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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Cinemática en una dimensión
© Goodman and Zavorotniy 2009
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Distancia
Todos sabemos qué es la distancia entre dos objetos...
Pero entonces ¿qué es la distancia? ¿qué es la longitud?
Recuerden que no pueden utilizar las palabras "distancia" o "longitud" en tu definición; eso sería hacer trampa.
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Distancia
Como pueden ver por sus intentos, es imposible definir la distancia.
La distancia es una cantidad fundamental de la naturaleza. Es tan fundamental que es imposible definirla. Todos sabemos qué es la distancia, pero nadie puede decir realmente qué es. Sin embargo, las distancias pueden ser comparadas.
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Distancia
Podemos comparar la distancia entre dos objetos a la distancia entre otros dos objetos.
Por conveniencia, hemos creado distancias estándares para poder hacer comparaciones más fácilmente y para poder comunicárselas a otras personas. Uno de estas distancias estándares es el metro , el cual tomaremos como nuestra unidad de medida de la distancia, ya que está aceptada como un estándar universal y todos lo conocen.
Esto no define el concepto de distancia, pero nos permite trabajar con ella.
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Distancia
Usaremos:
El símbolo "d" para la distancia.
La "m" como símbolo de nuestra unidad de medida de la distancia, el metro. Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Tiempo
De la misma manera, todos sabemos qué es el tiempo...
Pero tratemos de definirlo: ¿qué es el tiempo?
Recuerden que no pueden usar la palabra "tiempo" o cualquier equivalente en sus definiciones.
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Tiempo
Como la distancia, el tiempo es otra cantidad fundamental de la naturaleza. Es tan fundamental que es imposible definirlo. Todos saben qué es el tiempo, pero nadie puede decir realmente qué es.
Sin embargo, al igual que las distancias, los tiempos se pueden comparar.
Podemos decir que en el tiempo que tardo en recorrer toda una pista la aguja segundera de mi reloj dio una vuelta completa... entonces, mi vuelta duró 1 minuto o bien 60 segundos. Cuando comparamos el tiempo entre dos eventos al tiempo entre otros dos eventos, estamos midiendo el tiempo. Esto no es una definición del tiempo, pero nos permite trabajar con él.
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Tiempo
Usaremos:
Vamos a usar el segundo como nuestra unidad estándar para medir el tiempo.
El símbolo "t" para el tiempo transcurrido.
El símbolo "s" para nuestra unidad de medida del tiempo, el segundo.
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Rapidez
La rapidez se define como la distancia recorrida por un objeto, dividida por el tiempo que tardó en recorrer esa distancia.
distancia
rapidez = tiempo
d
S= t
La rapidez no es una cantidad fundamental de la naturaleza, sino que es la proporción de dos cantidades que sí son fundamentales.
Cinemática ­ Robert Goodman
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Rapidez
Las unidades de rapidez pueden verse al sustituir las unidades de distancia y tiempo en la ecuación de la rapidez: d
S = t [d]
[S] = [t] metros
[S] =
segundos o
m
[S] =
s
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1 Un conejo recorre 60 m en 20 s con rapidez constante, ¿cuál es su rapidez?
Una partícula viaja a una rapidez de 40 m/s durante 4,0 s; ¿a qué distancia está la partícula?
v = d/t
v = 60 / 20 = 3
v = 3 m / s
Cinemática ­ Robert Goodman
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Una partícula viaja a una rapidez de 40 m/s durante 4.0 s, ¿cuál es la distancia recorrida por la partícula?
v = d / t
v x t = ( d / t ) x t
v x t = d
d = v x t
d = 40 x 4.0 = 10
d = 10 m
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3
Viajas a una rapidez constante de 20 m/s; ¿cuánto tiempo tardarías en recorrer una distancia de 120 m?
v = d / t
t x v = ( d / t ) x t t x v = d
( t x v ) / v = d / v
t = d / v
t = 120 / 20 = 6
t = 6 s
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Rapidez promedio & Movimiento no uniforme
Mientras que la rapidez instantánea es tu rapidez durante un instante corto de tiempo, la rapidez promedio es tu rapidez a lo largo de todo un recorrido. La rapidez promedio se determina estableciendo la distancia total recorrida y dividiéndola por la totalidad del tiempo que llevó recorrer esa distancia.
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Rapidez promedio & Movimiento no uniforme
segmento
Distancia
Tiempo
Rápidez
(m)
(s)
(m/s)
I II
III Total /Prom. Cinemática ­ Robert Goodman
Viajas en bicicleta desde el colegio hasta tu casa. Primero recorres 2500 m en 7 minutos (420 s), luego demoras 10 minutos en la casa de tu amigo, finalmente recorres 3500 m 9 minutos (540 s). a) Cúal es la rapidez promedio en cada trayecto?
b) ¿ Cúal es el promedio de las rapideces?
c) ¿Cuál fue tu rapidez promedio a lo largo de todo el recorrido? d) Compare b) y c).
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Rapidez promedio & Movimiento no uniforme
segmento
Distancia
Tiempo
Velocidad
(m)
(s)
(m/s)
I II
III Corres una distancia de 210 m a una velocidad de 7 m/s. Luego caminas 200 m durante 40 s. Finalmente, corres Total /Prom. nuevamente durante 25 s a una velocidad de 6 m/s. ¿Cuál fue la rapidez promedio del recorrido total?
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Posición y marcos de referencia
La rapidez, la distancia y el tiempo no necesitaban que nosotros definiéramos dónde comenzábamos y dónde terminábamos. Simplemente miden cuánta distancia recorremos y cuánto tardamos en hacerlo.
Sin embargo, gran parte de la física implica comprender dónde está algo y cómo cambia su posición a lo largo del tiempo. Para definir la posición, debemos utilizar un marco de referencia.
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Posición y marcos de referencia
Un marco de referencia nos permite definir dónde está algo.
Para comprender qué significa esto, probemos lo siguiente.
Coloquen un objeto en algún lugar del aula.
Ahora escriban indicaciones que describan cómo llegar a su ubicación. Deben escribirlas para poder entregárselas a alguien y que ellos puedan seguirlas hasta encontrar el objeto. Por supuesto, no pueden escribir el nombre de cosas que se encuentren cerca del objeto, sino solamente cómo deben moverse para llegar a él.
Prueben sus indicaciones con alguien externo a la clase.
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Posición y marcos de referencia
Probablemente se den cuenta de que necesitan Un punto de partida (el inicio)
Un conjunto de indicaciones (por ejemplo, izquierda­
derecha, hacia adelante­hacia atrás, hacia arriba­hacia abajo)
Una unidad de medida (para medir cuánta distancia recorrer en cada indicación)
En este curso, haremos lo siguiente:
Definiremos el punto de partida como la ubicación denominada "cero"
Crearemos tres ejes perpendiculares: x, y & z para las direcciones
Utilizaremos el metro como unidad de medida
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Posición y marcos de referencia
You'll probably find that you need a starting point (an origin)
En general, resolveremos problemas en una dimensión.
A set of directions (for instance left­right, forward­backward, up­down)
Cuando éste es el caso, usamos el eje x para esa dirección.
A unit of measure (how far to go in each direction)
+x indicará a la derecha
Usually we'll:
­x indicará a la izquierda
Define the origin as a location labeled "zero"
Podríamos definirlo de la forma contraria, pero salvo que se lo diga explicitamente, asumiremos esta nomenclatura.
Three axes: x, y and z for direction
En este caso de una dimensión, el símbolo de la posición The meter as our unit of measure
será "x".
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Desplazamiento
Ahora que tenemos una idea de la posición, podemos hablar acerca de un cambio en la posición, es decir, el desplazamiento.
El símbolo de "cambio" es la letra griega "delta" "Δ". Por lo tanto, "Δx" significa el cambio en x o el cambio de posición.
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Desplazamiento
El desplazamiento implica dar la posición donde estas, respecto del punto de partida, sin importar cómo llegaste hasta ahí. +y
Δx = xf ­ xi
Ejemplo:
si partiendo desde el origen, avanzas 6 m hacia la derecha sobre la horizontal...
­x
+x
­y
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Desplazamiento
El desplazamiento implica dar la posición donde estas, respecto del punto de partida, sin importar cómo llegaste hasta ahí. Ejemplo:
si partiendo desde el origen, avanzas 6 m hacia la derecha sobre la horizontal, y luego 2 m hacia la izquierda... +y
­x
+x
­y
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Desplazamiento
El desplazamiento implica dar la posición donde estas, respecto del punto de partida, sin importar cómo llegaste hasta ahí. +y
Ejemplo:
si partiendo desde el origen, avanzas 6 m hacia la derecha sobre la horizontal, y luego 2 m hacia la izquierda, tu posición final será 4 m a la derecha. Habrás recorrido en total 8 m, pero el desplazamiento será de:
­x
+x
­y
4 m = pos. final ­ pos. inicial = xf ­ xi = 4 ­ 0 Cinemática ­ Robert Goodman
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Desplazamiento
La distancia sólo puede ser positiva, ya que no se puede viajar a una distancia negativa, pero el desplazamiento puede ser positivo o negativo, ya que se puede terminar a la izquierda o a la derecha desde donde se empezó.
+y
+y
­x
xo
xf
­y
El desplazamiento es positivo. Cinemática ­ Robert Goodman
+x
xf
­x
xo
+x
­y
El desplazamiento es negativo
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Vectores y Escalares
Vector: un vector es una cantidad que tiene una magnitud (número o valor) ,una dirección, y un sentido.
Escalar: un escalar sólo tiene magnitud Cantidad
¿Vector?
¿Escalar?
Tiempo
Distancia
Desplaza­
miento
Velocidad
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
4 Un automóvil recorre 60 m hacia la derecha y luego 30 m hacia la izquierda ¿Qué distancia recorrió el automóvil?
distancia=90m
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5 Recorres 60 m a la derecha y luego 30 m a la izquierda ¿Cuál es tu desplazamiento?
desplazamiento=
30m a la derecha
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
6 Corres alrededor de una pista de 400 m, una vuelta completa. Al finalizar, ¿qué distancia corriste?
distancia=400m
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7 Corres alrededor de una pista de 400 m, una vuelta completa. Al finalizar, ¿qué desplazamiento hiciste?
desplazamiento=0m
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Velocidad promedio
La rapidez se define como la relación entre la distancia y el tiempo
distancia recorrida
rapidez promedio = tiempo transcurrido
s = d
t
En forma similar, la velocidad se define como la relación entre el desplazamiento y el tiempo
desplazamiento
velocidad promedio = tiempo transcurrido
Cinemática ­ Robert Goodman
v = Δx
Δt
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Velocidad promedio
La rapidez es siempre positiva, ya que esta es la proporción entre la distancia y el tiempo, los cuales son siempre positivos.
s = d
t
Sin embargo, la velocidad puede ser positiva o negativa, ya que es la proporción entre el desplazamiento y el tiempo; el desplazamiento puede ser negativo o positivo. (En general, a la derecha es positivo y, a la izquierda, negativo.)
v = Cinemática ­ Robert Goodman
Δx
Δt
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8 La velocidad es un vector.
Verdadero False
Falso Cinemática ­ Robert Goodman
Verdadero
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9
Recorres 60 metros a la derecha en 20 s; ¿cuál es tu velocidad promedio?
vprom=Δx/Δt
vprom=60/20
vprom=3m/s a la derecha
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
10
Recorres 60 metros a la izquierda en 20 s; ¿cuál es tu velocidad promedio?
vprom=Δx/Δt
vprom=60/20
vprom=3m/s a la izquierda
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
11 Recorres 60 metros a la izquierda en 20 s y luego 60 metros a la derecha en 30 s; ¿cuál es tu velocidad promedio?
vprom=Δx/Δt
vprom=(0­0)/50
vprom=0
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
12 Corres la totalidad de una vuelta de 400 m en 80 s. ¿Cuál es tu velocidad promedio?
vprom=Δx/Δt
vprom=(0 ­0)/80
vprom=0 m/s
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
13 Caminas una vuelta de 1 km en 900 s. ¿Cuál es tu rapidez promedio en m/s?
vprom=Δx/Δt
vprom=1km/900s
vprom=1.000m/900s
vprom=1,1m/s
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
14 Recorres 160 metros en 60 s; ¿Cuál es tu velocidad promedio?
vprom=Δx/t
vprom=160/60
vprom=2,7m/s
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Velocidad instantánea
Desplazam.
Tiempo
Velocidad
100 m
10 s 10 m/s 10 m 1 s 10 m/s 1.0 m 0,10 s 10 m/s 0,10 m 0,010 s 10 m/s 0,010 m
0,0010 s 10 m/s 0,0010 m 0,00010 s 10 m/s 0,00010 m 0,000010 s 10 m/s Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es la velocidad promedio, en el v
(m/s)
límite en que el intervalo de tiempo se vuelve muy corto.
v = t (s)
Δx
Δt cuando Δt 0
Estos gráficos muestran (a) la velocidad constante y (b) la velocidad variable.
v
(m/s)
velocidad promedio
t (s)
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Aceleración
La aceleración promedio es el cambio de velocidad dividido
por el tiempo que tarda en producirse dicho cambio. cambio de velocidad
aceleración = tiempo transcurrido
a = Δv
Δt
v ­ vo
a = t
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Aceleración
La aceleración es un vector.
Debido a que sólo se considerará la aceleración constante en este curso, no es necesario diferenciar entre aceleración instantánea y aceleración promedio.
Unidades de aceleración
Las unidades pueden derivarse al sustituir las unidades correctas hacia el lado derecho de las ecuaciones.
a = Δv
Δt
Cinemática ­ Robert Goodman
m/s = m/s2
s
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
15
Tu velocidad cambia de 60 m/s a la derecha a 100 m/s a la derecha en 20 s; ¿cuál es tu aceleración promedio?
a = Δv/t
a = (100­60)/20
a = 2m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
16
Tu velocidad cambia de 60 m/s a la derecha a 20 m/s a la derecha en 20 s; ¿cuál es tu aceleración promedio?
a = Δv/t
a = (20­60)/20 = ­40/20
a = ­2m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
17
Tu velocidad cambia de 50 m/s a la izquierda a 10 m/s a la derecha en 15 s; ¿cuál es tu aceleración promedio?
a = Δv/Δt
Δv = 10 ­ (­50) = 10 +50 = 60
Δt = 15
a = 60/15 = 4
a = 4 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
18
Tu velocidad cambia de 90 m/s a la derecha a 20 m/s a la izquierda en 5 s; ¿cuál es tu aceleración promedio?
a = Δv/Δt
Δv = ­20 ­ (+90) = ­20 ­90 = ­110
Δt = 5
a = ­110/5
a = ­22 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Movimiento con aceleración constante
a = Δv
Δt
pero como "Δ" significa cambio
Δv = v ­ vo y
a = v ­ vo
t
v = vo + at
Δt = t ­ to ;si siempre dejamos que to = 0, Δt = t Solución para "v"
Esta ecuación nos muestra cómo cambia la velocidad de un objeto en función al tiempo.
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
19 Partiendo desde el reposo, aceleras a 4 m/s2 durante 6 s. ¿Cuál es la velocidad final? Datos:
t=6s
Vo = 0 m/s
a = 4 m/s2
v = vo + at
v = 0 + 4(6)
v = 24 m/s
Cinemática ­ Robert Goodman
49
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
20 Partiendo desde el reposo, aceleras a 8.0 m/s2 durante 9 s. ¿Cuál es tu velocidad final? Datos:
t=9s
Vo = 0 m/s
a = 8.0 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
v = 0 + 8 x 9
v = 72 m/s
50
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
21
Te mueves a una velocidad inicial de 5 m/s. Luego experimentas una aceleración de ­1,5 m/s2 durante 4 s; ¿cuál es tu velocidad final? Datos:
t=4s
Vo = 5 m/s
a = -1.5 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
v = 5 + (­1.5) x 4 = 5 ­ 6 = ­1
v = ­1 m/s
51
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
22 partes con una velocidad inicial de ­3 m/s. Luego experimentas una aceleración de 2,5 m/s2 durante 9s; ¿cuál es tu velocidad final? Datos:
t=9s
Vo = -3 m/s
a = 2.5 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
v = ­3 + 2.5 x 9 = ­3 + 22.5 = 19.5
v = 19.5 m/s
52
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
23
¿Cuánto tiempo tardas en acelerar desde una velocidad inicial de 20m/s a una velocidad final de 100m/s si tu aceleración es de 1,5 m/s2?
Datos:
t=?
Vo = 20 m/s
Vf = 100 m/s
a = 1.5 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
t = Δv/a
t = (100­20)/1.5 = 80/1.5 =53.3
t = 53.3 s
53
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
24
¿Cuánto tiempo tardarás en detenerse si comienzas con una velocidad inicial de 5 m/s y tu aceleración es de ­2 m/s2?
Datos:
t=?
Vo = 5 m/s
Vf = 0 m/s
a = -2 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
0 = 5 + (­2) x t = 5 ­ 2t
t = 2,5s
54
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
25
Un objeto acelera a un ritmo de 3 m/s2 durante 6 s hasta alcanzar una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál era su velocidad inicial?
Datos:
t=6s
Vo = ?
Vf = 20 m/s
a = 3 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
20 = vo + 3 x 6 = vo + 18
vo = 2 m/s 55
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
26
Un objeto acelera a un ritmo de 1,5 m/s2 durante 4 s hasta alcanzar una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál era su velocidad inicial?
Datos:
t=4s
Vo = 20 m/s
Vf = 10 m/s
a = 1.5 m/s2
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
10 = vo + 1.5 x 4 = vo + 6
vo = 4 m/s
56
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Caída libre
Todo objeto libre cae hacia el suelo con la misma aceleración. Llamamos a esta aceleración la "aceleración de la gravedad" y se la representa mediante una g. g = 9.8 m/s2
Recuerden que TODOS los objetos se aceleran hacia el suelo al mismo ritmo. ¡g es una constante!
Cinemática ­ Robert Goodman
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Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Se detiene momentáneamante.
¿Qué sucede arriba?
v = 0
g = ­9.8 m/s2
Desacelera
¿Qué sucede (aceleración cuando sube?
negativa)
g = ­9,8 m/s2
.
Se arroja hacia arriba un objeto con una velocidad inicial, vo
Cinemática ­ Robert Goodman
.
Acelera
¿Qué sucede cuando baja?
(aceleración negativa)
g = ­9,8 m/s2
Regresa con su misma ¿Qué sucede rapidez inicial.
cuando aterriza?
58
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Se detiene momentáneamente.
v = 0
g = ­9,8 m/s2
Desacelera.
(aceleración negativa)
g = ­9,8 m/s2
Se arroja un objeto hacia arriba con una rapidez inicial, vo
Cinemática ­ Robert Goodman
Acelera.
(aceleración negativa )
g = ­9,8 m/s2
Regresa al punto
de partida con la
misma rapidez inicial.
59
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
a = ­10 m/s2 Hacia abajo:
Hacia arriba:
s
m/s
0 = v3
10 = v2
a t = 3 a t = 2 0 = v3
v2
t = 3 a
v1
a
­10 = ­v2
a
20 = v1
s
m/s
­v1
t = 1 ­20 = ­v1
t = 4 t = 5 a
a
t = 0 30 = v0
Cinemática ­ Robert Goodman
­v0
v1
t = 6
­30 = ­v0
60
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Si se arroja un objeto al aire ¿cómo se vería el gráfico de velocidad vs tiempo?
v
(m/s)
Se arroja un objeto con una velocidad inicial, vo
Se detiene momentáneamente.
v = 0
g = ­9,8 m/s2
t (s)
Regresa con la misma rapidez pero en dirección opuesta.
Cinemática ­ Robert Goodman
61
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
27 Una bellota cae de un roble. Observan que tarda 2.5 segundos en tocar el piso. ¿Cuán rápido iba cuando tocó el piso?
Datos:
t = 2.5 s
a = g = ­9.8 m/s2
vo = 0 m/s
v = ?
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
v=0 +(­9.8) x .25 = 0 ­ 24 = ­24
v=­24 m/s
62
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
28
Una roca cae de un acantilado y llega al piso 5 segundos después. ¿A qué velocidad golpeó contra el piso?
Datos:
t = 5 s
a = g = ­9.8 m/s2
vo = 0 m/s
v = ?
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
v = 0 + (­9.8) x 5 = ­49
v = 49 m/s
63
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
29
Se arroja una pelota desde un puente a una velocidad de 5 m/s. ¿Cuál es su velocidad 2 segundos después?
Datos:
t = 2.5 s
a = g = ­9.8 m/s2
vo = ­5 m/s
v = ?
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
v = ­5 + (­9.8) x 2 = ­5 ­ 19.6 = ­24.6
v = ­24.6 m/s
64
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
30
Se dispara una fecha al aire y ésta alcanza su punto máximo 3 segundos después. ¿Cuál era su velocidad cuando fue disparada?
v = vo + at
0 = vo + ­9,8(3)
vo = 29,4m/s
Cinemática ­ Robert Goodman
65
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
31
Se lanza un cohete directo desde el suelo. Regresa a la tierra 10 segundos después. ¿Cuál fue su rapidez de despegue?
Datos:
t (subida) = 5 s
a = g = ­9.8 m/s2
vo = ?
v = 0 m/s
Cinemática ­ Robert Goodman
v = vo + at
0 = vo + (­9.8) x 5 = vo ­ 49
vo = 49 m/s
66
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Movimiento con aceleración constante
Si la velocidad cambia a un ritmo constante, la velocidad promedio es relación entre las velocidades inicial y final:
v = v + vo
2
Y aprendimos antes que:
v = Algunos problemas pueden ser resueltos más Δx
t
Δx = v + vo
2
t
fácilmente si utilizamos estas dos ecuaciones Δx = (v + vo)
t
2
juntas.
Cinemática ­ Robert Goodman
67
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
32 Partiendo desde el reposo, aceleras hasta 20 m/s en 4 s. ¿Cuál es tu velocidad promedio?
Datos:
t = 4 s
vo = 0 m/s
v = 20 m/s
vprom = ?
Cinemática ­ Robert Goodman
vprom = (v+vo)/2
vprom = (20+0)/2
vprom = 10m/s2
68
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
33
Empezando desde cero, aceleras a 20 m/s en 4 s. Utilizando la respuesta anterior, ¿cuánta distancia recorriste durante esos 4s?
Datos:
t = 4 s
vo = 0 m/s
v = 20 m/s
vprom = 10 m/s
vprom = Δx/t
Δx = vprom x t
x = 10 x 4 = 40
x = 40 m
Δx = ?
Cinemática ­ Robert Goodman
69
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
34 Empiezas a una velocidad de 12 m/s y aceleras hasta 48 m/s en 6 s. ¿Cuál es tu velocidad promedio?
Datos:
t = 6 s
vo = 12 m/s
v = 48 m/s
vprom = ?
Cinemática ­ Robert Goodman
vprom = (v+vo)/2
vprom = (48+12)/2 = 60/2 = 30
vprom = 30 m/s
70
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
35
Arrancas a una velocidad de 12 m/s y aceleras a 48 m/s en 6s. Utilizando la respuesta anterior, ¿qué distancia recorriste en esos 6s?
Datos:
t = 6 s
vo = 12 m/s
v = 48 m/s
vprom = 30 m/s
vprom = Δx/t
Δx = vprom x t
Δx = 30 x 6 = 180
Δx = 180 m
Δx = ?
Cinemática ­ Robert Goodman
71
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Movimiento con aceleración constante
Datos:
Observemos que por (3):
(1) vprom = Δx / t
(2) vprom = (vo +v) / 2
(3) v = vo +a x t
Δx = x ­ xo?
x = ?
vprom = (vo + v)/2 = (vo + vo + a x t)/2 = (2vo + a t)/2 = vo + at/2
(4) Vprom = vo + a x t / 2
(3)
De (1): Δx = Vprom x t La cual por (4) es:
Δx = (vo + a x t / 2) x t
= vo x t + a x t2 / 2
Es decir:
(5)
2
Δx = x ­ xo = vo x t + a x t / 2
De aqui que: (6) x = xo + vo x t + a x t2 / 2
Cinemática ­ Robert Goodman
72
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Movimiento con aceleración constante
Enfoque gráfico
v
(m/s)
El área bajo la curva es: A = base x altura = t x vo
Por otro lado vo = Δx / t entonces:
vo
A = t x vo = t * Δx / t = Δx
A = lw
t (s)
Cinemática ­ Robert Goodman
A = Δx = v0t
73
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Movimiento con aceleración constante
Enfoque gráfico
El área bajo la curva es: v
(m/s)
A = ½ base x altura = ½tΔv vprom
y como Δv = at entonces:
A = ½bh
A = ½t x at = ½ a t2
t (s)
También:
A = vprom t = Δx con lo cual
Δx = ½at2
Cinemática ­ Robert Goodman
74
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Movimiento con aceleración constante
Enfoque gráfico
Como vimos antes, el área bajo la curva de velocidad nos da el desplazamiento. De los dos casos antes vistos vemos que:
v
(m/s)
vo
2
½at
A = Δx = v0t + ½at2
v0t
t (s)
x - x0 = v0t + ½at2
x = x0 + v0t + ½at2
Cinemática ­ Robert Goodman
75
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
36 Un avión parte del reposo y acelera a un ritmo constante de 3 m/s2 durante 30 s antes de despegar del piso. ¿Qué distancia recorrió en la pista?
Datos:
t = 30 s
vo = 0 m/s
Xo = 0 m
a = 3 m/s2
v = ?
x = xo + vot + ½at2
x = ½at2
x = ½ * 3 * 302 x = 1.350 m
Δx = x =?
Cinemática ­ Robert Goodman
76
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
37
Un Volkswagen Beetle viaja a una velocidad de 12 m/s. Sube una colina con una aceleración constante de –1,6 m/s2. ¿Qué distancia recorre luego de viajar durante 6 segundos?
Datos:
t = 6 s
vo = 12 m/s
Xo = 0 m
a = ­1.6 m/s2
v = ?
Δx = x =?
Cinemática ­ Robert Goodman
x = xo + vot + ½at2
x = vot + ½at2
x = 12(6) + ½(­1,6)62
x = 43,2 m
77
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
38
Una motocicleta arranca desde una señal de Stop y acelera a un ritmo constante de 20 m/s2 ¿Cuánto tardará en recorrer 300 metros?
Datos:
t = ?
vo = 0 m/s
Xo = 0 m
a = 20 m/s2
v = ?
Δx = x =300
Cinemática ­ Robert Goodman
x = xo + vot + ½at2
x = ½at2
300 = ½(20)t2 = 10 t2
t2 = 30
t = 5,5 s
78
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
39 Un tren que sale de la Estación Central acelera desde el reposo a un ritmo constante. Recorre 800 metros en 20 segundos. ¿Cuál es la aceleración?
Datos:
t = 20 s
vo = 0 m/s
Xo = 0 m
a = ?
v = ?
Δx = x = 800 m
Cinemática ­ Robert Goodman
x = xo + vot + ½at2
x = ½at2
800 = ½a(20)2 = 200 a
a = 800 / 200 = 4
a = 4 m/s2
79
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
40 La velocidad inicial de un auto es de 45 m/s. Acelera durante 4,8 segundos. En ese momento, el auto recorre 264 metros. ¿Cuál es su aceleración?
Datos:
t = 4.8 s
vo = 45 m/s
Xo = 0 m
a = ?
v = ?
Δx = x = 264 m
Cinemática ­ Robert Goodman
x = xo + vot + ½at2
x = vot + ½at2
264 = 45(4,8)+½(a)4,82
264 = 216 + 11.5 a
48 = 11.5 a
a = 48/11.5 = 4.17
a = 4.17 m/s2
80
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
41
Un colectivo viaja a una velocidad constante cuando comienza a acelerar a 2 m/s2. Si recorre 500 metros en 20 segundos, ¿cuál fue su velocidad inicial?
Datos:
t = 20 s
vo = ?
Xo = 0 m
a = 2 m/s2
v = ?
Δx = x = 500 m
Cinemática ­ Robert Goodman
x = xo + vot + ½at2
x = vot + ½at2
500 = vo(20) + ½(2)202
500 = 20 vo + 400
100 = 20 vo
vo = 100/20 = 5
vo = 5 m/s
81
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Movimiento con aceleración constante
También podemos combinar las ecuaciones:
v = vo + at
x = xo + vo t + ½ a t2
despejando t de la primera y reemplazando su valor en la segunda, para encontrar que:
v2 = vo2 + 2 a (x­xo)
Cinemática ­ Robert Goodman
82
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
42 Un automóvil acelera desde cero a 30m/s mientras recorre una distancia de 20m; ¿cuál fue su aceleración?
Datos:
t = ?
vo = ?
Xo = 0 m
a = ?
v = 30 m/s
Δx = x = 20 m
Cinemática ­ Robert Goodman
v2 = vo2 + 2aΔx
v2 = 2aΔx
302 = 2a(20)
900 = 40 a
a = 900/40 = 22.5
a = 22,5 m/s2
83
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
43 Partiendo desde el reposo aceleras a 10m/s2 a lo largo de una distancia de 100m; ¿cuál fue tu velocidad final?
Datos:
t = 20 s
vo = ?
Xo = 0 m
a = 10 m/s2
v = ?
Δx = x = 100 m
Cinemática ­ Robert Goodman
v2 = vo2 + 2aΔx
v2 = 2aΔx
v2 = 2(10)100
v2 = 2000
v = √2000 = 44.7
v = 44.7 m/s
84
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
44
Arrancas a una velocidad de 25m/s y aceleras a un ritmo de 2 m/s2. Durante la aceleración, recorres 200m; ¿cuál fue tu velocidad final? Datos:
t = ?
vo = 25 m/s
Xo = 0 m
a = 2 m/s2
v = ?
Δx = x = 200 m
Cinemática ­ Robert Goodman
v2 = vo2 + 2aΔx
v2 = 252 + 2(2)200
v2 = 625 + 800 = 1425
v = √1425 = 37,7 v = 37.7 m/s
85
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
45
Aceleras de 20m/s a 60m/s a medida que recorres una distancia de 200m; ¿cuál fue tu aceleración?
Datos:
t = ?
vo = 20 m/s
Xo = 0 m
a = ?
v = 60 m/s
Δx = x = 200 m
Cinemática ­ Robert Goodman
v2 = vo2 + 2aΔx
602 = 202 + 2a(200)
3600 = 400 + 400 a
a = 8m/s2
86
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
46
Si arrojo una pelota desde 8 m; ¿cuál será su velocidad final?
Datos:
t = ?
vo = 0 m/s
yo = 8 m
y = 0 m
a = g = ­9.8 m/s2
v = ?
Δy = y ­ yo = ­ 8 m
Cinemática ­ Robert Goodman
v2 = vo2 + 2aΔy
v2 = 2aΔy
v2 = 2(­9.8)(­8) = 156.8
v = 12,5m/s
87
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
47 Una pelota que es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 25m/s está sujeta a una aceleración de ­9,8 m/s2; ¿qué distancia sube antes de llegar a una parada momentánea?
Datos:
t = ?
vo = 25 m/s
yo = 0 m
a = ­9.8 m/s2
v = 0
Δy = y = ?
Cinemática ­ Robert Goodman
v2 = vo2 + 2aΔy
0 = 252 + 2(­9,8)Δy
0 = 625 ­ 19.6 Δy
y = 31,9 m
88
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Movimiento con aceleración constante
Ahora tenemos todas las ecuaciones que necesitamos para resolver problemas de aceleración constante .
v = vo + at
x = xo + vot + ½at2
v2 = vo2 + 2a(x ­ xo)
v + v
v = 2 o
Cinemática ­ Robert Goodman
89
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
48 Arrancando desde la posición x0 = 4 m, viajas a una velocidad constante de +2 m/s durante 6s. a. Determina su posición en los siguientes momentos: 0s; 2s; 5s; 6s. b. Realiza el gráfico posición vs el tiempo durante los 6s del recorrido. c. Confecciona el gráfico de velocidad versus tiempo de tu viaje. Cinemática ­ Robert Goodman
90
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
El siguiente gráfico de posición vs tiempo describe el movimiento de tres automóviles diferentes que se desplazan a lo largo del eje x.
a. Describe, con tus palabras, la velocidad de cada uno de los automóviles. Asegúrate de discutir acerca de la rapidez y dirección de cada uno de ellos.
Posición vs tiempo
Posición (m)
49
Tiempo
Auto 1
Cinemática ­ Robert Goodman
Auto 2
Auto 3
91
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
b. Calcula la velocidad de cada uno de los automóviles.
Posición (m)
50 El siguiente gráfico de posición vs. tiempo describe el movimiento de tres automóviles diferentes que se desplazan a lo largo del eje x.
Posición vs tiempo
Tiempo
Auto 1
Cinemática ­ Robert Goodman
Auto 2
Auto 3
92
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
c. Dibuje (en un conjunto de ejes) el gráfico de velocidad vs. tiempo de cada uno de los automóviles.
Position (m)
v
(m/s)
Cinemática ­ Robert Goodman
t (s)
93
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Resolución de problemas
1. Lee el problema y asegúrate de que lo comprendes. 2. Léelo nuevamente y anota información útil: los valores que conoces y los que debes determinar. 3. Confecciona un diagrama y elige los ejes de coordenadas.
4. Determina el procedimiento: qué fórmulas usar, como relacionarlas a las cantidades desconocidas. 5. Manipula algebraicamente las formulas, para que la cantidad desconocida quede sola del lado izquierdo del signo "=".
6. Sustituye los valores conocidos (asegúrate de que las unidades sean las correctas).
7. Calcula la cantidad desconocida numéricamente.
8. Realiza las mismas operaciones con las unidades para verificar tu trabajo.
Cinemática ­ Robert Goodman
94
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Resumen
• La cinemática describe la forma en que se mueven los objetos con respecto a un marco de referencia predeterminado.
• El desplazamiento es el cambio de posición de un objeto.
• La rapidez promedio es la distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido; la velocidad promedio es el desplazamiento dividido por el tiempo.
• La velocidad instantánea es la velocidad promedio cuando el tiempo trancurrido se vuelve muy pequeño.
• Una aceleración constante es el cambio de velocidad dividido por el tiempo.
Cinemática ­ Robert Goodman
95
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Resumen • Hay cuatro ecuaciones que describen el movimiento con aceleración constante, y cada una involucra un conjunto diferente de cantidades.
v = vo + at
x = xo + vot + ½at2
v2 = vo2 + 2a(x ­ xo)
v + v
v = 2 o
Cinemática ­ Robert Goodman
96
Unidad 1: Física Basada en Álgebra
Cinemática ­ Robert Goodman
97