
B’
a) La distancia entre A y B es la medida en unidades lineales del lado “n” del triángulo
esférico ANB, siendo N el polo norte. Llamamos A’ y B’ a los puntos de corte con el
ecuador de los meridianos de A y de B, respectivamente. G es el punto de corte con el
ecuador del meridiano de Greenwich.
En el triángulo ANB, se conocen:
N= A’G – B’G = Long A – Long B = 45º 43’ 11’
a = 90º - Lat B = 50º 42’ 35’’
b = 90º - Lat A = 42º 23’ 38’’
Para calcular n, utilizamos el teorema del coseno:
cos n = cos a cos b + sen a sen b cos N = 0.831986212 ⇒ n = 33º 41’ 48.07’’ = ng, medida de
n en unidades angulares.
La medida de n en unidades lineales, n l , se calcula con una simple regla de tres:
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 4
ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
nl =
2π 6371 n g
= 3746.90 km
360
b) El rumbo inicial es la medida del ángulo A en el mismo triángulo esférico ANB.
Utilizando de nuevo el teorema del coseno:
cos a − cos b cos n
cos a = cos b cos n + sen b sen n cos A ⇒ cosA =
= 0.050273273 ⇒
sen b sen n
A = 87º 07’ 6.02’’
N=Polo Norte
c)
N’
a
b
Greenwich
a’
A
n/2
M
B
G
A’
M’ ecuador B’
Se traza el meridiano que pasa por M, que corta al ecuador en el punto M’. En el triángulo
esférico A N’ M, se conocen los datos A, b y n/2 = 16º 50’ 54.04’’. Sea a’ el lado opuesto al
ángulo A en dicho triángulo. Lat M = 90º - a’.
Para calcular a’, se aplica el teorema del coseno en AN’M:
cos a’ = cos b cos (n/2) + sen b sen (n/2) cos A = 0.716650413 ⇒ a’ = 44º 13’ 16.97’’
Lat M = 90º - a’ = 45º 46’ 43.03’’ N
Long M = M’G = A’G – A’M’ = A’G – N’ = Long A – N’
Para calcular N’, se utiliza el teorema del coseno en el triángulo AN’M:
n
cos   − cosa'cos b
2
= 0.909796275
cos (n/2) = cos a’ cos b + sen a’ sen b cos N’ ⇒ cosN' =
sen a ' sen b
⇒ N’ = 24º 31’ 22.03’’
Long M = Long A – N’ = 97º 48’ 32.97’’ O
d)
N =Polo Norte
b
h
A
90º
H
B
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Curso 2015-16
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 5
ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
En el triángulo ANB, puede obtenerse el ángulo B mediante el teorema del coseno para los
ángulos:
cos B = - cos A cos N + sen A sen N cos b = 0.492968298 ⇒ B = 60º 27’ 50.88’’
Por ser agudos los dos ángulos A y B del triángulo esférico ANB, la altura esférica trazada
desde N es interior al triángulo y H se encuentra en el recorrido del avión.
e) La medida de h en unidades lineales es la menor distancia a la que se encuentra el
avión del polo norte en toda su trayectoria entre Seattle y Baltimore.
Aplicando el teorema del seno en el triángulo esférico rectángulo ANH, se obtiene:
sen h
sen b
=
⇒ sen h = sen A sen b = 0.673371053 ⇒
sen A sen 90º
 42º19 ' 40.01''
h=
180º − 42º19 ' 40.01'' = 137º 40 '19.9 ''
h ha de ser aguda por ser el cateto del triángulo rectángulo ANH opuesto al ángulo agudo A.
Luego, h = 42º19'40.01'' = hg, medida de h en unidades angulares.
La medida de h en unidades lineales, h l , se calcula con una regla de tres:
hl =
2π 6371 h g
360
= 4706.6345 km
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Curso 2015-16
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 6